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Full text of "Preclarissimũ opus elemento[rum]"

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;      G/£rbardus  ratdo!t  3Uiguftenlis  imp:eflb:.©eremlTtmo 
alme  vrbis  vcnete  l|8:incipi  3f  oanm  Zlboccnico.S. 

Solebam  antca  fercitiffimc  p:fnceps  mecnm  ipfe  cogitans  admirari 
quidcaufecffctq?inbac  tna  p:epotenti?  fauftavrbecumvariaau/ 
cto:um  veterumnouo:umqivo!timina  quottidie  imp:imcrent.  3« 
bacmatbcmatica  fkultatevelreltquarum  oifciplinarum  nobiliflima 
autnibil  atitparuaqiiedametfriuolaintanta  imp:elfo:u  copiaqui 
in  tua  Vrbe  agunt:  vtdercntur  imp:elTa.Bcc  cum  m"cum  fepius  Difcu- 
tcrem  inuentcbam  idoifticultateoperis  accidtffe.  iRonenimadbuc 
quo  pacto  fcbemata  geometrica:quibus  matbcmatica  volumina  fca/ 
tcnt-.ac  ftne  quibus  ntbtl  t  bis  Dilcipltnis  fere  inrclltgi  optime  poteft 
excogitaucrant.^taqictimboctpfitm  tantumodo  comuni  onmium 
vtilitati  que  eje  bts  pcrcipitur.obftaret  mca  induftria  no  line  majeimo 
labo:ecffeci.vtqua-ftcuitate  Ittterarum  elemeiita imp:imuntur  .ea 
etiam  geomctrtee  ftgure  conficerentur.  £5uamobrcm  vt  fpero/boc 
noftro  iiiuenro  be  Dtfciplineqiias  matbemaia  greci  appellant  volu  / 
minum  copia  ftcutt  relique  fcicntie  b:eui  tlluftrabuntur.gDe  quarum 
laudibusi  vtilitatepoffem  multa  im  p:cleiisaddticereab  illuffribus 
collecta  aucto:ibus:ntft  ftudiofts  tam  omntbus  bcc  nota  eflet.  31  Uud 
etiam  planecognitum  eftceterasfcientias  ftnematbematibustmper/ 
fectas  ac  vcluti  mancas  ee.  lRcq>  boc  p:ofecto  negabunt®  talectici 
neqj  l£bilofopbi  abnuent:iu  quoy  lto:is  multa  reperiunmn  qtie  It' 
ne  matbematica  rattone  mtmme  intclligi  polfunt.  ifcSuam  oiuiu^  tlle 
Ifblato  me:e  veritatisarcanu.vt  adtptfcerctur  cyraiasad.Zbco/ 
do:um  fummum  eo  tempo:e  marbematicu^  i  ad  cgtptios  facerdotes 
enauigauit.iQuid  cp  fine  bac  vna  facultate  viuendt  ratto  no  perfccte 
confta  t.  lRam  vt  oe  m  uftce  taceam :  que  nobis  m  uncri  ab  ipfa  nattira 
ad  perfcrendos  factlius  labo:cs  conceffa  videtur  :vt  aftrologia  p:e/ 
teream  quaejccnlticelum  ipfum  velutifcalis  macbtnilqj  qutbufdam 
confcendentes  verum  ipfms  nature  argumcntum  cognofctnms:  ftne 
aritbmetica  i  geometria:quarum  altera  nnmeros  altcra  mefuras  Do' 
cetciuiliter:comodcq5  viucre  cjpoflum*:  ©cd  quid  egoibts  mo/ 
ro:quciamommbusvt  Diximotio:a  funtq^vt  ame  otcatitur.i£u/ 
clidcsigiturmegarenfis  feremflimep:tnccpsqui.]cv.lib:i8  omnein 
geomctrie  rationem  confummatiflime  complejcus  eft:qucm  cgo  fum- 
ma  i  cura  i  Dtligentia  nttllo  p:etermifl'o  fcbcmate  imp:tmcndum  cu/ 
raui.lub  tuo  nnmtne  tutus  fclixq?  p:odeat. 


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WiMM^UgQSUPB"*  "* 


llbzeclanflimu  cpus  elcmentcr  /£uclidis  mcgarcfis  vna  cu  co/ 
mentisCampant  pjptcaciflimi  in  artc  geomcrrieincipit  feltctt. 
—  ^fnctus  eftcuius ps ntfe eft .G Jlinea  eft 
longitudofmelarirudte.  Lrtnee-vero  e;e/ 
tremitates  funt  otto  puncta.Gl£wea  recta 
e  ab  vno  pucto  ad  altum  ^quilfima  ejrten 
fio  in  ejrtremirares  faas  vrruqs  eoiz  reci/ 
ptcne.C&ugftctcs  c/q  logitudine  i  latttu- 
dinj  tm  babet:cut9termini  qutdc  fut  linee. 
GSuperficies  plana  e  ab  vna  linea  ad  ali 
am  cjrtmftoincjrrremitatesfuas  redpies. 
CSnguIus  planus  e  ouarum  lineay  alte/  ° 
^Urtus  cotactus-.qua^  ejcpanfto  eft  fuper  ftt  / 

flficte  appitcatioqjnooirecta.C/Quadoaurcanguliicotinentoue  t 
inee  rccte  rect iline"  angulus  noiatur.  G  &\\  rccta  linea  fug  recta   **' 
ftererir  ouoq5  angult  vrrobiq5  mertnt  eqles  co%  vtcrqj  rccr'*  erit.    orcmus 
C£ineaq5 linee fupcrftans  et  cut  fupftar ppcdicularis vocaf  .C2Uf  •£ 
gnlns  vcro  qui  recro  maio:  eftobrufus  oieif  .GSn^uP  vcro  mto: 
recto/acur*  appellaf.GZermin?  c  qo  vniufcniufq^  finis  e.Cf  tgu  / 
ra  e  q  rermino  vel  tcrmints  ptinef  .G£ircul?  e  ftgura  plana  vna  cf  / 
de  Unea  corenra:q  circufereria  noiaf-.i  cui^mcdto  puct^ea  quo  oes 
linee  recte  ad  circu  ferentia  e?eu  tes  ftbiinuicc  funt  equales.<£t  bic 
quide  punct*  cet?  circttli  oicit.  G  «£>iameter  circuli  e  linca  recta  q 
litp  eP  centp  tranfies  ejctrcmitatesq^  fuas  circu ferentte  applicans 
circulu  in  ouo  media  oiuidir.C  ©emicirculus  e  ftgura plana  oia/  <r  • 
merro circult i medictarecircufcrenriecorcnra.  G  1^»o:rto circult  <«*" 
cft  ftgura  plana  recta  linea i  partecircuferentie  cotenta:  femicircii-   «. 
loquidemautmjto:autmtnor.Gllvectilineefigurefut;que  recris  l?$ 
lineis cotincnf ^uap qncda rrilatere/q trib^ recris  lineis :qucdam  Jr"d 
quadrilatcre  q  quatuo:  rectis  lineis:qda  multtlatcrc  q  plurtbus  q5  fc 
quatuo:  rectis lineiscontinentur.Gf iguray  trilaterarum:alia  eft  " 
triangulus  babens  tria  latera  equalia&lia  triangulus  ouo  babes 
cqnalia  larera.Slia rrtangulus  triu  inequaltu  lareru.  IKtaru  irertt^  JbriSonuw 
alia  eft  oJtbogoniu  :vnu.fTrectu  angulum  babcns.Stlia  eft  ambli/ 
gonium  aliquem  obtufum  anguJnm  babens.  3Uia  eftojcigonium:  r- 
in  qna  tres  anguli  fttnt  acuti.Gf  igurarum  autcm  quadrilateraru .  jj? 
3Uia  eft  quadratu  quod  e  equilatern?  atq5  recrangulu .Slia  eftal/  \- 
reta^re  longusrque  cft  fignra  recr>ngula:fcd  cquilarera  non  eft 
aiia  ertlidTnous ::  que  eft  equilatera:  fed  rectangula  non  eft. 


]•«  L, tfata \?<jc--T>rffimUrf  rit^mt- '■  . 

mia  -Tcfiinitia  ■ 

l^       J  Tiunauo 

'  Xmea  • 

3-  ; ■ — . . 

Xinca  curua 


fUEficiCBplana. 


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triafcqliulatcp 


•itbesontuo    amWigoitius 


Ictrag6'l6s' 


qdratu»  I 


-  AlrTSa.. 


LIBER 


•pxralclic. 


TJelmilaripba 


-betfmihv--*-0  • 


SiXitbelmo, 


G3Uia  eft  fimilis  belmuavm  qne  oppolita  latera  babet  eqnalia  atq^ 
oppofttos  angulos  cqualcs:idem  tame  nec  rectis  angults  nec  equis 
lateribus  cotinetur.l|b2eter  bas  ailt  omnes  quadrilatcre  ftgure  b& 
muaripbe  nominantur.G£quidifrantcs  linee  funt  q  in  eadem  fuper  / 
firiecollocateatqiinalterutram  partempjotractenoconueniut  eri' 
am  ft  irt  infinitum  p:otrabantur.    $/>#ftffp&~~ 

jStitiones  fnnt  qninq^.GSquolibetpunctoiquemlibj 
pnnctil  rectS  lincam  oncercatq^lineam  oefiniram  incon 
tinuum  rectuq? quatulityt p2o'traber..G£>uper centru 
quodUbetqudtuUbetoccupandolpacium:circulumoefi/ 
gnare:  G/^mnes rcctos angulos libi  inuicem  effe equa/ 
es.GSi  linea  recta  liiper  ouas  lineas  rectas  cecident  ouoqi  anguli 
cj:  vna  parte  ouobus  r  cctis  angulis  mino:es  fiierint  iftas  ouas  Une/ 
as  iu  eandem  partein  pJotractas  p:oculdubio  coniuncti  ire.Ci£>uas 
lineas  rectas  fuperficiem  nullam  concludere.  c >tr  M  'Cicrfmnrj— 
■0n\  munes  animi  coceptioes  funt  bee  CjQue  vni  i  eidej 
limt  equalia  i  ftbiinuice  funt  equalia.  C£t  ft  equalib?  eq 
lia  addant  tota  quoq?  ficnt  equalia.G/£t  li  ab  cqlibus  eq 
liaauferantur  querelinquut  erutequalia.C(£tfiabine 
qlibus  cqlia  oemas  q  relinquunt  erut  incqlia.Cj£t  fi  ine 
qlibusequaliaaddasipfa  quoq^  fient  ineqlia.C£>ifiierintt>ucres 
vni  equales  ipfe  ftbiinuice  erunt  cquales.Cgn  fiterint  oue  res  qua^ 
vtraqj  vnius  eiufde  fuerit  oimidium  Vtraq^  erit  cqualis  alteri.  C£n 
aliqua  res alicui fupcrponatur  applicerq? ei nec ejrxedat  altera  alte/ 
ram:illefibiinuicem  eruntequales.G/Cmuetotum  eft  maius  fuagte 


1  Xicndu  c(T  aiit  q>  p:ctcr  bas  animi  9ceptiones:fiuc  coes  fcias  mnl/ 
!  tasaliasqucnumcrofunt  inc6p:cbenfibiles  p:ctermifit  £uclides: 
quarfi  bcc  c  v»a  .G5i  oue  quantitates  equalcs  ad  qualibct  tertiaj 
eiufdcm  gencris  comparcntm  fimul  erunt  ambe  illa  tcrtta  aut  eque 
maiojes:aut  cque  minojcsJaut  fimulcqlcs.CBtematia  .Quanta 
cftaliquaqnantitasadqiulibcraliamciufdcmgcneris  tantameffc  qualibctter/ 
tiam ad aliqnam  quartam  ciufdcm gcncris  iu  quantitatibus  contiuuis:  boc  vni/* 
ucrfaltter  verum  cft  fiuc  aurecedentcs  maio:cs  fucrint  confequentibus  fiuc  miuo 
rcs.magnitudo  enim  occrefat  in  infinitum.in  numeris  autem  nou  fir.fed  fi  fuerit 
pjimns  fubmultiplejc  fccundi:crit  quilibet  teriius  eque  fubmulriplejc  alicui9  quar/ 
ti»|uonia  numcrus  crefcit  in  infinitu:ficut  mag  nitudo  in  infinitu  minuitur. 

Ifbzopolitio   .1.    ei><      - 
IrXiangulum  cquiiaterum  fup:a  oatam  lineam  rcctam  col 
locare. 

CEfto  oata linca  rccta.a.b.volo  fupcr ipfam triangulil  equilateru 
coftitucrejfupcr  altcra  cius  cxtremitate.f.in  puncto.a.  ponam  pedc 
circintimmobilcm:?  altcru  pcdem;mobilcm  cxtendam  vfq^  ad.b.  t 
oefcribam  frn  quantitatc  ipfius  lince  oatc  pcr  fecunda  petttione  arculu,.  c.b.d.f. 


rurfus  altcra  eius  cxtremitatc.f.punctii.b.fatia  ccntru:?  pcr  candc  pctitioncm  et 
tm  ciufdem  qtiantitatem  lineabo  circulum.c.a.d.b.qui  ctrculi  interfecabunt  fc  in 
tmobus  puuctis  que  fint.c.d.caltera  ouarum  fcctionii:ficut  fcctionem.d.  cotinua 
bo  cum  ambabns  crtrcmitatibus  oatc  linee  pjotractis  lincis.d.a.d.b.pcr  piima 
pctitioncnr.quia  ergo  a  puncto.a.quod  cft  ccntrum  circuli.c.b.d.pjotracte  funt  li 
nce.a.d.c.a.b. vf  5  5  d  cius  circufcrcntiam  ipfe  cruiu  equslcs  pcr  oifTinitione  cir 
cu!i.5imiliterjquoq5:quia  a  puncto.b.quod  eft  cetrum  circuli.c.a.d.  piotracte  fut 
litice.b.a.-z.a.d.vfqs  ad  cius  circufercntia  ipfc  erunt  ctia^  cquslcs  .quia  crgo  vtra 
q?  ouar  lineaE.a.d.fc^Lequalis  eft  linca.a.b.  vt  piobstu  efcMpfc  erut  equales  in/ 
tcr  fc  pcr  piima  coceptione:ergo  fupefoatam  lincam  collocauimus  triangulu  cqui 
latcrurmquodcftpiopofitum.CSiautcm  fupercandemlincam  libcat  collocare 
reliquas  ouas  triangulo?:  fpecies.fc^  triangulu  ouu  cqualiu  latcru  1  triaiigulil  tri/ 
um  inequaliu  latcrum.^ptrabar  linca.a.b.  in  vtraq3  ffc  vfcpquo  occurret  circufe/ 
rentie  amboy  circuloi;:fuper  ouo  punccs.f.s.b.s  pofito  ccntro  in  puncto.a.  lincc 
rur  circulus.c.b.g.frn  quatitatc  linee.a.b.^teq?  pofiro  centro  in  puncto.b  .iineet 
circulus.c.f.g.fmi  quatitate  linee.b.f.bi  aute  circuli  intcrfccabunt  fe  in  ouob9  pun 
ttis  qui  funt.c.g.£6iunganr  igif  ejttrcmitatcs  oatc  lince  cum  altcra  otcta^  fccrio/ 
num  p  ouas  lincas  rcctas  q  funr.a.g.b.g.tqi  beclince.a.b.c.a  .f.  cxcunt  a  cetro 

circuli.c.d.f.adeiuscircuferentiaipfeeruntcquaIes.Sirrquoq5.a.b.c.b.b.quia 
cyeunt  a  cetro  circuli.c.a.Ub.vfq;  ad  ipfiuscircufercntia  ipfc  crut  equales.  Ouia 
ergo  vtraq;  otiai;  linca^.a.f.cb.b.equalis  e  Ijiee.a.b.ipfc  crunt  iiiter  fe  equales 
crgo pofito.a.b.coi crit.b.f.cqualis  .a.b.fed.b.f.eft cqualis.b.g.qj  ambo  ereunt 
9  ccntro  circuli.c.f.g.ad  cius  circufcrentia.Sitr  quoq^.a.b.eequalis.a.g.t  vtraq; 
ca?  cft  maioi.a.b.co  cp  vtraq;  oua?  lineay.b.f.t.a.b.maioj  cft.a.b.quarefupcr 
oatam  lincam  collocauimus  triangulum  ouojum  cqualium  late£.  Clriangulum 
etia  trium  incqualium  latqz  fuper  cande  linca  collocauim9:»  aliqb  punctii  cr.ifres 
in  circufcrcntia  altcrutrius  ouoj;  maioz;  circuloi;  qb  no  fit  in  altcra  oua^  fectionu 
*  cui  116  obuict.f.b.cu  in  vtralibct  ptem  .ptracta  fucrit  in  cotinuu  1  oircctfi-.coiur» 
yerimus g  ouas lincas rcctas c5  ambabus  ertremiraribus eatc lincc.Sit.n.pun/ 
ctus.k.fign  arus  in  circufcrcntia  circuli.e.f.g.?  116  fit  in  altera  fectionu  nec  occur/ 
rat  ei.f.b.cu  ^ptraberet  in  cotinuu  %  oircctu  vfq;  ad  cius  circufcrcntia.  ;prraba  cr/ 
go  lineas.a.k.f.b.fc.?  fecabit  linea.a.k.circuferentia  circuli.e.  b.g.  fecct  crgo  t  pu 
cto.l.cfitq^.b.fc.cqualis.a.l.qj.b.k.ceqiialis.b.g.c.a.l.cqualis.a.g.quarc.a.fc.e 
maioi.b.k.fedc.b.k.cftmaioz.a.b.triangtiluscrgo.s.b.  fc.eftrrium  incqualium 
latcrum.Sic  igitur  fupcr  oatam  lincam  omncs  triangulo?  fpccies  collocauimus. 
l(b:opofitio    .2. 

*&ato  puncro  cutlibet  lirtce  recte  p:opoftte  equamre/ 

ctam  lineam  ouccre. 

CSit.a.punctus  oat9  t.b.c.linc3  03ta.VoIo  3  pucto.a.  oucereline 
am  vna  equale  lince  .b.c.  tn  quacuq;  ptem  cotingattonitwga  crgo 
punctum.a.cu  altcra  cxtrcmitatc  linee.b.c.cum  qua  volucro.s  con/ 
iungam  ipfum.a.cu  cxtrcmitate  .c.p  lincam.a.c.fup  qua  pftitua  triangulu  eqta/ 
tcrfi  Pm  ooctrina  pcedcntis  qui  fit.a.c.d.i:  in  illa  errrcmitatc  lincc  oataKcum  qua 
coniuntf  punctii  oatu.f.in  ertrcmitatc.c.pona  pede  circini  imobile  1  oefcriba  fup 
tpfum  circulum  frn  quantitatem  ipfius  oate  linee  qui  fit  circul9.e.b.  %  lat9  triaguli 

9    J 


LIBER 


equilateri  qtfopponif  puncto  oatofC5latus.d.c.;pfrabap.ccnt?2rircuU  ocfcripti 
vfcj5  ad  ci°circufercntia:«  fit  tota  linca  fic  .ptracta.d.c.e.fw  cuij  quatitatc  linca/ 
bo  circulu  pofito  centro  in.d.qui  fit  circulus.c.f.c  poftea  .ptraba  latus  .d.a.  vfq5 
ad  circuferentia  buius  vltimi  circuli  *  occurrat  circufercntie  ipfiue  in  puncto.  f  .oi 
co  igif  qna.f.e  equalis.b.c.na.b.cJ.c.e.funt  cquales  q:  ejccunt  a  ccntro  circuli  .e. 
b.ad  cius  circuferenria.Sitr  quoq^.d.f.l.d.c.f  unt  cquales  q:  cjreunt  a  cetro  circu 
li.e.f.ad  circufcreutiam  fed.d.a.i.d.c.funt  equalee  q:  funt  latera  triangnli  cquila 
tcri.crgo  fi.d.a.c.d.c.oemanf  oc.d.c-r.d.f.que  funt  eqles-.ernnt  rcfidna  q  funt  a 
f.s.c.cequalia.q:  ergo  vtraq^  ouay  linea^.a.f.j.c.b.cft  ccmalis.c.cipfe  fut  cqua 
les  intcr  fc:quare  a  puncto.3.p:otr8tfmu8*nca.a.f.cquale'.b.c.  quod  cft  p:opo/ 
fitum.  Ijbiopofitio   .5.  .    ; 

nifsopofitts  Ouabus  Uneis  inequalibus  ©e  longtoji  earum 
bzeuio:!  equalem  abfcindcre. 

GSint  ouelinee.a.b.i.c.d.':  fit.a.b.mino:  volo  ct.c.d.  abfcindcre 
vna  q  fit  equalis  .a.b.ouco  pmo  a  puncto  .c.vna  linea  cquale  .a.b. 
_i  ftn  qt>  oocuit  pcedes  q  fir.c.c.pofito  ergo  centro  in  puncto.c.ocfcri 
bam circulu  fro quantitatcc.e.qui  fecabit linca.c.d.fit ergo  vt  fccet  ea in  puncto 
.eritq5 linea.c.f.equalis  lince.c.c.q: ambo  cxcunt  a centro  ciufde  circuli  ad  circu/ 
fercnriam:t  quiavtraq^  ouarumUneay.a.b.T.fc.cftequalis.c.e.ipfc  funtintcr 
fe  eqnalcs:quod  eft  piopofitum.       Ijbzopofttio    .4- 

Xlfcniu  ouo£  triangulo^  quoy  ouo  latera  vnius  ouob/ 
lateribus  alterius  equalia  fuerumouoq?  angult  eoy  tllis 
equilateribns  contenti  equales  fueriut  alter  altcri-.latera 
quoqj  illoy  reliqua  fe  fe  refpicientia  equalia  ireliqui  Ve/ 
ro  angult  vnius  rcliquis  angulis  alterius  equales  erunti 
actomstriangulustotitrianguloequalis.GSintouotriangulu.b.c.d. 
e.f.fitq^latus.a.b.cqualclateri.d.crlatus.a.c.cqualelatcrt.d.f.^angulus.a.eq 
lis  angulo.d.tunc  oico  cp  bafis.b.c.cft  cqualis  bafi.cf.?  angulus.b.  eqlis  angu/ 
lo.e.3tcanguIu8.c.equa!isangulo.f.q6lpbatur:  fupponam  triangulum  .a.b.c. 
triangulo.d.e.f.itacpangulus.a.cadatfupangulu.d.clatus.a.b.futjlatus.d.c. 
■z  latus.a.c.fug  latus.d.f.t P5  pcr penut.coccptionc  ep  ncc aflguli ncc  latcra fe  fe 
ejccedent  eo  cp  angulus.a.e  eqnalis  angulo.d.s  latcra  ftippofita  bis  quibus  fuper 
ponuncperypotbefim.punctacrgo.b.c.cadcntfupcrpuncta.c.f.fiergolinca.b.c 
cadit  fupcr  linca.cf.parct  p:opofitum:quia  cum  linca.b.c.fuperpofita  lincc.c.f. 
non  cwedat  ca  nec  ejcccdatur  ab  ca  eft  ci  equalis  per  c5uerftoncm  pcnultime  con  / 
ccptionisieadem  ronc  erit  angulus.b.cqualisangulo.cc  angulus.c.  eqlis  anglo 
f.fi  aute  linca.b.c.no  cadit  fiip  linea.cf.  fcd  cadit  inter  triangulu  ficut  linca.  e.g.f 
aut  cjtra  ficut  linea.e.b.f.tunc  oue  linee  recte  condudunr  fupcrficicm:quod  e  con 
travltimampctitioncm.  IfbJOpoiitio    .?. 

■GDnes  trianguli  ouum  equalium  laterum  angulos  qui  fu 
p:a  baftmfuntcqualcs  effcneceffc  ccpfteiusouoequa 
fialatcraoircctep:otrabantur  fientquoqsfub  bafiouo 

anguli  inuiccm  equales. 

GSittriangulus.a.b.c.cuiusIarus.a.b.fitequalcIateri.a.c.eicoq? 

angutas.a.b-.c.e  equalis  angulo.a.cb.q;  fi  .ptrabanf  .a.b.t.a.c.  vfqj  ad.d.  ?.c. 


I 


fietartgulud.d.b.c.cqualisangulo.c.c.b.qtf  ficpjobaf:,ptractie.a.b.«.  a.c.pona 

per  tertiatanea.a.d.equalem  liiice.a.c?  p:otraba  liiieas.cb.d.cc  intclliga  ouos 
triangulos.a.b.e.s.a.cd.quos,pbabo  eecquales?  equilareross  equiangulos. 
Suiueniouolatera.a.b.t.a.e.trignguli.a.b.c.cqualisouobuslareribus.a.ct.a 
d.trianguli.a.cd.?  angulus.a.e  cois  vtricp  crgo  p  p:cmifla  bafis.b.e.cft  equalis 
bafi.cd.cangulus.e.cftequalisangulo.d.tangulus.a.b.e.cqualisangulo.a.c.d 
3tem  intcllige  ouos  triangulcs.d.b.cc.ccb.quos  fimilircr  piobabo  effe  equila 
teros  «  cquiangulos.ncm  ouo  latera.d.b.c.d.ctrianguli.b.d.cfunt  equalia  ouo 
buslatcribus.e.ci.&b.trianguli.e.b.cfangulus.d.eft  equalis  anguto.  ccrgo 
pcrpjemiffam  bafis  bafii-i  rcliqui  ar'guli  rcliquis  angulis  ergo  angulus.d.b.ccft 
equalis  angulo.ccb.i  bc:  cft  fc6m  piopofitum  fc^  q>  anguli  fub  bafi  cqnales  fut 
z  angulus.b.cd.cft  equalis  angulo.e.b.c.fcd  totus.a.b.e.e  cqualis.  a.cd.  vt  p/ 
batum  fuit  fup:a:crgo  angulus.a.b.crcfiduuscft  equalis.angulo.  a.c.b.  refiduo 
quo:um  vtcrqj  eft  fuper  bafim:quod  p:imnm  p:opofitum. 
Ijbjopofitio  .6. 
3f  ouo  anguli  ahcuius  trtanguli  cquales  fueriut  ouoqs  to 
tera  angulos  illos  refpicientia  cqualia  eruttt. 
Cbec  e  couerfa  p:cmiffe  quantu  ad  prima  cius  pte.  Sit  eni  triangn 
Ins.a.b.ccuius ouo  anguli.b.?.cfunt cqualcs.oico  cp  latus.a  .b.e 
cqualis  latcri.a.c.Si  cni  116  funt  equalcs  erit  altc^  altcro  maius:fit/ 
qj.a.b.maius  quod  refecetur  adcquatitatc.a.cpcr  tcrtiam  pwpofitioncm.vt  fu/ 
pei  rluum  fit  a  partc.a.i  refe  cctur  in  puncto.d.fitq5  .b.d  .cqualis.9:c  1  oucat  li/ 
nea.d.c3ntcltigoergoouostri9ngulo3.a.b.c?.d.b.c.quosp:obabo  effecqni/ 
btcrcs «cquiangulcs:funtcnim ouo litcra.d.b.c b.  c  trtanguli. d. b.ccqualia 
ouobus  latciibus.a.ci  .b.ctriaugnli.a.b.c^  angulus.b.cquatis  angulo.c  .totali 
per  vpotlxfim  ergo  bafis.d.ce  equalis  bafi.b.a.?  angulus.d.cb.cqualis  angulo 
a.cb.pars  vidclicct  toti  quod  eft  impoffibilc 

1fc»:opofitio  .?. 
%  aouobuspunctts  aliqna  hnea  terminantibusoueli/ 
mc  ad  punctu  vnum  cocurrentes  erierint  ab  eildem  pun/ 
ctisalias  lineas  fingulas  liuo  conterminalibus  equalcs 
!  que  ad  aliu  concurrant  in  eandem  parte  Ouct  e  ipol  libile. 
Msitlinca.a.b.acuiusejtrcmitatibDs.ptrabant  ouc  lince  inpar/ 
tcm  vnam  que  ccncurrant  in  eodem  puncto  vt  f  mt  .a.ci.b.c.  quc  cocurrant  i  pun 
cto.c  oico  cp  in  eandcm  partem  non  p:otrabentur alic  ouc ab  cifdcm  ejtrcmita/ 
ribusqreconcuuantadaliud  punctumatacpillaquc  cgrcdictur  a  puncto.  a.fit 
equalis lincc.a. ct  quc cgredictur a  puncto.b.fit  cqualis  lincc.b  c.  Qoci  (i fuerit 
poffibitc  p:otra  bantur  alic  oue  iinee  in  eandem  partcm  que  concurranr  in  puncto 
d.«fittine3.a.d.cqualislinec.a.c«linca.b.d.  cqualis.  b.c  antcrgopunctiis.d. 
cadet  intra  rriarrgulum  aut  ejctra  :uam  in  altera  latcrum.a.  ci.b.cuou  cadet  quia 
tunc pars effet  cc,  lalis  fuo  toti.Si autem cadat cctra  aut  altcra  linearum.a  .d.et 
b.d.fccabit altcram  lincatum .a.ct.b.caut ucutra  ncutram.s  fccet p:imo  altcra 
altcranupiotrabattirtiiica.cd.qtiiacrgotmngir.i.a.c.d.ouolatcra.a.cr.a.d. 
funt  equalia.erit  angulus.g.cd.cqlis  gngulo.a.d.cpcr  quintam.  Similiter  quia 
iu  triangulo.b.cd.onolatcra.b.ci.b.d.funt  cqualia  eriit  anguli.b.cd.c.b.d.c 

a   4 


LIBER 


Similiter  eqnales  per  candem:f  quia  angulus.b.d.ccft  maiojangulo.a.d.  cfc/ 
quitur gngulum.b.cd.cfle maio:em  anguloia.cd.parrem fcj  toto  quod  eli  im/ 
polTibile.Si aure.d.cadit  ejctra  triangulum.a.b.cira  q> lince non  fc  feccnt  p:otra 
bam  lincam.d.c«  pwducam.b.d.c.b.cfub  bafi  vfq^  ad.f.i  ad.e.s  quia  lince.a. 
d.f.a.cfunt  equalcs: crunt  anguli.a.cd.s.a.d.cequalcs  pcr quinta.  Similiter 
quia:b.c.i.b.d.  fuut  cqualcs.erunt  anguli  fub  bafi  qui  funt.cd.f.s.d.cc.equales 
per  fccundam  parte  ciufdeimquia  ergo  angulus.e.cd.  mino:  e  angulo.  a.c.d  .fe/ 
quitur  angulum.f.d.ccflemino:e  angulo.a.d.cquod  cft  impoffibile:?  codc"  mo/ 
do  ocducetur  aducrfarius  ad  tnconueniens:fi.d.punctus  c?dat  intra  triangulum 
a.b.c.«.  • 

1(b:opofitio    .8- 
Zlfbmam  Onoytriauguloy  quojumOuoIateraVm^ouo/ 
bus  latcribus  alterius  fuerint  equalia:  bafifqj  vnius  bali 
alterius  equaUs:onos  angulos  equis  lateribuscontetos 
equales  efle  necelle  cfh 

GSint  ouo  trianguli.a.b.c.d.c.f.fitcij.a.cequalis.d.f.c.b.e.  equa 
lis:e.f.?.a.b.cqualis.d.e.oico  cp  angulus.c.e  cqualis  angulo.f.c  angulus.a  .an/ 
gulo.d.c  angulus.b.angulo.e.fuperponam  bafim.a.b.bafi.  d.e.  quc  cu  fint  equa 
les  ncutra  excedct  altcra  pcr  penultima  conccptioncaut  crgo  punctus.c.cadct  fu/ 
pcr  punctum.f.aut  non.Si  fic.tunc  quia  angulus.c.fuperpofitus  crit  angulo.f.ct 
ncutcr  eo:um  cxcedit  alterum:ipfi  funt  equalcs  pcr  couucrfioncm  conccptionis  p/ 
dicte.Similitcr  arguc  rdiquos  angulos  cffc  cqualcs.Si  autem  punctus.c.non  ca/ 
dit  fnpcr.f.fcd  fuperquemlibet  alium  qui  fit  punctus.g.quia.c.g.cft  equalis.b.c. 
immo  eadcm:itcmq5.d.  g.cqualis.a.cerit.e.g.cqualis.e.f.t.d.g.equalis.  d.  f.qo' 
eft  im  poffibilc  pcr  p:eccdentcm. 

Ijbzopofitio  .9. 
3(mtn  anguluir;  per  equalia  lccare. 
GSit  oatus  angulus  qucm  opo:tct  oiuidcre:9nguIus.  9.b.c.  liners 
ipfum  contincnrcs  quc  funt.ab.f.b.cponam  equalcs  per  tcrtiam 
z  p:oducam  lincam.a.c.fupcr  quam  conltituam  triangulum  equila/ 
terum.a.d.c.c  p:otrabam  lineam.b.d.oico  cp  ipfa  oiuidit  oatu  an/ 
gutinn  pcr  cqualia.3ntelligo  ouos  triangulos.a.b.d.c.cb.d.c  quia  0110  latcra.a 
b.f.b.d.trianguli.a.b.d.funt  cqu^lia  ouobus  lateribus.cb.s.b.d.trianguli.cb. 
d.«  bafi8.9.d.bafi.c.d.crgo  pcr  p:ecedcntem  angulus.a.b.d.e  equalis  angulo.c 
b.d.quod  cft  p:opefitum  facere. 

l^JOpofittO  .10. 
iRopofita  recta  linea  cam  per  equalia  oiuidere. 
GSir  p:opofit9  linca  qua  opo:tct  ciuidcre  pcr  cqualia.linca.a.  b.fu 
pcr  ipfam  conftituam  triaugulum  equilaterum.a.b.c?  angulum.c 
ciuido  pcr  equalia  Pm  ooctrinam  p:eccdentis  pcr  lincam.c  d.oico 
qplinca.cd.oiuiditoatamlincam.9.b.percquali9.3ntelligocnim 
cuos  triangulos.9.cd.«.b.cd..«  9rguo  fic  ouo  latera.a.c^.cd.trignguli,  a.cd. 
funtequaliaouobuslateribus.b.cc.cd.trianguIi.b.cd.Tangulus.cvniusan/ 
gulo.calrerius  ergo  per  quartam  bafis.a.d.bau.d.b.quod  eft  pwpofitum. 


2Ua  Unea  rccta  a  pnncto  in  ea  fignat  o  ppcdiculare  ejrtra  / 
bere  t»uob9  quidc  angulis  cqltb^  ac  rectis  Vtriq^  fubnijca 

GSit oata  liuea.a.b.m  qua  fit  oat9  piicf.c.a quo  opoitj  ppcdicu/ 
larc  ejctraberc.facia  g  p,  tcrtia  linca.b.c.cqle  lince.a.ci  fog  tota.a.b 
pftitno  triangtin  cqlatC2,a.b.d.i(ptrauo  linca.c.d.oe  q  oico  g>  ipa 
egpendlcularis  fug  tinea.a.b.^ntdligo  ouos  triangtbs.a.c.  d.c  .b.c.  d.v  q:  ouo 
latera.a.c.?.c.d.trian3uli.a,.c.d.futeqliaouob9  latenb^.c.b.cc.d.trianguli.c.b. 
d.«bafis.a.d.bafi.b.d.cnt  p.s.angulus.s.c.d.cqlissngiib.b.cd.circVtcrqsco 
ru  crit  rcct9  p  oione  anguli  rccri:-r  lir^a.c.b.ppcndiculari3  fup,  linea.a.b.p  oiffuti 
tionelinccppendicularisqoe^ppofitij.        "ilbJOpofttio    .12. 

|  Ijbuncto  ertra  fignato  ad  oatam  lineam  tndefinite  quan/ 

j  titatisperpendicularem  0educere.GSir.a.punctusfignatu3 

qctralineam:b.c.3  quo  ad  ipfa  opouct  ocducerc  ppcudiculare:p:o/ 

j  bam  crgo  linea.b.c.in  vrraq^  partc  quantu  Ubocrit.t  fup  punctii.a. 

SjOcfcriba  circulu.b.cfic  vr  fccct  linea  oata  m  punctis.bc  c  ^ptrabaj 

lineae.a.bw.a.cc oiuida  augulii.b.s.c  p,  cqlia  g  Iinca.a.d.p.9.  oico  cp.a.  d.cft 
ppcndicularisfuplinca.b.c.3ntclligoou08triangulos.a.b.  d.i.a.c.d.iqiouo 
latera.3.b.c.a.d.triangiili.3.b.d.futeqIiaouob9l3teribus.3.  c.t.  a:d.  trianguli 
a.cd.c  angulus.a.  vni9  cqlis  angulo.a.altcrius:crtt  £.4  -  bafis.  b.d.  cqualis  bafi 
d.c.tangulus.a.d.b.cqualisaiigulo.d^e.qrcvtcrq^eoyrcctusilincs.a.d.p/  « 
pcndicularis  fnpcr  linca.b.cp  oiffwitione  anguli  recti  1  linec  pcrpendicularis:qd 
cftp:opofitum.  I^Jopoiitio    .13. 

■Olbnis  rccte  linee  fuper  rectam  lincam  frantis  ouo  vtro/ 

biq^  anguli  aut  funt  rccti  aut  Ouob"  rcctis  Cqles.G  Sit  vt  li 

nc3.3.b.fupftct  lincccd.q  fi  fucrit  fup  ca  ppedia%ris  fsciet  ouos 

|  angfos  rcctos  p  couerfione  oionis.fi  aiit  no  fucrit  fpg  ca  ;ppedicula 

!(ri3  a  piicto.b.oucaf.b.e.ppendicularis  fup_.  c.d.p.i  i.crutq^  ouo  ait 

Sott.cb.c.T.e.b.d.rccti  g  coucrfionc  oifnnitioisrqj  crgo  0110  anguli.d.b.a.  f.a.b 
t.adequant  anguto.d.b.cipfe  cii  anguto.cb.c  crunt  eqtes  ouobus  rcctisi  quare 
tres  angutiqm  funt.d.b.a.a.b.c.-j.cb.e.fut  cqles  ouobus  rcctis:  fcd  angul9.cb. 
fl.eeqli8  0uob93ngut'.cb.CT.c.b.a.crgoouoagnti.c.b.a.?.a.b.d.futcq!csouo 
b9 rcctis.qo e ^pofitu ■£.%■  quo  p,  cp  totti  fpaciu  qo  in  qual.bct fugficic  f  lana  pun 
ttuq6lib5Circ5ftatqtuonectisangut'eccqlc    ilbJOpOUtio    .14. 

"Hl  %  tme  linec  a  pucto  vni^  Itncc  i  oiuerfas  pt  cs  ejrierit  Ou  / 
olqjcircafeangulosrectosaut  ouob^rectis  eqlesfece/ 
rint:tlle  oue  linee  libi  oirecte  coniuncte  funt  1  linea  vna. 
G  Stt  vt  a  piicto.b.Uneca.b.ereat  oue  lincc  i  oppofitaf  ptes  q  fint 
Jb.cs.b.d.sfaciutouosangfosquifut.cb.a.s.d.b.a.  eqlesouob9 
rcctis:t5c  oico  cp  oue  lineccb.?.d.  b.fut  fibiiuice  oirecte  piiicte  1  linea  Vna  1  bec 
e  qft  puerfa  poji8:q>  fi  no  fucrit  linca  vna  tuc  ,prrabaf  .c.b.in  cotinuu  1  oircctu  q 
qj  no  e  linea  vna  cu.d.b.trafibit  fup  eS  vt.b.e.aut  ifra  ca  vt.b.f.qj  crgo  fug  linca 
recta  q  ccb.e.cadit  linea.a.b.crut  anguli.cb.3.c.e.b.a.  cqles  onob9  rcctis  pcr 
pcedente  «qi  oes  rccti  fiit  adiuice  eqles  p.J.pctitione  aguli  quoqj.cb.a.^.d.b.a 
fut  eqles  ouob9  angufrectis  p  fpotbefim  erut  ouo  aguli.cb.a.s.cb.a.  eqlcs  ooo 
bu8agult3.c.b.a.7.d.b.9.Soeptoc6iangt'o.cb.a.eritangl's.e.b.a.eqIisangt'o 

a* 


c  b 


LIBER 


d.b.a.ps toti:q6 eft  impo(Tibi"e:fit'r linca.cb.,ptract3  .pbabis  angulu.  d.b.a.ce 
eqnalcm  angulo.f.b.a.ft  fonc  oiccret  aducrfarius  lincam.cb.  p:orractam  cadere 
infm.b.d.  IJbJOpofttio    .if. 

IJZJDninm  buaE  lineay  fe  inuice  fecatiu:oesanguli  contra 
fe  poftti  fut  eqles:vncfe  manifeftu  eft  op  cu  oue  linee  recte 
fe  muice  fecat  qtuo:  qui  fiutanglbs  qtuoj  rectis  ee  eqles 
GSint  oue  lince.a.b.ccd.fcinuicc  fecatcs  i  pucto.e.oico  cp  angls 
d.c.b.ceqttsangfo.a.c.czansu^.b.c.c.ceqlisangulo.a.e.d.crut 
eni  p.i  3-ouo  anguli.a.ccz.ccb.cqualcs  r^iob9  rectis:itcq5  ouo  anguli.c  .e.b.« 
d.e.b.equatcs  ouobtis  rcctis  p  cande  :quarc  ouo  pmi  fut  eqles  ouob9  poftrcmis 
eo  cp  ocs rccti fut admuicc eqles p.4.petitione  :oepto ergo  coi  angulo  q*  c.  c.c.b. 
crit  angulus.a.cccqlis  angu!o.d.c.b.£odc  mo  .pbabit  angulu.c.  e.b.  cc  eqlcm 
Bngulo.a.e.d.qblefr.ppofitu.        1(b20pofltto    .\6. 

1 5  quotlibet  latey  trianguli  otrccte  .ptrabat  faciet  angu  / 
|lu  ejctrinfecu  vtroq?  angulo  trianguli  libi  intrinfecus  op/ 
pofito  maioje.GSit  vt  trianguli.a.b.c.tatus.a.b.  ,ptrabaf  vfqj 
ad.d.oico  gp  angulus.d.b.cmaio:  e  vtroqj  ouor  angulo^  intrinfe 
coyfibioppofito^quifunt.b.a.c.cb.c.a.oiuidacnip^io.linedcb 
P  cqualia  in  puncto.e.c  ^ptraba.a.e.  vfq^  ad.f.ita  vt.e.f  .f  iat  cqualis.a.c?  ^tra/ 
bam  linea.f.b.intclligo  ouos  triangulos.c.ca.f.b.e.f.cq:  ono  latcra.a.c  ccc 
trianguli.a.e.cfutcqualia  ouobus  latcrib^.f.c.ce.b.trianguli.f.c.b.t  angulus 
c  vuius  e  eqlis  angnto.e.alteri9  p  pjcmiffaircq:  fur  anguli  ppofiti:crit  p.4.angu/ 
tos.e.ca.eqlisangulo.e.b.f.ctoangul^.cb.d.maiojeritangulo.b.ca.  Stmili/ 
ter  quoq^  .pbabit  cp  eft  maiot  angulo  .c.a.b.nam  oiuida.a.b.pcr  cqlia  in  puucto 
g.pcr.io.ipwtrabalinca.g.b.cqualelinccc.g.B.j.poltca^ptraba.b.b.k.  erutqs 
onojztriangutoyquifut.a.g.ccbig.b.ouolatera.a.g.cg.cpjimi  cqliaouob9 
"atcribus.b.g.?.b.b.fcbi:i  angutus.g.vnius  augulo.g.  alteri9  per.  i  f  .crgo  pcr.4. 
anguius.b.c.a.e  cqualis  augulo.g.b.b.quare  p.  1  $  .1  angtilo.k.*b.d.  %  q:  angulus 
c.b.d.e  maio:  angulo.k.b.d.crit  etiam  maio:  angulo.b;3.cquod  eft  p:opofitunt 

Ijbzopofitio    .ir. 

jlXlCS  nis  triaguli  Cno  qlibet  aguli  Ouob9  rectis  fu  t  mto:es 

I  GSit  triangnlus.a.b.c.oico  q>  ouo  quitib^ci^anguli  ouob°rcctis 

funt  mino:es.(ptrabat  eni  vnit  latus  eius  vt.b.cvfq^  ad.d.erttqj  p 

pcedcnte  angulus.cextrinfecus  maioj.a.c  maioj.b.fcd.c.cxtrinfec9 

cnm.cintrinfeco  eequalis  ouobus  rectistg.i  j.crgo  angnli.b.cc.m/ 


trinfeci  fiue  anguli.a.i.cintrinfcci  fut  mino:es  ouob9  rectis:filr  ft  .ptrabaf  larus 

b.a.piobabitur  <j>  ouo  anguli.a.cb.funt  mino:cs  onobus  rectis  quod  eft  p:opo 

fitnm;  ^JOpolitio    .is. 

[jXlknfs  triangulilonginatusmaiouangulo  oppolitue; 
hGSit  vt  i  triangtb.a.b.c.sngfs.a.fit  maiot  angto.coko  g»  lat^.c 
j  b.maio:  crit  latcre.a.b.fi  cni  fit  eqle  ctir  p.j.angfs.a.ecilts  angto.c 
I  q6epfpotbcfim:fiaut.a.b.fitmai9rcfccef  adeqlttatccb.p.J.fit/ 
Jq^.d.b.eqle.cb.critergop.j.angnlns.d.c.b.eqlt8angulo,b.d.c.fed 

b.d.c.eltmato:angnlo.b.a.cp.itf.ergo.b.c.d.cmaioi.b.a.cqrcmultofo:ti9ma 

toj.i.cb.ps  toto:q6cipolTibJlc    •^bzopolitio    .19. 


QDnistriangulimaioJtanguto  longi^latus  oppolitue. 
G5it  vt  in  triangnlo.a.b.c.latus.b.c.fit  maius  latcrc.  a.  b.oico  cp 
angulus.a.erit  maio:  angtb.cz  c  pucrfa  pccdctis:  fi  eni  fit  cqualis 
tunc  p.<s.lat9.a.b.c  eqiialc  Uteri.b.cq6  c  p  ypotbcfim.fi  autem.cfit 

jJ  "aioi  tunc  pcr  pcedcnte  latus.a.b.cft  maius  latere.b.c  q6  eft  ptra 

yporbeiim quirc aftruif piopofitu.    "Ijbjopofttio    .20. 

^  flfbnis  trianguli  t>uo  quelibj  latera  limul  inncta  rcliqno 

luntlongtoja.GSit.rriangulus.a.b.coicoo.JOuolatera.a.b.s 

,i  a.cfnnt  longio:a  lates.b.cp:otrabarur  linea.b.a.vfq^  ad.d.ita  vt 

a.d.fitcqualis.a.c  cp:otrabatur.cd.perqnintamcrit  angulus.a. 

llcd.equalis  angulo.d.qre  angulus.b.  cd.e  maioj  angnlo  .d.  crgo  p_ 

iS.Iatus.b.d.eftmaiuslatere.b.cfcd.b.d.efteqnale.a.b.t.a.cquarc.b.a.t.a.c 
fimuliuncta!funtmaio:a.b.c  IfbJOpofitiO    .21. 

il  3J  t»e  ouobus  punctte  tcrminaltbus  vnius  [atcris  triagu'i 
J  ouelince  cxeuntcsintratrianguluipfumad  punctuvuu? 
■  conucniant  eedctn  Ouabus  quide  reliquis  trianguli  Imeis 
b jcuiojcs  crunt  1  maiojcm  angulum  continebunt. 
— liGSit  vt  in  triangulo.a.b.cab  extrctniratibus  lateris.  b.c  .concur  / 
rant  ouc  lince.b.d.f.cd.ad  puuctum  d.intra  trianguki.a.b.c  oico  cp  ipfe  fimul 
iunctclfunt b:euio:es ouabus lincis.a.b.T.a.cfimul iunctis  1  q>  angulus.  d.emtu 
iiojanguIo.afpTottabamcni.b.d.vfq^quofecetlatue.a.cinpuncto.e.cruntcpB^,,!'  M"> \'yt*"f' 
ao.b.a.T.a.e.ffmul mncte maiOKS.b.e.crgo^b.a.^.a.c. funt maio:es. b.t.i x.c'    w«a*>*-«Wi' 
atvero.d.c.c.c.cfimuliuuctepereandcmfutmaiOKs.d.cquarc.b.e.^.c.cfiit 
maio^es.b.d.^.d.ccquia.b.a.t.a.cfuntmaioKs.b.c.i.e.cvtpwbatum  ep:i 
nsrcmnr  multo  fo:tins  tnaiojcs.b.d.c.d.cqo  clt  p:imum  p:opofitum.Sr  qm  an 
gulus.b.d.ccft  maio:  angulo.d.c.cper.ics.s  angnlus.d.c.ce  maio:  angulo.e.a. 
b.per  eandem  erit  augnlns.b.d.cmulto  fo:tius  maio:  angulo  .b.a.cquod  eft  fe/ 
curtdumpjopofitum.  IJbJopofttio    .22. 

plfAopolttis  tribus  linets  rectis  quarui  Pue  quelibet  fttnul 
Uuncte  reliquaftnt  logiojes,oe  trib9  altjs  lincis  ftbi  equa/ 
•  libus  trtangulum  confTinterc. 
§3?®$  jGSint  tres  lince  rccte  p:opofirc.a.b.c?  fiut  quclibct  one  fimnl  iun 
.  ■SfefaJ»]  cte  longio:cs  rcliqua  :aliter  enim  c*  i'li3  tribus  cqualibus  triangulus 
noit  poffet  conftttut  pcr.20.cum  crgo  cx  lllis  tribus  p:cdictis  volo  conftitucre  tri/ 
angu!um:fummo  lineam  rectam  que  fit.d.c.cui  non  pono  a  ptc.c.  octcrminatum 
finein:oequauiinop.5.d.f.cqnaIcm.a.c.f.g.cqua(cm.b.c.g.b.cqua!em.cfacto/ 
q>  puncto.f.ccntro  oefcribo  ftn  quantitatcnt  iiucc.f.d.circuliim.d.k.itcmq$  facto 
g.ccntro  eefctibo  frn  quantitate  linec.g.b.circulum.k.b.qui  circult  intcrfecabut  fe 
tn  ouobus  ptinctis  qnojum  vnum  ftt.k.atioquin  fequcrcf  vna  oictazi  lincaru  effc 
equalcm  alijs  ouabus  iimctis  aat  maio:cm  eis:  q6  eft  contrarium  poni:  ouco  er/ 
go  lincam.k.f.t.k.g.critq^triangulus.k  f.g.conftitutusexrnbuslincis  cquali/ 
btis  lincis.a.b.c.oatisifunt  enim.f.d.c.f.k.cquales  qm  funt  a  ccntro  ad  circum/ 
fcrcnriam  quare.f.k.eft  cqualis.a.fimiliterq5.g.b.?.g.k.funt  cqualcs  :quta  ejceut 
a  centro  ad  circumfcrcnriam:quare.g.k.eft  eqnalis.cz  qnia.g.f.fumpta  futt  eqna 
lis.b.pj^ppofitamanifcfte.  IfbJOpofitio    .23. 


mf 


/1  muiumftti 


LIBER 

l&rarcctalineafup  terminuCius  cuilibet  angulo  ,ppoli/ 
to  cquii  angnlu  Oeiignarc.G  5tt  oata  lrne3.f.cque  e  i  fupio:i 
f  gura:t  fint  linecb.a.ptineiJtes  sngulii  oatii  cui  fubtcnda  bafim.c 
fup.  pnctu.f.lmee.cf.iubcrc  facere  cquale  agulii  agulo  cato  ad  linca 
^cXadiungo.f.d.cquBle  lincc.a.i  oc.f.cfumo.f.g.equalcb.?  qc.g.e 
fummo.g.b.cqualcc?  fuper  puncra.f.t.g.oefcribo  ouos  circutos.d.k.ck.b.t?m 
quatitatc  euaiz  lineay.f.d.i.g.b.s  mterfccautcs  fe  in  puncto.k.ftcut  oocnit  p:e/ 
cedensouctifq^lmcis.k.f.c.k.g.cruntequaUaouolatera.k.i.c.f.g.trianguli.k.f 
g.ouobus  larcribus.a.cb.trisnguli.s.b.c.^bafts.g.k.cqualis  bafi.c.crgo  p  octa 
uam  angulus.k.f.s.equalts  crit  angulo  contcnto  3b.3.ca.b.quodeft  p:opofttu. 

Ifojopofttio   .14- 


css2H^!.£]fcniu  ouoz  triangulojz  quo?  ouo  (atcra  vmus  Ouob* 
1^^^  latcrib9altcn9fiierintcqlia:fifueritan5uloJum  fub  tllis 

i  ($s8§a  ikauie  latcribus  cotcntor  altcr  altcro  itiato:  bafts  quoqj 


■equis  lateribus  cotcntoy  alter  altero  matoJ  baits  quoq? 

J,C; 

f.s 

vnuqoqj  fuo  co::clatiuo  octfru  fc,  oci:tro:finiftruq5  finiftrotfitqj  angulus.a.  ma 
io:  angulo.d.oato:oico  g>  bafis.b.c.maio:  erit  bafi.e.f.facia  cni  myta  oortrinarr» 
pcedcntis.cd.g.cqualc  angulo.a.critq^  augulus.cd.f.ps  eius  z  pona.d.g  ,eqle 
a.c.i  .ptraba.c.g.q  aut  tranfibit  fup:a.cf.  vt  fccet  linea.d.f.aut  fup.c  f.vt  fit  fe/ 
cu  linca  vna:aut  infra.Irsnfcat  ergo  pmo  fup:3 1  q:.3.b.ca.c.l3tcr3  trisnguli.a 
b.c.ftit  cqlia.c.d.cd.g.lstcribus  trianguli.cd.g.c  angulus.  a.  angulo.  d.totali: 
crit p.s.bafts.b.c.eqlis  bafue.g.at  vcr0  q:.d.g.cd.f.funt  cqlcs.na  vtraqj  e  eq/ 
!is.a.c.evitp.5.aijgulus.d.f.g.equal'angro.d.g.f.circ.d.f.g.maio:crit.f.g.c.s-.c 
f.g.multofo:ti9  maio:  e  eodc.f.g.e.gp.i8.latus.c.g:maius  e  I3tere.cf.qre  cb.c 
n!3io:  ccf.qo'  e  ^ppofitu.Si  Vero.e.g.trafcat  fup.e.f.t  fit  fccu  linc3  vna  tunc.cf 
crit  ps.cg.p  vltima  crgo  pccptione  p3  .ppofitu.fi  vcro.cg.trafesJ  ifra.cf.^ptra 
banf  ouc  linecd.f.f.d.g.q  fiit  eqlcs  vt  ^batu  e  vfqj  sd.k.c  ad.b.ficntqj  g  fc03$ 
Etequitifubbafi.f.g.anguU.k.f.g.cf.g.b.cqlcsquarcagul9.c.f.g.maio:eritan 
gnlo.f.g.c.crgop.i8.l3t9.c.g.m3t9clatcrcc.f.qrcb.c.in3iojc.cf.q6efl:^pofi/ 
tum.^ftud  vltimu  mcb:u  poffct ctia  probari  p.zi.p ipfa cni crut  i  oifpone tcrtia 
eue  linccd.g.^.cg.maio^es  ouabus  Itncis.d.f.i.f.c.c  q::d.g.e  equalis.d  .f.p:o 
pter  boc  cp  ambc  funt  eqles.a.c.crit.g.c.nJ3io:.e.  f.qrc  s.b.c.maio:  q6  cft  p:opo 
fitum:mcliu8tamceftoemonftrarep:io:imcdovtin  omni  oifpofttione  arguac 
pcrquintam.  IJbJOpofttio   a.%* 

-QDniu  Ouor  triangulo?  qucjr  ©uo  latcra  vnr  ouob^  la 
tenb9  altcri?  fuerint  eqlia-.baiis  vcro  vui?  bali  alteri?  fuc 
rit  maioi  erit  quoqjangul9  tnanguli  maio:is  illis  equis 
lateribus  cotentus  angulo  alterius  fe  refpiciente  mato:. 
jCStiJtDuotriagtt.a.b.c.d.cf.fintq^ouolatcra.a.b.ca.c.pmieq 


lia  cuob9  larerib9.d.c  c.d.f.fcci  vnQq6q5  fuo  co::clatio:fitq5  bafis.b.c.mato:  ba 
fi.c.f.oico  cp  angt's.a.maio:erit  angfo.d.bcc  c  pucrk  pccdetis.£qlis  quide  non 
crit:fic  eni  ect  p.4.b3fi8.b.c.cqli8  b3fi.cf.q6  cft  p  ypoibcftm:fcd  ncc  mino:  q:  fic 
effet.d.maio::?  ira  p  pcedcnte  bsfis.cf.crit  msio:  b3fi.b.c.q6  e  prifj  .ppofittoni 
qre  maio:  erit  ficqj  ^pofitu  altraif .    1{b:opofitio    -2tf. 


I 

■Qfcnium  ouo?  trianguloy  quof  ouo  anguli  Vnius  ouo/ 
busangulisalteriustvtcrq^fe  refpicienttequales  fuc/ 
rint  latus  quoq?  vnius  lateri  alterius  equalefueritqj  lat* 
tllud  ititcr  ouos  angulos  cqlcs  aut  vni  co^  oppolitu  erut 
Jquoq>ouovniusrcliqua  lateraouob^reliquis  altcrius 
tnanguli  laterib^  vnuqoqs  fe  rcfpicienti  equalia:  angulufq^reliquus 
vniusangulo  reliquo  alcertus  cqualis.  CSmt  ouo  rrianguii.a.b.c.d.e.f. 
firqsangulus.b.cqualisangulo.c.taiigulus.c.cqlisangulo.f.fitqjlatus.b.c.cqlc 
latcri.e.f.aut  altcy  ouoy  latcy.a.b.?.a.c.equ3lc  altcri  ouo?2  latc?.  d.c.c.d.  f.ita 
q>.a.b.fit  eqiialc.d.e.ant.a.c.d.f.oito cp  reliqua  ouo  latcra  vmus  erunt  equalia: 
reliquts  ouobus  latcrib9  alteri9 1  rcliqu"  angulus  rcliquo  angulo  cqualis:angulus 
vidclicct.a.angulo.d.^ona  crgo  pmo  vt  latus.b.c.fup,  q6  iaccut  anguli.b.c.fit  cq 
Ic  lateri.c.f.fuE>  qrj  iacet  anguluc.f.qui  pofiti  fut  cqlcs  angnlis.b.c.tuc  oico  cp  la/ 
tus.a.b.eeqlcIatcri.d.e.-ilatus.a.c.lateri.d.f.tangulus.a.anguIo.d.Sicnila/ 
tus.a.b.no  fit  cqualc  latcri.d.c.altcy  crit  maius:fit  crgo  nnius.  d.e.  qo  refccabo 
adequalitate.a.b.fitqj.g.e.cqualc.a.b.tpioducalinca.g.f.cntq^p.^.angulus.j 
f.e.cqua!i8anguIo.a.c.b.quarc  ?  angulo.d.f.e.ps  toti  qb  efr  impoffibilc:crit  crgo 
d.e.equaIe.a.b.crgop.4.d.f.eqna!c.a.c.'zangulus.d.eqlisanguIo.a.q6cpmuin 
meb:u  omifiois  .ppoftrc.Siut  rurfus  vt  p:i9,ouo  anguli  b.?.c.eqles  ouobus  an/ 
gnlis.c.c.f.fttq^latus.a.b.qo  opponitur  angulo.c.eqle  lateri.d.  c.qbopponitur 
angulo.f.cuipofitusccqlisaugulus.c.okocplatus.b.c.eriteqlelatcri.e.f.tlat9 
a.c.lateri.d.f.iangulus.a.angulo.d.ficnilatus.e.f.nonfueritequalel9teri.b.c. 
erit  alte?m9ius:fiiergo.c.f.maius:ponat  itaq5.c.g.cq'Ie.b.c.c  p:oducam  linea 
d.g.  eritq^  p.4.anguliis.d.g.e.cqualis  angulo.a.c.b.quarc  t  angulo.d.f.e.  cxtriu 
fccus  vidcliccc  intrinfeco  qr3  c  impofl'ibi!c:p.  itf.crit  crgo.c.f.cqualc.b.c.  crgo  p.4. 
lat9.d.f  .cqlc latcri.a.c.f angulus.d.totalis  angulo.a.qb  e fcom  rncmb^z  oiuifio/ 
nfe;ppofite:quaretotumauifcftcp5.    l|b:opofitio    .27. 

ii3f  rectalincafupcr  ouas  liucas  rcctasceciderit  Onofq^ 
!  angulos  coaltcrnos  ubiinuicem  equalcs  fecerit  ille  oue 
■  lineecruntcquidiftantcs. 
CSit  Vt  iinca.a.b.cadat  fuper  ouas  lincas.c.d.i.c.f.c  faet  linca; 

liC-d-inpuncto.g.Tlinca.e.f.inpiincto.b.fitq^angnlus.d.g.b.equa 

lis  angulo.c.b.g.otco  q>  lincc.c.d.t.c.f.funt  cquidiflantes.Si  eni  116  concurrant 
aut  ad  pte.ce.fup_  punctu.k.  aut  a  pte.d.f.fup  punctu.U  qualircrcuq^  fucrit  acci 
dct  impoffibile  p.  is.viddicet  angulfj  ejitrinfccu  ce  cquale  inrrinfccoma  vn9  oicto/ 
ru  anguloy  coaltcrnoij  qui  pofiii  fuut  ecjles  crit  ertrinfccus  1  rcliqu9  intrinfcc9  qi 
igif  ipoffibilc  c  cas  cocurrcre  i  altcrutra  ptc  ptractas  ipfc  o  oiffiuirione  cmt  equi/ 
diftanres:quod  eft  pwpofitnm.        Ifbiopolitio    .26. 

]3iinearecta0uabu8lincis  rcctis  fuperuenerit  faerirq^ 
angulus  eius  tnmnfecus  angulo  ejetrmfeco  fibi  oppofito 
eqnalis  aut  Ouo  anguli  tntrinfect  ej;  vna  pte  ouobus  angu 
hs  rectis  cquales  ille  oue  linec  cquidiftantcs  crunt. 

jCSit  vt  linca.a.b.fccet  ouaslineas.c.d.^.e-f.iit  puncto  .g.s  .b.fit 

<J5  angulus.g.ejctrinfecus  cqlisangulo.b.intrinfccocjceadcm  partefumpto:aut 
euoanguli.g.i.b.intrinfccteycadempartcfijmptifint  equalcs  ouobus  angulis 


i      t  b 


LIBER 


•  f 


1 


rcctistoico  cp  ouc  lincc.c.d  .c.cf.funt  cqnidiftantes.Sit  ergo  pmo  angulus.d.g 
B.cqlisangnlo.f.b.g.critqjpcr.ij.angulus.c.g.b.cqualiscidcangulo.f.b.g.qre 
pcrpmiffamfd.i.c.f.funtcquidirtantcs.SintrurfusOiioanguli.d.g.b.^.f.b.g. 
equalcs  ouobus  rectis:?  q:  p.r.  i  j.ouo  gnguli.d.g.b.t.c.g.b.funt  fiVr  cqles  ouo/ 
bus  recris  crir  angulus.c.g.b.equalis  angulo.f.b.g.quare  pcr  pKmiffa.cd.?.  e.f 
crnnt  equidiftantcs:quod  cft  .ppofini.    1(bjopofltio    .29. 

"\%  Ouab9  lincts  equidtfrantibus  linea  fupuenettt  Ouo  an/ 
I  goli  coalterni  cqua  lee  enmt:angulufq5  ertrinfec?  agulo 
I  intrinfccoftbtoppolitoecjualis  Ifteqj  buoanguli  mtrife 
ci  ejcaltemtrapteconftitutiouob^rectis  angulis  cqles. 
IjGSintouclince.a.b.c.cd.cquidiftantesfupquas  cadatlinca  .e.f 
fecans  cas  in  punctis.g.c.b.oico  q>  angnli.g.-z.b.coalrerni  funt  cqualcs:c  a>  an/ 
gulus.g.ettrinfcc9c  equalis  angulo.b.ittinfcco  fibi  oppofiro  et  cade  ptc  futnpto: 
*  q>  anguli.g.s.b.in  trinfca  cr  eade  pte  fumpti  funt  eqlcs  ouobus  rcctis.  1  bec  cft 
coucrfa  ouay  picccdentiii.pjimu  ficp^.Si cni  angul9.b.g.  b.116  e cqualis  angtb 
c.b.g.altcr  coz?  erit  maior.fit  ergo  maio:  angulus.c.b.g.c  q:  ouo  anguli.c.  b.g  z 
g.b.d.funtecj[csouobnsrcctiscrgop.i?.cruntouoangult.b.g.b.«.d.b.g.mino 
rcs ouobus  rcctis ergo  p quarta  pcritione ouc  lincca.  b:«.c  d.fi  ^ptrabant  con/ 
currcnrinpartc.b.cd.adpniictuaIiqucvtad.k.nocrgo  funt  equidiftantcs  pcr 
oionem  qo  e  ?tra  jpotbcfim:^  q:  boc  e  impofl'ibile:ernnt  igit  ouo  anguli  coaltcr/ 
ni.b.g.  b.c.cb.g.eqlcs  q6  eft  p:imu  .ppofttu.fy  boc  pj  fcomteft  eni  p.  1  f.angu/ 
lus.b.g.b.cqna!isangulo.a.g.cergoangulus.a.g.c.eriteqlisanguIo.c.b.g.e)c/ 
trinfecus  videlicct  tntrinfeco:qo e fcbm  ^pofitum.£j:  boc rurfus  P5  tertifi.  Sunt 
enig.ij.ouoangult.a.g.c.c.a.g.b.cqualcsoucb^rectisrergoouoanguli.a.g.b. 
t.c.b.g.erunt  etia  equalcs  ouob"  rcctis  qui  funt  ouo  intrinfcci  tf.  cade  parte  fum/ 
pti'quodcfttertiiip:opofituin.        IJbJOpofitio    .jo. 

Yj$  fuerintouelincevniequidiftantes  eedem  fibiinuiccm 
jequidtfrantescnmt. 

I  GSinroucItneca.b.z.c.d.quaizvrraq^cquidiftct  linece.f.oico  il 
I  lasouasvidclicet.a.b.c.c.d.ecequtdiftantes.bocaut  evniucrfali/ 
'Jrcr  vcy  ftuc  ouc  lineca.b.-r.c.d.fint  in  Vha  fupficie  cfj  line3.e.f.fiuc 
no:bic  tame  no  intdligir  nififtn  ep  oes  funt  iu  fnpficic  vna:fctim  eni  cp  funt  i  oi/ 
uerfis  fupficieb9  .pbaf  in  nona  ltb:i.  1  i.<j>  funt  cquidiftatcs.Sint  crgo  in  oes  fup/ 
ftcieVnat.ptrabaautlinca.g.b.fccanteliiieas.a.b.c.c.d.inpunctis.lt.l.m.cquia 
a.b.equidtftat.cf.crit  angulus. b . k. I  cqualis  angulo.cl.k.pcr p:ima pte pccdcn 
tis  cnm  tlli  fint  coalrernuatqj.c.d.equidiftat.cf.erit  angulus.k.l.e.cjctrinfcc0  cq/ 
t'3  angnlo.l.m.c.intrinfeco  p  fcoam  ptcm  pccdcntis  crgo  angulus.b.k.  l.c  cqua/ 
lis  angulo.c.m.I.qui  cum  fint  coaltcrni  cruut  per.27.linec.9.b.?.c.d.  equidiftatt 
tes:quod  eft  piopofitnm.  1£>2opofttio    .ji. 

Ifbunctoertralineam  oatolincepjopolite  cquidiftante 
oucere. 

G£>nnctusertr9lineamoatu8intclligitur  cum  linca  vtriuqjpto/ 
trabgtur  per  fpfn  no  tranfit.Sit  crgo  punctus.a.oatus  extra  lineaj 
[,b.c.aquoopo«ct  p:otr9bcre  lineam  cquidtftantcm.  b.c.  pwtia/ 
botineam.a.d.qualitcrcunqj  contingat  sfuper  punctum.  3.  qui  cft  cxttcmitas 


I 

Itnee.a.d.pftituo  agulu.e.a.d.(> ooctua-2?.'cqle agulo.b.d.a.fibi coalmo-.eritq^ 
e.a.eqdiftans.b.cg.i7.g6  e  ypofitu.    llbjopofitio    32. 

■GDnis  trianguli  agulusejcmnfecusouobusintrinfecis 
libi  oppofitis  eft  equalis  ./©mnes  aute  tres  agulos  eius 
ouobus  rectis  angulis  equos  efle  necefTe  efr. 
G6it  triangulus.a.b.ccuius  latus.b.c,ptrabatur  vfq^  ad.d.  oico 
qp  angulus.  cerJrinfecus  eft  cqualis  ouobus  angulis.a.f.b.intrin/ 
fccis  fibi  oppofttis  fifiunctis:?  cp  tres  anguli  crianguli.a.b.cnTinncri  funt  eqles 
©uobusrcctis.apuncto.c^ptraba.cf.equidiftanrc.  a. b.frn  ooctrinapccdcntis: 
eritcp  angulus.f.ca.equalis  angulo.tt.q:  fut  coalterni  p  pma  parte.  19.7  angutus 
f.cd.extrinfcc9  equalis  angulo.b.intrinfcco  p  fc6am  gtc  eiufde:quare  tot9.  a.c.d. 
extrinfecus e equalis  ouob9 angulis.a.i.b.intrinfecis fibi  oppofitis:q6  c  p:imu5 
« q: ouo  angult.a.cb.c.a.cd.funt cquales ouobus  rcctis  p.  1  j.crunr trcs anguli 
a.b.c.cintrinfeci  cqles  ouob9  rectis:q6  e  fc6m  .ppofttu.Cer.  bac  aut  P5  q>  ois  fi 
gure  poligonie  oes  anguli  fif  fumpti  tot  rcctis  angulis  fun t  eqlcs  quot"  e  numer9 
quo  a  piima  ocftitcritoupIicat9:vcrbi  gfa.poligonia?  figura^  c  triangnla  pma: 
q:  fi  eet  oua?  linea^  cu  figura  fit  claufio  linca?:tunc  oue  linee  rccte  includcret  fup 
ficie  qo  c  impoffibilc  p.vltima  pctitione.Ouadrilatera  fc6a:pcnfagona  tcrtia.  fitr 
aiit  qlibct  tota  erit  i  o:dine  quot9  erit  numer9  iatc^  aut  angulo^  ci9  inde  octripto 
binario.Dico  g  cp  triangukquc  e  p:ima  oes  anguli  funt  eqles  ouob9  rcctis.Qua 
drilatere  q  e  fc6a  erut  cqlis  qtuojrcctis:*  pcntagonc  q  e  tertia  erunt  eqles  k%  rc/ 
ctis.boc  aut  inde  manifeftu  e  qm  cu  qlibet  talis  figura  fit  in  tot  triangulos  refolu 
bilis  quota  ipfa  fuerit  a  pma  ouctis  rcctilineis  a  quouis  angulo?  ei9  ad  oes  angu 
los  oppofitos-.fintcp  oes  anguli  ois  trianguli  ouob"  rectis  eqles  crut  oes  latcrate 
figure  oe"s  anguli  bis  tot  rectis  equales  quota  tpfa  fuerit  a  pma:  q6  cft  .ppofitutn. 
Sit.n.er.cp!i  gfa.pentagonus.a.b.cd.e.a  cui9  angulo.a.ouca  lineas  ad  angtbs 
e.d.fibi  oppofitostcritqj  totus  pctbagonus  rcfolutus  in  triangulos.a.b.ca.cd. 
c.a.d.c.quo^  cu  cuiuflibet  fint  anguli  equales  ouobus  rectis  erut  pentagont  au  / 
guli  equales  fex  rectis:q6  e  ouplu  eius  numcri  quo  a  pma  oiftat:fiue  ouplu  numc 
ri  angulo?  ant.late?  eius  ihdc  oempto.Cpoffumus  quoq^  1  fic  ide  .pponere  ot/ 
tcntes  cp  ois  figurc  poligonic  oes  anguli  paritcr  acccpti  fiit  tot  rectis  angulis  eq  / 
(C3  quantus  eft  numerus  que  eius  anguli  ouplicant  inde  ocmptis  quatuo::  pticto 
eui  quolibet  intra  figura  fignato  1  ab  co  ad  fingulos  angulos  lineis  .ptractis  erit 
ipfa  figura in  tot angulos refoluta  quati  fuctit  ci9 angnliiioq? oes anguli  omniu^ 
Illoy  triangulo?  piter  accepti  tot  rectis  angulis  crut  cqualcs  quatus  c  numer9que 
ouplicat  anguli  ^ppofite  figure:cu  itaq^  fmt  oes  anguli  triangulomm  i  quos  ipfa 
«foluta  e  punrtu  mediu  circuftautes  quatuo:  rcctis  cqualcs  per.  1 3  .manifeftu  ca/ 
ftat  .ppofitu.CSitr quoq^  p^  cj> ots figure  poligonie anguli  oes  ertrinfeci  qtuoi 
rectis  angulis  funt  equales:fut  enim  intrinfcci  z  cjctrinfcci  1  bis  tot  rectis  cquales 
qttot  babuerint angfos p.i j.3"fmfeci aut fut bis  tot  rectis cqles quot  babuerit 
angulos  oeptis  inde  quatno::g  cxtrinfeci  fu t  qtuo:  rectis  cqualesiq6  c  .ppofitum 
£*empli  gfa^pofiti  pentbagoni  latcra  .ptrabant  vt  fiant  anguli  ejctrinfcci.  a.b. 
quide  ,ptrabat  vfq^  ad.f.b.cvfq^  ad.g.cd.  vfqj  ad.b.d.c.vfq^  ad.k.e.a.vfq5  ^ 
l.cruntqs pcr trcdecimam ouo  anguli.a.intrinfccus ^.a.extrinfecus  equalcs ouo 
bus  rectis:cadem  autem  ratione  ooo  anguli.b.intrinfecus  z  .b.  extrinfccus.  fic  et 


LIBER 


cctcri:quare.a.b.cd.c.anguli  intrinfcci  i  crtrinfeci  oece  rcctis.  ocptis  igit  intrin 
feris  qui  funt  cqlcs  fer  rcctis  crut  ertrifcci  videlj.b.a.l.c.b.f.d.cg.e.d.b.f.a.c.k 
eqles  qtuo:  rcctis.Gpatct  etia  q>  ois  pcntagoni  cui9  vnuqoqj  Iat9ouo  fecat  er  re 
liqs  b3. 5.  angulos  ouob9  rcctis  cqles.fit  qlis  ^ponit  pentagon9.  a.b.c.d.c. «  fc/ 
cct  lat^.a.clat^.b.e.in  pucto.g.?lat9.a.d.ide  !at9.b.c.i  pucto.f.crirq,  angul9.a. 
f.g.eqlis  ouob9  angulis.b.t.d.cu  fit  cttrinfcc9  ad  ipfos  i  triangtb.f.d.b.  3tcmq5 
angulus.f.g.a.crit  equalis  ouobus  angulis.cce.cu  fit  crtrinfccus  ad  ipfos  i  tri/ 
angulo.g.cc.fcdouoanguli.a.f.g.i.f.g.a.cuangulo.a.funtcqualcsouobusre/ 
ctis:ergoquaruo:anguli.b.d.«.ce.funtcumangulo.a.equalcsouobusrectis:q6 
eftpjopofitum.  1|b20{5bfitio    :*?• 

j|  ^ifumitatib^&ua^  ImeayeqdiiMtiu  seqUsquaritatis 
lialieouc  linee  piugai:  ipfcquoqieqles-zcqdiftateserut 
G6int  oue  lince.  a.s.b.cd.  cqlcs  1  equidiftares  qru  ertrcmitates 
piunga  p  lincas.a.c.l.b.d.qs  oico  effceqles  z  cquidiftantcs:,ptra 
Jba  cni  linca  .a.d.s  q:  lincc.a.b.s.cd.fut  equidiftantcs  crit  ogulus 
b.a.d.cquaIisangulo.a.d.c.ppjimapte.29.ergocrutouoIa:era.a.b.c.a.  d.tri/ 
anguli.a.b.d.eqlia  ouob^lareribus.d.c.f.d.a.rrianguli.d.ca.t  anguluspmt  cq 
lis  angulo.d.fcoircrgo  p>  .4.  bafis.b.d.pjimi  cft  cqualis  bafi.a.c.fc6i  1  angulus.a 
d.b.pjimi  cqualis  angulo.d.a.c.fcbi.a  t  quia  ipfi  funt  coaltemt  crunt  Iuice.b.d.c 
a.c.cquidiftantcs  pcr.2r.c  quia  p:ius  p:obatum  cft  ipfas  cffc  cqualcs:  patet  p:o 
pofitumvtrunqy  Ijbzopontio    .34. 

iBnisfuperficieseqtudtftantibus  contcnta  laterib^U/ 
neas  atqjansuloseraduerfocollocatosbabct  equales 
Oiametro-JOmidentc  eampermedium. 
GSitfuperficics.a.b.c.d.  equidiftantiu  latqziita  q>  linea.a.b.equi 
Sjdiftct.cd.?.a.cb.d.oicoouaslineas.3.b.  c.cd.itemouaslmeas 
a.ct.b.d.effcequales.fitr  1  oicoangulu.a.cffccquale  sngulo.d.f  angulij.b.  an/ 
gulo.c^ptraba  oiametru.a.d.quc  etia  oiuidct  fupficie  illa  g  mcdiu  cum.a.b.c.cd 
fintequidiftantcs:eruntauguli.b.a.d.«.c.d.a.quifuntcoaltcrni  cqlcspcr.29.at 
quiactia.a.c.^.d.b.fuutequidiftaiitcsicruntanguli.c.a.d.^.b.d.a.quifuntcoal 
tcrni  equalcs  p  cande.^ntclligo  eni  ouos  triangulos.a.d.b.i.d.a.c.  1  q:  ouo  an 
guli.a/r.d.trianguli.a.d.b.funtequalcs  ouobus  angulis.d.c.a.trianguli.d.  a.c. 
1  latus.a.d.fup  q6  iacent  illi  anguli  in  vtroqj  triangulo  e  coe:  erit p.2<(.lat9.3.b. 
equaklateri.c.d.ilatus.s.c.latcri.b.d.tangulus.b.angulo.c.cquiaangulum.a 
totalem  patct  cffc  equale  angulo.d.totali  g  fcoam  c6ceptione:totu  .ppofitum  cum 
co::elarioliquct.  IfbJOpofltlO    .37. 

Gdnee  fuperfictes  equidtftantiu  lateru  fup  vna  baftm  at 
q^in  eifdc  alterntsltneisccftituteeqleseflepjobantur. 

CSintouelince.a.b.?.c.d.cquidtftanresinrcrquasfiat.a.cf.e.fu 
pficies  cquidiftantiu  latei?  fup  bafim.ce.?  fup  eande  bafim  1  ihter 
eafdc  Uncas  fiat  alia  fupficics.g.cb.e.filr  cquidiftautiu  latei;  :oico 

ouas  pdictas  fupficics  ce  cqlcs:q6  fic  .pbat.aut  eni  linca.c.g.fcrabit  lineam.a.b. 
0  in aliquo puncto  linee.a.f.aut in  puncto.f.aut  in aliquo  puncto lincc.b.f.fccct  cr/ 

go  pmo  in  aliquo  puncto  Imee.a.f.vt  i  pma  figuraiioc  apparet.?  q:  vtraq,  ouaz? 

lincaii.a.f .« .g.b.c cqualis lincc.c.e.per p:ecedente  vna  carum  crit  equalis  altcrt 


I 

«wnpta  ergo linea.f.g.coi remaucbit.a.g.equalis  f.b.q: per pjecedentc itei/.e.a. 
c.equalis.f.e.c  angulus.b.f.e.angulo.g.a.c.p.  fcoam  gte.29.videlicct  ejctrinfecus 
intrinfcco  erit  p.4.triangulus.a.c.g.cqualis  triangulo.f.e.b.ergo  irregulari  figu 
ra  quadrilateta  que  eft.g.c.f.c.addita  vtriqj  erit  fupjicies.a.c.f.c.equalis  fuper/ 
fkici.g.c.b.c.q6eftp!opofitu.Secetcrgomodolinea.c.g.linea:n.a.b.inpuncto 
f. vt  in  fecunda  figuratione  apparet.eruntq^  fiti  argumcntationc  pjioji  ouo  trian 
guli.a.-c.f.-r.f.c.b.equalcsjquare  vtrobiq^  addito  triangulo.f.c.c.pj  pjopofitum 
Secet  tertio  modo  linea.c.g.linea.a.b.inter  ouo  puncta.f.b.ut  in  tcrtia  figuratio 
ne appsrer.fecabirqjlinea.f.e.fic  vt  inpuncto.fc.* qj  fimili  argumcntatione  pjio 
rilinea.a.f.eequalislinee.g.b.factaccMnunilinca.g.f.erit.a.g.cqualis.f.b.^tti 
angulus.a.g.c.cqualis  tnangulo.f.c.b.addito  crgo  vtriqj  triangulo.c.  k.c.t  oe/ 
tracto  ab  vtroqj  triangulo.f.b.g.erit  fuperiicies.a.c.f.c.equalis  fuperficici.g.c.b 
e.quodcftpjopofitum.  Kbzopofitio    -}<f. 

ilknia  paralellograma  in  bafibus  cqualibus  atq^  in  eif/ 
dcmUtteis  couftituta  equaliaefTeneceffeeft. 
Cparalcllogramu  oicif  fupficies  cqdiftatiu  latcr.Sint  oue  fupcr/ 
ficies.a.b.c.d.c.e.f.g.b.equidiftantiijlate^conftituteinterouaslt 
neas equidiftantes  que funt.a.fa.c.b.z  fupcr  cqualcs bafcs  q  funt 
c.d.f.g.b.oico  casce  cqualcs.ua  pjotrabamousslineas.c.cz.d.f.  eritq5p.33. 
foperficies.c.d.e.f.equidiftanttu  tatcru  ,ppter  boc  cp.e.f.eft  cquali3 1  equidiftans 
c.d.nam  vtraq5  caycft  equalis.g.b.quia  crgopcr  pjemiffam  vtraq^  oua^  fuper/ 
ficicrum.a.b.c.d.i.e.f.g.b.cft  cqualis  fupcrficici.c.  d.e.f.  ipfi  crunt  fibi  inuiccm 
cquaIes:quodeftp:opofitum.  IfirtOpofitio    .37. 

jQualesfuinfibicunctitrianguuquilupeande  baftmat/ 
q>  inter  ouas  lineas  equidiftantes  funt  conftituti. 
CSint  ouo  trtaguli  .a.b.c.^.d.b.c.coltitutc  fupcr  bafim.b.c.iutcr 
ouas  lineas.a.c.i.b.f.que  fint  cquidiftantcs  oico  cas  effe  equales 
^trabaeni.c.g.cquidiftante.a.b.i.c.b.cquidiftante.d.b.p.ji.crut 
q5  oue  fuperficies  .a.  b.c.g  .iA.  b.c.  fo.cqualcs  per.3  j.t  quia  oicti  trianguli  funt 
earu oimidia  pcr cojJcV.34.ipfe crut cqualcs  pcr cocni  fci3m:quc e quoy  tota  fufji 
equa!i3COimidia:ficq5  patet  ppofitu.    IJbzopolittO    .38. 

3Jf  ouo  trianguli  fuper  bafcs  equales  atq>  tter  ouaslinc/ 
asequtdiftantesceciderintequaleseos  elleSneceirc  eft. 
dSintouotrianguli.a.b.c.c.d.e.f.pftitutifuEbafcs.b.c.T.c.f.ccj 
les  1  intcrlineas  .a.g.?.b.b.equidi(tatcs:oico  co3  ce  eqlcs.^traba 
cni.c.k.cquidiftante.a.b.t.f.l.equidiftate.c.d.  crutq^  ouc  fupficics 
a.b.c.k.z.d.c.f.  I  cqlcspcr.je.tqjoicri  trianguli  fuutcaj;  0tmidtap.c0jjcf.34. 
tpfieruteqlesgantcdictacdemfciain.     1f£>20pofttio    -39- 

S6nes  cmo  triangult  equales  li  in  eande  bafim  1  ep  eade 
ptececiderint  :intcr  onas  lincas  equtdiftantcs  erunt. 
CSint  ouo  trianguli  .a.b.c.-z.d.e.f.pftituti  fup  bafi.b.c.qc  vna  ca 
dcmq5  p.te:fintq5  cquales  :oico  cas  ce  itcr  lincas  equidtftdrce:?  bcc 
lj  eftconuerfa.37.3puncto.a.^)trabam  lincacqtiidiftantcm  lince  .b. 
c.que  fi pertranfierit  p.  punctnin.d.liquct pjopofitum.Si  autem  pertranficrit  fu/ 
pja  aut  infra  uranfeat  pjimo  fupjaffit.a.e.  pjoducamqj.b.d.  vfqucquo  fccct 


LIBER 

linea.a.c.in  pn!icto.c*#trabalincj.c.c.c  <li  triangulus.cb.ee  cqualistriatigti 

lo.a.b.e.p..  3  ?.t  triangul9.d  b.c.pofit9  e  cqualis  triouguio.a.b.c.crit  trianguf  d. 

b.c.ccjlis  triangulo.c.b.c.pars  rotiqocft  impoffibilc.Tlo  igif  ptranfibit  lincaq  a 

ptmcto  a  oucif  cquidiftautcr.b.e.fup:a.d.tr3iifeat ergo  infra  % fir.a.f.fecas  linca 

d.b.in  puucro.f.^ptraba  crgo  lincam.f.cz  q:  pcr.  j7.triangulus.f.b.c.cft  cqualis 

triangulo.a.b.c.ipfc  ctiacrit  equaiis  triangulo.d.b.c.pars  toti  qb  cft  impolTibilc 

Qym.  ergo  linca  a  puncto.a.equidilrantcr.b.c.no  tranfit  uifi  pcr  pnnctum  .d  .pj 

pjopofitum.Cfj:  bac  aut  i  p:cmilTa  nota  cp  fi  aliqua  linca  rccta  ouo  alicut"  tri/ 

anguli  latera  per  cqua  fccet  *el  fccuerit  ipfa  erit  tertio  cquidifta3  qb  fic  p:obatur. 

Sit  triangulns.a.b.c.cnius  ouo:latera  qut  funt.a.b.cb.cfecet  linca.d.cp  cqna 

lia.a.b.quodinpuncto.d.'r.b.c.in!puncto.coicocj>linca.d.c.cequidiftaus.a.c 

p:otrabam  cnim  in  qnadrilatero.a.c.cd.oiamctros.a.ccd.ceritqj  per.  5  s.tri/ 

angulus.a.c.d.eqnalistriangulo.d.e.b.pjoprcridqblinca.a.d.poHtaeft  cqua/ 

lis  linccd.b.iteq;  pcr  candem  triangulus.c.cd  crit  equalis  ide  triangulo  .d.c.b. 

p:opter  id  qb  linca.ccpofira  e  cqnatislince.cb.q:  triangulus.a.cd.  cft  cqualis 

triangDlo.c.cd.quia  crgo  ipfi  funt  conftituti  fupcr  candcm  bafim  vicklicct  linea 

c.d.i cx cadem partc ipfi crunt  pcr banc.39.mtcr  lineas equidiftanrcs  crgo  linea 

d.e.eft  eqnidiftans  lincc.a.<.quodqtiidemp:opofitumadquinram  qnarti  tibi 

wlebit.  1£>:opoiitio    40. 

|  %  tmo  rriangufi  eqiralcs  fupcr  equales  bafes  min&  ciuf/ 

1  demq;  lince  cr  cadem  parte  fuertnt  coftituti  eos  inter  011 

;  as  litteas  equidiftantes  necelTe  eft  contineri. 

GSint  ouo  rriangoli.a.b.cd.cf.cqualcs  pftituti  fup  ouas  bafcs  q 

funt.b.cccf.c  er.  eadcm  pte  oico  eos  effe  inter  ouas  liheas  cquidi 


p  f 


ftantes  1  bcc  eft  couerfa.  3  e.i  p:obaf  p.  ipfam  ficut  p:eccdcns  per.  jr.a  puncto.a. 
Cncaf  linea  equidiftans  lince.b.f.qne  fi  tranfierit  per  pnnctn.d.patet  pjopofituni 
Sin  antcm  pcrtranfierit  fup:a  vt.a.g.i  pj0dncatnr.cd.vfq5  ad  ipfum  qne  fit.c. 
S.i  oucatur  linea.g.f.critq^  pcr.js.rriangulus.a  .b.c.equalis  triagnlo.g.c  f.qua 
re  1  trianguliis.d.cf.crit  equalis  triangulo.g.cf.pars  toti  quod  eft  impoffibilc 
Tlon  ergo  tranfibit  fnp:a:tranfeat  ergo  infm.i  fccct  linea.d.cin  puncto.b.?  00/ 
catur  linea.f  -b.eritq;  per.js.triangulns.b  .c  f.cqualis  triangnlo  .a.b.c.  quare  % 
triangulo.d.cf.pars  toti  quod  eft  impoffibilcquia  ergo  no  tranfibit  nifi  pcr  putt 
qpm.d.patet  p:opofitum.  Ijbiopofitio  .41. 
"^jSffijj 5  paralellogramum  triangulufq^  in  eade  bali  atq$  1  eifde 
3f  alterms  Imets  merint  conftituta  paralellogramu  trianao 
10  ouplum  efkconuemet. 

CSit  palcllogramn.a.b.cd.c  triangttlus.e.b.d.fup  bafij.  b.d.c  in 
rcr  lineas.a.ccb.d.q  fint  cqnidiftantcs:oico  rjakllogramu  onpln 
ee  1 triangnlo:  .ptraba  in  palellogramo  oiamety.a.d.eritqj  triaugulus.a.b.d.oimi 
din  palellogrami p cojjct.34.?  qj rriangolus.cb.d.e eqlis  triangnlo.a.b.d^.37 
patet  triangnlu.cb.d.effc  oimidiu  palellogrami.a.b.cd.qb  c  ,ppofitij  Sitr  qno/ 
qj  pot  p  jobari  cp  fi  p.alellogramu  triangc  lufqj  incqualibus  bafibus  atq5  iter  line  / 
as  eqnidiftantcs  fueriut  pftitnta  palcllogrami5;ouplu  erit  triagulo:qb  io  no  pofuit 
eucltdes  q:  leuif  P5  ty.  bac  pcedcnre  co::cl'.c5  s.oiuifo  palellogramo  pcr  oiamete 
m  0D08  triangolos. vcl  fnper  bafim  paraleilogrami  iter  eafde  iineas  equidiftate» 


triangulo  cortituto  ad  que  ouplu  erit  parald!ogramu  per  banc  p:ecedcnte"  z  ipk 
cau^isaltcritriangnlopcr.js.    l|b:opofitio   .42. 

"H  /Quidiftantiuin  laterum  fuperficie  oefignare  cuius  angu/ 
lusfit  an<5ulo  alTignatoequalts.ipfaverofupcrficiestri 
anguloafiignatoequalis. 

GSit  affignatus  angulus.a.t  affignatus  triaflgul  .b.c.d.volo  oe/ 
_J|  fcrtbcre  fup_ficie  equidiftantium  lateru  equalcm  triangulo  .b.c.d.cu 
tns  Vtcrq}  ouo?  angu!o:nm  contra  fe  pofito?  fit  cqualis.a.oiuido  bafiin.c.d.per 
&imidiuinpuncto.e.ip:otraboline3.b.e.'Japuncto.b,ouco.b.f.equidiftantem 
c.d.eritq3pcr-5S.triangulu3.b.c.d.eqiw!istriangulo.b.e.c.quaretriangulus.b.e 
d.cft  oimidiu  totalis  trianguli.b.cd.igit  fuper  punctu.e.liuee.d.c.ccnftituo  an/ 
gulum.d.c.g.equalcm  anguto.a.t  perficio  paralcllogramu.g.  e.d.f.  quodetia  qi 
per  p:cccdcnte  e  ouplti  ad  trtangulu.b.c.d.erit  etia  cquale  triangulo.b.c.  d.p.  bac 
cocm  fcienciam:quoy  oimidia  funt  equalia  ipfa  quoqj  fnnt  cqualia .  cft  cnt  triar» 
gulus.b.e.d.vtriufq$  oimidiu  quarc  ocfcripfimus  palcllogramu.  g.e  .d.f.  cquale 
triangulo.b.cd.cuius  vterq^  ouo?  anguloy  .g.e.d.t.d.f.g.cotrafc  pofitoium  cft 
cqlis  angulo.a.quod  fuit  pwpofitum. 

q[b:opofitio   .4)- 
.OCmis  parakllogrami  fpacij  co:um  que  circa  oiamctru 
funt  palellosramo?:  fupplemcnta  cqua  fibi  imtice  effe  ne 
celTeeft. 

CSit  paralcllogramu.a.b.c.d.in  quo  p:otrabam  oiametrum.b.c. 
za  1  p:otrabam.c.f.cquidiftante  vterq?  ouo?  latc^.a.b.c.c.d.quc  fe/ 
tet  oiamctrum  in  pnncto.k.a  quo  cuca.k.g.eqnidtftanicft  vtriq^  ouo^iateru.a. 
ct.b.d.s produca cam  quoufq,  fccct  vrrucg lat9.a.b  ■z.c.d.fitqj  tota.g.k.b  .crit 
CR  totum  pjilcllogramu.a.b.cd.oiuifum  in  quatuo:  palellograma  quo^z  ouo  fcj.e 
ck.b.s.g.k.b.f.  oicunf  confiftcre  circa  .cb.qjoiametrum  tranfitpermcdium 
eoriimct  idco  fuutcirca  oiametrum  :rcliqua  ouofciiicet  .a.e.g.k.i.k.b.f.d.oi/ 
cut  fupplcmera  bcc ouo fupplcmenta  oicunf  ce equalia.funt cni  ouo trianguli.a. 
b  c  «.cd.b.cqualcsp co::et'.?4,fifrquoq5 ouo  trianguli.g.k.b.t.f.k.b.fut  equa/ 
!es  per  ide  co::d'.  34-at  ouo  trianguli.c.c.k.f.k.b.c.filV  equalcs  p  ide  condariuj 
ocmptts  igitur  ouobus  triangulis.b.g.k.^.k.c.coc  totali  trugulo.a.b.c.ac  ouo/< 
bus  triangulis  rcliquis.b.f.k.t.k.cb.oe  totali  triangulo  rcliquo.c.d.b.  crunt  pet 
coem  fdam  refidua:quc  funt  ouo  oicta  fupplcmeta  cqualia:quod  cft  p:opofitum. 
Ifrjopofitio    .44- 
T&opoftta  linea  recta  fup  cam  fueficie  equidift3ntiu  late/ 
rum  cuius  angulus  fit  angulo  affignato  equalis  ipfa  vero 
Sfuperfictes  trtangulo  afltgnato  equalis  oefignare. 
jCDefignarc  fupcrfiric  equidiftantiu  latc?  fuper  linca  aliqua  c  linca 
__1  jpfa  facerc  latus  vnrl  ipfi9  fupficici  .Sit  crgo  oata  linca.a.b.s  oat* 
angulus.c?  oatus  triangulus.d.c.f.fupcr  linea.a.b.volo  ocfignarc  fupficie  vna 
equidiftautiu  latqz  ita  qp  linea.a.b.fit  Vnu  ejc  lateribus  cius  cuius  vterq^  ouownt 
angulo:um  contra  fc  pofitowm  fit  cqualis  angulo.cs  ipfa  totalis  fupficies  fit  eq 
lis  triangulo  .d.c.f.oiffctt autem beca.4t.q:  bic oat  latus  vnius fupficici ocfcri/ 
bcndc  fcj  linca.a.b.  ibi  autem  nnllum.cu  ergo  voluero  facere  adiungo  lineam.a.s 


b 

e 

1 
f 

1 

V^ 

a 

\ 

b  / 


II»    fc     l 


LIBER 

lince  .a.b.&n  ratitudinctmqua  pono  equalem  linecc.f.  bafi  trianguli  oatt  fooer 
qua  coltitno  trianguiu  vnu  ci  eqle  z  cquiiatctu.qo  boc  modo  fatio.£onftituoL 

um.a.g.k.cqualemanSuIo.c.«;ngu!um.g.a.k.cqualcmanguIo.f.pcr.2j.cquia 
g.a.pofita  fucrat  cqualis.e.f.crit  per.id.triangnlus.g.a  .k.  equalis  i  equilatcrus 

triangu!o.c.f.d.oiuid3crgo.g.a.pcrcquali3iupuncto.b.c(ptraba.ls.b  tp:odu 
ramapuncto.k.linca  .m.k.n.  cqutdiftantc linec.g.b.critqs pcr. j s.triangul9  a  b 
k.equilts  trianguIo.g.b.k.tunc iupcr punctu.a.lince.g.a.fadi artgulum.g.a.l.n 
2j.equalcmangulo.c.oato:?conplcbofugbafim.a.b.<ziiiterlinca0.g.b  i  m  n 
equidiftantes fupcrficiem  equidiftantiuj  latcrum.m.l.b.a.que p.4i.oupla  erft ad 

triangulu.k.b.aquareequalistotalitriar^ulo.k.g.a.quarc^triaugulo  d  e  f  o/ 
pojjto:pjotr3l)amergo.b.n.cquidiftante.a.I.tp:oducaoiamctrum.n.a.qu3'p/ 
traba  quoufqj  cocurrat  cu.m.b.in  puncto.o.t  coplebo  fupcrficiem  cquidiftatium 

latcrum.m.o.n.q.cprotrabsm.l.a.vfqjad.p.entqjpcrpteccdcutefupplcmcntu 
a.b.p.q.  equa!efuppl_iciiro.m.l.b.a.quarcttriangulo.d.e.f.tq:pcr  15  angu/ 
lus  .l.a.b.c cqualia sngulo.b.a.p.t idco  angulu8.b.a.p.cft cqualis  angulo  c  0; 
rupcroatamlinca.a.b.ocfcriptaeirefuperfiiciemcquidiftsntiulatcrum  a  b  p  q 
equalcm  oato  triangu!o.d.e.f.cuius  vterq5  ouomm  angulomm  contra  fe  pofito/ 
rum  qut  fuiit.a.«.q.eequalis  oato  angulo.c.quod  fuit  p:opofitum. 

*oata  uneaquadratum  Ocfcribere. 
|j  CSit  oatalinea  .a.b.  ejquavoloqdratumocfcribcrerapunctis  a 
's.b.lincc.a.b.educog.ii.lincas.a.c.t.b.d.pcrpendicularesadli/ 
ncam.a.b.que  cruc  cquidiftantes  pcr  vltima  prcm.zs.  1  pono  vtra 
_  q5ea£eidcm.a.b.pcrfc6am  cqua!em?p:otraboliueam.c.d.critq; 
ipfaequa!isctcquidiftansliuee.a.b.pcr.3j.tquia vterq5  ouo:um  angulor. a  t 
b.eft  rectus.crit  vterq5  ouo?.c.7.d.rcctu8  pcr  vltima  p.tcin.z9.crgo  pcr  otfimttn' 
oncm.a.b.c.d.c  quadratum  quod  eft  pwpofttu.^dem  alitcr  fit.a.c.  pcrpcndicn/ 
laris fuper  lincam.ab.pcr.i  u%  fit  ci equalis vt p:ius t a puncto.c.per.3 ,  oncatur 
cd.cquidiftans.a.b.t  ponatur  cquatis  ci  t  oucatur  linea.d.b.que  per.j  $  erit  ca/ 
Iis  t  cquidiftans  .a.c.i  omues  anguli  rcctipcr  vltima  prcm  _9.quare  pcr  oiftiuiti 
onem  babcmus  p:opofitum. 

Ifbzopofitio    .efi. 
°&  omni  triangulo  rectangulo  quadratum  qg  a  latcre  re 
cto  angulo  oppottto  in  temetipfo  oucto  oelcribif  equij  c 
ouobusquadratis  quecjconob^eliquislateribtjs  con/ 
fcrtbuntur. 

_  CSit  trisngulus.a.b.c.cuius angulus.a.fit rcctus  oico  cp quadra/ 
tu  latens  .b.c.equu  c  quadrato.a.b.t  quadrato.a.c.fit'fumptis.  guadnbo  g bcc 
tnalatcra  Pmooctrinapccdai!is:fitq5qdrati5.b.c,fuEficie6.b.c.d.e.t  cidram  b 
fl.rupfiae8.b.f.g.a.tqdr3tu.3.c.fuEficics.a.c.b.k.aba-gulo.a.rcctooucaadbaf 
15.CI.C.  bafi5  maximi qdrati  trcs lincas  .f.a.l  cqdiftate  Vtriq5  lateri.b.d. t.c  c  q  fc 
cct.b.c  1  pucto.m.t  fpotbemifas.a.d.t.a.c.itcqj  a  ouob9  rcliqs  aglis  triagl!  q  fut 
o.«.c.onca  ad  onos  angfos  ouo:/  qdrato?  roio?  ouas  iicas  k  incfccates  itra  ipfu 


triansuliiquefuiit.O.k.c.c.f.cqivtcrqjtnioyaiisulojuni.b.a.c.c.b.a.g.cftrcct9 
pcr.i4.crit.g.clinea  vna:  cade  roneerit.b.b.Iinca  vna.q:  vterq^  ouoj;  angulomj 
ca.b.f.ca.b.cft  rectusrquia  ergo  fup.  bafim.b.f.c  intcr  ouaslineas  cquidiftan/ 
tcsqfunt.c.g.c.b.f.coftitutafutrjalcllogramu.b.f.g.a.ttriagul^b.f.c.critg.^is 
rjalcllograrnu.b.f.g.a.ouplutriagulo.b.f.c.f5triagul9.b.f.c.eeqli8triagulo.b.8 
d.g.4,.quia.f.b.c.b.c.laterapjimifuntcqualia.a.b.c.b.d.Iatcribuspo(rremi.et 
angutus.b.pjimi  c  cqualis  agulo.b.poftremi.eo  g>  vterqj  coftat  e%  angulo  recto  i 
angulo.a.b.c.comuni.ergo  palcllogramii.b.f.g.a.eft  ouptam  ad  rriagwlu^  .a.b.d 
fedp.aI!eUogramu.b.d.l.m.cft  ouplii  ad  cunde  triangulu.  g.4i.qj  coftituti  fut  fup. 
eandem  bafimfcj.  b.d  .«intcrlineasaiuidiftantcsquefunt.  b.d.i.a.l.  crgoper 
cdmnne  fciam  quadratu.a.b.f.g.^  palellogramu.b.d.l.m.funt  equalia.  qj  eojum 
oimidia  vidclicct  p:cdicti  trianguli  funt  cqualia  £ode  mo  i  per  eafde  .ppofitioes 
mediantib9  triangulis.k.b.ct .a.e.c.^babim9  qdratii.a.c.b.k.ee  equale  rjalcUo 
gramo.c.e.I.m.qrep5^pofitu.     1(bJOpofitio    .4.7. 

^  q6  ab  vno  trianguli  latere  in  feipfu  Oucto,pducif  :equfi 
fucrit  ouobus  qnadratis  q  a  ouobus  reliquis  laterib^oe 
fcribuntur.rectus  eft  angulus  cui  latus  illud  opponitur. 
CXtnca  in  k  ipfam  oucere  eft  eius  quadratii  oefcriberc.GBit  trian 
gulus.a.b.c.fitq5quadratumlateris.a.c.cqualequadratisouo:um 
lateru.a.b.^.b.c.fimuliunctis.oicoangulu.b.cuilatus.a.c.opponitefTcrcctu:? 
bec  eft  couerfa  p:io:is.C3  puncto.b.extrabo  linca.b.d.g.  n  .rjpendiculare  fuper 
lincam.b.cqua  pono  cqualem  .a-b.s  p:oduco  lincam  .d.ceritq^  pcr  p:eccdente 
quadratum.d.cequalc  ouobus  quadratis  ouarum  linearum.d.b.s.b.c  1  q:.b.d 
pofita  eft  equalis.b.a.crunt  per  comune  fcicntia  que  eft  lincam  equaliu  cqualia  ef 

fequadrataiqnadrataouarulineay.a.b.i.b.d.cqualiaiquapjoptercrirquadra/ 
tum.d.c.cqualc  quadrato.a.c.crgo  pcr  aliam  comunem  fciam  que  e  conucrfa  p:i 
o:is  fc^  lincas  qua^  quadrata  funt  cqualia  effe  cqualesierit.d.cequalis.a.c.qua/ 
rc  p..8.  angulus.b.triaguli.a.b.ce  rectus  q6  eppofit». 

1fb:opoiitio  .4$. 
jllHopofttis  qnibufcunqjquadratisalteri  illoy  gnomone 
reliquo  equalem  oelcnbere. 
|  G^ioponanf  crgo  ouo  quadrata  fc^.a.b.c.c.d.?  fit  p:opofitu  p:o/ 
duccregnomonecirca.a.b.cqualem.c.d.quadrato:pjotrabafitaq5 

!  vniilatus  qnadrati.a.b.adcqiialitatcinvni9lateris  quadrati.  c.d. 

in  continuum  1  oircctum  1  fit.f.e.ita  cp  .f.e.fit cqualc  vni  latcrii  quadrati.cd.  % 
qc.e.ouca  lineam  rccta  ad.a.  fit  crgo  triangul9  o:rbogoni9  quia.f.c  angul"  rcctus 
argnat  ergo  fon  pcnultiniap:imtfic:qdratu.c.a.c  tiii  quatu  qdratii.c.r.cqdratii 
f.a.fcdcidraiu.c-f.eeqlccidrato.c.d.cquadratii.f.a.cftequalequadrato.a.b.cr 
goquadratii.a.c.cftequalcquadiatis.a.b.s.cd.^tcm.c.f.a.cfttriangnluscrgo 
e.f.^.f.a.latcrafuntlongio:a.a.e.latCTC.fcciidii.zo.pjimi.fed.f.a.cftcqualc:a.b. 
•  ronequadraturccrgo.c.f.s.f.b.funt  longioa.a.e.ergo  illa  totalis  liuca  fc^  .e.b. 
eft  maio:.a.c.rcfccet  ergo  .b.c.ad  cqualitatc.a.e.ad  punctii.cita  cp.b.cfit  cqua 
lc.a.c.crgo  quadratum.b.ccft  cquale.quadrato.a.c.  fcdquadratii.a.c.  vtpjius 
ybatu  fuit  c  equale  quadratis.a.b.s.cd.crgo  quadratu.b.ce  cquale  eifdcm  fed 
quadratum.b.caddit  fuper  quadratum.a.b.gnomone  illii  que  vides.ergo  gno/ 

b 


s 

5        * 

t 

k\ 

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f        b 


C  ; 

a         D  e  b 


LTBER 

mo  illc  eft  quadrato.c.d.cqualis.quod  crat  p:obandum.    £tplicit  libcr  primiu 
3ncipitlibcrfccundue. 

Xlkneparalellogramu  rectigulii  fttb  t>ua  / 
b?  lincie  agulu  rectu  abietib < oicif  ptineri . 
G^aralcllogramii  cft  fugficics  cquidtftatiu  latcr 
C^aralcllogramu  rcctaugulu  eftbabcns  omnes 
angulos  rcctos.s,pducifcjcvnoououi  lateycius 
ambicntiuvniicxiiiis  angulis  tnrdiquu.c  idco 
fubillisoiciturcdtineri. 

{}£ifoni$  paralellogramifpacijeaq*de  q 
^oiametcr  fecat  pmediii  palellograma 
circa  eande  oianietycoftftere  Qicnnt.iEo^ 
=*  vero  paralellogramo;;:  que  circa  eande  o<a 
metru  conlifrut  quodlibet  mn  cfi  fupplementis  ouob?  gnomo  noiaf . 
GQuc  paraldlograma  oicunf  cofiftere  circa  oiamct:;.?  quc  fut  fupplemcta:  ejpo 
fitu  eft  fupia in  Oemoiiftratione43.p:imi.  CSit cnim  paraldlogramu.a.b.cd. 
cuiusoiamctcr.a.d.oiuidantouclincc.e.f.g.b.oucteequidiftantcr:latcrib9oppo 
fiti3  oicti paralkllogranii.fccatcs  fcfup  oiamcty.a.d.in  puncto  .k.  crirqj  ipfum 
paraldlogramu  oiuifii  in  .4.  parallcllograma  %  vnuquodq?  ouo^  paralcilogra  / 
mo£  que  funt.a.g.c.k.i.k.f.b.d.quc  oiamctcr  fccat  p,  mcdium  oicttur  confiftcrc 
circa  oiamcti/.  Keliqua  ouo  que  oiamctcr  no  fccat  oicun  f  fuppkmeta  q  cuo  fup  / 
plcmeuta  cu  vtroq^  oicto?  paralellogramo?  cofiftentiii  circa  oiamcty  coponut  ft 
gura  qnada  q  gnomo  appcllaf  cui  oeelt  ad  coplemetu  palcllogrami  iialdlogramii 
vnu  rcliquu  circa  oiamcty  cofiftc's:q6  (i  addaf  fupia  oiamcty  totalis  copofiti  cofi 
ftct.critqj  fimile  totali.  23ndc  galcllogramu  addito  gnomone  quauis  crefcat  mt / 
nimc  tft  alteraf  .queadmodum  oijit  ariftotclcs  tn  picdicamcutis. 
1fo:opofitio  .j. 
3f  fuerintouelineequariivna  in  quodltbetpartesoiui/ 
datur.illud  cp  ejc  ouctu  altcrine  in  alteram  fiet.equum  erit 
bis  que  cj:  ouctu  tinee  indiuile  in  vnaquaq^  partem  linee 
particulatim  Oiuife  rectangula  pjoducentur. 

iCXinea  tn  altam  linea  ouccrc  e  fupia  tcrminos  vnius  ea^  ouas  linc 

as  oirbogonalircr  alij  cqlcs  crigcrc?  fupficie  equidiftatiii  latcy  rcctagulu  coplcrc 
q  fub  illis  ouab9  lincis  pcr  oiffinirioncm  oicitur  contincri.CSunt  oue  lincca.b. 
s.c.quay.vna  fc^.a.b.in  quodlibct  gtes  oiuidaf  quefint.a.d.c.d.e  c.e.b.oico  q> 
illud quod fit cc  ouctu.c.in  totii.a.b.  cquu  cft  tliis  paralcllogramis  rcctangulis  fi 
muliunctisqucfiut.ci.c.t.a.d.ci.d.ciin.cb.Ceuppucta.a.bcrigalincas.a 
f.-J.b.g.perpcdiculares  fup  linca.a.b.quay  vtraq^  fit  cqlis  lince.c.  t  complcbo  re 

ctangulafuEficic3.f.b.g.ouctalinca.f.g.qucpcroiffinitioncp:oducite)c.c.  in.a 
b.z  fub  illis  oicif  contineri.p20trabamquoq5  a  punctis.d.^.e.lincas.d.b.z  .e.k. 
cquidiftantcslatcribus  .a.f.f.b.g.critq^  vtraq,  caru  eqlis.c.p.34.p:imi  vrraqj 
ca^cftcqlis.a.f.EOiffinitioncigifrcctaiiguIii.a.d.f.b.jiducifcr.c.i.a.d.cfub 
illisoiciturcotincricrcctangulu.d.b.c.e.rc.ccc.in.d.c.crcctangulii.ck.b.g.cc 
cin.cb.2  q:  bcc  rcctangula  fimul  iuncta  funt  cqualia  totali  rccrangulo.a  .f.b.g. 
patctvc^ee^pofitnm. 


II 


Ijbjopolitio  .a 
3f  fiierit  linea  t  ptcs  ouufa.illnd  q6  q:  ouetu  toti9  linee  in 
leipfi  fit  i  equu  ertt  bis  q  ejc  ouctn  eiufde  i  oes  fuas  gtcs; 
(LSit  Unca.a.b.oiBifa  in.a.c.?.cd.?.d.b.oico  cpillud  q6  fit  cx  en 
ctu  totins.a.b.iu  fc  qo  fit.a.c.b.f.cquii  cft  bis  quc  fiunt  cjc  ipfa  to/ 
ts  in  vnamquaq3  oictarum  partium  q6  palam  patcbit.ouctis.cg.c.d.b.cquidi/ 
ftantcr.a.ci.b.f.Caiitcr fumatur.k.cqlis.a.b.eritq^  p  p:cmiffam qo  fit  cr ou/ 
ctu.k.in  toram.a.b.cquu  ci  qb  fit  ct  ouctu.k.in  omnes  gtes.a.b.c  qi  ct.k.i.a.b. 
tautn  fit  quantn  cca.b.in  k.z  er.k.in  omncs  ptcs.a;b.quatu  ejc.a.b.  in  omnes 
Stcseiufdc.ppter  td  q:.k.?.a.b.fut  cqnalcs  patct  ve?  cffc  p:opofitum. 
IfcHOpofttio  .3. 
3f  fiicrit  [ittea  in  ouas  gtes  oitufa  illud  qo  fiet  ejc  ouctu  to 
ttus  in  alterutra  parte  equfi  erit  bis  q  ej:  ouctu  eiufdc  par 
tis  in  leipiam  1  aitcritis  in  alterant. 
il(lSitlinca.3.b.dimfain.a.c«.b.coicocpilludquodfitcxtota.9. 
b.in  cius  partcm.a.ccquu  cft  quadrato  ctufdcm.a.c.partis.?  ci  quod  fit  cjc  eadc 
partc.a.cin.b.cfiat  quadratum  lince.a.ccp  fit.a.cd.f.?  gficiatur  fuperficies.3 
b.d.e.patcbitq5p:opofitu.0aiitcr[umat.g.cqhs.3.ccq:.b.3.in.a.ctantucft 
quantu.a  cin.a.b.ecoucrfo.c.a.cin.a.b.?  in.c.b.  z  iu  feipfa>  quatu.g.  i  cafde. 
St.g.in  tota.a.b.quatu  in.a.c?  in.cb.p  p:imam  buius  patct  ppofitii  fc?  cp  tm 
erit.a.ci.a.b.quatn  in  fe  x  in.cb.qreecoucrfo.  a.b.i.a.ccfuatu.a.cin  fe.iin.c 
b.qbvolum9ocm6ftrarc.         1(b:opolitio     .4. 

%  fiierit  linca  in  ouas  ptes  oiuifa  illud  q6  ejc  Ouctu  toti9  [ 
lcipfi  nt:equu  e  bie  q  qe  Onctuvtriulq,  ptis  i  leipla  1  alte 
x&  i  altera  bis./£je  boc  manifefrfi  e  cp  i  6i  qdrato  Oue  fup 
ftcics  quas  oiameter  fecat  p  mediu  funt  ambe  quadrate. 
G  Sit  liuca.3  .b.  oiuifa  in.  a  .c.t.  b  X.  oico  c$  quadratum  totius 
a.b.cquum  eftouobus  quad:atis  ouarumlincarum.s.cc.b.couplo  cius  q6 
fit  er  ouctu  Vmus  ea?  in  altcram:oefcribam  quadratum  alterius  partislium  fitqj 
c.d.b.c.quadratu  lincc.cb.cui  adinngam  gnomone  fcciidu  ouctii  oircctiuii  linee 
alterius  faj.a.c  qo  faciam  boc  mo.in  qusdrato  ocfcripto  p:otrabam  oiametru 
b.d.z  3  puncto.a.cducam  pcrpcudicularem  fug  lincam.s.b  .quc  fit.a.k.qua.s.k 
t  oiamaru.b.d.(pduc3in  vfq;  quo  cocurrat  in  puncto.f  .1 3  puncto.f.  pwducsm 
f.b.cquidiftsntc lincc  .a.b.qua.f.b.?.b.e.p:oducam  vfqj quo  concurrat i  pucto 
g.^pwduca.cd.vfqjad.b.t.e.d.vfqjad.k.ftquiaouolatcra.d.c.t.e.b.trisn 
guli.d.c.b.funt  cqualia:crur  per.  y.p:tmi  ouo  anguli.e.d.b.z.e.b.d.cquales:?  qi 
angulus.e.cft  rcctus  erit  g.3Z.p:imi  vtcrq5  eoy  mcdicras  rccti.  £ade  ronc  vtcr/ 
q5  ouo:ii  angulo:ii.cd.b.i.cb.d.crit  medictas  recti.  quare  p  fecuda  tjtem.2p.p 
mi  crit  vnufquifq^  quatuo:  angulo^  qui  funr.b.f.d.i.b.d.fo.k.f.d.t.k.d.f.  me 
dicrss recti  crgo  g  .tf.pumi.f.g.-z.g.b.funt equalcs.  fimilitcr  quoq^  .f.s.t.a.b. 
pari  roc.f.b.c.b.d.itcq^.f.k.i.k.d.  quare  vtraq^  ouaru  fugficietu.a.b.g.f.«.k. 
d.b.f.eft  quadrata  1  q:  totalc  quadratum.a.b.f.g.cp  eft  quadratii  lince.a.b.con 
ft3t  cf  onobus  quadratis  que  cofiftunt  circa  oiamcty  que  funt  quadrata  ouarnm 
Unearum.3.cr.cb.t  cc  ouobns  fupplementis  quo?  vnuq6q5  pdiKic  c%  .3.  c.in 
b.cpatct  piopofitum  noftru.Gaiiter  fit  linea.a.b.Vt  pnus  omifa  in.a.ct.cb. 

b  z 


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1             1 

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3                              « 

0 

3 

s\ 

eritq^  g.2.buiu3  quodfit  crtota.a.b.infe:cquu  ciq6  fit  eripfa  (n.a.cz.c.b. 
fcd  cx  ipfa  iu.a.ctm  fit  quatu  er.a.cin  k.t  cx.a.cm.b.cg.5.bin9.3tcq5  eripfa 
a.b.tota  in.b.ctm  fit  quatum  cjc.c.b.iit  fe.«  cr.cb.in.a.c  pcr  candcm.  crgo  qo 
fit  er  tota.a.b.in  fe  cqufi  c  ei  qb  iit  ex.a.cin  fc  t  in.c.b.c  ex.cb.in  fe.«  in.a.cq6 
cft  p:opofitum.5ed  bac  via  nou  patet  co::ctariu.  ficut  via  p:cccckitri  patct.  vn/ 
de  p:ima  cft  auctou  magis  confona. 

IfclOpofitio  .y, 
1 3  »nea  recta  per  ouo  cqualia  Dnoqi;  iequalia  fecetnr.qo 
I  liib  inequahbustotiustectionisrectangutucontiiiefcu 
|  eo  quadrato  q6  ab  ea  que  iuter  vtrafq^  e  fcctiones  ocfcri 
bitur  equum  cft  ci  quadsato  q6  a  oimidio  totius  lineei  fe 
aj  oucto  oefcribttur. 
CSit  linea.a.b.oiuifa  r>  equalia  in  pucto.c?  p  incqualia  in  puncto.d.  oico  qua/ 
dratuj.c.b.cffe  cqualc  ci  q6  fit  c^.a.d.in.d.b.c  qdrato.c.d.CDefcriba  quadra/ 
tum.c.b.gj  fit.c.b.f  .c.in  quo  ^trabam  oiamctrii.  e.b.  t  ouca.d.g.  equidiftantc 
b.f.q  fccct  oiamcty.c.b.i  pucto.b.s  a  pficto.b.educa  cqdiftate  linee.a.b.q  fit.b. 
fc.fccas  linea.b.f.in  puncto.m.  t  linea.ce.in  puncto.U  .prraba.a.k.equidiftan 
te.c.e.eritq,  p,  co::elariu  pmiffe  vtraq^  oua?  furjficic£.l.g.c.d.m.quadrat3.c  pcr 
4?.primi  ouo  fupplemeta.cb.s.b.f.cqualia.ergo  addito  quadrato  .d.m.  vtnqj 
eritgalellosramu.e.m.cquaIeEatcllogramo.d.f.'Zq:.a.l.cftcquale,c.mg.3(j.p:i 
mi:erit.a.b.cqualcgnomoniqui  circiiftatquadrato  -l.g.  crgo  addito  vtriqjqua/ 
drato.l.g.erit.a.b.cuquadrato.l.g.cqua!equadrato.c.f.q6cftp:opofitum. 
1(b:opofitio  .6. 
$  recta  linea  in  Ouo  equalia  Oiuidaf.alia  vero  ei  linea.in 
longu  addat.q6  ejc  ouctu  tot&w  copolite  i  ea  q  ia  adiecta 
e  cu  co  q6  ej;  ouctu  Oinudie  in  feipta:equt5  e  ei  qdrato  q6 
|  ab  ca  q  coflat  ejc  adiecta  1 0imidia  i  feipla  Oucta  ocfcribit 
i  GSit  linea.a-b.oiuifa  g  cqualia  in  puncto.c.ciq^  addat  linca.b.d. 
oico  cp  quadratu.cd.q6  fit.cd.e.f.cquale  c  ei  q6  fit  qctota.a  .d.i.b.d.?  qnadra 
to.cb.lS:oduca  i  quadrato  p:cdicto  oiametru.d.e.?  ouca  unca.b.g.cquidiftare 
d.f  .q  fecct  oiamctru.d.e.in  piicto.b.a  quo.b.,pduca  equidiftate  lincc.a.b.quc  fit 
b.k.fccans.d.f.  in  picto.ntvz.ce.ui  pucro.Up:oduca.a.k.  cquidiftantem  .cl. 
critq5pcr'3tf.p:imi.a.l.cqualc.cb.at.cb.critequalc.b.f.pcr.43.p:imi.quarc.a 
l.e  equale.b.f.ergo  addito.cm. vtrobiq^  erir.a-.m.  equalis  toti  guomoni  circufta 
ti.l.g.quarc.l.g.additovtrobiq^erit.a.m.cu.I.g.cqualetotiquadrato.cf.cquia 
vtraq^  ouay  fuperficiey.l.g.cb.m.e  quadrata:g  co::elariu.4-bui9  P5  p:opofitu. 

1fb:opofitio    .7. 
(I  3f  tinea  in  ouas  partes  Oiuidaf.qo  ftt  c;c  Ouctu  totius  i  fe 
ipfam  cum  eo  qo  eft  ejc  ouctu  alterius  partis  i  feipfam .  e/ 
quum  eft  q  eis  ejc  ouctu  totius  linee  i  candem  partem  bis 
i  ejc  ouctu  alterius  partis  irt  lcipfam. 

jCSit  linea.a.b.oiuifa  in  euas  partes  in  puncto.c  oico  cp  quadra/ 

tum  totius.a.b.cu  quadraro.b.ccquu  cft  ci  qo  fit  eca.b.in.b.cbis  cum  quadra 
to.a.c.ocfcribatur  quadratu^  totius  qo  fit.a.b.  d.c.c  oucatur  oiametrum  .b.d.s. 


II 

cf.equidiftans.b.cfccans  oiamctrum  in  puncto.g.c  oucatur.k.g.b.  cquidiftas 
a.b.cquia  quadrarum.a.ccumquadrato.c.b.tm  funt  quatumquadrarum  .k.f. 
cum  ouabus  fupcrficiebus.a.b.et.g.e.patct  pjopofitum 

1£>:OpofttiO     .3. 

^linca  irt  Oaaspartes  oiuidatuneiqj  inlongumequa/ 
lis  vni  Oiuidentium  adiangatunqtf  ejc  oucta  tottus  tam  co 
polite  irt  feipfa^  fiet.  cquum  erit  bis  que  e%  ouctu  pzious 
linee  in  eam  adiectam  qaater.  i  d  qo  ej;  ouctu  alterios  ot 
uidentisinfeipfam.» 
C6it.a.b.oiuifa  in  puntto.c.qualitcrcuqj  contingat:cui  addatur.b.d.  cqualis.c 
b.oico  qp  quadratum  torius.a.d.qo"  fir.a.d.c.f.eft  cqualc  ci  qb  fit  ex.a.b.  c.b.d. 
quatcr  cu  quadrato.a.c.boc  aut  patcbit  oucta  oiamcrro.d.cc  lineis.  c.g.  «z.b.b 
cquidiftan  tibus  linecd.f.c  fecantibus  oiamctrum  in  puncto.k.l.  per  que  puncta 
oucantur.p.q.k.r.c.m.n.l.o.equidiftantcs.a.d.eritenimperco::clariu.4.bnius 
vnaqucq^ fuperficicrum  .r.g.n.q.c.b.m.quadrata:?  quia.c.b.pofita  cft  equalis 
b.d.erit  vtraqj  fuperficierum.c.l.i.l.p.quadrata.frutqj^.quadrata  oiuidcntia 
quadratu.c.p.equalia c quia  totus gnomo circuftas qdrato  .r.g.cft qdruplusci 
qo  e;c.a.b.in.b.d.q:  quadmplus  ad  fugficie.a.t.patct  p:opofitum> 

IfcttOpofitio    .9. 

|  %  linea  i  6uo  equatia  Ouoqn  inequalia  Oiuidinmq  ftiJt  ej; 
ouctu  tnequaltu  fcctionu  in  feiplam  paritcr  accepta:  On/ 
plu  fu  t  vtriufqj  pariter  aceeptts.q  cjdc  er  oimidia.eaq^  q 
vtrtq5  fectioni  intenacetquadratis  oefcnbuntur. 

„  GSir  linca.a.b.oiuifa  pcr  equalia.m.c.c  pcr  incqualia.in.d.Dico 
cpquadratiim.a.d.iquadratu.d.b.fimuliuncta:ouplafiintquadrato.a.c.  cqua 
drato.c.d.fimul  iunctis.GSupcr  lincva.b.crigo  liiiea.cc  pcrpcndtcnlarc  c  eq/ 
lcm  vtriq^  cay  linc3y.a.c.c.c.b.c  pwduco.c.a.c.cb.crirq^  g.32.p:imi  vtcrq^  an 
gulomm.a.c.b.-z  vtcrq,  angulo2;  partialium  qui  funr  ad.e.medictas  recti.tot9q5 
c.rcctus.cpwduco.d.f.cquidiftantcc.ccperpmdicularcmfupcrlinea^.a.b.crtt 
C|5vtcrq53ngulo:um.d.rcctus:iangulus.d.f.b.incdictasrccti  pcr.jz-primiifi/ 
nc  pcr  fccuda  partc.29.p:imi:quarc  pcr.<s.p:tmi.d.f.c.d.b.funt  cqualia.a  puncto 
f.ouco.f.g.eqiudiftante.a.b.critq5perfccijdacte.a9.p:imi:Vterq5  angulomm.g 
rcctus.c  angulus.cf.g.mcdictas  recti  quarc  p  fcyta  ciufdc  latcra.cg.  c.g.f.  funt 
cqualia  *.l  quia  per  penult.eiufdcm  quadrarunr.cf.cft  cqualc  quadraro.e.g.c  q/ 
draro.g.f.ipfum  erit  ouplum  ad  quadratum.g.f.quarc  adquadratu.c.d.G3rcq5 
pcr candem  quadratum.ca.cft  cquale quadrato.a.c.c  quadrato  .c.c  ipfum crit 
ouplum  ad  quadratum.a.c.c  quia  quadratum.a.f.cft  cqualc  quadrato.c  f.ca.e 
pcr  candcm  ipfum  erit  ouplum  ad  quadratum.a.c.c  ad  quadratum.cd.fed  qua/ 
dratum.a.f.cft  iterum  cquale  pcr  eandan  quadrato.s.d.c  quadrato.d.f.ergo  q/ 
drarum.a.d.cquadratum.d.f  oupla  funtad  quadratum.a.c.cad  quadratum 
c.d.c  quia  quadratum.d.f.cft  equale  quadrato.d.b.erut  quadrata  ouaylinearu. 

b3 


c       b       t> 


b 

»               e                t 

f 

LIBER 

a.d.s.d.b.oupla  quadratts  onarum  lincarum  quc  funt.8.cc.cd.q6  e,ppofitum 

*$»:opofttio    .10. 

3f  linea  in  t>iio  cqualia  oiuidatur  ciq^  t  longum  alia  adda 
mr  :quadratum  qrj  oefcribitur  a  tota  cuni  addita  i  quadra 
tum  qd  ab  ca  que  addita  eft.  vtraq^  quadrata  pariter  acce 
pta.ei  qnadrato  qo  a  oimidia.eiq^  qo"  ab  ea  p:oducitur  q 
ejc  otmidia  adicctaq5Conftftitvtrilq5  quadraris  paritcr 
acceptis  onpla  elle  neccfle  cft. 

GSit linca.a.b.oiuifa  pcr cqoalia  in.c.i arfdita fibi linca.b.d.oico  cp  ouo  qua/ 
drata  ouartim  lincarum.a.d.s.b.d.pariter  acccpta  oupla  funt  ouob'1  quadratis 
ouarum  lincarum.a.cs.cd.pariter  acccptis.  GCrigo.ce.pcrpeiidiciilarem  fup 
lincam.a.b.t  equalc  vtriq^  linearum.a.cz.cb.i  pcrficio  tri3ngulij.a.c.b.otictif 
lincis.a.c.c.c.b  crirq^  ut  in  pmiffa  vtcrq^  angulom.a.cb.c  vtcrqj  co:um  q  func 
ad.c.mcdicta6rcctipt.32.pjimi:totufq5.e.ercctusapniicto.c.p:oduco.c.f.cqua 
lcm  i  cquidifranrem.cd.c  pioduco.f.d.c.c.b.quoufqj  cocurrut  iu  puncto.g.c  ,p 
duco  lineam.a.g.critqj  pcr  vltimam  partem-29.p:imi:angu!us.cc.f.  rccttis  fcd 
angulus.ce.b.  cft  mcdictas  rccti.  crgo  angulus  .b.c.f.  eft  fitnilitcr  medictas  re/ 
cti:-z quia pcr-3  j.ciufde.f.d.eft  cquidiftans.cc.erit  pcr.34.ciufdcm  angulus  .f. 
rcctus.crgopcr.j2.eiufdcm.critanguIu8.e.g.f.mcdtctasrccti.3temq5pereande 
angulus.d.b.g.fimilitcr  mcdictas  rccti:p:optcr  id  quod  augulus.b.d.g.  eft  rect9 
ergo  pcr.s.ciufdcm  ouo  latcra.c.f.c.f.g.funt  cquali3.3tcq5  ouo  latcra.  d.b.c.d. 
g.fuut  cqualia:crgo  pcr  pcnultimam  ciufdcm  quadratum.e.g.ouplum  cft  ad  qua 
dratum.c.f  .quarc  ad  quadratum.c.d.G^temq^  pcr  eandem  quadratum.a.c.ou 
plum cft  ad  quadratum.a.cc quia  quadratum.a.g.cft  per candem  equale  qua/ 
drato.a.cz.c.g.fitniltterqnoq^c  quadrato.a.d.i.d.g.Stqzquadratu.d.g.cft 
cqualc  quadrato.b.d.crnt  ouo  quadrata  ouarum  lincarum.a.d.i.b.d.pariter  ac 
cepca  oupla  ouobus  quadratis  ouarum  linearum.a.c.  c.c.d.  pariter  acceptis  qo" 
cft  pwpofitum:  bcc  autem  i  omnes  p:cmiffc  vcritatcm  babcnt  in  numcris  ficut 
in  lineis. 

1fb:OpoflttO    .ir 

Stam  lineam  ftc  lecarc.  vt  qo  fitb  tota  i  vna  po:tione  re/ 
j  ctangulum  continetur:equutn  ftt  ei  qo  fit  ejc  retiqua  lectio 
ncquadratw. 

I  G5it  linca  oata.a.b.Jq^  volumus  ffie  oiuidere:  vt  q6  cx  tota  s  cius 
Ijininorc  p:oducitur  cqunm  fit  quadrato  maiori.CDcfcribo  quadra 
tum  ipfius  q6  fit.a.b.c.d.i  latus.  b.d.oiuido  pcr  cqualia  in.c.t  p:oduco.a.  c.ct 
c.b.p:oduco  vfq^  ad.f.ita  quod  .c.f.fit  equalis.a.cz  eji.b.f.  po:tiouc  ejtrinfe  / 
ca:ocfcribo  quadratum quod  q:  latere.a.b.rcfecat  fponioncm  cqnalcm.b.f.  quc 
fit .  b.b .%  quadratum  oefcriptum  fit.  b.f.  b.  g.  £>ico  cp ;  a.b.  ficcft  otuifa  in 
puncto.b.qO  illud  qb  fit  e%  tota.a.b.in  eius  poitioucm.b.a.eft  equalc  quadrato 
b.b.,pduco.g.b.vfq5  ad.k.que  erit  ccjuidiftans.a.cq:  crgo  linca  .d.b.  oinifa  cft 
pcr  cqualia  in.c.i  eft  fibi  addira  linca.b.f.crit  pcr.^.bnius  q6  ftt  ccd.f.in.b.f.cu 
quadrato.cb.cquale  quadrato.eXquarc  i  quadrato.c.a.  .Quare  p  pcimltimam 


II 


piiiut-.qnadratiis  ouay  lincarum.e.b.^.b.a.crgooempro  ab  vtrifq;  qaadrato  K/ 

ncc.c.b.erit qo  fit ccd.f.in.b.f.? ipfti  eft fupcrficics.d.g  .equalc  quadrato  lincc 
a.b.crgo  ocmpto  ab  vtrifqj  paralclogramo.b.d.crit  quadratu.b.f.eqnalc  galello 
gramo.b.cz  quia  quadratum.b.f.eft  quadratum  lincc.b.b.c  galellograinu.b.c. 
ptoducitur ccca.quc eft equalis.a.b.in.a.b.pater  factum effc  p:opofitu.  GHd 
boc  aute  faciendum  in  numcris  non  labo:cs:quia  impoffibile  cft  numerum  fic  oi/ 
uidi:  Vt  bic  vndecima  pioponit  ficut  fcics  fejcti.29.tc  oocentc. 

1^>2opofitio   .12. 

fj  1R  bis  triangulis  qut  obtulnm  babent  angnlum:  tanto  ea 
que  obtafum  fubtendit  angulum  :ambobus  reliqois  lateri 
busqueobtufumcontoientangulumampliuspotert.qua 
tneftqoc6tinefbillubvnoeo^:atq5eaquenbi  oirecte 
iucta  ad  obtufum  angulu  a  ppediculari  ejctra  oepbcndit;. 
GSit  triangnlus.a.b.cbabens angulum.a.obtufum.a  puncto.concaf  linca  g/ 
pendicularis  ad  linea.b.a.que  neccflario  cadet  ejctra  triangulu.a.b.c  alioq*n  an/ 
gulus  obtufus  cflct  rcctus  aut  mino:  recto  p.i  <s.pjimi:fit  ergo.cd.  perp  *ndicula 
ris  fuperlincam.a.b.pjoductam  vfq$  ad.d.  £>ico  qp  quadratum  Iateris.b.cq6 
fubtenditur  angulo  obtufo  tanto  maius  eft  ouabns  quadratis  ouarum  lincarum 
a.b.T.a.c.ambicutibus  ipfum  angulum obtufum.quantum cft  illud qo  fit ej.b. 
a.in.a.d.bis:  potcntia  eni  lincc  refpcctu  qdrati  fui  eft.vnde  tm  oicif  poffe  linea 
quclibcC  qnautfi  in  fcoucrap:oducif.£ntcni  p.4-bui9  qdratu.b.d.cqualc  ©uo/ 
bus  quadratis  ouarum  liricarum.b.a.f.a.d.?  ouplo  eius  qb  fit  cjc.b.a.in.a.  d.et 
quia  quadratum.b.c.per  pcnultimam  p:imi  cft  cquale  quadrato.b.d.i  quadrato 
d.c.ipfum  erit  cquale  quadratis  trium  lincarum.b.a.a.d.  t.dx.  1  ouplo  cius  qo' 
fitecb.a.i.a.d.fcdgcandcquadratii.a.cecqualcquadratis.a.d.cd.ccrgoq/ 
dratum.b.c.cft  equalc  quadratis  onarum  lincarum.b.a.i.c.  a.c  ouplo  cius  qd  ftt 
ccb.a.tn.a.d.quarc.b.c.tanroampliuspoteftouabusiincis.b.a.a.cquantum 
c(toupIucius.q6fitccb.a.in.a.d.  ^amcnimoijrimuscptanwoicitur  poffe  \i/ 
nca  quclibct  quanrum  in  fc  oucta  p:oducit  quod  cft  p:opofitum. 

Ilbzopofitio    .ij. 

|  Xlfjms  oxigonij  tanto  ea  que  acutum  refpictt  anguln  am 
bobus  latcribusangnluinacutumcontincntibus  minus 
potefhquatum  eli  qt>  bis  continetur  fub  vno  eo:um  cui  g 

i  pendicularis  intra  fnperftat:eaq5  fui  parte:que  perpendi 

\\  culari  anguloq^  acuto  interiacet. 
CQuod  bic  p:oponitur  oe  latcrc  fubtcufo  alicui  angulo  acuto  in  triangulo  ojci/ 
gonio  Vcritatcm  babet  oc latcrc fubtenfo  cuilibet  angulo  acuto  in  omni  triangu/ 
lo  fiuc  fiat  oHbogonius  fiuc  ambligoni9  fiuc  oxigonius.  GSit  ergo  in  triangulo 
a.b.cquicuq,  triangulus  fuerit.angulus.c.acutus  qui  fi  fuerit  ojiigonius  oucatur 
ppcndicularis  ab  vtroq^  anguloy.a.vcl.b.ad  vtraq^  bafim.b.cvd,a.cquia  cum 
fic fuerit  fcmpcr cadcr perpcndicnlaris inrra  triangulum.Si autern  fit  ambligo/ 
mus  aut  o:tbogonius  ab  angulo  obtnfo  vcl  rccro  oncatur  perpcndicularis  ad  la 
tus  oppofitu  qua  manifcltu  eft  cadcre  intra  tnangulu:?  ut  fimplicitcr  oicam  cum 
momni  triangulo  funt  ouoacutiangulineccflarioerita!terreliquo2J  angu!o:fi. 
qui  funt.a.«.b.acutus.Ducam  igitur  pcrpcndiculare  ad  lineam  illam  quc  ouobus 

b4 


LIBER 

Bcntis  interiacet.SIt.  ergo  vt  triaiiguU.a.b.c.anguIus.b.etu  fit  aeutus  ouca  :ergo 
ad  b.cppediculare  q  fit.a.d.que  vt  oictu  cft  cadet  intra  triangulii.oico  itaqj  q>  q/ 
dratum.a.b.q6fubtendif  angulo  acuto.c.tanto  minus  cft  ouobtis  quadratis  ou/ 
arum  linearu.a.ct.cb.quatu  oupltl  eius  q6  fit  ejc.b.c.iu.d.c.  GZ5d  oico  q>  qua/ 
dratum.a.c.qo  etiam  fubtenditur  angulo.b.quc  pofuimus  acutum  quicquid  fuc/ 
rit  oe  angulo.a.tanto  minus  cft  ouobus  quadraris  ouarum  liucarum.a.b.?.b.c 
quatu  eft  ouplum  eius  q6  fit  ejc.c.b.in.b.d.frit  enim  pa.7  Jjuius  quadratu  .b.c 
tomquadrato.d.c.equale  ciquodfitci:.b.c.in.d.c.bi8«  quadrato  altcrius  gtis 
Iq.b.d.quare  addito  vtriq^  quadrato.a.d.erit  quadratu.b.ccii  quadratis  omp 
linearum.a.d.i.d.cequale quadratis  ouarum linearum.a.d.i.d.b.s ouplo  eius 
quod  fit  ccc.b.in.c.d.at  quia  per  pcnultimam  p:imi  quadratum.a  .ceft  equaie 
quadratis  ouarum  Unea:u5.a.d.?.d.cerirtiuadratum.b.c.cum  quadrato  .a.ce/ 
qualc  quadratis  ouarum  lincarum.a.d.t.b.d.c  ouplo  cius  quod  fit  ej.b.ci.cd. 
fed per candcm pcnultimam piimiquadratu.a.b.equu  cft  quadratis ouarum U/ 
nearum.a.d.?.b.d.crgo  quadratum.b.ccum  quadrato.a.ccquum  eft  quadraro 
a.b.c  ouplo  eiusq6  fit  ejc.b.ci.c.d.quarc  tanto  min"  poteft.a.b.ouobus  laterib* 
b.cc.a.cquantu  cft  duplum  eius  quod  fit  ex.b.c.in.cd.quod  cft  piopqfitu.  Si/ 
mili modo pjobabis latus.a.cq6 fubtenditur angulo.b.acuto polTc  tanto  min9 
ouobuslatcribus;8.b.c.b.cquantumeft  ouplmncius  :quodfitecc  b.iu.  b.d. 
CHotaduautpcrbanccp^ecedcnte^pcnultimampjimi:  cp  coguitis  lateribus 
omnis  triaiiguli  cognofctf  area  ipfius  i  aujtliantibus  tabulis  oc  co:da  1  arcu  co/ 
gnofcitur  omnis  cius  anguUis. 

1fb:opofitio  .14. 
2Uo  trigono  eqtmm  qnadratum  oefcribere. 
GSit  oatus  trigonus.a  cui  nos  volumus  equum  quadratS  oefcrfoe 
rc.Dcfignabo  fuperficie  equidiftauttum  latcrum  z  rccto:um  augulo 
rum  cqualcm  trigono  oato  ftn  quod  oocct42.p:imi:fitq3  fupcrfici/ 
cs  illa.b.cd.c.cuius  fi  latcra  fucrint  cqualia  babemus  q6  qucrim9. 
ipfa  cni  cnt  qdrata.p.  oiffinttionc  Si  aut  latcra  fint  ineqlia  tuc  adiiiga  mm9  ipfo 
romlateru  maioiifrmrectitudine.fitq^Iinea.c.f.equalisminon  011032  latertiqoe 
ce.adtuncta  maio:i quod cft.b.c.f>m recritudiue.Iotam.b.f.oiuidam  pcr  equa/ 
lia  in  pucto.g.c  facto.g.cctro  fug  linea.b.f.fon  quaritatc  linee.g.b.  ocfcribant  fe/ 
micirculu.b.b.f.c  latus.c.c.pduca  vfcjuequo  fecct  circuferentia  iu  puncto.b.oico 
cp  quadratu  linee.c.b.eft  equale  trigono  oato."P>:oduca  linea.g.b.c  q:  Unea  .b.f. 
oiuifa  e  g  cqualta  in.g.  ?g  tnequalia  iu.c.erit  g.y.bui9qo  fit  cx  ouctn.b.ci.cf.cfi 
qdrato.c. g.equale qdrato.g.f.quare z quadrato.g.b.quare per penultima  p:i/ 
mi  i  ouobus  quadratis  oua^  lineay.g.ct.cb.ergo  oempto  vtriqj  quadrato.c.g 
erit  q6  fit  ccb.cin.c.f.q6  cft  cquale  fuperfictei.b.c.eo  cp.e.f.e  equale.c.c.  cqualc 
quadrato  lincc.cb.quarc  quadratii  lincccb.e  cqualc  trtgono.a.qo  e  p:opofitu: 
C£t  nota  q>  g  boc  inucnif  Iat°tetragonicu  cuiuflibj  altera  ptelogio:is  z  fimplici/ 
tcr  omnis  figure  rectis  lincis  c5tcnte  quecuqj  merit.qm  omnc  figura  tale  in  trian 
gulos  rcfolucm9  «  cuiuflib^  illo£  trianguloaim  inucnicm9tctragonicu  latus  f>m  00 
ctrmamifrws.?inncnicmusperpainltimamp:imi.lincam  vnam  quc  poffit in 
omnia  latera  tetragouica  inucnta.vcrbi  gratia  volo  nunc  tnuemre  latus  tetrago/ 
nicu  rectilince  figure  irrcgularis  .a.b.cd.c.f.rcfoIuo  eam.in.  3  .triangulos  qui  ftic 


II 


a.b.f.c.d.e.T.c.f.c.  3»uaiioquoq5  Pm  ooctritiam  iftiustrialatera  tctragoiiica 
ifto£  triumtriansulorum.quifunt.g.b.b.k.T.k.I^crigo.b.k.pcrpcndiculariter 
fuper.g.b.s  p:oduco.g.k.eritq5  pcr  penultirna  quadratum  p:imi.g.k.equale  qua 
dratis ouarum  lincarum.g.b.s.b.k.i  tertium  latus.k.l.crigo  pcrpcudicularitcr 
fupcr  lineam.g.k.z  p:oduco  lincam.g.l.critqj  per  penultimam  pjimi.g.l.latus  tc 
tragonicum  totius  figure  rcctilincc  p:opofite.  fxplicit  liber  fecundus.^ncipit 
libcrtcrtius. 


tWoy  biametri  funr  eqles.ipfos  circulos  ecj 
l  cs  cllc.£)fcaio:es  aiit  quoy  maio:cs  i  mi/ 
n  o:es  e]uo£  mino:es.G,£irculu  linea  pttn/ 
gere  oicitur.quecii  circulu  tangat  iu  vtraqi 
partc  eiccta.ctrculu  non  fecat.GiCtrculi  lele 
contingere  Otcnnf  qui  tangcmes  leinuicem 
non  lecant.GlRccte  linee  in  circulo  equali/ 
tcr  oiftare  oiciif  a  centro.cij  a  ccutro  ad  ip/ 
fas  oucte  perpendiculares  fuerint  equalcs. 
C]fblus  vero  Oiftare  a  centro  Oictt.tn  qua 
=U  ppendtcularis  longio:  cadit.  CiRecta  linea 
poittonficirculic6tine8co2danoiat'.C1fbo2tio  vcro  circuferentie 
arc?  nucupaf .  CSngulus  aii  t  po:tionis  oicif  q  a  co:da  i  arcu  conti/ 
nef.CSup:a  arcn  angulus  conftlkre  oicit.qm  a  quohbet  pficto  ar/ 
cns  ad  co:de  tcrminos  ouabus  rectts  lineis  ejceunttb?  cottnef .  CSe 
ctojcirculidtftguraqfubouab^acetroouctisliueisifub  arcu  qui 
ab  eisc6p:cbendif  cotinef.G&ngulusautquiab  eislineisambitur 
fup:a  centru  coftftere  ©icif  .C0ites  circulo?  po:ti6es  ©icuf  i  quib? 
qui  fup:a  arcttm  conftftuntanguli  libi  inuice  lut  eqles.CSrc^quoq? 
limiles  funt  qufequos  angulos  p:edicto  modo  fulcipiunt. 

1{S:opontio    .1. 
|3f  rculi  ^pofiti  cetrn  inuenire.vii  manifdt  u  e  cp  ouab?  re 
^  lctis  lineis  in  eode  circulo  apud  circuferetta  termtatts  neu 
-  tra  illa?:  altera  per  eqlia  o:tbogonal'r  lccat  nili  ipfa  liiper 
centrum  tranlierit. 

C6it  circulus  pwpofitus.a.b.c.cuius  volumus  ccntrii  inucnirc.  ou 
coinipfocirculolinca.a.c.qualitercuqj contingatquaoiuidopcr  cqualia  ipucto 
d.a  quo  ouco  perpcudicularcm  ad  linca.a.c.qua  applico  circufcrcntie  cjc  vtraq^  p_ 
te.firq^.c.d.b.qua  rurfus  oiuido  g  cqlia  in  piicto.f.que  oico  cfie  cenrru  circuIi.Si 
eni  no e:crit aut alibi  aut  i  linca.e.b.aut cjctra.  3n  linca.c.b.no:  fi cni fucru  i  ca 
vtipuncto.g.crit  .inca.c.f.matolinca.e.g.psvidcl^toto  qbcft  ipoffibile.  Q6 
fifucritc):tralinea.c.b.utinpucto.b.oucanflincc.b.a.b.d.b.c.tq:latcra<b.d.¥s: 
d.a.trianguli.b.d.a.futcqlialaterib^.b.d.t.d.c.trianguli.b.d.c.tbafis.b.a.ba 
fi.b.c.eritE-8-p:imiangul9.3.d.b.eqIisangulo.c.d.b.qreVtcrq3rect9cq:angu 
lus.a.d.b.fuit£tiarccc'crit.a.d.b.cqlis.a.d.b.g.3pctitionci>iigs  vidclicetto 
ti  q6  e  ipoffi.bile.n6  e  ergo  cetru  oati  circuli  alicubi  qua  i  pucto.f.qb  e  p:opofitu . 


LIBER 


Ifcsjopofitio   .2. 
■^per  circuli  circtl  ferentiam  ouobus  puncris  figrtatis.li/ 

neam  rectam  ouctam  ab  altero  ad  alterum.circulum  feca 
renecelleeft. 

GSit  vt  in  crrcufcrcntia  ciroili.a.b.cuius  ccntruj  fir.cfignara  fint 
ouo  puncta  que  funr.a.i.b.oico  cp  linea  rccta  coniugens  vnn  cum 
cum  altcro  fccabit  circnlum.aiioquin  cadct  crtra  circulurmfitq^.a.c.b.linea  rccta 
fi pofTibtle  cft:produti lineas.ca.f.cb.erntq^  pcr.  j.pjimi:angulus.c  a.b.i.c 
b.a.equalesrpjotrabam  itc  linca.ce.quc  fccct  circifercntiam  in  puncto.d.  critq^ 
pcr.  itf.p:imi:angulus.a.e.c.maioj  angulo.cb.cquare  maioj  angulo.ca.c.  qua 
repcr.  i  s.ciufdcm  latus.a.cmaius  laterc.ccc  quia.cd.cft  equalis.ca.crit.cd 
maioj.ce.pars toto quod eft impofi'ibiIc:ciuia crgo linea coniungcns ouo  pucta 
a.b.non  tranfibit  extra  circulum  fccabit  ipfum  quod  eft  pjopofitum. 
Ifcuopolitio    .?. 
Hgflj  3f  lineam  intra  circulum  pzeter  centrum  collocatam .  alia 
WMfi centro veniens per equa  fecct.o:tbogonaliter  fug eam 
^  inftlTere.-zfuneam  ojtbogonaliterfieterit.eamrj  equa/ 
'Q®0%lr  I  *ia  0'u^cre  »ecefle  elr. 
^ifljGSit  vt  lincam.a.b.collocata  intra  circulum.a.b.cuius  ccntrum  fit 


clinea.c  d.vciiics  a  cetro  oiuidat  g  eqlia:  oico  cj>  oiuidit  eam  onbogonalitcr.i  e 
conuerfo  vidclicet  fi  oiuidit  eam  ojtbogonalitcr  oiuidit  cam  pcr  cqua!ia:pjoduca 
lincas.ca.t.cb.?  pona  primo  q>  oiuidat  ca  per  eqlia:  crut  crgo  ouo  latcra.cd. 
t.d.a.trianguli.cd.a.cqualiaouobuslatmbus.cd.i.d.b.trianguli.cd.b.tba/ 
fis.ca.bafi.cb.crgo  pcr.s.p:imi:angulu3.d.vnius  cft  cqualis  angulo.d.altcrius 
quarc  vtcrq,  rccrus:quarc.cd.cft  pcrpcndicularis  fupcr.a.b.qo  cft  pjopofitum. 
Gponam  itcrum  cp.cd.fit  pcrpendicularis  fupcr-a.b.?  oftendam  q>  ipfa  oiui/ 
dit.a.b.per  cqualia  crit  cnim  ^ppter  banc  pofitione  vterqj  anguloy  qui  funt  ad.d 
rectus  quarc  vnus  cqualis  alteri.  3t  qj  p  •  y  .pjimi  angulus.ca.d.eft  equalis  an/ 
gulo.cb.d.i  latus.ca.cqlc  latcri.cb.pcr.2<f.pjimi:eiufdcm  erit  linea.a.d.cqua/ 
li3  lincc.d.b.quod  cft  pjopofitum. 

l£>:opofitio    .4. 
3f  intra  circnliim  oue  linee  fe  imiiccm  fecent.  1  fuper  ccn/ 
rru  non  tranfeant.no  per  equalia  eas  fecari  necelfe  cft. 
(GSttvtineirculo.a.b.cd.cui9ccntrufit.e.ouelincc.a.C'j.b.d.fc 
ccnt  fc  in  pucto.f.c  vtraq,  ca?z  vel  altera  non  trafcat  per  ccnt22.otco 
q>  ipfe  uo  oiuidunt  fcfe  p  cqualia:ita  q>  vrraqj  g  cqualia  oiuidat  ab 
altcra.GOo  fi  fucrit  boc  pofttbile:ponat  1  fic  pjimo  vt  ncntra  rrafcat  p  ccntrum 
a  ccntro.c.pjoduca  linea.c.f.critq,  p  p:ima  pjcmilTe  vnufquifq5.4.  anguloy:  qut 
funt.3.f.c.e.f.cb.f.cr.c.f.d.rcrt9q6eimponibile:ficcnircct9elTctminojrccto. 
GSit  igit  Vt  altcra  coy  trafcat  g  ccnti/  1  altcra  n6:fitq5.b.d.traficns  per  ccntrum 
adbuc  oico  q>  no  oiuidunt  fcfc  pcr  cqualia:q6  fi  fictunc  p  pjima  gte  pjcmificcii 
b.d.oucta  a  ccntro  oinidat.a .cpcr  equalia  oiuidat  ea  02tbogonalitcr.  quarc  ctia 
a.coiuidet.b.d.ojtbogonalitCT^qjoiuidit.a.cipfa.b.d.peqTiavtponitaducr 
farius:ipfa  tranfibit  pcr  ccntrum  f  cr  cojjclarium  pjime  buius:quarc  ambc  tran  / 
feunt  pcr  centrum  quod  eftcontra  fpotbefim. 


mmmm 


wm 


III 


1(b20pofitio   .y. 

3f  rculo2um  k  inuicem  fccantium  cemra  oiuerfa  effe. 

GSint  ouo  cvrculi.a.c.b.a.d.b.fecantes  fc  fupcr  ouo  puncta.a.T.b 
Dico  q>  co:um  funt  oiucrfa  ccntra.  C6i  cnim  babcrct  idcm  cerrum 
ipfu  cvir  pcroiffinitione  111  po:tionc  vtriq^  circulo  c6muni:fitq5  illud 
e.coucanturlincc.e.a.-ir.c.f.c.crautq^poininitioiiconclincc.c.a.c 

6.f.cquaIc8«G3tcmq5PcroifFiiiitionemouelince.c.a.-j.e.c.cqualcs:quarcc.f. 

cft  cqualis.e.c.cum  vtraq^  earum  fir  cqualis.c.a.pars  Vidclicct  toti  q6  eft  impof/ 

fibile. 

Ijfc^qpofttio    .e. 


I  3frculo2um  fe  fe  contingentium  no  idem  centrnm  effe  ne/ 
icefTcefr. 

CSint  ouo circuli.a.b.s.a.c.contingentcs fc in  puncto.a.  £>ico  <p 
co.umfuntoiucrfaccutra.Sicnimbabuerint  idem  ccntrum  crit  g 
oiffinitionem  intcr  minojem  coy  cum  mino:  pofitus  fuerit  itra  ma 
io:cm:fitq5  ipfum.d.s  oucantur  Imce.d.a.t.d.b.c.eritq^  pcr  oiffinioncm  vtraq^ 
ouarum  lincarum.d.b.c.d.c.cqualis.a.d.qtf  cft  impofubile.CDe  circulis  autcm 
fc  coiuiugcntibus  cxtra  quo:um  fc^  vuus  cft  c^tra  altcrii:manifcfttim  cft  pcr  oiffi 
nitioncm  cciitri  q6  ipfi  nou  babcnt  idem  ccntrum. 

llb^opofitio    .7. 

$  in  biametro  circult  punctus  pjcter  centrum  figuctur:? 
ab  eo  ad  circuferentiam  lince  plurime  oucaturque  fuper 
ccntrum  tranfierttomnium  entlongiffima.quevero  Ofa 
metrum  perficietomnium  CTitb:cutfrtma.que  autem  ccn 
_  tro  ptojrime  ceteris  longio2es.  G£5uanto  vero  a  centro 
remotio2ce  ranto  b2eui02cs  efle  conucmct.Gi&uas  quoq?  cquidifra 
rct?  lincc  b2cut(Ttme  collatcralos  equales  efle  neceffe  eft. 
C5it  vt in  oiamctro.a.f.circuli.a.b.c.cuius ccntrum  fit.b.fit  ftgnatus  punctus 
k.pKtcrccntrumaquooucanturplurimclinccqucfunt.k.a.k.b.k.c.k.d.k.c.k:. 
f.l^g.ad circumfcrcntiam:? tranfcat.a.k.pcr  ccntrum.b.t.k.f.fit  complcmctiim 
oyamctri:ftrq5  vt.k.c.c.k.g.equidiftcnt  a.k.f.boc  cft  oiccre  vt  anguUis.c.k.f.fit 
equ3li^angulo.f.k.g.oicocp.k.a.cftomniumlou5iffim3.c.k.f.omniumbieuif/ 
fima:aticvcrotantol6gio:csquatoce'troppiiiquio:cs:vt.k.b.eft  longio:.  k.c.z 
k.c-.cft  longio:.  k.d.f.k.d.longio:.  k.e.T.  k.  c.f.k.g.  funt  cqualcs:  quia  cnim  ir» 
triangulo.b.k.b.ouo  latcra.b.b.?.b.k.per.2o.p:imi:funt  maio:a  laterc.b.  k  .et 
ipfa funt cqualia  lincc.a.k.crit.a.k.mato:  b.k.?  cademrationc maio:  omnibus 
alijs?boccftp:imum.C3rcmq5quiain  triangulo.c.b.k.ouo  latcra  .b.k.ct.  k. 
cpcr  candem  funt  maio:a  latcre.b.e.quodcft  cquale  lince.b.f.ipfaerutma 
to:a  linea.b.f.  ergo  ocmpta  communi  lincaque  eft.b.k.remanebit.k.c.maio: 
k.f .cadcm  ratione  qudibct  aliarum  crit  maio:  ipfa  ?  boc  eft  fecundum.  C  licof, 
q:  ouo  latcra.b.b.?.b.k.trianguli  .b.b.k.funt  cqualia  ouob9  latenb9  .c.b.t.b.k 


LIEBR 


trisnguli.cb.k.c  angulus.b.b.k.c  maio:  anstilo.c.b.k.  erit  e.24.pjimi  bafis  .b- 
k.maio:  bafi.k.c.cade  ronc.k.cmsio:  erit.k.d.c.k.d.m8io:.k.c.  i  boc  c  tertium 
CQ6  (i  oue  linee.k.g.i.k.e.no  funt  equales  crit  altera  maioj:fitq5.k.g.  oe  q  fu/ 
mam.k.l.cqualem.k.c?  p:oduca.b.l.quoufqj  fecet  circuferentiam  in  puncto.m» 
i  q:  pcr  ypotbefim  sngulus.g.k.f.e  cquslis  anguIo.f.k.e.erit  pcr.  1 3.pjimi:angu 
lus.l.k.b.equalisangulo.c.k.b.-zouolatcra.l.k.^.k.b.trianguli.l.k.b.futequa 
lia  ouobuslaterib''.e.k.?.k.b.trianguU.c.k.b.crgo  p_4.p:imi  bafis.b.l.  eft  cqua 
lis  bafi.b.c?  q:.b.m.eft  cqualis.b.c.ait.b-m.equalis.b.l.qo  e  tmpolYibilcfunt 
ergo  ouc  lince.k.g.?.k.e.equalcs  qo*  cft  noftrii  p:opofi;um.quartum 

ljb:opofirio  .s. 

%  cjttra  circuUim  puncto  lignato  ab  eo  ad  circumferenti/ 
amuneeplurime  tmcantur  circulum  fecando.quefuper 
centrum  tranfierit  omninm  trit  lougiflima .  CCcntro  au 
tem  p:opinquio:es  ceteris  remotio:ibus  l6gto:cs.  GEi 
neeveropartialesadcircuferentiai;  ejrtrinieaisapplica 

te:ea  quidem  queoiametro  in  oirectum  adtacet  omnium  cft  mimma. 

eiq5  p:optnquio:es  remotio:ibns  b:euio:es.C©ue  vcro  que  litiee 

b:eutflime  vtru  q5  cquc  p:opinquat  equales  funt. 

C5it  vt in  puncto.a.affignato  c#ra circulu.b.cd.cuius ccntrum  fit.u.  oucatur 

plurimc  linec  ad  circufcrcntiam  fccando  circulum  que  fint.a.k.n.b.a.b.c.a.g.d. 

c.a.f.cDico  g>.a.b.tranficns  pcrccntrum  omniu  crit  longiffima.c  cp.a.c.e  ma/ 

io:.a.d.c.a.d.maio:.a.c.i  cy.s.k.e omniii  b:cuiffima  cjtrinfccai/;  '?  cp.g.b.  cft 

mino:.a.g.i.a.g.mino:.3.f.^oicoc|)fiouc3tur.3.1.tt3cjpipf3t.a.b.cqu3litoi/ 
ftent  3b.3.k.boc  cft  cp  angulus.k.a.b.fit  cqualis  augulo.l.a.k.ipfc  erut  cqualcs 

Cp:oduc3cniacctro.n.lincas.n.c.n.d.n.c.n.f.n.g.in.b.crutq5pcr.2o.pjinji 
ouolatCTS.a.n.t.n.c.trianguli.a.n.c.maioja.a.czqnpfafuntcqualialmce.a.b 
crit.a.b.m3io:.3.c.e3dc3  rationc  erit  msio:  omnibus  3lijsq6  cft  p:imum.?  quia 

ouol3tcr3.3.n.«.n.c.tnanguli.a.n.c.funtequaliaouobuslatCTibus.a.n.c.n.d. 
trianguli.a.n.d.i  angulus.a.n.ceft  maio:  angulo.a.n.  d.  erit  pcr.z4.p:imi:ba/ 
fis.a.cmaioj  bafi.a.d.t  cade  ronc  erit.a.d.msioj.s.e.qb  eft  fc6m.C3tcq5  quia 
intriagulo.a.n.b.ouolatcr3.3.b.i.n.b.funtm3ioja.a.n.per.2o.p:imi.i.b.n.e 
cqualis.n.k.erit  per  comunc  fciam.a.b.maio:.a.k.cadcm  ronc  quclibct  ejctrinfe/ 
cus  applic3t3y  msio:  erit.3.k.q6  eft  tcrtiuj.  C^tcm  qui3  per.2i.pjimi:ouc  lince 
a.b.c.b.n.funtminojesouabuslineis.a.g.z.g.n.c.b.n.cftcqualis.g.n.critpcr 
communcm  fcientiam.a.g.maioj.a.b.eadcm  ronc  crit.a.f.matoj.a.g.qo  equar/ 
mm.CQ6fi.a.l.non  fitcquaIis.3.b.cumipfcfintcqualitcroiftatcs  ab.a.k  .crit 

8lteramaio::fitq5.a.l.ponamcrgo.a.m.equaIcm.a.b.jpjoducam.u.o.m.quia 
crgo  ouolatera.m.a.f.a.n.trianguli.m.a.n.funtcqualiacuobus  larerib9.  b.a.? 
a.n.trianguli.b.a.n.c  angulus.m.a.n.eft  equalis  angulo.b.a.  n.erit  per.4.pii/ 

mi-.bafis.m.n.equalis  b3fi.n.b.«  quia.m.o.cft  cquslis.n.b.erit.n.o.equalis  .n. 
m.  pars  viddicet  toti  q6  cft  impolTibilc  i  boc  eft  quintu 

Ijbiopofirio    .?. 


III 


%  intra  circulii  puncto  fignato.ab  co  plures  q?  oue  lince 
oucte  ad  ctrcu  feraittam  fiierint  equales.punctu  illud  cen 
truni  circuU  elVe  necelTe  eft. 

GSitvtapuncto.a.fignatointracirculu\b.c.d.»uctefint.?.lince.3 
b.a.c.a.d.ad  circufercntta  quas  pono  cc cqualcs  oico  punctum.a. 
effc  ccntrfi  circuli.pioduca  cnim  ouas  lincas.c.b.c.d.c.c  oiuida  Vtraqj  ea£  g  eq 
lia.c.b.quidcm  in  puncro.cz.d.c.inpuncto.f.cp^oducam.e.a.c.f.a.  quas  ap/ 
plico  circufcrcnric  cjc  vtraqj  partc.eritq^  pcr.s.p:imi  vtcrq^  angulo:u  qui  funt.a . 
d.e.cqfaltcri.igir  p.  i  j  .vterq,  crit  rcct9.Sil'r  quoq,  p  eade  Vterqj  anguloy  q  fut.a 
d.f.rcctus:crgo  per  cojjelariu  p:imc  buius.quia.a.c.oiuidit.c.b.pcr  cqualia  z  o:/ 
tbogonaliter  ipfa  tranftt  per  ccntru.fimilirer  quoqj.a.f.tranftt  pcr  ccntrum.  qua 
oiuidit  .d.c  .per  cqualia  «  OJtbogonaliter.quare.a.c  ccntru  q6  cft  p:opofitum 
1f&:opofitio  .10. 
0  circulus  circnlum  fecet.in  ouobus  tantum  locts  fecare 
neceffeeft. 

GSint  fipoffibilc  cftouocirculifecantcsfein  pluribusq^inouo 
bu3  locis  fupcr  .j.puncta.a.b.c.pjoducam  lincas.a.b.-r.a.c.  quas 
oiuidam  pcr  equalia  in  punctis.d.c.e.s  pjoducam  a  puncto.c.liue 
am.c.f.perpcndicuIarcmfupCTlineam.a.c.tapuncto.d.lincam.d.  f.ppcndicu/ 
larcm  fupcr  lineam.a.b.  i  fecent  fc  oue  linec.e.f.et.d.f.i  puncto.  f.  entq^  pcr  coi 
Klarinmpzime  buiuspunctuj.f.ccntrumcirculi  vtriufq5  qD  cft  impofubile.  per 
5-buins.  1|b:opolitio    .11. 

3f  circulus  circulum  contingat.lineaq5  per  centra  eozum 
tranfeat.ad  punctum  coutactus  ea?  applicari  neceffe  eft. 
CSi  cnim  linca  tranficns  per  ccntra  ouojum  ctrculojum.c.e.ct.d.c 
fefe  contingcutium  intra  vf  cjctra.-no  vadit  ad  locum  contactus  fc/ 
cct  circufcrentiam  Vtriufqjifitq^.a.centrum  circuli.e.d.ct.b.  centrii 
tircult.c.c.ct  oucatur  linea  rccta.a.b.c.clfecans  circiifercntiam  vti  iufqj:  ct  oucan 
turlinccapuncto.e.quifitlocuscontactus  ad  centra  quc  fint.  c.a.c.b.  cruntqj 
inc6tactuintcrio:i.p.io.pmiouelinec.e.b.c.b.a.longio:cs.e.a.qrclongio:es.a 
d.cftctiim.a.ccutrii.drculi.e.d.tqm.b.c.cirequalis.e.b.qm.b.cftccntrumcircu 
li.e.c.crit.c.a.longio:.a.d.q6  eft  iinpofftbilc.G3n  coractu  vcro  exterioji  eriit  oue 
linec.a.cz.e.b.lougiojcs.a.b.quarc.a.d.c.c.b.matus  erut  gp  tota.a.b.qo  cft  fal 
fum.  1(b:opofitio    .12. 

]]  3f  circulus  cirailum  contingat  Itue  inmnfecus  fmc  cjctrin 
lecns.in  vno  tantum  loco  contingere  neceffe  eft. 
GSi  cni  fucrit  poffibile.vt  circulus  circulu  cotingat  m  ouob9  locis 
intravfcxtracotingatcirculu.a.b.ctd.circulus.a.b.e.interi^iouo/ 
bus  pnctis.a.b.vel  ctfcri'  circulus.c.d.f.i  ouob9puctis.c.d.£u  cr/ 
go  oucemus  Itnca  recta  ab.a.ad.b.fi  ipfa  cadat  ejtra  circulu  .a.b.e.  intcrioje  ac/ 
cidet  ptrariu  fccude  bui9..Q6  fi  ipfa  cadat  intra  ipfu:cu  oiuiferimus  ipfa  p  cqua/ 
lia  1  cdinxrim9  a  piicto  oionis  ppcnditularc  ad  ipfa.fucritq,  applicata.circumfe/ 
reutic  q.  vtraq^  pte  ipfa  traubit  p  ccntru  ambo?  circuloy.quare  accidct  cotrarium 
p:cmiffe.G3n  circulo  vero  cotingcntc  cxteri9  in  puctis.cd.fi  oucam9  linca  rccta 
3  puncto.oad  pimctu.d.nccclTe  eft  acciderc  ptranu  k  b9.quarc  Vtruq5  tpoffibile 


0^~»_--*^ 


LIBER 


1fb:opolitio  -ij. 
/£ctelineeincircuJo  ftraerintequaleseasa  centroeqtri 
oiftare.ifiacentroequidiftiterint  equalesefle  neccfle 
eft. 

G5it  vt  (n  circulo.3.b.od.cuius  ccnrrum  fit.c.DucImcc.a.b.T.cd 
fint  cquales.oico  gp  ipfe  cquidiftsnt  a  ccntro  z  econuerfo .  'prcoduca 
tur  enim  a  centro.c.linec.c.f  .t.cg.perpendiculares  ad.a.  d.c.b.  c.  critq5  per.z. 
partem  tcrtiebui°.a.d.oiuifa  perequ3li3.tn.f.cb.c.in.g;qiergd  ouo  latcra.e.d 
«.d.a.trianguli.c.d.a.funt  cqualia  ouobus  lateribus.cc.i.c.b.trisnguli.e  .c.b. 
1  bafe.ca.bafi.c.b.crit  pcr.s.p:imi  3ngu!us.d.equalis  angulo.o?  q:  ouo  late/ 
r3.e.d.T.d.f.tri3UguIi  .c.d.  f.funt  equsha  ouobus  lateribus.coccg.triangulf 
cc.g.Tlam.d.f.clr  cquali3.c.g.co  cp  tot3.a.d.pofita  cft  cqualis.  b.c.l  angulus 
d.cft  cqualis  angulo.c.crit  pcr^.piimi  bafis.cf.equalis  bafi.cg.  i  qma  ifte  fut 
gpedicuktres  vcnietcs  ad  eas  a  cctro  patet  g  oimnitionc:fiuc.4-bui9ipfas  eqliter 
oiftarc  a  ccntro.Gaiiter  idem.Quadratu  cnim.cd.pcr  pcnultimam  p:imi  valet 
qusdrsts  ousrum  lincarum.cf.-z.f  .d.s  quadratum.cc.quadrata  cuaru  lincaro 
que  funt.c.g.c.c.g.c  quia  quadratum.d.ccft  cqualc  quadrato.oc.s  quadratum 
d.f.quadrato.g.c.crit  quadratu.cf.cquale  quadrat0.cg.qu3rccf.eft  cqualcc 
g.ficq,  patct  idem.Sit  ergo.cf.equalis.c.g.qo  cft  cas  equalirer  oiftsrc  3  ccntro. 
cico  tunc  cp  .a.d.cft  cqualis.b.c.d.cquadratis  cni  ouarum  linesrum.od.c.co 
equslibus  ocmptis  quadratis  ouarnm  lincarum.  c.i.z  .cg.  cquaiibus  rcmanct 
pcr  pcnultimain  pnrni  quadrsta  ouaruj  lincarum.f  .d.-og.  c.q  pcr  comune  fcien 
tiam  neceffe  cft  elTe  cqualiatquatcf.d.cft  equalis.g.c.crgo  oupium.f.d.qts  cft.a. 
d.eft  eqnalc  ouplo.j.c.quod  cft.b.oc  bec  eft  fcoa  pars  pjopofiti. 
1(b:opofitio  .14. 
%  intra  circulum  plunmc  rectc  lincececidcrint  t>iametru 
eius  omntum  longiflimam.  eiq5p:opinquio:esremoti/ 
o:ibns  longio:es  efle  neccfle  cft. 
CSit  vt  in  circulo.a.b.c.ciiius  ccntrum.e.cadant  plnrimc  linec  que 
fint.3.b.3.c.a.d.f.g.b.k.fitq5.3.cd.oi3meter.oicoipfameffelon 


giffimsm  z  slias  tanto  maio2cs  quanto  funt  ipfi  p:optnquio:es.  oucantur  cnim 
3  centro.c  lince  ad  etfrcmitstes  omniumque  fint.cb.e.oe.f.ob.cck.cruntqj 
pcr.20.p:imi  ouo  laters.cf.i.e.g.trisnguli.c  f.g.longioai.f.g.cquisipfs  funt 
equ3lia.a.d.erit.3.d.m3io:.f.g.C3demr3tioncm3to:aitcJ.3.c.qui3.a.e.'Z.cc. 
funt maio:a.3.ci  cqualia.a.d.crgo.a.d.msio: cft.a.c.fic quoq^  eft  maio:.b.k. 
z  traio:  ctia  cj.s.b.  .Qdsutcm.f.g.fit  msio:.b.k.  c.3.c.3.b.patet.quia  per.24, 
p:imi  cum  ouo  latcra.f.e.ccg.triBnguli.f.cg.fint  equalia  ouobus  latenb9.b.e. 
c.ok.trianguli.b.ok.?  angulus.f.e.g.msio:  angulo.b.ck.erit  bafis.f.g.maioi 
bafi.b.k.6imiIiterquoq5quia.a.c«.cc.funtcquali3.3.ci.e.b.«3ngutus.a.c< 
maio:  angulo.a.cb.crit  bafis.s.c.maio:  bafi.3.b.«  fic  eft  p:opofitum. 

1[b:opofitio   .10 
3f  ab  altero  termino:u  oiamctri  cuuiflibetcirculi  o:tbo/ 
gonalitcr  linea  recta  oucatur.ejrtra  circnlum  eam  cadere 
neceffe  eft.GStqj  inter  illaiu  1  circulu  alta  linea  reoa  ca 


III 

pi  impolTtbilc  cfic&ngulum  autem  ab  illa  i  circufercntia  eonteiitii. 
oiintium  acutojtim  angulo:um  efleangufiiHimum.  C&ngulum  vero 
intriniecum  a  Oiametro  i  circumferentia  contentttm  oinnium  angulo 
rutn  acuto:um  cfleampltflimum  neceftecft.CSfndectiam  mantteftfi 
eftontnem  liueam  rectam  a  termio  Oiametricuiullibct  circuli  o:tbo 
gonaliter  ouctam  circulum  ipfum  contingere. 
CSir  vt  a  tcrmio  a  oiamctri.a.c.circuli.a.  b.c.cui9cct^.d.oucai'  liuca  cntbogona 
Iitcr:oico  cp  ipfa  cadit  cjctra  circulum.i  cp  iutcr  lineam  iliam  i  ciraifcrcntia  nulla 
alia  rccta  liuca  itcrcipit:?  cp  angulus  quc  ipfa  z  circufcrctia  cotinct  e  mino:  omni 
angnlo  rcctihnco  qui  vidchcct  a  ouabus  rcctio  lincis  contincttir.  *  cp  angulus  co 
tentus  a  oiamctro  i  circumfcrcntia  cft  maio:  omni  angulo  rcctilinco  acuto.CSi 
enim  linca  oucta.  ab.a  o:tbogonalitcr  fupcr.a.c.uncaimpoteft  cadcre  infra  cir/ 
cnlu.fittllaliuca.a.b.joucaturliura.d.b.critqjpcr.f.pmniangurld.a.b.equa 
lisangulo.d.b.a.cquiaangulus.d.b.a.cftrcctusperypotbcfim.babcbit  trian/ 
gulus.a.b.d.ouos  angulos  rcctos  quod  cft  impoffibilc.g.  32.p:imi:  CCadct  cr/ 
gocxtrafitqj.a.c.qjfiiutcripfamecircufcreutiapotlincarccta  intcrcipi  fit  tlla 
a.f.ad  qua  oucaf  pcrpendicularis.d.g.s  quia  angulus.d.g.a.dt  rcctus.crit  p.  i  s. 
pjimt liuca.a.d.lcngio: linca.d.g.quod cft impoffibile.quarc  inrcr ipfam  %  ctrcii 
fcrentia  nulla  linca  recta  inrcrcipict.C^optcr  quod  patct  cp  angui9c6tcnrus.ab 
e.a.c  rirctifcrciitia  qui  oicitur  angulus  contiugcntie  c  miiio:  omni  angulo  a  oua/ 
bus  rcctis  liucis  contcnto.Si  enim  aliquis  rcctilincus  angttlus  clTct  angulo  cotii» 
gcntic  cqualis.aut  co  mino:  cum  omnis  talis  poffit  pcr  cqualia  oitiidi  fccudu  oo 
ctrinaj.p.primi  intcr  linca.a.c.-z  circufcrcntiam  poflct  linca  rccta  itcrcipi  g>  roon 
ftrauimus  cfl  "c  no  poffc.per  quod  patct  angulum  contcntum  a  oiamctro  i  circu/ 
ferciiriaomniumacutouim  rectiliiico:umelYcmaio:cm.quianon  oitfcrta  rccto 
nifi  w  angulo  coiitingentie  qucm  monftrauimus  cffc  mino:cm  omni  rcctili/ 
nco.G  £o:!dariii  patct  per  p:imam  partcm.£um  enim  liuea  .a.c.in  vtraq^  par/ 
tcm  crcctanonfccctcirculumctangatipfuminpuncto.a.ipfa  cft  contingensg 
oiffinitioiicm.O£xbocnotandtimcpu6  valctilta  argumcntatio.boctranfit  3 
mino:i  ad  maius.s  pcr  omnia  mcdia.crgo  pcr  cqualc.nec  ilta  contingit  rcpcrirc 
maius  boc  c  minus  eodcm  crgo  cotingit  rcpcrirc  cqualc.boc  autem  ftc  patct.  Sit 
circulus.a.b.  fuper  ccntrum.c.cuius  oiametcr  .a.c.b.  1  oucatur  ab  cius  tcrmino 
a.linca.a.d.o:tbogonalitcr:entq5  contingens  circulumpcr  co::clarium  buius. 
Defcribat  itcrii  fttp  puctu.a.frn  quatitate  oiamctri.a.b.circul9.b.c.d.,j  tmagmet 
linca.a.b.moucri  fupcr  punctum.a.per  circumfercntiam  arcus.b.c.d.ita  cp  pun/ 
ctum.b.numerct  omnia  puncta  arcus.b.e.d.quoufqj  perucniat  ad  lineam.  a.d. 
z  cooperiat  ipfam.c  quia  angulus.b.a.d.eft  rcctus:  erit  vt  116  fit  fumcrc  aliqucm 
angulum  acutum cui cqtiale non  feccrit linca.a.b.cum  oiamctro  .a.c.b.  minotis 
circuli.quia  tranfiuit  ad  angulum  rcctum  owumcraus  fitum  omnium  angu!o:um 
acntouim  quo:um  mauifcftum  cft  quofdam  cffc  mino:es  angulo  femicirculi  con 
tcnto  a  femicircumfcrcntia.a.b.ioiamctro.a.c.b.cangulum  rcctum  mani/ 
fcftumeft  cffcmaio:emeodcm.Dicocpitullusintranfitu  ab  acutis  mino:ibus 
ad  rccto  maio:e  intcrmedius  fuit  ci  equalis.Si  cni  fucrit  altquis:fit  vt  illu  feccrit 
linea  .a.  b.  ciim  punctus.  b.fuit  in  puncto  .c.  arcus  .b.  e.  d.  quia  crgo  angulus 


LIBER 

e.  a.b.cft  cqualis  augulo  femicirculi  piedicto:angulus  aut  femicirculi  c  ampHITim9 
omniu  acuto:/  p_  vltima  parte  buiusicrit  angulus.e.a.b.ampufftm0  omniu  acuto 
ru:oiuidaf  crgo  augulus.e.a.d.ftcut  propofuit.9.piimi  g  equalia  oucta  linca.a.f. 
entq^  p  coccptionc  angulus.f.a.b.oplio2  angulo.e.a.b.quare  erit  aliqd  apli9am/ 
pliffimo  quod  e  ipolTibile.CIiicl  fic  cu  angulus  e.a.b.fit  cqualis  angulo  fcmicircu 
li  ficut  ponif  .St  angulus  femicirculi  cu  angulo  cotingetic  c  cqualis  vni  recto.Si/ 
miIiterquoq5angulus.e.a.b.cuangulo.e.a.d.ccqualisvnirecto:critangul9.c.a 
d.equalis  augulo  cotingentie:c  qi  angulus  cotingentic  e  anguftiffimus  omnium 
acutoy  pcr.j.ptcm  buiusxrit fimilitcr angulus.c.a.d.fibi equalis  auguftilTimus 
omniu  aeutojj.fcd  angul9,  e.a.f.c  eo  anguftk»  p  c6ccptione:crit  crgo  aliquid  au/ 
guftius anguftiffimo  quod c  impoffibilc:CTIoii  crgo crit angulus  rectilinc9  cqua 
lis  angulo  femicirculi  i  qj  trafirur  a  miuoji  ad  maius  z  non  g  equale.  3te  qj  cft  rc 
perirc  mrnox  co  i  maioie  :patet  inftantia  cotra  vtraqj  argumetatione  picdictam 
Z5nde  pcr  intcrcmptioncm  ad  illud  eft  refpondendum. 
f^Offetpiobariquodanguluscontiiigentie  cft  oiuifibilis  fcbm  linca  rcctavt 
■^-"coftat  pcr  ftguratione  bic  a  laterc  pofitam.£crtum  c  cj?  angulus  qui  caufaf  ejc 
cotactu  ouojz  circul02j  vel  fgap  c  angulus  contingentic  %  talis  oiuidaf  per  linca.c. 
g:qibic  babcf  rriangulus.  b.g.k.cuiusbafis.b.k.oiuidaturpcrcqualia  inpun/ 
cro.e.?  pjotrabaf  verfus.g-conractum  z  arguitur  pcr.4.pjimi.  oeindc  g.  16.  bu/ 
iusi  patct^pofitum. 

Ifbzopolttio  .16. 
Ji^5»ato  puncto  aaOatumcircululineacotingente  oucerc. 
I  CSitcircuIusoatus.a.b.cuifanqz.c.punctufq^  oatur.d.volo  ergo 
I  a  puncto.d.ouccre  linea  ptingente  circulu.a.b.,pduco  linca.d.c.fe/ 
|  cantc^  circufcrentia circuli.a.b.tn  puncto.a.fug qua  ocfcribo circu/ 
!  lum.d.c.fecudu  quatitate  linec.d.c.concetricu  circulo.a.b.c  a  pucro 
3.pjoducoIiiic3m.a.e.ppendiculare5adlinea.d.c.quefecetcircuferentiacirculi.d 
e.in  pnncto.c.  ■z.pduco  linea.c.c.fccantecircijferetiacirculi.a.b.inpuiicto.b.oe/ 
indc  pjoducoltuca.d.b.quccrit  c6niigcnseirculum.a.b.q:  cui  ouo  latcra.a.c.  ct 
c.e.trianguli.a.c.e.funtequaliaouobuslatcrib^.b.c.t.c.d.trianguli.b.c.d.ian/ 
gulus.c.e cois  vtriq^  erit p_ .4.pjimi  angulus.e.a.c.cqualis  angulo  .d.b.c.  angu/ 
lu8autem.c.a.c.eftrectu6quarcangulus.d.b.c.cftrectu8:p.cojJcIariumergop2C 
cedcntis  erit  linca.d.b.contingcns  circulum.a.b  .quod  cft  pjopofitum. 
1|b:opofitto  .17. 
3f  circulnm  liuea  recta  contingat  a  contactu  vero  ad  ccw 
tram  Unea  recta  Oucatur.necefTe  eft  eam  fuper  linea  con 
tingentem  effe  perpendicularem . 
GSitunea.a.b.contingenscirculum.c.e.cuiusccntrufit.d.inpun 
cto.c.qut  iungatur  cii  centro  pa  lineam.c.d.  oico  banc  cffe  perpcn  / 
oicularem  fuper  lineam  contingcntem.St  cnim  non  eft  perpendicularis  ad  ipfa. 
fit  ergo.d.f.perpendicnlaris  ad eandem  que fecet circuferentiam circuli x  puncto 
e.eritq5  vtcrq^anguloiumquifunt.ad.f.rcctusigiturper.is. pjtmilinca.  cd.eft 
maioi  linea.d.f.quod  eft  impoffibile:£onftat  itaq^.d.c.cffe  perpendicularcm  fu 
pcr.a.b.quod  cft  piopofitum. 


III 

1fb:opofttio   .1». 
|  "§  circnlu  linea  recta  cotingat:-?  a  cotacm  in  circuluj  linea 
i  queda  o:tboganalitcroucat'.ieadcceqzeeneceflec. 
iGsitvtpjiusltnea.a.b.contingcnscirculum.cc.inpuncto.cc.a 
|  contactu  oucat  intra  circulfi.c.c.linca perpendicularis ad lincam.a. 
b.oico  q>  centrum  circuli  ctt  in  linea.c.e.c  eft  couerfa  pjiojis.Si  eni 
non  fucrit  ccntru  in  linea  .c.eJtt  alibi  vbicunq3  c6tingat.fitq5.d.f:  .pducat  Iinea.d 
c.critq5.d.c.pcrpjemiffampcrpcndtculari8adlinca.a.b.q6efrimpoflibilecu.c. 
c.poftta  fit  pcrpendicularis  ad  ipfam:quare  patct  p:opofitum. 
1£>:opoiitio.    i?. 
3f  intra  circnlum  angulus  fupra  centru  confiftat:  alius  vc 
ro  angulus  fup:a  circuferetia  cdTtftes  cade  baiim  babeat 
inferio:  luperiori  ouplus  erit. 

CSit  vt  in  circulo.a.b.c.  cuius  centrfi.d  .fiat  angulus.  a.d.c.fupcr 
Jcentru  z  angulus.a.b.c.fug  circufercntia.fitq^  vtriufq^  angnli  cadc 
bafis'cj  fit  arcus.a.ceico  angnlu.a.d.couplu  effe  ad  angulu.a.b.c.CQo  fic  p/ 
batur.Sut  cni  oue  lincc.a.b.f.b.c.icludut  ouas  lincas.a.d.c.d.c.aut  altera  ca?2 
ftt  linca  vna  cu  altcra  rcliquar.aut  etia  altera  pjimsrum  fccat  altera  poftremaru 
C5it  crgo  pjimo  vt  includant  eos  vt  in  pjima  figurationc  apparer.?  pjcducarur 
Iinc3.b.d.c.CTitq5per.j2.pjimt:angulus.a.d.c.cxtrinfccusequalisouob''iutrin/ 
fccts qui funt.b.a.d.c.a.b.d.anguli  z  quia ipfi funt cquates per.ccrofdc  erit an/ 
guluSi3.d.e.ouplusadangulu.a.b.d.umilitcrquoq5critaugutus.e.d.c.  ouplus 
ad atigulii.d.b.cquarc  totus angulus.a.d.c.ouplus c  ad  totu  angulu.  a.b.c.qtj 
cft  pjopofitum.CQo  fi  altera ouaEluuarum.a.b.s.b.cfiat linea  vna  cu  altera 
ouar  lincar  q  funt.a.d.c.d.c.vt  in  fccuda  figuratione  apparet.pcr  cafdc  p  quas 
pjiusjc fimilt  mo  liquet ,ppofitum.CQ6  fi altcra ouarum pjimar fecct  alteram 
ouarum  pofrremarum.vt  in.  j.figuratione  apparct.vbi  linca.a.b.fccat  liuca.d.c. 
pjoducatur linca.b.d.c.critq^ pcr cafde^ quas pjius affumpfimus z finuli  modo 
angulus.c.d.a.ouptus  ad  angulu.d.b.a .1  totus angulus.e.d.c.ouplus  ad  totu 
angutu.d.b.cquarc  angulus.d.b.c.oupl9  c  ad  angulu.a.b.c  qo  eft  pjopofitum. 
1(b:opofttio  .20 
i]3f  fovna  circuli  po:tioneangalifuper  arcutn  conftftant 
angulos  quoilibet  efle  equales  ncccffe  dt. 
C5it  vt  in  pojtionc.a.d.b.circuli.a.d.b.cuins  ccntrum.f.cofiftant 
I  quoflibet  anguli  fuper  arcum.a.d.b.qni  fut.cd.e.oico  eos  ce  equa/ 
I  lcs.pjotrabsturenicojda.a.b.iab  ciuscjctremitatibustoucantur 
tn  centrum  linec.a.f.c.b.f.eritq^  per  pjemiffam  angulus.f .  coufiftcns  fupcr  cen/ 
tru  ad  vnuqueq^  cojum.ouplusiquare  ipfi  fnnt  cqualcs:q6  eft  pjopofitum. 
i£>:opofttio  .21. 
3f  intracircnlumquadrilateru  befcribat.  qnoflibet  eius 
ouos  angulos  ejc  aducrfo  collocatos  ouobus  rectis  angt» 
lis  equos  cfle  nccdTe  eft. 

CSit  quadrilatcru.a.b.c.d.infcriptu  circulo.a.  b.cd.  oicoquofq; 
y  ouos  ei9angulos  c*  aducrfo  collocatos  ce  eqles  ouob"  rcctis.,prra/ 
banf  cnt  m  qdnlarcro  oiamertri.a.cb.d.eritq5  p.  piemiffa  angulus.  cb.d.  eqlis 

e 


LIBER 

atignlo.c.a.d.fangulas.a.b.d.angulo.a.c.d.quarctotus.a.b.d.erit  cqlisouo/ 
busangulisquiuint.a.c.d.c.c.a.d.cquiaipftcumatigulo.a.d.c.funteqlcsouo 
busrcctis.pcr.52.p2imi:  cruntouo  auguli.b.totalis.c.d.totalis  cqualcs  ouob0 
rcctis  quod  cft  pjopofitum.Sirmlitcr  quocg  p:obabitur  angulos.  a.i.c.  totaks 
clTc  equalcs  ouobus  rcctis. 

IfittOpofltiO     .22 

6la$  ctrculi  fimifcs  po:tiones  inequales.fuper  vnam  rc/ 
cram  lineam  afltgnati.  qc  eade  parte  cadcre  impoflibile  e 

G5;t  linca  rccta  affignata.3.b.fuB  qua  fiat  po2tio  circuli.a.c.b.oi/ 
co  cp  fup.  candein  linea  e*  parte  cadem  non  fiet  alia  poztio  quc  fit  fi 
milis  buic.t  ca  mai02  aut  mino2.G.Qd  (i  fuerit  boc  poffibilc  fiat  er 
go  po2tio.a.d.b.maioj  ca  que  tamen  fit  fimilis  ci.fiat  ergo  angulus.a.c.  b.i  po: 
tioncmino2i.iangulus.a.d.b.in  maio:i.eritcrgo  vt  linec.a.d.c  ,d.b.  includant 
lincas.a.c.i.c.b.  vt  p,  i  figuratioc  p2ima.aut  vt  altcra  primarum  fiat  cadem  cum 
altcra  poftrcmaz?.  vt  in  fcba.aut  vt  altcra  fccet  altcram  vt  iu  tertia.GQo  fi  fucrit 
p:imo  mo  erit  pcr.21 .  p2imi:  agulus.c.maio^  angulo.d.no  crgo  fiit  po2tioncs  fi/ 
miles  pcr  oiffinitionc.  Qi>  fi  fcoo  modo  erit  ad  buc  angulus.c.maio2  angulo.d. 
pcr.  ts.ciufdem.ncc  fic  igif  erut  po^tiones  fimilcs.Si  aut  tertio  modo  fit  ut  linea 
a.d.fccct  ltncam..c.b.?  (ccct  circufcrcntiam  po2tionts  mino2is  in  puncto.e.t  ou/ 
catlinca.e.b.critq5geadc'.itf.p2imi:angulus.a.e.b.pfiftefipo2ti6c.a.c.b.maioj 
agtilo.d.f^.c.c cqlts.c.pao.b0 qre.c.e mate.d.qre nullo  mo  fitcs.  GStfi  quoqj 
mo,pbabi8  cp  fup  linca.  a.b.no  ftct  po2tio  fttis  p02tioni.a.c.b.mio2.c.a.pofito.c 
m  loco.d.T.cl.in  loco.  c.in  figurationibus  picdtctis.crit  cni  pcr  p^cmiffas  fcj  per 
21.7.1 5.p2imi:^p2cmilTomodoangnIu0.d.omnitjfigurationn  maio:  angulo.c. 
quarc  po:tiones  116  erut  fimilcs.Gft  nota  cp  licet  p^oponatur  fupcr  lineam  vna^ 
116  poffc  ficri  portiones  fimilcs  incquales  qc  cadcm  parte. verum  eft  tame  q>  ncc 
c%  oiucrfis  qb  licct  p^obare  mino2i  que  eft  cj:  Vna  partc  fuppofita  mat02i  quc  c  ejc 
alia  .ncccffe  eni.crit  per  comunem  fciam  ipfam  a  maio:i  cjccedi.  non  crgo  funt  fi/ 
milcspcrbanc.22. 

lJb:opofitio  .2j. 

3f  circulo:umfimilcspo:tionesfuperiinea8  equas  fiic/ 
riut.ipfas  po:tiones  equales  clfe  nccefre  eft. 

GSint  oue  lincc.a.b.c.c.d.cqualcs  fupcr  quas  fint  ouc  po2tioncs 

circulo2iim.a.c.b.c.f.d.que  fuut  finnles.oico  q>  ipfe  funt  equales. 

fi  cnim  non  funt  equalcs  altcra  carum  fuppofira  altcri  ejcccdct  ma/ 

io2 mino2em.  fcd linea  .a.b.non  cycedet lincam.cd.ncc ejcedetur ab ca:  cum ftnt 

cqualcs.quare  accidit  contrariu^  pmiffc  qo  e  tmpoffibile.ctut  cni.a.b.c.c.d.liuea 

Vna. 

•J£>:opofit.io   .24. 

%ii  femicircuU.fiae  femicirculo  maio:is  mino:ifue"  po:tt 
I'  omscirculum  perficere. 
,G3ntentum  per  banc  codufione  eft  eje  omni  arcn  Oato  fiuc  ex  omni 

circulipottioneoatapcrficerecircuIum.Sitergo.a.b.  quilibctarc'' . 


III 


c%  quo  volo  pcrficere  circulum  p:orrabam  in  eo  ouas  lincas  qualitcrcunqj  cotm 
satqucfint.a.cc.b.d.quasoiuidampercquaiia.a.cquidaipuncto.c.f.b.d.in 
puncto.f.c  p:otrabam.c.g.pcrpciidtcularcm  ad.a.c  ,«.f.b  .pcrpcndicuiarcm  ad 
b.d.que  fcccnt  fe  in  puncto.k.critq3  per  co::ct.p:ime  buius  centru  circuli  in  vtra/ 
qj  linearum.c.g.cf.b.quarcccntrumeft  punctii.k.Si  autem.cg.non  fecct.  f.b. 
fcdfintlineavna.qucadmodneritfiouelincc.a.c.c.b.d.lintequidiftantes  tunc 
ipfa  applicabif  circuferettc  oati  axf.q:  vtraq>  ptc  ipfa  igif  oiuifa  p  mediii  i  pucto 
k.erit  ibi  cciura  circuli  pcr  idcm  co::cf.£quidiltantcs  autem  non  crut.c.g.  c.f.b. 
quia  cum  in  vtraq^  fit  centrum  circuli  per  oictum  co::cf  .ellent  eiufdem  orculi  ouo 
ccntra.Sic  poteft  oc  omni  arcu  fiuc  oc  omni  pouione  comuniter  oemoftrari  qua 
liter  inde  circulus  pcrficiatur.GQuia  tamcn  aucto:  vidcf  banc  coclufione  vana/ 
rc  ftn  oiuerfas  fpecies  arcuu  omniu  po:tionu  enumcrado  fpccies:oemdftrabim° 
oiuifimpcrfpecicsqualitercx  omnipomoncoatacirculus  perficiatur.  Sitcrgo 
p:imu.a.b.po:tio  oata  fcmicirculus.crirq5  pcr  oiffinitione  fcmicirculi.linca  .a.b. 
oiametri.ea  igitur  oiuifa  per  medium  in  puncto.c.ent.cceutru  circuli.GSit  rur 
fns poitio.a.c.b.femicirctilo  maio: cuius co:da  fit.a.b.qua  ouiido  per cqualia m 
puncto.d.a  quo  ouco.d.c.perpendicularcm  ad  ipfam  quc  tranfibit  pcr  centrum 
per  co::cf.p:imc  buius:?  p:otrabo  lineam.a.cz  quia  linea.a.b.eft  miuo:  oiame 
tro  cnm  fit.a.c.b.poitio  maio:  fcmicirculorcrit.a.d.  mino:  fcmidiamctro.fcd.d.c 
cft  maio: fcmidiametro.  crgo.d.c.cft  maio:  cj^.a.d.ergo  per.i9.p:imr.  angulus 
ca.d.eft  maio:  angtrfo.a.cd.fiat itaq^  per.2j.p:imi:angulus.ca.e  cqualis  an/ 
gulo.a.cd.p:oducta  linea.a.e.quc  fecct  lineam.c.d.in  puncto.e.eritqj  p  icxta  pri 
mi.linea.a.e.cqualis  lincc.c.cp:oducaf  igitur  linea.c.b  .eritqj  pcr.4-p:imi  hnea 
c.b.equalistiiicc.a.e.quarctrcslincc.c.9,e.b.c.c(unt  eqnalcs  crgo  per^.buius 
c.cft  ccntrum  circuli.GSit  itcrum.a.c.b.po:tio  mino:  fcmictrculo.cuius  co:da  lit 
a.b.qua  oiuido  per  cqualia  in  puncto.d.a  quo  p:oduco  lincam.cd.e.pcrpendicu 
larem  ad  tinea.a.b.que  fecet  circurerenti9m  in  puncto.c  bac  mantfeftu  eft  traufi 
rc  pcr  centrum  pcr  conelarium  p:imcbuius.p:oduco  iterii  Uneam.a.c-.critqj  an/ 
gnlus.a.cd.maio:  angltlo.ca.d.fi  cft  equalis  erit  po:tio.9.c.b,  fcmicirculus.?  fi 
mino:  crit  maio:  femicirculo:pofitu  eft  aute"  cp  fit  mino:.p:oduco  lgitur  linca  .a. 
e.quc  cum  linca.a.c.faciat  angulii  equalem  angulo.ci  fccet  lineam.cf.in  puncto 
c.i  manifcftu  e  q>  punctum.e.c9d9t  c«ra  09t9in  ponionc.';  p:oduco  lincam.cb 
1  quia  augulus.a>totali8  eft  equalis  gngulo.c  .crit  pcr.c.p:imi  linc9.c.9.equalis 
Imce.e.cs quia per quarta p:imilinca  .cb.eft  equalis  tmcc  e.a.  ent per.9.  bu/ 
ms  punctu.e.centfum  circuli  quare  patct  p:opofitum  f>m  omnes  fpecics  po:tio/ 
numcirculi. 

1(b2opolitio    2$. 
3f  in  equis  circulis  feu  iiiper  centra.  fen  fug  circuferetias 
equales  anguli  confiftant.fuper  equos  arcus  eos  cadere 
uecefieeft. 

•flSint ouo  circuli  equales.a.b.c.cnius ccntru.d.cc»f.g.cuius  ceu 
tru.b.t  fiat  fup:a  cetra  co?z  ono  anguli.a.d.cccb.g.  qui  ponanf 
equales.oico  ouas  arcus.a.b.cJ.cf.g.effe  equales.pratrabantur  ouc  Itneca.c 
t.e.g.«  liiant  ouo  anguli  in  circuferentiis  ipfo:u3  confiftentes  fupia  p:cdictos  ar 
cus  qui  fint  angutus.a,  b.c.i  angulus.c.f.g.quia  ergo  circuli  funt  equales.  erunt 


I 


LIBER 

pcr  diffuritione^  cqualium  circitoum  femidiametri  equates:?  quia  Ouo  auguli.d 
c.b.funt equates crit per.4.p:imi:linea  .a.c.equalis ttnee.cg.?  per. i j.buius  erit 
angutus.b.equalis  angulo.f.cum.d.angulus  fit  cqualis  angulo  .b.crgo  pcr  oirTi/ 
uitioncm  fimilium  pouionum  oue  pouiones.a.b.c.c.e.f.g.funt  fimtles:?  q:  ipfe 
funt  fup_  lincas.a.c.s.cg.equales  ipfc  crunt  cquales  per.23 .  buius:  quare  arc9.a 
b.cz.e.f.g.funtequales..Q6uahguu.b.'Z.f.qut  funtin  circufercutia  ponantur 
equales  crunt  pcr  oiffinittonc  poniones  fimilcs  i  anguli.d.?.b  .cqualcs  g.  1 9.  bu 
ius  :i  quia  circuli  funt  cquates  per  pofitionem  crunt  per  .4.  p:imi:  ouc  lince.a.c. 
c.cg.cquates  quare  nt  p:ius  poniones  cqualcs  pcr.23.buws  cum  ftnt  fimilcs  z 
fuper  cquales  lineas.igitur  1  arcus  equalcs  :quod  eft  p:opofitnm. 

Iftwopofirto   .26. 
3f  in  equis  circulis  cqui  fumatur  arcns.infra  tllos  fo:ma/ 
tos  angulos.  qui  fup:a  centra  eoy  feu  fup:a  circumfere  / 
tias  cdftituatur  equos  effe  rteceffe  eft. 

CSint  vt  pjius  ouo  circuli.a.b.c.cuius  ccntru.d.c.e.f.g.cui9ccntru 
b.fintqj  ouo  arcus.a.b.c.s.e.f.g.cquales  fiantq5  fupcr  ipfos  arcus 
ouo  anguli  tn  centro  qui  fint  .&.i.  b.ouctis.a.d.c.d.e.b.g  .b.  ^temq^  fupcr  eof/ 
dem  arcus  fiant  ouo  alii  anguli  in  circumfercntia  qui  fint.b.r.f.ouctts  lineis.a.b 
c.b.cf.c.g.f.oico  duos  angulos  d.cb.adinuice  ec  ecjles  3teq5  ouos.b.i.f.adin 
uicem  cffe  cquales  1  cft  bec  conucrfa  p1t02is.fi  enim  non  funt.d.c.  b.anguli  ad  ii» 
uiccm  cquales:fit  ergo.b.maio:  a  quo  abfctndatur  angulus.k.b.g.qui  fit  equalis 
angulo.d.critq^  per  p:emiffam  arcus.k.e.f  .g.equalis  arcui.a.b.c.  fed  ouo  arcus 
a.b.c.c.e.f.g.poftti  funt  cquales:accidet  ergo  parte  cffc  equalem  toti:  quod  c  im/ 
poffibilc:quare  angnli.d.f  .b.totalcs  funt  equales.  GSimili  quoq^  modo  p:oba 
bis  angulos.b.cf.effe  equalcs.  vel  fi  maius  p:obato  cj>  anguli.d.?.b.fint  cqus/ 
les.fcquitur.b.?.f.effe  equales  per.  1 ^.buius  1  econucrfo. 

1(b:opofttio  .27. 
3f  irt  circuhs  equalibus  eque  linee  arcus  refecent.  arcus 
quoqj  equos  effe.fi  aute  hnee  f equales  ftiertnt  arc9  quo 
q5  inequales.?  a  maio:elinea  maio:em  arcum:a  mino:e 
vero  mino:em  abfcindi  neceffarifi  eft. 
CSint  ouo  circult  equales.a.b.c.cuius  centy.d.i.cf.g.cui*  cetru, 
b.fitq^  co:da.a.c.cqlis  co:de.e.g.oico  ouos  arcus.a.b.cz.e.f.g.quos  pdicte  coi 
de  cyprcdtctis  circulis  refecant  cfle  cquales..Qd  fi  co:da.e.g.ponaf  maio:  co:da 
a.c.oico  arcu.e.f.g.effe  maio:e  arcu.a.b.c|b:imu  quidem  fic  p:obat  oucantur  a 
ccntrislinecadextrcmitarcsco^dayquefint.d.a.d.c.b.c.b.g.^quiacircuti  pofi 
ti  funt  fo:e  cqles.crut  bcc  fcmidi3mctri  cquales.c  q:  linca.  a.c.  pofita  cft  cqualis 
linee.e.g.erit  per.8.p:imi:angulus.d.equalis  angu!o.b.totali:quare  pcr.2f.bui9 
erit  arcus.a.b.c.equatis  arcui.e.f.g.ficq^  patct  p:imnm.  fcom  fic.  fit.cg.  maioz 
a.c.critq5per.2y.p:imi3ngulu6.b.maio:anguIo.d.fiatcrgoangulus.f.b.g.eq/ 
lis  angulo.d.crirq5  pcr.2j-buius  arcus.f.g.equalis  9Kui.a.b.c.quarc  arcus.  e.f. 
g.eft  maio:  arcu.a.b.c.quod  eft  fctfm.  .ppofitu. 


III 

1fb:opofttio    .23. 

3frculo:um  equalium  cquos  arcus.equae  co:das babe/ 
renecdleelt. 

C5int  ouo  circuli  cqualcs.a.b.ccniusccntrum.d.cc.f.g  .cui9  ccn 
trnm.b.fitqj  arcus.a.b.cequalis  arcui.  e.f.g.  oico  q>  co:da.a.  c.cft 
cqualis  co:dc.e.g.?  cft  bec  conuerfa  prime  partis  p:emiffe.G,Ducat 
Ii!icc.d.a.d.c.b.c.b.g.cruutq5  pera<>.buius  anguli.d.-cb.equalcs-.quare  g  quar/ 
tamp:i:ni:crit.3.ccqu3lis.c.g.quodcftp:opofitum.  Quccunqj  autcm  piobate 
funt  paffiones  oe  oiucrfis  circulis  cqualibus  intelligc  multo  foitius  veras  cffe  oc 
codem. 

1(b:opofitio  .29. 
lSratn  arcum  per  equalia  Oiuidere . 
GSit  oatus  arcus.a.b.c.cui  fubtendatur  «nda.a.cque  oiuidaf  pcr 
|cqualia'u  puncto.d.a  quo  oucatur  perpendicularis  ad  ipfa^  quc  fit 
jd.b.fccans  circuferentiam  oati  arcus  in  puncto.b.que  oico  oiuidere 
loarumarcumpercqnalia.ducantnrenimlince.b.a.b.c.que  crutcq 
lcs pcr-4.  p:imi quare p. p:ima partcm.27.bui9arcus.a.b.crit cqualis  arcui.b.c. 


quodeftp:opofitum. 


Ifcsopofitio   -30. 


^rectitineusatigulusinremicirculofupia  arcum  confi/ 
ftat.rcctusefr.Sivero  in  po:tione  femtcirculo  mino:e 
rccto  maio: .  2»i  autem  in  po:tione  femtcirculo  maio:e 
rectomitio2.G5Kmc15omiJt8  po:tionis  angnlus  fcmt/ 
circulomaio:isrectomaio:.miuo:is  vero  rtcto  mino: 
ocneceffitatecrit. 

GSit  vt  iti  circulo.a.b.c.cuins  ccntrum.d.c  oiamcter.a.d.cfcmicirculus.  a.b.c. 
in  cuius  femicirculi  circumfcrentia  fiat  angulus.a.b.c.ouctis  lineis.a.b.i.b.coi/ 
co  illum  angulum  cffe  rcctum.pwrrabatur  ab  ipfo  angulo  in  ccntrum  linca  .b.d. 
eritqj  pcr  quinta  p:imi:  angulus.a.b.d.equalis  anguto.a.?  angulus.d.b.c.  cqua 
lisangulo.ccquiaagulus.cd.b.ecqualisouobusangulis.d.b.a.  c.a.pcr.jz.p 
mi:ipfc  crit  ouplus  ad  angulum.d.b.a.cadem  rationc  angulus.a.d.b.ouprcrit 
ad  angulum.d.b.c.crgo  0110  anguIi.cd.b.?.a.d.b.oupIi  funt ad totalcm  angu/ 
lum.a.b.c.fcd  ipfi funt  cqualcs ouobus rcctis.  per. i}.p:imi:  crit  igitur  angulus 
a.b.ctotalis  mcdictas  ouo:um rccto:um:quare  rcctus  quod cft  primum  p:opo/ 
fitum.G3de  alitcr  pwtrabatur.b.c  vfq>  ad.e.critqj  per.  32.p:imi:angulus  .a.b. 
cequalis  ouobus  angulis.a.?  .c.-zquia  angulus.a  .eft  equalis  angulo  .a.b.  d.ct 
angulus.cangulo.cb.d.crif  angulus.a.b.c.cqualis  totali  agulo.a.b.ccrgo  vtcr 
%  co:um  cft  rcctus  pcr  oiffinitionem.GScoo  fic  patcdit  in  circulo.  a.b.c.  cuius 
ccntrum.d.po:tio.a.b.c.cuius  co:da.a.cmaio:  femicirculo:?  fiat  fupcr  cius  cir/ 
fcrctuiamangulus.a.b.couctislincis.b.a.c.b.coicoillumangulum  cffemino/ 
remrccto.oucanturcnimoiametri.a.d.e.clinca.c.b.critqjpcrprimampartem 
buius.b.totalis  rcmis.quarc  angulus.a.b.ccrit  mino:  recto  per  comuncm  fcicn 
tiam  cum  fit  pars  cins:ficq3  patct  fcom.GXcrtium  fic.Srt  rurfus  in  circulo.  a.b. 

<5 


I 


LIBER 

c.cuius  ecHtram.d.pojtio.a.b.c.cuius  cojda.a.cque  fit  femicirculo  minoj:  i  fiat 
fupcrduscircumfcrcntiamangulus.a.b.c.ouctislmds.b.a.t.b.c.eicobuncan/ 
gulum  clTe  matojem  recto.pjoducantur  aiim  oiametri  a.d.  e  .z  linea.b.e.  eritq) 
pcr  p:imam  parrem  buius  angulus.a.b.e.rcctus.quare  angulus.  a.b.c.  crit  ma/ 
fo:  recto  quod  cft  tcrtium  p:opofitum.C£>uartum  t  quintum  fic.  Sint  in  circulo 
a.fc.c.d.cuius  ccntrnm.e.pojtio.a.b.c.cuius  co:da.a.c.maio:  femicirculo  z  po:/ 
tio.a.d.c.cuius  cade  co:da.a.c.mino:  femicirculo  oico  angulii  contentum  ab  arcu 
b.a.-z  fo:da.a.c.clTe  maio:cm  rccto  i  angulum  contefitum  ab  arcu  .d.a.  i  co:da 
a.c.cffeinino:emrccto.p:oducanturoiametri.c.e.b.'jlme3.b.a.vfq53d.f.eritq5 
per  p:imam  partem  buius  angulus.b.a.c.rcctus.quare  per.  1 j.pjimi  angulus.f. 
a.c.eft  fimiliter  rectus.Onia  igitur  angulus  rcctus  cft  p:imi  z  fecudus  pars  rccri 
euidentcr  patet  vtruq3.qu3rc  tota  liquct  bcc  petbamembris  condufio.  G  ty.  iftis 
au  tcm  ouobus  vltimis  partibus  nota  ctia  inftantism  contra  lllas  ouas  argume/ 
tariones ad quas tulimus inftantiam.in. i  j.buius.tranfitur cnim  ab  angulo poj 
tionis  fcmicirculo  minous  qui  eft  mino:  recto  per  vltimam  partem  buius  ad  an  / 
gulum  po:tionis  femicirculo  maio:is  qui  cft  maio:  recto  pcr  pcnultimam  partem 
buius.non  tamcn  pcr  equalc.£um  cnim  omnis  po:tio  circuli  fit  fcmicirculus  aut 
maio:  fcmicirculo.aut  minor.fif  autcm  tam  angulus  fcmicirculi  pcr  pjimam  par/ 
tcm.  i  j.qua  angulus  po:tionis  mino:is  pcr  vkima  partc  buius  mino:  rccto.  po:/ 
tionis  vcro  maiojis  fit  maio:  recto  .z  \h  116  erit  aliaifpoitionis  agul9.ncc  fimpfr 
aliquis  contcntus  a  circumfcrenria.c  linca  recta  ncc  recfncc  cqlis  recto..Q6  ut  ds 
rius  patcat  fit  i  circulo.a.b.c.cuius  ccnrrum.d.linea.a.b.cui  non  fit  oetcrminatus 
finis  cy.  parte.b.fecans  e%  ipfo  po:tione  fcmicirculo  mino:c'.critq3  pcr  vltitna  par 
tcm  buius  mino:  rccto.buius  circuli  fit  oiamcter.a.d.cz  imaginctur  linca.  a.b. 
moucri  ad  partcm.c.fuper  punctu.a.que  quadin  fucrit  citra.c.vel  in  ipfo.<J.cooj?i 
cns oiamctrum  .a.d.c.facict cum  arcu angulum minojcm  rccto.  3n  omni autcm 
pucto  Vltra.c.velut  in.c.facict  p  pcnult  gtern  b9  angulu  maiojc  recto.traut  crgo  a 
mino:i  ad  maius  non  pcr  equaie.?  ficut  in  rcctilincis  angulis  cft  rcpcrire  traiojcj 
angulo  fcmicirculi  z  minojein.non  tamcequalcm  ut  moftratu  c  .i.  1  j.buius:ftc  iu 
angulis  pomonis  eft  rcperirc  maiorcm  rccto  %  minojcm  non  tamcn  cqu3lcm :  vt 
patct  q.  ifta  oemonftrationc. 

1(b20pofitio   .}l. 

3f  circulum  linea  recta  contingat  1 3  eontactu  in  circultim 
quedam  circulum  fecansrcctaiineap:eter  ceniruni  Ou  / 
catur  quofcunq?  ouos  angulos  cum  contingcte  facit.ouo 
bus  angulis  quimattcrnatis  circuli  fuper  arcus  conft/ 

Ifvunt  po«ionibns:equales  funt. 

CSitrcctalinca.a.b.contingenscirculum.c.d.c.f.cuius  ceutru.g  .in  puncto.d. 
a  quo.d.oucatur  in  circulum  p:etcr  ccntrum  linea.d.f.fccans  ipfum.fiantqjangn 
lus.d.c.f.confiftcns  fuper  arcum  pojtionis.d.c.f.ouctis  lineis.c.d.c.c.f.  z  augu 
lus.d.c.f.confiftensfuperarcumpojtionis.d.e.f.ouctislincis.c.d.c.e.f.oico  an 
gulum.c.cffc  cqualem  angulo.b.d.f.c  angulum.e.  angulo.  a.d.f.  oncantor  cnim 
0iainctri.d.g.b.iliiica.f.b.critq3pcr.i7.buius.d.b.pcrpcndicularisfupcr.a.b. 
1  pcr  pjimam  partem  p:cnii(Teangulus.d.f.b.rectus.quarc  ouo  anguli.a.  d.b.? 


III 


d.f  .b.funr  cqoalcs.pofito  crgo  comuni  ansulo.b.d.f  :crit  angulus.a.d.f.cqualis 

ouobus? aiiijLilis q"i funt.d.f.b. r.b.d.f.fcd bi  ouo  cuiu  angulo.b.  funt  cqualcs 
ouobus rcctis pcr.  32.p:imi:crgo angulus  a.d.f.cum  angulo.b.  cquales  ouobiis 
rcctis.lcd  angulus.a.d.f.cum  angulo.b.d.f.equiualct  ouobus  rectts  pcr.t  i.p:i/ 
mi:crgo  angulus.b.d.f.cft  cqualis  angulo.b.ergo  i  angulo.  cper.20.bu19 1  boc 
cft  pnmum.?quia  ouo  aiiguli.c.i.c.funt  equalcs  ouobus  rcctis  pcr.21.  bui9  crit 
angulus.ccqualis  angulca.d.f.quod  cft  fconi.  23el  tftud  fcom  ftt  angulus.  a.d.f 
cum  angulo.b.equiualct  ouobus  rcctis.vt  pxmonltratum  cft.fed  angulus.ccum 
angulo.b.equiualct  ouobus  rcctis  pcr.21.buius.ergo  angulus.ccft  equaks  angu 
lo.a.d.f.quod  eft  p:opofirum. 

l(b:opolitio  .32. 

^per  oatam  liueam  .circuli  po:tione  oefcribere  capien/ 
tem  angulum.oato  angulum  equalem.feu  rcctum.  leu  ma 
to:em  leu  mino:em  rccto. 

G6it.a.b.linca  oata  f.coatusangulusfuperlincam  a.b.volo  oc 
fcribcre  vna  circuli  ponione  recipiete  i  circuferetia  rectilineii  angulu 
equalem  angulo.c.Si  iguur  fucrit  angulus.c.rccrus  oiuifa.a.b.g  mcdium  oelcri/ 
bain fupcr eam femicirculum.factumq^  ertt  p:opofitum.per  p:imam  partcm.30. 
buius.G6i  aute  fit  obtufus  oucta  lincam.d.a.cum  linca.b.a.  contincnte  equale 
angnlum  augulo.ci  a  puncro.a.oucam  lincam.a  .c.pcrpcndictilarcm  liig  lincam 
a.d.i  fupcr  punctu.b.facia  angulu  g.23  .pmi  cquale  augulo.c.a.b.i  quo  obtufus 
ejicedet  rcctum.oocta  linea.b.f.  vfqj  ad  pcrpendicularem.a.c.cruntqj  pcr.e.pmi: 
linccf.a.?  f.b.equales:facto  itaq^  pucto.f.centro  circuli  ocfcrtbam  bm  quantita/ 
tcm  iinee.f.a:ctrculum.a.b.b.eritq5  per  co::ct'.  1  j.buius  linea.a.d.contingcns  cir 
culum.qnare pcr p:emiffam angulus qui fit  in  po:tionca.b.b.cft cqualis  angu/ 
lo.d.a.b.quarc  1  angulo.cquod  cft  p:opofitum.G6i  autem  angulus.c  fu  acu/ 
tus.p:oducam  Iineam.a.g:coiitincntem  cum  linca.a.b.angulum  cqualem  angu/ 
lo.c.capuucto,a.oucam.a.e.perpciidicularemadlincam.a,g.?uiper  punctum 
b.faciam  angutum  cqualem  angulo.ca.b.in  quo  rcctus  ejccedit  acutu.oucra  linea 
b.f.vfq,  ad  pcrpcndicularc5.a.ccrunrq3  per.<s.p:imi  Itnee.f.a.c.f.b.equales:  fa/ 
cto  itaq^  puncto.f  centro  circuli.oefceibam  0  m  quantitatcm  linccf.a.circulum.a. 
fc.b.critq^  per co::darium.i  j.buius linca.a.g.contingens circulu.quarc  per  p:c/ 
milTam  angulus  qui  ftt  in  poitione.a  .k.b.cft  cqualis  angulo.g.a.  b.  quare  1  an/ 
gulo.cquod  cft  p:opofitum. 

l(b:opolitio    .33. 


S)ato  circulo:t»ato  anguto.cquumaiigulumcapientcm 
po:tionem  abfctn  jere. 

[.Geit-.a.b.oatuscirculus.et.coatusangutus.volocrgoacirculo.a 
:|  b.abfcindcre  po:tionem  vnam  capientem  equale5  angulum  angu/ 
?!  lo.cp:oduco  lincam.d.a.e.contingciitcm  oatum  circulum  in  pun/ 
cto.a.a  quo  oucto  iu  circulum  lmcam.a.b.coiitincntem  cum  Itnea  .a.c  angulum 
cqualem  angulo.ccritcrj  per,?  i.buius  po:tio.a.b.cyiftens  a  partclinee.a.d.rcci/ 
picns  angtilum  equalem  angulo.cquod  cft  p:opofttum. 

C  4 


LIBER 


lib:opofitio   .34. 

3f  intra  circulu;  otie  recte  litiee  fefe  imncem  fecent.  cp  lub 
ouabuspartibuswiusearu;  ,pcedit.equueftei  rcctigu 
lo  qo  fub  ouabus  alterius  liuee  ptibus  cotinctur. 
GSint  ouclmcca.czb.d.fecantcs  fe  in  circulo  a.b.c.d.fupcrpfi/ 
ctii  c.oico  cp  illud  rcctaugnlum  q6  fit  cc  a.ci  cc.cquum  eft  ei  qo  ftt 
cx  b.e.in  e.d.aut  enim  ambc  liuee  a.c.c.b.d.tranfibfit  p_  ccntrum  circuli  aut  altera 
tm  auc  neutra.cp  fi  ambc  tranfcant  per  ccntrii.crit.c.ccntrum  circuli.  oinncfq3-4- 
Unee  equales:  quare  liquct  ^pofitnm.  CQ6  ft  altera  earfi  rantum  traufit  pcr  ccn 
trii  fit  illa.b.d.centrnmq3  circuli  fit.f.aut  crgo.b.d.fecabit  a.c.pcr  equalia  aut  pcr 
incqualia.fecct ergo  pjitno per equalia:critq3perpjima  partej.j.buius fccans  ca 
OJtboganalitcr.oucatur  itaq^  linca.f .c.eritq^  pcr.  5.fccundi  qo  fit  e*  .b.c.in .  c.d  .cu 
quadrato.cf .equale  quadrato  linecf.d.quarc  1  quadrato  linccf.c.crgo  pcr  pc/ 
nultimam  psintf  %  quadratis  ouaj;  linearum.  f.c  %  c  cocmpto  crgo  vtriq,  qua/ 
drato.e.f.eritquodfitccb.cin.cd.equalequadratolinec.ccequia.cc.ccqua 
Iis.a.cpatctp:opofitum.CQ6fi.b.d.tranfienspercentrumfccat.a.c.pcrinccJ 
qualia  a  ccntro.f.oucatur.f.g.perpcndicularis ad.a.ccritqj  pcr  fecundam  par/ 
tcm  tertii  buius.a.g.  equalis  .g.c.  c oucatur  linca.f.c.  eritqj  per.j.feeundiquod 
fit  ecb.cm.cd.cii  quadrato.cf.ee  tdeo  pcr  penultima  pjimi  cii  quadratis  oua 
rum  linearum.f.g.c.g.cpjoptcr  idqo'  angulus.f.g.ce  recto  %  e  cqualis  quadrato 
Unccd.f.c  tdco  Iinee.f.c.pjoptcr  quod  pcr  penultima  pjimi  1  quadratis  ouarum 
lincarum.f.g.s.g.c.ocmpto  crgo  Vtriq,  quadrato  linccf.g.erit  quod  fit  cx  .b.c.i 
cd.cum  quadrato  linecg.cequale  quadrato  linecg.c.fcd  pcr.  y  .fecundi  quod  fit 
eca.cin.cccum  quadrato  linee  .g.e.cft  cqim  ci  quod  fiit  eca.cin.cc.cum  qua 
drato  eiufdcm.g.coempto  igitur  vtriq;  quadrato  Unccg.e:erit  quod  fit  cx  .b.c 
in.cd.equale  ei quod fit  cx.a.cin.cc.quod cft pjopofitum.CQo  fi  neutra  cajfi 
tranfit  pcr  ccntrum  fiue  altera  oinidat  altcra;  per  cquaiia  fiue  pcr  incqualia.  pjo/ 
ducam  iincam.g.f.c.b.oiametrum circuli  rranfcuntcm  pcr punctum  fectionis ca 
rum.ftfialtcraoiuidataltcramperequalta.ut.b.d.a.c.tuc.g.b.oiuiditetia.a.c 
pcr  cqnalia.crgo  ottbogonaliter  pcr  tcrtiam  buius.ergo  per  fecundum  modii  bu 
ius  conclufionis  quod  fit  ecg.ctn.cb.equum  cft  ei  quod  fit  e^.a.c.in  .e.c.  1  pcr 
tcrtium  modum  buius  quod  fit  ecg.e.in.cb.cqnum  cft  ei  quod  fit  ejc:b.c.in.e.d 
crgo  quod  ftt  eca.cin.e.c.cquum  eft  ei  quod  fit  cjc.b.cin.cd.quod  cft  piopofi/ 
tum.Cat  fi  neutra  oiuidit  altera  per  equalia  crit  pcr  terriu  modu  bni9  coclufiois 
qrifitcx.g.cin.cb.eqlcvtriqjcojumquefiuntex.a.cin.cc.e.b.cin.cd.quarc 
vnum  eo:um  crit  cqualc  altcri:quod  eft  pjopofitum. 

1^>2opofttio    .35. 

^ejctracirculumpunctuefignetur.abeoautent  ad  circu/ 
lus  alia  linea  fecas.  alia  contigens  oue  recte  linee  oucanfc" 
qo  fub  tota  fecante.  atq;  parte  fui  ejctrinfeca  continetequn 
eft  ei  quadrato  q6  cjc  contingente  linea  Ocfcribitur. 
Sit.a  .punctus  ftgnatus  cxm  circulum.b.cd.cuitts  cciitrii.  e.a  quo 


III 


oncantnr  ad  circulum  oue  lincc.a.b.contingens.c.a.c.d.fecas.oico  <j>  illud  quod 
fit  c>:.a.c.in.d.a.cquum cft quadrato lince.a.b.aut cnim.a.d.c.  tranfit  per  ceu/ 
trum  ant  non  tranfcat:crgo  p:imo  pcr  centrnm  quod  cft.c?  oucatur  linea.  e.b. 
quc  per.  i7.buius  perpendicularis  crit  fupcr  lineam  .a.b.?  quia  linca.  d.c.  oiuifa 
cft per cqualia in puncto.cj cft  ci addita  linea.d.a.crit  per fextam fccundi  quod 
fitcjc.c.a.ca.d.cumquadratolinccc.d.sidcocum  quadrato  Unece.b.  cqualc 
quadrato  linece.a.?  ideo  per  pcnultimam  p:imi  cquale  quadratis  ouarum  linca 
rum:cb.cb.a.p:oprcr  id quod angulus.b.cft  rcctus.ocmpto crgo  vtriq5  qua/ 
drato.cb.crit quod fit ex.c.a.in.a.d.cquale quadrato lincca.b.quod  cft  piopo 
fitu.CQ6  fi  linea.a.d.c.non  tranfit  pcr  centrum  fumatur.a.f.cg.tranficns  per 
ccntru  %  oucat  lincccd.ccb.?  fit.cb.gpcndicularis  ad.a.d.c.eritq5  g.3  .buius 
d.b.cqualis.b.c.qnia  crgo  linea.d.c.oiuifa  cft  per  equalia  in  puncto.b.  %  addita 
fibi  linca.a.d.erit  pcr.tf.fccundi  quod  fit  cjc.ca.in.a.d.cum  quadrato.d.b.  equa 
lc  quadrato  lincca.b.crgo  addito  vtriq^  quadrato.b.cerit  quod  fit  cj.c.a.in  .a. 
d.cumquadratisouarumlincarum.d.b.c.b.c.cidcopcr  pcnultimam  primi  cu 
quadraro.d.cpwpteridquodangulus.b.eftrcctns.-z  ideo  cum  quadrato.c.f. 
p:optcr  td  quod.cd.ccf.funt  cquales.cquale  quadratis  ouarum  lincarum.a.b 
•z.b.ctideoperpenultimam  p:imiquadratolince.a.cfcdquiaper  fextam  fc/ 
cuudi  quod  fit  ex.g.a.in.a.f.cum  quaclrato.f.ccqualc  eft  quadrato  lincca:c  qi 
crgo  vtriq>  eo:um  que  fiunt  ejc.c.a.in.a.d.c  ej.g.a.in.a.f.cum  qnadrato  litiee.f. 
c.cft  cqualcquadrato  linee.a.cipfa  crunt  inter  fe  cqualia.  Dempto  crgo  vtrinqj 
quadrato  lineccf.erit  qttod  ftt  ccc.a.iu.a.d.cquale  eiquod  fit  cx.g.a.in.a.f.fed 
idcutod  fit  ec.g.a.in.a.f.eft  equalc quadrato  lincc  a.b  .pcr  p:cmiffum  modum 
buius-.ergo quod fit ev.c.a.in.a.d.cft  equaleqnadrato lineca.b.quod  eft p:opo 
fitum.Gftej:bacnotacppunctoe>:tracirculumfignatofiab  ipfo  ad  circulum 
quolibctfecanteslineeoucanturrcctangula  quc  contincntur  fub  totis.cearum 
po:tionibus  cxtrinfecisadinuiccm  funt  equalia.quoniam  omnia  funt  equalia  qua 
drato  lince  contiugeutis.GTlota  ctiam  q>  fi  a  quolibet  puncto  ejctra  circulum  fi/ 
gnato  oue  linec  contingcntcs  ad  circulum  ipfum  oucantur.ipfc  erunt  adinuiccm 
cqualcs.crit  cnim  quadratum  vtriufq^  carum  cqualc  ei  quod  fit  cjc  linea  fecantc  ab 
ipfo  puncto  oucta  in  circulum.in  partem  eius  cjctrinfccam  .boc  autem  cuidenti/ 
us  patct  pcr  penultimam  p:imi.G5it.a.punctus  fignatus  c>tra  circutum.b.c.d. 
cuius centrum.cz ab  ipfo  oucantur ouc liiteca.b.ca.d.  conttngcntcs  circulum 
in  punctis  .b.d.oico  ipfas  cffc  cquales.  p:oducam  enim  lincas.  e.a.  c.b.i  .cd. 
CTitq^  pcr.i7.buius  vterq^auguloHim.b.cd.rectus.  quarepcrpenultimam  p:i/ 
ini  quadratum.a.ccrit  equalc  ouobusquadratis  ouarum  lineamm  .a.b.c  .b.e. 
5imtlitcr  quoqj  1  ouobU3;ouarum.a.d.cd.cquarc  quadrata  ouarum  lincaruj 
a.b.cb.e.funtequaliaquadratisouarum.a.d.c.d.e  .cquia  quadrata  ouarum 
quc  funt.b.cce.d.funt  cqnalia:erunt  quadrata  ouarum  quc  funt.  a.b.c.  a.d.e/ 
qualia:crgo.a.b.cft  equalis.a.d.quod  eft  p:opofitum.GSliter  ctia  oucatur  linea 
b.d.  critq^per  quintam  p:imiangnIu3.cb.d.equalisangulo.cd.b.  pwpterid 
quod  linea.c.b.eft  equalis  lineccd.?  quia  vterq^  ouo:um  angulo:um.b.cd.  cft 
rcctus.crit  pcr  comunem  fcictiam  angulus.a.b.d.refiduus  equalis  angiilo.a.d.b 
rcfiduo.per  fejctam.ergo  pjimi  eft  Iinca.a.b.cqualis  linec.a.d. 


LIBER 


lJb:opofitio  .js. 
3f  fucrit  ptmctue  ejctra  circulu  ftgnatus  aqno  bue  lincc  ad 
circuferetia  oucant  .altcra  fecans.altcra  circumfercntie 
applicata  fiieritqj  qrj  q:  ouctu  totius  fecantis  in  parte  fui 
ejrtrinfecam  eqnnm  ei  quod  ej:  ouctn  appltcate  in  feipfam 
_J  fit:crit  linea  appltcata  e;c  neceditate  ctrculu  contingens. 
G  Sit  a  punctus  fignatus  evtra  circulum.b.cd.cuius  ccntrum.c.  a  quo  oucantur 
ad circulum  linca.a.b.d. fccans ipfum  t linca.a.c.applicata circumfercntie.? eflo 
vt  qofitex.d.a.in.a.b.fitcqualcquadrato.a.c.oicolincam.a.c.clTecontinscnte 
i  cft  bcc  conucrfa  p:io:is.  6i  cnim  non  cft  eontingens.  fit  crgo  contingens  linca 
a.f:  eritq^  per  pjcmiffam  quod  fit  ccd.a.in.a.b.cquale  quadrato  Itncca.f.quarc 
quadratumlineca.f.cftcqualcquadratoliucc.a.cergo.a.c.cltcqualis.a.f.quod 
eft  impolTibilcpcr.S.buius.crit  crgo.a.c.contingcns  quod  eft  pjopofitu^.  G^de 
oftcfiuc  .pbabif  mancat  p:io:  oifpofitio  %  ypotbefis.t  fi  linea.a.b.d.trafit  g  ccti^ 
oucatur  Iinca.cc.q5  crit  pcr.tf.fecundi  qo  fit  ccd.a.in.a.b.cum  quadrat  o.cb  .ct 
idco  cum  quadrato.ccequalc  quadrato.a.cfed  qo"  fit  ecd.a.in.a.b.pofitum  cft 
cqualc  quadrato.a.c.ergo  quadratum.a.ccu  quadrato  x.c.c  equale  quadrato.a 
c.  crgo  pcr  vltima  p:imi  angulus.ccft  rectu3.crgo  per  co::cf  1  %  .buius  linea.  a.c. 
cft  contingens  circulum  quod  cft  p:opofitum.C5i  autem.a.b.d.non  tranfit  pcr 
centrum  oucatur  a  puncto.d.linea  tranficns  pcr  centrum.c  quia  qo  fit  c%  bac  to/ 
ta  indus  partcm  extrinfecam  eft  cqualcei  quod  ftt  ccd.a.in.a.b.pcr  p:cmiiTam 
ipfum  crit  equale  quadrato  linee.a.cquarc  vt  p:ius.a.c.ent  contingcns  circulu. 
£^plictt  libcr  tertius.^ncipit  libcr  quartus. 


9gura  tntra  figuram  Oicitnr  ffcribi  quando 
ea  que  inlcribitur  efus  in  qna  tnfcribitur.la 
tera  vnoquoqsfuo:um  angulo:um  ab  inte 
rio:e  partc  contingit.CCircumlcribi  vero 
figurafigurepcrbibetur  qnotics  ea  quide 
fignra  eius  cui  circufcribitur  fuis  latcrtbus 
omnibns  omnes  angulos  conringit. 

l(b:opolirio-   .1. 

TBtra  Oatum  circulum  batclinec  rectequc  oiametro  mi/ 
nimc  maio:  ejciftat  cquam  rectam  Iincam  coaptare. 
CSitlinca  oata.a-b.circulufq^  oatus.cd.  c.cui9  oiametcr.cd.qua 
no  e  maio:  linca.a.b.  volo  itra  oatu  circulu  ccaptare  linca  eqle.a.b 
quc  fi  fuerit  cqualis  otametro  coftat  <ppofitii.fi  aut  mino:  ejc  oiamc 
tro  fumaf  .d.f.fibi  eqlis  1  fujj  puncru.d.ftn  quatitate  Itnecd.f.ocfcribaf  circultis 
f.cg.fccans  oatum  circulum  in  punctis.g.c.c.ad  alterum  quo:um  oucatur  linca 
a  puncto.d.vt.d.e.veI.d.g.eritq5  vtralibct carum cqualislmce.a.  b.eo  ep  vtraq, 
earu  eft  cqualis  linccd.f.per  oiffinitionem  circuli:quarc  babcmus  p:opofiiu. 


IIII 


Ifciopofitio   iu 

IRtra  afltsnatu  circulum  trtangulutn  triartgulo  afligna/ 
ro  equiangulum  collocarc. 

G5it  aflignatns  triagulns.a.b.c.aflignatufqj  circulus.d.c.f.volo 
intra  bunc  circulum  collocare  vn5  trtangulum  equiangulum  rrian/ 
gnio.a.b.c.  equilateru^  cnim  non  e  iKccfTariuee  fcd  e  pofftbilc.pjo 
duco.g.d.b.contingcntcm  circulum  in  puncto.d.fupcr  que  facio  angulum.b.d.f. 
onctaliiica.d.f.cqualcangulo.c.iangulum.g.d.e.ouctalinca.d.c.cqualcmauga 
lo.b.?  protrabo  Itncam.e.f.critq?  pcr.  5  i.tertii  angul9.e.cqua!is  angulo.c.qi  vter 
q>  cft  equalis  angulo.b.d.f.c.quide  pcr  pofitione  .c  .vcro  pcr.  3 1  .tcrtii  cade  rone 
crit  angulus.f.cqualis  augulo.b.quareper.jz.pjimi.d.tcrtius  erit  equalis.a.ter/ 
tio.quare  babcmus  piopofitum. 

i' 

Ijbxopofitio  .?. 

3frca  afliguattjm  circulum  afltgnato  triangulo  triangul» 
cquiangulum  oefcribere. 

ClSintvtpiiusaffiguatustriangulus.a.b.c.affignatufq^  circulus 
d.c.f.cuius ccntrum.g.circa  bunc circulum  volo  oefcribcrc  vnu  tri/ 
angulum  cquiangulum  triangulo.a.b.c.cquilatcrum  cnim  no  c  ne/ 
ccffarium  fed  e  poffibilc.pioducam  bafim.b.c.i  vtraq,  partcm.vt  fiant  ono  angu 
li  cxtrinfcci.-z  a  ccntro.g.pjoducam  lineam.g.d.ad  circufcrcntiam.s  conftitua  ait 
gulum.d.g.c.ouctalinca.g.c.cqualemanguto.b.cjctrinfeco.  z.&.  g.f.  ouctalinca 
g.f.cqnalcm.c.cjctrinfcco.': a punctis.d.c.f.pioducam in  vtranq^  partem  lincas 
OJtbogonalitcr  quc  pcr  coucF.  1  y.tcrtii  crunt  contingcntes  circutu  qs  cotingcntes 
^ptraba  quoufq^  concurrant  in  punctis.b.fc.t.  ncccfle  cft  cnim  ipfas  concurrcrc. 
cum  cnim  vrcrqj  angulojum  qui  funt  ad.d.e  vtcrq^  cojum  qui  funt  ad.e.  fit  rect9 
fi  intclligatur  pjotrabi  liuea.d.c.crunt  ouo  anguli  qui  funt  ad  parte^.b.  minoies 
ouobus  rcctis.quarc  p  pcnultima  petittonc  i  gtcm  illam  ^tracte  concurrcnt  lince 
I.d.b.rc.e.b.cadcmroneconcurrcntouclinee.b.d.l.ri.f.l.cumvterq^angulojnm 
qni  funt.  ad.f .fit  etism  rcctus.  X2uia  crgo  in  quadrilatero  .b.d.e.g.  ouo  ango  / 
li.d.c.e.fnnt  recti.erunt  ouo  anguli.g.c.b.equalcs  ouobus  rcctis.cuiufiibet  enim 
quadrilateri  quatnoj  auguli  funt  equalcs  quatuoj  rectis.vt  moltratn  e  fupra.j2 
pjimi:?  quia  ono  anguli.b.intrinfccus  z  errrinfecus  funt  fimiliter  cquales  ouob9 
rcctis.rx13.pmf.at  vcro.b.cjctriufcc1'  pofit'  e  equatis.d.g.e.erit  intrinfec9.b.cqu« 
tts.b.fimili  quoq^  rone  erit.c.intrifecus  equalis.t.?  quia  ouo  angulub.t.c.  intrir» 
fcci  funt  minoies  ouobus  rectis.per .  j2,pjimi:crunt  fimilitcr  ono  anguli  .b.xA. 
minoics  ouobns  rcctts.quare  pcr  penultima^  pctitionem  oue  linec.  b.ci.U.  $/ 
tractc  concurrcnt  in  puncto.k.fietq^  triangulus.b.!;.!.?  qnia  anguius.b.  e  eqna/ 
lisanguIo.b.intrinfcco.?angulus.l.angulo.c.intrinfcco.eritpcr.32.pjtmi:angii 
lus.k.equ9lis  augulo.a.quare  babemus  pjopofitum. 

.** 

1[b:opofitio   .«. 


LIBER 

iRtra  oatum  trfcansulamcirculu^  oefcribcre. 
GSit  aingnat/triagulus.a.b.c.volo  intra  ipfu^  circulum  ocfcribere 
bcc  c  qfi  coucrfa  fci5c  .oiuido  cui  ouos  ei"angutos.a.c.b .p  cqlia.a 
qdaouctalinca.a.d.b.vero.ouctalinca.b.d.qpcurratipuiicto.cl. 
^aja  quo  Duca  pipcdicularcsad  tria  latcra  ipu9.d.e.q*dc:ad.a.b.d.f.ad 
.b.c.2.d.g.ad.3.c.?quiaouo^triangu!oy.e.a.d.'j.g.a.d.angulu8.a.Vni9eeq/ 
lis  aiigulo.a.altertus.s  vterqj  angulom.c.t.g  rectus  i  latus.a.d.comnnc.  crit  q 
26  .p:imi:linea.d.c.cqualis  lincc.d.g.eadcm  roue  cum  ouo:um  trtangulomm.e.b 
d.c.f.bid.angulua.b.vniusfitcqualisanguto.b.alterius  zvterqj  anguloy.e.  et 
r.rectusilatusquoqj.d.b.communercritpcrcandem.Imca.c.d.cqiialiBliiiee.d.f. 
quare  trcs  Imce.d.e.d.f.d.g.funt  equales.poftto  ergo  ccntro  in.d.t  ocfcripto  cir 
culofecuuduquantitate  vniuscarum  tranfibitper.9.tertiiper  rcliquarum  ouarfi 
ejctremitatcs.-equiapcrcoMct.ij.rcrtiivnaqucqjlincarum.a.b.b.c.t.c.a.critco 
tingcns  circulum.patct  pcrfectum  clTc  p:opofitum . 

IfbJOpofitio   .?. 

J^rcatrigonuutafTtgrtatum  fiue  illudlit  oubogoniii  ftue 
fc  tembfigonium.liueojrigonium  circulum  Ocfcribcre. 
^  GSit  trigonus  alTignatus.a.b.c. volo  circa  ipfum  ocfcnbcrc  circulil 
^selP  lxc c(i quafl C0lu'crfa  tcrtic.oiuido  ouo  cius latcra  .a.b.ct.a.c  .per 
iFigW^lcqualia.a.b.quideinpuncto.d.^.a.c.inpuncto.e.aquibuspunctis 
p:odnco  pcrpendicularcs  ad  lineas.a.b.c.a.c.quas  p:otrabo  quoufq^  cocurrant 
in  puncto.f.fintqj.d.f.s.e.f.concurrcnt  eni  qm  c5  vtcrq^  anguloy.d.i.e.fit  rcct9 
fi  intelligatur^rrabt  linca.d.c.fient  ouo  anguli  ad  parte  tn  qua  p:ott  abunt  mino 
rcs  ouobus  rectis:quarc  cocurrent  pcr  penultima  pctitione  igttur  a  puucto.  f.qut 
eft  punctus  cocurfus  quc  oico  cffe  ccntrum  circuli  quefiti.p:otrabo  lincas  ad  fiu/ 
gulasangulosqnefunt.f.a.f.b.f.c.tquiaintrangulo.a.d.f.ouolatera.a.d.^.d 
t.fuiitcqualiaouobuslatcribus.b.d.c.d.f.trianguli.b.d.f.^angulus.d.vn^aij 
guIo.d.alterius:quia  vterq^  recrus:erir  pcr  quarra  p:imi.f.a.cquali8.  f.b.cadc"  ra 
tione  crit.f.a.cquaii8.f.c.c6patis  lateribus  i  angulis  ouo:um  triangulomm.g.e. 
fa.c.e.f.ergo  pcr.p-tertii  pnnctum.f.erit  cciitrum  circuli  qucfiti.bcc  cft  vniuerfa/ 
Iis  oemonttratio  ad  onmes  fpes  trigoiu.C^uia  tame  aucto:  vidcf  vclle  mcdius 
variare  oifiungcndo  intcr  o:tbogonium  ambligonium  i  oxigonium.  oe  quoliber. 
eo:um  figillatim  cft  oemoftrandu  .CSit  crgo  trigonus  p:opofitus  onbogonius 
fitq5  angulu8.3.rcctus:latus.b.c.rcfpiC!cns  bunc  angulu  rcctu  oiuido  pcr  cqualia 
in  .f.a  quo  pnncto  que  oico  cffe  ccntru  circuli  ad  mcdium  punctum  Viriufq^  ouor 
reliquoy  latey  qui  fit.d.ouco  lineam.f.d.iquia  linca.f.d.oiuidtt  ouo  latcra.a.b 
cb.c.trianguli.a.b.c.per  cqualia:ipfa  erit  cquidiftans  tcnio  .viddicet  lince.  a.c. 
boc  ciu  oemoftratu  cft  fnpra.?9.p:imi:et  quia  angulus.a.pofttus  eft  rcctus  .erit 
per  fecunda  partetn  i  pcr  terttam.2?.p:imi:  vterq^  angulo:um  qui  funt  ad  .d.re/ 
ctus:oucatur  igitlinea.f.a.eritq5pcrquartap:imi:linea.a.f.cqua!islmcc.b.f.c6 
paratisadiiiuice  laterib^angtilistriaguloy.a.d.f.b.d.f.sq:  linca.b.f.  ecqlis 
lincc.c.f.erut.j.lince.b.f.a.f.c.f.adinuicccqles.quarcp.9.tcrtu  cnr. f. centrum 
ctrctili  qucfiti.  C  Sit  rurfus  trigonus.  a.  b.  c.  ambligonius  .fitqj  augulus  .a . 


IIII 


obtufus latus.b.c.refpicicns buuc angulum  obtufum.oiuido  per cqualta  in  pun 
cto.b.a  quo  ad  mediapuncta  ouoium  rcliquojum  latcrum  quc  funt  .d.  t  .e. 
ouco  lineas.b.d.c.b.c.eritq^.d.b.equidiftans.a.c.^.c.b.cciuidiftans.a.b.  pjo/ 
ptcr  id  quod  ocmonftratum  cft  fupja.  5  9 .  piimi:  vidclicct  cp  Itnca  fccans  ouo  late/ 
ra  alicuius  trianguli  per  equalia.tcrtio  eft  cquidiftanstquare  pcr  fecundam  par/ 
tc.zg.pnmieritvtcrq^ouoyanguloy.b.d.b.^.c.cb.eqfeagulo.a.-rideovterq^ 
obrufus.onctis  igitur  pcrpendicularibus.d.f.ad  lincam.a.b.ct.c.f.ad  lincam.a. 
cquoufqj  concurrant in  puncto.f.que oico  clTc ccntrum circuli.  Z)|3anifeftu  e eiti 
eas  concurrcre  pjoptcr  caufa  pus  bicta.fccabit  vtraqj  carum  lincam.  b.c  .que  re/ 
fpicit  obtufum  %  concurrent  qxn  triangulum.a.b.cigitur  a  puncto.f.qui  e  pun/ 
ctus  concurfus  earum:p:oduco  lineas.f.a.f.b.f.c.que  pcr  quartam  p:imi  bis  af/ 
fumptamcrunt  equalescoparatispjtmo  latcribusetangulis  ouo:um  triangu/ 
lo2um.a.d.f.b.d.f.ociudcaliommouo:um.a.c.f.ce.f.quarepcr.9.tcrtii.f.ecen/ 
trum  circuli  qucfiti.Gf  fto  iterum  Vt  trigonus.a.b.cfit  ojcigonius  oiuifis  omni/ 
bus  cius  latcribus  pcrcqualia:  videlicet  latus.a.b.in  puncto.d.c  latus.a.ci  pun 
cto.e.?.b.cin  puncto.b.p:otrabo  lineas.d.c.d.b.?.c.b.critq5  .d.b.  equidiftans 
a.c.T.c.b.a.b.pwpter  id  qnod  oemonftratum  cft  fuper.5  9.p:imi:quarc  pcr  fccun 
dampartan.^.pjimiivterq^angulojum.b.d.b.c.cb.eritequalisangulo.a.cto 
acurus:ouctisigiturpcrpcndicularibus.d.f.adlincam.9.b.c.e.f.adlincam.a.c 
manifeftum  eft  cas  concurrcrc  intra  triangulum.a.b  .cfitq^  punctus  concurfus 
f.qucm  oico  effc  ccntrum  circuli:p:oduco  cnim  lincas.f.a.f.  b.f.c.  quc  pcr  qrtam 
pjimi:bis  affumptam  vt  p:ius  crunt  equalcs:quarc  pcr.9-tertti  crit.f.ccntrum  cir 
culi  qucfiti.Gper  p:edicta  patet  q>  fi  triangulus  fuerit  o:tbogonius  ceutrum  cir/ 
culi  circufcnbcndi  cadet  in  mcdio  latcris  quod  opponitur  angulo  rccto.  Si  fuerit 
ambligonius  ccntrum  cadct  eytra  triangulum.Si  autem  fuerit  origonujs  cadet  * ' 
tra  triangulum. 

lfc>JOpoflttO      .6. 

TRtra  6atum  circnliim  quadratu  Oefcribere. 

GSit  oatus  circulus.a.b.c.d.cuius  centru^.cvolo  intra  ipfu^  oe/ 
fcribere  quadratu^.pjotrabo  in  ipfo  ouas  oiamctros.a.ccb.d.fc 
cantes  fe  o:tbogonalitcr  fup:a  ccnrru^.e.quaru^  ejtrcmitates  con 
iungo  pjotractis  Iincis.a.b.b.ccd.7.d.a.  quas  oico  cotinere  qua 
dratum  qucfitum  :ipfc  enim  crunt  equales  adinuiccm.per  quarram  p:imi  tcr  af/ 
fumptam  p:opter  id  q6  quatuoj  liucc.e.g.c.b.c.c?.e.d.funt  equales.et  quatuo: 
anguli  qui  funt.a.d.e.rccti.fi  vnufquifq^.quatuoj  anguloJum.a.b.c«.  d.eft  rect9 
per  pjimam  partem .  5  o.tcrtii:p:opter  id  quod  quilibct  eo:um  e  in  femicirculo  erit 
igitur.a  .■b.cd.quadratum  pcr  oirTinitionem  quodcft  p:opofitum. 

Hfcpopolitio   .7. 

%  rca  pzopofttum  circnlam  quadratum  oefcriberc. 

GSn  ,ppofit9  circul9.a.b.cd.cui9ccnty.e.voIo  circa  ipm  oefcibere 
qdratu:,ptrabo  i  ipfo  ouas  oiamctros.3.cct.b.d.fec9te8  fc  o«bo/ 


JB 


1 


LIBER 


f 

X 

^    . 

b 

0 


(5  ' 

— e 

T^^ e 


gonatitcr  ug  cctru.t.a  qy  cxtremitatibus  ouco  i  vtraq5  p_te  lincas  oitbogonaliter 
quoufq^  qtibct  ea2/  pcurrat  cii  ouab9  Iatcralib9fintq3  pucta  pcurfus  cay.f.g.b.k. 
eritq5  BCoucF.  i  j.tcrtij  vtcrq^  angulo:jz  qui  fut  ad  vnuqueq^  quatuoi  puctoy.a.b. 
c.d.rectus:quia  crgo  in  quadrilatero.a.f.b.e.trcs  anguli.a.  b.-j.c.  fuut  rectr.  erit 
quartus  angulus  qui  eft.f.rcaus:babet  cnim  quodlibet  quadrilaterum  quaruoi. 
angulos  equalcs  qtuoi  rcctis: vt  oemonftratum  cft  fuprai32.piimi  :cadcm  rone 
quilibctangulojum.g.b.'i.k.critrcctus:crgoperfccudampartem.28.pjimi.oue 
linee.f.g.i.k.b.3remq5  oue.f.k.c.g.b.funt  cquidiftantcs.ergo  per.34.pJimi.f.k 
eftequalis.g.b.?.f.g.k.b.tquiap.e3nde.f  k.eft  equalis.b.d.?.  f.g.a.c.  3t  Vero 
b.d.eft  cqualis.a.cerur  quatuoj  linec.f.k.g.b.f.g.c.k.b.  cquales:  fed  i  quatuoj 
anguli.f.g.k..b.  funt  recti : vt  pjobatum  clt  piius.  crgo.f.g.  k.b.  eft  quadratuni 
pcr  oiffinitionc  quod  cft  pjopofitum. 

Ipsjopofitto  .3. 
jjTBtra  quadratuin  afltgnatutn  circulum  oefcribere. 
jiGSit  quadratum  affignatum.  a.b.c.d.volo  intra  ipfuin  oefcribcre 
|  circulu5  bcc  cft  quafi  coimcrfa  .e.oiuido  vnuqbq^  latus  eius  g  equa 
j  lia.a.d.quide  m  puncto.f.b.a.m  puncto.g.c.b.m  puucto.b.t.d.c. 
I  in  puncto.e-cpjoduco  liucas.e.g.s.f.b.fccantcs  fe  m  pucto  .k.que 
OKOclTeccntrumcirculi.cntcui^.f.b.cquidiftans^cqualis.a.b.per.jj.pjiim:^/ 
pter  id  quod.a.fa.d.b.funt  equalcs  z  cquidiftantcs.Similitcr  per  candcm  c.d.c 
a.b.i  qma  omues  mcdietatcs  quatuoj  lateru  ipfius  quadrati  fuut  adinuice  equa 
(cs erunt  pcr. 34  pjimi:quatuoj Imec.k.e.k.f.k.g.^.k.b.equales.crgo  pcr.j.tcr/ 
ti)  .k.cft  centruin  circuli  queliti. 

•Kb:opoiitio  .9. 
j3frca  alTignatum  qua  Jratum  circulum  oefcribere. 
I  GSit  quadratum.a.b.c.d.  volo  circa  ipfum  circulu^  ocfcribcre  .bcc 
cft  quafi  conuerfa.7.  pjotrabo  in  ipfo  ouas  oiamctros.a.c.c.b.d. 
fecantcs  fc  m  puncto.c.quc  oico  cffc  centrum  circuli.  £um  eni  linec 
a.d.s.a.b.fintcqualescrutpcr.y.pjimiianguli-a.d.b.s.a.b.d.e/ 
quales.c  quia  augulus.a.totaIis cft rcctus.erit pcr.ji.piinmwcrq,  cojum  medi 
etasrecti.CSimihquoq^  modo,pbabitur  quclibet  partialiu  augulojum  apre 
oictis  oiamctris  fe latcrib9  quadrati  p  jopofiti  contcntojum  effe  medietatcm  rccti 
quia  igitur  angulus.e.a.d.clt  equalis  angulo.  c.d.a.crit  per.p.piimi:liiica.e.a. 
equalisIine:.e.d.cadcmr6neCTit.e.a.equalis.e.b.?.c.c.equalis.e.d.quaiequia 
quatuoi  linee.e.a.e.b.e.c.c.d.funt  cquales.crit  per.9.  tcrtii  c.ccntruj  circuli  quc/ 
fiti.quod  cft  piopofitum. 

1fc>20p0ftti0    .10. 


tlTmn  equaliuj  laterum  triangulum  oeftgnare.  cuius  vter 
q50uo:um  anguloznm  quos  bafis  optmet.  reliquo  ou/ 
Hplusejciftat. 

j3mcntio  e  oefcribere  Vnu  triangulu  ouu  cqliu  larczj  1  tcrtii  incqlis 
I  cui9vterq5  anguloz/  q'  fug  lat9qo  e  reliqs  i  eqle  exiftu  t  ad  tertiu  ou/ 
plus  ejciftat.  ad  boc  ant  faciedu  fumat.  linca  qlibet  q  fit  .a.b.que  oiuidaf  (m  q> 
oocet.ii.fccn  iu  pmicto.c.ita  q>  illd  quod  fit  ejca.b.i.b.c.fit  equalc  quadrato.  a.c 


IIII 


factocfe  puncco.a.ccntroPm  ipfiusquantitatcm  ocfcribattircirciitus.b.d.c.intra 
quc  pcr  psintam  buiu  s  coaptctur  liuea.b.d.cqualis  lincc.a.c.ct  p:oducantur  ouc 
tinec.d.a.d.c.oico  triagulu.a.b.d.ec  qlis  .pponif :  nrciifcribaf  circul9  cj  fit  d.c.a. 
pcr.  j.buius  triangulo.d.c.a.quia  crgo  linca.d.b.cft  cqualis  .linca.a.c.crit  quod 
fit  er.a.b.in.b.c.cqualc  quadrato  lincc.b.d.  quarc  pcr  vltimam  tcrtii.b.d. 
linea  cft conttngcns circulum.d.c.a.c pcr.j  i .ciufdcm  angulus.c.  d.b.  cft equalis 
anguIo.c.a.d.pofitoergoc6muniangulo.c.d.3.erittotusangulus.b.d.a.cqua/ 
lis  ouobus  augulis.c.a.d.c.d.a.fcdpcr.5i.p2imi  angulus.b.c.d.cft  eqlis  cifde 
quia  crtrinfecus  ad  ipfos.crgo  angulus.b.d.a.eft  equalis  angulo.b.cd.c  q?  an/ 
gulus.a.d.b.eftequalis  aiigulo.a.b.d.pcr.j.p2imi:eoo^larera.a.d.2.a.b.futc/ 
qualia.critangulus.b.c.d.  cqlisangulo.c.b.d.crgopcr.tf.pnmi:  linca.c.d.eft  c  / 
qualis  linee.b.d.quarc  i  linee.c.a.ergo  per.5.p:imi:angulus.c.a.d.eft  cquahs  an 
gulo.c.d.a.quia  ergo  vtcrqj  anguloy  c.d.b.c  c.d.a.e  ecjlis  agulo.c.a.d.  crit  tot9 
anguf.b.d.a.oupl0  ad  agulu.d.a.b.?  io  anguf.a.b.d.fibi  eqTis.oupl9cft  ctia  ad 
angulu.b.a.d.qo  eft  p:opofitu.G§02fan  oicct  aducrfartus  circulu.d.c.a.circufcrt 
ptum  trigono  partiali  fecarc  circulum.b.d.c  in  aliquo  puncto  arcus.b.data  <$  fi/ 
mul fccabu  lincam.b.d.vndc  tpfa  non  erit circulo  applicata.ficut  in  oemonltra/ 
nonc  fupponitur.  fed  ipfum  fecans.  5it  crgo  fi  poffibile  cft  Vt  po  nit  aducrfarius 
c  a  puncto.b.oucatur  ad  ipfum  circulum  mino:cm  contingens.b.f.c  oucantur  W 
nec.f.a.f.d.critq)  pcr  pcnultima  tertii  q6  fit  er.a.b.in.b.c.equalc  quadrato  .b.f. 
crgo.b.f.cft cqualis.b.d.quarc pcr.j  .p:imi  angulus.b.f.d.cft  equalis angulo  .b. 
d.f.«quinpcr.}i.tertiiaugiilus.b.f.a.c(tequalisaitgulo.a.d.f.eritangutus.b.d 
f  .niaio:  angulo.a  d.f.quod  clt  impolTibtlc.cnm  ipfe  fit  pars  eius.GSliter  poffu/ 
tnus  iftud  rcfcilcre  %  ottcndcre  <j>  illc  miuo2  clrculus  nullo  modo  fecabit  linca.  b.cf 
fo^fan  cnim  oiccrct  q>  fecarct  cam  non  fccaudo  arcum.d.b.maio:is  circuli.  5i  eni 
pollibilc cft  q>  fccct eam.fit boc iu  puncto.b.eritq5  q6 fit er.a.b.in.  b.c.  equalc  ei 
quocffit cr.d.b.in.b.b.ynonftratum cft  cnim fnpra peuultima  tcrtii q>  fi ab  ali/ 
quo  puncto  crtra  circntum  fignato  quotlibet  lince  fecantcs  ad  ctrcolum  oucantur 
que  fub  totis  c  carum  po:tionibus  crtrinfccis  contincntur.equalia  funt  adinuice: 
c quia  quod fit cr.a.b.in.b.c.cft cqualcquadrato.b.d.crit  qo fit  er.  d.b.  in.b.b. 
cquate  quadrato.d.b.quod  eft  impolTibilc  pcr  fc6am  fcoi:quare  coftat  ,ppofitum 
G£t  uota  g>  mino:  circulus  nccelTario  fccabit  maio:c «  abfcindct  ab  eo  arcu  vnu 
e^ualcm  arcui.b.d.i  maio:  abfcindct  fimiliter  ab  eodcm  vuum  arcum  cquale  ar/ 
cui.d.c.Quod  fic  p20baf.fi  enim  mino:  non  fecat  maio:em.contingit  ergo  ipfum 
in  puncto.d.c  quia  per.  1 1  .tertii  circulomm  fc  contingaitium  ccntra.?  punct9  cou 
tactus  funt  in  linca  vna.erit  ccntru  mino:is  circnli  in  linca.a.d.p:opter  boc  cp  in 
ca  cft  ccntrum  maio^is  i  punctus  contactus.crgo  pcr.  ly.tcrtii  augulus.a.d.b.cft 
rectus  quarc  fimiliter  t  angulus.a.b.d.fibi  eqlis  e  rcctus  q6  e  impolTibilc.per.  jz. 
p2imi:Sccct  crgo  ipfu^  in  punctis.e.d.oico  arcum.c.d.mai02is  etTc  equalc  arcui. 
d.b.c  arcum.c.d.mino:is  clTe  cqualem  arcui.d.c.p:oduco  lineas.  d.e.c.e.?.  e.a. 
crirqj  pcr.zcrcrtii  vnufquifq,  quatuo:  angnloiumqui  funt.d.e.c.c.e.a.d.a.  c.et 
fl.d.c.equahs alii  p2opter  id  q>  0110 arc9.d.e.c.e.a.  fut eqlcs.g.17,  ciufde qrc  to 
talisangur.a.e.d.oupfcadangulfi.b.a.d.cioeqTisvtriq^angulo^um.a.b.d. 
■z.a.d.b.c  q:  angul9.a.e.d.e  cqlis  angulo.a.d.c.g.  j  .p2imi:  ,pptcr  id  q6.a.  e.c.a 
d.funt  cqualcs  a  cctro  ad  circuTcrcntiam.cmt  ouo  anguli.c.i.d.trianguli.  a.c.d. 


LIBER 


*&■£> 

eqtiatesouobnsangnIis.d.«.b.trianguli.a.d.b.CTgopCT.5i.p:imi:rdiquusan/ 
gulus.a.  vntas  eft  cqnalis  reliquoangulo.a.altcrius:ergo  pcr.zy.tcrtii  arcus  x.d 
maioas  cft  equalfe  arcui.d.b.t  pcr  eande  arcus.c.d.mino:is  cft  cqualis  arcui.d. 
c?  boc  cft  quod  p:opofuimus. 

HfcfeOpolitio    .11. 
TRtra  Oatum  circulujeqtjilaterum.atqs  equiangulu  pen 
tbagonnm  ©efcrtbere. 

CSit  oatus  circulus.a.b.cvolo  intra  ipfum  oefcribcre  pentbago/ 
num  Vnu  equilatcj;  atq,  cquiangulu  .ocfigno  triangulu  vnu  qualcj 
p:emi(Ta  p:oponit.qui  fit.z.cui  aliu;  equiangulum  intra  oatu  circu 
lum  oefcribo.ficut  oocet  feciida  buius:qui  fit.a.b.cfitq,  vterq^  anguio:um  .a.b.c 
i.a.cb.ouplus  ad  angntum.ca.b.  vtruq^  eo:um  oinido  per  equalia  ouctis  lincis 
b.e.c.c.d.cruntq^  pcr-2j.tcrtii.f  .arcus  in  quos.f  .puncta.a.d.b.cc.  oiuidut  cir 
tulum  adinuiceequales.pwptCTidqoquinqjanguliquiinoictos  arcus  cadunt 
funt  adtnuicem  cq'les.continnati3  igitur  illis  quinq^  puctis  per  lincas  rcctas  quc 
fnnt.a.d.d.b.b.cce.?.c.a.crit  pcntbagonus.a.d  .b.c.e.  infcriptusoatocirculo 
cjualis p:oponitnneft  cnim cquilaterus  per-2S.tertii cu.y.arc9:quo:$2  eius  quinq, 
tatera  funt  co:dc:fint  ad  tnuicem  equales:?  etiam  equiangulus  per.2tf.ciufdcm  eo 
g>qumq5arcu8.d.a.c.a.c.c.c.c.b.c.b.d.«.b.d.a.inquosangullipfiuspcntba/ 
goni  cadunt  funt  adinuiccm  cqualcs:ficq5  conftat  p:opofitum. 

Ifcjopofltio    .11. 
3frea  pjopofitum  circulum  petbagomim  equiiateru  atq5 
equiangulum  Oeftgnare. 

CSit p:opofitns circulus.a.b.c.cuius ccntru.f.  volo circa  ipfu^  oc/ 
fignare  pentbagonu  eqnilatcj;  atq;  equi8ngulum.fup:a  circnmfcren 
tiam  ipfius  circuli  quafi  ftti  ooctrinam  p:cmilTc  fibi  infcnpfilTcnt  pe" 
tbagonum  quinq^  puncta  angularia  notabcque  fnnt.a.d.b.c.e.ad  quc  cctra  ou 
camlineas.f.a.f.d.f.b.f.c.f.e.«abcifdcm  puuctis  educam  pcrpendicnlares  ad 
iftas  lineas  iu  vtranq^  partcm  quoufq^  concurrant  in  punctis.g.b.k.l.m.cruntqj 
bee  lince  contingcntcs  circulum  per  coKelarium.  i  y .terrii:?  ad  ifta  pucta  concur/ 
fns  oucam  a  centro  lineas.f.g.f.b. f.k.f.Lf.m.  £t  quia  monftratum  cft  fupcr  pe/ 
nultima  tertii  <$  (i  ab  aliquo  puncto  ejctra  circulu^  fignato  oue  lince  contingcnres 
ad  ipfu  circulum  oucanf  <$  ipk  ernnt  equales.  crit  !inea.g.  a.cqualis  linee.g.d.? 
b.d.b.b.?  fic  oc  ceteris.Bt  qtn  quinq^  arcus  i  quosquinq^  puncta.a.d.b.c.coi/ 
uidunr  rirculum.funt  adinniccm  cquales.ernnt:per.2<f.tertii  quinq^  anguli.a.f.d 
d.f.b.b.f.cc.f.ce.f.a.coufiftcntes  fnper  bosarcus  in  centro.f.fibi  inuiccm  equa 
tes.SuntautcmouoIatcra.a.g.«.f.a.triangnli.f.g.a.eqnaIi8  0uobnslatcribus 
d.g.?.f.d.trianguli.f.g.d.«  latus  g.f.comune.crgo  g.s.pjimiiouo  anguli  eo:u  q 
funt.a.d.f.3te'q5  ouo  anguli  qui  funt.a.d.g.funt  adinuiccm  equales.  eade  ronc 
©uo  anguli  qui  fuut.a.d.f.in  triangulis.d.f.b.«.b.f.b.3remq5  euo  qui  funt  .a.d 
b.funt  adtnuicemequales.Similitcrqnoq^fingulitriumrdiquo^  anguIo:u  qui 
fnnt.b.f.cc.f.e.e.f.a.ifmgulitriu.quifnnr.k.l.m.oiuidantp.equalia.p:imiqui 
dem  per  lincam.f.k.fecundi  per  linea.f.l.tcrtii  vcro  per  linea.f.m.  i  quia  bii  trcs 
anguli  qui  funt.b.f.e.cf.c.e.f.a.funt  fibi  inuicem  cqualcs  i  aliis  ouob9  q  fut.a.f 
d.?.d.f.b.equalcs  erunt  eotum  oimidia  qne  funt  eece  anguli  facti  in  centro.f.ad/ 


IIII 

fnul«5  eqnatc^OuiaigitiTrOuoanguli.a.c.f.trianguli.g.a.f.funtcqualesouo/ 
bus  augulis.a.c.f.trianguli.m.a.f.? larus.a.f.  comune  crit pa.2<s.piimi anguf' 
g.  vniusequalisaiigulo.m.altcriusf  larus.g.a.cqualelatcri.a.m.cadcm  ratiee 
critangiilus.g.mtri9Tigulo.g.f.d.cqualisangulo.b.intriangulo.d.f.b.«latus.g 
d.equ3lcl3tCTi.d.b.quarequia.g.a.c(toimidiu.g.m.t.g.d.oimidiu.g.b.i.g.a.« 
g.d.funt  cqualia-.erunt  pcr  cocm  fcicntia.g.m.cg.b.coui  oupla  cqualia.Simili/ 
tcro1iioq31pbabim<'.g.m.cll'ceqnalc.m.lc.m.l.l.k.«.l.k.k.b.quarcpctbagon9.g 
b.k.l.m.eft  cquilatcrus.fcd  i  cquiangnlus:  015  cni  ouo  anguli  qui  funt  ad.g.funt 
admuiccm  cqua  es.  i  ouo  qui  funt  ad  .m.fititcr  adinuiccm  cqualcs.  cg.  partia/ 
lis.fit  eqnalis.m.ptiali. vtruq^  eni  p7obatu  eft  piius.erit  pcr  candc  coem  fcientia 
g.totalis  cqnatis.m.toroli.s  cadcm  rone  ,pbabis  cqualitatcm  in  cctais  angulis: 
quarc  cft  cquiangulus.ficq^  couftat  p:opofitum. 
^JOpofitio    .ij. 
IRtraequifatcruiatq^  equiangulum  pcntbagonum  afli 
gnatum  .circuln^  oefcribere. 

GSit  affignatus  pcntbagonus  cqtulatcrtis  atcfl  equiangulus:quia 
oc  aliis  116  cft  ncccffariii  boc  cffe  pofubilca.b.c.d.volo  fitn  ifcribe 
rc  circulu  .bcc  cft  quaft  couerfa  .1 1  .ouos  e  ius  .ppiquos  angulos  qui 
luur .  a.ccotuido  pcr  equatia  ouctis  lineis.a.f.ccf.ooncc  cocurrat  in  pucto.f.i 
tra  ipfum  pcntbagonum  quc  oico  elTc  ccntrum  circuli:  cocurrcnt  cnim  p:optcr  id 
qtiod  oimidtu  totatis  anguli.a.i  finulitcr  totalis  anguli.cminus  c  anguto  recto. 
GSi  cnim  intra  paitbagonum  non  cocurrct.aut  crtra  ipfum  pcutbagonum  aut 
in  latcrc  pctbagoni.aut  in  eius  angulo:qui  vcriq^  angulom  oiuerfo?  opponitur. 
jConcurrat  Spiimo  ejctra  in  pucro.f.?  oucatnr  Imca.b.faquia  ouo  latera.  c.a.ct 
a.f.manguli.e.a.f.futcqualiaeuobustatmbus.b.a.c.a.f.manguli.b.a.f.tan 
gulus.a.  vnius  angnlo.a.altcrius  erit  pcr  4.primi  bafis.cf.equatis  bafi.  f.b.  i  qi 
angtilus.a.partialis  c  cqualis  augulo.cpartiali.piopta  id  qb.a.totalis.c  totali 
crit  pcr.tf.pjimi.f.a.cqualis.f.cquarcf.a.  cft  cqualis.f.b.  crgo  pcr.cprimi  ouo 
anguti.b.tot3lis.ca.Etiaii8fiinteqtcs.quarc.3.etiali8Ccqlisvt'm3ioi.a.totaU 
qo cft  tmpoffibiIc£oncurrat crgo  in  pucto.f.fuper latus.b.c  .critq^  argucndo p 
p:cmilTas  i  pjcmilTo  modo  angulus.a.ptialis cqualis angulo  .a.totali  quod cft 
impo(Tibilc.Quod  fi  fojfan  concurrant  in  angulo.c.crit  pcr  eafdc^  i  eode  modo 
c.b.cqualis.c.a.c  idco  ad  buc  ut  pjius  angulus.a.partialis  cqnalis  anguto  .a.to 
tali.Qo  q:  boc  ce  no  potcft  fit  crgo  punctus  concurfus  qui  c.  f.infra  pentbagonfi 
aquoouco.j.pcrpcndicularesadcius.j.latera.qucfint.f.g.f.b.f.k.f.I.f.in.ead 
ouos  eius  angulos  .ppinquos  altrinfccus  angulis  pcr  cqualia  oiuifis  qui  funt  .b. 
i.d.oucolincas.f.b.f.d.jquiaouoaiiguli.a.t.m.rrianguli.a.f.  m.funrequales 
ouobusangutis.a.cg.trianguli.a.f.g.ilatus.a.f.  comune  erit  pa.2<s.ptimi.f. 
m.cqualis.f.g.pcr  candcm  quoq^  pjobabi8.f.l.equaIem.f.m.fumpti8  ouob9  tri/ 
angulis.  t.f.m.ccf.l.qiiia  itcrum  ouo  latera.a.f.ca.b.trianguli.a.f.  b.fut  cqtia 
tiaouobuslataibus.s.f.ca.c.trianguli.a.f.ciangulus.a.vnius.angulo.aial/ 
terius  erit  per.4.ptimi  angulus.b.pat  rialis  equalis  angulo.c  partiali.  i  quia.b. 
totalis  cquatis  eft.c.totali-.cc  t  otalis  oiuifus  eft  pcr  equalia  crit  ctiam.b.totalis 
oiuifuspercqualia.Gfodcmmodoptobabis.d.totaleoiuifum  per  eqli3  3ppter 
equalitatcm.d.partiatis  s.a.partialis  fumptis  trisngulis.ca.f.i.  c.d.f.  qj  ergo 


LIBER 

©uo  anguli.g.c.b.trianguU.g.f.b.funt  cquales  enebus  angulis.b.c.b.  triangnli 
b.f.b.-rlatus.f.b.coc  crit  pcr.i(J.p:imi.f.b.cquaUs.f.g.C£odctn  modo  .pbabis 
f,  k.cqualem.f.l.fumptis  triangulis.l.f.d.k.f.d.qm  igitur  .  j.linee.f.g.f.b.f.k.f.l. 
•z.f.m.funt  cqua!cs.crit.f.ccntrii3  circuli.per  .9.tcrtij  .quc  ocfcribcmus  frn  quatita 
tem  vnius  carum.?  tanget  omuia  latcra  pcntbagoni.,ppter  cqualitatem  lincarii. 
i  nullum  eo:um  fecabit  pcr  p:imam  prcm.  i  y  .tertij  .ficqj  coftat  .ppofitum . 

I^ZOpofltiO     .14. 

3f  rca  oatum  perttbagonum  q6  fit  equilaterum .  atq5  cqui 
anguluii!  circulum  oefcribere. 

G5it  vt  p:ius  oatus  pcntbagonus  cquilatcrus  atq5  equiangulus. 
quia  oc  alijs  nou  cft  ncccffariii  boc  effc  polTib(lc.a.b.c.d.c.  volo  cir 
ca  ipfum  ocfcribcre  circulu^.bcc  cft  quaft  conuerf3.12.Duos  cius  p 
pinquos  angulo3  qui  funt.a.c.c.oiuido  p_  equalia  ouctis  lineis.a.f.c.f.e.  quouf/ 
q>  toncurrant  intra  ipfum  pentbagonu  in  puncto.f.cocurrcnt  cni  z intra pctba/ 
gonum  vt  .pbatum  cft  in  pjcmiffa.c  3  puntto  cocurfus  ouco  ad  rcliquos  angulos 
lincasquefint.f.b.f.c.f.d.cqrouolatcra.a.f.c.a.b.trianguli.a.f.b.funt  equalta 
ouobuslatcribus.a.f.t.a.e.trianguli.a.f.c.tangulus.a.vniusangulo.  a.altai9 
eritp.4.p2imi.f.a.equalis.f.c.cangiiIus.b.fJtialisangulo.c.gtiaIi.'iquia.b.tota 
lis  eft  cqualis.a.totali.?.e.totalis  oiuifus  eft  p  cqualia.crit  funilitcr.b.  totalis  oi/ 
uiftts  p  equalia.boc  quoq,  modo  .pbabis  vtruq^  anguloy.c.s.d.oiuifuin  clTe  pcr 
equalia.-J.y.Iincas.f.a.f.b.f.c.f.d.f.c.clTccqualcs.quareg.^.tertij.f.erit  centru^ 
circuli.ficq3  patct  .ppoiitum. 

1(b:opofitio   .ij. 
jlTRtra  piopofitum  ctrculum  .eicagonum  equilaterum  atq? 
|equiangufumOcfcribere.G/£>:boc  itaq^  manifefrum  cft 
1  cp  latus  qcagoni  equij  eft  oimidio  oiamctri  circuli  cui  in/ 
r  ■  lcribitur. 

H;G5it  .ppofitus  circulus.a.b.cd.cuius  ccntrum.  e.  volo  ftbi  tnfcri/ 
berc eptgouum equilates atq^ cquiangulu. jiduco  oiametrum.a.e.c.s 5 m  quauti 
tatcm  fcinidiametri.e.c.facto  ccntro  puncto.c.ocfcribo  circulum.c.b.d.  fccautcm 
p:io:e  in  ouobus  pnnctis.b.d.a  quibus  ,pduco  ouas  oiatnetros  in  circulo  p:imo 
qucfint.b.c.g.d.c.f.triumcrgooiametror  cxrremitatesconiungo.e.lineasquc 
(unt.a.f.f.b.b.c.c.d.d.g.t.g.a.quasoicocontmcrccxagonumquefituin.eritcni 
vr  oemonftrat  p:ima  pnmi  Vterq3  trianguloy.b.e.c.c.c.d.  cquilatcrus.  quarc  ct 
cqutangnlus  p.j.ciufde crgo p.j2.p:imi  ouo  anguli.b.e.cr.c.c.d.cu  vno equali 
vni  co:um  funt  cqualcs  ouobus  rcctis  ,ppter  id  qo  quifq^  coy  e  tcrtia  ottpmro  rc 
cto:um.fcdipfig.ij.ciufdecuangulo.d.e.g.funtcqualesouobusrcctis.crgoan/ 
gulus.d.e.g.ecqualis  vtriq^ eoy.quarcp..  1  j.ciufdc. s.anguli.qui  funt ad.e.funt 
adinuicc  eqtialcs.ergo  paj.tcrtij  arcus  tn  quos  cadut  funt  equalcs.quarc  1  co:u 
co:dc  p.2S.ciufde  qui  fut  latcra  ipft9  gcagoni.£quilatcr9  igirur  c  fcd  1  cquiangul9 
p,2<J.tertij  ,ppter  id  q6  fejc  arcus  in  quos  angularia  puncta  ejragoni  Oiuidut  circu 
lubtut cbtni fiipti  fut adinuice equales. vt arc9.a.f.b.arcui.f.b.cj  16  angulus.f 
quicoriftitiupmoecqlisangnlo.b.quicofiftitifcbo.  idcincctcris  .quarc  coftat 
.ppofitum.CCoiielarium  ty.  bpc  patet  cj>  oimidiu  oiamctri  %  latus  cyagoni  funt 


IIII 


latcra  eiufdcmtfiangultequilateri.vi.c^.?.c.b.c.c.d.G£tnotacpf)onp:opo/ 
nitur  circa  p:opofitum  cirailum  exagonum  cqutlatcrum  atqj  cquiaiigulum  ocfi / 
gnare.lTec  intra  ta!em  ejagonnm  aut  circa  talem  circulum  oefcrtbcrc  .qucadmo/ 
dum  fccit  oe  triangulo  quadrato  t  pcnrbagono.  non  qj  non  fit  nccclTanu  boc  ce 
polTjbilc.fcdquiabcctriapercademp:eceptafiunt  in  pentbagono  cquilatcroet 
cquiangulo.c  in  omni figura equilarera.arq3 cquiangula quccunqj  ruerit.  23nde 
quamcuq,  figura  cquilatcra  t  cquiaugula  fcimus  circulo  tnfcribere  :candc  circulo 
eytra.t  circulii  fibi  intra  t  ertra:bifdcm  medijs  pcr  quc  bcc  in  pcntbagono  fccim9 
oefcribemus.Gllora  etiam cy omnis figura  equilatcra  circulo  infcripta.aut  cir/ 
cufcripta  eft  etia  necelTario  cquiangula.oe.infcripta  patet  pa-n.t  .ztf.tcrtij  fum 
ptis  arcubus  circult.  quibus  latcra  infcriptc  figure  coxte  fut  binis  «  bini6.3n  bos 
eni  arcus  ipfius  figure  anguli  cadunt.£)e  circufcripta  autc  ductis  a  circuli  ccntro 
lineis  ad  omncs  eius  angulos.  t  ad  loca  cotactus  facile  pjobabis.fi  plcne  intcile/ 
ctc  ocmonftrationi.  i  j  .buius  oiligcs  intcllectus  accdTcrit  .erit  ent  vt  omncs  ipft* 
figurc  angulos  Itnec  a  ccntro  veuientes  g  equalia  oiuidat.fumptis  itaqj  quibulli 
bet  ouobus  cius  $>?imie  latcribus  cu  linca  ad  angulu  ab  cis  con  tentum  .t  cu  ouo 
bus  ad  eo:u  cjctrcmitates  a  centro  vcnicntibus  ouos  triangulos  ab  cis  cotentos 
cquiangulos  adinuice.p.4.p:imi  cfle  .pbabis.Sicqj  faciendo  oc  omntbus  patcbit 
eos  effe  equiangulos  g  banc  comunc  fciam  quoy  oimidia  fut  cqualia.  tota  quocg 
dTccqualia. 

1^:opolitio.i<j. 

IRtra  dawjcireulum.quindecagomtm  equilaterum  atq^ 
cquiangulu  ocfignarc  G^einde  circa  quclibet  circulii 
afIignatu5qinndccagonum  equilatcrum  atq^equiangu 
lum  atqs  intra  oatum  quindecagonu^  circulu  oelcribere 

G6it  oatus  circulus.a.b.c.volo  ftbi  infcriberc  qutndecagonu  equi 
laterum  z  equiaugulum.ocnidc  etiam  circufcribcrc  atqj  intra  talem  qutndccago/ 
num  .ppofitum  circulum  ocfcrtbcrc.TIon  ,pponit  autcm  circa  talcm  quindccago/ 
num  ctrculu  ocfcrtbcrc.quia  boc  fatis  oat  intciligere  p_  alia  quc  .ppomt.  3n  oato 
circulo  iujcta  ooctrina  fccundc  buius.^trabo  latus  triangolj  cqutlateri.cp  fit.a.c 
ctujcca  ooctrinafcoi  latuspentbagoniequilatcriatq5  cqutanguliqofit.a.b.ft 
quta  arcus.a.c.clt  totius  circufcrcntie  tertia:cuiusarcu8.a.b.crtquinta.erit  fup/ 
fltmin  intcr  eos  qb  cft  arcus.b.c.oue  tertte:arcus.a.b.vcl  oue  quinte  arcus.a.c.fi 
ue  oue  quintcdecime  totius  circufcretic  Tlam  in  omni  toto  excedit  tcreia  quinta. 
in  ouabus  tcrtijs  ipfius  quinte.  Vel  in  ouabus  quintis  ipfius  tertie.  fiue  in  ouab9 
quintis  occimis  totius.boc  cni  patct  in  quinta  t  tcrtia  pmi  numeri  babetis  quiiv 
tam  t  tcrtiam  qui  cft.i  j.cius  cnim  tertia  quc  cft.^.cxcedtt  eius  quintam  que  e  tria 
in  ouabus  vnitatibus  quc  funt  oue  tcrtie  ipfius  ternarij  qui  e  quinta.  vl'  oue  quiti 
tc  ipfius  quiuarij  qui  cft  tcrtia  fiuc  oue  quintcdccimc  ipftus.  i  j.qui  clt  totu.  oini/ 
foigiturarcu.b.c.percqualia.in.d.  patct  vtrumq)  ouo:um  arcuum  .c.d.t.  d.b. 
elTe  tcrttam  arcus.a.b.vtquiutam  arcus.a.c.fiuc  quintadccima  totius  circumfe/ 
rcnticfubtcnfis  igitur  eis  co:dis.c.d.?.d.b.coaptatifq5  continue  intra  datum  cir 
culum  fibi  cqualibus  per  pjimant  buius  complcbitur  ftgura  pjopofita .  G£ctera 
vero  ouo  que  pjoponit  cu  tertio  q>  oat  intelligcre  vfdelicct  quindccagonii  circulo 

d* 


LIBER 


circumfcribcre  ac  rircutnm  quindccagono  infcribete  ac  ctiam  circumfcribcrc  c%.  12. 
t3.?.i4.buiu9  plencintellectisracilcpcrficics.  C£t  nota  cpquamcunqsfiguiam 
cquilatcram  circulo  fcimns  infcriberc  ouplo  plurium  latcrum  circulo  fcimus  infcri 
bcrc  1  circufcribcrc?  ipfi  circulum.oiuifte  cnt  arcubus  quibus  latcra  cius  q  fcitur 
infcribi  fubtcnditur.pcr  equalia  %  a  punctis  mcdijs  ad  cjtrcmitates  latcru  ipfius 
figure  oiictis  Imcis  fict  intra  circulum  figura  ouplo  plurium  latcrum  quc  crit  cqui 
larera  pcr.a8.tertij  .crgo  c  cquiangula.boc  cnim  oemonftratu  cft  fup:a.  1  j.buius 
cj>  omuis  figura  equilatera  circulo  infcripta  cft  ctiam  cquiangula.£t  quia  bac  cir/ 
culo  fcimus  tnfcribere  fcicmus  cctcra  tria  pcr.  a.  1  3.7.  i^buius.  CQuia  igitur  fci 
mus  infcribcrc  triangulumcquilatcrumifcicmuspcrbocicjagonum  ?perq:a/ 
gonii  ouodecagonu  ac  per  onodecagonu3  figuram.i4-laterum.  1  fic  in  infinitum 
onpUndo.ft  licct  pcr  triangulum  poffit  vt  oirimns  infcribi  cyagonus.pofuit  ta/ 
mcn  buius  p:op:ia  ocmonftratione  zf.  qua  fcquitur  potiffima  pcrvtile.  £t  fimili/ 
ter  quia  fcimus  1  infcriberc  quadratum  fcicmus  per  boc  infcriberc  omncm  figuv a 
cuius  latcrum  uumeruscft  paritcr  par.pcr  pcntbagonum  quoq^  fcicmus  occago 
num.c  figura.zo.laterum.ficqj  continuc  ouplando.idcm  quoqj  intclligc  oc  quin/ 
decagono.pcr  ipfnm  enim  fcicntur  figure.}o.c<so.?  omnium  continuc  ouplaro^ 
laterum.C£etcrarumautemfignrarumocqutbusiftanonoocct.  vcl  quep.  bas 
no  Ijabent  oifficilis  eft  fcientia.t  paru  vtilis.vt  funt  eptagona  nonagena  vndcca/ 
gona.  X3ofi  fcirem''  triangulu  ouu  cqualiii  latcru  oefignarccuius  vrcrqj  angulo 
rum  ad  bafim  triplus  cffct  ad  rcliquu  fciremus  eptagonu  vt  fup:a  pcntbagonum 
circulo tnfcribcrccp fi  vtcrq> quadruplus clTet ad reltquu  fciremus  nonagonii.er 
fiquintiiplus.vndccagonu.  3demq5inccteris  figuris  impariumlatcrum.pofito 
vtroqs  anguloy  ad  bafim  multiplici  ad  reliquu.per eum  numcrum  qui  cft  medic/ 
ras.marimi  paris  fub  impari  nnmero  laterum  ipfius  figure  contcnti. 
"jr\  atii  angulu  in  tria  equa  oiutdcrc.Sit  angulus  oat9.c.volo  ipfii  oiuidcrc  in 
^-'  tres  eqlcs  angnlos  q6  fic  facio.pono  pmo.c.ccntt u  ctrcult  oefcribendo  circu 
Iu  qlitcrcuqs  cotingat.  1  ,ptrabo  latcra  cotineutia  oatri  angulu  vfqj  quo  fecet  cir/ 
cuferentta  in  punctis.a.«.b.tunc  a  puncto.c.qo  cft  ccutru  circuli  ouco  linca.  c.d. 
perpcndicularic  ad tmca.c.b.c tn  linea.c.d.affigno punctu.c.a quo  ouco  lincain 
ad  equalitatc.cb.vfq5  quo  fccct  circiiferenria  ctrculi  in  puncto.f.  1  .pduco  .c  vfcp 
a.ocindcpTOtrabolinca.g.b.cquidiftantc.f.a.quefcj.g.b.tranfcat  pcrceutrii.T 
ouco  lineam.f.g.cquidiftante  linee  cc.c  ptotrabo  lineam.c.b.incontinmi  1  oire/ 
ctum  vfqs  ad.l.quc  fccat  linca.f.g.o:tbogonalitcr  in  puncto.o.ipcr  cqualia.  oico 
ergo  c$  arcus.l.g.eft  cqualis  arcut.b.b.p:optcr  boc.cp  angulus.l.g.  c.  cft  cqualis 
«ngulo.b.c.b.cu  ftnt  contra  fc  pofiti.£um  igitur  arcus.f .g.fit  ouplus  arcui.l.g. 
crit etia  ouplus arcui.b.b.fed arcus.f.g.eft cqualis  arcui.a.  b.cii  ftnt  intcr  ouas 
lincas  cquidiftanres  quc  funt.f.a.f.g.b.crgo  arcus.b-a.cft  ouplus  arcui.b.b.cr/ 
go  %  angulus.a.c.b.cft  ouplus  augulo.b.c.b.oiuidam  crgo  angulum  .a.  c.b.  pcr 
cqualia  pcr  lincam  .c.rn.**  patct  p:ppofitum. 

Illrra  oatti  circultt  nonagulu  equilatc^  atq5  ccjagulii  Oefignarcqtf  fic  ficri  po  / 
tcft  iuyf  a  oocrritta  fcoe  bui9.infcriba  circulo  alTignato  tt  iangulti  eqlatey  arqs 
cqangulu  q  fir  a.b.cs  vntiqucq^  anguloy  ei9ouiida  g  tria  eqlia  1  p:ori  aba  lincas 
oiuidctcs  angulos  vfq;  ad  circiiferciuia  1  tu  nc  .q:  noue  anguli  locati  iu  circulo  fiit 
cqu3lcs  oc  nccclTitatearcus  fuppofiti  ipfis  angulis  funt  cqualcs.  p:ottabd  cnim 


■^■B 


co:das  fubtracta3  fingulis  arcubus  %  babcbo  intentum. 
incipitlibcrquintus. 


£xplicit  libcr  quartns 


i&iffimtto    .1. 

&rs  eft  quantitas  quantitatis  mino:  maio/ 
ris/cum  mino:  maio:em  numeret. 

C  p>ars  quadoq^  fumitur  p:op:ic:  i  bcc  cft  q  aliquo 
ticits  fumpta  fuum  totum  p:ectfe  conftitiiit:fine.pi/ 
mtnutionc  vcl  augmcnto:?  oicitur  fuum  totum  ntt» 
mcrarc  pcr  illum  numcrum  £ m  que  fumuur  ad  ipft? 
totius  conftitutionc:talem  autcm  partem  qua  multi- 
plicatiua  oicimus  bicoiffmit.C  .Quadoq^  fumitur 
comunitcr  t  bcc  cft  quthbet  quantitas  mino:  q  quo  -" 
tienfciiqs  fupta  fuo  toto  min9  aut  maius  conftituit. 
qua  aggregatiua  cicimus:co  q>  cum  alia  quantttate 
omcrfa  totum  fuu  c6ftttuat:p  fc  aut  quotienfcuqs  fumpta  fucrtt  noit  p:oducat. 
,  feiffmitio   .2. 

mltiplej;  eft  maio:  mino:is|quando  ea,  mino:  metitur. 
Cpars  rclatiue  oicitur  ad  rotu^:?  in  tftis  ouobus  extremis  confi- 
ftit  cotu^  adinuice"  rcIario:e  ideo  oiffinito  mino:t  exrremo/otffinit 
bic  maius:vocat  autc5  ipfum  mulriplcr.  p:opter  boc/cp  minus  ipfu 
aliquotiens  fumptu^  conftituat:crunt  igitur  rdariuc  oicta  adinui/ 
cc:pars  1  multiplejc.Tla  oritnis  pars  fubmultiplcx. :  vt  patct  pcr  cius  oimnitione. 

feiffwitio  .%. 
fl"iHopo:tio  eftouarumiquantccunq^finrjeiufdem  generis 
I  quantitatum/ccrtaaltertueadalteram  babitudo. 
C^ogojtio  eft  babitudo  ouarum  rerum  einfdem  genertsadirmt/ 
cemlin  co  cp  earu^  altcra  maio:  aut  mmoi  eftrdiqujti  vejjjibi  equa/ 

— I  !}§•  Ilon  enim  foluj  in  quantitatibus  rcperitur  p:opo:tuX(cdi  po/ 

dcnbus:£0tentij8  et  fonis.  3n  pondcnbus  quidc  e  potciijs  vult  plato  i  tbimeo 
effc  pjopottioncvbi elcmcnto:um  nnmerii  oftcndit:in fonis autem  effc p:opo:/ 
tioncm  liquct  c%  mufica.llam  vt  Vult  .Soccius  in  quarto|fi  quiltbct  neruus  in  ou  - 
as  inequalcs  partes  oiuidatur  .crit  ipfaruj  partiii  fuommq^  fonoy  :eadem  couer- 
fo  modo  p:opo:tio.S5  in  quibufcunq^  p:opo:tio  rcperitur:ca  participant  naru/ 
ra  ,pp:ictateq5  quatitatismo  enim  repentur  in  aliquibus  rcbus  ouabus/nifi  tn  co 
g>  carum  vna  eft  rcliqua  maio:  aut  mincn.  aut  fibi  equalis.CQuantitatis  autem 
;pp:ium  eft  ftn  tpfam  cqualc  vel  incqualc  oici.  vt  vult  2rifto.in  p:cdicame"tis.  vn/ 
dc  liquct(ppo:tioncp:nnoin  quautitatc  reperiri.c  pcripfamuiomiiibus  alijs- 
Tlcc  clTc  in  aliquib9  rcbus  p:opo:tionc  cui  fimihs  no  fu  in  aliquibus  quaiuitattbn. 
.pptcr  q6  bcnc  oijit  cuclidcs/.ppotttone  fimplicitcr  cffein  quantitare,cutii  ea  oiffi 
muit  pcr  babitudmcm ouaru  quantitatu  ciufdcm  gencris  adtnuicem  C£ui9  otf- 
finitionis  intellcctus  e"/cfp:opo:tio  e  babitudo  ouarum  quannujtumadinuicem 
quc  attcnditur  in  eo  cp  vna  earum  cft  maio:  aut  miuo:  alta  vel  fibi  equalis  \\  qo 
patet  q>  opouct  cas  clTe  ciufdcm  gcncns:vt  ouos  numcros:aut  ouas  lineas.-auc 
ouas  fupcrficics:aut  ouo  co:p.a:aut  ouo  Ioca:aut  ouo  tcmpota.  Tlon  entj  poteft 

d  5 


t 


fotvufi t^M^nctvtffiMnjtt.  ficn^rifrikvir  fiw- 
*h*£ .-finJvrty  ftrrfr»MfkrruittA.<A.lrunfAi>ve.j 
cd.  t^tfmuUfnCit^riuefinniU^cicnffv.n,^*- 
fmc  ttmvi  nmfcrMt  .tff.f*»  ttni  ikciii  multiSS 
ICCWcV  Im  $  (uimultiyUx  irt  ur  fJcmnrlifUtyt  ntir 
itfkniS.nn  fcmrtUijt-iftf £rf<Ww.  7«ff. 
fuhnuUifUt  '■  ?  tv  ivtihtnfrriineiY  iuemHtatvf  tnt. ' 
^■i.muvr\f\^$v*in'i4tVtee^nn^gt^  •__ 

\U  r/A^  l/rvrft  vfh.  &$*  M  iWiititrr.  frmva .  d%  "t 
itfcnvtuintr  iicu?i«  nttrKtr/vr  fn-imuUjflpi  .'*£  ■ 
it.  iiffinitftr  nurHfUjr.  '■  vt- frr  fuxi  cVrcAtvtivAVM^. 
\™*r?i vrffrlkt  irruKriiiicir' iuiimuUiflrf  ■  ftjt ' 
«trrPmMfetf.titt  ImMiU^S/MltiflM  if- 
tvtt)  iUirnArin'lfrn*vi!  rttlfj^i  H.  itr-jf  lomMru*f 
n«*n<rAt  5pf*rkt  ritcrnArM,.  ier.r.-fi**i/tyr$/Hk**t 

jrHArir.  ■ 

dy  derlivnriar-  vrrimrij  ckffJu  p  fnftiSnfiij    , 
titV)  ctjni  te-vn*  rrlrMW  :  rt^nfcif^ 'fbn  ncrriftmv-  ■    \ 
^cfcri  Lrivrr.  rrMinv\rtfr.  MvMijfl^i  t~fuf.jum  -  j 
ftrhf  tnttifr  nnlvtriffUf.itimtirMif.  ifvJmattifU- 
^.niw-i^tf^^riflcyc-inrh^tAiniiciu-    ( 

Tlirffrirtyblrintntrfr.h-nrifrirwLr  iftn  ntnltifl+c:. 
rtttini  i  ftiftrinf* eU  iltrnic  rrffcrtu.  ytwtvic . 


Tr-ftrKl  InfWcim  rnftt.ftiiC-ftcltrr*.  .Ireftfr 
iJtLdt-ltvmfirriltii  itiiunmifMiiviHtrttn  cilfn- 
.manf-l-itt-rhlitfv*-  tJAuittrJtyftrtaru.ty'. 

\trtt.  ctUrr!  niAhrcrt..linr  utmikt-  vnhtc  IV  vnt. 
Uncfccwt  ?  mtvior  A-UtrA.  iMr miMr.-*ut  cMu*W, 
t^ficiiffint^AlcourUic-.-l/rl  ccrtn.lirtrvnnnAtr.rJ 

(aihv  AUf  C  Mrrni*  JtUAH^trt^  rlicm  mvcrif \r-r 
tfie  cliffinitC ' ,A.  ijynrfivrva  V  fnrrfv»  . 


Stnfwt  fuur1  tjcfCrlA  ■ttffloii  euciUuY ' icjfftrtUnS 
Vc  nvfrn ■%%ri.  niiXc-  ttht  i  tfn  trmltl  litu- 
£r*nycvtvvr{  vitcrvtu.  &MvUc  .  ryC  . 


Txch.  diMivno  l>nh~ik£'  frvJatm  otnrrJ.  m 
djtfnih&ne  preporhorvif. 


KT  OrOOOrhonif. 

^tmilr  nclr.-  U  etrt-t.  '■  <tr  tfpofvrvi  (nnvonm 

v*,r*v.rAerti 'tppnvM  Jro  f(rtti«fl/j;?mjwwt,/ 
tkntbwtrofro  UrrrvMt.tr\fUrr\noAvU..  frner, 
fn  fntKinef.  rvcr o^lrtfwrn^wr:  ri-  r*  duft 
r*U^brtJ°rho7r>iA9^h^to</Kfi+hrnXVr/ 

^rotorhe  3vjMww*l»/- 
\jUtwtitMrj  izunnrrj- 

Irfoorrvo  IryMvmti  !i/  • 
Q^-.Mrnrlrntrf  jnrtie*n  trf- 


e^-iO 


LIBER 

fcici  Ituca  maio:  aut  minoi  fupcrficic.aut  co:p.e  ucc  tempu3  loco.fcd  linca  Itncajc 
fuperficics  fuperficie.Sola  enim  vniuoca  comgabilia  funt.  CQt>  autem  oicitccr- 
ta  babitndo  non  fic  intelligas  quafi  nota  vel  fctta.fcd  quafi  octcrminatamt  fit  fai ' 
fus.p:opo:tio  eft  oetcrminata  babitudo  ouaru^  quantitatumata  inqtia  octermi' 
nata  cp  bcc  i  non  aliafTlon  cnim  eft  neceffarium  vt  omnis  babitudo  ouarft  quan  - 
titatum  fit  fcita  a  nobis:  ncc  etta  a  natura,  GTIam  p:opo:tio  qucdam  eft  oifcre/ 
to^u^ivt  numcro^.qucda  aut  continuo^.^n  numcris  autc  mino:  c  pars  aut  par/ 
tes  maicnis  vt  ocmonftratur  in  fcptimo:quare  i  in  eis  omnibus  eft  babitudo  ccr- 
ta  «  nota.Gat  vero  tn  continuis  cft  p:opo:tio  magis  larga:eft  enim  i  eis  vbi  mi/ 
no: quantitascft  pars:aut  ptes matons:? talium  omnium  mcdiantibus  ntime/ 
ris  e  p:opo:tio  nota:quc  i  rationalis  oicif  .£>icuntur  q3  omncs  talcs  quantitates 
c6municantes:quia  eas  vna  *  eadc  neceffario  metiturjvlidc  i  omncs  numcri  fiit 
comunicantes.omncs  eni  ipfos  metitur  Vnitas.£ft  ctiam  vbi  mino:  non  c  pars. 
aut  partcs  maio:is  i  in  talibus  no  cft  uota  p:opo:tio.necnobisnccnature.  £>ici- 
turq^  bcc  p:opo:tio  irronalis:  i  bcc  quatttates  inc6munTcantcs:]vndc  fitTut  qttc/ 
cunq5  p:opo:tio  rcperitur  tn  numcris  reperiaf  in  omni  gencrc  continuo:um:vt  in 
lincis  fupcrficicbus  co:po:ibus  i  tempo:ib9in6  autem  econucrfo:inftuite  cni  fuut 
p:opo:tiones  in  continuis  repertc.quas  numeromm  natura  no  fnfttnet.Sj  quc/ 
cunq5  p:opo:tio  rcpcritur  tn  vno  gcncrc  conrinuo^  cadem  reperitur  i  oibus  alijs. 
Tlam  qualitcrcunq^  fc  babct  aliqua  Imca  ad  qualtbcr  altaimfic  fc  babct  quclibct  ftf 
perficics  ad  aliqua  alia.  1  qnodlibet  co:pus  ad  aliqo'  aliud:  ftmilitcr  1  tanpus;fcd 
non  fic  qultbet  numcrus  ad  alique  aliii:  vndc  magis  e  larga  #po:tio  in  continuis. 
q*5  in  oifcrctis^xquo  manifeftum  eft  p:opo:tionc  geometricameffemaions  ab/ 
ftractionis:q5  p:opo:tioncm  arifmeticairuomnis  cni  p:opo:tio  circa  qua  arirmeti' 
ca  verfatur  ronalis  cft:gcometria  vcro  ronales  1  irronalcs  cqlttcr  conftderat. 

/©ifTmitio    .4. 

|  TRopo:ttonalitas  eft  fimilitudo  p:opo:tionum. 

I  GUt  ft  oicamus  cp  quc  eft  p:opo:tio.a  .ad.b.ca  cft  ctiam.c.  ad.d. 
p:opo:tto  que  cft  inrcr.a.f.b.fimilis  cft  illi  quc  cft  intcr.  c.  i.d.  bec 

Uautcin  ftfitudo  que  ej  iftis  ,^po:tionibus  refultat  oicif  ,ppo:ti6alitas 
£>iliinitio   .j. 

jj^antitatesqucoicunturconrtnuam  babere  p:opo:tio/ 
nalitatem:funt  quaruni  eque  multiplicia:aut  cqua  fut:  aut 
eque  ftbi  line  interruptioe  addunt  aut  minuunt. 
GSuppoftta  oiuifionc  p:opo:tionalitatis  g  cotinua  1  oifcotinuam 

IJoiffinit  iucb:a  oiuidentia.  1  p:imo  cotinua  imo  vt  vcrius  oica:fup/ 
pofita  oiuifiouc  piopouionalium  g  continuc  ,ppo:tionalta  1  inc6tinuc:oifniiit  116 
cotinua  ;ppo:tioiialitate:nec  inc6tiuuam:fcd  <6rimic,ppo:tioiialia  1  incoutinue. 
oiftinitio  autcm  continue  ,ppo:rionaliiatis  1  incotinuc  fatis  patct  pcr  oiffinitio/ 
nc  cotinuc  (ppouionalitim  1  incontiiiue.C£6rinua  aut  .ppottionalitas  e  cu  quot 
libet  quatitatu  ciufdc"  gciicris  in  qua  ,ppo:ti6c  p:ima  antccedit  fciiam  111  cadc  quc/ 
libct  aliay  antcccdit  ^rinio  cofcqucntc.vt  cu  oicimus  ficut  fc  babet.a.ad.b.  ita.b 
ad.c.c.c.ad.d.  crirqj  quelibct  carum  an  tcccdcus  1  confcqucnsxxccpta  p:ima  quc 
cftfolti  antcccdcus:?  vltimaquc  cfttm  cofcqucns.  £tinbacp:opo:tionalttate 
nccclTc  cft  omncs  quantitatcs  cffc  ciufdan  gaierispwptcr  cotinuationc  p:opo:/ 


rionu  co  cj>  no  fit  ,ppo2tio  inter  quantitates  gcnerom  ofaerfoy:  z  bcc  erit  ad  min9 
in  trtbus  tcrminis  conftituta.G^ncotinua  autem  eft  cu  quatuo:  quantitatu  fiue 
omnes  fucrint  eiufde  gcncris  fiue  oue  p:imc  vnius  i  oue  poftremc  alterius:i  qua 
piopoztione  p:ima  antccedit  fcoam  in  eadc  tertia  an  tecedit  quarta:  vt  cu  oicimua 
ficut fe babet.a.9d.b.ita.c.ad.d.eritq5 carum  quclibet:aut  tm  antcccdcs  aut trii 
confcqucnsmec  eft  nccclTe  vt  fint  omnes  quatuo:  ciufdc  gencris  ficut  erat  in  pjo/ 
po2tionalitate  cotinua:co  q>  cofequcs  pritne  p2opo2tionis  no  cotinuaf  anteccdcn 
ti  fcoctfcd  poffibtlc  eft  vt  fint  eiufde  gencris:?  poff ibtlc  eft  vt  fint  oiucrfozj.Sicut 
eni  contitigit  linca  rcrJiri.  ouplam  ad  lincam  aut  triplam:ita  fuperficiem  ad  fuper/ 
ficic':c  co2pus  ad  C02pus:«  tepus  ad  tempus:?  numcrus  ad  numqj.GI!ifo  quid 
fit  continua  ,ppo2tionalitas  .1  quid  incotinua  cjcplancmus  oiffinitione  continue 
,ppo2tionaliu  p^emiffam.  Ouantitates  inquit  p:opo2tionales  cotinue  funt  quazj 
cq  multiplicia  aut  fibi  funt  cqlia:aut  eq  fibi  finc  iterruptione  addut:  aut  minuut 
vcrbi  gratia.Sint  tres  quatitates  eiufde  gencris.a.b.c.ad  quas  fumanf  .d.e.f.cq 
multiplicia:Vt  ficut.d  cft  multiple*  ad.a.ita.c.fit  multiplex  ad.b  c.f.ad.c.crutqj 
omnes  in  eode  gcncrc.Dnultiplicia  eni  1  fubmultiplicia  in  codc  funt  generetftqj 
tt.d.e.f.aut  fint  equalia  adiuuice:  aut  fitr  fe  babeant  in  addendo  aut  minuendo 
ita  9»  ficut.d.addit  fupcr.e.aut  mrnuit  ab  ipfo:ita.e.  addat  fup.f.  aut  minuat  ab 
ipfo.£u  bcc  inqua  multiplicia  fic  fc  babuerint  crut  tres  quatitates.a.b.c.cotinue 
,pp02tiona!e8.2)l3ultiplicia  aute  no  iutdligas  fitr  fic  fc  babere  in  addedo  aut  tni/ 
nucndo  quantfi  ad  quantitate  exccffustfcd  quantu  ad  piopoitioneialiter  eni  oif/ 
finitio  effet  falfa.Ttam  quarulibet  quantitatn  ciufde  gcneris  cquis  fe  oiffcrcntija 
excedcntium  eque  mulciplicta  acccpta  cquis  ctia  oiffercnti  js  fe  ejcccdut:  vnde  fttr  fe 
babent  m  addendo  1  minucndo  quantu  ad  quatitatcm  cxccffus.  Ilcc  tame  p2io/ 
rcs  qnatitates  fut  cotinuc  p2opo:tiona!cs:tmo  mino?  cft  fcmp  maio:  p2opo:tio. 
boc  autc  ideo  euenit  qm  cay  multipliria  no  fifr  fc  excedunt  quatu  ad  p2opo2tio/ 
ne.  fcd  folu  quantu  ad  quantitate  exceffus:eft  cni  z  ibi  in  mino^ibus  mulciplicib* 
mai02  p2opo2tio. vcrbi  gratia:fumanf  trcs  numeri  equis  oiffcrcntijs  fe  ejccedcn/ 
tcs:immcdiatc  vidclicct  arifmeticc:  vt.i.j.^bom^  trium  omncs  eque  muluplices 
eqnalitcr  fe  exccdunt.oupli  quide  binario  tripli  temario.i  fic  oc  cetcris:  no  tamen 
funt.2.j.4.c6tinuc  p2opo:tionaIia:imo  minoy  cft  mai02  p:opo2tio:  cft  cni  ipfoiu 
,ppo2tio  fefqutlatcra:?  maio?:  fcfquitcrtia  :q:  crgo  intcr  cos  116  cft  ftmilitudo  p:o 
p02tionu.T)oCTitintereo8^po2tionatita8:ii6ncq5continua  rieq^  incontinua. 
patet  crgo  fimilitudine  illam  additionis  aut  oiminutionis  no  imclligi  quantfi  ad 
quantitatem  ejcceffusifcd  quantum  ad  p2opo2tioncm:crit  itaq^  fcnfus  oiffinitio/ 
nis  p2cmiffc.jContinua  p:opo:tionalia  funt  quaru  omnia  multiplicia  cqualia  fiit 
continue  p:opo:tionalia:  fcd  noluit  ipfam  oiffinitione^  p:oponerc  fub  bac  fo^ma 
quia  tutic  oiffmiret  idcm  p  idcm:apcrtc  tamc  rei  eft  iftud  cum  fua  oiftlnitione  co 
ucrtibile.lres  autem  quantitates.a.b.c.opo2tct  clTc  ciufdc  gcneris  ad  boc  ut  ca/ 
rum  multiplicia  ftbi  inuicem  equalia  fint:aut  fimtlitcr  fc  babcant  in  addendo  aut 
minuendo.Sienim.a.c.b.effaitoiucrteumgaicrum.cffentctia.d.t.c.ipfarum 
a.T.b.mnlciplicia co:ude oiuerfo:um gencrum:p:optcr  boc q>  multiplicia  1  fub/ 
multiplicia  eiufde  fut  gencris:quare.d.n6  cffct  equalis.c.nec  ca  maio::  aut  mio:. 
Tlam  qnantit  ates  omerfomm  gencrum  non  funt  adinuiccm  comparabilcs. 
©iffiiutio.tf. 

i  4 


It       4 


I 


LIBER 


li 


-" 


SCanritares  que  oicuttf"  ec  Pm,ppoirione  vna  p:ima  ad  fe/ 
cuda  i  tertia  ad  quarta  funt  quay  pjime  i  tertie  multipli/ 
ces  equales  mulnplicibus  feciide  %  quarte  equalibus  fitc/ 
rintftmilesveladditione  veloimittutionevel  equalitate 
eodemojdinefumpte. 
Gpofita  fupm9  oiffmitione  quaticatu  contiuuc  .ppottionaliu.bicponir  oiffini/ 
rione  incotinuc  ,ppo:tionaliu:?  e  cp  quarutibet.4.quantirattJ  qua?  p:tme  z  tertie 
cque  mulciplicia  ffipca  fuerinr:itcq5  fcoe  i  quartc  cquc  multiplicia: fucritqj  multi / 
plex  p:ime[fic  fe  babens  ad  mulriplc):  fcoc  quantfi  ad  addicione  aut  oiminurtoncj 
aut  cqualitate:ficut  mulciplej:  tcrtic  ad  mulciplg;  qrtc:  crit  ^poitio  pmc  caru^  ad 
fciJam:ficut  tertie  ad  qrrs.vcrbi  gfa.5inr  qcuo:  quaticaces.a.b.c.d.  fnmanfcp  ad 
pma  i  ad  terria  qne  funt.a.c.c.cq  multiplicia  vrpore  oupla:quc  fint.e.c.f.  3ccq5 
ad  fcoam  i  quarra  que  funt.b.i.d.fumaf  alia  eq  multiplicia:vtpote  tripla.  q  fint 
g.t.b.fitq^  vt  bcc  .4.mutttplicia  ftc  fupra  copata  adinuicem  f>m  o:dine  p:imarnm 
quatuo:quantitatum:ita  vidcliceccp.ccogcturad.g.c.f.ad.  b.  non  aute.  e.ad.f. 
auc.g.ad.b.finc  fimilia  in  additione  oiminutione  i  cqualitate:  viddicet  cp  fi.e.ad 
dit  fupia.g.s  fttr.f.addat  fup:a.b.aut  fi  .c.minuit.a.g.?.f.fimilitcr  minuaf  .ab.b 
autfi.e.  eftcquatis.g.  ^fimiiiter.f.  fitcquak.b.tuncp:opo:tio.a.ad.b.  cftficut.c 
ad.d.fimilitudo  aucem  tn  addcndo  aut  oiminucndo  intclligacur  btc  ficur  in  oiffi/ 
nitionc  cotinue  ,ppo:riona!i5:  vidcticct  116  quantfi  ad  quantitacc  cxceffus.  fed  qra 
tum  ad  p:opo:cione.CQ6  aiic  oicic  eode  o:dinc  fumpce  incclligacur  ftcut  cjcpofi/ 
tum  eft:  viddicet  vt  multiplicia  non  referant  adinuiccm  fin  o:dinc  carum  quanti/ 
tatum:quibus  cquc  mnltiplicia  affumunt .  vt  multiplq:  p:imc  uon  referat  ad  mul/ 
tiplex  rertie:aut  multiplev  fc6e  ad  multipler  quarte.fed  rcferatur  f>  m  piimfi  o:dine 
ipfay.4.quantitatum:vidcliccc  mriltiplejc  p:ime  ad  mulciplex  fcoc  .1  mulciplgc  tcr 
tie  ad  mulciplex  qusrtc.G£rit  itaq^  fenfus  tftius  oiffinitionis;  ^ncotinuc  ,ppo:/ 
tionalcs  func  quacuo:  quatitatcs  1  ,ppo:tio  p:ime  ad  fcoam  e  ficut  tertie  ad  quar/ 
tam  cfi  fumptis  cque  multiplictbus  ad  p:ima  1  tcrtiam.3teq5  cque  multipticibus 
ad  fcbam  1  quarta  crit  .ppoicio  multiplicis  p:ime  ad  mulciplqc  fc6c:  ficut  multipli 
ds  tcrtie  ad  mulriplcx quartc:fed  no  oiffiniuit  fub  bac  fo:ma.p:optcr  cam  p:edi/ 
«a.licct  a  ptc  rci  tde  fit.T16  e  autc  ncceffarifi  ut  quatuo:  quancitate8.a.b.c.d.  fint 
riufdem  generis:co  cp.b.no  continuat  in  p:opo:tioue:cum.c.  fed  polf nnt  ec  oue 
p:ime  vnius  generis:?  oue  fequcntes  alrcrius.p  qb  patct  cp  neceffe  eft  rcfcrri  mut 
tiplqc  p:imc  ad  multiplq:  fecundc:?  multiplejc  tcrtie  ad  multiplejc  quarte.  no  aute 
multiplct  p:imc  ad  multiplej:  tmic:aut  muttiplqc  fc6c  ad  multiplqc  quarre  q:  non 
fcmg  funt  ciufdc  gcneris.mulriplcr.  pmc  1  tertiemcc  mulriplexfcoc  1  qrte:fuic  aute 
ncccffe  fumcrc  eq  multiplices  ad  pma  1  tertia :  iteq^  equc  muttipliccs  ad  fceam  1 
qrcam:  1 116  cquc  multipticcs  ad  p:ima  1  fc6am:i  ice  non  cquc  ad  tertia  z  quarta 
q:  uifi  p  mtriplicifi  fuptionc  cotinuat  tcniiitnpinc,ppo:ri6is  cfi  terminis  fcocuo 
erit  p  qutd  fic  ,ppo:tio.a.ad.b.ficut.c.ad.d. 

^iffitiifio  .?. 
^atititatesquaru^pojrioevtta^pojtioales  noiatttur. 
|Gpoftquaoiffiiniurtciuantitatesconrinuep:opo:tionalc8«incon/ 
tinuc  oiffinfait  quantitatcs^po:tionalesftmpt'r:etp50iffinitio. 
^>ififinitio  .8. 


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Wtn  fuerinc  p:ime?  terrie  eqae  mnltiplices^  3ftemq5 
fecuitde  i  quarte  eque  maltiplices.addetq^  multiplcj;  p:i 

.melupermaltipltcemlecunde.TRoaddetaatejmultiplej; 

itertie  faper  multipliee  quarte.  oicetur  p:im&  maions  p:o 
Jpo:tionissadfcoamq5  tertia  ad  quarcam. 
CDiffinitis  quatitatibus  p2opo:tionalibus  oiffinit  quantitates  im,ppo:ti6ale8 
Sfitaut  im;pp02tionalC8  intcr  quas  e  fmrudo  p:opo:tionu  qo'  coiigit  ouplicitcr 
autquiamaiorcft^poniopmcad  fecunda  q*5tcrtiead  quarta:autquiaminoi 
i  ideo  eius  funt  ouc  fpccies.^ima  quando  maio:  eft  ,ppo:tio  p2imi  ad  fcbm  q, 
terti)  ad  quarrum:?  oicitur  boc  maio:  imp:opo:tionaIitas.C6ccuda  vero  qfi  mi 
no:  eft  p:opo:tio  piimi  ad  fc6m  q")  tertij  ad  quartu:?  oicif  mino:  improportiona 
litas.oiffinit  crgo  eas  inter  quas  cft  maio:  proportio  primi  ad  fcoam  q*5  tertie  ad 
quarta  que  eft  maior  improportionautas  :otflinitione  autc  carum  inter  quas  cft 
minor  proportio  prime  ad  fcoam  qj  tcrtic  ad  quarta  non  ponit  quia  ipfa  patet  ejc 
ali*.  C£u  igif  fuerint.4.quantitatcs  ad  quarum pmam  z  tertia  fumpta  fint  eque 
multiplicia.tadfcbanuquartacqucmultipliciat  multiplicia  pmes  fc6crelata 
adinuice,  non  fe  babcbunt  fimiliter  multiplicibus  terttfc  z  quarte  rclatis  adinui/ 
tem  in  addirione  oiminutione  z  cqlitatc-.illc  .4.quantitates  erunt  improportiona 
les.CQd  fi  ita  fnerit  g>  multtplg:  p:ime  fir  cqualc  multiplici  fcoe.  multiplqc  vcro 
tcrtie  fit  minus  multipliri  quartc.3ut  c$  multiplcj:  pme  fit  maius  mnltiplici  fc6e. 
multiplejc  aut  tcrtic  fit  cqualcaut  mtnus  multiplici  quarte.aut  cp  multiplex  pme 
fit  maius  multiplici  fccude:«  fimiliter  mulriplcjc  tertic  multiplict  quartc:  veruta/ 
mcn  plus  exccdit  quatum  ad  proportioncm  non  quantum  ad  quatirate  cxccffus. 
multiplcx  primc  multiplejc  fc6e  q  5  multiplej:  tcrtic  mnltiplejc  qrtc.Sut  q>  multiplejc 
primc  fit  min9  multiplici  fcoc.i  filr  multiplcx  tertie  multiplici  quarte.  vcrutfi  mi/ 
nus  minuit  quatu  ad  proportione  nou  quatu  ad  quatitate  exccflus-.multiplex  pri 
mc  mnltipliri  fecudcqj  multiplejc  tertie  a  multiplici  quarte:erit  qnolibet  ifto?  .4. 
modoj;  maior  proportio  prime  ad  fccuda  q;  tertie  ad  quarta.Ouatuor  aute  mo/ 
dis  iftis  oppofitis  erit  minor  ^pportio  pmc  ad  fccuda  q*5  tcrrie  ad  qrta.  £xempla 
aut  iftoz;  oiutn  cuidcntct  fumef  c%  numer  is.addirio  $  ilfa  multipiicis  pme  fnpcr 
multiplcx  fccudc.Tlon  aut  multiplicis  tcrtie  fup  multiple^  quartc:oe  qua  loqmtur 
auctor  in  oiffinitione:Iatitndine  babct  ad  iftos.4.modos  p^edictos  z  ipfos  com 
prcbcdit.  vfi  fcnfus  ifti9  oiffinitionis  e  cu  fiiptis  fit  multiplicib9  vt  proponit  rac/ 
rit  maior  proportio  multiplicis  pmc  ad  multiplejc  fecude  q'5  multiplicis  tcrtic  ad 
mttiplejc  qrtc:crtt  maior^portio  pmc  ad  fam  q^  tcrtie  ad  qrtamo  oiffiniuit  autc 
Tub  bac  forma^ptcr  cocj  cam  fus  oicta.Uel  po(Tum9oiccrc  cj>  additio  mltiplicis 
pme  fup,  multiplcj:  fccude^  nomulriplicis  tertie  fup  mltiplcjc  qrte :  oe  q  loquif  in 
pmiffa  oiff iiritionc  maioris  i.pportionalitatis  ^prie  accipif  prout  vcrba  oiffini/ 
tionis  fonat: « 116  fe  cxtcdit  nifi  ad  fc6m  qtuor  predictoy  modoy:  I5  rcuera  quo/ 
libct  illoy  qtuor  modo?;  fit  maior  pportio  prime  ad  fecuda  q^  tcrtic  ad  quartam 
xh  fcnfus  illius  oiffinitionis  e  cu  fuptis  fit  multiplicib9  vt  ,pponit  fi  multiplici  pri 
me  cxiirc  maiori  multiplict  fccudemon  fit  ncceiTanu  cp  multiplejc  tertie  fit  maius 
multiplici  quarteuuc  crir  maior  .pporrio  prime  ad  fcciida  cJ5  tertie  ad  quartam. 
p^optcr  boc  autcm  non  pofuit  reliquos  trcs  additionis  modos  iii  p^edtcta  oiffi/ 
nitionc:q2  iftc  eft  iUis  ommb9masi8  plan9r«  ad  oicta  oilTinitione  fufficies.Tlufq} 


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eni  eft  maioi  pjopbrtio  piime.4.quantitatu  ad  fcoam  63  tertie  ad  quartam:  qnin 
contingat  atiqua  eque  multiptkia  ad  piima  %  tertia  rerjtri.Quc  cum  rclata  fuerint 
adaliquaequemultiplictaf«5e?quartc:inucnicturmultiplexpjime  addcre  fuper 
multiplct  fcoemo  aut  multiplejc  tertic  fuper  multiplej:  quarte.  Tlcc  vfcj^  contingit 
boc  reperirc  quin  fit  maioj  pjopojtio  pjime  ad  fctSam  qj  tcrtie  ad  quartam  vt  oc/ 
monftrabimus  infra  fupja  oecimam  buius.  Ctboffunt  autem  cffe  bcc  quatttate» 
impjopojtionates  oiucrfoi;  gcncrum  ficut  i  quatitarcs  incotinue  pjopojtionales 
fi  inter  cas  fttcrit  incot  inua  impiopojtionalitas:  vt  fi  oicatur  maioi  eft  pjopojtio 
a.ad.b.q;.c.ad.d.  6i  autcm  fuerit  contfnua  impiopoitionalitas  crfit  oes  eiufde 
generis  necclTario  ficut  funt  in  continua  piopoitionalitate.  vt  fi  oicatur  maioi  eft 
piopoitio.a.ad.b.cfo.b.ad.c.  iDiffinirio  .9. 

£>t  antem  p:opo:rionalitag  ad  minm  intcr  tree  termioe 
conftituta. 

C^oftcfe  auctoj  oiffiniuitppojtionc.ppojtionalitate  z  qntitates.p 
pojtionates  « i.ppoitionales.oftcdit  qs  fit  minim9  numer9tcrmino 
rfi  tntcr  qnos  piopojtionalitas  poteft  cofiftere  maximfi  autc  no  po 
nit:quia  illum  no  cotingit  futnet  eipotcft  cnim  pjopoitio  quelibet  continuari  i  ter 
minfejnfinitis:fiuc  fucrit  ronalis  pjopojtto  fiuc  irronalis.  C3d  pjopojtionali/ 
tate  afit  cjigunf  ad  minus  ouc  piopoitioes  ftt'es:eo  cp  pjopojtioalitas  fit  fimili/ 
tudo  piopoitionfi..Quelibct  aut  pjopojtio  babet  antecedens  1  con!'cque's:ergo  q 
libct  p  jopojtionalttas  babct  ad  minus  ouo  antccedetia  z  ouo  confcquctia:  boc  e 
impoffibilc  fieri  in  pauciojibus  q,  tribus  terminis:in  quibus  mcdius  co$  iia  an 
teccdes  z  pfeques-.s  to  piopoitioalitas  crit  ptiuua:quare  tn  tnb9  terminis  ad  mi 
nus  erit  cotinua  pjopojtionalitas  c6ftitnta.3ncotinua  afit  non  crit  i  pauciojib* 
q*5  in.4.eo  cp  in  tpfa  quilibct  tcrmin9  e  t  m  antecedcs-.aut  tm  pfis:  idcm  intelligc 
oe  minoji  numero  terminoj;  impJopoitionalitatts.Bt  cnim  fucrit  ptinua:crit  ad 
minus  intcr  trcs  tcrminos.Si  incotinua  ad  minus  intcr  quatuoj. 
©iffinirio  10. 
3  fiierit  tres  qnritates  prinue  ,ppo:rioalc0  Oicrf,ppo:rio 
p:imc  ad  terria.(ppo:rio  p:imc  ad  fceam  Duplicata. 
CDiffinit  pjopojtione  q  e  iter  extrcmos  tcrmios  continue  pjopoj/ 
I  tionalitatis  in  trib9tcrmis  coftitute.c  oicit  cp  fi  fucrit  pjopojtio  pjj 
—  mtadfcomficutfcc)iadtcrtifi:eritpjopojtiopmiadtcrtifi  ficutpii 
mi  ad  fcom  oup!icata:boc  e  qc  ouabus  tatortopoftta.ftue  qo  ide  c:crit  pjopojtio 
pjimi  ad tcrtifi.ficut pmi  ad fcom oup(icata:boc eft  tn  fe  multiplicata.  verbi gfa. 

inumerisSint.j.numeric6tinuepjopoJttonalcs:fintq5coiitinueoupIi:vt.2.4.8 
piopojtio  piimi  ad  tcrriu  erit  ficut  piopoitio  pmi  ad  fcom  in  fe  muItiplicata:pio/ 
poitio  afit  pmi  ad  fcom  c  oupla:oupla  vero  in  fc  multiplicata:  pioducit  qtiadru/ 
pla:  vnde  piopoitio  extremoi;  e  quadrupla:vidclicct  ouplfi  oupli:  vcl  fcom  pjioie 
expofitionem  piopoitio  extrcmojum  eft  ficut  piopoitto  piimi  ad  fecundu  oupli/ 
cata:qiiiaqnadrnpla  conftat  ejc  ouabns  ouplis. 

£>iffimtio   .n. 
tffm  faeritqtno:  qnritatce?rinue,ppo:tionalcg.,ppo:rio 
p:imc  adqnartaoicrf,ppo:riop:imead{cc5a5  tnplicata 


V 


CDifftnit  .ppoittone  q  e  itcr  ejrtremos  tcrmios  ptinue  ;ppojti6alitatis  M.termi 
nis  pftttutc:  i  oirit  cp  fi  fuerit.4..qntitatcs  ptinuc^ppojtionalcs  erit  ,ppojtio  pme 
ad  qrra  ficut  ;ppojtio  pmc  ad  fcoam  triplicata  boc  e  c%  tribus  talib9  copofira.  qrri 
talcs  inucniiitur  in  ca:fiuc  qa  idcm  eft:  crit  piopojtio  piime  ad  quartam  ftcut  pri 
mc  ad  fecundam  triplicata.boc  cft  iu  fcpoftca  in  pioductum  iiiulttplicata.Xfcrbi 
grariatin  numcris.Suiit  quatuoi  numcri  continuc  piopoirionales-.fintq^  cotinne 
tripliri.  vt  ftnt.  i . 5 . 9 .27.piopo:tio  p :imi  ad  quartum  crir  ficut  ,ppo:tio  p:imi  ad 
fecunduinfcpoftca  p:oductumultipIicata:p:opo:tioautemp:imi  ad  fccudum 
cft  tripla:tripla vcro  m  fc multiplicata ^ducit nocupla  1  tripla  in  nocuplam p:o/ 
ducit  vigincuplam  fcptuplam.erit  itaqj  p:opo:tio  cytrcmojum  vigincupla  fcptu/ 
pla.q6cfttriplum  triplt.ZSel&npiiOiem  ejcpofitioncm  piopojtio  erlrcmoium 
c  ficut  pjopojtio  p:imi  ad  fcom  tnphcara:  quia  vigincupla  fcptupla  conftat  ej:  tri 
bus  triplis.  Tlon  oiffmit  autcm  p:opo:tioncm  extremomm  continue  p:opo:tio/ 
nalitatis  intcr  plures  cj5  quatno:  termmos  coftitutc:p:optcr  id  q>  oimcnfioncs  in 
rcbus  naturaltbus  rcpcrtc  non  cjxcdunt  temartij.CBenominatio  autcm  ,ppoi/ 
tionis  ouarum  quantitatum  quibus  nullum  intcrponitur  mcdium  babct  natura 5 
linec.  faru?  vero  quibus  intcrponitur  vnn  mcdiu  in  cotiuua  ^pojtionalitatc  ba 
bctnaturafupcrfiricico  qbfitcxmultiplicationcocnomiationis  ouaru  pnmaru 
jit  fc.  Omnc  autcm  q6  eje  multtplicationc  lince:in  lincatn  ^pduciturmatura  babet 
fuperfictci:fi  in  fc  quidc  qnadrati:fi  vero  in  altera  partc  altcra  longioris.  Scd  p/ 
poitionis  carum  quantiratuj  ocnominatio  quibus  in  cotinua  .ppoittone  0110  mc 
dia  intcrponuntur  naturam  babet  folidi:quia  p:ouaiit  cr.  multiplicationc  ocno/ 
minationis  ouarum  piimarum  piimo  in  fc.et.  qua  multiplicationc  pjoducitur  fu 
pcrficics:  ocindc  in  pjoductum  er  qua  multiplicationc  pjoncnit  folidum  fiue  co  j/ 
pus  :omne  1  cnim  qo  cr.  multiplicatione  lince  in  fuperficicm  pjoducitur  crcfcit  ifo 
lidum.Gfft  crgo  ac  ft  oiceret  pjopoitio  ouarum  quantttatum  eft  fimplct  tnter/ 
uallum  :i  babcus  naturam  fimplicis  oimcnftonis  ut  liuce:pjopojtionalitas  an/ 
tem trium cft  oupicjc interuallum:? babcns naturam  ouplicis  oimcnfionis vt fn/ 
pcrftcici  ipjopoitionalitasautquatuoicfttripler  intcruallum^babens  natura 
trine  oimenfionis  ut  foIidi.£  t  quia  oimenfiones  Vlterius  11011  pjoccdunt.idco  116 
oiffiniuit  pjopottioncm  contentam  intcr  crtrcmos  pjopo:cionalitatis  tn  quinqj 
tcrmtnisiaut  pluribus  conftitute: vcl  non  oiffiniuit  p:opo:tionem  in  bis  quia  ea 
rum  ,ppo:tto  babctnr  cr  p:edictis  oifTmitionibus.Si  enim  in  tribus  terminis  #/ 
pouio  crtrcmouim  coftat  er  p:opo:tionc  pitmoium  ouplicatai?  in  qtuoi  termi/ 
nis coftat  ex cadcni  triphcata:i. y .termitiis conftat ejc  cadctn  quadruplicatais  in 
fcr  cr.  cade  quicuplicata:vii  qucadmodii  i  trib9  termis  ptinue  ;ppo  jtioaltb9  ,ppoj 
tio  evtremoy  ptinct(ppo2tione  pmoy  bis.i  i.4.tcrmis  tcr.fic  t  .?  .tcrmis  ptincbit 
quatcr.?  in  fcr  quinqtiies.c  ita  ocinccps.ut  fcmp  jppoJtio  crtrcmoy  i  tcrmis  co/ 
tinnc  ^ppojtionalibus  totics  cotineat  .ppoitionc  ptnoium  quot  funt  omne3  tcr/ 
inini  min'  vno.Sititcr  quoq^  ft  ppoitio  crtremoy  cotinue  piopoitioalttatis  i  tri 
bus  tcrmis  pftitutc  ejea  g  pioducit  cr  piopoitoe  pmoi/  in  fe  fcmcl  multiplicata: % 
in.4.in k bis multiplicata:  in quinqj  tcrminis ca qucpjoducitur er  pjopo2tione 
pntoium  in  fe  tcr  mnltiplicata.  1  i.ts.termis  quatcr:  1  fic  fernp  ut  tcrmini  fucrint 
ouobusplurcsmultiplicationibusifiuevtmultiplicatiories  ftnt  cqualcs  medijs 


17 

.1 

9 

b 

1 

c 

LIBER 


eytrerois  intcrpofitis.£tnota  <j>ctiam  inpjopojtionalitarccontinus  qctrcmo/ 
rum  pjopoitio  pjoducitur  ejc  omnibus  p  jopoitionib9  infermedijs.G£  jc  pjcdictis 
apparet  q>  pjopojtio  ejtrcmoy  continue  p  jopoitionalitatis  in  tribus  tcrmis  con 
ftitutc  ocnominatur  a  quadrato:in  quatuo:  vero  terminis  conftitute  ocnomina  / 
tur  a  aibo:qqojum  quidc  quadrati  i  cubi  latus  cft  oenominatio  pjopojriois  pji/ 
mi  ad  fecuudfi:  verbi  gratiau  numcris  5int  qnatuo:  numcri  continuc  pjopojtioa 
les qui fint continue tripli.3.9.2.7.31. pjopojtio  pjimi ad  fccudu  ocnominatur 3 
ternario.cft  eni  t'rip!a:pjuni  vcro  ad  tcrtium  3  nonario  qui  eft  quadratus  tetna/ 
nj  .nam  ipfa  cft  nocupla.at  vcro  pjopojtio  pmi  ad  quartu  oenominar.  a.27.qui 
cft  cubus  ocnominationis  pjopoitionis  pjimi  ad  fccunda  vidclicct  tcrnarij  .ipfa 
enim  cft  vigincupla  feptupla.G£t  p:opo2tio  qctvanoy  im^po:tionalitatis  conti 
nue  in  tribus  terminis  conftitutc  ocnominatur  3  fupcrficiali  non  quadrato:cuius 
laterafuntoenominationesipfarumipjopojtionu.inquatuojvero  tcrminisco/ 
ftitutc  ocnominatur  a  folido  116  cubo.cuius  tria  latera  funt  oenominationes  triii 
pjopoJtionu:q6  ctia  patct  in  numcris.Sint  quatuoj  numeri  ptinuc  impjopojtio 
nales:qui  funt.2.4. 1 2.43.111  quibus  p  jopojtio  pjimi  ad  fecudu  cft  oupla:  fecundi 
ad  tertiu  tripla:t  ideo  pjimi  ad  tcrriu  fcrx:upla;tertij  vcro  ad  qrtu5  qdrnpla:?  16 
pmi  ad  qrrii  vigincuplu  qdropla.  Sctiarfergo  qui  e  oenomiatio  pjopojtiois  pji/ 
mi  ad  tcrtium  eft  fuperficialis:cuius  latcra  funt  ouo  z  tria.qui  funt  ocnominatio 
nes ouarum  piimarum  pjopojtionu  24,vcro  qui cft  ocnominatio pjopojtionis 
piimiadquartum  eftfolidus  cuius  latusfunr.2.^.4.quifuntocnominatiouc3 
trium  pjopojtiouum  inter  illos  quatuoj  tcrminos  cntium. 

^iffimtio    .12. 

^Tantitarcsque  funtin  piopozrionevna.  anrecedensad 
conleqncnte5 1  antecedcns  ad  confequentc.  oicetur  econ 
rrarto  ftcur  cbnfcquene  ad  antecedentetn.fic  confequeus 
adantecedente.  GJftemq^  permutatim  ficutantccedens 
adantccedentem  ffcetiamcofequensad  confequentem. 
CDiffinit  fpcs  pjopojtionalitatis  quc  funt.<?.  vidclicet  couerfa  .pcrmutata.  oif  / 
iuncta:coniunct3:cucrf3  %  cqua.GSunt  aute  bce  fpccics  quafi  quida  modi  argu/ 
endi:oiffinit  crgo  pjimo  conuerfam  pjopojtionalitatem  1  permutatam:  in  quib9 
manent  anccdentia  1  confcquetia  eade  ftn  fubftantia:qi>  116  c"  i  oifiuncta:piucra 
aut  eucrfa:«  in  quibus  nibil  qctra  fumitur  vt  in  equa:  vocat  autcm  antcccdcns  pji 
mum  extrcmu  pjopojtionis:confequcns  vcro  vocat  fecundum.ClSulr  iraqj  pcr 
banc  oifFinitioncm  cp  fi  fuerit  pjopojtio.s.sd.b.ficut.csd.d.  1  c%  boc  cgo  coclu/ 
dam:crgo.b.ad.a.ficut.d.ad.c. vidclicet  vt  faciam  oc  antccedcntibus  cofcqucria 
1  oc  confcquentibus  antecedentis:  qb  ifte  modus  argucndi  vocetur  pjopojtiona 
litas  ccontrario  fiue  conuerfa.Si  autcm  fic  arguam.a.ad.b.ficut.c.ad.d.  crgo.a. 
ad.c.ficut.b.ad.d.vidclicct  vt  ambo  cjcrrema  pjime  ^pojtionis:fiaiu  antcccden/ 
tia:c  ambo  ejctrema  fecundc  cofcquentia.  vult  ep  ifte  mod"argucndi  vocetur  pjo/ 
po:tionalitaspermutat3:ciniftomodo  arguendi  fit  antcccdcns  fccundc  p:o/ 
poitionis  cofcqucns:?  cofequens  pjime  antcccdcns. 


Ijbjopoiitio.  13. 

£>niuncta  vcro  p20po:tionaltas  oiciturquotieus  ficut 

antecedens  cum  confcqnente  ad  colequens.ftc  eriam  ante 

redens  cum  conieqncntc  ad  confequcns. 

GDiniiiit  contunctam  oifiunctam  1  euerfam  itt  qmbus  etiam  nibil 
_  cjrtra  fumitur  fcd  tcrmini  non  inancnt  in  ipfis.idcm  f m  fubitantia 
1  vuit  cp  fi  ita  fuerit.vt  fit.a.ad.b.ftcut.c.ad.d.-z  cgo  cj  bocconcludam.  crgo  to/ 
tuis.a.b.ad.b.fictit  totius.c.d.ad.d.q>  ifk  modus  argucndi  oicatur  p:opo:tiona 
litasconiuncta. 

1fb:opoiitio.i4. 

F|3ffmnctaverqp?opo2tion3litas  oicitur  augmctomm  an 

tecedentium  !up:a  coufcquentia  cqua  comparatio. 

|CHult  cpfi  meritp:opo:tiototius.a.b.ad.b.ficuttotius.c.d.ad; 

j  d.i ejc boc cgo  condudam.crgo.a  ad.b.ficut.<.ad.d.q?  ifte modus 

J  argucndi  voccrnr  oifiuncta  p:opo:tidnalitas. 

1^>20p0flti0     .if. 

^crfa  pjopoitionalitas  bicitur  quorulibet  antecedentin 
ad  augmenta  fui  fup:a  cofcquefma  fua  limilimdo  pjopoz 
tionum. 

CBuIt  cp  fi  fuerit.a.b.ad.bificut.c.d.ad.d.  1  ci  boc  cgo  «mcluda 
cr50.a.b.ad.a.ftcut.c.d.ad.c.cpiftemodu69r3uaidioiC3turcucr 
fap:opo:tionaltta3. 

1|b2opofttio.i<;. 
iQua  pjoponionaluas  oicitur  qua  titatibus  plurimis  p:o  - 
pofitis  alttfq;  fcdm  cundan  numeru  iu  vna  pjopotttone 
applicatis  mediojum  cquali  numcro  rcmoto  Vtrojumq? 
iuinmoJum  fimihtudo  pjopojtionum. 
CDiflfinit  equam  p:opo:tionalttatcm  que  ad  p:obandnm  pwpoft- 
tum  ad  ejctra  fumif.t  vult  cp  fi  fumant  quotlibct  quantitatcs.  vt.a.b.c.  itemq^  to  - 
tidcm  alic  fmc  fint  ciufdcm  gcncris  cum  p:imis.fiuc  altcrius.  vt  .d.c  .f.  fucrintq^ 

fecundc  in  p:opo:tiocp:imay  iiue  codeo:dinc.vt  ft  oicatur.a.ad.b.ficur  .d.  ad.e 
t.b.ad.c.ficut.c.ad.f.fiuc  o:dinc  couerfo  vt  fi  oicat.a.ad.b.fictit.c.ad.f.  z.b  .ad 
c.ficut.d.ad.e.?  <?  boc  concludatur.crgo.a.  ad.c.  ficut.d.  ad.f.  gp  iite  modus  ar  - 
gucndi  vocctnr  cqua  p:opo:tionalitas.Cbo:um  aittc.d.mod6:um  arguendi  qni 
oiciiwr  fpecies  ^pponionalitatis  quatuo:  ,pbat  aticto:  in  Ira  infra  in  ifto  -i.pcr 
mutatam  quide  p:opo:tionalitatcm  p:obat  in.  is.buius.oifiuncta  vcro  in.17.con  - 
iunctam  ln-\  s.cquam  Vcro  p:opo:tienalitatc  ocmonftrat.in.22.c.2j.Scd  in.22. 
cii  quantitates  ouo:u  o:dinu  codc  o:dmc  funt  p:opo:tionales.  in.2j.c1l  vero  fut 
.ppotfionalcs  o:dine  conuetfo.  £6ucrfam  vero  ,ppo:tioiialitatc:  aut  eucrfa  non 
ocmoftrat  co  cp  conucrfa  P5  cf  oiftmitioe  quatiratu  icotinue  ;ppo:tiona!iu..£ucr  - 
fa  aiit  P5  c%  gmutata  admuicc.19.vt  fug  caoe.  1 9.fum9  oicturi.qualr  autc  pucrfa 
ypouioalitas  cr  oione  quatitatii  icotinue  ppoitioajiu  maifcfta  ftt  ocmoftrcm9 
nfic.CSitcrgo.ppoMio.a.ad.b.ficut.c.acl.d.voloSoemoftrarcqoCTitb.ad.a. 


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LIBER 

ficut.d.ad.c.fumarur.e.ad.a.t.f.ad.c.cquc  multiplicia.fimiltter  quoq^.g.  ad.b. 
s.b.ad.d.cquc multiplicia.erirq; per coiiuerfioncm oiffmitionis  quatitatmn in/ 
continue  p:opo:tionalium.  vr,c.  z.g.  itemq^.f.i.b.ftmiliter  fe  babcant  in  additi 
oneoiminurione?equalitatc.intclligorunc.b.p:inmm.a.fecundum.d.tcrrium.c 
qrtu.fiiptaq5  fiit  ad  p:imn  ?  tcrtiu.g.i:b.cque  mulriplitia.3teq5  ad  feciidii  z  qr/ 
tum.e.«.f.eque  tnultipltcia  z  quia  multiplicia  pami  z  fccnndi  que  funt.g.c.e.firm' 
liter  fe  babent  multiplicibus  tertij  z  quarti  que  funt.b.s.f.adinuicem  oiminutioe 
«equalitate.eritrJOictaoiffimtionemp:opoHio.b.p:inii.ad.a.fccundum.ficut.c 
tertij  ad.d.quartum  quod  eft  p:opofitum.£onftat  itaq^  modus  argucndi  qui  oi 
cimr  conuerfa  p:opo:tionalitas.Gbuius  aute  quinti  libri  p:iucipia  pfurin  lis  oif/ 
ficilima  efle  videntur.t  quibufdam  condufionibus  quaa  cy.  ipfis  ocmonft  rat.  ma 
gisabinrdlectu  oiflantia .  Tlibil  enim  videtur  intellcctui  imcdiaciusadbcrere. 
q*5  qp  ouarnm  quarulibet  quan  titatti  cqualium  fit  ad  tcrtinm  quclibct  vna  p:opo: 
tio:q6  tamen  bnius  quinti  fcptima  oemonftrat  ec  oiffinitione  incontinuc  p:opo: 
tionalitatis  que  ab  tntellectu  p:imo  vidctur  q'5  plurimum  effe  remota  .quia  cnim 
nonfaciltusouarumquantitatumcqualtumadalique  terttam  candem  eiTcp:o/ 
portionem  conccdat.q5.4.quantitatum  fi  multiplicia  p:ime  z  tcrtie  cqtialitcr  fum 
pta  multiplicibus  fecunde.s  quartc  equalitcr  fumptis  fimiliter  fe  babuerint  i  ad/ 
ditione  oiminutione  z  equalitate  clTc  p:opo:rionem  p:ime  ad  fccundam.ftcur  tcr 
tie  ad  quartam.  23erum  fi  fubtiliter  inruemur  liquioo  conftabit  no  pofic  vtttri  in  / 
tdlectuiq?p:opo:tioouaruinquantitatumcqu8liumad  tertiamfit  vna.  nifipcr 
quid  cft  dTc  p:opo:tionem  vnam.Si  euim  quis  iguo:et  quid  cft  clTc  p:opo:tione 
vnamc3ndcmp:opo«ioncmaltcri.quomodo  cognofcct  ouarum  quantitatum 
cqualium  cffe  eandem  p:opo:tionem  ad  rcrtiam.3ndigct  igitur  p:ocu!dubio  in  / 
tdlectus  anteq5  iltani  que  videbatur  conccptibilis  p:opofitio  appicbcndar  buius 
rct  que  pcr  ipfius  oiffinitioiie  babcbtrur  cognirione.poftmodum  vtrum  ea  otffi/ 
nitio  ouabus  quantitatibus  cqualibus  ad  tcrtiam  comparatis  coucniar  perrracta 
tione.qo  fi  oiffinitio  mnciita  fucrit  illis  quariratibus  conucntrc  concludcrur  p:o/ 
pofitum.  Sin  autcm  oppofitum.  Tlon  eft  igirur  immcdiata  p:opofitio  cg  fupcr 
ficialis  app:ebcnfto  immcdiara  iudicauit.  CSimilitcr  quoq^  imcdiacius  iudicat 
ptima  appbenfio  adbcrcre  intellcctui  g>  ouarum  quantitatnm  incqualium  maio: 
eft  p:opo:tio  maio:is earum  ad  atiam  q'5  mino:is  ad  candem  qua  oemonftrar.s. 
buina.q5q6.4.quaritatumfitm3io:p:opo:tio  pumcad  fccundam  q^terriead 
quarram.cum  multiplicibusad  p:imam  z  tcrriam  cqualtrcr  fumptis .  ^temq^ 
alijs  ad  fecunda  *  quartam  z  cqualitcr  multiplcx  p:imc  addit  fupcr  mulripfcjc  fc/ 
amde.z  mulripkr  tcrtie  non  addit  fuper  mulriplejc  quarte.ejc  quo  que  p:cdicta  cft 
p:opofitio  ocmonftratur:fcd  fimilitcr  nec  ipfa  potcft  intclligi  nifi  pcr  quid  cft  efie 
p:opo:tionemat'o:cm0.3gituropo:ruiteuc!idcmqucquanfiratcsoicuntur  p:o 
po:tionaIes:?que  inp:opo:tiou3lesoiffinire.  •p:opo:tiona!csaurcmfunr  qua/ 
rum  p:opo:rio  vna  cft.c  3mp:opo:tionaIcs  quaru,  p:opo:tioncs  oiucrfe.  ^taqj 
Diffiuiuit  quantitatcs  quarum  p:opo:tio  vna .  z  cas  in  qutbus  connccrunrur 
ejctrema  no  oiffociatis  medtjs  quas  vocauit  continuc  proponionalcs.ct  oijcir  bac 
£>po:rionalirarc  i  rrib9tcrmis  ad  min^ertftcrc.^prer  boc  g>  vnu  fairc  bis  furncdu 
e  mcdiii.ct  eas  i  quib9  accidir  interruptio  medtoy:?  bcc  fiit  icottnuc  ;ppo:tioaIcs 
z  bec  «ppoitioaliras  ad  minus  ejcigtt  qtuo:  tcrmios  .ppter  altcri9  medij  fuptioitc 


%  oiffiniuit  ctiam  quantitates  quc  funt  inpiopojttoiiales.cjuarum  cft  maioj  vna 
p:opo2tio  qua  fit  alia.£t  fi  effet  omnis pjopojtio  fcita  fiue  rationalis.tunc  facile 
elTct  intellcctui  cognofcerc  quc  pjopojtiones  effcnt  vna  i  que  oiuerfe.  G  Gdc  cnt 
babercnt  vnam  ocnominationcm  cffcnt  vna.que  autem  oiucrfas  oiuerfc.  bcc  au/ 
tcm  fadttas  inanifdta  cft  ej  arifmctica.quoniam  onmium  numcrojum  pjopo2/ 
tio  fcita  s rationalis  cft.Hudc  3o2damis  in  fc6o  arifmeticc  fue  oifTinics  quc  pjo/ 
po2ticncs  funt  cedcm  i  quc  oiuerfc.oicit  cafdem  cffc  que  eande  oenomiuatioucm 
rccipiunr.»|  laiojcm  vero  que  maiojcm  i  mmojcm  quc  minojcm.  Scd  ifinitc  ful 
p2opo2tioncs  irrattonales.quarum  oenominatio  fctbtlis  non  cft.quarc  cum  cucli 
des  colidcret  in  boc  Iib20  fuo  p^opo^tionalia  comuniter  no  contrabcdo  ad  roua/ 
les  vf  irronales  quoniam  cofidcrat  p2op02tioncm  repcrtam  in  contiuuis  que  com 
munis  cft  ad  iftas.Tlon  potuit  oiffmirc  idempritatcm  p2opo2tionu  per  idcptita 
tcm  ocnominationu.ficut  arifmcticus:  eo  c$  multaru,  p2opo2tionum  Vt  oiftum  e 
foni  ocnominationes  fimplicitcr  isnote.oilfiiiitionc  autcm  opoitct  ficri  cy.  notis 
vndc  malicta  ,ppo2tionum  irronalium  cocgit  cudidcm  talcs  oiffinitiones  poncre. 
Qau  crgo  non  potuit  vt  patet  cy  p^emiflis  oiftinirc  p2opojtionalitatcm  fiue 
idcmptitatcm  p2opo2tionum.pcr  idemptitatcm babitudinum.fiuc  ocnominatio 
num  ipf02um  termiii02um  p^opter  irrationalitatcm  babitudinu  i  in  coucnicntia^ 
termino2um  coactus  cft  rcfugcre  ad  tcnninoy  multiplicia. vt  q.  illo2um  babuudi/ 
nibusquantumadcxcelTumf  equalitatem  confidcratis  cquis  numcrofitatibns 
fumptoy  pcrq6  adnaturamirrationalitatisrcducunturp2opofitam  oirTmitio/ 
ne  Vcnctur.  mbil  eniminquocunq^incqualiratisgciicreterminismasiside  03 
coium  multiplicia.  necterminojum  babitudintbus.  q,  multipltcium  babitudo. 
C£t  quia  pjopojtio  cft  ouarum  quatitatu  ciufdcm  gcnct  is  ccrta  babitudo.confi/ 
dcrara  tn  eo  cp  funt  cqualcs  aut  cp  altcra  maioi.idco  idcmptitas  p2opo2tionum 
entium  inter  p2iinam.4.quantitatumadfecuiidatn  i  tcrtiam  adquartameftfimi 
lis  equalitas  piimc  ad  fecundam.?  tcrtie  ad  quartam.aut  ftmilis  maio2itas.  aut  fi 
milis  mino2itas.bec  autem.fimtlis  cqualitas.aut  fimtlis  maio2ttas.aut  ftfis  mino 
ritas.tunc  eft  uttcr  quatuoj  .quafitbet  quantitates  cum  cft  intcr  omncs  ca?  cqua 
litcr  iiitittipliccs.CQ6  crgo  oicit  in  quinta  oiffinitoc.  quantitatcs  quc  oicunf  ccV 
tinuam  p2opo2tionalitatcmbaberc.tccteraacfioicerct.oinues  illas  quantita/ 
tcs  voco  continue  p2opo2tiona!cs  q6  cft  eas  fimtlitcr  cflc  cqualcs  con tinue  i  fimi 
lttcr  continucefle  inai02es.  i  ftmtliter  continuc  effe  mtuo2es  quarum  omnes 
cque  multipliccs .  aut  fibiinuiccm  funt .  ftmtliter  continue  cqualcs .  vcl  fimiliter 
contitiue maiojcs.vcl  fimiliter continue miii02cs quod cft etiam  ipfas  multtpli/ 
ccs  cfle  cotinuc  ,ppo2ti6alc8  qo  fi  boc  alicubi  i  ml'tiplicib9oilTonat  cas  oico  no  ee 
cotinue  ^>po2tioualcs.GQ6  aute  oicit  in  fejta  otrTinitionc.Quatitatcs  quc  oicuf 
cc fm  ^poitionc  vnam  piima  ad  fcoam  1  tcrtia  ad  quartam.  1  cctcra  ac  fi  oiccret 
ocs.4.quatitatcs  voco  icotinuc  p2opo2tionalcs.'i  fe  baberc  p2imam  ad  fccundam 
ficut  tertia  fc  babet  ad  quartatqo  e  p2ima  ad  fc6am  .1  tcrtiam  ad  quarta  fimilif  fc 
baberc  in  cquando  aut  addcdo  aut  minucndo.quarum  omncs  cquc  multiplices 
p2tme  1  tertte  ad  ocscque  multipliccs  fecude  1  qrtc.umiliter  fc  babet  aut  i  equado 
aut  addedo  aut  minuedo  quod  eft  etiam  multipliccs  piime  in  eadem  p2opo2tione 
fc  babcrc  ad  multipltces  fecunde.in  qua  mulriplices  tcrtte  fe babct  ad  multipliccs 
quartcquod  fi  boc  alicubi  oiffonat  in  muliiplictbus  .oico  non  effc  pzopojtioncm 


■1 


*  b 

— i  i — 

z  e 

— I  l — 


J   c 


— i   t— 


LIBER 

p:ime  ad  fccfida  ficnt  ttrtic  ad  quarta.qo*  aute  olcit  in.s.oiff initionc  e  ac  fi  oiccrct 
ma(o:e  piopoitioncm  voco.4.quatitatu  p:imc  ad  fccunda  qua  tcnic  ad  quartam 
quod  cft  p:ima  magis  cjcccdcrc  fccfida  qua  tcrtia  ejcccdat  quarta .  quay  aliqua  et 
mukipluibus  p:imc  addit  fupcr  aliquam  cjc  multiplicibus  fccunde:aliqua  ejc  mul/ 
tiplicibustcrtiefumpta  fccundumnumcrationcmultiplicis  primc  non  addcntc 
fup  alique  qc  multipiiabus  quarte:fumpta  frn  numeratione  multiphcis  fcoe.  qci  e 
effemaiojep:opo:tioncmultiplicis  primcadmultiplicefcoc;  qjmultiplicia  tcr/ 
tic  ad  multiplice  quarte.CDiffinirioncs  aute  iftae  rtift  funt  ahqut  oemonftrare . 
quoy  ametus  filius  ^okpb  tcntauit  cas  ocmoftrarc  in  epiftola  fua  qua  oc  ,ppo:  - 
tione  cp:opo:ti6alitatc  copofuit.t  acccpit  tria  pcr  modu  pofitiois  tanqj  p:inci/ 
pia  que  oicit  effe  pcr  fc  nota  1  .pbatione  non  indigcre.GQuoy  p:imu  cl  t  quod  fi 
fucrint.4.quatttates.quay  fit  p:opo:tio  p:ime  ad  fcoam  ficut  tcrttc  ad  quartam. 
erit  ecduerfo  ,ppo:tio  fc6c  ad  prima  ficut  quartc  ad  terriam.t  bic  cft  modus  argu' 
endi  quc  vocauit  fuperius  euclides  conucrfam  p:opo:tionalitate.?  errauit  qritoi  - 
jrit  ppofitioncm  cffe  pcr  fe  nota.  cuius  antcccdcns  ?  cofequcs  funt  ignota.  3§no  - 
tum  e  enim  quid  fit  effe  p:opo:tionem  p:imc  quantitatis  ad  fccuda  ficut  tci  ttc  ad 
quartam.quare  boc  ignoto  pofitolimpoffibile  cft  intclligcrc  quid  et  ipfo  fcquatur 
fimilitcrquoqj  q:  cofequcs  eft  ignotum.impoffibile  eft  intclligcre  quid  ad  ipfam 
anteccdat.CScom  principui  eius  fuit:q>  fi  fuerint.4.quatitatcs  qua?  fit  p:opo :  ■- 
tio  p:ime  ad  fctiam  ficut  tertic  ad  quarta.fi  p:ima  fit  maio:  fcoa:crit  tertia  maio: 
quarta.c  fi  mino:  tnino:.?  fi  equalis  equalis.Clertiu  tuitlcp  fi  fuerint.4.quatita - 
tes  quarum  fit  p:opo:tio  p:ime  ad  fccuda  ficut  tcrtic  ad  quarra:erit  pumrad  qo/ 
libct  multiplcjc  fecundc:ficut  tcrtic  ad  cquc  multiplex  cx  multiplictbus  qiurtc:c  ac 
cidit  fibiin  iftis  ouobus  piincipijs  idem  peccatumqb  accidebat  m  p:imo.Bcccpit 
entm  i  oibus  ignota  fimifrtaq,  nota:quarc  non  ocmonftrauir  jpcccauit  ctia  m  fe/ 
tunda  oemoftrarione  ?  m  tcrtia  ?  in  quinta.i  quaru  qualibet  arguit  cr.s.vf  et  10. 
buius/que  p:obantur  ct  oiff initione  iiuontinue  ,ppo:tioiialitatis :  arguit  cni  fic 
fi  p:opo:tio  a\b.ad.e.eft  maio:  cjp  .g.ad.d.fit  crgo  .v.b.ptis.a.b.ad.e.ficut  .g. 
ad.d.pcr  qo  apparet  ipfum  fupponerc  qp  otiar  quatitatu.a.b.i.u.  b.in  equaliu; 
rdatarum  ad.e.maio:  msio:ctn  ?  mino:  mino:cm  ad  ipfa  optinct  p:opo:tionein 
rd  rp  quatitas  ad.e.  babcbit  minorcm  p:opo:tionc  cfe  babcat.  a.b.crit  mino:.a 
b.quo:um  p:imum  ocmonftrat.S-buius.s  fcom.io  lla  cu  vultis  fumere  quatitate 
que  fe  babeat  ad.e.in  p:opo:tione.g.ad.d.cabo  tibi  maio:cm  aut  mino:em  aut 
equalem.a  .b.indiffcrcntcr  ficut  volucro.quare  aute  non  oanonftrat/aut  accidit  u> 
bi  circulus  ?  p:incipia  effe  ignorio:»  conclufionibus.Supponeda  fun  t  igit  cu  cu/ 
dide  pnncipia  tanq5  nota.?  iioti  ipfa  c%  conclufionibus.fed  condufiones  et  ipfis 
oemonftrandefunt. 

1fo:opofttio    .i. 
5  faerint  qucjlibet  quantitates  altay  totidem  equc  multt/ 
pltces:  aut  lingule  ftngulis  equales  necefTec  quemadmo^ 
outn  vna  illarum  ad  fui  coparcm  .totum  quoq^  ejc  bie  ag  / 
gregatum  ad  omncs  iilas  pantcr  acceptas  1 1  tii  iltter  lc  ba 
bere. 

CSit quothbct quatitates.quc fint.a.  b.c.  aliartim  totidem quc fint.d.c.f.  eque 
multipiiccs  vnaqucq^  ad  fui  copare.aut  fmgule  fint  fmgulis  cquales.ita  videlicet 


V 

q>  fiajt.a.cmftiple^.d.ita.b.emultipl^.c.j.c.mrttplcx.f.vffi.a.c  eqlis.d.qj  fitft 
b.fit  «qlc.ci.ceqlis.f.oico  $>  ficut  fe  babsja.ad.d.ita  fc  babct  aggregatu  cr  om/ 
nibus  quc  funt.a.b.c.ad  aggrcgatum  ejc  omnibus  que  funt  d.cf.CQb  fi  fingule 
fingulisfintequalcspatetpjopofitiiperbanc  comunefciam:  fi  equalib°cqualia 
addanf  tota  quoq,  erunt  equalia.Si  autc  fint  omncs  fuis  coparibus  eque  multi/ 
pliccs  oiuifis  cis  i  m  quantitatc  fuay  fubmultipliciu:crit  aggrcgatu  c%  pjima  gte. 
a.T.prima.b.?  pjima.c.cquale  aggregato  ejc.d.c.f.rj  pjcdicta  comune^  fciam  ad/ 
tuuante  bac:quc  cidcm  funt  cqualia  inter  fe  funt  cqualia .  CSimilitcr  quoqj  ag/ 
gregatu  c%  fccudisgtibus  quantitatum.a.b.c.erit  cqualc  aggrcgato  ex.cLc.f.ficq^ 
oc  cetcris:?  qj  boc  potcrit  toticns  fieri  quoticns.  d.continef  in.a.  erit  vt  eqle  ag/ 
gregatu  c^.d.c.f.totics  ptineaf  i  aggrcgato  cr.a.b.cquotics.d.continct  i.a.qj  g 
quoties.d.numcrat.3.totics  aggregatii  ccd.cf.numcracaggregatu  eca.b.cpa 
tet  cp  ficut.a.cft  multiplexad.d.  ita  aggregatu  cca.b.caggregatiej:.d.e.f.  quod 
cpjopofitum.  ']|[b:opofitio  .2. 

3f  fijerirtt  fejt  quantitates.qua?  p:ima  ad  fctfam  arq^  ter  / 
tia  ad  qaarta  eque  multiplicee:quinta  vero  ad  fecundam 
arq^  lerta  ad  quarta  eque  multiplices:totum  p:imc  1  qutn  - 
te  ad  lcdam :  totumqj  tertie  1  fejrte  ad  quartam  eque  multi  - 
^,  plicta  efTeconueniet. 
CSint  fej:  quantitates.a.pjima.b.fecunda.ctertia.d.quarta.c.  quinta.f.  fejrta. 
Sitqj  .a.c.ccque  multiplices  ad.b.c.d.itecg.cj.f.  fint  cquemltiplices  ad  cafde 
oico  q>  ficut  totu  aggregatu  eca.c.e.e  multiplej:  ad  quatitate.  b.  ita  totu  aggre/ 
gatu  ejc.ccf.cft  multiplcx  ad  quantitate.d.Tlam  qj  numcrus  fm  que.b.continef 
in.a.eft  equalis  numero  3m  que.d.continctur  in.c.Similiter  quoqj  numaus  ftn 
qucb.continef  in  .c.cft  equalis  numero  im  que.d.con  tinef  ih  .f.crit  per  comunej 
fcia^  quc  cft:  fi  equalibus  equalia  tddanf  1  cetcra.numerus  frn  que.b.contiiietur 
in  aggrcgato  eca.c.e.equalis  numcro  ftn  que.d.continef  in  aggregato  er.c  iS. 
quare  ficut  aggregatii  cr.a.c.ccft  multipler  ad.b.ita  aggrcgatu  eccc.f.e  multi/ 
pler  ad.d.quod  eft  pjopofitum.       1{b:opofitio    .?. 

'  ]  ^ruertntpiimumfecundt-ztertin^quarti  equcmultipli/ 
cia:ad  p:imutn  vero  1  tertium  multipltcee  fumantur  equa  - 
les  erunt-.multiplej:  p:imi  ad  fecudfl  atq,  multiplej;  tertij 
j  ad  qnartum  eque  multipltcia. 

JjCSit  fcrqntitates.a.pjima.b.fectida.ctertia.d.  quarta.e.quita. 

f.fcjrta.  Sitqj.a.ad.b.c.c.ad.d.  itc'q5.e.ad.a.?.f.ad.ceq  mftiplices.oico  q>  ficut 
ccft  mulrtplcr  ad.b.ita.f.ad.d.oiuidaf  enim.e.Pm  quantitatca.fuifmultiplicis. 
«.f.frn  quantitate.c.eritq)  #pter  cquatitatc  partiu.e.ad.a.s  partiui.ad.c  vt  qli- 
bct  prtu.e.fit  iia  multiplcr  ad.b.ficut  quclibct  gtiu.f  .ad.d.Ouia  ergo  ftcut  pjima 
gs.c.e  multiplcr  ad.b.ita  pjima  ps  .f  .e  multipler  ad.d.3teq5  ficut  fcoa  pars.e.e 
mftipler  ad.b.ita  fccuda.f.ad.d.crgo  crit  per  pjemiffa  aggrcgatu  er  ouabus  pii' 
mis  ptibus.e.ita  multipler  ad.b.ficut  aggregatu  cx  ouab9  pmis  ptib°.f.  ad.dft  qi 
rurfus  tertia  ps.c(fi  fit  aliq  tcrtia  ps)e  ita  mttiplejc.ad.b.ficut  tertia.f.ad.d.erit  t> 
eade  ut  totu  aggregatu  ejc  tribus  pjimis  partibus.e.fit  ita  multiplcj:  ad.b.ficut  to  <• 
tum  aggrcgatum  ej;  tribus  pjimis  partibus.f.ad.d.  CSicqj  fi  plurcs  fuaint  par  - 
rcs.cj.f.componendo  fcmper  fequentem  cum  aggrcgato  ejc  pjio:ibus  condudcg 


-i h 


-l  1— 


6  C 

— I  I— 


I H 


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4- 
— 1 


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— 1 


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b 

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54  " 


72 


».*  frtHwi 


LIBER 

cp  ficut.e.cft  multiplcjc  ad.b.ita.f.ad.d.pcr  p:emiffam  totiens  fumpta:  quot  fnc 
ritit  partcs  in.c.aut  in.f.minns  vna-.ficcp  patct  pwpofitnm. 

"flb:opofitio    .4. 

%  faerit  piopoztio  p:imi  ad  fecundum  ficut  tertii  adquar  >■ 
tum:  ad  p:imum  aute^et  tertium  equc  multipucta  afligne " 
mr.^temq-iadfecundumet  quartum  multipliccseqna/ 
les  erunt  aflisnate  multiplices  eodem  o:dine  p:opo:tio/ 
nales. 

GSit  p:opo:tio.a.p:iini  ad.b.fccudu.ficut.c.tcrtij  ad.d.quartum.  Sumantqj.e 
ad.a.c.f.ad.c.eqne  multiplicia.3tcq5.g.ad.b.«.b.ad.d.eqnc  multiplicia  Joico  cp 
(ppo:tio.c.ad.g.cftficut.f.ad.b.Sumam.k.ad.c.'Z.l.ad.f.cqucmultipIicia.itcq5 
m.ad.g.cn.ad.b.equcmultiplicia:cquia.e.?.f.funtcque  multiplicia  ad.a.  t.u 
itcmcp.k.c.l.equcmultipliciaad  x.i.f  .cruntpcr p%miffam.k.e. l.eque  multi/ 
pticia  ad.a.l.c.per  candcm  quocrj  erunt.m.cn.eque  multiplicia  ad.b.t.d.  qua/ 
re  pcr  conuerfionc  oiffinitionis  iucontinuc  p:opo:tionahtatis.k;ad.m.?.l.  ad.n. 
fimihtcr  fe  babebunt  in  addcndo  oiminuendo  1  cquando:q:  ergo.k.  i.l  fut  cquc 
multiplicia  ad.e.s.f.itemq^.m.cu.eque  mnltiplicia  ad.g.s.b.erit  per  oiffinitio/ 
ne  incontinuc  .ppouionalitafe  ,ppo:tio.e.9d.g  .ficut.f.ad.b.qS  eft  pwpofitum; 

1fb:opofttio   .y. 

3f  faerint  tme  quantirates  quarnmvnafit  parsalterius/ 
minuaturqjab  vtraq>  ipfarum  ipfa  pars/erit  reliquum  rc 
liqtio  atq?  totnm  toti  cque  multtplej;. 
GZtel  fic  fi  aliquota  crit  rcliquu  rcliqui  tota  r»  quota  totii  roti9.Sit 
_  qntitas.a.b.tota  gsquamitatis.c.d.quota.e.b.ipfius.a.b.minua/ 
tnrq3.a.b.  qcquantitate  .c.d.-efit  rcfiduum.f.c  .eritqj.  f.d.cquatis.a.b  .Simili/ 
tcr  quoqj  minuatur.e.b.et  quantitate.a.b.fitq^  rcfiduum  e.a.oico  q>  quota  pars 
eft  quantitas.a.b.quantitatis.c.d.tota  cft  quantitas.a.cqnantitatis.c.f^oi  eni 
f.d.fit  equalis.a.b.erit.f.d.ita  multiplex.e.b.ficut.c.d.cft  multiplcc  .a.b/ponam 
itaq5.d.g.ita  multipliccm.a.e.ficut  .f.d.  cft  multiplejc.e.b.  eritq3  er  p:ima  buins 
quantitas.f.  g.ita  multiplg:.  a.b.ficut.f.d  .eft  multiplejc.  e.b.  1  qnia  fic  fuit.  c.d. 
multiplCTC.a.b.ficut.f.d.fuit  multipler.e.b  .crit  vtraq^  onarum  quantitatu.c.  d.f. 
g.equc  multiplg:  quantitatis.a.b.quare  pcr  cotnunem  fcientiam.c  A.i  .f.g.  fnnt 
cqnalcs  adinuiccm:  ocmpta  igitur  ab  vtraq;  carum  quantitatc.f.d.erit.c.f.  cqua/ 
fis.d.g.-r  quia.d.g.fuir  ita  multiplcx.a.e.ficnt.f.d.e.b.«  ideo  ficut.a.b.c.b.quarc 
«ficut.c.d.a.b.erit.c.f.itamultiple]C.a.e.ficuttot3.c.d.totui8.3.b.qi5cftp:opo/ 
fitnm. 

1{b:opofitio  .6. 
3f  faenntouequantitates  ad  aliasouas  eque  multipli/ 
ce8:0ueq5mino:e60uabusmaio:ibus  vtraqjafua  mul 
tiplice  fubtrabantur:erunt  ouo  reliqua  earundc  parttunt 
eqae  m  ultipliaa.aut  eis  equalia. 


C6iiJtquantft8tes.8.b.9(J.c.?.d.e.ad.f.eqacntnltipliccs:rubtrab9ntDrq5.c.e]c 
a.b.^f.ex.d.e.cfihtrefidaarqca.b.quide.a.g.e^.d.e.d.b.CTitqj.g.b.equaiis.c. 
s.b.cequalis.f.oico  cp  ouo  reftdua.a.g.«.d.b.  erunt  equalia  ouabus  qoantitatt 
bus.ccf.aut  eis  eque  multipIicla.Sit  ergo  piimo.a.g.cqualis.coico  cp  .d.b.cft 
equalis.f.5umam  atim  quanritatem.e.k.equalein.f.critq5  per  pjemiffas  fpotbe 
fes  vt  tociens.f.fit  in.b.k.quoticns.c.in.a.b.  quare  ficut.9.b.cft  mnltiplejc.cita 
b.k.eft  multtplejc.f.fcd  fic  erat  etiam.d.e.erat  multiplejc  eiufdem  .f.erit  igitur  per 
coem  fcientiam.b.k.equalis  .d.e.  oempta  igitur  comuni  carum  quantitatcb.e. 
erit.d.b.equalis.e.k.quare  cqualis.f.quod  eft  piopofitil.GSi  autcm.a.g.  fit  mul 
tiplcccponam  vt.e.k.fit  eque  multiplqcf.eritqj  Vt  piius  vt  tocietis.f.fit  in.b.k 
quotiens.cin.a.b.Sed  toctens  crat  etiam  in.o.e.crit  igitur  vt  piius.d.e.equali8 
b.k.c.d.b.c.k.quare  ficut.a.g.eft  multiplcx.cita.o.b.eft  multiplejc.f.o,»  eft  pio/ 
pofitnm.  aiiter  idem  cum  0  m  eundcm  numerom  contineat  quantitas.a.b.quanti 
tatem.c&n  cp  quantitas.d.e.quantitate.f.oemptaqj  ab  eo  vnitate  rcmaneat  vni 
tas  vcl  numerus  fecundum  cp.a.g.contjnet.cs  ftn  <jp.d.b.conrinct.f.p9tet  quan 
titatcs.a.  g.i.d.b  .elTc  equalcs  aut  eque  multiplices  quantitatibus.c?.f, 

Ilbjopolitio  .7. 

2J6aequantitateseqnalesadquamhbetcoparenturea;|r 
ad  illarn  erit  vna  p*opo:tio  -.itemq^  ad  illas,ppo:tio  illi9 
vnaeft. 

GSint  ouc  quantitates.a.b.cquales.quc  comparentur  ad  quamli/ 
— Ibct  terria,  vt  ad.coico  cp  eadem  eft  piopoitio.a.ad.ccb.ad.cite 
q5  eadem.cad.a.'ccad.b.'i>iimum  fic  piobatur.-cum  cnim.cfit  cofequens  ad.a 
piimam  «  ad.b.tcrtiam  ipfa  erit  in  ratione  fecunde  i  quartcSuma  igitur.d.ad.a 
piimamiccad.b.tcrriam  eque  multipliccs:  i  fumam.f.quamlibet  ejc  multiplici/ 
bus.c.que  cft  fecunda  i  quarta:c  quta.a.c.b.quaru  funt  cque  multipliccs  A.i.c. 
pofite  fnnt  equales  crir:  vt  fi.d,  oiuidatur  frn  quantitatcm  .a.i.c  .fccundiT  quanti/ 
tatem.b.cppartcs  vtrobiq^fintnumerosqnritatecquales:  numeroquidam  pcr 
fpotbefim,pptcr  equalitatemmultiplicationis  vtrobiqj  :quantitareaurepcrbae 
eoem  fcicnriam  quotiens  opoiruerit  repetitam:  que  cidcm  ftlt  equalia  fibiinuicem 
funt  equaliarquia  igitur  pjima  e%  partibus.d.cft  cqualis  pjimc  cx  partibus.e.  i  fe  - 
eonda:fecnndc:«eterc  cetcris.Suntq^  tot  partes  in.d.quot  funt  in.e.erit  per  pii- 
mam  buius.d.equalis.e.quare  per  coem  fcientiam:  fi  ouc  quatitarcs  cqualcs  co  / 
parenrur  ad  aliam  tertiam:aut  ambe  quantitares.d.7.c:funt  fimiliter  maiojes.f. 
aut  fimiliter  minojes:sut  ftbi  equales:igitar  ejc  oiffinirione  inconrinue  p jopojrio  - 
nalitatis-.que  cft  piopoirio.a.pjime  ad.c.fcomdaimcadc  cft.b.rerrie  ad.c.quarta 
qo  eft  ptopofitum.GSecundum  eode  modo  pjobabis  ojdine  c6uerfo:vt.cpona' 
tur  piima  i  tertia.a.Vero  fecunda  .b,  quarta  .£um  vero  quanritas.f.que  cft  eque 
mftipler  pjime  i  tertte  fit  aut  fimiliter  maioj  quarttatibus  .d.s.e.quc  ffjt  eque  tnf- 
tiplices  fccunde  i  quarte:aut  fimiliter  minoi  aut  cie  equalts.erit  pcr  eandem  oiffv 
nitionempiopojtio.c  piimc8d.9.fecunda  :ficat.ctcrtiead.b.  quartamquodcft 
piopofitttmfccundam. 


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ii  e 


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■8 


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LIBER 

1fb:opofirio  .*. 

j  %  one  quantitates  inequales  ad  vna  qnantitatem  p:opo: 
]  rioneritur.maio:  qnidetn  maio:em :  mino:  vero  mino:em 
optinebit  pwpottionej:  illius  vero  ad  illas  ad  mino:em 
vero  p:opo:tio  maio:  ad  maio:em  vero  mino:  erit. 
GSint  ouc  quantitatcs  inequales.a.c.b.c.  fitqj  niaio:  .b.c. «  p:o/ 
poriionentur  ad  candcm  qnantttatcm  qnc  fit.d.oico  c£maio:  cft  propo:tio.  b.c 
ad.d.ci5.8.ad.d.?95CContrariomaio:cft.d.ad.a.C|5.d.ad.b.c.,p>nmufJcpx)/ 
batur:ponam.cb.equalcm.a.t  multiplicabo  toticns.c.c.cp  p:oucniat  quantitas 
maio:.d.fitq5.f.g.«uimam.k.f.itamultipIicem.b.e.«fimilitcr.b.ita  multiplicc 
a.ficut.f.g.eft  multiplci.c.c.critq5  pcr  primam  buius.  b.ita  multipler  .a.ficnt.k. 
$.eft  multiplej:.b.c/erit  etiam.b.cqualis.k.f.pjoptcr  boc  cj  carum  fubmultiplices 
<\ac  funt.a.cb.cpofite  fant  equalesfponam  quap  ap.b.no  fit  mino:.d.  fcd  equa^ 
lis:aut  maior.totiens  enim  multiplicabo  vnaquccg  trmm  quantitatum.cc.b.e.c 
a.equaIiter:cp.f.g.multipIej:.e.c.pjouen'at  maio:.d.c  cp.b.multipleca-no  p:ouc 
niat  mino:  eadcm:  oeinde  totiens  multiplicabo.d.quocl  p:oueniat  quantitas  ma - 
io:.b.fitq5.m.p:ima  quatitasmultiplicm.d.q fit  maio:.b.  Sub  qua  fuma  majj/ 
mam  muttiplicem.d.aut  fibi  equalem  :fi.  m.cft  prima  in  o:dinc  multiplicium  .d. 
que  fit.l.critq5  ut.I.non  fit  maioj.b.?  conftabit.m.ej:.d.'?.l.  p:optcr  id  qt>  onine 
multiplej:  conftat  e%  p:orimo  p:ecedcnti  multiplici  i  fimplo:  vt  triplum  q.  oupio: 
i  fimplo.eaepto  p:imo  multiplici  quod  conftat  ejc  bis  fimpIo.G  £2uia  ergo.b.e 
tqualis.k.f.non  ait.k.f.mino:.l.itaq5.k.f  .l.d.no  cfticient  minus  cfe.l.  t~&.  qua 
re  non  efficient  minus  q^.m.i  quia.f.g.cft  maio:.d.erit.k.g.maioj  q^.m.  Gjjn/ 
celligo  igiturquantitatem.b.c.primam.d.faundam.a.  tmiam.d.  quartam:  zqi 
sd  p:imam  %  tcrtiam  fumpta  funt  equemultiplicia  videlicet.  k.g.  l.\o.  Simtlita 
quoqjadfaundamcquartamequemultipliciaammoidemiu  ratione  ououtqd 
«ft.m.c  addit.k.g.multiplej:  prime  fupa.m.mulriplej:  fecunde:  non  addit  autem 
b.multfplej:  tcrtie  fuper.m.multiplejc  quartc:erit  per  oifftnitioncm  maioris  im,p/ 
pojtionalitatis  maio:  pjopo:tio.b.c.p:ime  ad.d.fccunda  q^.a.tcrtie  ad.d.  quar/ 
tam  q0°  eft  primum.  GSecundu  p:obabis  per  candcm  oiffinitioncm  conueiifo  6: 
dine: vt.d.fit  p:ima  1  tcrtia.a.faunda.b.c.quarta:addit  cuim  .m.multiplcic  pri/ 
me  fuper.b.multip!icem  fecundcTlon  addit  autem.m.mnltiplcjc  tcrtie  fuper.k.g. 
multiplicem  quarte:quare  maioi  eft  propojtio.d.ad.a.cfc.d.ad.b  .c.  quod  eft  fc/ 
ojndum.Gf  jc  buius  autem  oemonftrationis  modo  patct  fufficientia  oiffinif  io/ 
riismaioris  imp:opo:tionalitatis:  q*5  pofuit  aucto:  in  principio  buius  quinti. 
Tlufqua  cnim  cft  maio:  p:opo:tio  prime  quatuo:  quantitatum  ad  fecudam  q'3  ter 
tieadquartam.qniucontingataliquaequemultiplicia  adprimamz  tcrtiamre/ 
periri:que  cum  rdata  facrint  ad  aliqua  eque  multiplicia  fccunde  1  quarte:  ifiuenie 
turmultiplexprimeaddcrefupermultiplcj:  faundcTlonautemmuItiplcj:  tcrtic 
fupcr  muitipicx  quartcbec  autcm  multiplicia  fic  repaicmus  :ficut  oemonftrabi/ 
musinfra  fapja,u.buiu0. 


1r>:opofifto  .9. 


!  3f  fiicritaliquaxqnantitatum  ad  vnam  qnantitatem  pw 
po:rio :  vna  ipfas  eflfe  eqles.  £>i  vero  vnuw  ad  eas  p:o  / 
po:tto\>na  tpfas  equales  elTc  necdle  eft. 
GSit  ouarum  quantitatum.a.?.b.p:opo:tio  vna  ad.coico  cas  ce 
cquales.c  fi  ccoucrfo  fucrit  cadcm  p:opo:rio.c  .ad  vtraq;  earu:ad/ 
buc  oico  eas  clTe  cquales  .bcc  cft  conuerfa  .7.  ■p:imum  ftc  patct.fi  enim  non  funt 
cqua!es:fcd  altera  carum  maio::  vtpote.a.erit  per  pjimam  parte.p:emiffc  maioj 
pjopojtio.a.ad.cqj.b.ad.c.quod  eft  contra  fpotbe.  Secundum  quocp  patct:  qj 
fi.a.c(troat02.b.critperfccundamp3rtcmp:emiffe  maio:  p:opo:tto.c.ad.b.  CJ5 
ad.a.quod  eft  ctiam  contra  ypotbefim. 

1|b:opofitio    .10. 

3f  fiierit  Vni^ad  quarttate  vna  aliqua  ,ppo:tio  maio:  qua- 

titatem  maio:em  elfc.  2>i  vero  vmus  ad  candcj  p:opo:/ 

tio  mato:  mino:em  cfle  nccclfc  cfr. 

CQb  (i  fucrit  maio:  pwpoitio.a.ad.c.cfe.b.ad.ceico.a.cffc  maio 

rem.b.?  fi  fuerit  maioj.c.ad.b.q^.c.ad.a.adbuc  oico.a.clTc  maio:c 

b.bcc  eft  conucrfa.  s.^imum  parct  pcr  p:imam  partem.7 .1  per  p:imam .  s.nam 
per p:imam partem fcptimcnon  erit.a.cqualis.b.ncc ctiam mino:  pcr  p:tmam 
octaue.Secundum  vero  pa:et  c%  fccundis  partibus  earundcm. 

I 

1fb:opofttio  .n.1 
3f  fucrint  quantitatum  p:opo:t(ones  alicni  Vni  eqnales 
ipfas  quoq5#ppo:tiones  ftbi  inuice  equales  ee  neccfle  e. 
I  (Lpjopottioncmbacquaeudidesm  pjinapio  p:imi  annumerauit 
tntcr  comunes  animt  conccptiones:que  eidc  funt  cqualia  fibi  quo  / 
_|  cpfuntequalia  :$ utte  quantitatibus  intdtigiturbic  oemonftrat 
p:out  p:opo:tionibus  accomodatur.Sit  crgo  vtraq^  ouarum  p:opo:tionnm  que 
funt.a.ad.b.c.c.ad.d.equalisp:opo:tioni  queeft.c.ad.f.oico  p:opo:tiones  que 
funt.a.ad.b.c.cad.d.fibiinuicemeffeequalcs.Sumamcnim.g.ad.a.c.b.ad.c. 
s.k.ad.c.eque  multipliccs.  3temq5.l  .ad.b  .z.m.  ad.d.c.n.ad.f.  cque  multipli/ 
tcs:z quia  per fpotbefim pjopojtio.c.ad.f.eft  ficut.a.sd.b.cumiliter  ficut.c  ad 
d.erit  per  conuerfioncm  oifTinitioms  incontinue  p:opo:tiona!itatis  bis  fumpta 
fi.k.additfupcr.n.cp.g.additfupcr.l.c.b.fuper.m.tfi.k.minuitab.n.cp.g.mi/ 
nuat  ab.l.c.b.ab.m.c  fi.k.cft  equalie.n.qtf.g.fit  cqualis.l.i.b.  equalis.  m.  quia 
igitur.g.ad.U.b.ad.m.fimilttcr  fc  babcnt  in  addendo  oiminuendo  z  cquando. 
mcdiantibus.k.s.n.erit  per  oifTinitionem  incontinue  p:opo:tionalitatis.3  .ad.b 
ficut.c.3d.d.quod  eft  p:opofitum. 

1fc>:opofitio    .12. 

%  fucrit  p:opo:tio  pnmt  ad  fecnndnm  ficut  tertij  ad  quar 
tum.  tertij  vero  ad  quartnm  mato:  q5  quinti  ad  fejctu  erit 
p:opo:tio  p:imi  ad  fccundum  maio:  q>  quiuti  ad  fejctum. 
GSicutinpiecedeticpbicoemonfTrat  inp:opo:tionalibus  conce/ 
ptibile  eft  in  qntitatibus:  viddj  cg  fi  ouc  qntitatcs  fuerit  fibi  inuice 

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LIBER 

cqlcs  qoaeunqj  fuait  vna  ca:/  maio?  eade  maioj  crit  c  rdiqua.  G3n  p:opo:rioni 
bu3  tarucnboccemon(tratur:vtfifit(ppo:tio.a.ad.b.ficut.c.ad.ci.c.Vcroad.d. 
fitm3io:q5.c.ad.f.eritquoq3.a.ad.b.maio:c)5.e.ad.f.Sumacnim.g.ad.a.'Z.b. 
ad.c.c.k.ad.c.equc  multiplices.^tcmcp.l.ad.b.c.m.ad.d.^.n.ad.  f.equc  multi/ 
pliccsts  quia  pcr  yporbcfim  pjopo:tio.c.ad.d.eft  ficut.a.ad.b.-nnaioj  q^.c.ad.f 
crtt  pcr  conuerfioncm  oirTinirionis  incontinuc  p:opo:tionalitatie  fi  .b.  addit  fug 
m.i  .g.addat  fuper  .1.*  per  conucrfionem  oifTinitionis  maiojis  imp:opo:tiona/ 
litatis  q>  non  fit  ncccffck.addcre  fupcr.n.quia  igitur  mediantibus.b.f .  m.fi.g. 
addit  fupcr.l.no  cft  necclTc.k.addere  fuper.n.erit  per  oirTinitionem  maio:is  im/ 
p:opo:tionalitatis  maio:  p:opo:tio.a.ad.b.q5.e.ad.f.quod  cft  piopofim.GSi/ 
mili  quocp  modo  .pbabis  q>  fi  fit.a.ad.b.ficut.c.ad.d.cc.ad.d.mino:  q5.cad.fi 
crit.a.ad.b.minojq5.c.ad.f.cumenimfit.c.ad.d.  minoiq^  .e.ad.  f.erit.c.  ad.f. 
maio:  qj.c  ad.d.pa  conuafioncm  igitur  oirTinitionis  maio:is  impiopoitionali 
tatis.fi.k.addit  fuper.n.non  cft  necclTc  cp.b.addat  fupa.  m.  fed  fi.b.  non  addit 
fupa.m.g.non  addit  fuper.l.ergo  ft.k.addit  fupa.n.non  eft  ncceflc  vt.g  .addat 
fupa.t  .per  oirTmitione  igitur  maious  impiopojtionahtatis  maio:  ait  piopoitio 
e.ad.f.q^.a.ad.b.ago  econucrfo:minoj  erit.a.ad.b.q^.c.ad.f.quod  c  .ppofitum 
C£  %  modo  autem  oemoftratidis  octauc  but9 1  bac:ftct  manifcftu  q>  fi  fucrit  p  ji/ 
mc  quatuoj  qnantitatum  ad  fccunda  maioj  p:opo2tio  6)5  tertie  ad  quartam  cotin  / 
get  rcpaire  aliqua  equc  mulriplicia  piime  1  terticque  cu  coparabuntur  ad  aliq  cq 
multiplicia  fecudc  1  quartc  inucnietur  multiplq:  pjime  addere  fug  multiplejc  fcoc 
non  autem  mulriplej:  tatie  fuper  multiplej:  quarte:qb  fic  patctiSit  ern^  maioj  p  jo 
pojtio.a.b.ad.c.q^.d.ad.cponam  ergo  vt  fit  pjopojtio.a.f.  ad.c.  ficut.d.  ad.c 
critq^  pa  banc  12.?  pcr.io.a.f.minoi.a.b.t  ftt  mino:  in  quantitatcf.b.  qua  mul 
tiphcabo  totiens  q>  pjoucuiat  quatitas  maioj.c.quc  fit.g.b.bac  conditionc  vr.d 
totiens  multiplicata  pjoducat  quantitate  non  mtnojem.e  .que  fit.k  .tunc  ponam 
Tt.I-s.fit  ita  mulriplcj:.a.f.ficut.g.b.eft  multiplejc.f.b.aur.k.d.eritq^  perpjimam 
buius.l.b.itamulttplcx.a.b.ficut.k.d.Dcindeponamcp.m  fitpjima  quantitas 
multiplcj:.e.que  fit  maioi.k.c  ponam.n.ita  mnltiplicem.c.ficut.  m.  cft  multiplejc 
e.aitq^  pa  pjemilTas  fpotbefcs  1  conuafionem  oirTinitionis  incontinue  piopoi 
tionalitatis  quantitas.n  .pjima  multiplicium.c  .que  erit  maioj  .l.g.  ncc  ctit  .l.g. 
minoj.c.  Sumam  ago  fub.n.majami  multipliciu.c.aut  fibt  equalcm  ft  fojfan.n. 
fit  piima  multiplicium  cius  quc  ftt  .o.conftabirq^.n.cx.o.f.c.quta  crgo.  l.g.  non 
cftmitioj.o.cg.b.cftmaio:.c.crit.l.b.maio:.n.quarccum.k.fitmino:.m.patet 
piopofitum.G£onuafam  quoq^  buius  oemonftrarc  poflumus.  vidclicet  q>  (i  co 
tingit  rcperirc  aliqua  equc  multiplicia  pjime  %  tcrric:qua:um  mulripleic  pjime  ad/ 
dat  fupcr  aliquod multiplejc  fccudci  mulriplcr  tcrric  non  addat  fuper muiriplejc 
qii3ttc:maio  j  crit  pjopojtio  pjimc  ad  fecundam  q'5  tcrtic  ad  quartam:  q5  fic  pjo  / 
batnr.Sintquatuojquatitates.a.pJima.b.fecunda.c.d.tcrtia.e.quarta.ftntq5.f. 
ad.a.t.g.ad.c.d.cquc  muItiplicia.Stmilitcr.b.ad.b.c.k.ad.  e.eque  multiplicta. 
1  addat.f.fupa.b.non  addat  autcm.g.fupa.k.oico  q>  maioj  eft  pjopojtio.a.ad 
b.q*5.e.d.ad.e.Si  cnij  equalis  per  conucrftonem  ormnirionis  incontinuc  piopoi 
ttonalitatis  addct.g.fupcr.k.qdeft  contra  fpotbc  Siauteminoi  fit.c.l.  ad.c 
ficut.a, ad.b.critq^ pcr  buius. 10.cl.min02.cd.? fit minoj t  qnatitatcl.d.  pona 
igitur  vt.m.n.ftt  tra  multipleccl.  %.  n.p.  multiplcjc.l  .d.  ficut  f.  eft  mulriplcx.a. 


V 


critq5  pcr pjfma  buius.m.p.fta niultipkjc.c.d.ficut.f.cfl  multiplcca.vtraq^  igic 
ouar  quaiititatnm.m.p.^.g.cfi:  equc  multiplcxquantitatis.cd.ago  ipfc  fiit  ccj  / 
lcs.  tlam  bcc  illatio  ocmoftrata  eft  in.7.bmus  :z  quia.g.non  cft  maio:.k.n6  erit 
m.p.maio: eadcm.fcd pcr  conuerfionc oiffinitionis  incotinue ,ppo:tjonalitati9 
m.n.eft  maio:.k.co  cp.f.eft  maio:.b.crgo.m.n.cft  maioj.m.p.qo'  eft  impoflibile 
quarc  rcunquirur  pjopofitum. 

1(b:opofitio  -ij. 
3jf  faerint  quotlibct  qaantttatii  ad  totidem  aliasp:opo:/ 
tio  Vna  erit  quoqs  qae  p:opo:tio  vnius  ad  Vnam .  eadem 
pzoponio  barum  o/nntuj  paritcr  acceptaram  ad  omnes 
illaspariteracceptas. 

JCQ6  p:imo  pjopofuit  oe  mnltfplicib9:bic  pioponit  oeomnib'p:o/ 
po:tionibus:Vn  bcc  cft  comuuioi  illaxo  cp  omnis  muttiplicitas  eft  piopojtiomo 
autcj  cconucrfo.Sit  igitnr.a.ad.b.i.cad.d.«.e.ad.f.  vna  piopoitto  :oico  cp  que 
eftpjopojtio.a.ad.b.eadcm  cft  copofiti  cca.ce.adcopofitii  qc.b.d.f.  Suma.g 
ad.a.T.b.ad.c.c.ft.ad.c.cqucmultiplicia.^tcmqj.l.ad.b.^.m.ad.d.^.n.ad.f.eq 
multiplicia:critq5  per  piima  buius  copofitum  cx.g.b.k.  ita  multiplqc  copofiti  cjc 
a.c.e.ficut.g.cft  multip!ex.a.Similiter  pcr  cande  copofitum  ex.l.m.n.erit  ita  mul 
tiplcjc  copofiti  cr.b.d.f  .ficut.l.e  mltiplcx.b.c  r>  couerfione  oiffmitionis  incotinuc 
.ppoKioualitatis.bis  fupta  fi.g.addit  fup  .l.b.addit  fup_.m.«.k.fuper.n.  z  fi  mi/ 
nuit  minuit :  c  fi  cquat  cquat:ergo  pcr  comunc^  fcicntiam  fi.g.addir  fup.l.  com/ 
pofitu  er.g.b.k.addit  fupcr  compofitum  c%.l.m.n.z  fi  minuit  minuit  :z  fi  cquat 
cquat:crgoper  oimnitioncm  incontinuep:opo:tionalitatis  p:opo:tio.a  .ad.b.c 
ficut  copofiri  cj:.a.ce.ad  compofitfi  er.b.d.f.quod  cft  piopofitu. 

IJbiopofitio    .14. 

Jr^^^^fuerintqnatuoj  quantitates  p:op02tionalcs  .fueritqj 
'bh(  isis&  maiojpjinmcrria.necefleeftfecunda.quarta  efTemaio/ 
rem. £16  ii  mino:  1  mino:e.£>i  vero  equalis  1  equale  ee. 


GSit  piopo:tio.a.ad.b.ficut.cad.d.oico  cp  fi.a.cft  maioi.c.b.crit 
maioj.d.t  fi  mino:  mino:.?  (i  equalis  cqualis.Si  enim.a.fit  maioi 
c.erit  pcr  p:ima  parre.S.  buius  maio:  p:opo:tio.a.ad.d.qJ5.c  .ad.d.  quare  maio: 
crit.a.ad.d.q5  ad.b.ergo  pcrfecuda  parte.io.puius.b.erit  maio:.d.q6  epiopo/ 
fitum.Oo  fi.a.fit  minoi.ccrit  pcr  piima  gre.s.mino:  p:opo:tio.a.ad.d.q5.cad 
d.quarc  maio:  crit.a.ad.b.q^  ad.d»perj  fccuda  ergo  ptem.  io.b.erit  minoi.d.  Si 
autcm.a.fit  cqualis.cerit  per  pjima  partem.7.a.ad.d.ficnt.cad.d.quarc.a.ad.d 
ficut  ad.b.ttaq5  pcr  fccuda  p.tc:  9  .b.crit  cqualis.d.ficq^  patct  p:opofuum. 
Ifbzopofttio  .iy. 
j3f  fuerinraliquibusquantitatibuseqne  mnltipliccs  affi/ 
1  gnate.erit  iplarnm  mnltipliciu  atqs  wb  multiplicium  vna 
'ipzopoitio. 

iGSint.cad.a.c.d.ad.b.equemnltiplicesioico  cp  qneepjopoitio 
■ja.ad.b.eadc  eft.cad.d.oinidat.cJm  qnatitate.a.c.d.fin  quatitate 
b.c.fiirqj  tot  partes.cquot.d.?  quia  qudibet  pars.cad  q^fibct  partcm.d.fe  ba/ 
bctlicut.a.ad.b.critper.i}.buius.c.ad.d.fiait.a.ad.b.q6,eftpjopofitum. 


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LIBER 

llbiOpofitio   .i«. 
^fueritquamoz  quantttates  p:opo:tionales.  pmutatim 
quoq?  p:opo:tionales  ermtt. 

CSitpjopomo.a.ad.b.ficut.c.ad.d.oico  cperit.a.ad.c.ficut.b.ad 
d.i  iftc  eft  modus  arguedi  qui  oicir  ^ppoitionalitas  pcrmutata.  cu/ 
ius  oemonftratto  fic  pat>  Suma.e.ad.a.c.f.ad.b.eque  multipliccs 
itemq^.g.ad.cj.b.ad.d.equc  multiplicesjcritq,  per  pjemilTam.e.9d,f.ftcut.g.ad 
b.quarc  g.  n.fi.e.addit  fupia.g.i.f.addit  fupcr  .b.  i  fi  minnit  minuit:  i  fi  cquat 
equat:per  oiffinitione  igitur  iucontinue  p:opojtionalitatis  erit.a.ad.c.ucut.b.ad 
d.quod  eft  piopofitu.TlecefTc  cft  aut  vt  in  gmutata  pwpoaionalttate  fint  omnes 
quatuoj  quantitatcs  ciufdem  gcneris. 

1fjb:opofitt'o   .v. 

^raerintquanritatesconiunctim  p:opo:tionales:  eafde 

oifiunctim  quoq-,  p:opo:tionales  efle. 

CDcmonftrato  modo  argucndi  qut  oicitur  p:opo:tiona!itas  pnm/ 

tata-.ocmonftrat  illu  qui  oicic  p:opo:tionalitas  oifiuncta.Sit  itaq^ 

.ppojtio  ,a.b.ad.b.c.ficut.d.e.ad.e.f.  oico  cp  erit.a.c.ad.c.b.ficur 
d.f.ad.f.e.Sumacnim.g.b.ad.a.cj.b.k.ad.c.b.itcmq^.l.m.ad.d.f.i.m.n.ad 
f  .e.eque  muitiplicesieritq,  pcr  p:imam  buius.g.k.ita  multiplejca.b.ficut.g.b.cft 
mulriplex.a.c.c.l.n.ita  multiplcr.d.c.ficut.l.m.eft  multiplejc  .d.f.  i  idco  pcr  p:e/ 
miffasypotbefes.g.k.ciitamrtiplcx.a.b.ficntcft.l.n.d.e.ponaiteru.k.p.ad.c.b. 
c.n.q.ad.f.c.cque  multipliccs-.cruntqj  pcr  fecunda.b.p.ad.c.b.^.m.q.ad.f.e.eq 
multipliccs  per  conucrfione  igitur  oilfinitionis  incontinue  p:opo:tionalitatis.  fi 
g.k.addit  fupcr.b  .p.l.n  .addit  fug.m.q.?  fi  minuit  minuit:«  fi  cquat  equat.ocm 
ptis  itacp  comunibus.b.k.-r.m.n.erit  pcr  comunem  fcicntiam:vt  fi.g.b.addit  fu 
per.k.p.cp.l.m.addit  fuper.n.q.c  fi  minuit  minuit:?  fi  equat  (eqnat.  ergo  p  oiffi 
nitionem  incontinuc  p:opo:tionalitatis  p:opoitio.9.c.ad.t.b.eft  ficut.  d.f.  ad.f. 
c.quod  cft  piopofitunr. 

lJb:opofitto  .18. 

ij  3f  faerint  quantttates  oiftuncttm  p:opo:tionates«conum 

i  ctim  quoq5p:opo:tionales  erant. 


jiCDemonftratmoduargucndiquioicit  piopoitionalitas  coniun/ 
cta  i  cft  modus  connerfus  piioiis.Sd  cuius  ocmonftrationcm  refu 
matur  oifpofitio  piemiffe.?  mancat  omncs  eius  fpotbcfcs:e?;cepto 
cp  ponatur  elfe  p:opo:tio.a.c.ad.c.b.ficut.d.f.ad.f.e.oico  cp  erit  p:opo:tio.a.b. 
ad.b.c.ficut.d.e.ad.f.e.fequitcm  c%  bac  ppotbclt  i  alijs  ppotbcfibus  pjcmiffe  oc 
multiplicib0  equahtcr  ifiptis  pcr  coucrfione  oiffinitots  incotinue  .ppoitioalitatis 
fi.g.b.addit  fupcr.k.p.cp.l.ni.addat  fug.n.q.s  fi  minuit  minuat:?  fi  cquat  cquat 
ergo  pofitis  c6munibus.b.k.c.m.n.fequit  pcr  coem  fciam  fi.g.k.addit  fug  .b.p. 
0>.I.n.addat  fup.m.q.i  fi  minuit  minuat:?  fi  cquat  equat*:quare  per  oiffinitione 
incotinue  p:opo:tionalitatis  crit  /ppo:tio.a.b.ad.b.c.ficut.d.e.ad.c.f.  qt>  e  ,ppo 
fitil.flliterjde  indirccte  fic.£u  fit  (ppo:tio.a.c.ad.c.b.ficut.d.f.ad.f.e.n6  c.  a.b. 
9d.b.c.ficut.d.c.ad.e.f.fitergo^pojtio.d.e.adaliqu99liaquantitateficut.a.b. 
ad.b.c.quc  aut  crit  maio:.e.f.9ut  minoj.fi  eni  effet  ei  eqnalis  coftaret  piopofitfi. 


Sit  Itacg  p:»«o  'naio: «  fit.c.g.  crirqj  g  p:cmfffam.a.c.ad  .c.b.  ficut.d.g  .ad.g.  ■ 
qusrc.d.g.ad.g.c.ftcut.d.f.ad.f.c.Scquingic  g.  i4.g)  cij.d.g.piima  fit  mio:.d.f. 
tcrtia crit.g.c.fcoa mino:.c.f.quarta:fed erat pofitu  q> effet mato:.Sit crgo  p:o/ 
po:tio.d.c.admmo:e.e.f.quefit.e.b.ficut.a.b.ad.b.c.eritq5gpmilT3.  a.c.ad.c. 
biicut.d,b.ad.b.e.qrcp.ii.d.b.ad.b.e.ficut.d.f.ad.f.e.'zq:.d.b.i3maemaioi 
d.f.tcrtia  crit  p.  14.cb.fc6a  maio:.e.f.rerti9:cp  quia  eft  ipoffibilc.fequit  ^pofitu. 

1{b:opofitio  .19. 
5  a  ouobus  totis  oue  po:tiones  abfcf  ndantur  .fuerttqj  to 
tum  ad  totu  quantum  abfcifum  ad  abfcifum:erit  reliquum 
ad  reliquum  qnantum  totum  ad  totnm. 
GQ6  qumta  ,pponit  oc  multiplicibus.  bec  ,pponit  vniucrfalirer  oe ' 
omnibus  p:opo:tiombus.  vnde  cft  tlla  tanto  comunio:  quato  multt 
piicitate^pouio.Sintigiturouequatitateg.a.b.t.c.d.aquibusabfcindantoue 
qncfint.b.c.i.d.f.fitq5  ,ppo:tio  totius.a.b.ad  tota.c.d.ficnt.b.e.abfcifc  ad.d.f. 
abfcifam.oico  cp eadcm crit.a.e.refidui  ad.c.f.rcfiduum  que eft  toti9.a.b.ad  to/ 
tam.c.d.cu  cni  fit.a.b.ad.c.d.ficut.b.c.ad.d.f.crit  permutati.a.  b.ad.  b.e.  ftcut 
c.d.ad.d.f.«  oifiunctim.3.e.ad.c.b.ficut.c.f.ad.f.d.7itcru  pcrmntatim.a.e.  ad 
c.f.ficut.e.b.ad.f.d.-jquiaficcrat.a.b.ad.c.d.patctpwpofltu.Cfx^acaiit-i?. 
%  pcrmutata  ,ppo:tionalit3tc  oemonftratur  modus  arguendi  qui  oicit  p:opo:tio 
nalitas  eucrfa.  vt  fi  fit.a.b.ad.b.e.ficut.cd.ad.d.f.oico  q>  erit.b.a  .ad.a.c.  ficut 
cd.ad.cf.quiacijfit.a.b.ad.b.e.ficut.c.d.ad.d.f.eritpermutatim.a.b.ad:c.d: 
ficut.b.e.ad.d.f.quarcperbanc.i9.b.a.3d.d.cficut.a.e.ad.cf.igiturpmutatim 
b.3.9d.a.c.ficut.cd.ad.cf.q6eftp:opofitum.C£onuerfaquoq5^)po:tiona!i/ 
tas  q*5  ejc  oiffinitione  incotinuc  ppoaionalitatis  oemonftranimus  in  ejponcndo 
p:incipia  buius  quintt.pot  bic  quoq^  oemoftrari  indircctc  ejc  pjnutats  ,ppo:tio/ 
nalitate  c  .9.  buius  vt  fi  fit  p:opo:tio.a.ad.b.ficut.c.3d.d.oico  q>  cricb.ad.  a.fi/ 
cut.d.ad.cfinautefit.d.ad.c.  ficut.b.ad.3.iq:.3.3d.b.eficut.c.3d.d.critgmu/ 
ratim.a.3d.c.ficut.b.3d.d.tqui3itcrum.b.ad.a.ficut.d.3d.c.critquoq5  pmuta 
tim.b.ad.d.ftcut.3.3d.e.quarc  ertt.a.3d.e.ficut.d.ad.cft  igitur.e.non  fit  cquale 
caccidet  impofftbile  t  contrariu^  fccundc  partis.9.  fi  autcm  cqualts  crit.b.  ad.a. 
ficut.d.ad.c.quod  cft  pwpofttum. 

1|b:opofitio  .20. 
3f  fuerint  quotlibet  quantitates  alieq^  fccundn  earum  nrt 
merumquarumqueq50uep2io2um  fecundu  p:opo:tio/ 
nem  ouarum  poftremarum  necelTe  eft  imp:opo:tionali/ 
tate  qnida  equalitatis  vt  li  fuerit  p2ima  p  jioy  vltima  ma 
»0:.  1  pofterio:um  primavltima  eflemaioiej.  iQ6  funi/ 


no:  1  mmo:em.£>t  vero  equalia-z  equalem. 
CDcmoftraturus  cudides  modn  arguendi  qui  oicit  eq  ^ppoKionaliras  fiue  qntt 
tatcs  ouoy  o:dinu  oirccte  fiue  puerfim  ,ppo:tionef:pmittit  ouo  attccdeti3  ad  oc/ 
moftradu  ppofitu  neceflaria:  p  quo?  pmii  oemoftrat  eqppoKoalitas  cfi  qntita/ 
tes  ouoy  o:dinu  oirecte  ppo:tionaf  :g  ftn  aut  cu  ,ppo:tion3t  puerfim,pponit  3fit 
bcc  oup  anccdetia  oe  qntitatib9  ouoy  oxfinu  numero  eqlib9  quccuq^  merit.  25t'r 
cni  fumptis  vtrobiqj  qoatitatib9  fcom  quccunq}  namanm  veritatem  babet.  no  c 


LIBER 


\6 


15  f 

— I   f— 


— *' 


autcncccffcDtoem6ftrrein9c3nifi  folfii  trib9boc  cnioio  fufficies  cadppo  H/ 
tu  .oc  plibus  aut  qbufq,  patebit  g  cqua  .ypoitioalitate  cu  tpfa  ocmoftrara  fucrit 
CSint  igit  trcs  quatitatcs.a.b.cfumsnfq)  tres  altc  q  fint.c.d.f.-j  fit  .ppoitio.a. 
ad.b.ficut.c.ad.d.i.b.ad.e.ficut.d.adf.oicoq)  fi.a.cftmaioi.e.  c.  eritmsioi.f. 
i  fi  mino:  minor.c  fi  cqualis  cqualis.6i  cni  cft  maioj  crit  pcr  piima  ptc.s.mato: 
pjopo:tio.a.ad.b.q5  .e.ad.b.quare  pcr.u.maioj  erit.cad.d.q^.cad.b.  i  qj  per 
concrfam  ppoitionalitatccact.b.e  ficut.  f.ad.d.  crit.c.ad.d.  maio:  cft.  f.ad.d. 
itaq^  pcr  piima  p_te.  i  o.  c.eft  makn.f.qo'  eft  p:opofttum..Q6  fi.a.fit  minoj.cg  caf 
dem  i  code  modo  #babit  .c.effc  mino:cf.erit  cni  mino:  piopoitio.a.ad.b.qj.e. 
ad.b.  g  piitna  gic.s.i  idco  pcr.  \t.i  g  couerfam  ^pojtionaiitate  tninoj  crit.c.  ad 
d.qVf.ad.d.c  idco  gpiima  p.tcm.  io.crit.c.minoj.f.q6  eft  piopofitum.Si  autcm 
a.fit  cqle.e.crit  g  piima  gte.?.  ,ppoitio.a.3d.b  .ficnt.c.ad.b.  i  ideo  p_  fc6am.  1 1 .  i 
couerfam  ^pojtionahtate  crit.c.ad.d.ficut.f  .ad.d.quarc  pcr  piima  pte.p.ceeq/ 
lis.f.quod eft pjopofitum.CQuida  aut banc  codufione oemonftraucriit  ca pcr 
^>po:tionalttatcm  pcrmutatim  boc  modc.ppcjtio.a.ad.b.cft  ficut.c.  ad.d.  crgo 
rjmutatim.3.ad.c.ficut.b.ad.d.cqjrurfus.b.ad.cficut.d.ad.f.efitpermutatim 
b.ad.d.ficut.cad.f.federat.b.ad.d.ficut.a.ad.c.crgo  pcr.  i  i.crit.a.ad.c  ficut.c 
ad.f.itaq5pcr.i4.fi.a.p:imaeftm3io:.c.tCTti3.crit.c.fccud3.m3io:.f.quarta:cfi 
mino:  tnino::?  fi  cqualis  cqualis:quod  c  ^pofitum:  C3fti  aute  crrauerunt  i  fua, 
oemonftrationc:q: fieffet in tcntio euclidts fic ocmonftrarc no opo:terct  ipfu p:e 
mittcrc  banc  conclufionc  $  antccedcte  3d  equa  .ppotfionslitatem:  fi  enim  rurfus 
fiat  vna  pcrmutatio  ^pojtionalitatis  ad  qua  ocueutu  cft  que  eft  cffc.a  .ao.c  fi  / 
cut.csd.f  .fequitur  q>  fit.s.sd.cficut.csd.f.?  boc  cft  equs  .pponionalitas.  pie 
tcrca  coium  condufio  non  fcquiturrnifi  omncs  quantitates  ambo?  o:dimi  fucrit 
gcncris  vnius.Si  cnim.3.b.cfint  lince.i.cd.f.fuperficics:aut  coipo:3:3ut  tcm/ 
po:a:non  erit  tunc  permutarc  p:opo:tiones:pcccant  igitur  vniucrfalircr  oictu  jy 
ticulariter  oemonftrantes. 

1|b:opofitio.   21. 

5  fberint  quothber  quantitatesalieq}  fecundum  earum 
numerum  quarum  queqj  oue  ejc  p:io:ibus  quibufq?  t»ua 
buse£pofterio:ibus  perucrfim  comparatc  fecudup:o/ 
pojtiortem  earum  raerint.neccfle  quoq^  e  vt  fi  raerint  im 
_  p:opo:tionalitate  equalitatis  p:io:um  p:ima  vltima  ma/ 
io:.i  pofterio:um  p:ima  vltima  efle  maioiem.fi  autem  mino:  i  mino 
rem  .Si  vero  equalts  i  cqualem. 

CSccundu  antccedcns  fint  trcs  quatitatcs.a .b.cfumanrq^  alie  tres  que  funt.f. 
cd.'zfitp:opo:tio.a.3d.b.ficut.c.ad.d.i.b.3d.cficut.f.3d.coicoc}>fi.3.cma 
io:.cf.erit  maio:.d.«  fi  mino:  minov.i  fi  cqualis.cquslis:  bic  autc  p:obatur  per 
eafdc  i  code  modo  quo  p:eccdens:fi  eni.a.fit  maio:.c.crit  maio:  p:opo:tio.a.ad 
b.q5.e.ad.b.qu3remaio:.c.3d.d.q;.c.3d.b.f  idcomaio:q5.c  ad  .f.  msioi  igif 
f  .q^.d.pcr  fecunda  parrcm.  io.  quod  eft  piopofitum.q6  fi.a.fit  mtnoj.ccrit  tan/ 
dem  mino:.cad.d.cJ5  ad.  f.quarc  pcr  candcm  partcm  einfde.f.  crit  mino:.d.  £>i 
autem.3.fit  cquslis.e  .fcquitur  ut  fit  p:opo:tio.cad.d.ficut.c.ad.f.igitur  pcr  fe/ 
cundam  partem^.erit.f.equalis.d.quod  cft  pjopoutum. 


Ifcrtopofirio   .21. 

i]3f  foerintquotlibet  quantitatcs  alieq;  fecuudum  earum 
numeram  qaarnm  qucq^  oue  fecundum  p:opo:tionem 
ouarum  ejc  p:imis  in  equa  p:opo:tionalitate  p:opo:tio/ 

,  naleserunt. 

liCDemonftratis  anteccdentibus  ad  equa  piopojtionalitate.bic  oe/ 

monftrat  cam:s  pjimo  cnm  quantitates  ouojum  ojdinu  funt  oirecte  pjopojtio/ 
nales.Tld  eft  aut  ncceffe  vt  oemoftrarcf  nifi  cu  in  vtroq^  ouo^  ojdinii  fnnt  tantu 
trcs  quantiratcs.per  boc  eni  cuidenter  fcquitur  cum  in  vtroqj  o:dmc  fuerint  qua 
tuo:  quantirates  i  orinccps:?  ideo  ctia  no  opouuit  eius  afis  oemoftrari  nifi  folu 
ta  in  vtroq^  o:dine  funt  etia  tres  quantitates.CSint  igitur  tres  quantitates.a  .b 
e.fumanfq5  tres  alie  que  funt.c.d.fa  fit  piopoiiio.a.ad.b.ficut.c.ad.d.f.b.  ad. 
c.ficut.d.ad.f.oico  cj>  ertt.a-ad.c.ficut.c.ad.f.fuma  cnt.g.ad.a.?.b.ad.c.  cq  mul 
tiplicia.^temq^.k.ad.b.t.l.ad.d.cquc  i  rurfus.m.ad.e.c.n.ad.f.equc.  critq^  g 
4.g.ad.k.ficut.b.ad.l.«.k.ad.m.ficur.l.ad.n.quareper.zo.fi.g.eftmaio?.m.erit 
b.maio:.n.«  fi  tninoj  mino::?  fi  equalis  cqualis.igitur  pcr  oiffinitione  incotinue 
;ppojtionalirati8(ppojtio.a.ad.e.e  ficut.c.ad.f.qd  e  pjopofitu.C-psot  quoq,  boc 
oemonftrariper.i5-.buiusfumpti8.g.k.m.ad.a.b.e.c.b.l.n.ad.c.d.f.equemuI/ 
tiplicibus:eritenim  per.ij.g.ad.k.ficur.b.ad.U.k.ad.m.ficut.l.ad.n.  cctcra  p/ 
tracta  vt  p:ius.CQ6  fi  fuertnt  quantirates  plures  tribus  in  vtroq^  ojdine:vtpo/ 
te  quatuo:  additis.p.t.q.ita  cp  fit.e.ad.p.ficut.f.ad.q.erit  iterum.a.  ad.p.  ficut 
c.ad.q.eritcnim.a.ad.c.ficut.c.adf.boccnimoemonftratumefr.fublatisigitut 
b.i.d.aunt  tres  quantitates.a.e.p.c  alie  trcs.c.f.q.  vt  pjopomtur:quare.a.ad.p 
ficut.cad.q.ficq^  ocmoftratur  oc4»per  trcs  fublato  vno  mcdio.  £ode  modo  oc/ 

monftrabisoc.f.pcr-4.fublatisouobusmedijs:toe.(s.pcr.j.fublatistribus:cfic 
oecctcris.  '^Hopofttio  .zj, 

|f  fuettnt  quotiibet  quautitates  alieq^fecundnmlcarum 
iiumerumquarum  queqjOucfecumV,  p:opo:tioneou/ 
arum  ejc  p:io:ibus  indirccte  p:opo:tionate  m  equa  p:o/ 
po:tionalitatep:opo:tioneserunt. 

LCDcmonftrar  equam  .ppoaionalitatcm  in  quantitatibus  euojum 

o:dmu  indirccte  fiue  eucrfim  .ppojtionatis  .llec  e  neceffe  op  oemonftref  nifi  cum 
in  vrroq^  ouop  o:dinu  funt  rantu  tres  quantitates:p  boc  cni  euideter  fequif  que/ 
cuq5  ponant  i  vtroq^  ojdinc  ficnt  i  pjemiffa  oc  oirccte  ^ppojtionatis  oemoftratu 
e.Sint  igir.j.qntitates.a.b.cfumafq^ alte. j.q  fint.f.c.cU  fit,ppojtio.a.ad.b.fi 
cut.c.ad.d.f  .b.ad.c.ficut.f.ad.c.oico  cp  ent.a.ad.e  ficut.f.ad.d.fuma eni.g.ad 
8.?.b.ad.c.c.k.ad.f.equemultiplicia.3teq5.I.ad.b.i.  m.  ad.e.s.  n.ad.  d.eque: 
eritq^  per  quarta.g.ad.l.ficnt.b.ad.n.?  per  i  j  ,l.ad.m.  ficut.k.  ad.  b.  quare  pcr 
zi.fi.g.addit fuper.m «.k.  addit fup.  n  .1  fi  minuit  minuit:  % fi  equat equat:er/ 
go  pcr  oiffinitionem  incotinue.ppojtionalitatis  .ppojiip.a.ad.  e.e  ficut.f.  ad.d. 
qb  epjopofitu.  C^oteft  quoq^  1  boc  oemoftrarip.i  j.bui^fuptis.g.l.m.ad.a.b 
e.c.k.  b.n.  ad.f.c.  d.  equemultiplicibus  :crit  enim  per.  i?  .g.ad.l.  ficut.b.ad.n. 
i.l.ad.m.  ficut.k.ad.b.  cctcra  pcrtracta  vtpjius.Ionuenientius  tamen  oemon 
ftraiirur  bcc  1  p:cmilTa  fecundm  pjimutn  modum.  G.Q6  fi  plures  tribus  fucrint 
quantitatcs  iu  vtroqs  o:dine:  vtpote  qtuo:  additis.p.  ?.q.  ita  <j>  fit.a.  ad.b.ficut 


ie  h 


14 


12 


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1«  1« 


24 


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12 

c 
1 

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b    6  0  »  6  e 


B    4  b   e 


1  o 

—4 


LIBER 

d.ad.q.c.b.ad.e.ftcut.c.ad.d.t.c.ad.p.riajt.f.ad.ccrittoum.a.ad.p.ficut.f 
ad.q.CTitcnuiipCTpjcdcmonftrata.a.ad.e.fiait.c.ad.q.Sublatisigirur.  b.?.d. 
erunt  trca  quatitatcs.a  .e.p.t  alie  trcs.f.c.q.vt  p2oponitur:quarc.a.ad.p.ficut.f. 
ad.q.5ic  igitur  ocmonftrarur  oe.4.per  tres  fublato  vno  medio.  £ode  modo  oc/ 
monftrabis  oc.j .per quatuoj  fublatis, ouobus  mcdijs.s oe.«>.pcr.f  .fublatis tri/ 
bus:«ficincctCTis. 

1£>20pofttio   -24. 
r^^^jr^fueritp2opontopufniadrecundrJ5  tanq^  tcrtii  adquar 
itM  GKG««  tnm.p2opo:tio  vero quinti ad fecundu^.  tanqjlgsi ad  qr 
tum  :crit  pzopoitio  p2imi  1  quinti  pariter  accepto2um  ad 
fecundum  tanq5  le#i  1  tertii  pariter  accepto2um  ad  quar/ 
_  tum. 

C.Q6  to>a  pjopofuit  oc  multiplicibus  bcc  pjoponit  vniuerfaliter  oe  omnib9  p:o/ 
pojtionibus.vndc  cft  llla  tanto  comuuio:  quato  multtpltcitatc  p:opo:tio  1  fc  ba/ 
bct  ad  tllamrquemadmodum.  rj.ad  p:imam.Sit  igitur  p:or'0:tio.a.b.ad.c.  ficut 
d.e.ad.f.t  ite.b.g.ad.c.ficnt.e.b.ad.f.oico  cp  p:opo:tio.a.g.ad.c.  cft  fi.:ut.d.b. 
ad.f.erit  enim  pcr  conucrfam  p:opojtionalitatcm.c.3d.b.s.fictit.f.ad.c.b.quare 
per.22.erit  in  cqua  p2opo2tionalitatc.3.b.ad.b.g.ficut.e.d.ad.e.b.crgo  contun  > 
ctimper.i9.a.g.ad.g.b.ftcut.d.b.ad.b.e.it3q5per.2i.critincquap:op02ttona!i 
tate.a.s.ad.c.ficut.d.b:ad.f.quod  cft  piopofitum. 
■}(b2opoHtio  .2j. 
[)  %  fuerint  quantttatce  p2opo2tionalc0:  fueritq^  p2ima  ea/ 
rum  ma?:tma.<*  vltima  minima.  p2imsm  1  vlttma^pariter 
acceptas  ccterie  ouabus  maiue  effe  neceflario  c6p2oba/ 
tur. 
2IG.Q6  bic  p:oponitur  116  babct  locum  nifi  cum  omncs  quatuo:  qtu 
titates  fint  ciufdcm  generis.  Sint  igitur  qustuoj  qusntitatu^  ciufdc  gcncns  p  jo/ 
pojtio.a.b.3d.c.d.ficut.e.3d.f.fitq5.a.b.m3xim3:neq50poitetponercijj.f.fitmt 
nima:qui3 ipfum ejc  boc fcquitur cp.a.b.pofita  eft  majcuna.  vnde non  pofuit boc 
auctoi  in  condufionc  tanq*5  pofitioucmtfed  potius  tanq"5  pjccedcutis  pofttiois  co 
ciufioncm.oico  q>  cum  ita  fuerit  maius  ertt  aggrcgatum  ex.a.b.i.f.q^  cy:.  c.d.f.e 
Xumenim.3.b.fitm3io:.e.3bfcind3mex.b.3.g.b.equalcm.e.  CSinulitcrquoqs 
quia.cd.eft  m3io:.f.abfcindam  et:.cd.b.d.cqualcm.f.critq5 p:optcr  ypotbcfun 
a.b.ad.c.d.ficut.g.b.3d.b.d.quare  per.  i^.a.g.  rcfiduum  ad.  c.b.  nfiduum  ficut 
tota.a.b.ad  torn^.c.d.f.a.b.ad.c.d  .£11  crgo.a.g.fe  babet  ad.c.b.ftcut.a.b.ad.c 
d.fed.a.b.cmaio:.c.d.quare.3.g.mai02cft.c.b.additisigtturvtrtq50uab9quan 
ritatibus.g.b.s.b.d.erit  per  comuncm  fcicntiam  aggrcgatum  ejc.a.b.?.b.d.  ma/ 
ius  3ggrcg3to  ejc.c.d.c.g.b.?  quia.d.b.  poftta  cft  cqualis.  f.c.g.  b.e.  maius  crit 
aggregatnm  ejc;a.b.f  .f.qua  aggregatum  ex.cd.c.c.quod  eft  p:opofuum. 

1^)20pOfltiO    .26. 

3f  fuerit  quatuo2  quantitatum  p:opo2tio  p2ime  ad  fecun/ 
dam  maio2  quam  tertie  ad  qnarram .  crit  conuerfti  ccon/ 
trario,ppo2tio  fcoe  ad  p2ima  mino2  q5  quarte  ad  tertiam 
Sit.ppotfio.a.ad.b.maio:  q^.cad.d.otco  q>  crit  ecoucrfo  mo  prio 
mio2,pp02tio.b.ad.a.q5.d.ad.c.fidccadc.b.ad.a.cjc.d.ad.c.crit 


«oucrfo.a.ad.b.vt.cad.d.f5  no  c  Imo  maioirSt  vero  ficb.ad.a.maioi  q*5  d.ad 
cfit.e.ad.a.vt.d.ad.c.critq5  cr,i2.c.ad.a.mioi  q*5.b.ad.a  .qreer  pma  partc.io.c 
e  tnioj.b;3dcoq5  ct  fcoa  partc.8.maioi  erit  ,ppoitio.a.ad.c.cJ5.e.ad.b.i  q:  g  con 
uafamp:opo:tioitalitatem.a.ad.c.fiajt.c.ad.d.eritc)c.i2.p»po2tio.c.ad.d.ma 
ioi  qj.a.ad.b.fed  erit  minorrelinquitur  ergo  piopofitu.Gpoffumus  quoq^  fi  (i 
bctaftracrepiopofitumoftcnfiueimamfeftum  enim  eftqc  p:imaparte.io.g>illa 
quantitas  cuius  ad.b.cft.cadcm  pjopojtio  quc  cft.cad.d.cft  minoj.a.co  cp  po/ 
nitur  maioj  p:opoitio.a.ad.b.c*5  .cad.d  .illa  crgo  quantitas  fit.e.  cum  fit  igitur 
p:opo:tio.c.  ad.b.vr.c  .ad.d.crit  ccenucrfo  .b  .ad.e.vt.d.ad  .c.  Xonftat  autcm 
e%  fecundaparte.s.cp  p:opojtio.b.ad.a.minoi  clt  65  p:opo:rto.b.ad.e.itaq5  per 
i2.pjopo:tio.b.td.a.cft  minoi  q'5.  d.  ad.cqo  voluimuo. 

Ubtopofitio  a.7\ 

5  mcrit  quatno:  quantitatum  maio:  p:opo:tio  p:imead 
lecnndam.qVertie  adqttartam.erit  permutatim  maio: 
p:opo:tio  p:ime  ad  tertiam*  quam  fectmde  ad  quartam. 
GSit  bicquoq5pjopojtio.a.ad.b.maioi  q^.cad.d.oico  <$  erit  per 
mutatim  maioi  pjopo:tio.a.ad.cq5.b.ad.d.cadcm  cnim  non  crit 
quia  tunc  quoq^  effet  permutatim.a.ad.b.  ftcut.c.  ad.d.  nccg  mino:.  Ilam  fi  boc 
ponatur-.fit  itacp  .c.ad.cvt.b.ad.d.eritq5  ejc.  a.maio:  ,ppo:tio.c.ad.  ccg.a.ad 
e.quarc  cr  piima  parte.  io.e.cft  maioi.a.3taq5  per  piimam  partem.  s.p:opo:tio 
e.ad.b.cft  maio:  q*5.a.ad.b.«  quia  pofitum  eft  vt  fit.e.ad.cficut.b.ad.d.  crit  g/ 
mutatim.c.ad.b.ficut.cad.d.cci2.igiturm3ioieritp:opo:tio.cad.d.q5.a.acl 
b.fed  pofitum  erat  oppofitum:vcrum  eft  ergo  p:opofitu:GOftefiue  quoq^  idcm 
qucadmodum  in  picmiffa:fumpta  enim  eft.cad.b.vt.c.ad.d.crit  cjc  piima  parte 
io.e.minoj.a.quareexp:imaparte.s.maio:crit.a.ad.cq5.e.ad.c.fedc)cpermu 
tatap:opo:tionalitatecft.c.ad.c.vt.  b.ad.ld.igiturcjc.i2.a.ad.ccftmaio:q5.b; 
ad.d.quodcft  pjopofitum. 

1{b:opofitto    .28. 

3f  fiterint  quatuo:  quantitates  quarum  p:ime  ad  fecunda 
ut  tnaio:  p:opo:tio  q5  tertie  ad  quartam  .crtt  quoq?  con/ 
innctim  maio:  p:opo:tio  p:ime  1  fecunde  ad  lecudam  cjj 
rertie  1  quarte  ad  quartam. 

G5it  maio:  p:opo:tio.a.ad.b.q5.c-ad.d.oico  q>  maioi  erit  totius 
a.b.ad.b.q5totiU3.cd.ad.d.qm3ipfaneq5CTitcqua!i6ncq5minoi.5ienicqu8 
Ks:tunc  crit  oifiunctim.a.ad.b.vt.cad.d.Si  autem  eft  mirioi-.fit.c.b.ad.b.  vt.c 
d.ad.e.eritq5  ccu.maio:  piopoitio.c.b.3d.b.q5.a.b.  ad.b.  itaq^  ct  p:ima  par/ 
tc. io.e.b.eft  maioi cfe.a.b.c pcr coceptionem.e.maioi  CJ5.3.  quarc cjc  p:ima par 
te.8.maioi  eftp:opojtio.c.ad.b.cJ5.a.3d.b.fed.e.ad.b.cftvt  .cad.d.pcr 
oifiunctampiopo:tionalitatem:eo  cperst.e.b.ad.b.vt.cd.  ad.d.  ergo  per.i2.c 
ad.d.cftmaio:q5.a.ad.b.  bocautemeftcontrsfpotbe.G  ^dcmctiam  oftenfi/ 
ue:  cum  enim  p:opofitum  fit  cp  maioi  fit  piopoitio  .3 .  ad.  b.  6*5 .  c  ad .  d . 
ftt  piopoitio  .c.  ad.b.  vt.  c  ad.d.  cntqj  ejc  p:ima  partc  occime.  e.  minoi .  a. 


LIBER 


» 

i< 

b 

6 

c 

z 

s 

4 

b 

S 
1 

II 

— I 


Ijbiopoiitio   .29. 

^  facrit  quatuo:  quantitates  quarum  prime  1  fecunde  ad 
fecundam  lit  maio:  p:opo:tio  qj  tertie  1  quarte  ad  quar  1 
tam .  erit  quoqj  oifiuncti^  p:opo:rio  p:ime  ad  fecnndam 
maio:  %  tcrtie  ad  quartam. 

GSitp:opo:tio.a.b.ad.b.maio:q5.c  d.ad.d.oicocperit  oifiun/ 
ctim  p:opo:tio.a.ad.b.imio:  q5.c.ad.d.alioquin  crit  equalis  vd  mto:.qi5fi  cqua 
lis  etit  per  coniunctam  p:opo:tionalitatem.a.b.ad.b.ut.c.d.  ad.d.  fi  autcm  mi/ 
nojeritmaioi.c.ad.d.q5.a.ad.b.crgopcrp:emiffammaioicrit.c.d.add.q5.a. 
b.ad.b.quod  eft  inconueniens:quia  pofitnm  eft  <$  minoi.Verum  cft  ergo  q6  oicl 
tur..Qi5  etiam  oftenfiue  aftrnemus  boc  modo  poncmus  enim  ut  piopoitio.e  .b. 
ad.b;fittanq5p:opo:tio.c.d.ad.d.eritq5  q:p:ima  parte.io.e.b.minojq5:  a.b. 
quare  ex  communi  fcientia.e.cft  mino:  ctf.a.minoi  igitur  cft  ey  p:ima  parte  .8.  p 
po:tio.e.ad.b.q5  (it.a.ad.b.fcd  p:opo:tio.c.ad.  b.cft  ficut.c  .ad.d.  ejc  oifiunct» 
p:opo:tionalitate:itaq5  ex.i2.p:opo:tio.a.ad.b.cft  maio:  oj  fit.c.ad.d.  quod  eft 

piopofitum. 

Ifcjopoutio  .90. 
V§  raerintquatuo:  quantitatee  quarum  piimeifecunde 
1  ad  iecunda  ftt  maio:  p:opo:tio  q5  tertie  1  quarte  ad  quar 
tam :  erit  euerftm  mino:  p:opo:tio  p:ime  1  fecnde  ad  p:i 
mam  q5  tertie  1  quarte  ad  tertiam. 
IBilGSit  maio:  piopo«io.a.b.ad.b.q5.c.d.ad.d.  oicocp  enerfimmt/ 
iio:etitp:opo:tio.9.b.ad.a.q5.c.d.ad.d.critenimoifinnctimc)cp:emiffa  maicn 
p:opo:tio.a.ad.b.q5.c.ad.d .  3taq5  per.2<s-crit  econuerfo  mino:.  b.ad.a.  q^.d. 
ad.c.quarc  per  ante  p:emiffam  coniunctim  mino:  erit.b.a.ad.a.q5.c.d.  ad.c.  qsj 
cft  p:opofitum. 

"|{b:opofitio  .ji. 

**§(  fuerint  tree  quantitatee  inwoo:dine.itemq5treein 
alio  meritq5  p:ime  p:io:nm  ad  fecundam  maio:  p:opo2 
tioquamp:imepofTerio:umadfecundam.itemq5fecun/ 
de  p:io:um  ad  tcrttam  maio:  quam  fecunde  pofterio:um 
_  ad  tertiam  .ertt  quoq?  p:ime  p:io:u5  ad  tertia  maio:  p:o 
)o:tto  q5  p:ime  pofteriorum  ad  tertiam. 

G6int  tres  qu3titates.a.b.c.iteq5  alie  tres.d.cf.ffaft  maio^portio.a.ad.b.ctf 
d.ad.citeq^  maio:.b.9d.c.q5.cad.f.oico  cj>  maio:  crit^>po:tio.a.ad.c.q5.d.ad 
f.fit cni.g.ad.c  ut.cad.f.critq^  cjc pma pte.io..g.mio:.b.qre cj.  fcoa p_te.8.pio/ 
poitio.a.ad.g.c  maio:  q5.a.ad.b.mt'to  maio:  ago  e^po:tio.a.ad.g.q*5.d.  ad.e 
fit  itaq5.b.ad.g.w.d.ad.ceritq5  er  pma  gtc  io.a.maio:.b.qrc  qc  pma  pfc.8.,p/ 


V 

po:tio.9.9d.c.m3io:  eft  cfc  p:opo:tio.b.3d.c  St  vcro  p:opo:tio.b.3d.c.  cft  pcr 
eqoamp:opo:tioii9litatcm:ricnt.d.ad.f.cftcnim.b.3d.g.vt.d.acl.c.c.s.ad.c.vt 
e.gd.f.igitur  ec  a.p:opo:tio.9.ad.c.cft  maio:  qj.d.ad.f.  quarc  conftat  p:opofi 
tum  ; 

1£>:opofttio   .32. 

(|3f  fiterint  tres  quantitates  in\>noo:dine.itemq3  tresin 
iaiiofueritq5,p:opo:tiofecunde  p:io:um  adterttamma/ 
io:quam  p:imepofteno:umadlecundam  Sftemqjpumc 
p:io:umadfecundam  maio:  quamfecunde  pofrertojum. 
ad  tcrtiam  .erit  mato:  p:opo:tio  p:ime  p:io:um  ad  tertia 
quam  p:tmepofterio:um  adtertiam. 

GSint  cnim  trcs  quantitates  in  vno  o:dinc.a.b.c.3tcmcj5  trcs  itiialio.d.cf.que 
admodum  in  picmttTatfitqj  msio:  p:opo:tio.b.8d.c.q5.d.3d.c?  maio:.a.ad.b. 
q).c.9d.f.oicocpmaio:erit.3.ad.c.ci5.d.3d.f.fitcnim.g.ad.c.vt.d.ad.ccritq5 
g.mmo:.b.per  p:imam  partem-  lo.quare  maio:  erit  p:opo:tio.a.  ad.g.  q'5  ad.b. 
pcr  fecundam  psrtem.s.igitur  multo  maio:  cft.a.sd.g.q^.cad.f.fit  usq^.  b.  3d 
g.vt.cad.f.eritq5.9.maio:.b.cx  p:ima  partc  icquarc  p:opovtio.a.  ad.c.  maio: 
cvtq5.b.9d.c.e)cp:im9parrc.8.atvcrocx.2j.p:opo:tio.b.ad.c.c(rtanqua.d.3d 
f.coq6eft.g.ad.c.vt.d.ad.e.cb.ad.g.vt.c9d.f.igiturex.u.m9io:eft  p:opo:/ 
tio.a.sd.c.cfe.d.ad.f.quodcfr  p:opofitum. 

1fc:opofttio  -ij.  :  '*• 

3f  fucrit  p:opo:tio  torius  ad  totfi  maio::  qj  abfcilt  ad  ab  / 

lcifum  critreftduiadrefiduum  maio:  p:opo:tto  cfctoti/ 

usadtotum. 

GSint  ouc  quantitstcs.a.i.b.a  quibna  abfcindantur.ccd.c  rcft/ 

dua  fut.e.c.f.fitcg  msto:  p:opo:tio.a.ad.b.q'5.c.ad.d.oico  9  ma 

io:critp:opo:tio.c.9d.f.q5.9.3d.b.critenim  q..zy.  pcrmutati  maio:p:opo:tio 

*.9d.c.q5.b.9d.d.qu9rcex-3o.eritcucrfimmino:p:opo:tio.  9.  ad.cq'5.  b.9d.f. 

igitur  rarfas  cjc-i7.perrout3tim  mino:  erit.9.9d.b.q5.e  .9d.f.  quod  eft  p:opoft/ 

tum. 

1£>:opofitio   .34. 

^quotlibetquantitatesadtotidem  alias  comparentur. 
rueritq?  cuiuflibet  p:ecedcntis  ad  fuam  relatiuam  maio: 
p:opo:tio  cj^ahcuiusfubfequentis  ad  fua^.  erit  omnium 
barumpariteracceptarumadomnes  illas  pariteracce/ 
ptas  maio:  p:opo:tio  q?  alicuius  fubfequentiu^  ad  fuam 

comparem  aut  etiam  05  omnium  pariter  acccptarum  ad  omnes  part/ 

ler  acceptas-.mtno:  autem  q5  p:ime  ad  p:imam 

6ir.}.qntit9te3.9.b.c.rel9tc  9d  totide  alias  q  fit.d.cf.fitq^  maio:(ppo:tio.9.3d 

•  d.q5.b.ad.e.?.b.8d.e.f(t  maio:  q^.cad.f.oico  cp,ppo:tio.9.b  c.gitcr  acccpta^. 

srd.d.cf  .girer  acccptas.  c  maio:  qj.b.ad.c.  vtmaio:  cj.c.  ad.f.s  etia  maio:.qj!b 


18 


ii 


\6   0 

— «   1 — 


!;      i        a 


j       b       b        c    (  t 


LIBER 

s.c.pariter  acccpta^  ad.ccf.paritcr  acccptas:?  cp  ipfa  eft  mino:  q^.a.ad.  d.cn 
fit  eni.a.ad.d.maio:  qj.b.ad.e.erit  pcrmutatim.a.ad.b.maio:  ctf.d.ad.c?  con 
innctim.a.b.3d.b.maio:q5.d;c.ad.e.citcrum  permutatim.  a.b.ad.  d.cmaio: 
q"5.b.ad.e.quarc  per  p:emtffam.a.3d.d.eft  maio:  q^.a.b.sd  .d.c.  eodeqj  modo 
^batmaio:eee.b.3d.e.q5.b.c.3d.c.f.it8q3maio:^spo:tio'e.3.ad.d.q5.b.c.ad.e 
f.qrepermutatimmaiojcft.  a.ad.b.c.q5.d.3d.c.f.cconiunctimm3io:.3.b.c.3d 
b.cq^.d.cf.ad.cfaiterumpermutatim  maio:.3.b.c.ad.d.e  .f.qj.c.b  .ad.e.f. 
qu^re  per  p:emiffam  maio:  eft.a.ad.d.q5.3.b.c.ad.d.e.f .  quod  cft  ,ppofitum. 
fjcplicit  Iiber  quintus  ^ncipit  liber  Sejtus. 

^perficiesfimiles  bicuf  qroangulivnius 
angulis  altcrius  equales.lateraq?  equos  an 
gttios  contmentia  p:opo:tionalta. 
G23t  fi  trigonus.a.b.c.fuerit  equiangulus  trigono 
de.  .f.fueritq^  angulus.a.equalis  angulo.d.?  sngu/ 
lus.b.cqualis  angulo.ct  ;ppo:tio.3.b.3d.d.cucut 
a.c.sd.d.f.cb.c.ad.cf.ipfieruntfimiles. 

^perftcies  mutuoylaternmfut 
interquarum  lateramcontinua 
p:opo:tionalitas  retralitiue  ba/ 
bemr. 

G23tfiouo£quadril3tcrum.a.b.c.d. 
cf.p:opo:tio  .a.b.lateris  p:imi.ad.  d.clstus  fecundi  fuerit  ficut  p:opo:tio.  c-.f. 
toteris fecundi.^d.b.c.latus p:imi:illa  ouo quadrilatcra oicuntur mutuomm la/ 
terum  fiuc  mutekcfia.Clines  oicitur  diuidi  fccundu  p:opo:tione  babente  mcdiu 
t  ouo  qttrema  quando  cadem  cft  p:opo:tio  totius  ad  maio:em  fui  feccionc  que  e 
maio:isadmino:em. 

1£>:opofttio   .1. 
^Ouarum  rectiliuearum  fuperficierum  equidiftantium 
laterum  liue  triangulo:umfueritaltitudovna:tantaerit 
alterutra  earum  ad  alteram  .quanta  fua  bafts  ao  baftm  al 
terius. 

GSint  ouo  paralellograma.a.b.cd.cf.cqualis  altitudinis.oico  ce 
,-ppo:rionc  com:ficut.b.c.ad.e.f.ponam  illaouo  paralcllograma  fup  linea  vuam 
que  fit.g.m.crutqj  pioptcr  boc  cp  funt  cquatis  altitudinis  intcr  lincas  equidiftatt 
tesquarufitaltera  .k.n.ocindeexlinea.g.m.fuma\g.c.muItiplice  fm  quccumqj 
numerfi  voluero.a.d.b.cc  oiuida'  ca  in  gtes  equales.b.cin  punctis.b.?.  b.a  qut 
bus  i  punto.g.  ouca  equidiftantes  linecs.b.que  fut.g.k.i.b.I.?  coplcbo  fugfici 
cs  cquidtftantiu  latcrii.k.b.?.l.b.eritq5  vnaqq^  carii  g-3(f.p:imi  equalis.a.c  qre 
ficutlinca.g.c.emultiple):Iinee.b.c.itafup.ficics.ck.fuperficici.3.c.Siutcrquoci5 
ad  linea.cf.fuma  e%  linca.g.m.linca.f.m.multiptice  ftn  quccuqj  numau  volucro 
t.f.%  coplebo  fuperficic  cquidiftatiumlaterum  oucta  linca.m.n.equidiftatcr  lince 
d.e.eritq^  fuperficies  .n.f.  ita  multiplej:  fuperficici  .d.f.ficut  linea  .m.f.  liiiccc 
f.«quia  per.je-  p:imi  filinea.g.ccft  maio:  lines.f.m.fpperficics.k.ccft  msio:  fu 
pcrficicn.f.et  fi  mino:  mino:  .et  fi  equolis  cqualis  erit  per  oiftinitioncj  icotinue 


VI 

p:opo:tioiia[itatis  cadem  .ppojtio  bafis.b.cad  bafim.e.f.quc  cft  fupcrftcici.a.c 
ad  fupcrficie.d.f.quod  cft  p:opofitum.GDc  triangulis  cqualis  altittidiuis  idcm 
p:obabis:c  eodcm  ntodo  per.j  s.p:imi  onctis  linets  ab  extremitatibus  ca^  quas 
ad  bafes  fumcs  multipliccs  ad  vcrticcs  triangulomm. 

Ilbiopolitio   .2. 

3f  linearccta  ouo  triangulilatera  feeans  reliquo  fuerit 

equidiftansream  otio  illa  latera  pjopoitionaliter  iecare. 

Si  vero,ppo:tionaiiter  fccet  ea  reliquo  latere  equidifta 

renecefieeil. 

GSit  triangulus.a.b.ccuius  ouo  latcra.a.b.c.a.cfccet  linea.d.c 
cquidiftantcrtertiofcjteri.qijcft.b.c.  oicocpcrit.ppojtio  .a.d.ad.d.b.ficut  .a.c. 
ad.c.c.tccouerfofifucrit  jipojtio.a.d.ad.d.b.ficut.3.c.ad.e.c.linea.d.e.eritcc] 
dtftans  lince.b.cpjotrabam  eni  ouas  lineas.c.b.c.d.c.eritq5  per.  3  7  .piimi  trian 
gulus.c.d.b.cqnalis  triangulo.d.e.c.proptcr  id  q6  ipfi  fuut  ambo  fup  linea.  d.e. 
inter  lineas  equidiftantes.itaqj  pcr  fcbam  p3tie.7.quinti:;ppo:tio  trianguli.a.d. 
c.ad  vtruqj  illowm  erit  vna:fcd  .ppoitio  e^ppicmiffa  ad  triangulu.cd.b.  e  ficut 
Iinee.3.d.adIine3.d.b.c3dtrianguIu.d.c.c.ficutImce.3.e.adline3.c.c.Tlamipe 
cum  vtroq3  illoy  eft  equaiis  altitudinis:quare  erit  .ppoitio.a.d.ad.d.b.ficut.  a.e 
ad.ccq6  eft  piimum.CEt  fi  boc  fucrit  erit  per  picmiffam  ipfius  .a.d.c.vtraqj 
illo?  p:opo:tio  vnarquare  per  fccundam  partem.  ^.quinti  tpfi  funt  adinuicc  cqua 
les:i  quia  ipfi  funt  fuper  eande  bafim. videlicet  lineam.d.c.«  ej:  eadcm  gtc  erit  g 
j9.p:imi:Unca.d.c.cquidiftans  linecb.cqo  cft  fecundum. 

1{b:opofitio  .j. 
3f  ab  aliquo  angulojum  trianguli  linca  recta  ad  bafim  ou 
cta  angulum  illunt  per  equalia  fecet:  tmas  partes  ipfi?  ba 
ftsreliquiseiufdem  trianguli  lateribus  pjopoztionales 
efie.StveroOuepartesbalisquaslinea  ab  anguloou/ 
cta  tnftinguit  reltquis  trianguli  lateribus  ^ppojtionales 
uerint  lineam  illam  angulu  p  equalia  omidere  nccciTario  coptobaf . 
GSit  trigonus.a.b.c.cuius  angulum.a.oiuidat  linca.  a.d.p  cqualia  :oico  cp  p:o 
po:tio.b.d.ad.d.ccft  ficut.b.a.ad.a.c«  cc6uerfo:p:otr3bam  enim.b.e.  cquidi/ 
ftantem.a.d.i  pioduci.ca.quoufcp  concurrat  cu.b.cin  puncto.ceritq}  per  pii/ 
mamp3rtc29'p:imiangulu8.e.b.a.cqualisanguIo.b.a.d.  cper  fcoam  partcm 
eiufdcm  angulus.csngulo.d.a.cquare  angulus.ccft  equalis  angulo.cb.a.crgo 
pcr.tf.pjimi.c  a.eft  equalis.a.b.s  idco  p  p:ima  psrtem.r-quinti  p:opo:tio.c.a. 
ad.3.ceficut.b.3.ad.3.cfedperp:emiff3m.e.a.ad.a.c  eficut.b.d.3d.d.cergo 
b.a.ad.a.cficut.b.d.ad.d.c.quod  cft  pjimum.GSecunda  pars  quc  cft  conucrfa 
piime  pris  piobabitur  conucrfo  modo.Dnanente  enim  eadcm  oifpofitione  fi  fuc 
rit  pjopo«io,b.a.3d.3.cficut.b.d.ad.d.cquarc  per'pjemiffa.c.3.ad.a.c.e  ficuc 
b.d.ad.d.cerit  eadcm  p:opo:tio.e.3.ad.a.cque  cft.b.a.ad.a.c.  crgo  pcr  piima 
partem.9.quin  ti.ca.ca.b.funt  cqualcs.  quare  pcr.5  .primi  ouo  anguli.e.c.cb.8 
funt  cqualcs.igitur  pcr  piima  z  fccnnda  partcm^.piimi  augulus.b.a.d.c  cqua/ 
lis  angulo.d.a.c.quodcft  fccundum. 

f 


LIBER 

1(b:opofitio   .4. 

ZJfcnium  t»uo:umtnangulo:um  quo?  angulivnius  ait/ 
gulis  alterius  iimt  equales:latera  equos  angulos  reipici 
eima  funt  p:opo:tionaha. 

GSuiu  ono  trianguli.a.b.c.d.cf.equianguli.fircp  angulus.a.  eq/ 
lis  angulo.d.t  angulus.b.angulo  x.t  angulus.c.  anguio.f.cico  cj> 
(ppo:tio.d.e.ad.a.b.«.d.f.ad.a.c.cft  ficut.cf.ad.b.cpona emm  ambos  tnan/ 
gulos  fup  linca  vna  que  fir.c.c.ira  cp  ouo  anguli  vnius  qui  eruiu  fup  banc  tincam 
finr  cqualcs  ouobus  altcrius  qui  crunt  fupcr  eandcnon  qutdc  meduis  mcdio  aut 
exrrcmtis  ejctremo.fed  mcdius  vnius  cxtrcmo  altcrius.t  pona  ouos  eoa»  mcdios 
angulos  in  code  pucto  coircfitq5.a.f.c.ipfe  ide  triangul9  q  erat.a.b.c.  1  q:  angu/ 
ms.a.f.c.e  eqlis  angulo.c.-J  angulns.d.f.c.agulo.c.p.  ypotbcfij:  erir  p_  p:ima  par 
tem.zs.p:imilinca.a.f.equidiftans.d.e.«.d.f.equictiftans.a.c.c6plcboigiturfu/ 
pcrficiem  equidiftantium  latcrum  quc  fit.g.f.enrqj  per.  j4.p:imi.g.a.  equalis.d. 
f.c.g.d.equalis.a.f.quia.  ergo  pcr  fccudum  buius.g.a.ad.a.c.ficut.e.f.ad.f.c.et 
pcr  eandcm.e.f  .ad.f.c.ficut.c.d.ad.d.g.erLt  pcr.7-quinti  .d.f,ad.a.c.  ?  per  ean/ 
dcm.c.d.ad.f.a.ficut.e.f.ad.f.c.quod  eft  p:opofitum. 

1fb:opofttio  •?. 
Xlknium  ouo:umtriangulo:uquo:ucuncto:u  laterufe 
fe  refptcientiu  e  p:opo:tio  vna  angnlt  latcnbus  ,ppo:tio 
nalibus  contenti  cqui  I  tbt  inutcej  elle  p:obantur. 
Gbcc  cft  conucrfa  p:ioas  ncc  fccit  ejc  ca  1  p:cmifl'a  vna  codufionem 
ficut  fecit  in  fecunda  1  tcrtia  buiu.  ■  :q:  ncc  cade  ngurationc  ncc  eifde 
medijs  ocmonftratur  quibus  pcedeus.  £>mt  itacp  ouo  tnanguli.a.b.cd.e.f.firqj 
p:opo:tio.a.b.ad.d.cca.cad.d.f.ficut.b.c.ad.e.f.oico  q>  angulus.a.  eequalis 
angulo.d.t  angulus.b.angulo.cc  angulus.cangulo.f.conititua  fuper  Imcam.c. 
f.in  oppofita  ptc  trianguli.d.c.f.angulu.f.cg.equalcm  angulo.b.t  angu'.u.  cf.g 
cqnalcm  anguio.c.erircp  per.  j2.p:imi:angulus.g.equalis  angulo.  a.  ergo  per  p:c 
mtlTam  p:opo:no.a.b.ad.e.g.ca.c.ad.f.g.ficut.b.cad.cf.qnare.a.b.  ad.  d.e. 
ficutad.cg.c.a.cad.d.f.ficutad.f.g.igitur  pcr  fccundam  parrcmnone  quinti 
d.c.cft  equalis.e.g.s  pcr  eandem.d.f.cqualis.f.g.quare  pcr.8.p:>mi:  ouo  trian/J 
guli.d.cf.c.g.cf.funt  equianguluquare ergo  triangulus.g.cf.cft  ettam equian 
gulns  triangnlo.a.b.c.conftat  pwpofttum.  1 


^:opofitio 


.6. 


Qfones  t>uo  trianguli  quo:nm  vnus  angnlue  vm"  vni  an 
guloalterius  cqlis.  lateraq-,  tllosouosequos  angulos 
continentia  p:opo:tionalia  liiti  t  intcr  fe  inuicem  cquian/ 
guli. 

[G  DOaneat  prio:  oifpofitio.t  fit  folu  anguhis.b.equalis  angulo.d. 
e.f.«pwpo:tio.a.b.ad.d.c.ficut.b.cad.c.f.oicoadbucduos  triagulos.a.b.cd 
e.f.eite  equtangulos:  cum  cntrn  fit  per.4.buius  p:oprcr  fpptbcfes  pmiffe  conclu/ 


VI 


fiom6;a.b.8d.c.3.ficut.b.c.ade.f.erit.a.b.9d.d.c.fkot.a.b.9d.c.g.qtiarcpcrfe 
condam  partein  nonc  quinti.d.e.eft  equalis.c.g.quia  crgo  ouo  larcra.d.c.  „e.f. 
trigoni.d.e.f.funt  cqualia  ouobns  latcribus.c.g.?.e.f.trigom.g.e.f.?  anguliis.e, 
vnius aiigulo.c.altaiuG:quia  vtcrq^  eft  equalis angulo.b.ipfi erunt pcr  quartam 
pitnii  equianguli  z  quia.e.g.f.eft  etiam  equiangHlu8.a.b.c.patet  piopofitum. 

Hbjopofttio  .7. 

_f  fiicrirtt  Ouo  triangutt  quoJum  vnus  angulus  vnius  sml 
angulo  altcrius  equalis:t>uoq5  fuojnm  reTiquojum  angu 
lojum  lateribns  piopoJtionalibus  contenti:Ouojum  ve/ 
ro  oemum  rcliquoJU3  vterqj  aut  neuter  rccto  angulo  mt/ 
noj  neccfle  eft  tllos  ouos  rriangulos  omnibus  fuis  angu 
is  inter  fe  inuicem  equiangulos  cfTc. 

GSint  ouo  trianguli.a.b.c.d.e.f.fitqs  angulus.a.equalis  angulo.d.c  pjopoitio 
a.c.ad.d.f.licut.c.b.ad.f.e.e  vtcrqs  ouop  anguloaim.b.t.e.aut  ncutcr  fit  mino: 
rccto:oico  eos  effe  cquiangulos.Si  eni  angutus.c.vniuseft  equalis  angulo.f.  al/ 
terius:patet  piopofitfi  pcr  pxmiflam.Siit  autcm  fit.c.maio:  fiatq^  angulus.  a,c 
j.cqnaIi6cidcm:erttq5pcr.3j.primitrianguIu0.8.g.c.cquianguUj8  triangulq,d. 
cf.quarcpcrquartambniuspiopcntio.a.c.ad.d.f.ficut.g.c.ad.c.f.fjficfuit.b.c 
td.e.f.ergopcr.9.quinti.g.c.c.b.c.funtequales  .crgopcr  qninta  piimiai  igulus 
b.eft  equalisangulo.b.g.c.fi  crgo  ncutcr  ouoifi  anguloy.b  ,?.c.  fueritminoi  re/ 
«o:accidet  ouos  angulos  vnius  trianguH  no  cffc  minoics  ouobus  rcctts:  qo'  effe 
non  poteft  pcr.  32.primi  Qi>  fi  Vterqj  fucrit  minoi  recto:erit  agulus.a.g.c.maioi 
rccto per.i  j.piimi:quare ? angulus.e.fibi  cqualis  eft ctiam rectomaioi  qdc  con 
tra  ppotbc.quarc  ocftructo  oppofito  rcmanct  piopofitfi:  opojtct  aut  vtrfiqj  an/ 
juloium  rdiquojz  aut  neutrfi  cffe  minoiem  recto.poffibile  enim  eft  in  epdcm  tirj/ 
angulo  vt  in  triagulo.a.b.c.liitcam.g.c.eecquaie.b.c .?  io  erit.a.c.ad  vtraq?  ca? 
vna  pjopojtio  pcr-7.quinti.Tlcc  tame  crunt  trianguli.a.g.c.  i.a.  b.c.  cquianguli 
quauis  vnus  angulus  vnius  fit  cqualis  vni  angulo  atterius  immo  idcm  Vt  angu  / 
lus.a.cpjopojtiolincc.a  .c.^utcftlatusmagniad.a.c.piouteftlatus  £ui  ficut 
b.c.Iatus  magni.  ad.g.c.  latus  porui .  vtraq,  cnim  eqnalis :  ?  boc  eft  yptcr  boc 
cj>  angutus.g.minoiis  eft  maioi  rcao:?  angutus.b.maiojis  minoJ.TIam  in  omm 
triangulo  ouum  equalium  latcrum  vtcrqj  auguloium  qui  funt  ad  bafim  cft  minot 

KCtO. 

Ifbjopofitio    ,8. 

Jf  ab  ostbogonij  angulo  recto  ad  baftm  linea  perpcncji/ 
cularis  oucatur.  fiet  ouo  trianguli  partiales  toti  tramgu 
lo  i  fibt  inuicem  fimiles.^tnck  etiam  mamfefhim  eft  quta 
in  omni  triangulo  rectangulo  ft  ab  eius  angulo  recto  sA 
_  bafimperpenaicularisbucatur.erit  ipfa  perpcudicuta/ 

rts  inter  ouas  fcctiones  ipfius  bafts  pjupoj  ttonalis.  $temc&  vtrtl  q; 

latus  intcrtotambafimatq^fibi  conteriminale  bafispoJttonem. 

G  Sn  trigonus.a.b.coitbogomus  euifqj  angulus.a  jrectus  a  quo  oucafur.  a.d. 

f2 


LIBER 


perpcndiculsris  ad  bafim.oico  qp  vterq^  ouoaim  rriangulomm  partialium  qui  fu 
a.b.d.a.d.c.fimiliscft  totali triangulo.a.b.cz  vnus eo:um  altcri.  e cuim  vterqj 
tpl'o:umequiangulustotalipcr.j2.p:imi.cocpvtcrq5  eft  o:tbogonius  linfno 
angulo  comuuicat  cum  totali:quarc  t  fibi  inuiccm  funt  equianguli.  tta  cp  angulus 
b.cft  cqualis  angulo.d.a.c.  i  anguius.b.a.d.angulo.c.  i  ouo  angHli  qui  funt.ad 
d.fibi innicem i  augulo.a. totali  equales-.quare pcr.4.buius latera  equos  co:um 
angulos  refpicicntia.funt  p:opo:tionalia:ergo  per  oimmtioncm  funt  funiles  :q6 
eft  p:opofttum:vtruq5  «racf.cr  bis  euidcnter  apparer.* 

1fb:opofitio  .9. 
^abue  lineis  p:opofttis  tertiam  inter  eas  fab  p:opo:tio 
ndlitate  continua  collocare. 

GBint  oue  linec  p:opofite.a.b.c.c.inter  quas  volo  vnam  lineam  iu 
p:opo:tionalitate  continua  collocare.  Sdiungam  vnam  caru^  alre/ 
ri  fitqj  tota  er.  cis  compofita.a.d.ita  cp.b.d.fit  equale.o?  fupcr  to/ 
t3moefcribofcmicirculum.a.c.d.t  p:oduco  .e.b.vfcp  ad  circumfercntiam  per/ 
pcndicularemadlincam.a.d.oicoliucam.b.e.effe  que  qucnmus  :p:oducoenim 
lincas.e.a.t.e.d.eritq;  pcr.  jo.  tcrtij  angulus.c.  totatis  rectus  :quare  pcr  p:imam 
parte  co::e^p:emirTc<#po:tio.9,b,9d.b.e.ficiJf  .b.e.ad.b.  d.  q6  eft  p:opofitum. 

1Jb:opofttio   .10. 

|  ^abus  Imcis  fcaris  tcrtiam  eie  in  continua  p:opo:tiona 
ilitatefnbinngere..; 

MlSint  oue  linee  p:opofite.a.b.?.c.quibus  volo  teftiam  in  cofinua 
|  p:opo:tionalitatc  fubiungere:  coniugo  lineam.c.  angulariter  vt  co/ 
Jj  tingit  «15  linca.a  .b.fttq^.a.  d.fibi  equalis.  1  p:oduco  tinea.a.b.vfq; 
ad.c.oonec  ftat.b.e.cqualis.a.d.i  p:otracta  iinea.b.d.a  puncto.e.ouco  linea  fi/ 
biequidiltantemq5«Iincam.a.d.p:oducoquoufq5  coricurrantin  puncto.  f.oico 
igiturlineam.d.f.cffequequerimus.cft  enimpa  fccunda  buiusp:opo:iio.a.b. 
ad.b.e.fkut.a.d.ad.d.f.fed.a.b.ad.b.e:eftficut.a.b.ad.a.d.per.2.t>te.7.qnin/ 
ii:quare.a.b.ad.a.d.ficut.a.d.ad.d.f.qo  eft  p:opofitum..Q6  fi  p:opofitis  tribus 
liucis  velimus  inucnire  quartam.ad  quam  fit  p:opo:tio  tcrtie  ficut  prime  ad  fecfi 
da>:ex  prima  1  fecuda  fiat  linea  vna  t  toti  copofite  tcrtta:angulariter  adiungat  1 
a  comuni  termio  prime  1  fecunde:  cucatur  linea  ad  ejrtrcmitate  tatic:«  ab  altero 
tcrmino  fecude  oucat  buiclinee  cquidiftans:quoufq5  concurrat  cum  tertia  in  co/ 
tinuu5  ratumq^  p:otracta:eritq5  pcr  fecundam  bnius  linea  q;  bcc  equidiftas  ab/ 
fcindet  quc  queritunqucadmodum  fi  in  bac  ffgura  fuerit  prima.a.b.fecunda.b.c. 
rcrti3.9-d.crtt  quarta.d.f. 

l£»opofitio  .iT. 
^aflignaralineaquotamtH^inbearis  partem  abfcin 
dere. 

GSit.a.b  .linca  affignata  ab  ca  volo  aliquotam  partem  vtpote  ter/ 
tiam  abfcinderc:coniungo  ci  angularittr  vt  contingit  lineam!  inde/ 
finite  quantitatisquefit.a.c.a  quarefeco  tres  cquas  po:tioncs. 


VI 

qttcfinta.d.d.e.c.c.c.cpioclucoUncas.c.b.T.d.f.fibicqutdiftatce.oico.a.f.eiTc 
tcrtiam.a.b.eft  cnim  pcr  feamdam  buius  p:opo:tio.c.d.ad.d.a.ficut.b.f.ad.f.a 
qiiarccoiiumctitn.c.a.ad.d.a.fkut.b.a.ad.f.3.ciimigitur.c.a.fittripla.ad.d.a. 
parct.a.f.cffc  tcrtiam.a.b.quod  cft  piopofitum. 

1(£»20pofltiO     -12. 

(^abus  Imeis  pjopofins  altera  indttufa  altera  per  partcs 
oiuifa:  indiuifam  quidem  ad  modnm  oiuife  oiutdere. 
GSint  ouo  lince  quas  angulariter  vt  continget  coniungam.a.b.c.a 
c.fitq^.a.b.oiuifa  in  tres  vcl  qualcfcuq3  po:tiones  fignatis  i  ea  pun 
ctis.d.c.e.volo  fccundu  eafdcm  po:tiones  oiuidere  lincam.a.c.cum 
igitur  ipfas  angnlaritcr  coiujcero.pwtraba  linea.b.c.c  equidiftantcs.ei.d.fa.e.g 
oico  iftas  cquidiftantcs  oiuidcre  lincam.a.c.in  partcs  p:opo:tionalcs  partib9.a. 
b.ptotrabam  cnim.f.b.cquidiftantc^.a.b.qucfecet.e.g.iij  puncto.k-eritq^  per  fe 
cundabuiusp:opo5tio.g.f.ad.f.a.ficut.c.d.ad.d.a.i.c.g.ad.g.f.fkut.b.k.9d.k 
f.quarc  z  ficut.b.c.ad.e.d.pcr.34.p:imi.?fa>am  partem.7.quintiqo'  cft  .ppofitii 
£>po:tet  autem  fccudam  buius  toticns  repetere  quot  erunt  partes  liuce.a.b.  mi/ 
nus  vna.at  vcro.34.p:imi.'Z  fcptimi  quinti  minus  ouabus. 
Ilbzopofitio  .13. 
mi^fouefuperficiesequidiftantium  lateram  quarumvmis 
fansulusvnius  vni  anguloalteriusequalisequales  fue/ 
irint  latcra  ouos  cquos  angulos  continentia  murekefia  ee 
Si  vcro  latera  ouos  equos  angulos  cotinetia  mutekefta 
fucrint  ouas  fuper  ftcics  cquales  effc  necefle  eft. 
GSintoucfuperficics.a.b.c.d.-r.c.e.f.g.equidtftantiumlatcrumccqualcs.fitq) 
anguIus.c.vniuscquaIisangulo.c.altCTius.oico^po:tione.b.c.ad.c.g.cffeficut 
e.c.ad.c.d.cfi^ponio.b.c.ad.c.g.fucritficut.c.c.ad.c.d.cpKdicti  angulifue/ 
rintadbucequalesioicoillasouasfuperficiesequidiftantiu  lateru  effe  equales. 
coninngam  cnim  eas  angulariter  vidclicet  angnlum.c.  vnius  cum  angulo.c.altcri9 
ita  cp  ouo  latera  carum  que  fnnt.b.c.T.c.g.fiant  linea  vna  reruntq,  fimiliter  ouo 
reUqualatcra.d.c.s,c.e.lineaviia.alioquinfcquerefpcrp:cfentemfpotbe.quecft 
anguium.c.Vntus:clTecqu3lemangulo.c.altcrius.tper.if.p:imi:partcmcecqua 
lem  toti.coplcbo  itaq,  fupficicm  cquidiftautmm  laterum  p:oductis  lincis.a.d.f.f 
g.quoufq^  concurrant  in.b.eritq,  pcr  p:imam  partem.7  .quinti  Vtriufq^  fupcrfi/ 
ciei.a.c.c.c.f.ad  fnpcrficiem.c.b.p:opo:tio  vua:c  quia  per  p:imam  buius  #po? 
tio  fupcrficici.a.c.3d  fup.ficie.c.b.ficut  lince.b.c.ad  lincam.c.  g.  1  fupcrficici.  c.f. 
ad  eandem fuperfictem.c.b.ficut  e.c.ad.c.d.manifefta  e  p:ima  pars  p:opofitc  co 
clnfionis.Scda  ps  fic  p,.p  piima  eni  fcmtus  e  p:opo:tio.b.c.3d.  c.g.  ficut.3.  c.ad 
c.b.'Z.c.c.ad.c.d.ficut.c.f.adeandc.c.b.'zq:pofituecpp:opo:tio.b.c.e3d.c.g.fi 
cut.e.c.ad.c.d.erit  Vtriufqj  0U3?  fupficieru.a.c.c.e.g.ad  fugfide  .c.b.  vti3  p:o/ 
po:tio.crgo  pcr  p:ima  partem.9.quinti.a.c.eft  cqualis.c.f.ficq^  patet  fcea  pars. 

1fc>:opofitio   .14- 

1  ^^^lS  ^ouotrianguliquojumvnusangulusvniusvniangulo 

abfe^   1  alteri9  equalis  eqles  ftierinr.latera  ouos  angulos  equos 

contincntia  cruut  mutekefia.  <5>i  vero  latera  ouos  equos 

angulos  cotinentia  fuerint  mutekefia  ouo  trianguli  eqles 

f5 


1(5 

— I 


0 

a 

b 

c 


LIBER 

cffecoinp:obantur. 

G5mt  ©uo  trianguli.a.b.c.cd.c.equalc6:fitq5 angulus.cviiius cqualis  angnlo 
c.a!rcrius:oico  p:opo:ti6nem.a.c.ad.cc.cffc  ficut.d.cad.cb.?  fi  fucrit  ,ppo:tio 
a.c.ad.c.e.ficur.d.cad.cb.i  p:cdicti  anguli  fucrint  adbuc  cqualcstoico  lllos  On/ 
oi?  triangulos  cfle  cquales-.eoniungam  cnim  cos  gngulariter  ita  cp  latcra.a.ct.c 
c.fiant  linca  vna.eruntq^  fimi!itcr.b.c.c.c.  d.  linca  vna.  alitcr  fcqucrctur  partcm 
c!Te  cqualcm  toti  .per- 1  cprimui  piotrabam  lineam.b.c.critq^  per  p:imam  gtcm 
7.quinti  vtriufqj  oicroy  triangulo^  ad  triangulum.c.b.c.p:opo:tio  vna:  z  q:  pcr 
p:imam  buius  p:imi  co:um  ad  ipfum  eft  ficut.a.cad.cc.i  fecundi  co:um  ad  eii 
dcm  ficut.d.c.ad.c.b.manifefta  cft  p:ima  pars  ppofitc  conclufioms.GSccunda 
pars  ecoucrfo  p:obarur.q:.3.cad.cc.cft  ficut  p:imi  tnanguli  ad  triangulu.b.c.e 
c.d.c.ad.c.b.ficut  fccundi  ad  cundem  pcr  p:imam  buius-.s  quia  pofitum  cft  vt  fit 
a.c.ad.cc.ficut.d.cad.cb.critvtritffq^oictommtriangulomm  adtriangulii.b. 
cc.Vna  p:opo:tio:quare  per  piimatn  gtctn.9.quinri  ipfi  funt  cqualcs.  ficq^  paret 
fccunda  pars. 

1(b:OpofltiO    .if. 

ij  5  faerint  quatuo:  linee  p:opo:tionales  quod  fub  p:ima 
'  i  Vltima  rectangulum  continetur  :cquti  crtt  ei  q6  fub  oua 
bus  reliquis.  £>i  vero  q6  liib  p:ima  i  vltima  continetur 
cquu.5»  fuertt  ci  qo*  fub  ouabus  rcliquis  continetur  rccta/ 
=1  gulutn  :quatuo:  lincas  p:opo:tionales  efle  conucnit. 
C5intquatuo:lincc.a.b.cd.p:opo:tionaka:Sitq5  p:opo:tio.a.  ad.b  .ficut.c 
ad.d.Oico  cj>  fuperficics  contcnta  fub.a.s.d.cqualis  eft  fupcrficici  contcnte  fub.b 
t.c.i  fi  fupcrfiicics  contenta  fub.a.td.cft  cqualis  fugficici  contente  fub.b.  c.c.oi 
co  q>  p:opo:tio.a.ad.b.cft  ficut.cad.d.^iant  cni  fupcrficics  contcnta  fnb.a.i.d 
i  fupcrficies  cotcnra  fub.b.c.c.Si  ergo  cft  ppotfio.a.ad.b.ficut.cad.d.  latcra  il 
larum  fupcrficicrit  erunt  mutekefia.fed  %  anguli  ab  ets  contenti  cqualcs:q:  vtraqj 
cft  rccto?  angulo:ii:  quare  pcr  fcoaj  parte.  1 3  .buius  ipfi  funt  cqualcs  quod  cft  p:i 
mum.GScom  patet  pcr  p:imam  partem  eiufde.fi  cnim  ipfe  funt  eqnales.  q:  ocs 
anguli  carum  funt  rccti :  latcra  carum  erunt  muteWta:quarc  p:opo:tio.a.ad.b. 
ficut.cad.d.quod  eft  fccundum, 

1jb:opofttio   .i<J. 

^fuerinttreslineep:opo:tionales  q6fubp:ima  -:  tcr/ 
tia  rectangului  continetur:  equu  crit  ei  qb  a  lecun  Ja  qua 
drato  oefcribitur.  £>i  vero  qo  fub  p:ima  1  tertia  contine 
tur  equum  eft  ci  quadrato  q6  a  lecunda  p:oducitur:  ipfe 
trcsunec  p:opo:tionalescrunt. 
GSit  p:opo:tio  lincc.a.adlincam.b.ficut  lince.b.ad  lincam.coico  q>  fuperficies 
contcnta  fub.a.i.ccqualis  cft  quadrato.b.t  fi  fuperficics  contcnta  fub.a.c.celt 
equalis  quadrato.b.oico  q>  p:opo:tio.a.ad.b.cft  ficut.b.ad.cboc  autcm  dt  eui/ 
dene  per  p:eccdcntcm  pofita  alia  linea  que  ftt  cqualis.b.ita  cp.b.fit  in  rattonc  fc/ 
cundestcrrie. 


VI 

^{b:opofitto    .  i7- 

3"  fiiennt  ouo  triaguli  fimilcs  p:opo:tio  alterius  ad  altc 

ru  cft  tanci5  ,ppo:tio  caiudibet  fui  latcris  ad  iuu  rclatiuu 

lat9  alteri9'»uplicata.£}foamfcfTtJ  etia  cje  boc  q:  onmium 

triu  linca^  cotiimc  ,ppo:tionaliiJ  qua  ta  e  p:ima  ad  tcrtia 

tanta  erit  iiipficies  coihtuta  fup  p:uua  ad  fugfictc  cofhtu/ 

ta  fup  fcoaiu  .cii  fuerit  ei  fimilis  in  lineationc  i  creatione. 

G6int  ouo  trtanguli.a.b.cj.d.e.f.fimiles  erutqj  p.  oiffmitione  cquianguli  ?  late 

rum  ppo:tionalium.Sit  ago  angulus.a.cqualis  angulo.d.?  angulus.b.  angulo 

c.^angulus.c.anguto.f.crirq^pwpoitio.a.b.ad.d.e.f.a.c.ad.d.f.ficut.b.c.ad.c 

f  .oico  cp  p:opo:tio  trianguli.a.b.c.ad  triangulum.d.c.f.c  ficut  pponio.b.cad.e 

f.oupticata.eubiugat  enim  ftn  oocirina-t  o.buius  ouabus  Ilncts.b.c.c.e.f.tertia 

in  continua  pjoportionalitatc  que  fit.c.g.^traaa  aut  rcfecata.c.b.fi.c.g.fucrit  ca 

tnaio:  aut  mino:  1  pwducatur  linca.g.a.critq^  per  fc6am  partcm.  i^-buius  trisn 

gulus.a.g.c.cquali8triangulo.d.e.f.p:optcridqb,ppo:tio.a.c.ad.d.f.cOficut.e 

f.ad.c.g.-z angnlus.c.cqualis angulo.f.quare  pcr  fcoam  partcm.7.quinti  trian/ 

guli.a.b.c.ad  vtruq^  illo:um  erit  vna  ppo:tio:fcd  pcr  pama  buius  ppojtto  triait 

gu!i.a.b.c.adtnangiilum.a.g.c.cfificutb.c.ad.g.c.atrero(ppoJtio.b.c.ad.c.g 

ricut.b.c.ad.c.f.ouplicataper.io.ocfcrtptionem  quinti:Sppo:tio  trianguli.  a.b. 

c.ad triaiigulum.d.c.f.e  ficut p:opo:tio.b.c.ad.d.f.ouphcata  qo  cft  ppoiituin. 

Si  autc.c.g.fit  cqualis.b.c.erit  pcr  fcoam  gtcm.i4.bu!us  triangulus.a.b.c.cqua/ 

lis  triangulo.d.c.f.equatis  aute  pponio  coponitur  qc  cquali  ouplicata  vcl  tripli/ 

cata  vci quotienfciiq,  fumpta.3ltam  candc  paflione"  poltcmus  code  modo  1  pcr 

cadem  mcdia  oemonftrare  oc  fupcrfkiebus  cquidiftantium  Utcru  fimilibus  fum 

pta  folii ,  1 3  .p:cfentie  loco.  i^.Tlon  ocmonftrat  aute  eam.q:  per  fcqucntcm  ocmo 

ftratur  vnincrfaliter  oc  ommbus  fugficiebus  fimilib^.Quarc  p.  coxicX.  q>  vniucrfa 

Ittcrppotriturrjeomnibusfupficiebusfimitibusnodu  patet  nifi  octrianguiis.f, 

ocmonftrata  fequcntc  patcns  crit  oc  omnibus.pofuit  autem  ipfum  bic  ?  non  in 

fequcnte  qnia  cft  co::ct.buuis.non  autem  fequentis:cj:  modo  cnim  ocmonftratio 

nis  buius  fua  vcritas  manifeftata  cft.non  ex  modo  itlius. 

"Jfbiopofttio   .18. 

[XHbiies  Oue  fupcrficics  liimles  multiansulc  funt  Oiuifibi 

les  in  trian3ulos  fimilcs  atq?  numero  cquales./Efrq?  p/ 

po:tio  alterius  carum  ad  alteram  ftcut  cuiuflibet  fui  latc/ 

ris  ad  limm  relatiuum  latus  alterius  p:opo:tio  Oupticata 

GSint  gratiacxcmpli  ouo  pentbagoni.  a.c.  d.f.b.k.  fites.  oico  q> 

ipfi  funt  oiuifibilcs  in  triangulos  filcs  numcro  eqles.t  q>  ppo:tio  alrcrius  co:um 

ad  altey  e  ficut  .a.b.ad.f  .g.pipoito  ouplicata.  oucaf  ci  lincc  ouc.a.c.i.a.d.iteq) 

f.b.t.f.k.eritq5gp:cfcntefpotbe;cp,.e.buiustriangulu8.3.b.c.cquiangutu3tri 

angnlo.f.g.b.ttriangulus.a.e.d.triangulo.f.l.k.Similitcr  quoq$  pcrbaccoem 

fciam.Si  ab  cqualibns  equalia  oemas  que  re.equa  funt:ait  trianguf.a.c.d.cqui 

angulus  triangulo.f.b.k.llam  ipfi  pentbagoni  pofiti  funt  cquianguli.  t  latc?  p/ 

ponionaliu:?  q:  triangnli  in  quos  oiuidunt  funt  adtnuicc  cquianguli:  Vt  pbatum 

cft.crunt  etia  i  fttes  p.4.buius  %  oiffinitione  fimiliu  fupficicy.quare  cum  ipfi  fint 

nnmcro  cquates  patct  p:imu.  GScom  fic.;ptrabanf  .b.d.quc  fccct.a.c.i  ptmcto 

f  4 


LIBER 


m.t.g.k.ciuerccct.f.b.inputJCfo.n.critq5trian5Dlu3.b.c.d.cqm'jngutu8triango 
to.g.b.k.pcr.e.buiu3?p:cfciucfpotb.qu3rcztrt3ngt.lu3.a.b.m.triansrlo.f.g. 
n.?.a.m.d.f.u.k.ergop.4.buius  p:opo:tto.b.m.ad.g.n.cft  ficut.a.m.ad.  f.n.s 
a.m.ad.f.n.ficut.m.d.ad.it.k.quarcpcr.ii.quintt.b.m.ad.g.n.ficut.m.d.ad.n. 
k.crgoEmutatim.b.m.ad.m.d.ficut.g.ii.ad.ii.k.fcdpcrp:tiiiabuiug.a.b.m.ad 
a.m.d.?.b.c.m.ad.c.m.d.ficut.b.m.ad.m.d.-zpercandc.f.g.n.ad.f  n.k.?.g.n 
b.ad.b.n.k.ficut.g.n.ad.n.k.CTgop.ij.quiitti.a.b.c.ad.a.c.d.ficut.f.g.b.  ad.f. 
b.k.quarepetmurstim.a.b.c.ad.f.g.b.ficut.a.c.d.ad.f.b.  k.cade  roiic,pbabis 
q> x ficut.a.c.d.ad  f.l.k.crgo  p.  i  j.pmi quiti  toti9 petbagoni  ad  totu  petbagonn 
ftcut.a.b.c.ad.f.g.b.pcr  pmiffam  igitur  cft  pjoponio  pcntbagoiti.a.c.d.ad  pcu/ 
Cbagonu.f.b.k.ficut  ,ppo:tio.a.b.ad.f.g.oupltcata  qo  cft  .ppoutfi  :ct  qtio  rurfns 
patct  coneF.p:cccdcnti3.Gaiitcr  pot  ocmoltrari  fcom.cii  cni  tnauguii  i  qtios  pc 
tbagoni  oiuidunt  ftnt  adinuiccm  funilcs:  cric  pcr  p:ecedctcin  p:opo:tio.a.b.c.ad 
fg.b.ficut.b.c.ad.g.b.ouplicata.l.a.c.d.ad.f.b.k.ftcut.c.d.ad.b.  k.oupltcata. 
•j.a.e.d.ad.f.l.k.ficut.d.c.ad.k.l.ouplicata.qjigttur  omncs  bcc,ppo;ti6c3on/ 
pltcatc  funt  equalcs  pjoptcr  boc  qo  pofitu  cft  ftmpias  clfc  cqualcs:crit  rj.13.quin/ 
ti  totius  pentbagoni  ad  totnm  pcntbagonum  ftcut  latci  i3  vnius  ad  fuum  relati/ 
unm.latus  altcrius  p:opo:tio  ouplicata. 

1£>iopofirio  .19. 
c^pia  earam  lincam  Date  fuperficict  fiitiilein  fuperficicm 
Oclcriberc. 

GSir  oata  linca.a.b.fup:a  qua  volo  conftitucrc  fupcrfictcm  fimtle 
oatcfupficiciqucfitpcntbaionanfit.c.d.c.f.g.oiuidobtincpctba 
gonutntriangulosouctisSiueis.d.f.c.d.g.tfugpunciu.a.cofttmo 
angulum equalc angulo.c.oucta linca.a.b.?  fupcr punctii.b.conftttuo  alium an/ 
gulum:qui  fit.a.b.b.cquale  angulo.c.d.g.  ,ptracta  Itnea.b.b.quoufqj  coairra:  cfi 
a.b.inpucto.b.critq5pcr.jz.p:iniiangulus.a.b.b.equali3angiilo.c.g.d.  cidco 
pcr.4.buius  latcra  ouoy  rriangulo:?.g.c.d.t.b.a.b.lppo:ttonaka:facio  quoq>  an 
gulnm.b.b.k.ouctalinca.b.k.cqualcangulo.g.d.f.saiigulum.k.b.l.  ouctaltnea 
b.c.equalcangulo.f.e.d.?angulum.b.b.k.onctalmca.b.k.cqualeangulo.d.g.f. 
1  angulnm.b.k.l.oucta  linea.k.l.cqualc  angulo.d.f.e.eritqj  pcrfcctus  pcmbago/ 
nus  qui  coftituend9  crat  fup  linca.a.b.  cft  cni  equiangulus  oato  pcntbagono  $/ 
ptcr  cqualitatc  angulo^  tnangulo?  in  quos  cft  vtcrqj  oiuifus  fcd  1  lateru  ,ppoi/ 
tionaliu  pjopter  .ppouionalttatc  latcrum  ipfo.u  tnanguloy  qnc  ex.4.  buius  cui/ 
dcnrcr apparct:quarc  pcr  oiffmitioncm fimtlium fupcrhcieru  pentbagonus con/ 
ftitutus  fupcr  lineam.a.b.eft  fimilis  pcntbagono  oato  qo  cft  p:opofitum. 
1£>:opofttio   .20. 

3f  fiierint  mi  fuperficiei  fimiles  quaflibet  fupcrficice  ftbi 
tnuicem  fmules  effe  necefle  eft. 
GSit  vterq^  pentbagbno:um.a..b.c.d.e.f.fimilis  pentbagono.g.b 
k.oico  cos  elTe  fimtles  fibi  muiccm.£ft  cmm  vtcrq;  comm  equian/ 
gulus  pctbagono  .g.b.k.per  loacrfwnc  ciffinitois  filiu  fupcrficiqz: 
quarcfutu  cquiangult  adtiiuicc.Simtlitcrqiioqj  p.  coucrfionc  etufdc  oirTmiiionw 


VI 

p:opoJtto.3.b.3d.g.b.ficut.3.c.ad.g.k.t.g.b.ad.d.c.(icut.g.h.3d.d.f.ergopcr 
equam  p:opo:tionautatcm.a.b.ad.d.c.ficut.a.c.3d.d.f.  eodem  modo  p:obabts 
rcliqua  latera  pentbagono:um.a.b.c.?.d.e.f.contmcntia  cquos  angulos  clfc  p:o 
po:tionalia.pcr  mffinmoncm  itaqj  fimilmm  fuperficicrum  lpfi funt ftmitcs  adui 
uiccm.quod  cft  p:opofitum. 

Ifcjopofitio  ji. 

3f  fuenntquotlibetlinee  p:opo:tionalcs  gtqj  fupbinas 
•j  binas  limilcs  iuperficics  oelignentur.ipfe  quoq?  lupcr 
ficics  erunt  p:opoJtionales.&i  vcro  iuper  biuas  i  binas 
iimilesfupcrficieeconftituteruerint.pponionalesupias 
quoqj  Uncas  p:opo:nonalcs  clle  nccelle  eft. 
GSint  quaiuo:  lincc  p:opo:tiona!cs.a.b.c,d.ficq3  p:opo:tio.a.ad.b.  ficut.c.  ad 
d.oico  cp  fi  fuperficies  fimtlcs  conrtituantur  fupcr.a.s.b.  vtpotc  ouo  pcntbago/ 
ni  fimilcs  z  alie  fimiles  conftituantur  fupcr.cz.d.  vtpotc  ouo  trianguli  fimtles: 
crit  p:opo:tio  pcntbagonowm  ficut  triangulorum.  Q6  fi  fucrint  pcntbagoni  fimi 
ks  i  fiimlitcr  ctia  trianguli  fimilee-.fucritqj  p:opo:tio  pentbagoni  ad  pcmbago/ 
num:ficut  tnanguli  ad  tnansulu:oico  cp  crit  .pponio.a.ad.b.ficut.c.ad.d.eub/ 
iungafenimlincis.a.l.b.c.tliiieis.c.t.d.f.incontinua.ppouionalitatc-.ficutoo 
cct.io.buiU3.eritq3Pcr.z2-quiutttpercqua(ppo:tionaUtatc.a.ad.e.ficut.c.ad.f. 
quia  crgoperco::ec.  i7.butusp:opouio  pentbagono:um:  cficut.a.sd.cztrian/ 
gulouim  ficut.c.ad.f  .crit  p:opouio  pcntbagono:um  ftcut  triaiigulojuiu:^  boc  cft 
primu.GScbm  fic  patct.Sint  ouo  pcntbagont  fim  lcs  %  ouo  trianguli  fries.  fitqj 
p:opo:tio  pcutbagonomm  ficut  triangnlo:um  .oico  cp  p:opo:tio.  a.  ad.b.  c  ficut 
c.ad.d.Sit  cnim.c.ad.g.ficm.a.ad.b.boc  cnim  qualiter  fiat.oictum  cft  fup:a.  10 
buius  .z  fupcr.g.fiat  ficut  oocct.io.buius.fupcrftcies  ftnnlis  illiquc  cft  conftituta 
fnpcr  lincam.c.critq^  pcr  p:emilTam  fimilis  ci  quc  conftituta  cft  fupcr  lineam.d. 
critqj  ctiampcr  p:imam  partan  buius.21.quc  p:opouio  pcutbagoui.a.  ad  pcn/ 
rbagonum.b.cadem  trianguli.c.ad  triangulum.g.fed  cadcm  crat  etiam  triangu/ 
li.c.ad  triangulum.d.crgo  pcr  fccundam  partan.o.quinti  triangutus.  d.eft  cqua 
lis  triangulo.g.ft  quia  funt  fimilcs-.ent  linca.g.equalislince.d.pcr  p:imam  par/ 
tcm.i7.buius cum  fupcr lincas.c.d.s  .g.fint  trianguli:vel pcr  fccundam  partem 
tS.cum fuerint quclibet  alie figurc  multiaugulccqualttas cni  no  .pducit  er  aliqua 
p:opo:tione  ouplicata  vcl  tripl.cata  vel  quoticnfhbct  fumpta  inft  ec  eqli.ertt  ttaq> 
c.ad.d.ftcut.a.ad.b.quod  eft  p:opofitum. 

^zopofitio   .22. 
ftfflncte  fuperficies  cquidiftantium  laterum  que  circa  oia/ 
I  metrum  conifhmt  toti  paralellogramo  atq?  libi  inuicem 
H|iuntfimiles. 
||GSit  vt  tn  paralcdogramo.b.d.cuius  otamcter.a.c.  confiftant  fue 

|  ftcics.g.b.^.f  .k.cquidiftatiu  latetu.circa  oiamctrfi.oico  cas  ec  fttes 

toti  gatellogramo  1  fibi  iutce.e  eni  p  fcbas  b9  .b.g.ad.g.cs.d.b.ad.b.c.ficut.a.e 
ad..e.c.crgoconiuncti5.b.c.ad.c.g.i.d.c.3d.c.b.ficut.a.c.ad.c.e.qreE-n.bui9 
b.c.ad.c.g.ficut.d.c.ad.c.b.fcd  etiam  ficut.a.b.ad.e.g.cu.a.b.fit  eqlis.d.c.t.c. 
g.b.c.codemodocrit.3.d.3d.e.b.ficur.a.b.ad.c.g.«.d.c.ad.b.c.quiaergoift3 


h 

c 


LIBER 

paraldlograma  lunt  cquiangula  conftat  pcr  oiffinitionc  fimilinni  fuperficiqj.g.b. 
clTe  filc.b.d.Sili  quoq^  modo.pbaf.f.k.ec  fitc  eide.,ppf  boc  cp.b.a.ad.a.k.^.d.a 
ad.a.f.c  ficur.c  a.ad.a.e.g  fcoaj  bui9 z  c6uiaa(ppoHionalitatc:qre  g.2o.bi,i9.f.k 
c etia ftfe.ir.b.fkq} p,  totu.  lfb:opolitlO  .z). 

f^^CT.S  •»  fos  fpaciogalellogramu  parttale  oifttnctum  totipa 
y$$g$&  ralellogramo  iiimle.atqj  lcDm  fuu  illms  efie  fuci  it:circa. 
"  i  ciufdem  oiametram  conmht. 
I  GSit  ut  in  paraUllogramo.b.d.  it  oiftinctum  paralcllogramii.  f.g. 
ijqo  fit  fibi  fimilcz  fcom  fuu  cc.i.participans  cu  co  in  anguio.c.  oico 
q>  paralcilogramu.f.  g.confiftit  circa  oiamcrru  paralcllogrami  .b.d.z.  cft  bcc  con 
uerfa  p:cccdcnris.p:oduca  cni.a.e.c.quc  fi  fucnt  oiamcter  paralcilogrami.b.d.co 
ftat  p:opofitiim.Siu  autcm  fit.a.b.coiamcrercius.?  oucaf.b.k.  cquidiftans.f. 
c.critq;  pcr  p:emilTam  paraIeilogramu.f.k.finulc  galcllogramo.b.d.crgo  per  con 
nerfioneoiffinitionisfiiniliumfuperftciey.ppomo.b.c.ad.k.c.cficut.d.c.ad.f.c. 
fed  pcr  eande"  coucrfione  oicte  oiffimtionis  ,ppo:tio.b.cad.  g.c.e  ficuc.d.c.ad.f.c 
p:optcridq6palcllogramum.f.g.pofiiumcftl"imilcparalci;ogramo.b.d.ergop« 
1 1  .quinti  p:opo:tio.b.c.ad.g.c  eft  ficur.b.c.ad.k.cvtraqjeni  eft  ficut.d  c.ad.f.c 
quarc  p  fccuda  ptc  nonc  quinti.g.ccft  equaiis.k.cpars  vidcacer  toti  quod  c  im/ 
poffibilc.frit  igitur.a.c.c.oiamctcr  £aldlogrami.b.d.quod  eft  p:opofitum. 

1{B:opofitio  .24. 
nXIfbnium  ©uarum  fupcrficieruiit  cquidiftantium  latcrnm 
quarum  vnue  angulus  vntus  vni  angulo  altcrtns  cqualis 
,ppouio  alterius  ad  alteram  c  que  ^dncttur  ejc  ouab'"1  pzo 
poJtionibus  fuo?  late?  ouos  cquos  augulos  ptincntium 
CSint  oucfugficics equidiftanttu latcru.a.c.i.e.d.fitqj  anguf.b. 
Vmus  cquatis  angulo.b.altcrius.  oico  #(ppo:tiovniusadaitcra(pducra  cftejc 
p:opo:tione.a.b.ad.b.d.t.c.b.ad.b.e.oifponacnimbasouasfupficiespcnitu8 
ficut  oifpofui  cas  in..i  3.buius.adiuncro  ad  vtraqj  paktlogramo.cd.?  ponam  ut 
^poHiolincc.f.adlinca.g.fitficut.a.b.ad.b.d.t.g.ad.b.ficut.c.b.ad.b.cquali/ 
ter  eni  boc  fiat.cictum  eft  fup:a.io.buius:cricq5  pcr  p:ima  buius.f.i  i.quinti.  a.c. 
ad.c.d.ficut.f.ad.g.c.c.d.ad.d.e.ficut.g.ad.b.quarep.22.quintierjtiucqua(p/ 
po:tionalitatc.a.c.ad.d.c.ficut.f.ad.b.  z  quia.f.ad.b.p:oducitur  ejc.f.ad.g.  ?.g; 
ad.b.Vt  oictu  e  in  finc  expofmonis.i  i.oiffinitqis  qnti.crtt  ut.a.cad.d.c.,pducar 
cxcifdr.qrccoftat.pporitu.  l|b:OpontlO    .2j. 

atefupftcici  (imilcm  ahjqj  .ppolite  equalem  ocfignare. 
CSint(ppofitecuefugncicsrcailiiicc.a.penrbagona.23.cxagcna. 
vo!o  faccrc  vna  fugficiem  filein.a.i  cqualc.b.vtraqj  ^ppofita^  fupcr 
ficiey  refoluo  in  tnangulos.a  quidc^  i  triangulos.c.a.d.iB.vcro  i 
triangnlos.c.b.f.g.c  fup.  bafim  fuperficici.a.quc  fit.b.k.coftiruo  fc 
cudii  ooctnna.44.p:imifupcrnciecquidiftantiumIaterum  rectangulam  cqualcm 
c.quefit.b.l.j.l.m.cqualcm.a.c.m.n.cqualcm.d.utfittotafuperficicsequidifta 
tiumlatcrum.b.n.conftitutafupcrbafim  .b.  k.  equalis  pcntbagono  a.  £odem 
modo  fupcr  tincam.k.n  .quc  eft  frn  latus  buius  fupcrficici  conftituo  alia  fuperfi/ 
ciem  rcctangula  eqlcm  cxagono.b.q:  facio.k.o.cqualcm.c.i.o.p.equalc.b.t.p.q 
equale.f.c.q.r.cqualcm.g.vt  fit  tota  rcctangula  fupcrficies.n.r.equatis  cjagono. 


VI 

b.c  pono  pcr.9.buiu8  lincam.f.r.p:opo2tionaic  intcr  lineam.b.  k.z  linca.k.r.  i 
fupcr  cam  fcom  ooctrinani.  i  p.buius  conftitno  fupcrficicm. v.  fimilcm  fupcrficici 
a.Pico  ipfa  cik  qua  querimus  i  cqualcm  fupcrficici.b.cum  cni,  trcs  linec.b.k.f.t, 
c.k.r.fint  centinuc  pwpotfionalcs.?  fupcr  p:ima  i  fccuda  fint  conftitute  fupcr/ 
ficicsfimilcsvidclicet.a.'!.  v.critpcr  co::cl'.i7.buius.3.3d.v.ficut.b.k.  ad.k.r. 
quarc  pcr  p:imam  buius  ficut.b.n.ad.n.r.i  ideo  pcr  primam  partcm  fcptimc  qn 
ti  ficut.a.ad.n.r.?  p:optcr  boc  pcr  fccundam  partcm  einfdem  ficut.a.  ad.b.  itaq5 
pcr  fcbam.  partc.j.quinti.  v.cft  cqualis.b.qr)  eft  pjopofitum.CQri  ctia  poffum9 
c%  pmutata  ^ppojtionalitate  facile  .pbare.quia  cum  fit.  3.3d.v.ficut.b.n.ad.mr. 
crit  pcrmutatim.a.ad.b.n.ficut.v.ad.n.r.iquia.a.cftcciualis.b.ii.erit.v.equa/ 
lisn.r.quare.v.eftetiaequalis.b.pcrbanccomuncfcicntiamiquecuncpvnicci/ 
dcm  funt  cqualia  inter  fc  funt  equah'3.116  eft  aute  neccffariu  vt  fupcrftcies.b.  l.l. 
m.t.m.n.equidiftantiumlaterumcqualcstriangulis.c.a.d.aut  fngficics.k.  o.o. 
p.p.q.-z.q.r.cquales  triangulis.c.b.f.g.fint  rectangnle.  fcd ut angulus qctrinfcc9 
Cupcrficici.l.m.fit  cqualis  angulo  intrinfeco  fupcrficiei.l.b.?  cjftrinfecus.m.n.in/ 
trinfcco.m.l. 5imilitcr quoq3 ut  octrinfecue fupcrficici.k.o.fit  equalis  intrfnfcco 
fupcrficici.b.n.s  gctrinfecus.o.p.intrinfeco.k.o.ficq5  oc  ccteris.  £um  cni5  fic  fuc 
rit  crit  vnaquaq^  lincarum.k.n.'?  fibi  oppofita.b  jn.itcmcp.b.r.i  fibi  oppofira.n 
q.ltnca  vna  pcr  vltlmam partcm-29.p«mi:i per-  i4.cinfdcm:  quotiens  opo:tuc/ 
rit  equalitcr  rcpctitas:p:opter  id  q6  omnes  fupcrficics.b.l.l.m.c.m.n.3tcmq5.k 
o.o.p.p.cj.s.q.r.funt  equidiftantium  laterum  i  angulus  cjtrinfcc9  cuiufq5  fcque/ 
tis  cft  cqualts intrinfeco  ea  pccdentistquare  ouc  fupficiee.b.n.s.n.r.crunt cqui/ 
diftantium  latcru  z  intcr  lincas  equidiftantes,  i  equalis  aUitudinis.  £ctera  crgo 
arsucvt  prius:  1|b:opofitio    .2<S- 

tlTper  oimidiu  batelmeepalellogramu  Oefignatum  ma/ 
mseeopalellogramo  cuioate  Imee  applicatooceftad 
copletione  linee  fil'e  i  fug  oiametruj  conuftens  fupcr  oi 
midium  collocati. 

CSitoatalinca.a.  b.fupicuiuB&imidiu.c.b.coftitiiatrjalcIlosramfi 
c.d.cutus otamcter.b.e.i  ad linca.a.b.appltccf  palcllogramu.a.f.cuius  vnu  lat9 
fccct.c.c.in  puncto^g.ita  cp  ad  coplemcntu  totius  lince.a.b.  oefit  mpjicics.  f.b.q 
fit  fimilisfiipficiei.c.d.?  confiftcs  circa  oiamctru  eius:oico  tunc  q?  psldlogrsmu 
e.d.cft  mai9  galellogramo.a.f  .£ft  cni  p  p:tma  buius.a.g.cqualc.g.  b.-;  p.4j.p:i 
ini.c.f.cqualc.f.d.ergo  per  bac  comnne  fcicntiam:fi  equalibus  cqualia  addae.lc. 
crit  gnomo  coftans  ejc  tribus  paicllogramis  q  funr.c.f.f.b.i.f.d.eqlis  paldlogra 
mo.a.f.quarepalcllogramu.c.d.emaiusgalcllogramo.  a.  f.i  palellogramo.e.f. 
qo  c  p2opofnu.  3dc  ctia  eet  fi  fugficies.a.f.ficrct  aitioi  fupficie.c.d.vt  vidcre  po/ 
tcs  in  fccuuds  figura  i  qu3  etia  per  p:ima  buius.a.g.e  cquale.g.b.  ocmptis  itacp 
vtriq5  ouobus  fupplcmctis  fuperficici.f.b.cycedct  palcllogramu.c.d.  £>3lcllogra/ 
mnm.a.f.in  palcllogrsmo.f.e.       IJhlopofitio    .27. 

]WUlatera  lUperftcte  .ppofita  equu  ei  fup  quelibet  afhgna/ 
ta  linea  paiellogramu  ©efignare  cui  Oelit  ad  coplcda  line 
am  s " 
fuum  < 
locato  minime  maius  ejriftat. 


1  alij  fupficiei.ppofite  ut'e  palellogramu  qo"  fc"6m  eiufdc 
im  effe  paralcllogramo  fuper  oimidium  oate  linec  col/ 


c 

l 

a 

e 

b 

f 

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1 

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9  b 


1  1/ 

a  e  /    b 


LIBER 

G5it  affisnatalima.a.b.cpjopofitus  triangulus.t.pjopofituq^  Ealcllogramum 
d.Volofupcrlincam.a.b.ocftgnare£aldlogramu  equale  triangulo.c.  itacpoefit 
ad  coplcndam  lincam.a.b.paralellogramu  fimilcd.?  fit  ita  condirionatu.  cp  tri/ 
angulas.c.non  fttmaio:palcUogramofiinili.d.coUocato  fup  oimidiu  linec.a.b. 
alioquin  ad  impoffibile  labo:aret  per  p:emtlTam.  Diuido  igttur  linca.a.b.per  e/ 
qualia  in  puncro.e.t  fecundum  oocrrinam.  i  o.buius.fupcr  eius  medietatcm  .e.b 
conftituo  paraldlogramu^.e.f.fimilcd.  i complebo fuper totam  lincam.a.b.pa 
ralellogramu.b.g.quia  igitur.c.uon  efr  maio:  paralcllogramo.  e.f.  fcd  cqualis  a 
aut  mino:  ficut  pofitu  cft.  5i  fncrit  ei  eqlis.crit  palcllogramii  .c.g-.qualc  intcndtf 
g.  3<s.pmi  coadinuatc  pma  p.tco.?  p  oifTinirione  fitiu  fupjicicru  f.2p.bui°.Si  aut 
mio:  fit  mio:  in,fupaficie  aliq  cui  eqlis  i  fitis.d.fiat  pm  00ctna3.2f.bums  que  fit 
b.eritq5.b.fimilis.e.f.pcr.2o.buius.quarc  perconucrfionem  oifftmtionis  cquian 
gula  fibi  z  p:opo:tionalium  latcrum:p:otrabam  igitur  in  rjakllogramo.c  f.oia/ 
mctrum.b.k.?  rcfccabo  latera.k.f.c.ck.fupcrficiei.cf  .ad  menfura  laterum  fup/ 
ficici.b.p:otractis  lineis.l.m.s.n.c.cquidiftantibus  latcnbus  fuperficici.c.  f.fc/ 
cantib9  fe  in  pucto.p.Vt  fupficies.k.p.fit  cqualis  %  fimilis  fup/icici.b.critq^  p.2j. 
buius  punctu.p.in  oiometro.k.b.p:otracta  itaq5.cn.vfq5  ad.a.g.oico  paralcllo 
gramu.a.p.efle  qle  ,pponif  .Decft  cni  ftbi  ad  coplcmctu  lineca.b.pallcUogramu 
p.b.qb  per.22.c20.bums  eft  ftmilc  palcllogramo.d.  Sed  ipfu  etia  palellogramu 
a.p.eft  equale  triangulo.c.£ft  cnim  pcr  p:ima  buius.a.n.equalc.n.b.  crgo  £.45« 
p:imi:«bancc6muncmfctentia5:ficqualibuscqualia"addas.«.paralcllogramu 
a.p.cftcqualegnomoni.n.b.l.-Jquiaiftegnomocftcqualtstriangulo.c.pwptcr 
id  q»  paraldlogramu.e.f.pofitum  fuit  clTe  maius  triangulo.c.in  paralcUogramo 
b.qo  cft  cqualc  paralcllogramo.k.p.patctsp:opofirum. 

IJbJOpofitio  .28. 
]  ^per  oatam  lineam  oatc  fuperficiei  trilatereequum  pa/ 
raleUogramutn  conftituere  .q6  addat  fupercdpletionem 
oatc  lince  fupcrficiem  equidiftantium  lateruj  oate  liiper/ 
|B@Cgyw  ficiei equidiftanrium  laterum  fimilem. 
IGj^^^SjCBit  vt  p:ius  oatalinea.a.b.i  oatus  triangulus.c.oatttmq^  para/ 
lcllogramum.d. volo  luper lincam.a.b.conftitucre galdlogramu  cquale triangu/ 
lo.c.qo'  addat  fuper  totam  linea.a.b.palcllogramu  fimile.d.oiuido  lincam.  a.b.g 
equalia  in  puncto.cc  fupcr  cius  medicratcm.c.b.facio.e.f.fimilcm.d.  rin  q6  00/ 
cet.io.buius.  ■zpmooctrinam  ^.buius.facio.k.l.cui^oiamctru.g.b.  ftmilcm.d 
«equalemouabusfupcrficicbus.e.f.t.c.eritq5pcr-2o.butus.k.l.fimilis.c.f.  fug/ 
pofita  igitur  fuperficie.k.l.fupficiei.e.f.tta  cp  abe  comunicct  in  angulo.g.crit  pa 
2  j.butus  fuperficies.e.f.conftftens  circa  oiamctrum  fuperftciei.  k.I.  quarc  puctu 
b.cft  in  oiametro.g.b.coplcbo  igitur  palcllogramu.a.b.qb  oico  efle  quale  ,ppo/ 
nitur.qocoftat  .ptractis  linea.f.b.vfq^  ad.m.?  Iinea.cb.vfq5  ad.n.£ft  cnim  pcr 
p:imam  partem  buius.a.k.cqualc.k.b.c  idco  pcr-4  j.p:imi  e  etia  eqlcn.f.  addi/ 
to  ergo  Vtriq5.cb.crit  p  coej  fdam.a.b.equale  gnomoni.  c.b.f.  fcd  iftc  gnomo  c 
equalistrianguIo.c.quiaparalcUogramu.k.l.pofitumfuitcqualc  ouab9fuperfici 
cbus.c.f  .cf.crgo  palellogramu.a.b.e  eqle.cz  addit  ad  coplcmetu  lincca.b.pa 
Icllogramu.m.n.cp  p.22.?.2o.b9  c  fife  p.alcUogramp.d.  qre  pftat  pfectu  effe  quod 


VI 


volumus.piolTumus  aut  ad  linca  oata  adiungcre  galdlogramu  equalc  no  folu  tri 
atkrc  fuperficici  pofitc.fcd  i  cuilibct  rccnlinec  figurc  p:opofite  quccunq^  ipla  fuc 
rit  cui  oefit  ad  copleuda  liucam  oatam  f uperficics  fimitis  fupcrficici  cquidiftanri 
um  latcrum  p:opofite:ficut  00C5  picmifTa  obferuata  couditione  cius  nc  labojaur 
ad impoffibile per antc p:cniilTam. vcl  <p addat ad  coplendam  lincam  luperlicie 
equidiftantium  laterum  fimilcm  fuperficici  p:opofitc:ficut  p:opouit  cuctufio  p:c/ 
fens.p:opofitam  cnim  fnpcrficiem  cui  eqnale  paralcllogramu  ocbct  ad  hnea  oa/ 
tam  adiungi.q6  addat  aut  oiminuat  ad  complctiouem  Imee  paralellogramu  fimi 
le  paralcllogramo  oato:rcfolucmus  in  triangulos.c  ipfis  mediantibus  oelcribe/ 
mus  fupcrficicm  equidiftantium  laterum  totali  fuperfictci  p:op  ofitc  equalcm.boc 
autem  qualiter  fiat:*  fi  fcire  votucris.require.2j.buius.oebinc  fupcr  ouplum  ba/ 
fis  eius  equatis  atntudmis  t:iangulum  coftituemus  quc  fi.44.p:imi  oitigentcr  trt 
fpeyeris  paraleltogramo  p:ius  oefignato  inuenics  effc  cqualcm  :quarc  *  fupcrft/ 
tiei  p:opoftte:buic  crgo  triangulo  fi  cqualc  paralcllogramu  ad  lincam  oatam  ad/ 
iunxeris  qo  addat  ad  complemcntum  lince  aut  minuat  paralcllogramu  fimile  pa/ 
raldlogramo  oato  fecundum  q>  oocet  bic  et  p:cmilTa:quod  p:opofitum  crat  te  p_/ 
fccilTcnonoubites.  1(fc>:opofitio    .29. 

Mamlibet  lineam  p:opofitam  fecuudw  p:opo:tionem  ba 
bentem  medium.ouoq^ejrtrema  fecare. 
GSit  p:opofitalinea.a.b.cJ5  volo  oiuidercfccundu  p:opo:tionem 
babenrenvmedium  *  ouo  ertrema  cr.  ipfa  ocfcribo  quadratum  .b.c. 
* ad cius latus.a.c.adiungo ftn  qb  oocct  p:cmiffa paralcllogramu 
cd.cquatc  quadrato.b.c.cp  addat  ad  coplemcntu  lincc.a.c.paralellogramu.a.  d. 
cj> fit fimilcb.c.fitq^ latus galeltogrami.cd.q6 equidiftat.a.c.d.e.  * fccet  lincam 
a.b.inpuucto.f.oicoIinca.a.b.clTeoiuifaminpuncto.f.ficutp:oponitur:efteni 
a.d.quadratum  p:optcr  id  q6  cft  fimile.b.c.quare.a.f.cftkquale.f.d.fcd  *.f.c.cft 
equatis.a.  b.  ptopteridqo  cftcqualis  .a.c.  per.34  p:imi:*quia.c.d.cquale.b.c. 
oempto  vtrtiq^.c.f.erit.a.d.cqualc.c.b.*  angulus.f.  vnius  angulo.f.altcrius.cr/ 
goper.i}.buiuslaterafuntmutckefia:ergo.c.f.ad.f.d.ficur.a.f.ad.f.b.'zq:.c.f. 
tft  equalis.a.b.*.f.d.3.f.erit.a.b.ad.a.f.ficut.a.f.ad.f.b.ergo  per  oiffinitioncm 
eft  oiuifa  ut  piopomtur.^dcm  etiam  poteft  ocmonftrari  ex.i  i.fecundi  -.oiutdatur 
cnim.3.b.inpuncto.f.fmq6ooc5.ii.fecundi:fitq5.e.b.q6coininetur  fubtota.a. 
b.  *  eius  parte  .f.b.  ita  cg  .f.e.fit  equalis.a.b.l.a.d.fit  quadratnm.  a.f.  eft  itaqj 
per  ptcdictam.  1  i.fecundi.e.b.equate.a.d.q6  rcftat  argucre  ut  p:i9:  pcr.i  5  .buius. 
Velfic  cum.a.b.fit  oiuifa  in  puncto.f.fccunctum  q6  oocet.  1 1  fecundi.q»  fit  ex.a.b. 
p:ima  in.f.b.tertiam  clT  cquale  quadrato.a.f.fecundc.  crgo  pcr  fccundam  partc" 
i6.buius  p:opo:tio.a.b.p:ime  ad.a.f.fecunda  cft  ficut.a-f.fecunda  ad.f.b.  tcrtia 
pcr  oiffinitionem  itaq^  oiuifa  eft.a.b.  vt  p:oponitur. 
1fb:opofitlO  .50. 
5  fuerint  ono  trtanguli  fupcr  vnti  angulu  pltituti  quo:u 
ouo  latera  angulu  iuus  continentia  ouobus  altjs  eo:um 
lateribuseqnidiftet.fiierihtq,  tlla  qtuo:  latera  ic6m  equi 
diftantiamrelatap:opo:tionalia.»llos  ouostriangulos 
j  fuper  vna  lineam  rectam  coftitutos  effe  necefle  eft. 
GSmt  ouo  tnanguIU.b.c.d.c.c.pftituti  fup  angulii.a.c.d.utqj.a.c.  eqmdiftas 


0  f 


LIBER 

d.e.f  .d.c.a.b. .«  fit  p!opoma.cad.d.c.ftcnt.a.b.ad.d.ct>ico  <p  oue  bafcs  eo 
rum.b.ct  .c.cfunt  Lnea  vna.£ft  cnitn  angulus.a.equalis  angulo.d  .qma  vterq> 
eoium  cft  equalis  angulo.a.cd.per  piimampartem-29.piimi:igitur  pcr  piefente 
fpotbe.?.<>  .buius ipfi trianguli  funt cquianguli. * angulus.  b.  eft  equalis angulo 
d.ce.i  angulus.a.cb.angulo  .e.quate  pcr  .}2.pitmi:tres  anguli  qui  funt.  ad.c 
funt  cquales  ouobus  rcctis:ipfi  cn'v  equant  tribus  angulis  vtriufhbct  ouoium  tri/ 
anguloium.ergo  p..  i4.piimi.b.e.cft  linca  vna:quod  eft  piopofitum. 
-^rtopofitio    .)i. 
fllR  omni  triangulo  rectangnlo  faperficics  lateris  <p  fub/ 
I  tcnditnr  angnio  recto  equalis  cft  lupcrnctebus  tmo:u  la 
J  terum  angulumrectumcontinentium  pariteracceptis.cu 
|  W  |gg9!  fucrintfimilesciinltneationeicreatione: 
I  fr™  «ssfllfl  Q6  pioponit  penulria  piimi  oe  fuperfictcb9quadratispiopomt 
bic  penultima  fetti  oc  omnibus  fuperficiebus  fimtlibus  .vndc  bcc  cft  illa  tato  vni 
uerfalicn  qnato  fupcrftcics  tatcrata  qdrato.C&it  itacp  triangulus.  rcctaugulus.a 
b.c.cuiusangulus.a.fitrcctus.oicocp  fupcrftcies  conftitwa  ftiperUtus.b.t.eft 
equalisouabusfupcrftcicbusconftitutisfuper.a.b.^.a.c.  cujomnestrcs  fupcr/ 
ficics  fuerint  fimiles  m  figura  %  fitmoncam  perpendicularem.a.d.ad  lincam.b.c 
critq5perfecundapartemcoiiet'.8.buiuspio?o:tio.b.c.ad.c.a.f;cut.c.a.ad.d.t. 
t.c.b.ad.b.a.ficut.b.a.ad.d.b.6iitaq5fupcrqualibcttrinlincaium.b.c.c.a.«.a 
b.ftat  fupficies fimilis  alijs  in  ftgura i  fitu.crit per ccwcf .u.buius  ppoitio  (up./ 
ficici  coftitutc  fup.b.c  pma.ad  coftituta  fup.c.a.fcoaj  ftcut.b.c.pinc  ad.d.cttia  i 
ite  eiufde  fupftciei  coftttute  fuc>  b.c.pma  ad  coftituta  fup  a.b.fcoaj  licut.b.c.  pme 
ad.d.b.ttia  p  ideconef.qrc  p  c6ucrfa(ppoition«litate  fupficiei.a.cad  fup.ticic.cb 
ficut.cd.ad.cb.s  fitV  fupficicl.a.b.ad  ffffcie.b.cftcut  .b.d.ad  ifftcie-b.c.z  ponat 
a.c  pma'Z.c.b.fc6a?qrta?.c.d.fupftciesttia.«.a.b.  fugficicsquita.  *.b.d.  fupfi 
cics  ferta.*  arguaf  g  .24-quiti  qo  pioposio  fnpcrftcict  conftirute  fupcr.b.c.  ad. 
©uasfuBficie8Conftituta8fupcr.c.a.«.8.b.fimul.eficut.b.c.ad.c.d.«.d.b.fimu! 
qmaigitur  .b.c.cft  cqualis  ouabusUneis.cd.f.d.b.fimul  fnmptis  .etit  fupcrfi/ 
cics  couftituta  fupcr.b.c.cqualis  ouabus  fuperficiebtts  confhtutis  fupcr.ca.c.a. 
b.fimul  fuptisiqo  cft  ppofitu.G£6ucrfam  quoqj  bu.us  polTumns  factle  ocmon/ 
ftrare  pcr  modu  ocmoftrationis  vltimc  piimi.fit  cni  mangul9.a.b.c  fitqj  fupcr/ 
ficies  conftituta  fug.b.ccqualis  ouabus  fuperficicbus  conftitutis  fupcr  ouas  line 
as.a.b.i.a.cfibi  fimilibus.oico  q>  anguius.a.cft  reaus:pona  cnim  angulu.ca. 
d.rcctu.s  Itnea.a.d.cqle.a.b.?  daudo  ffftcic  oucta  linea.d.c.eritqs  p  bac.  3 1  .fupfi 
cies  coftituta  fnp.  .cd.eqlts  ouab9  coftitutl  ff  ouas  lieas.c.a.c.a.d.fibi  fittb9.qrc 
ctia  coftitute  fug.b.cftW  fiK.bcc  cni  pofita  c  ec.Us  ouabus  c6ftitutisfup..a.b.?.a 
cfibt  fifibus-.crit  crgo  linea.b.cequalis.cd.ciuarc  p.8.p:imi  angnlus.  a.  e  reaus 
qocftpiopofitum.  Ifcnopolitio    .?*•     .      .         ,    ..   , 

3f  in  circulisequalibns  mp:a  centru  nuc  fup:a  ctrcufcre 
tiam  anguliconftifant  .eritanguto:um  p:opo:tiotancJ5 
p:opo:tio  arcuu  illos  angulos  fufctpicnrinm. 
GSintciTculi.a.b.c.cuiu8Ccnnu.d.c.eif.g.cuius  centru.b.  eqles: 
s-J  fup  quo?  centra  fiant  ouo  anguli.b.d.cz.f.b.g.c  fup  eo^  circftfcrc 
xm  altj  ouo  qui  fint.b.a.ct.f.cs.oico  cp^poitio  angulo?  ra  eo?2  q  fut  fup  cctra 


VII 


q5  co:um  qui  fupcr  circufcrcutias:eft  ficut  arcus.b.c.ad  arcum.f.g.cotinuabo  eri 
illis  ouobus  arcubus  alios  arcus  equales.fiue  fcom  cundc  numeruimfiuc  fecuiidu 
Oiucrfos:fitci5  arcus.k.b.equalis.b.c?  vterqj  ouojuui  arcuum.l.m.U.l.equalis 
f.g.cp:oducamttnca3.k.d.k.a.m.b.l.b.m.c.?.l.c.  eruntq3  pa-2s.tert.1j  anguli 
qui  funt  ad.d.adinuiccm  cquales.5imilitcr  quoqs  i  qui  funt  ad.b.adinuice  equa 
les.jjdem etiam oc bis qui fut  ad.a.s oc  bis qui  fut ad.c.  ftcut igit  arcus.k.c.  eft 
multiplcjcarcus.b.cntaangulus.k.d.c.anguli.b.d.c.iangulus.k.a.c.anguli.b.a 
c.ftmiliter  ficut  arcus.m.g.eft  multiplcr.  arcus.f.g.ita  angulus.nv.b.g.anguli.f.b. 
g.?  angulus.m.c.g.anguli.f.e.g.fed  fi  arcus.k.c.cft  cqualis  arcui.  m.g.  angulus 
k.d.c.eftcqualisanguIo.m.b.g.?angulu8.k.a.c.angulo.m.c.g.tfimaio:maio 
tcs.z (i  mino: mino:es  per.2<s.tertij.per oiftimrionem  itaqj  incontinuc  p:opo:/ 
tionalitatis  p:opo:tio  arcus.b.c.adarcum.f.g.eft  ficut  anguli.b.d.c.  ad  anguuij 
f.b.g.c  ficut  anguli.b.a.c.ad  angulum.f.c.g.quod  cft  p:opofitum.  3dem  intclli/ 
ge  in  eodcm  circulo.    £jcpucit  liber  fextus.3ncipit  liber  feptimus. 

Iftttaseft  qu^  \?rta  queq^  resvna  oicituf-. 
C IB  umcrus  eft  multttudo  ejc  vmtatibus  co 
pofita  CTRaturalisfcrtesnumero:um  otci 
tur  ui  qua  fccundti  vnitatts  additionem  fit 
ipfojum  computatto.C^Differcntia  nnme/ 
ro:um  appellatur  numerus quo  mato:  ba/ 
budataimuo:e.C"iRunierusp:imu8  0tcit 
qui  ibla  vmtate  mctuur.CBnmerus  com  / 
pofitus  Otcttur  quc  alius  numcrus  metitur. 
CTRumeri  contra  fe  p:imi  oicunf  .qm  nullo 
numcroexccpta  fola  vnitate  numcrantur. 


ClRumeriaJinuicemcompolltilme  comumcantes  oicuntur  .quos 
alius  numerus  0,3  vmtas  mctitur.nullufq^  eo:um  cft  ad  aliu  p:imus. 
ClRumerusperaliuni  multiplicarioicttur.qui  totiens  iibi  coacer/ 
natur .  quotiens  in  multiplicaute  cft  vnitas.  C  1fc»:oductus  vero  oi/ 
citur  qui  er.  eo:um  multtplicatione  cretcit.  C IB  umerus  alium  nume 
rarcoiciturquifecundualique  multiphcatus  illu^dticu.Gl^arse 
numerusnnmerimino:mato:iscum  mino:  maio:em  numerat./£t 
qui  numeratur  numerantismulttplc);  appellatur.  Ci£>enominaseft 
numerus  fecudu  quc  pars  fuintf  m  luo  toto.C&imiles  oicuntur  par 
tes  que  ab  eodem  uumero  oenominantur .  Cljbhma.fimpla  uumert 
pars  eft  vnitas.G /Suando  ouo  numcri  partem  babuerint  comunem 
totpartes  maio:is  oicetur  efte  mino:.quotiens  eadcm  pars  fuertt  in 
mino:e.toteveroquotiensupfafueritin  maio:e.iGlBumeri  adnu/ 
merum  oicttur  p:opo:tio  mmo:is  quidem  ad  maio:em  in  eo  quod  e 
maio:isparsvelpartes.£)C>aio:isvcroad  mmo:em  iecunducpeu 
continetieiuspartemvcl  partes.CCum  faerint  quotlibetnutneri 
cotinuc  ^»po:tionales  Oicef  ,ppo:tio  p:imi  ad  terttu  ficut  p:imi  lcom 
ouplicata  ad  qrtu  Vero  triplicata.C/Cu  cotmuate  fuerit  eede  vcl  01/ 
uerfe,pp02tione8  Oicef^ppoMio  p:imi  ad  vUimu  ej;  omnib^cdpoiita. 


LIBER 


CeDenomtnatio  bicirar  p:opo:tiouis  mino:is  quicle  nameri  ad  ma/ 
io:cm  pars.vcl  partcs  ipfius  mino:is.que  in  maio:e  litnt  .«QDaions 
autemadmmo:cmtotum.Vcl  totum?  parsvel  partc6:p:outmaktt 
fupcrflutt.G£)imtlc0fiuevnaalijcadcinotcurar  p:opo:tiones  qne 
candcmOcnominattonemrecipiuiit.X)DaiozvcroquemaioJc.i36i/ 
no:  autem  que nuno:em.GTBumcri vcro  quo?  ,ppo:tio vna:,ppo: 
tionalcsappellanmr.C^erminiftueradicesotcuntquibus  in  cade 
,ppo:tione  mino:es  fumi  ipofftbile  eft .     Glfcetitioues  funt  quacu 
raoJ.GCmltbet numcro  quotlibet polTe fumi  equales p:out  Itbet.vC 
multipliccs.GiSuoUbet  uumero  alique  quatultbet  fumerc  poflc  ma 
to:em.G0eriem  numero:um  ininftnitum  polTe  p:occdere.  GlBul/ 
lu5  numey  in  infinitu  polTc  oiminui.      CComunes  auiir.i  coceptio 
nes  fnnt  ecce.  C/Omnis  pars  mino:  cft  fuo  toto.GzQuicunqj  ciufde 
ftue  equalium  fuerint  equc  multipUccs-.ipft  quoq?  eru  t  cqtes.C  £2ui 
buside  numcrus  cque  multiplcr,  fuerit  Itue  quo:u5  eque  multiplices 
fuerintequa!es:?ipliertameruntequales.C/6>mnis  numeri  parse 
vnitas  ab  ipfo  oenominata.C  iOmnis  pars  eft  mino:  que  maio:e  ba 
bet  ocnominationeimaio:  vero  quc  mtno:cm.  CiQuiltbct  numerus 
toras  eft  ab  vnitate.quota  pars  iplius  c  vnitas.  Gi_3uicunq5  numcr? 
tnvnttatcm  oucitur.feiplum  p:oductt.  Sinitas  quoqjin  quccuq^Ou 
cta  pioduciteundem.  G/Quicunq^  numerus  numcrat  ouosmumerat 
quoq5c6pofttumexiUis.Ci0uicunq5numeru8numerataliquc:nu/ 
mcrat  omnem  numeratum  ab  illo.GjQuicunq^  numcrus  numerat  to 
ram  i  oetractunr.numerat  reftdnum. 

1£>:opolitio  .1 
3f  amaio:eouo:um  numeroy  mino?  oetrabatur.  ooncc 
mtnus  eo  fuperftt.&c  ocinde  »e  mino:e  ipliim  reliquum 
oonec  minus  eo  rclinquatur:  _f  teq^  a  rcliquo  p:imo  rdi 
quu  fecundu  quoulq^  mtnus  eo  fuperfitiatq^in  buiufce/ 
_JJ  modi  conttnua  Oetractione  nullus  fitcrit  rcliquus:qui  an 
tem  relicmm  numeret  Vfq5  ad  Vmtatctmeos  ouos  numeros  contra  fe 
p:imos  cffe  necefle  eft. 

CSint  ouo  numeri.a.b.c.c.d.c.d.mino:  ectrabaturq^.e.d.cjc.a.b  .quotiens  po' 
teft:«  fit  rcfiduum.c.b.qui  crit  minoj.c.d.alioquin  poffct  c%  ipfo  adbuc  octrabi.c 
d.oetrabatur  i  ipfe.c.b.qc.c.d.quotiens  poteft.fitq^  refiduii.f.d.fed  t.f.d.octra^ 
batur  er.e.b  .quoricns  potcfr:  i  fi  renduum.g.b.g;  fit  vnitas.  oico  tunc  ouos  nu  > 
meros.a.b.c.c.d.effc contra fc p:imos.5i cnim funrcopofiti  numcrabit cos  co/ 
munitcr  pcr  oiffinitione  aliquis  numcr9  p:ctcr  vmtatcm  qm  (it.b.t  quia.b.nume' 
rat.c.d.numcrabit.a.c.per  pcnultima  c6ccpttonc:«quia  idcm  numcrat.  a.b.  nu/ 
merabit  etiam.c.b.pa  vltima  coccptione.crgo  c.c.f.per  penult.  quare  i  .f.d.  pcr 
vltima.crgo  c.g.c.per  pcnult.crgo  «.g.b.p  Mli.l  quia.g.b.  eft  Vmras.  fcqutf  nu/ 
merum  effe  parte  vnitatis  vel  fibi  equalcm:quod  cft  impoffibile:  erunt  igitur.a.b 
c.c.d.contra  fe  pjimi  quodeft  pjopofitum.  GQ6  ft  ouo  numeri  .a.b .  i.cd.  fint 
contra  fe  pjimi.non  erit  in  bac  mutua  octracttone  ftatus  antccJ5  ad  vnitatem  p/ 
ueuiatur.fteftiftudconuerfumetosijauctoj  pjoponit.  Staiitc"  inbac  mutua 


VII 

octractione  fucrit  ftatus  anfccfe  perucni3tur  ad  vnit9tcnv.fft  vt.g.b.fft  numcrus 
qtie  oetrabatur  ab.f.d.i  nibil  fit  rcfidtm.igitur.g.b.numcrat.f  .d.crgo  g  pcnuf. 
conccpt.nnmcrat  i.c.%.1  quia  ctiam  numcrat  fc  ipfu  numcrabit  g  antcpenuf.co ' 
ccpt.totum.cb.cr50  pcr  penuf.numerat.cf.fcd  oftenfum  cft  prius  cp  numcrat.f 
d.crgo  per  antcpeuuf.numcrat  totum.c.d.quarc  p  pcnuf.numcrat.a.ct  q:  ofte/ 
fum  cft  prius  q>  etia  numerat.c.b.fcquitur  pcr  aiuepcnuF.vt  etiam  numerct.  a.b. 
quia  igitur  numcriis.g.b.numcrat  vtruq3  ouoy  numcroy.a.b.^.cd.numeri.a.b 
s.cd.funt  copofitimo  igitur  contra  fc  primi  qo  eft  contra  ypotbc.  Gper  banc  er^ 
go  viam  p:opofttis  quibufqj  ouobus  numcris  inucftigamus  vtru  ipfi  ftnt  coiura 
fc  primi.ff  cnim  tali  facta  mutua  octractionc  pcrucniat  ad  vniratcm.fpfi  funt  coii' 
tra  fe  primi.Si  autem  fit  ftatus  antcifc  perueniat  ad  Vnitate  ipfi  funt  compofiti. 
I^opofttio .  2 . 
jlTRopofttis  ouobus  numerisadinuicem  compofftisfmarf' 
mum  numcrum  comunem  cosnumerante  inuenire.  ©tri 
manifefhjtneftquiaomms  numerusouosnumeros  nu/ 
merans  numerat  numey  majrimum  ambos  numerantem . 
!  GSintouonumcric6pofiti.a.b.t.cd.mio:.cd.  q:snumerateos 
comuniter  aliquis  numcrus  p  oiffinirionc;  volo  inucnirc  marimii  nurneru  cos  co ' 
muiiiter  numcrate.  frn  modu  1  fimilitudine  prio:is:minuo  mio:c  oe  maiori  qtio/ 
adpolTum.vidclicct.c.d.oc.a.b.«fitrefiduii.e.b.itcmq5.c.b.oc.c.d.quoadpof/ 
fum.s  fit  refiduu.f.d.c  quia  buius  oiminutio  no  pot  ficri  tfinities  pcr  vlniua  pc/ 
titiotiemmccpot  ctfa  ad  vuirarcpcrueiiirc  in  p:opoftto  pcr  p:cccdciucquia  tnnc 
effciu  numcri  ,ppouti  cotra  fc  primt.  q6cft  contra  ypotb  .ftt  ut  cu  octrajccro.f.d. 
cce.b.quoad  potcro  cp  nibil  ftt  rcfiduu.oico  tunc.f  .d.effc  manmu  numcrum  nu' 
mcrante.a.b.i.cd.Go  cnt  uumerct  cos  patct  pcr  pcnuf.s  antepcnuf.  cocep.  al/ 
tcrnatim  quoticus  opouucrit  rcpctitas  ftcut  in  ocmoiiftrationc  conuerfc  picccdc^ 
tis.Tlnincrat  cni.f.d.cb.q:  cum  ab  ipfo  oetrabitur  quoad  poteft  nibil  ftt  rcfiduu 
crgo  c.cf.per  peuuf.coccp.crgo  i.cd.p.  antcpcnuf.quare  s.a.e.pcr  pcnuF.igitur 
«.a.b.pcrantcpcnutf.i3Dautniillu8niaio:.f.d.iiunierct.a.b.T.cd.ficpatct.  5i 
enimfieripotclt:fitnumcrus.g.maio:.f.d.numera8vtruq5ouo?iiumcroy.a.b. 
c.cd.quiaigitur.g.uumcrat.cd.  numerabitpcrpcnuf.  conccp.a.e.  cq:uume/ 
rat.a.b.numerabit  pervltima.c.b.ergopcrpcnul.numerar.cf.squiaetiamnu/ 
mcrat.c.d.numcrabit  per  vtf  .f.d.mau»  videltc^  mino:e:quod  eft  impoffibile.  £j: 
bocfcifo  .pccffu  tiquet  co::cf .  Ifbzopofitio 

iRopofitis  tribus  numeris  adinuicem  copofttis I majrimu 
numero^  eos  coiter  numcrantium  inucnire. 
Cpiaufq;  banc  tertta  coclufionc  oemoftrcmus:  oemoftrandii  arbi/ 
tramur  ipfi9afis:Videlicct  .ppofttis  tribus  numcris  qualitcr  potcri/ 
mus  ccrtificare  an  ipff  fint  adinuice  compofiti.CSint  itaq^  tres  nu 


mcri.a.b.coe  quibus  Volo  vidcrc  vtru  ipff  fint  adinuicc  copofiti.pcr  prima  igitur 
fnquiro  an  0110  primi  qui  funt  ,a.i.  b.ftnt  adinuice  pmi:qo'  fi  fic  no  eni  t  .a  .b.c.ad 
inuice  copofiti.p  oifrtnirionc.Si  aut.a.t.b.fiit  admuice  copofiti:fit  per  p:cccden 
tcin.d.marim9numeru8  eos  numcras:qui  ff  numcrat.cerut  pcr  oiffiuittone.a.b 
cadnuncc5  compofiti.Si  autc  116  numctat  ipfii  /5  ipfi.c.f.d.quide  funt  contra  fc 
primi.no  erunt.a.b.t.adinnicantopofiti.Tlaqufciiq^  nuiuerarct  eosmumcrarct 

S 


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0 

— i  1.1 


■}C 

a 

\i 

b 

*7 

c 

LIBER 

etiam.d.g  coixLpiccedcntie.ticy,  effent.d.«.c.copofiti  c\6  cft  contra  fpotbe .  Si 
aute.c.«.d.funt  copofiti  erunt  etia.a.b.c.adinnice  copofiti.  Sit  eni  per  piemifia 
e.mapmus  numerans.c.«.d.qui  cria  p>  pcnult.c6cep.nnmerabit.a.«.b.qu3re  per 
©iffinitione.a.b.c.funt  adinuice  copofiti.CSiti  quoq^  mo  fcietur  .ppofitis  quotli 
bct  pluribus  q*5  tribus  an  omnes  fint  ad  inuicem  c6pofiti."fMopofitis  itaq5  trib9 
qui  funt  adinuicem  compofiti.qui  etiam  fint.a.b.c.  volo  inuenire  majimu  nume/ 
rum  numerante  omnes.Sumo  i  m  ooctrina  p:cmiffe.d.majcimu  numerante.  3.* 
b.qui  fi  numerat.c.ipfc  eft  que  qucrimus.alioquin  per  co::ef.p:ecedentis  fcqucre/ 
tur  maio2cm  numerare  mino:em.Si  autem  non  numeret.cerut  tame.c.  «.d.ad/ 
inuicem  copofiti  pcr*fpotbe.«  co::ef.p:ecedentis  e  oiffinitione.  fit  igitur  mayim9 
cos  nnmcrans.e.oico.e.effe  msjcimum  numerante.a.b.c.Q6  enim  eos  numeret 
patct  per  bauc  vlt.fpotbe.que  eft  ipfu(n  effe  mayimii  numerante.c.«.d.«  per  pe/ 
nult.concep.£t  cp  nullus  eo  maio:  nuineret  eos  fic  patet.fit  enim  fi  poteft  fieri.f. 
maio:.e.quinumeret.a.b.c.quicunumerct.a.«.b.numerabitp.co::cf.p:cmiffe.d 
*  quia  etia  numerat.c.numerabit  p.  ide  co::et'.c.maio:  videlicet  mino:em  quod  eft 
impoffibile.Tlon  crit  igitur  numerus  aliquis  maio:.e.numerans.a.b.c.q&  e  p:o/ 
pofitum.GSimili  quoq^  modo  inuenietur  majamus  numerus  numerans  quotli 
bet  plurcs  tribus  adinukcm  compofitos:  vnde  no  opo:tuit  eudidcm  oe  pluribna 
tribus  boc  oocercrquia  idcm  eft  modus  «  ars  in  tribus  i  pluribus.  £jc  vltimo  aut 
buius  oemonftrationis  p:oceffu:poffumus  ctiam  tftud  co::eF.buic  tetrie  condn/ 
fiohi  adijcere.  23nde  manifcftum  eft  cp  omnis  numerus  numerans  quotlibct  ad/ 
inuicem  compofitosmumerat  maximum  numerantem  cos  omnes.«  etiam  mayi/ 
mos  numerantes  binos  «  binos  eo:um. 

•"IfbZOpofltiO     .4- 

jiXlfintumOuoJmnrtatnerozu  inequalium  minojmaiozto 

|aut  pars  eftiaut  partes. 

i  CSiut  ouo  numcri.a.«.b.b.  mino:.  oico  cp.b.  eft  pars  vel  ptes.a; 

{ Sut  eni.b.numerat.a.aut  no.fi  numcrac  pars  eius  e  p.  oiff initione 

jjSi  no  liumcrat  ipfum.aut  ergo  funt  adinuicem  p:imi  aut  no:fi  non 

funt  adinuicem  p:imi:babebunt  per  oiffinitioncmpartem  comune^:  quequoties 
fuerit  in.b.tot partes.a.oicetur effe.b.per oiffinitionem.fi autem fint  adinuiccm 
p:imi:quia  tamcn  omnis  numcri  pars  eft  vnitas  ab  ipfo  oenominata.patet  idcj 
pcrvnitates.  Ifbzopofttio    f. 

~1  3f  fuerit  quatuo*  uumeri  quo:um  pnmus  tota  pars  fecnn 

\  di  quota  tertius  quarti-.erunt  pzimus  i  tertius  pariter  ac/ 

kepti  tota  pars  fecundi «  quarti  pariter  acceptojum  quo/ 

jtap:imusfecuiidi. 
_JC23olcns  eudidcs  bos  lib:os  oc  numcris  aliquo  p:cccdentium  non 
indigere  fed  pcr  fe  ipfos  ftare:  partej  cius  q&  p:opofuit  pcr  p:ima  quinti  oe  qua/ 
titatibus  in  gcncrc:p:oponit  pcr  banc  quinta  buius  fcptimi  oe  numeris.Sint  igi 
tur.4.numeri.a.b.c.d,fitq5  .b.tota pars.a.quota.d.cotco cp.b.«.d.pariter  ac/ 
cepti  fut  tota  pars.3.-7.c.paritaacccptoy:quota.b.eft.a.oiuifvseni.a.«.c.fc6m 
quatitate.b.«.d.argumetarc  ficut  in  p:ima  quinti.erit  cni  ut  totide  funt  gtes.a. 
quot.c.pcr  pofitione:  z  ut  aggrcgatu  er  pma  p.te.9.«  pma.c.fit  cquatc  aggrcgato 
cjc.b.«.d.fimilitCT  quoq5 «  aggregatu  e%  fc&a  p_rc.|3.«  fc&a.c. «  q:  bec  aggregatio 


VII 


rotienspotcft  ficriquoticnscoutinetur.b.in.a.fcquilur  vi  numerus  equalisag, 
gregato  cjc.b.f.d.totiens  cottneac  in  aggregato  cjc.a.«.c.quoticns.  b.contiuctur 
in.a.quareconftatp:opofitu.        Ifbjopofltio    <s 

i|  3  fuerint  quatuoz  numeri  qttoatm  pjimus  tote  ptes  fcoi 

quote  tertius  quarti:enmt  p:imus  i  tertius  parirer  acce/ 

pti  tote  partes  fecundi  i  quarti  pariter  acceptozum.  quo 

tep2imusfecundi. 

G-Q6,ppofuit  pjemiffa  oe  parte:;pponit  ifta  oe  partib*.  Sint  itaq^ 
vt pjius quatuo: numcri.a.b.c.d.fitq^ ut.b.fit  tot  z tote gtcs.a.quct  t quotc  .d. 
e.c.oico  cp.b.c.d.paritcr  acccpti  erunt  tot  i  tote  gtes.a.s.c.pariter  acccptomm: 
quot  i  quotc.b.cft .a .oico  aut  tot  i  totas:q:  p>riurpluraliras  ouobus  numcris  oif 
finitunquoy  alter  numcrato:  oicif  alter  oenominato::ut  cu  oicim°trcs  quinte:tcr 
narius  numerat:quinarius  oenominat.Ouia  igic.b.cft  pres.a.  fit  vt  fint  gtes  ei9 
numerate  ab.b.i  oenominate  a.k.eritqj  fimilitcr  g  pofitione.d.parrcs.c.nume/ 
rate ab.b.s oenoiate  a.k.23na itaq^  pttu.b.fit.e.t  vna gtium.d.  fit.f.  critqj per 
fpotbce.pars.b  .oenominata  ab.b.i  pars.a.oenominata  a.k.  Similiter  quoqj 
■z.f.erit  pars.d.fcom.b.?  p>s.c.fc6m.k.£6pofitus  igitur  c%.c.i.f.  fit.g.  eritq5  per 
pxmiffam.g.gs.b.f.d  .paritcr  acceptoi;  fc6m.b.  itecg  per  eande  erit  pars.  a.cc 
pariter  accepto^  fcdm.k.quare  per.i<s.oiffinitione  crunt.b.cd.pariter  acccpti  g/ 
tes.a.c.c  paritcr  acceptoju  numerate  ab.b.s  oenoiatc  a.  k.eo  q>  eo:um  comunis 
pars  eft.g.mino:is  frn.b.«  maioris  ftnX?  quia  fic  erat.b.a.conftat  jipofitum. 
Gpotes  aute  i  per  banc  i  pjemiffa  q6  ,pponit  oe  quatuo:  numeris  ad  quotlibct 
numaos  ampltare:q>  fi  quotlibet  numcri  minoies  ad  totidem  maio:es  copareuc 
fuaitqj  fingule  finguloz/  tota  pars  aut  partes:quota  vcl  quote  pjimus  f<6i:crunr 
quoq5  omncs  pariter  accepti  tota  pars  aut  gtes  omnium  paritcr  acccptoz;  quota 
vel  quote  pjimus  fcoi.qo  facilc  p:obatur  r>  banc  i  p:emifl'am:  quotiens  opojtuc/ 
rit  repetitas.£t  fi  crederemus  cffe  intentione  eudidis  affumae  q.  p:ius  oemon/ 
ftratis  aliqua  ad  oemonftratione  eo^.-que  bic  p:oponit  e%.  1 5  .quinti-.facile  oemo 
ftraffem1'  banc  fetfam  .Tlunc  autem  q:  videc  oppofitu  alita  eni  fupauacue  p:o 
pofuiffet  multaoenumerisqueoemonftratafuntinquintooe  quantitatibusit» 
gcnae.Tleccffebabuimusp:op:i)svti  oemonftrationibus  tanqua  ejcpuojibus 
nibil  fumentes:folis  buius  fepttmi  contenti  p:incipijs:p:opta  qo  1  paitioncs  1 
coes  animi  coccptioncs  «ppofiti  p:op  Jtas  no  incouenien  tcr  buius  feptimi  p:inci/ 
pioappofuimus. 

IfcHopofitio  .?. 

%  fuertnt  ouo  uumeri  quoium  x>nus  alterius  pars  oetra/ 

baturq^  ab  ambob?  ipfa  ps:  erit  reliquus  tota  es  reliqm 

quotatotustotius. 

Q.Q6  p:oponit  bic  euclides  oc  numais  piopofuit  fupcrius  in  quin 

ta  quinti.oe  quantitatibus  in  genae.Sit  itaq^  ut  quota  pars  cft  to 
tus.a.totius.b.tot9  fit.c.oetractus  ab.a.d.oetracti  .a.b.  oico  q>  tota  erir.c.refi/ 
duns.a.f.rcfidui.b.quota  cft  totus.a.totius.b.?  bec  eft  quafi  couerfa  quinrcSit 
enitn  gpctirione  .c.tota  ps  .g.quora.c.eft.d.aitq^  p.f.tota  ps.a.copofitiejc  .5. 
1  .d.qtiota  cft.c.d.quarc  1  quota  ca.b.igir  per  fcoam  <  oecp  tione  copofitus.  cjc.g, 
?.d.eft  cqualis.b.oempto  itacg  ab  vtroq;  numero.d-erit.g.  cqualis.f.  quarc  cric 

S2 


LIBER 


|S 


4       9 


4»- 


5    <* 


.  tota  pars.f.quota  efr.a.b.tota  enim  crat.cg.quod  cft  p:opofitum. 
1(b:opofitto   8 
ii3faouobusnumerisquo:umalter  alteriuspartes  p:o/ 
pofitis  partes  ille  fubtrabamr.erit  reliquus  ;reltqui  eede 
i  partesquiefttotustorius. 

|Gbcccftquaficduerfafcrte:vtfifit  quoti  quotcptcgcfttotus.a. 
totius.b.totitotc.c.ociractusab.a.d.octracti.a.b.crit.c.rcficlu''.» 


tot  i  totc  ptes.f.refidui.b.quot  z  quotce.a.b.6it  cni.g.vna  ptiu.a.f.b.  vna  par 
tium.c.CTitq,  ,ppter  ypotb.g.tota  Es.a.quota  b.c?  tota.b.quota.  b.d.octrabac 
tgitnr.b.oc.g.i  rcmancat.k.eritq-,  k.p  pmiffa  tota  pars.c.quota.g.  a.?  tota.f.p. 
eandc  quota.g.b.quia  igitnr.e  .i.f.babcnt  partc  comunc  quc  e.k.crit  pcr.  «s:oif/ 
finttione.e.ptcs.f.totquidcquotaparscft.k.e.?totcquotacft.k.f.iquia  tottt 
tote  erat.a.b.patct  pwpofitum. 

IfcrtopofittO    9 
5  fuerint  quatuo:  nnmeri  quo?  p:im?  fcrii  tota  gs  quota 
tertius  quarti:erit  pmutatim  tota  es  aut  gtcs  p:imus  ter/ 
ti  j  quota  pars  aut  partes  fecundus  quarti. 
G6it.a.pnmu3totapar3.b.fc6iquota.c.tertius.d.quarti.fintq5a 

\  ■j.b.minoK3.c.c.d.alitcr  cni  clTet  econuerfo  ci  qo  p:oponit.oico  cp 

qnota  pars  vel  ptcs  cft.a.c.tota  vd  totc  cft.b.d.oiuidanc  cni  .b.  quidc  frn'quati/ 
tate.a.d.vcro  fmi.cernntq^  perlpjcfentem  ypotb.tot  partes.b.quot.d.  1  q:  vna/ 
queq5Etium.b.eftequalis.a.ivnaqq5.d.c.c(taute.a.c.psautptc3  pcr  p:efente 
ypotb.?pcr  qaatuo:  eritvnaqqjpartium.b.fuc  c6pariscrpartibus.d.utp:ima 
p:ime  fc6a  fc6e:ficq5  oe  cctcrts  tota  ps  aut  ptcs  quora  vel  quotc  cft.a.c.pcr.  5  .igi 
turvcl.fi.fub  oifiuncttone  qnoticns  oportueritrcpctitas-.erittotaparsautptes 
b.d.qnota  vel  quote  cft.a.c.quod  cft  p:opofitum. 

1{b:opoftrio  10 
%  fiierint  quatuo  :  numeri  quoy  primns  tote  ptes  feciidc 
quotetcrtiusquarti:eritgmutatim  p:imustota  parsaut 
partes  tcrti  j  quota  vet  quote  fecundus  quarti. 
C6intqnatu02numeriutp:ius  quojsfimilitcr  miuoKS  fint.a.et 
_-J  .b.fitq^.a.totcptcs  .b.  quotc.c.  cft.d.  oico  q>  quota  parsaut  gtes 
cft.a.c.tota  vel  tote  cft .b.d-oiuidantur  cnim  mino:es  iu  partcs  illas  qui  funt.a. 
i.c.cruntq5  pcr  p:cfente  ypotb.tot  partes.a.quot.c?  quia  vnaqq^  cr.  partibus.a 
eft  tota  pars.b.quota  quelibct  cjc  ptibus.ccft.d.boc  eui  babemus  cr.  nfa  fpotbe. 
crit  permutatim  per  p:cmiffam:ut  quota  pars  aut  ptes  c.b.d.tota  vcl  tote  fit  viia 
qqj  er  partibus.a.fue  coparis  er.  partibus.c.p  quinta  igitur  vcl.fi.  fub  oifiunctioe 
quotiens  oportuerit  rcpctitas:erit  tota  pars  aut  ptes.b.d.quota  vel  quotc  e.a.c 
quodcftpwpofitum.  1{b:opoiitio    .11. 

"^^  fiterint  quamo:  numeri  ,ppo:tionales  quoy  p:mr  le/ 

cudo  1  terri?  qrto  ftt  maio:  :erit  fc6s  totapars.aut  partes 

I  p:imi quota  ve!  quote quart^tcrtij .£16  it lc&s  fuerit tota 

1  gs  aut  partes  p:imi  quota  vcl  quote  quartus  tcrtij  quatu 

.|oi  numeros  p:opo:tionalcs  efteconucnict. 

G5itp2opo:tio.a.ad.b.ficut.cad.d.fintq5.a.i.cmaio:c3:oicocpquotapsaut 


VII 

partcs  cft.b.a.tota  Vd  totc  eft.d.c.s  ec6uerfo:erit  eni  p  conncrfione  oiffinitiota 
fimilifi  ,ppo:tionfi  Vt  quotiens.b.in.a.rotiens  fit.d.  in.c.  c  fi  qua  ps  aiit  ptes.b. 
fupcrfluunt  in.a.  tota  pars  aut  ptes.d.  fupftuant  in.c.fi  itaqj  contincaf .  b.in.a. 
finc  fupfluitate  gtis:q:  toticns  finc  fugftmtate  continef  .d.iu.c.erit  per  oiffinirio/ 
ne  fitium  gtium:quota  ps.b.a.tota.d.c.cp  fi  quoticnflibet  contincf  .b.in  .a.cuj  fu 
perfluitatc  partis:q:  toticns  continef  .d.in.c.cu  fugftuitatc  ftfis  ptis  oiftincto  .a. 
ftn.b.ut  fuperfluat.e.atxtf.c.fmt.d.ut  fupctfluat.f.erit  rota  ps.c.b.quota.f  .d.  St 
qi  totiens  continef  .b.in  of3.3.3d.e.quoticus.d.in  of3.c.ad.f.  crit  g  cocm  fciam 
toticns.c.in.a.quoticns.f.in.c.cfiigif.a.t.b.babeat.e.ptcmc6munem:fiHter.c.« 
d.f.fititaq5.e.in.b.quoticns.f.in.d.itemq3.e.in.a.quoticns.f.i.c.critpcr.is.oif/ 
finitione.b.tot  i  tote  ptes.a.quot  i  quote.d.c.Si  aut.b.quotienfhbct  continef  in 
a.cfi  fupfluitatc  quotlibet  gtiutmq:  totiens  continef.d.in.c.cfi  fugfluitate  totidcm 
i  fimiliu  ptium:oiftincro.a.f'm.b.vt  fupftuBt.e.fifiter.c.fm.d.ut  fupcrfluat.f.crit 
e. tot  i  tote  ptcs.b.quot  x  quote.f.d.fumpta  itaq;  vm  et  ipfis  argumentandum 
nt  p:ius:ficq5  patj  p:imu.  GScom  fic.fit.b.a.tota  ps  aut  ptes  quota  vd  quote.d 
c.oico  cperit  ,pporrio.a.ad.b.ficut.c.ad.d.fi  cni  eft  tota  ps  conftat  p:opofitum. 
Si  autem tote  ptes  oiuifis  cis fro partes iiias patcbit  toticns elTe.b.in.a.  quoti/ 
ens.d.in.c?  tota  parre  aut  ptes.b.fuperftuerein.a.quota  aut  quotc.d.fupfluunt 
in.c.p.  oiffinitione  itaqj  cft(ppo:tio.a.ad.b.ficnt.c.ad.d.ficq5  tiquct  totum. 

1{b:opolitio  .izi 

h*5^^*jni  3f  a  onobus  numeris  ftn  fuas  p:opo:tiones  Ouo  nume/ 
}M  C»gM!  ri  oerrabanturxrtt  p:opo:no  reltqtti  ad  rcliqmmi  tartitf 
*  p:opo:tiototiusadtotam. 
G.Q6  p:opofuit  eudides  in.  19.quinti.oe  quatitatib*in  gcncre:p:o/ 
ponit  bic  oe  numcris.vt  fi  fit  p:opo:tio  totius.a  .ad  totum.b.ficut 
c.oetracti.ab.a.ad.d.oetractum.3.b.erit.e.rcfidui.a.ad.f.refiduu.b.ficut.a.ad 
b.Si  enim.a.fit  mino:.b.erit  p  p:efcnte  jpotb.  1  per  couerfione  oiffinitioie.c.to 
ta  pars  aut  ptes.d.quora  vcl  quote  cft.s.b.  pcr.7.igitur  Vel.s.crit.  e.  tota  ps  aut 
panes.f  .quots  vcl  quote  e.a.b.per  Oiffinitione  igitur  erit  ;ppo:tio  vns:  q6  e  p:o/ 
pofitu.Qo  fi.a.fit  maio:.b.erit  per  p:ima  ptem  pmilTe  quota  pars  aut  ptes.b.a. 
tots  vct  totc.d.c.quarc  p.7.vel.$.tora  vel  tote  erit.f.e.itaq;  per  fcoam  parte  p:c/ 
miffe.e.ad.f.ficut.3.3d.b.qu3rcconftatp:opofitum.i:cduntaut  buic.^.c.s.bec 
cnim  fola  cp  ambe  ille  continet.I5oIunt  aut  quids  fcosm  parre  buius  p:obare  pcr 
1 9.quiuti:fcd  fi  boc  intenderct  eudides:cum  ifta  ,pponat  particularitcr  qb  illa  vni 
ucrfalitcr  vsnc  illa  oemonftrata  in  quinto  .ppofuiffet  banc  bic  in  feptimo :  1  quia 
itcrum  non  oemonftrat  cam  fimptr  p.  1  ^.quinti.a t  vcro  ncc  modu  ocmonftratio 
nis  illius  poffunt  affirmare  ad  txmonftratioue  buius  cum  illa  ocmohftrcf  i  quan 
titaribns  in  gencre.g  ^portionalitatcpmutars  quc  infra  oemonftratur  in  nume/ 
ris.£pftimo  sntcm  %  rationabilttcr  conuinci  videtur  euclidem  quc  vultu  ocmon  / 
ftrato:is  arifmetici:gr3tia  occimi  in  quo  fine  numerom  aliqua  p:ccognitione  tra/ 
firc  non  potcrat  conftst  affumerei  idcirco  plurima  co:um  que  in  quinto  oe  quanri 
taribus  in  genere  ocmonftrauit.  bic  rcpetere  oemonftrada  oc  numeris:  quoniam 
per  atia  p:indpia  p:op:ia  videlicct  numcrojum  que  magis  nota  funt  intetTcctui  q'5 

S5 


ix 

a 


•f 


c 

— i  1 

1         6 


LIDER 

a  per  que  ,pce(Tit  tti  quinto  ipfa  oemonftrare  intendiltpjincipia  cnim  quinti  p:o 
ptcrmaliciam  cpatitatuminc6icantiumoimciliafunt:p:incipia  vero  numcro:ii 
magis  vltro  fc  intdlecuii  applicatffacilmfqj  qj  illa.£gcm  cnt  illa  intdlcctu  magis 
oifpofito.  1Jb:opoutio    .1?. 

3f  fuerintquotltbet  numeri  ,ppo:tionale9  quantus  erit 
Vnus  aiis  ad  fuu  pfequete:tantt  erfit  oes  antecedetes  pa  / 
riter  accepti  ad  oes  cofequetcs  pariter  acceptos. 
(LQ6  ,ppoBit  euclidcs  g.  i  j  ^uiiiti  oe  quantitatib9  i  gcncrc  ^pponit 
JjJ  p  banc  oe  numeris-.vt  fi  finr.a.b.  «.cd.?.e.f.,ppo:rionalcs  oico  cp 
q  e,ppo:tio.a.ad.b.ea  eft  q.a.ce.paritcracceptoy  ad.b.  d.f.pariteracccpros.S» 
cnim.a.c.e.fint mino:es.b.d.f.eric pcr couerfione oiffinirionis quota ge aut  par 
tcs.a.b.tota  vcl  rote.cd.i.e.f.  per.j.crgo  vd  per  .u.quotiens  opo:tuerit  rcpcti/ 
tss:crit  quota  pars  vd  partcs.a.b.tota  vd  totc.a.c.e.pariter  acccpti.  b.d.f.  pa/ 
ritcr  acccptoy:quare  pcr  oiflfinitione  #po:rio  Vna.&i  autcm.a.cc.fimt  maio:es 
b.d.f.critpcrp:imampartem.u.quota  pars  vdpartcs.b.a.tota  vdtote.  d.ci.f 
e.pcr.f .crgo  vcl.<J.quoticns  opo:tuerit repctiras:erit quota pars  vd partcs.b.a. 
tota  vel  tote.b.d.f.pariter  accepti.a.ce.pariter  accepto:um.iraq5  per  fcoam  par 
tem.ii.p:opo:tio.a.ad.b.ficut.a.c.c.pariteraccepto:umad.b.d.f.pariteracce/ 
ptos:quodeft  p:opofitnm. 

Tjbiopofitio  .14. 
%  fuerint  quatuo:  numeri  p:opo:tionales:permatarttre 
quoqj  p:opo:tionales  erunt. 
|  CLZTSodiiargucdiqui  oiciturp:opo:tiona!itaspermutataqudoe/ 
monftrarlit  eudidcs  pcr.  itf.quinti  in  quatitatibus  in  gcncre:,pponiE 
bic  ocmonftrandu  i  numeris:  vt  Si  fit(ppo:rto.a.ad.b.ficuc.cad.d 
crit  pcrmut"atim.a.ad.cficut.b.ad.d.erit  eni.a.maio:.b.aut  mino::  fitr  qooqj  et 
maio:.caut  mino:.5it  itaqj  p:imo  mino:  vtroqyerit  ergo  ppKfcntcmfpotbe.ee 
conuerfioncm  oiffinitionis.a.tota  pars  aut  parres.b.quota  vd  quotc.cd.pcr.9. 
itaqj  vd.  lo.erit  pmuratim.a.tora  pars  aut  ptes.c.quota  vd  quotc.b.d.quarc  pcr 
Otrtinitione  p:opo:tio  vna.Sit  igitur.a.maio:  vrrocp  :critq}  pcr  primam  partcrrt 
11  .vr  quora  pars  aut  partes  eft.b.a.rora  vd  rotc  fit.d.c  quare  per.9.  vel.  ictota 
pars  aut  gtc3  erit.b.d.quora  vcl  qoorc.ca.igirur  pcr  fc6am  parte .  1  i.crit.a.ad.c. 
ficut.b.ad.d.Sittertio.a.maio:.b.imino:.c.erJtq5f)p:imapte.ii.totaparsant 
gtes.b.a.quora  vd  quorc.d.cquare  pcr.9.vcl  .lo.quora  vd  quotc  cft.a.c  tota  vd 
toteerit.b.d.pcr  oiffinitione  itactj  ,ppo:tio  vna:23ltimo  quoqj  fit.a.mio:.b.  ma 
io:q5.ccritq5  vt  tota  pars  aut  partes  fit.cd.quota  vd  quorc  eft.a.b.  per.9.  itaqj 
vd.  lo.crit  tota  vd  tote.d.b.quota  vel  quote.ca.  quare  pcr  fccunda  partem.  1  i.t» 
ad.d.ficut.a.ad.cftcq5  conftat  p:opofitum:buic  aute  ccduf  .9.  vd.  10 .  q:lxc  fola 
qo  ambc  illc  p:oponit.         "}|b:opofttiO    .15. 

3ftiCTintquotlibanumenalijq5fc6fn  eo:um  numermn 
omncfqi  two  ejcp:io:ibus  fcdui  p:opo:tioncm  omnium 
Ouo:a5  ejc  pofierio:ibus]  in  p:opo:tione  equalitatis  p:o 
po:tionaleserunt. 

GDfiodii  argucndi  qui  oicit  cqua,ppo:tionalitas  qua  ocmonYtrauit 
eucltdcs  p..z2.quinti  oe  quatitatib9  tn  gcncrc  .pponit  bic  ocmoftradu  in  nnmcrfe 


VII 

Oircctc(ppojtt6al!tatis:cquaaut^»po7tioatitatcquaocm6ftrauttpcr.2j-quintt:tc 
quatitatibus  indircctc  ,ppo:tionalit3tis  non  .pponit  ocmoftradu  i  raimeris:fed  ca 
oentofrrabim9  infra  fug.  i9.buius.Tlcc  cft  ncccffariu  ut  pdcmolrremus  i  numcris 
q6  ocmoftrattl  c  p.i  i .  quinti  oe  quanrattb9  i  gcnere  videlj  fi  quotlib^  .ppouioes  i 
numerisfuerint  vni  cqles  vcl  eede  ipfas  ee  ftbi  cqles  vcl  cafdc  .boc  eni  manifefhT  e 

pcr  oiffinirione  ut  fi.a.ad.cz.cad.f.ftt  ficut.b.ad.d.ent  tam.a.c.qVc.f.tota  i?s 
aut  partes.quota  vcl  quotc.b.d.aut  totiens  contincbir.a.c.f.c.f.quorictis.b.d.t 
totaparsaurparresfupcrflucnr.c.in.a.c.f.in.e.quora  velquore.  d.in.b.  q:erg'o 
quotaparsautEtese.a.c.totavdtotceft.e.f.autquotiens.a.coutinct.c.torteus 
e.f.rquotaparsautpartes.c.fnperfluunr.in.a.totavelrote.f.m.e.erirpcroilTi/ 
nitione.a.ad.c.ficut.e.ad.f.5int  igitur  nt  .pponitur  numeri.a.b.e.  z  alt|  rottdciu 
c.d.f.fitqj.a.ad.b.ficut.c.ad.d.i.b.ad.e.ficut.d.ad.f.oico  9  crtr  in  equa  ,ppo:/ 
ttonalitarc.a.ad.e.ficur.c.ad.f.criteni  perp:cmilTam.a.3d.c.ficut.b.ad.d.  fed  z 
b.ad.d.ficut.e.ad.f.quarc.a.ad.c.ftcut.c.ad.f.igtf  pcreande.a.ad.e.ficur  c  ad  f 
ide  erit  fumptis  plunb9:ficq3  coftar  ,ppofitu.GQm  aut  cuclides  cctcras  quatuo: 
fpecies  ,ppo:ti6alit3tis  quc  funt  conucrfa:coniucta:oifiuncta:cucrfa  :non  .pponit 
eemonftrandas  in  numcrisxouentcs  arbirramur  cas  quas  aucto:  tanqj  factlc  oc 
monftrabilcs  ptcrmifit  ocmonltrare:1b:imu  iraq>  oemotiftrabimus  conuerfa:vt 
fi  fit.a.ad.b.ftcut.c.ad.d.oico  q>  crir  ecouerfo.b.ad.a.ficut.d.ad.c.fi  eni  fucrir.a 
mino:  b.tunc  qttoq;  erir.c.mino:.d.'Z  rora  pars  aut  partes.  a.b  .quota  vd  quotc 
c.d.quarc  pcr  fcoam  prem.  1  i.erit.b.ad.a.ficut.d.ad.c.fi  autcm  fuerir.a.maio:.b. 
erit  quoq,  c.c.maio:.d.t  per  p:imam  partem.  1 1  .b.  tota  pars  aut  parres.a.quota 
vdquotc.d.c.peroilTinitioncmigitur.b.ad.a.ficut.d.ad.c. 
C  '£>ifnmctam  pzopoJttonalitatem  oftendere.   GHt  fi  fit.a.b.ad.  b.fi 
tur.c.d.ad.d.erit.a.ad.b.ficut.c.ad.d.critcnimpermutatim.a.b.ad.c.d.ficut.b. 
ad.d.Tr.i2.ficut.a.ad.c.q:crgo.a.ad.c.ficur.b.ad.d.critp,mutatt.a.ad.b.ficut 
c.ad.d.      GConkmctepzopoHionalitati  oemonftrationem  affcrrc 
GMtfifit.a.ad.b.licut.c.ad.d.erit.a.b.ad.b.ficut.c.d.ad.d.critcnipmuratim 
o.ad.c.ricut.b.ad.d.quarcp.u..a.b.ad.c.d.ficut.b.ad.d.pmutatfmigiturcrita 
b.ad.b.ficut.c.d.ad.d.   G/£uerfam  p:opo2ttona!itatcnt  rcftat  in  mime 
nsftabiltre.    GlUfiftt.a.b.ad.b.ftcut.c.d.ad.d.crit.a.b.ad.a.ficut.c.d.3d 
t.critcntpmutatini.a.b.ad.c.d.ficut.b.ad.d.qrcp.i2.ficut.a.ad.c.pcrmutarim 
igirur  crit.a.b.ad.a.ficut.c.d.ad.c.patct  itaq^  totum.fr  bis  quoq^  lcue  e  ocmon 
ftrare  i  numeris  cp  cucKdcs(pponit  p  pcnn!t.quiti  oe  quaritatib9  i  genere  videk  q> 
G0i  p:opo:tio  p:imi  ad  fcom  faerit  ftcut  tcrtij  ad  qrro  quinti  qnoq? 
ad  iecnndum  licut  fqcti  ad  quarmm  :erit  p:opo:tio  p:inu  1  quinti  pa/ 
rtter  accepto:um  ad  fecundum  ficut  tertij  1  lerti  ad  quartum . 

Glitftfit.a.ad.b.ficur.c.ad.d.itemq^.e.ad.b.ficur.f.ad.d.erunt.a.^.c.pariter 
accepti  ad.b.ficut.c.ad.f.parircr  accepti  ad.d.crit  enim  per  conuerfam  p:opo:tto 

nalitatcm.b.ad.e.ficut.d.3d.f.qu3repcrequ3mpiopo:tionalitatem.3!ad.c.ficut 
c.ad.f.ergo  coniunctim.a.?.e.ad.c.ficut.c.c.f.3d.f  itaq;  pcrcqua  p:opo:tiona/ 

[it3tem.a.t.c.3d.b.ficut.c.t.f.3d.d.quodcftp:opofitum.£odemq5modop:o/ 
babisecouerfo  .fi  fir.b.ad.a.ficut.d.ad.c.ireq5.b.ad.e.ficut.d.3d.f.erit.b.  ad.a. 
«.e.ficut.d.3d.c.T.f.critenimperconucrfam  p:opo:rionalitate.  a.ad.b.  ficur.c" 
ad.d.quarcpercquam.3^d.e.ficm.t.ad.f.«coniuuctim.9.«.ead.c.ficut.c.c.f. 

S4 


I — 1- 


%r 


}° 


LIBER 

ad  f  igitnrcc6ncrfo.e.ad.a.«.c.ftait.f.ad.c.*.f.per«jo9ttaq5  piopoitionaltta/ 
tcni  crit.  b.sd.a.«.e.ficut.d.ad.c.?.f.q6 crar ,ppofitu.£j: boc qnoq,  manifcftu c 
q>  fi  fucrit  .ppoitio  quotlibet  numeroz;  ad  piimu  ficut  tottdcm  auo£  ad  fcom.erit 
aggregati  ejc  omnibns  anrcccdcntibus  ad  pmu:  ad  pmit  ficut  aggregati  c%  oibus 
ahtib9ad  fconv.ad  fcrim.itcqj  ccoucrfo  fi  fuerit,ppottio  pini  ad  quotlibct  numeros 
ficut  fc6i  ad  totide  alios:crit  ptimi  ad  aggrcgatu  c%  oib9  phtib9  ad  ipfu:ficut  fcot 
adaggrcgatuc^oib0pntib99dipfu.  /l^opofitto    .*.      ...  •    -    '^ 
~ll  ^numeretvnitasaUquenumeyquotiesquilibet  terttus 
1  alique  quarturerit  quoq?  pmutati  ut  quotics  vmtas  numc 
I  rat  tertium  totiens  iccudus  numeret  quartum . 
nGUt  ft  fit  vnitas  ad.a.ftcut.b.9d.c.erit  pmmatun  vnitas  ad.  b.fi/ 
-Jj  cut  .a.ad.c.Tlon  fupfluit  aut  bec  ocmonftrara  pmurata  .ppoitione. 
non  eni  c%  tlla  pot  codudi  qo  bic  pioponitur.tti  illa  oemonftrata  cft  oc.4..nume 
ris  ppoirionattbus:  vniras  vcro  no  eft  nnmcrus  f>  oiff initioncboc  ergo  mo  patc 
at  pjopofitum.oiutdaf  .a.g  vnitatcs  c.cim  quatttatcm.b.cruntq-,  per  ptcfenrem 
vpotbc.tot  ptes.a.quot.c.i  quia  vnaqq^  parttu.a  .eft  vnitas  «  vnaqq>  pnunt  .c. 
eft  equalis.b.erit  ut  quottens  vnitas  in.b.totiens  vnaqqj  tmu.a.in  fua  copan  cj: 
pttb9.c.p  modu  ttaq3  ocmoftratiois.  s  .fcquct  toticns  effca.in.cquoticns  vnitas 
in.b.qoeftpioporitum.  *]fc>20poutio    .17. 

%  ouo2uin  numero:tn  vterqj  oucatur  tn  altcruiu  :qm  m/ 
de  pioducentur  erunt  eqnales. 
CSicut  fi  ejc.a.in.b.^ucniat.cz  cx.b.in.a.(pneniat.d.erunt.c.«.d 
cqualcs:cu  eni.b.multiplicatus  g.a.,pducat.cerit  g  couerfiouc  oitfi 
^nttionis.b.in.cquoticnsviiitasin.a.ergoppicmilTamcrir.a.in.c 

quotiens  vnitas  iu.b.t  qt  tottens  cft.a.ctia  tn.d.qj  ccb.in.a.fit.d.fcquitur  ut  to 
ticsfit.a.t.c.quoticsin.d.ECOiiccpt.igitur.c.^.d.fuiufimilcs.polluinusquoqi 
banc  conciufioncm  alio  ntodo  ,ppoiicre:fi  ouo?  numcro2>vtcrq5  oucaf  in  alreru 
ide  numcrus  vtrobiq^  .puenict:  vt  fi  ej:.3.in.b.,puentat.cidc  etia  ecb.tn.a.  pio/ 
ocniefqt  cni  ejc.a.in.b.fit.c.erit  ut  piius  p  coucrfione  dirTimtioins.b.in.c.quoti/ 
ens  viiitas  in.a.£t  pcrmntatimp  picmilTam.a.tn.c.  quoticns  vnitas  m.  b.  quia 
tait  a  toticnsfibicoaccrnafin.cquotiensin.b.cft  vmtas:fcquif  e  oiftwmoncm 
cpecb.in.a.fit.c  1fc>2opolitiO    ..3. 

— %  vnus  numerus  in  ©uos  Ducatur.tantus  erit  Duo?  mde 
p:oducto:um  altcr  adaltcrum:quantus  ouomm  multipli 

cato:um  alter  adalterum. 

C2)l3ultiplicet.a.vrruq5ouo?nucro2;.b.ct.c.^neniat.d.'z.c.oico 

J  q>  erit  .ppottio.d.ad.e.ftcut.b.ad.cfequtf  eni  y  cducrftone  oiffini/ 
tionis ciusqo eft  muttiplicari  nr.b.in.d.i.c.in.e.ftt  quotiens  vnitas  in.a.  quare 
g  oiffinitione  ^poitio.d.ad.b.c  ficut.c.ad.c.equaliter  cni  cos  contincnt.  q:  quo/ 
tiens.a.  vnitatccrgo  permntatim.d.ad.c.ficut.b.ad.c.quod  eft  piopofitum. 

^jopofitio  .19.. 
^f  ouonumerivnum  multipltcent:erit  p:opo:tio.ouo2n 
inde  ,pducto;tz  tanqj  ouo2um  multiplicantium. 
I  Is&Mn  G£)C  «nucrfionc antcccdcntis  picmilTc  concluditur  bcc cade pallio 
yfly&zfr\  quc  i„  pxmiiTa:vt  fi  vtcrq^  ouos  numcroy.b.  i.c.  mnltiplicet.a.et 


VII 

.pucniant.d.c.e.crit.d.ad.c.ficut.b.ad  c.erit  ciii  p  antc  pmiffa  ut  cx.a.m.b.f.c; 
fiat.d.?.e:qre  p  pjcmiffa.d.ad.c.ficut.b.ad.c.qo'  e  .ppofituiO-psotcs  aiit  q<5  p:o 
pouit  p  banc  i  pmiffa  oc  ouobus  numcris  ad  quotlibet  numcros  ampliare  :cp  (i 
Vnus  multiplicct  quotlibct  crit  .pductoy  i  multiplicatozj  vna  ^ppoitio.SilV  quoq, 
fi  quotlibct  inultiplicet  vnii  erit  .pducto:/ 1  multiplicantium  vna  ,ppojtio  qo  p  bac 
«pjcmilTaquoticusopoJtucritrepetitasfacile^babis.  bicautut  fupja  pollttici 
fumus  ocmoftrare  volumus  cqua  ppoirionalitate  in  quotltbet  numcris  OU032  o:/ 
dinu  indirccte  .ppoitionailtatis  qua  ocmoftrat  eudidcs  p.2j.quinti  i  quantitati/ 
bus  iu  gcnerc:Dicim9  igitur  quonia. 

GSiquotltbernunieritotidealije  fucrintthdirecte  p:opo:rionalee 
ejctremi  quoqs  in  eadem  ,ppo:tionep:opo:ttona!e0  erunt. 
G23tfifit.a.ad.b.ficut.d.ad.f.?.b.ad.e.ficut.c.ad.d.erir.a.  ad.c.  ficut.c.  ad.f. 
oucatureni.c.in.d.t.f.tpjouciiiant.g.i.b.critqjpcrpjcmiffam.g.ad.b.ficut.d 
ad.f.quare^ficut.a.ad.b.oucat.ite.f.in.d.i^>ucniat.k.critq5pcrbanc.  nj.g.ad 
k.ficut.c.ad.f.iqjcy.f.in.d.fit.k.ftct  idcmcc6ucrfop.to.c):.d.in.f.quiaigitcx 
c.?.d.in.f.fiunt.b.^.k.critpbanc.i9.b.ad.l<.ficut.c.ad.d.quareficut.b.ad.c.ct 
q:  iam  oftenfum  cft  q>  c.g.ad.b.ficut.a.ad.b.erit  p.  i  j.a.ad.c.ficut.g.ad.fc.fcd  fic 
crat  ctiam.c.ad.f.cft  igitur.a.ad.c.ficut.c.ad.f.quod  cft  pjopofitum.3dcm  pjo/ 
babis  fi  facrint  in  vtroq5  ojdme  numcri  plures  tribus  queadmodum  pzobatur  in 
23  .quinti  oe  quantitatib9  plurib9  trib". 

1(bJopofirio   .iei 

%  faerintquatuo:  numeri  p:opo:ti6alesq&  ejc  ouctu  p:f 
mi  in  vltimu  ^ducetur  cqun  erit  ei  q6  e?  Ouctu  fecundi  (n 
tertin .  £>i  vero  q6  q: p:imo  i  vltimn^ducef  equu  c  ei  qd 
e;c  iecundo  in  tertifi-.illi  quatno:  numert  fut  ,ppo:ti6ales. 
_^  CQuod  pjopofuit  eudidcs  per.  1  y.fejcti  oe  quatuoj  lincis  ,ppoitio  / 
nalibus:,pponit  bic  oe  quatuo:  numeris  ,ppojtionalibus.vcrbi  gratia.  Sit  ,pp02 
tio.a.ad.b.ficut.c.ad.d.fiatq^ex.a.in.d.cjex.b.in.c.f.oicogj.cz.f.funtequa/ 
!cscconuerfo:oucatur  cnim.a.in.b.i  fiat.g.critq,  pcr.  i8.g.ad.c.ficut.b.ad.d.  ct 
qjper.i7.oc.b.in.a.fit.g^exeode.b.i.c.f.critrj.is.g.ad.f.ficut.a.ad.c.fcdp.i4. 
eft.a.ad.c.ficut.b.ad.d.ergocrit.g.ad.f.ficut.g.ad.e.cqleb-igit  fiit.f.  i.e.qocft 
pmu.Tlcc  opojtet  pdcmoftrare  fi  Vm°  numcri  ad  ouos  fit  vna  ,ppo:tio  ap  ipfi  fut 
eqles:aut  fi  ipfi  fut  eqles  cp  vm9  ad  ipfos  ftt  vna  ,ppo:tio.  6i  enim  cft  vna  p:o/ 
po:tio.g.ad.czad.f.autipfeerit  tota  pars  vclpartcs.c.quota  vclquotcidem 
cft.f.i  tunc  pcr  conceptioncm  patet.e.?.f.cffc  eqlcs:aut  totiens.g.  contincbit.e. 
quotiens.f.s  fuperfluent  in  eo  tota  pars  vcl  partcs.e.  quota  vclquote  in  eodcm 
fupcrrlucnt  .(.1  tuc  ctiam  per  conccptione  patct  eos  elTe  cquales.  Q6  fi  ipfi  fue/ 
rint  cqnalcs  patet  per  conccptione  cp  aut.g.crit  tota  pars  vcl  partcs.c.quota  vel 
quote.fo  tunc  per  oiffinitionem  crit  ipftus.g.ad  vtrumqj  co:um  p:opo:tio  vna. 
aut  equatiter  continebit  vtrunq^  cumfuperfluitatefimtliunmotnumcro  par/ 
tium:ctuncetiampaoirrmitioncmcritciusadvtrunq5p:opo:tio  vna.  GSe/ 
cundti  fic  patct:fit.e.pjoductus  cx.a.in.d.cqualis.f.^ducto  qc.b.in.c.oico  c$p/ 
potfio.a.ad.b.cft  ficut.cad.d.t  eft  bec  conucrfa  piime  partis.Sit  enim  vt  piius 


LIBER 


g.qni  fit  et  .a.in.b.cquia.ccf.funt  eqlcs.crit.g.ad  Vtruqj  comm  p:opo:tio  vna 
«quiavtp7iu3pcr.i8.g.ad.f.ficut.a.ad.c.tad.c.ficut.b.ad.c.crit.a.ad.c.ficut.b 
ad.d.quarepcrmutatim.a.ad.b.ficut.c.ad.d.  Tlon  p:oponit  autcmcu  lidesoe 
tribus  numcris  continuc  p:opo:tionalibus  <$  illc  qui  tf.  ouctu  p:imi  in  tertinm  #/ 
ducitur  fit  equalis  quadrato  medij  .£t  fi  ille  qui  c%  p:imo  in  tcrtium  p:oducit  fue/ 
ritequalisquadratomedij:  cy  illitrcsnumcrilint  continuc  p:opo:tionalcsficut 
p:oponit  in.  is.fcjcti  oc  tribus  lincis  .boc  cni  factle  oemonftratur  per  banc.2o-mc 
dio  illorom  trium  numeromm  equati  affumpto:queadmodum  in  fexto  oe  tribus 
lineis  p:obatur  pcr quatuor  affumpta  quatuo:  equali  mcdie. 

1(b:Opofltio    21. 

^meri  fecunduiqualtbetp:opo:tionem  mimmi:  nume/ 

rantquoflibetineadcmp:opo:tione  mino:mino:em  et 

maio:  maio:em  equaliter. 

GSint.  a.c .  b.  minimi  numcri  in  fua  p:opo:tioncfitq5.  c.ted  .d. 

ficut  .a.  ad.  b.oico  q>  .anumcrat.cs.b.d.  cqualiter.£um  fit  enim 
a.ad.b.ficut.c.ad.  d.  crit  permutatim.  a.ad.c.  ficut.  b  .ad.d.  crit  igirur  .a.cto/ 
ta  pars  vcl  partcs  quota  vd  quote  .b  .d.  fi  itaq5  fuerit  pars  conftat  p:opofitum: 
St  fi  partcs  fit  .e.Vna  partium.a.cf.vna  partium.b.^  quia  tota  pars  eft.cc.pcr 
ypotbe.quota.f.d.eritperoimnitionemp:opo:tio.e.ad.cficut.f.ad.d.quaree/ 
mutatim.e.ad.f.ficut.c.ad.d.quarccriamficut.a.ad.b.nonfuntitaq^.a.^.b.mi/ 
nimi  fuc  p:opo:tionis:quod  eft  contrarium  pofitis.  Similitcr  quoqj: 

GiQuotiibet  numeri  fiuc  in  eadcm  p:opo:tione  ftue  in  oiuerfis  mini 
mi  numeraut  omnes  in  eadem  p:opo:tioue  quifq?  fuum  co::elatiu» 
cqualiter. 

G23t  fi  fint.a.b.cminimi  in  eadcm  p:opo:tione  vcl  in  oincrfis:  fintq^  in  eadem 
Vclcifdem.d.cf.ita  cj>  fit.d.ad.cvt.3.ad.b.c.e.ad.f.vt.b.ad.coico  cp.a.  nume 
rat.d.c.b.cc.c.f.equalitcnquia  cnim  eft.a.ad.b.vt.d.ad.cerir  permutati.a.ad 
d.vt.b.ad.cetqui3.b.ad.cut.cad.f.eritcti3inpcrmut3tim.b.ad.e.ut.cad.f. 
quarcb.ad.cc.cad.f.ficut.a.ad.d.cquia.a.b.cfuntmino:c8.d.cf.crit.b.c« 
cf.tota  pars  aut  partcs.quota  eft.a.d.Si  itaq5  p3rs  conftat  pwpofitu  .3t  fi  par 
tes  fit.g.  vna  partium.a.cb.vna  partium  .b.c.k .  vna.ccritqj  pcr  p:cfcnte  ypo/ 
tbctota  pars.b.cck.f  .quora.g.d.quare  per  otffmitioncb.ad.ci.k.ad.  f.ficut 
g.ad.d.pcrmutatimi3iturcrit.g.ad.b.vt.d.ad.e.c.b.ad.k.vt.e.  ad.  f.quarcg. 
ad.b.ut.a.ad.b.cb.ad.k.  vt.b.sd.c.quia  crgo.g.b.k.funt  mino:cs.a.b.ct  i  ca 
dem  p:opo:tione  fcquitur  contrariuiii  pofiti. 

1fb:opofttio  .21 
1 5  fuerint  Oito  numeri  fcom  fuam  p:opo:tionem  minimi: 
j  ipft  erunt  adinuiccm  p:imi. 

GSint  ouo  numcri.a.cb.fcom  fua^  p:opo:tioncm  minimi.  oico  <$ 
ipfifuntcoiitrafcp:imi.  Sicnimno  numercteos.cim.d.ce.crit 

|q5per.iS.d.ad.cficut.a.ad.b.'jquia.d.ccfutmiiio:cs.a.i.b.fe/ 

quitur.a.-z.b.non  cffe  fuc  p:opo:tionis  iniuimos:q6  e  priu  pofitioni.  Sift  quoqj 
CSi  fuerint  quothbet  numcri  iit  contwiiatione  fuarum,ppo:tionum 


VII 


futeeadcfiueoiuerfefocrintminri.millus  mimerus  numerabitoms. 
G23t  fi  fint.a.b.c.minimi  in  ptinustione  fua£p:opo:tionu:oico  g>  nullus  numc 
rabit  omnes.Bin  autcm  numcrct  eos.d.a.quide.tmt.  c.b .  vcro  ftn.  f.?.c  t>m.g. 
critq^  p..i3..e.ad.f.ficut.a.ad.b.«.f.ad.g.ficut.b.ad.c.q:  crgo.c.f.g.fut  minoTca 
a.b.c.c  fm  ,ppo:tionc  eo:um  no  crunt.a.b.c.quales  pofiti  funt:  quod  e  inconue/ 
nicns.GQuaq5  autc  nullus  numeret.a.b.cfi  fuerint  minimi:poteft  tame  cffe  ut 
quoflibct  ouos  ejc  cis  numeret  vnus  -.ouctoietenim  quoltbet  numero  in  aliquej  ad 
fc  p:tmu  ac  vtroq^  co^  in  alique  tcrtiu  ad  vtrunqj  p:imu:p:ouenient  trcs  numcri 
qnoy  quiq^  ouo  erunt  copofici.  tlull9  tame  numerabit  oms.6int  cni.3.b.ctres 
nnmcriquo?quifq5fitp2imusadali08:oucatq5.a.in.b.  ix.%  p:oucniat.  d.cc. 
itcmq^.b.in.cs  .pueniat.f.oico  quofq^  ouos  ccd.cf.elTe  adinuiccm  compofitos 
rame  nullus  numerabit  omncs  ouos  quofq^  P5  elTc  copofitos.a.enim  numerat.d 
c.cb.vero.d.t.f  c.c.c.  z.f.Qo  aute  nullu3  numerct  oes:patebit  p:ius  oemoftra 
to  cp.a  .cft  ma^imus  numcrans.d.«.c.b.quoq5  maAm"  nniu^ras.d.t.f.t.c.ma/ 
r.imus  numeras.ccf.boc  aSt  fic  coftat:fi  cni.a.no  c  marim9  numeras.d.t.c  .fit 
itaq^.g.nnmcretq^.dim.b.-J.eim.k.eritq^  p  fc6am  giczo.a.ad.g.ficut.b.ad.b 
itcmq5rJcade.a.ad.g.ficut.k.ad.c.q:ergo.a.cftmino:.g.erit.b.mino:.b.^.k.mt 
noz.c.c q:  b.ad.k.ficut-b.ad.c.vrraq^  eni  e"  ficut.d.ad.e.p  .1  s.bis affumpta.funt 
autr.b.t.lv.mmoKs.b.^.c.eritpimediatcfcquetctperbacfpotb.  cp.b.c.c.fint 
ptra  fe  p:imi  repcrire  minimis  minojes:q6  q:  e  impolTibilc:  erit.a.mapm9  numc 
r.is.d.-r.c.£odcq5  mo  .pbabif  cp.b.fit  marrmus  numcras.d.s.f.?.  c.marim9  nu/ 
mcras.c.c.f.fiquiscrgo  numerat.d.e.f.tKonct'.  fcocter  alTuptuipfenumcrabit 
a.b.c.fcd  quifq,  eo:u  pjimus crat  ad reliquos.accidic  tgif  ipoffibile,  6ifr quoqj 
CaQuotlibet  numeri  qoos  vnusno  numeratfcom  cotiuuatione  lita^ 
,ppoJtionu  funt mtnimt.  G23t  fi fint.a.b.cquilibet  numcri  quos ocs  nul/ 
lus  numcrat.oico  cp  ipfi  funt  iii  continuationc  fua^pouionu  minimi.  atio^uin 
fint  minimi.d.cf.qui  p_.ii.numerabunt.a.b.c.quifq5  fuu  rclatiuum  equaliter  .fit 
ergo  vt  fcbm.g.critq^  pcr.17.vt  viccuerfa.g.numeret.a.b.cfcom.d.cf.  quare  ac/ 
ciditpriumpofitioni.  1jb:opofttio    .23. 

|  STtltbct  numeri  ptra  fc  p:imi  liit  Pm  fua  ,ppo2t6em  mimi. 
Gbcc  e  coucrfa  pmifle  vt  fi  ouo  numcrf-fint.a.t.b.ptra  fc  pmi  :ipfi 
criit  fm  fua  ,ppo:tione  miuimi:fin  aut  fmt  minimi  i  eade  ,ppo:ti6c 
fipolTibilcc.c.T.d.coftatitaq^pai.qj.c.namcrat.a.t.d.b.eqlitcr 
fit  igitur  vt  fcbm.c.crir  pcr.  17.VC  viccuerfa.cnumerat.a.c.b.a.qui 
dcmtoddu.c.-i.b.fcom.d.non  funt  igif.a.cb.p  fc  |3mi  q6e  p  ppotb. 

.       1£»opofitio  .14. 
3  rumntouomjmericotrafeyniin.fiquisvnueo?:  nu/ 
meret  ad  alteru  ee  pumus  nccefTario  compzobatur. 
CT.5ir  .a.s.b.p  fe  pmi.cvcro  numeret.a.oico  cp.c.pnVe  ad.b.alio/ 
qui  nucret  eos.d.q  p  penuf.pccpi.nuerabit  etia.a.  no  fttt  s.a.?.b. 
pfcpmi.d.aunumeratabo3.    IJbJOpofitio    -zj. 
3f  fucrint  ouo  numeri  ad  aliu  quelibet  p:imi  qui  ejr  oucto 
vniusin  alreru,pducetur.aJ  eundem  erit  p:imus. 
QSit  vtcrq^  ouoy  numeroy.a.i.b.pumus  3d.cs  ecs.tn.  b.  fit.d 
oico  cp.d.cft  p:imus  ad.caliter  cni.numeraret  eos.c  d.qdi  fiii.f. 


f 

i 


— I  H 


H       K 


c 


LIBER 


eritq^pfc&mpte^o.a.ad.c.ficut.f.ad.b.fcji.  a.c.c.fut  pmt?  .e.nnmaat.c.ipfe 
crit  g-24.pjimueacU.qrc  g-aj.a.i.c.funt  fcom  fua,ppoitione  minimi-.fequif  crgo 
rt.zi.ut.c.numaet.b.i  qi  pofiw  c  cp  ipfe  numact.c.no  erunt.b.s.c.  p  fe  pmi:  q6 
eftcontrafpotbe. 

Ifbzopofttio    26. 

'0  fuerintononumericontrafepjimiqui  ejcvno  eojuin 

|  fe  ipfum  pjoducitur  ad  rcliquum  eft  pjimus. 

jiGSintcdtrafcpiimi  .a.i.b.ter.a.in  feftat.coico  cp.c.piimuscft 
ad.b.fit  enim.d.equaus.a.eritq^.d.piimus  ad.b.f  er.3.in.d.ftet.c 

I  per  pjemiffam  igitur  patec.c.piimu  cffe  ad.b.qb  piopofuimus. 

IfbJOpofitiO  .17- 
3f  Ouobus  numerts  ad  alios  ouos  cogans  vterqj  ad  vtm 
q5  fiterit  p  jimus  qui  ej:  ouobus  pjiojibus  ad  eum  qui  ej; 
ouobus  pofterio:ibus  pjoducetur  erit  pjimus. 
GSint.a.?.b.p\>ics.c.?.d.poftaioics:fitq5  vterq,  ouoy.a.f.b.pi 
J|  mus  ad  Vtruq^  ouor.c.c.d.?  er.a.in.b.fit.c?  cr.c.in.d.f.oico  q?i 
e  piimus  cft  ad.f.boc  aut.25.ta  alTumpta  cuidentcr  concludit:cu  cni  fiat.e.er.a. 
i-b.quo:um  vtaq^  pjimus  cft  ad.c.i  ad.d.crit  pcripfam.c.piimus  ad-cz  itcm  g 
fpfam  piimus  ad.d.quia  ltcm.f.fit.cr.c.iu.d.quo:;  vtcrq,  pjim9  eit  ad.d.crit  rur 
fus  pcr  ipfam.f.pjimus  ad.e.qo  c  ypofitu. 

l^jopofitto  .2S. 
i]3f  fiterintouonumcri  contrafe  pjimi  oucaturq^  eojunt 
1  vterq^  i  feipf  iwn :  aunt  indc  p  joducti  cotra  fe  p  Jimi .  3  te 
q5  ft  iii  vtructj  pjoductojz  fuum  oucatur  pjincipiu^:  crut 
i  quoq^pjoducticontrafepjimi. 
aJjCSint.a.t.b.cotra  fe  piimuoucatcrjVterq^  in  k:i  pioueniant  er.a 
quidcm.c.cx-b.vcro.d.itcq^oucat.a.in.c.tpjoucniat.cz.b.tn.d.ipjoueniac.f. 
oico.c.-r.d.cffc  contra  fc  piimosatcmq^.e.T.f.contra  fc  piimos:cft  cnim  pa.xe. 
c  piimus  ad.b.pcr  eandc  igitur  crit.d.piimus  ad.a.c  ad.c.ficq^  conftat  piimum 
qo"  c  c.i.d.cffe  contra  fc  pumos.GfCcliquum  fic:eft  eni  vtcrq^  ouozz  numcroium 
a.t.c.piimus ad vtruq,  ouoy.b.f.d.itaq^  per.27.crit.c.piimus ad.f.qo'  cft  reli/ 
quum.Tton  folum  autem  cnt.c.piimus  ad.f.fed  aia  pa.2j.ad.b.  1  ad.d.  ircmq^ 
pcr  candc.f.ad.a.^.c.ficq^  fi  mfinitics  oucerct  vtruq^  pioductoj;  in  fuum  piinci 
pium  effcut  omncs  pioducti  contra  fc  piimi:?  non  folum  fed  qmlibct  eductus  ab 
a.ad  quemlibct  eductum.a.b. 

Ifbjopofitio  .29- 
%  fiierint  ouo  numcri  contra  fe  pjimi:qui  c?  ambobus  co 
aceruatur  ad  vtruq^  eo:u5  cnt  pjimus.£>i  vcro  ec  ambo 
bus  coaccruatus  ad  vtrtlq5  eojii  fiierit  pjim'?  ouo  quoqj 
numeri  adtnnicem  erunt  pjimi. 
jGSint  .a.i.b.cotra  fc  piimi-.oico  q>  er  cis  copofitus.a.b.ad  vtru  / 
q5 coiii crit piim9  z ccoucrfo.na  fi.d.numaat totu.a.b.i  altey  coy  numaabit p 
cocj  fct35 1  rdiquu.qrc  no  erut  -3  fc  pmi:f5  boc  pofitu  fucrat:p5  crgo  pmu.Scom 
fic:fit.a.b  .piint9  ad  vtruq^  fuop  componcntium  qui  funt.  a.  f.b.  oico  cp.a.i.b. 


VII 


funtptra k p:imi:pofito cni cp.d.nnmerct Vtruq^ ouo:um  numeroy.a.  t. b.fe/ 
quiturpCTc6cmfciamcpcti^iumcrct.a.b.ej;eisc5poritum  :quare  ad  ncutrum 
ouo£  numcro£.a.?.b.erit.a.b.p:imus:fcd  pofitum  crat  cp  cffet  advtruqj.acci/ 
dit  igitur  impolubile.fodc  quoq^  ino  fi  coaceruatus  q.  ouobus  p:imus  fuerit  ad 
altcrum:  p:imus  quoq>  crit  ad  rcliquuVidcoqj  i  coaccruati  intcr  fc:fit  cni  copofi/ 
tus  c>\a.?.b.p:imus  ad.a.oico  g?  erit  etia  p2imus  ad.b.alioquin  numcret  cos.d 
qui  pcr  coccptionc  numerabit  c.a.cum  numcrct  totum  z  oetractum :  boc  aute  in/ 
conucnicns  erat  enim  conipofitus  cx.a.c.b.p^imus  ad.a. 
^lbzopolitto  .30. 
XIDnisnutneruscdpolitusabaliquo  pitmo  iwmeratur. 
GSit.a.quilibct  numerus  copofitus:oico  cp  aliquis  p2im9  nuiricrat 
ipfii:q2  eni  eft  copofitus  numcrabit  ab  aliquo  numero  quifit.b.  qui 
l"i  roerit  p:imus  vcru  crit  qo  oicit.fi  aut  copofitus  fit.c.qui  numcrat 
eumtqui  ctia  pcr  coem  fciam  numerabit.a.fi  crgo  vel  ipfe  fuerit  pu/ 
mus  conftat  q6  oicit.at  fi  copofitus  nccclfario  numerabit  eu.alius  qui  fit.  d.  qui 
etia per coem fciam  nunicrabit.a.oe quo  rocinare  vt p:ius:q2  ergo  quoticns  oc/ 
currit  copofitus  neccfle  cft  minojcm  alfumcre  qui  copofitum  occurrcnte  numcrct 
fcquitur ut  tande ocueniatur ad aliquc p2imu:alioquin  accidct  impolubile  z  con/ 
trarium  pctitioni  numcruin  iu  infinitum  occrcfccre. 
1|b20pofltio    .31. 

■GC>ntsnumerusautep2tinusautap2imo  numeratur. 
CSit.a.quilibct  numcrus:oico  ipfum  clTepjimu  vel  numcrari  a  p:i 
mo.quia  fi  non  cft  p2imus  crit  c6pofitus:qui!ibet  aute  talis  ab  ali/ 
quop2imonumeraturpcrp2cmilTam.a.i2iturvcl  p2imus  cft  vela 
p2imo  numcratur:quod  p:oponitur. 

Ifczopofltio   -32. 
-GDnis  numcr?  p2imus  ad  omne  que  no  numerat  e  p2im? . 
CSit  .a.numerus  p^irnus  non  numcras.b.oico  cp.a.c.b.  fut  cotra 
fe  p:imi.fi  eni.cnumcrat  cos  116  eft  vcru  $.a.fit  p:imus. 

1£>2opofttio   .35. 
3f  numer^e]eouob9<pducf9ab  aliquo  p2tmonumeretur 
necelie  eit  cundem  pnmti  alte^  tlloy  ouo?  numcrare. 
CSit.c.p:oductu8  cpa.in.b.?  fit.d.numerus  p:imus  qui  ponatur 
numerarc.c.oico  cp.d.numcrar.a.vcl.b.numcretcni.c.  ftn.e.ficr/ 
go  116  numerat.a.erit  p^imus  ad  ipfu  g  p2ctnilTam:?  io  criit  fm  fua 
(ppo:tionemimip.23-'Zq:.a.ad.d.ficut.e.ad.b.pfcbainpte.2o.fcquit  ut.d.nu/ 
mcret.b.e-2i.q6 eft  p:opofiiu.  ^ri  manifefru  e cp  ft altquis  numerus nu/ 
merat,pductu  ej;  Ouobusvcllicideraeritcomefurabiliscomefurabi 
ts  quoq5  erit  aitert  eoy.    Ijbiopofttio   .34. 

^merus  Pm,ppo2  tione  nuero£  afltgnato^  minimos  tn/ 
ucnire.CSinde  manifeftu  e  tnajnmu  numey  ouos  cotter 
numerante  Pm  mtnimos  tUtus,ppo2tioms  eos  numcrare 
CSint.a.?.b.numcrip:opofitiftnquo:ump:opo2tione  volumus 
j  inucnire  mimos.fi  S  fuerit  p  fe  pmi  fut  qles  inqrim9f>.23.fi  aut  co/ 
pofiti  fumat:  vt  oocet  fcba  majim  eos  coiter  nnmcras  cj  fit.c.numcretqj  eos  6 m 


m 


LIBER 

d.«.e.erutq5  in  cade  ;ppo:tionc  p.  •  1 3.quo3  ofco  ee  qles  qrim''  .9int  aute  fint.f.-s 

g.q  p.ii.numerabut.  a.«.b.eqlitci:fit  igif  ut  Pm.b.eritq5  p.  fc&am  p.tc.2o.c.ad.  b 

ficut.  f.ad.d.vet  ficut.g.ad.cquare.c.e  minoi.b.itaq}  cu.b.numcret.a.  «.b.  non 

fuit.c.maxim9eos  numeras  fed  erat  pofitfi  q>  ficergo  «.Sihrcr  quoqv poffum  . 

CTBumeros  Pm  continuitatem  p:opo:tionum  numero?  alltgnato? 

.       e     ,    minimos  regire.^nde  etia  manifeftu  e  mapmu  nmne?  qaothbet  co 

mnniternumeratePin  minimosp:opo:tionneo:umeos  numerare. 

H  GZ5t  fi  fint.a.b.cfon  quop  p:opo:tiones  volumus  minimos  inucnirc  fiuc  fuent 

H    , — ! — i     j„  e3dcm  ,ppo:tione  fiuc  in  oiucrfis:  fiuc  nullus  numerus  numerat  eos  oms:  ipfi 

'  fUntquosqucrimuspcr.2j.bocemmibiocmonftratucft.  Siautemvnus  nume 

"■    k  '     r9t  oins:futnaf  ut  oocet  tcrtia:majcimus  cos  coiter  numaans  qui  fit;  d.numcret 

i  cn  eos  f  m.c.f .g.qui  eruut  in  cade  .ppoitionc  per- 1  s.oico  cos  cffc  quos  quenmus 

alioquin  fint.b.  k.l.qui  pcr.21 .  numerabunt.a.b.cequaliter:ftt  ut  &n.m.critq}  p. 

fc6am  ctem.2o.d.ad.m.ut.b.ad.c.rcl.k.ad.f.  vel.l.ad.g.OHinoi  eft  tgitur.  d.qj 

m.quare  cu.m.numeret.a.b.c.no  fuit.d.majcimus  cos  numerans-.quare  feqmtur 

impoffibilc-.fuit  eni.d.mawmus  numerans.a.b.c 

1fb:opofttio   .35-. 

iicMibetouonumeri  minimos  numerosfue  ,ppo:tioni8 

1  makttmimrce-jmino:  maio:emulttplicantes minimum 

ab  ipfts  numeratum  p:oducut.  ^nde  manifeftnm  e  miut 

mu  quc  ouo  numerat  quelibj  ab  «s  numeratu  numerare 

J  G6int  ouo  nuincri.a.cb.minimiq5  in  eoy  ,ppo:ti6e.  cs.d.  eritq; 

pcr  p:ima  pte.10.vt  eca.in.d.s.b.w.cBat  idem  numerus.qui  fit.cquc  oico  effc 

mmitnu  numeratu  ab.a.cb.alitcr  eni  fit.f.que  numerct.a.i.b.f  m.g.cb.critq^  p. 

fc6ampartc.2o.b.ad.g.ficut.a.ad.b.ificut.c.ad.d.?per.i8.crit.c.ad.b.ficut.e. 

ad.f.cu  itaq5  p..2i.c.nueret.b.c  nucrabit.f.maio:  minoicq:  ergo  boc  e  ipoffibjlc 
corTatvcrceqtfoicif.  l£>:opofitlO   /3«-,  ,    .... 

1  iRopofitisquotlibet  numertsmtmmu.abets  numeratu 
repire.XlDanifeftnetiacjcboc  eminimumnumcyquon 

Jquotlibet  numerat  quelibet  ab  cis  numeratu  numerare. 
G5int,ppofiti  numeri.a.b.c.d.volo  iuenire  mimu  numcy  numcra 
J  tu  ab  cis.  ^nucnio  itaq^  p:imo  minlmu  numcratu  ab.a.cb.cj»  fi.a 
numcrat.b.no  crit  ali9  q5-b.fi  aute  116  numerat  eu  ncc  ec6uerfo:fi  ipfi  funt  ptra 1  fe 
pmi  quiejvnoinalteru.pucnit  CTitminimusper.2^«pmiffam.06fifuntc6i/ 
cantcs-.fumanf minimi in co? ,ppo:tione:vt oocet.34« maioi  in  mino:e  eo:um 
multiplicato  .pueniat.c.qui  crit  minimus  numeratus  ab  eis  per  pmiffam.Similt 
ctuoq5  modo  inueniaf  minimus  numerat9  ab.cccqm"  fit.f.critq5.f.minimus  nu 
mcratus  ab.a.b.e.fcd  «  minimus  que  numerant-f  .1  .d.  fit.g.  eritq^.g.  mimmus 
que  numcrant  numeri  ,ppofiti:q6  cni  omnes  ipfn  numercnt:patet  per  coceptione 
fcd  fi  no  e  minimus  ponaf  ergo.b.  que  q:  numerat.a.t  .b.numerabtt  ctia  ipfu  p 
co::cf.5mi(Te.c.p ide qnoq; coner.numerabit ipfu.f.  fed  cg.maio:  itaq; nuerat 
mino:e  qo  eft  impoffibilcbcc  1  pmiffa,pponuni:  i  alio  loco  fub  tnb9  conclufioib 
qua?  p:ima  cquiualet  pmiffc:fccuda  componif  ejc  conelarijs  ambobus  :tcrtia  ^/ 
ponit  oe  tribus  qo  bec  oc  quotlibet  numeris.£ft  itaqj  pnma. 
Gf©atisouobusnumerisminimum  abeisnwmeratum  inuenire. 


VII 


GDati  numeri  finr.a.f  .b.qnoju  mino:  fi  numerat  maioicm  eft  maio:  que  queri/ 
mus.  alioquin  maioj  eo?  numerarct  minojem  fe.Si  aute  neuter  nentru  numeret 
fi  ipfi  funr  conrra  fe  pjimi.crit  qui  e*.a.in.b.(pucnir  qui  fif .c.  minimus  omnium 
que  numerat.a.c.b.Tlam  fi  minojem  eo  numeraucrint  cfto.d.  que  numerent  fm 
c.T.f.critq^  pcr  fcoam  partem.2o.a.3d.b.ficut.f.8d.e.tqm3.a.c.b.  funt  fuc  pio/ 
pojtionis  minimi  pcr.zj.numcrabit.a.f.pcr.zi.t  quia  pcr.is.cft.c.ad.d.  ficut.a. 
ad.f.Tlamc)c.b.in.a.«.f.finnr.c.c.d.fcquitur.c.numcr9re.d.federat.d.minoj.c 
quare  impoffibiie.Si  autem.a.^.b.fint  coicantes:  negociarc  p:opofitu5  nt  in.3  f  • 
fecunda  trium  conclufionnm  eftambobus  cojjct.cft  confecta. 
C0i  plures  numerinumerumxmum  numerent:necelTeeftvt5mini/ 
mus  que  numerant  eunde  numerum  numeret. 
G  23t  fi  fit  quilibet  numerus  que  numerat.a.s.b.d.minimufq5  ab  cifdem  nume/ 
ratus.c.crit  nt.c.numcret.d.cu  eni  fit  .d.  maioj.c.  fi.c.no  numerat  ipfu.  numera 
bit  tame  aliquid  eius:  fitcp  plurimu  qo"  numerat.cz  refiduu  fit.f.  eritq5.f.minu8 
c.quia  igitnr.a.c.b.  numerant.c.numerabunt  per  coem  fcientia^  c.e.  fcd  numers 
bunt.d.itaq3  pcr  alia  comunem  fciam  numerabunt.f.  incoueniens  ergo  fcquif  ep 
cno  fuit  minimus  quc  numerant.a.2.b.G3dem  couinces  i  eode  mo  ee  quolibet 
numeratoaquotlibctpluribu8.f.cpminim9ab  illisquotlibet  pluribusnumera/ 
tus  eundcm  numerct:  vltima  triu  codufionu  e.  rum  inuemre; 

G^opofitistribusnumerisiminimwnumero^ab  eis  numergto/ 
Glrcs  numcri  .ppofiti  fint.a.b.cminimufq}  que  numerant.a.f.b.fit.  d.  qui  fu/ 
meturutp:imatriumcondufionnoocet.Siigitur.c.numcrat.d.fdto.d.cffcqne 
qucrim9.Si  cni.a.b.c.mino:cm  eo  numcrant:fit  eni.c.queperpmirfam  conclufio 
nenumerabit.d.qbeftiinpoffibile.Siautem.d.nonnumerat.c.fumatur.c.mini/ 
mus  numeratus  ab  cis.cp  autcm.e.numercf  ab.a.b.c.pgtet  q:.c.  numerat  ipfum 
c.d.fimilitcnergoc.s.b.quinumerant.d.quare.e.iiumerabiturab.a.b.c.erttq^.e 
minimus  que  numerat.a.b.c.Sin  autcm  fit„f,que  per  p:emiffam  conclufione  nu/ 
merabit.d.fcd.c.numerat.f.  quia.  a.b.c.  numcrant  eum:qu9rc.  c.d.  numcrabut 
eumiquare  per  pjcmiffam.e.numerabir  eum  %  eft  maio:  eo  fcd  ■z.c.maio:  minoje 
qt5  no  effc  potcft.^dem  inuenics  i  code  modo  quotlibet  pjopofitis. 
1|b:opofitio    .37. 

j  K  numerus  aliquis  aliu  numerum  numeretxrit  in  numc/ 

rato  pars  a  numerante  Ocnommata. 

Gb  uius  fcnfus  eft  cp  ois  numer"  numcrat9  a  ternario  babet  rcrtt'35 

1 1  nnmerat9  a  quinario  b^  quinta.ficqs  ce  cetcris:  vt  fi.b.numerct.a. 

I  ertt in.a.gs  cenominata  a.b.numerct 0115  ipfu quotiens  vnitas  in 
c.cntcgpcr.  Ks.vt.cquocp toticns numeret.a.quoticns  vnitas i.b.quare  tota ps 
cft.c.a.quotta  vnitas.b.c  q:  vnitas  cft  pars  omnis  numeri  ab  ipfo  ocnominata 
pcr  comnnem  fciam:crit.c.pars.9.oenominata  a.b.quod  cft  pjopofitum. 
Hbiopofttio    .38. 

3f  numerns  aliquts  parte  quotaowq?  babeat  numerabit 

ipfum  numerusad  illam  partem  oictus. 

Gbec  eft  coucrfa,  p  jemiffc  cuius  cft  in  tcntio:q>  ois  nucru6  bfis  ter/ 

tia  numcraf  3  tcmario:?  bns  quita  a  qnario:ficq5  oe  ccteris  vt  fi.b 

fitrjs.a.ocnoiataa.cfeqfut.c.niicrs.a.qjci.b.cgs.a.ocnoiatsa.c 


b   f 


-4      V- 
f 


h 


n 

p 

q . 


LIBER 

fcd  z  vitltas  eft  pars.cocnominata  ab  ipfo  p  cov-ep.fcciuitur  ut  ctuoticiia  vnitas 
niimcrat.c.toticn3.b.numcrat.a.itaq5pcr.i6.quottciisvnita3.b.toiicno.c.im/ 

merat.a.qrccoftat  .ppofuii.G  aiita  tdc:  cu  fit.b.pars.a.ft  tota  vnitas.c.cntqs 
pcr  banc  cdmunem  fciam  vnitatem  ciTe  partcm  omnis  numcri  ab  ipfo  ocnonu/ 
natam.coenoians.b.in.a.*  quia  cft.b.in.a.quoticns  vnias  tu.c  .cmdercr  fcqm 

turp:opofitumg-itf. 

1(b20pofitiO  »?9- 
i  ^meram  minimum  p:opoiitarum  ocnominanonum  ba/ 
bentcm  partcs  inucnire  £jcquo  maniicl  tum  c  cp  imnim9 
numcrus  numeratus  a  quotlibec  c  muumus  babcns  par  / 
i  tcs  ocnominaras  ab  iplis. 
J  <L6tnt.a.b.c.d.ocnomtnantcsparte3  .ppofitas.c.c.niinimusnu/ 
mcratus  ab  eis  fupiu  fon.jtf.upfu.e.oico  effc  que  qucrm.us.Sint  cni  f  mquos  nu 
mcrant ipfutn.f.s.b.k.cruq, pcr. i«fc« banc  comunem  fcicntiam: vnitas cft  pars 
omnis  numcri  ab  ipfo  oicta:  vt  viceuerfa.f.g.b.K.numcrcnt.ei.u.a.b.c.d.quarc 
funt  partcs  cius  ab  illis  oicte.cft  igitur.c.babcns  partes  pjopofttarum  omomi/ 
nationu.  Dfiinimus ctia  qtft  ft alccr fucrit vt.l.fmt Ctes.l.cictc ab  cis.m.n  p.q. 
cruntqipcr.KS.tpKdtctamcoemfciaitiain.a  b.c.d.v:ceucrfa  irtcs.l.oictc  ab  m. 

n  o  a  cware no crat.e.minim9quc  numcrat.a.b.cd.qb cft  tncoucine^.Cbaoito 
minimoTfi  cura  eft  babere  fcom  .aut  quotucuq3  libcf.fi  fcom  qb  fumc  wipju  mun/ 
mrfi  tcrtium  triplunv.t  ad  bunc  modii  in  alijs.Ium  cnim  omuio  mul.iplcr  ci.n 
merctur  ab.a.b.c.d.pcr  banc  cocm  fcicntianv.Omnts  imiuerus  numcrans  aluun 
numcrat  omnem  numcratu  ab  tlio  neceiTc  cft  pcr.,7 .  vt  onmis  muuiplcv.c.babc/ 
at  parrcs  ocnominatas  ab.a.b.c.d.fi  itaqj  ouplus.c  .no  tucm  fcos babens  gtes 
fipofuaro  oenoiattonu:critaU?quc  ficutfcqi,it eemaiote.c.  icfeqtutccmi..o:c 
ouplo:iq:illumnumcrant.a.b.c.d.pcr.5S.fcquitur  pcr  co::cl-3<?.cp.c.  numcrct 
eunde  qo  eft  impoffibilc.cum  cnim  numcret  fcnumerarct  p  banc  comunem  cia; 
omnis  numerus  numeras  totu  t  oetractummumerat  rcfiduu:ciftcrc.mam  tllius 
ad  fc  aue  cum  fit  mino:  fcunaio:  numcrus  numcraret  muwcm  qo  clle  non  porcft 
fcquimr  itacR  ouplum.c.cffe  ftn  numcrii  babcutc  ptopofuarum  ocnommat.onu 
partes.GSimilif  quoq,  arSues  mplu.c.cffc  terttu  p:obato  ouplo  oTc  fcom.alio/ 
quin  qu.a ciTet triplo miuo:.< ouplo  maio^cqucrctur.c.numcratc  altq;  t W  tpfi 
asouplumttripIum.qburpnuspatjeiTc.nipoiT.bilctpiobatoauttriFlocnctcr/ 
tium  ad  buius  fimilitudincm  ptobabis  quadt  uplutn  eik  quartum:*  fic  in  cctcris. 
C0C>iniinu  numerum  babentem  partcs  pwpohtarum  ocnonunatto 
num  fumpcarum  continue  repcrire. 

G23t  mimmum  iramc?  babente  tertia  que  tcrtia  babcat  quartamrquc  ctta  quar/ 
ta  babcat  quinta:aut  fcptima:aut  qualitcrcuq;  contmgat  cas  ab  cifdcm  vel  otuer 
fis  oenominari.DI3ultipl.cat i  opottct  oenominato:c  p:ime  partis  tn  cenomma/ 
to:c  htc.z  ct  cts  .pductum  m  ocnominatote  tcrtie^uctom  quoq;  t  ocnomma/ 
to:e  quarrc.ficq;  oc  cetcris  vfq;  ad  vltimam.  a  p:ima  vcl  v^ M  pnma  ab  vltima 
,  quipmcucritcrit  quiinquirif  vtin(ppofuo.«o.vd.S4-Cbocautcitacfte  oc 
monftratiucficbabcto.6intnumCTiEtcs(ppofU36  0cno.antc8.a.b.c.d.volum 
inueuirc  minimu  numcrum  qui  babeat  partan  ocnomiuatam  ab.a.  tta  cp  Ula  ps 
babcat  parte  ocnominata  a.b.i  illa  alia  oenominata  a.c  fcd  z  bcc  alia  oicta  a.d 


VII 


Diicataritaq^.d.iii.c.cptoiiciitar.c.T.e.m.b.-iPJOiicniat.f.f.quo^  o;;catur iit.a 
■:  pioueniat.g.que  o;co  clfcquc  inquirimus.cum  cni  ipfc  .g.^pueniat  ctiam  ejc.a.i 
t.^.iy.crtt.f.paK.g.oictaab.a.atqj.f.^uciHtpeaclcc^.Li.i.c.crir.e.pars.f.oca 
a.b.fcd? pjoptcr boccrit.d.pars c.oicta  a.c.cquia  vnitas cft ps.d.oicta  ab ipo 
d.pj.g.baberc  £tcs  ut.ppomf  .Si  crgo  116  fucrit  mtnimus  fir.b.fitq^.k.psct9  oi/ 
cta  ab.a.s.Lps.k.  otcta  a.b.c.m  gs.l.oicta  a.  cn.iqooqj  pars.m.oicta  a.  d.crit 
qipcr.is.g.ad.f.vt.b.ad.k.T.f.ad.e.vt.k.ad.l.T.cad.cl.ut.l.ad-.ni.fcdc.d.ad 
vuitatetn  vt.m.ad.n.crgo  pcr.15.cnt in  pjopojtionc  cqualttatij.g.  ad  vnitate  vt 

b.ad.n.ergopmutatiincrit.g.ad.b.vtVnttasad.n.quarecum.b.fitmtnoj.g.crir 
n.minojvnitatc.fcquiturigfturimpolTtbilcpartenumcrimtnojeclTcvnitatc.erit 
itaq^.g.miiiimusbabensp.tcsvt  .pponir  .Quoitiuctoficurafucrit  babercfcom 
aut  quotuquelibct  p  minimii  mulciplices  ut  piius  oictum  eft  fumcndi  erunt:  boc 
autcm.jo.pioponitur  in  alio  f>in  bonc  modum. 
O  Kbzopofitis  partibus  quonfcuqlibct:minimi5  numerum  cas  con/ 
tincntiuminuenirc.i 

G23t  fi  p_tes  pjopofite  fint.a.b.c.fintqj  eas  ocnominates.d.cf.  1  fumat  minima 
que uumcranr.d.e.f .qui fit.g.bunc oico  cffe que" qucrimus:crunt  cni  in  eo  pjopo 
fite  partcs  per.  5  7.qui  fi  116  fuerit  minimus  cas  continens:fit  ergo.b.que  numcra 
bunt.d.e.f.pcr.3S.igiturii6erit.g.miniinusiinmcratusabei3q6eftinc6uenie8 
qjerat.3ntclligovcroptcs.a.b.c.indetCTmtiiateponizn6fubquatitateccrra:ali 
ter  cni  116  effct  uccclTarium  vt  minimus  numcrus  quc  numcrant.d.c.f.  cflct  mini 
mus  contincns  partcs  .ppofitas^plurimas  cni  contingit  partcs  rcperire  qs  nume 
rus  numcratu3  ab  coy  ocnoiatoiibus  non  continet:  vcrbi  gfa.Ires  numeri  q  ffir 
i2o.9o.t.72.funt  ciufdem  numcri  pKs.piimns  quidc  tertia.fccud"  vcro  quarta.c 
tertius  quinta.ncc  tame"  mtnimus  quc  nomerat  ocnoiatoies  eo?  qui  cft.ob.  ptes 
iftas continet.3uftandu  igitur cft  fi ptes fub  ccrta quantitate  pouanf  piime con/ 
fequentic  buius  ocmoftratioismo  enim  fcquif  ut  arguit  rv37.fi  ternari9  bunc  nu/ 
merat  crgo  bic  numerus  pofttus  cft  eius  tcrtia:f5  crgo  babct  tertia:  qua  ^ptcr  ide 
eft  quod  ^ppouif  ftn  vtruq^  modu:  fed  fcom  piimu^  coutienientius  videf  qo  intc/ 
dif  pioponi.atrcdere  aut  opoitct  q>  cii  ois  gs  babcat  qnatiratc  i  co  ptingit  ponc 
re  quotlibct  1  quafltbet  ptcs  I'c6m  quatitate:?  inquircrc  qui3  minimus  eas cotinct 
c  fub  qiiibus  ocnomiiiationtbus.yijinimu  atlt  cas  cotinentc  coftat  cffe  minimu 
numerato  ab  cts.ftn  qnos  vcro  numerat  funt  qui  illas  in  illo  ocnoiant  .£ontingit 
itcro  poncre  quotlibet  %  qoaflibet  ocuominatiocs:  1  inquirere  in  quo  niinimo  bee 
oenomioationcs  repcriurtf  1  ftn  quas  quatitares.Dninimu  quoqj  coftat  effc  mi/ 
nimo  nnmcrato  ab  illis:f>m  qoos  vero  nomcrant  funt  qut  quatitates  oetermfnat: 
vtrobiqj  aute  idcirco  inquirif  minim9:qi  infiniti  funt  binc  quide  qui  bas  ptes  con 
tinent.3nde  vcro  in  quibus  bee  oenoiationes  rcperiunf  .JCootingit  rurfus  ponere 
quotiiber  partes  1  totide  ocnoiationcs  Vcl  quotlibet  ocnoiatioes  1  totide  partes. 
116  aut quaflibet cu  qutboflib5:fed certas  cfi  cerris.Si  cni pona ptcs  tres  quatoo: 
quitiqj z oeooiationes earu.(S.7.8.t inquira  qois  numcrus continet bas ptes fub 
tftis  oenoiatiooibus.fifis  cro  inquifitori  vano  querenti  impoffibilcCertas  igirur 
conuenit  ponere  ptes  cu  ocnoiationibus  ccrtis  %  no  ut  cootingit  z  inquircrc  quis 
nomcros  pofita3  partes  fub  pofitis  ocnoiatiootb9  c6tinet:n6  aut  quos  minimus 
vnfcus  eni  eftma  Ttue  .ppofita  fuerit  vna  ps  %  voa  oenoiatio  fioe  plures  «  plores: 

b 


120 

30  , 


k 
I 
m 


LIBER 


non  erir  fumere  plurcs  numcros  q6  .ppofiru  crit  c5tincnrcs.SoIus  cni  e  cui9  ter/ 
narius  e  quintajno  p!urcs.6olu3  quoq^  cuius  tcrnarius  octaua:?  fcnarius  quar/ 
ta:iio  p!urcs.idcoq5  .pponenrcm  ptcs t oenoiationcs ipfay  in  toto  no cft  qnere/ 
rc  quis  miuimus  cotiner  bas  ptcs  fub  iftis  ocnoiationibus:  fed  quis  vmi3  conti/ 
nct:  p:oponcntc  aut  partcs  tantii .  lontingit  qucrae  quisinininea3  continct  i  a 
quibns  in  eo  ocnominanf :  foias  quoqj  .pponenre  ocnoiationcs  conuenit  querac 
quc  partcs  ab  itlis  oicte  i  iu  quo  minimo  repaiunf .  loucnicntius  aute  videf  par 
tes  p  ocnomiuationcs  inquirere-.qj  oenominattoiies  p_  ptes:  oiuerfirare  quidem 
ocnominationu  non  partiu  comitaf  ,ppo:tionu  oiuerfitas.  £yplicit  libcr  fepti/ 
mus  incipit  Iiber  £>ctauus. 

SUcra  numeroy  Oicnnt  quoy  multiplicatoe 
numeTi^ducunt.cemenciesappeltafnu/ 
mer?  qui  er.  ouob?  laterib^  cotinef .  C0o/ 
lidus  vcroquifubtribus  er.quo£  cotinua 
multiplicatione  b,  p:ocrcari.CJ©uadratus 
e  numerus  fugftcialis  equalib''  latenbus  co 
ftltcs.CCubus  eft  folidns  equaltb^cofiftcs 
lateribus.CSimiles  oicuntur  numeri  fupfi 
ctales  fttte  folidi  quoy  latera  fut  p:opo:tio/ 
nalia. 

Ifbsopofitio 


S  8 


11  h 


iS  1« 


17 


|3f  numero£  quotlibet  cbtinue  ,ppo:tionalitatis  ouo  ep 
tremifuerintcontra  fep:imi:eosomnesfecundumfu3nt 
p:opo:tionem  minimos  elTe  necefle  eit. 
GSiiitc6tinuc,ppo:rionalcs.a.b.c.ouoq5  crtremi  qui  funt.a.c.fint 
p  fc  p  Jimi.  oico  q?  in  eadc  .pponione  no  rcpicnt  totide  mino:cs.  St 
autcontmsitfint.d.c.f.critq5t5.i5.fcptimi.a.ad.c.ficut.d.3d.f.  ■jq:.a.c.c.funt 
mmi  ifua^po:tioncp.23.ciufdcfcquifg.ii.ut.a.numcrct.d.i.c.f.mio:esfcilic5 
maioKsqocffciionpotcs.  'i|b:opofitio    .2.   ■ 

"^merosquotlibetcdtinue  ,ppo:tioautatis  Pm  ,ppo:tK> 
■  nc  oata  mtmos  inuenire.  vri  manifcfmm  erit:  cj>  li  ntcrint 
trcs  numeri  cotinuc  .ppottionalitatts  fm  ea  numi  ouo  ejc 
tremi  crutquadrati.cpfifuertntqtuojcrutertremi  cubi: 
JCSint  oatc  ,ppo:tioinis  mininii.a.c.b.oucafqs  a.in  fe  1  fiat.cc  in 
b.i  nat.d.b.qncqj  ln  k.i  .pucniat  .c.eruntqj.c.d.c.cotinuc  .pponionales  i  p:o/ 
po:tionc.a.ad.b.p.i8.c.i9.fcptimi:^  q:.c.i.c.fut  ptra  fc  p:imt  p_.2S.  ciufdccrunt 
c.d.e.ftn  oara  ,ppo:tionc  minimi  p  pnuffam-.oucaf  ircru.a.  i  ocsillos.  1  ,pucniat 
f.g.b.t.b.i.c?  .pucniat.fc.i  cnit  etia.f.g.b.k.cotinue  ^po:tionalesi  ^poitionc 
a.ad.b.p.is.?.  19.  fcptimumiini  quoqj  p.2S.cmfdc  1  pmiffa  bac  via  1  rone  iueni 
•}(b:opofitio  .?.  enf.f.vcU.velquotliba. 
tf  numcriqnothbet  continue  p:opo:tionaks  fecundum 
.Tiiam  p:opo:tionem  fncrint  mimi-.ouos  co:um  ertremos 
contra  fe  p:imos  clle  necellano  comp:obatur. 
Cbcc  tcrtia  c  coucrfa  p:ime.Smt  cni.a.b.c.d.cotinue  ^pportioaks 


VIII 


«  f>  m  fua  .ppouione  minimi.oico  cp.a.?.d.cj:tremi  eriir  adinutce  piimi:  mimt  cni 
in  .ppojtionc.a.ad.b.fint.e.t.f.eruntqj  g.az.fcptimi  contra  fe  pjimi- p  bos  ergo 
ouos  ftn  ooctrinaJimilTe  inucnianf  totide  cotinuc  ;ppojtionaIes  fnitmi  quot  tiit 
nutncri  ppdfitupjtmo-quide  tresqui  funcg.b.k.odnde  qtuoi  qui  funt.l.m.n.p. 
i  ad  bunc  modu  corinue  g  addirionc  vnius  quoufqj  fiat  tot  quof  funt  numeri  ,p  / 
pofiti  vt  funt  bic  .l.m.n.p.fequif  ergo.l.m.n.p.cqualeseiTe.a.b.c.d.  eo  cp  m  ea/ 
dem  p:opo:tionc  funt  vrriq,  minimt  z  q:  .1.  z.p.funr  cotra  fe  p:imi  r>is.feprimi: 
erant  quoqj.a.s.d.tlis  cqualc^  contra  fe  p:imi:quod  cft  p:opofitum. 
Ifcwpoutio  .4. 
Jfmilitudinc  afiignata?:  ^poitionu  i  mimis  numeris  f m 
!  tpfas  .pponioes  cotinuatim  pJopoJtionalibus  inuenire. 
(iaffignateppctiones  i  mimis  rermis  inucntanf  ut  oocet.  34-fepti 
mi  Sintqj  p:ima  tncer.a.c.b.fcda  inrcr.c.s.d.rertiainter  .c.i.f./it 
_J  quoep  oe  pluribus  fi  fucrintfplurcs.volo  bos  ,ppo:ti6es  in  quatuoi 
minimis  numeris  cotinuare.6umo  ergo.g.minimu  que  nutnerat.  b.s.cz  quoti/ 
ens.b.numerat  ipfu.g.toties.a.numerat.b  .d.quoqj  totics  numeret.k.quoties.c 
g.itaqs  fi.e.numerat.k.fit  vt.f.totics  numact.l.crutq^.b.g.k.l.qUos  qucrim9:c6 
ftatemp.is.feptimiqjfif.b.ad.g.ficut.a.ad.b.c.g.ad.k.ficut.c.ad.d.at.k.ad.l. 
ficut.e.ad.f.  yftnimi  quoq^mafi  alt)  fint  minimi  vt.  m.n.p.q.  oponcbit  p.n.fe/ 
ptimi  bis  affumpta  ut  vtcrqj  ouo^.b.«.c.numeret.  p.  qrc  «.g.nucrabit  eiide.  1  q 
co::ef.  jj.fcp.qo'  e  incouaiies.  Sunt igif.b.g.k.l.minimt.at  vero  fi.e.non  nume/ 
rat.k.fit.m.minimus  numerat9ab  ets  fc^.e.i.k.que.m.quoties  nuat.k.  toties.b 
numcret.n.'Z.g.totie8.p.erutq5p.i8.feptimi.n.p.m.inlppo:tionc.b,g.k.circ.n. 
ad.p.vt.a.ad.b.t.p.ad.m.vt.c,ad.d.fcdquotiats.e.numcrat.m.totiens,f.nu/ 
meret.q.s erit g cande.m.ad.q.ficut.e.ad.f.DOanifeftu  e igif  cp  alTtgnate ,ppo: 
tiones  cotinuate  fut  in  quatuo:  numeris  qui  funt.n.p.m.q.Oui  fi  no  fucrint  mini 
mt.fint  fi  poffibile  eft  alij  qni  fint.r.f.t.cqj  itaq^  p..2i.feptimi  bis  affumpta  vtcr/ 
q50uo?numero?J.b.c.c.numerat,f.fcquifpcrco:Kl'.}j.fcp.vt.g.numerct]eunde 
quarcctia.k.numcrabit.t.at  q:tx2i.fcptimi.e.nunicrat  eunde.t.no  erit.m.miHi/ 
mus  que  numerat.k.c.e.bac  rone  quarta  itlis  %  quothbet  alias  fine  omni  offcndi/ 
culocotinuareboteris.  IJbzopofitio    ,c 

iibnium  ouoiu  numeroju  copoliroju  «ppomotyiiusad 
alterum  eft  ej;  lateru  fuouj  pjoducta  pjopojfionibus. 
COop:oponit^4.fe]i:ti  ocfuperficiebBsequidiftantiu  lateru  :,ppo 
hit  bic  oe  numeris  copofitis.  Sit  ouo  numeri  copofiti.a.b.latera .  a 
_  ftnt.c.«  .d.Iatcra.b.  fint.e.s.f.oico  itaq;  cp  ,ppojtio.  a.ad.  b.  con  / 
ftat ejc ea que eft.cacle.? eaqne eft.d.ad.f.fit ent nt ecd.i.e.fiat.g.q:  ergo  ejc.d 
in.cfit.a.f  ex.f.in.e.fir.b.gc6uerfione  oirTinittois  latcyeritg.is.feptimi.  a.ad 
g.ficut.cad.e.«p.i9.ciufde.g.ad.b.ftcuttd.ad.f.  quare  per  otffinitione;ppo:tio 
a.ad.b.copofita  e  eyea  que  e.cad.e.s  ea  que  eft.d.ad.f.q6  eft ,ppofitum.T1ec.eft 
neceffariu  vt  cotinuemus  .ppojtiones  latey  vidclicet  ea  que  e.c'ad.e.  1  „  quecft 
d.ad.f.in  minimis  numeris  repfe  ftn  oocrrina  pcedentis  tt  oocent  quidarh  :boc 
enimcftpjopofitoptCTneceffarium.argua.  enipofitocj)illimimmi  fint.b.k.l. 
tta icp  fit.b;ad.k.ficut.c.ad.e.c.k.ad.l.ficut.d.ad.f.^pojtione.b.ad.l.efre  copo/ 
fitaex^ofitoj;Iatei;^ojtionibu8.fatnptaj5.g.fieri£j:.d.in.c.arguijt.a.ad.g. 


H    r- 


LIBER 


-*  t- 


b 


e 

m 

n 

f 

1 

W.b.ad.kJqi  ut.£.ad.e.«.g.ad.b.  vt.k.ad.l.qi  vt.d.ad.f.  ideocg  ftn  equa  .ppoi: 
c.a.ad.b.vt.b.ad.l.codudnnt  igttur.a.ad.b.coponi  ejc  qutbus.b.c.l.  verfi  quide 
rednonnecefTarioalTumpto.  Ifbiopoiirio    .$. 

J3f  numero:umquotlibetcontinue  p:opo:tionalium  p:i/ 
jKmusfc&mnonnumerctmuluis  eo?  numerabitvltimumt 
jiGSint.a.b.c.d.c.continue  .ppoMtonales.  oico  cp  fi.a.  no  numcre. 
|b.nulluseoj;nnmerabit.e.r)(3anifcftuaute(rcpfi  ipfnm  numerct 
_yomnc8numer3bunt.e.cfimpliciterquilibetpccdcns  quclibct  feque 
tem.Si  aute  non  numerat  ipfum  patet  cp.d.no  numerabit.e.  ncc  fimplr  aliqs  co 
rum  .pjrimo  feqnentc:qi  funt  pofiti  continue  ,ppoirionale3:fcd  q?  nullu6  ali"  ut.c. 
numeret  ipfum  fic  conft3t:fumanf  ftn  ooctrina  fcoe  buius  totide  minimi  cotinuj 
piopoitionales  in  .ppoitionc  cadequor  fut  ipfe.c.«  oes  fequctcs  qui  funt  .f.£.bs 
eruntq5p..5.bui91.f.c.b.p  fepiimi:«qjp,cqua;ppoitione.c.ad.e.vt.  f.ad.  b.ct* 
f.non  numeret.b.nec.c.numcr8bit.c.eodcm  modo  nec  aliquis  alioy:  quare  liquet 
qnodpjopofimmeft.  '_b:opofitio     .7. 

Ip^=Srfjj3f  numeroycotinue  p:opo:tionalium  primusvltimuna 
^%££&  • mcrct:  ^cm  lPlc  a  faundum  numerabit. 
!  %^s^c  CSintquipii9contiiiue(ppoitionales.oicofi.a.numcrat.e.ipfcna 
I  aSHHi  ncrabit.b.alioquin  ej  picmilTa  11011  numcrarcr.c.  qo  c  contrariu  ct 
{ujfc£25__y;mpoflMe.T16  folumautc  numcrabit.b.  fcd«ocs«quifq>cojuin 
qucTibctipfumfequentem.  Kb:opofitio    .8. 

_( intcr  tnios  numeroe  numeri  quotlibet  in  cotinua  p:o/ 
po:tionalitate  ceciderint:  totidcm  intcr  omnesouos  irt 
I  eadem  p:opo:tione  relatos  cadere  necefle  eft. 
J  GSint.a.c.b.intcr  quos  cadunt.c.t.d.in  cotinua  .ppoitione  babe/ 

I  es  fc  in  piopoitione.e.ad.f.oico  cp  totide  cadunt  intcr.e.c.f.i  i  ca/ 

dan p:opoitionequotintcr.a.?.b.Sinteni.g.b.k.I.toridc  minimi  quotfunt.a. 
«.b.qui  intcr  cos  csdunt  fumprt.queadmodu  oocct  fccuda  buius  cotinue  ,ppoi/ 
tionales in  cade,ppoitionc:crunrq5  g.  j.g.  ■z.l.cotra fc  piimi:  1  pcr  cqua .ppoi- 
crit.g.ad.l.ficut.a.ad.b.idcoq5 1  ficut.e.ad.f.c  qi  ipfi  funt  iu  fua  .ppoittone  mi/ 
nimip.2}.feptimi.fequifper.2i.ciufdeut.g.numcrct.c.i.l.f.equalitcr:totiensigi 
turnumeret.b  .m.c.k.n.pofitifq^.m.i.n.intcr  .e.i.f.  confrarp.is.feprimi.  c.m. 
n.f.effe  cotinue  .ppottionalesiqucadmodu  funt.g.b.k.l.t  idco  queadmodu.a.c. 
d.b.quarc  patet  quod  oictu  £.£%  bac  conftat  nulla  fugticulare  polTe  pcr  cqlia  oiui 
di:fi  cni  boc  cffet  opoiteret  inter  ouos  numcros  fola  vnitate  oiftantce  numerum 
cadere  medinm  quod  effe  no  por:  idcoq^  tonus  in  mufica  que  fcjcquiocta  continec 
^poirio:  in  ouo  veta  fcmitonia  otuidi  non  poteft:fed  nccelTario  oiuidif  in  minus 
femitoniumetmams.  *]|b:opoiitio     9- 

'.^interouosnmnerosptra  fep:imos  numeri  quotlibet 
cotinua  ,ppo:tionalitateccciderint:  inter  vtruqj  eo:tim  1 

SGSfeZHR  vnitate  tottdem  cotinua  ,ppo:tionalitate  cadcre  necefle  c. 
P_f_^I_.  CSim.a.et.b.ptrafcpiimi.mterqnoscadatincotinuspiopoi.c.c 
|_ja_g_f  j  D,co  gp  tottcjc  aant  conrinuc  .ppouionales  iurcr.a.i  vmtate:itc/ 
qj  toadcm  intcr.b.c  vnitatc.Sint  cni  in  illa  piopoitionc  minimi.cz.f.funipti  ut 
pocet.  $4-feptimi:ej:  quibus  fumanf  trcs  cotiuuc  pjopoitionales  et  minimi  i  coi5 


VIII 

pjoponioiic^ntcocetrcBabuiusqiJifmt.g.b.k.eemdcqtuoiciniftnt.I.m.ii.p.t 
boc  toticns  ftat  vfqucquo  fic  fumpti  fiat  totide  quot  funt  numcri  .ppofiti : vt  r:mt 
bicl.m.n.p.£6fTat itaq,  cu fint.a.cd.b.in  fua  ,ppo:tione mimi p p:ima  buius. 
fmtq5.l.m.n.p.totic!e z mimi in  cade.116 fitaut poffibile ee aliquid  miiws  min/ 
mo  cp  numcri.l.m.n.p.cqualcs  erotnueris.a.c.d.b.qui  vfqj  fuo  relatiuo  e  igifil. 
cqualis.a.c.p.b.Z>l3amfcftu  aiit  cc  fc6a  bums  cp  ecf  .in  fe  fit.k.s  qc  code.m.  k:p 
p  eiffmitione  igif  cius  qf3  c  ml'tiplicari:erit.f.in.k.k  quoq^  in.  p.quotics  Vnitas  e 
in.f.itaqj  vnitas.f.k.p.funt  cotinue  ,ppo:tionalcs.Sit'r  aut  z  Vnitas.e.g.l.fnptis 
ergo.a.c.b.loco.U.p.fibi  equalii»  erunt  inter.a.t  vm'tate.g.*;e.«  inter.b.  i  vni/ 
tatem.k.c.f.cotinuc  p:opo:tionalcs:totidcm  quot  funt  tntcr.a.«.b.  quod  cft  p:o 
pofitum.  1(fc>:opofitio    io. 

3f  tntervtruq5eo£?vnitatemquotlibet  numeri  cotinna 
p:opo:tionalitatececiderint  ambobusnumeris  tottdent 
continua  p:opo:tionalitate  inter  efle  neceik  eft. 
dSint  ouo  nnmcrU.s.b.fmtqj.cc.d.intcr.a.?  vnitatc.e.quoq^  z 

f.inter.b.s  vnitatc  continuc  p:opo:tionalcs.oico  totide  effe  inter.a 

«.b.c6tmuep:opo:ti6ales:bccc  couerfaphoasejrccpto  cpad  fubiectum  pmiffe 
appofitu  crat-a.c.b.effe  contra  fe  p:imos  qo  no  apponif  bic  ad  paffione':  quap/ 
ptcr  vlio:  cft  palTio  buius  fubiccto  illius.Quia  iglf  quoticns  vnitas  in.d.toties  e 

d.iu.c.ctotic's.c.in.a.c6ftatqO'ex.d.infefit.c.cex£ode.d.i.c.3.Sirrquoq5cx.f. 
in  fc  z  in.c.ficnt.cz.b.oucaf  itaq^.d.in.f.?  .pductus  fit.g.iteq^  idc.d.oucaf.i.g! 
l.c.z  fint  piodiicti.b.s.k.Xonftat  igiturecis.fcptimi  cp.cad.g  .vt.  d.ad.  f.zc% 
i9.cp.g.ad.e.vt.d.ad.f.quare.c.g.e.umt  continnc  p:opo:tionales  i  p:opo:tione 

d.ad.f.itep.is.ite^funt.a.ad.b.ficut.cad.g.t.b.ad.k.ficut.g.ad.czp.ij.k.ad 
b.ficut.d.ad.f.  igitur  funt.a.b.k.b.continue  p:opo:tionales:quare  coftat  p:opo/ 
fitnm.  1{h:opofitio    n. 

l^^n'  ¥  ftcriwt  ambo  quadrati  erit  ,ppo:tio  Vnins  ad  alterfi  ti 
"M  fciO  iua  fui  lateris  ad  latus  tllius  p:opo:tio  tmplicata.  Si  ve 
roambofamntcubi:eritp:opo:tioalterius  ad  alterum 
riqua  fui  lateris  ad  latus  alterms  p:opo:tio  triplicata. 
_jCSint ouo  quadratU.f.b.i ouo  cubi.c?.d.  latcra  ta  quadrato:t1 
cj5cuboyrmt.e.quidc.a.i.c.f.vcrob.i.d.oicocpp:opo:tio.3.ad.b.crit  ficut.e. 
ad.f.ouplicata.c.vcroad.d.ficutcadetriplicsta.Dnanifcftueni  cft  cpejc.e.infe 
fit.a.«  c%  ipfo.ci.a.c.fic  quoqj  cr.f.in  fc  fit.b.s  ct  ipo  in.b.d.oucaf  igif  .c.in.f.z 

.pucnit.g.'zln.3.'i.Sj.«p:oucniant.b.c.k.critqjp..i8.fcptimi.3.ad.g.ficut.e.ad.f 
>zper.i9.g.ad.b.ficut.c.ad.f.igiturocoiffinitionc.a.3d.b.ficut.e.ad.f.oup[icata 
q6cftp:miu.Sc6meodc5modoc6ftat.funtcuig.i8.ite?2.c3d.b.ficut.3.3d.g.'z 
b.ad.k.ficut.g.3d.b.«pcr.i9.k.3d.d.ficut.c.3d.f.quare.cb.k.d.funtetiacon/ 
tinuepwponionales  in  ;ppo:tione.e.ad.f.p  oiffinitionc  igitur  erit.C  ad.d.  ficut 
£.ad.f.trtplicata:qnod  eft  fecndu.       1|b:opoHtto     12 

^  mimero?:  cotinue  ,ppo:tionalit3tis  quifq^  in  feipffi  ou 
catunqui  inde  .pducent  fub  cotinua  ,ppo:tionalitate  efie. 
t®Z>  ft.itc  in  ipfos  ,pductos  p:icipia  liia  tmcanr:  inde  quo 
q5  ^ductos  cotinue  ,ppo:tionalitatis  ee  necette  efi.  idcq^ 
lin  omntbus  boc  modo  pwductis  ejrtremitattbus. 

b  j 


-1 »- 
s 


H      I- 
f 


LIBER 

G6int.a.b;c.ptinue  p:opo:tionales  quoz;  quifq^  in  fe  oucatur  i  pjoueniat  ejc.a: 
quidcd.ecb.vero.es:  ej.cf.oico  cp.d.cf.fut  ptinuc  ,ppo:tionales  :q>  fi  item.a 
oncaf  in.d.i  ;pucniat.g.b.quoq5  in.c?  p:oucniat.b.cc.  in.  i.z  .pucniat.k.  oico 
etia  co.g.b.k.crunt  cotinue  .ppouionalcs.fit  cni  cj.a.in.b.U  ex.ci  eundcm.  m. 
eruntqj  E- '  »•*"• ■  g.feptimi.d.l.cm.f.ptinue  .pportionaks  i  p:opo:tionca.  b.c; 
ttaq^  per  equa  p:opo:tionalitatcm  argucd.ad.cficut.cad.f  .q6  cft  p:imu.  Keli/ 
qnijfic.oucar.a.in.l^.e.tpwueniat.n.^.p.c.quoq^oucatin.c^.m.-jpwucmat 
q.c.r.cruntqj  per  eafdcm.g.n.p.b.q.r.k.continuequoq^  p:opo:tionalcs  m  p:o/ 
po:tione  p:imozr.p.  cqua  igtf  .ppouionautatc  cocludcg.ad.b  .ficut.b.ad.k.qo  clt 
reliquum.£adem  etit  ro  quotieufcunq^  p:imi  in  pwductos  oucantur. 
1{b:opofttio   .1}'. 
=53  %  quts  quadratus  numerus  almm  qnadraram  numeret  la 
Jf&fdpS  ws  quoq? fuu  larus illi?  numcrarc,pbamr.£>t  vcrolams 
fuumlatusillrasnumeretquadratus  numerat  quadratuj 
£[5int  ouo  numcri.a.cb.quadrati-.lateraq^  eoy.cc.d.oico  q?  fi.a 
numcrat.b.cquoqs  numerabit.d.?  ccouerfo:c6ftat  cni  cj>  oc.c.m  fc 
6t.a.cj:.d.quoq5mfe.b.fiatigitur.c.ecc.in.d.eruntq5per.iS.ii9.fcptimi.a.e.i» 
ptinue  p:opo:tionales  in  ,ppo:tionc.c.ad.d.fi  igif  .a.numcrat.b.idem  ipfe  pcr.? 
buius  numcrabit.c.quare  z.cd.qo  cft  pjimu.JConucrfa  fic  patct.fi.c.numerat.d. 
a.numerabit.c.pptcr  id  qo  (ppo:tio.a.ad.cficut.cad.d.«  fi  numcrat.cipfe  nu/ 
mcrabit.b.p:opter  boc  <j>  funt  cominuc  p:opo:tionales. 

Ifbzopofitio   .14-  -i         . 

j,  cubusaliumcubumnumerertamsquoqjfuulatus  al/ 
teriusnumerabit.Siverolatus  fuumlams  alteriusnu/ 
meret-.cubutn  numerabitcubum. 
G5it  ouo  numeri.a.cb.cubi  lateraq^  eoy.c.cd.oico  q>  fi.a.numc 
=|rat.b.cquoq5numcrabit.d.icc6ucrfo:oucaturcni.c.infe.'zfiat.c 
d.quoq^  in  te.z  fiat.f.pftat  igif  cp  cjcc.in.cftt.a.*  ccd.in.f.b.fiar  itaq^.g.ejcc 
in  d.eruntq^pcr.  i2.?.i9.feptinu.e.g.f.ptinuep:opo:tionalesin  p:opo:ttoncc 
ad.d.fed  ?  .b.ck.pwucniant  cx.cin.g.  -cf.per  cafdem  igitur  crunt.a  .b.k.b.  co 
tinne  quoq^  p:opo:tionales  in  cadcm  p:opo:tioncitaq5  fi.a.numcrat.b.  idon  g 
7.buius  numerabit.b.quare  c.c.d.cft  enim.c.ad.d.ficut.a.ad.b.conftat  igit  pn 
ma  pars.£onucrfa  patet:ficut  conucrfa  p:io:is.  Tlam  fi.c  numerat.  d.a.  quoqj 
numcrabit.b.que  fi  numcrat  neccfteeft  vt  numerct.b. 
Ifbjopofttio   .ij. 
IJnumerusquadratusquenda  alium  quadratu  nonumc 
rerneclamsfuum  lams  illiusnumerabit.  StveroLatus 
lumnlatus  illiusnonnumerettquadrams  isquadramm 
illum  non  numerarc  er.  neceflitate  conuincitur. 
kA  Cbec  i  f  .p:oponit  ncgationcs  couerti:que  aff itmationib9  quas.  i  j . 
>uuib  conuerti  p:opofuit  opponuntunVt  fi  fint  ouo  numcri  quadrari.a.c  b.quo 
rum  latcra.ccd.fi.3.non  numerar.b.c.quoq^  non  numcrabit.  d.  econucrfo  ctia 
fi  c  non  numerat.d.ncc.a.b.fit  cnim  p:imo  vt.  a.  non  numcret.b.  futaqj.c  nu  / 
meracd.pcr  fecunda  partem.  i  j.buius  s.a.numcrabtt.b.  qi5  e  cotrarm  pofittom 
ficqj  patet  piimum.fccudu  quoq5  fk:fit  ut.c.no  numerct.d.itacg  fi.a.  nnmcrct.b 


H.r« 


! 


VIII 

per  pama  ptetn.  i  j  .nccerTe  eft  vt.c.nnmeret.d.iiccefle  cft  igitur  vWiumcret  ipfum 
cu  non  numcrat  tpffi:qb  eft  impoffibile..Queadmodu  aute  neceffe  eft,  couerti  ne/ 
gationcs  oppofitas  aff irmatioibus  quas.i  3  .oemoftrauit  puertirfic  quoqj  neceffe 
c  cas  ncgatiocs  quc  opponut  illis  affirmationibus  quas  pmiffa  coucrti  oemoflra 
uit  coucrtant .  vnde  fi  cubns  no  numcrat  cubu  ncc  latus  eius  numcrabit  latus  ifii9 
ecouerfo  quoq,  fi  latus  vnins  no  numcrat  latus  altcriusinec  ipfe  cubus  numera/ 
bit  alteru  cubu.ocmoftrat  aut  boc  ppmiffam  a  oeftructionc  pfequetis:ficut  qb,p/ 
pofitum eft  pcr.i 3,idcoqj boc aucto: no p:opouut:fcd pcr  Vd qb  pjopofitu e ipfu 
oeditintdligi.  1|b:opourio    .i<5. 

|  3f  ouo  nnmeri  fupficiales  fuerint  ftfes  necelfe  e  rertul  nu/ 
'jmeru  f>m  #po:tionalitate^6nnuaei8iteTefTe:eritq5p:o/ 
jpo2tio  vmns  numeri  ad  altey  fibifimtle  Velut  Vnmateris 
1  fui  ad  latusalterius  fe  reipiciens  p:opo:tio  Dupticata. 
GSint  ouo  numeri.a.c.b.fupcrficiales  *  fimilesroico  ep  inter  ipfos 
cadct  vnus  numerus  tn  cotinua  ,ppo:tione:latera  eni.a.fint.c.t.d.b.  vero  latera 
fint.«.i.f.cruntq5  ejc  couerfione  oiffmitionis  numerojj  fimiun.c.ad.e.ficut.d.  ad 
f.conftataut  c^ex.c.tn.d.ftat.a.tet.e.in.f.b.fiatitaq5.g.cx.  e.in.  d.critqsg.  19. 
fcptiint.a.ad.g.ficur.c.ad.e.-z  pcr.i$.ciufde.g.ad.b.ficut.d.ad.f.  quarc.a.  ad.g; 
ficut.g.ad.b.eftitaqj.g.coitnua^ponionalitatcmediusinter.a.i.b.qb  eftpio/ 
pofitum.£ojicf.aui  patet.cn  ftt.a.ad.b.per  oiffinitione  ficut.a.ad.5.  ouplicata. 
quc  eadem  cft  itti  quc  eft.c.ad.e. 

1(b:opofitio  17. 
3f  fecudu  cotinuam  ,ppo:tionalttate  terti9  numer?  onob? 
iinmerie  interftt:ilh  ouo  numeri  fupficiales  funt  1  fimiles. 
[  Gbcc  eft  couerfa  pmiffcut  fi  intcr.a.c.b.fit  .c.fub  cotinua  ,ppo:tio 
tionalitatecoftitutus.a.^.b.eruntfuBiicialestfunilcs.fintcni.d.t 
e.minimi  tn  p:opo:tionequa  continuantur.a.b.  c.quipcr.2i.fcpti/ 
mi  numcrabunt.a.f.e.equaiiter.fitqj  vt  im.i.t  pcr  eandem.c.i.b.equaliter  :z  fit 
vt  frn.g.erunt  igitur  per  otrTinittoncm.a.t.b.fuperftcialcs:?  crunt  etiam  pcr  oif/ 
fmitioncm.d.f.f.latera  numeri.a.e.quoq^  •z.g.latcra  numeri.b.Qb  autc  ipfi  firit 
fimilcs  fic  babeto:cum  enim  ejc.d.in.g.fit.c?  qc.e.iu.f.fit  idcccrit  p  fcbam  par/ 
tcm.2o.fepttmi.d.ad.e.ficut.f.ad.g.per  otfftnitione  igitur.a.i.b.funt  fimiles  qb 
cft  p:opofitum:boc antem  vltimum qb eft.a ■j.b.cffc  fimilcs poteft  ctiam  baberi 
per.  1 9.?.  1  s.feptimi  1  pcr  bas  ypotb.cp.a.c.b.  funt  ptinue  ,ppouionales  in  .ppoi 
tione.d.ad.e.minimoy  tiumcrantiu.a.t.c.fm.f.t.c.i.b.fcom.g. 
1fb:opofuio  18. 
'  3f  fuerint  ouo  uumeri  folidi  nTesfneceffe  eft  eis  buos  nn/ 
merosftn  continuam  p:opo:tionalitatem  intereffe.erit/ 
q5p:opo:tto\miusfoltdiad  alterum  libi  fimilem.velut 
cuiuflibet  fui  lateris  ad  latus  altertus  refpiciens  fe  ,ppo:  / 
_J  tionaliter  p:opo:tio  trtplicata. 
GSint  ouo  numcri.a.i.b.folidi  fimiles:oico  cp  intcr  ipfoscadent  ouo  numeri  m 
cotinua  pportioncSunt  eni  latera  numeri.a.c.d.e.latera  vero.b.fint.f.g.b.crut 
cp  ercouerfione  oiffmitionis  numcroy  fimiliu.cad.f.cd.ad.g.ficut.  cad.b.Sic 
igiturex.c.in.d.k.teji.f.in.s.l.eruntqjexoitfinitione.k.t.l.fup.ncialcstfimileB. 

b    4 


LIBER 


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14 


43 


96 


14  ' 


4  *- 
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-1  t- 


quare  per.itf.buios  vnus  iramerus  cadct  intcr  eos  tncdius  ftn  ;ppo:tione.c.«d.f. 
qni  fit.m.IfOanifeftu  aut  c  q>  cx.e.in.fc.fit.a.'Z  ejr.b.in.l.b.fi  igit  cjc.e.iu.m.  z.l. 
fiant.n.cp.erutg.iS-fi+itinii.a.ad.n.ficut.k.ad.m.f.n.ad.p.  ficut.m.  ad.l.  qrc 
a.n.p.funt  ptmue  .ppottionalcs  in  ,ppo:tionc.c.ad.f.s  q:  per.io.ciufdc.p  .ad.b. 
ficut.cad.b.sideo  ficut.c.ad.f.fequit  utquatuo:iiumeri.a.n.  p.b.  fmtcontinue 
pponionalcs  frn  ,ppo2tioncc.ad.f.funt  itaq^  intcr.a.cb.ouo  numcri.n.s.p.me 
dij  incotinu.  ;ppo2tionalitatc  fuo?z  laterum  interpofiti:q6  e  ^ppofitii.  lonef.aute 
P5  cii  ,ppo:tio.a.ad.b.fit  g  oiffmitione  ftcut.a.ad.n.tripltcata  que  cft  cadcm  tlli. 
quecft.c.ad.l.  Ifciopofitto    \9 

~~  ^risfcdmcotinua^pomonalitateouo  numeri  interia/ 
ccnt  quilibet  ouo  uutneri  lolidi  liint  atq5  ftmilee. 
Cbcc  eft  puerfa  pmiiTe  vt  fi  mtcr.a.c.b.fint  ouo  numeri.c.f.d.me 
dij  in;c6tinua(ppoHionc:etut.a.'Z.  b.folidi  sfimiles:Sumant  cnim 
tres  minimi  in  eade  p:opo:tionc  ptinuc  ;ppo:tionales  qui  funt .  c.  f. 
g.CTutqjper.ir.cz.g.fuperficiales^fiinilcs.fiutergo.b.c.k.latera.c.at.l.i.m.la 
tera.g.eritq5pcrco::cr..|(S.buius.c.ad.f.ficut.b.ad.l.autficut.k.ad.m.manife/ 
ftu  aute  cft  ejc  tertia  cp.ct.g.funt  ptra  fe  p:imi:  ideoqj  pcr.23.feptimi  in  fua  <p/ 
po:tioneminimi.«  q:  g  equa  ,ppo2tionalitate  funt.a.ad.d.i.c.ad.b.ficut.cad.g 
fequit  per.zi.feptimr.ut  ipfi  numereut.a.c.d.equalitcr  qb  fit  frm.n.z  item.c  .z.b. 
eqlit  q6  fit  f>  m.p.Ouia  igit  ecb.io.k.ftt.cz  cce.in.n.fit.a.fcquit  g  oiffinitioite' 
vt.a.fitfoliduseiufcplatera.b.k.n.fitrq^e^.l.in.m.fit.g.iejc.g.in.p.b.  fequitut 
etiam  ut.b.fit  folidus  %  eius  latera.l.m.p.ipfos  aut  cffe  fitcs  fic  conftabit  cu  cjc.g. 
in.n .fiat.d.-r ejc eode in.p.b.erit g.  is.feptimi.n.ad.p.ficut.d.ad.b.s q: fic crant 
b.ad.U.k.ad.m.g  oiffinitionc  manifeftu  cft.a.«.b.effe  fimilcs:qo"  eft  p:opofitu. 

•]|b:opofitio   20. 
*  %  trium  numero:u  continue  apomonalin  p:imus  foertt 
quadratue  tertium  quoq3  quadratum  efie. 
CSint  trcs  nnmeri  continuc  ,ppo:tionalcs.3.b.c.fitcp.a.quadrat' 
oico  cp.c.cft  etia  quadratus  funt  cni  g.  i7.a.,z.c.fugficialcs  1  fimiles 
cum  igitur.a.fit  quadratus  g  fpotbccrit.c.quadratus. 

1|b:opolitio    21 
3f  qnatuo:numero:um  continue  p:opo:tionaliam.  p:i/ 
mue  raitcubue:quartum  cubum  eflenecefle  eft. 
GSInt  quatuo:  numeri  cotinue  p:opo:tiona(es.a.b.c.d.  fitq5.fl.ct1 
bos:oico  cp.d.cft  etiam  cubos:coftat  enim  per.i  o.cp.a.  z.d.  font  fo 
Ijlidi  fimilcs:«  q:.a.eft  cobus  per  ppotbcerit  etism.d.cubos. 

Ifbwpofttio  22! 
%  ouoy  numero^  quoy  p:opo:tio  ftcut  quadrati  ad  qua 
dratnramtvn^quadrat^altcru  quoq?  quadratum  elfe. 
OSint  ouo  numeti.a.cb.in  p»po:tione  ouoiz  quadratoy  qoi  fut 
ccd.fitqj.a. vd  .b.qoadratus:oico rdiquu  cffe  quadratu:  cu  enim 
ci.d.fint  quadrati:feqoitor  eos  effe  fupcrficialcs  fimiles.idcoq^  pcr 
itf.cadet  vnos  medios  inter  eos  in  conttnna  p:opo:tionc:qoarc  pcr.s.i  inter.a.  z 
b.pcr-io.  tgttor  coftar  piopofitom. 

^b:opofttto  2j. 


IX 

%  Ouoy  numeroy  qaoy  p:opo:tio  ad  alterum  fit  ficur  cu 
bi  ad  cubuni  alterutcr  fuerit  cubus  ad  altc?  cubtcum  elle. 
C5int  ouo  numeri.a.?.b.in,ppo:tione  ouoy  cuboy  qui  uint.cr.d 
fitq^.a.vel.b.cubus-.oico  rcliquu  elTc  cubum.  neccffe  cft  enim  cy.c.c 

Id.ftnt  folidt  fimilcs:quippe  omncs  cubi  funt  fimilcs  z  folidi  Sitacg  £ 

iS.inter  ipfos  cadcnt  ouo  mcdij  in  continua  p:opo:tione  totidem  igitur  perAca 
dent  intcr.a.c.b.itaqj  perai.manifeftum  eft  quod  oicitur. 
l|b:opofitio    .24 
cH  mero:um  fuperficialium  fimilium  eft  p:opo:tio  Vnius 
ad  alterum  ficut  p:opo:tio  quadrati  ad  quadra  tum . 
GSint.a.f.b.fupcrficiales  fimiles.oico  qp  vnus  ad  alterfi  cft  ,ppo: 
tio  ftcut  quadrati  ad  quadratu:erit  eni  per-  ic.intcr  eos  vnus  numc/ 
_J  rus  medius  in  continua  p:opo:tione  qui  fit.c.fumptis  itaq^  tribus 
minim(8in(ppo:tioncco:u:quifunt.d.e.f.cruntpercoj:el'.2.d.adl.f.quadrati:ct 
q:  E  cqua  p:opo:tionalitate  eft.a.ad.b.ficut.d.ad.f.coftat  vcy  efleqb  .ppouitur. 
1fjb:opofttio   25: 
iJftniumouo:umfolido:umftmi!iuin  eft  p:opo:tiovni/ 
usadalternm  ficutalicuinscubi  adaliquemcubum. 
G  Sint.a.s.b.folidi  fimi!es:oico  cp  ,ppo:tio  vnius  eo£  ad  altcrum 
eft  ficut  alicuius  cubi  ad  alique  alium  cubum.Sut  quidcm  g.is.intcr 
J  eos  ouo  numen  medij  frn  continua;p:opo:tione  qui  fit.c.f.d.t  cop 
p:opo:tionc  fint  minimi:quatuo:.c.f.g.b.quo22.c.?.fc>.erunr  cubi  per  co::clarium 
fctSe.q:  igitur  per  cqua  p:opo:tionalitatem  elt.a.ad.b.ficut.c.ad.b.liquet  p:opo/ 
fituin.    fyplicitliberOctauus  3ncipit  libcr  llonus. 

3tr  numerus  efrquipoteft  inouo  cqualia 
oiuidi.G3f  mpar  numerus  e  qui  i  ouo  equa  / 
lia  Oiuidi  no  pot^additq?  fupja  pare  vnttari 
llbariter  par  e  quc  cucti  pares  efi  numeran 
es  paribus  vicibus  numerant:C]fbariter  i 
par  efi  que  canai  pares  eu  numerates  ipa/ 
rib^vicib^numerat.Cl^ariterpariipari 
ter  e  que  pares  eu  numerates  qutda  parib? 

quidaimparib?victb%umeT9t.G3fmpari/ 
ter  ipar  qne  cucti  ipares  eu  numerantes  im 
partbus  vicibns  numerat.G1fcerfectus  nu 


-    ;  K„..w..~  ,n.ivuuimiin.i»i.u  Ih-*-1  't«.u(t> im 

mcrus  appellat  qui  oibus  p.tib9  fuis  quib?  numerat  e  equalis.  Gfiaa 
bundans  oicitur  qui  oibus  liits  pttbus  ntino:  eft.G  ^iminutus  Vcro 
qutmaio:.  1^>:opolitio.    .1. 

i  %  fuerint  ouo  nmneri  fupficiales  fifes  qui  ejc  Ouctu  altcrt 

j  us  in  alterum  p:oducetur  numeru  quadratu  ce  ncceffe  e. 

.  GSint.a.c-b.fuperficialcsfimilesexquoymuttiplicartone  p:oue/ 

niat.coico.c.effe  quadratu.fiat  cni.d.ejc.a.in  fe.critq^  per.  is.fcpti 

U  mi.d.ad.c.ficut.a.iad.b.  cqnntcr.a.t.  b.caditvnusmediusfccin 

cotinua  ,ppo:tionalitate  g.  i7.octaui.fequif  g.s.eiufde  vt  vn9  quoqjcadat  intcr.d 
I.cit3fl5  cit.d.ftt  quadratua  crit  pcr.2o.eiufde.c.quoq5  quadratusqo'  e  ^ppofitif.' 


1 1 

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LIBER 


1 "$  cf  6acra  alterius  in  alterum  tetragonus  ,pdncatur  .ouo 
][qmlibet  numeri  funt  fuperficiales  umiles./£]c  bis  itaq,  pa 

tens  efhquia  ft  tetragonus  rn  tetragonum  oucatur  qui  ej; 

eis  pjoducetur  tetragonum  efle.  £>i  vero  e]c  ouctu  tetra/ 

goni  in  numeru  alique  tetragonus  pioducatur  illu  nume 
rnm  alique  cfle  tetragonu.  3f  teqj  fi  cf  ouctu  tetragoni  in  numey  ali/ 
quenontetragonusp2oducatureunumerumalique  non  tetragonw 
effe.  ©i  vero  tctragonus  in  numey  alique  non  tctragonum  oucarur: 
qui  inde  pzoducetur  non  tetragonum  elTe  necelfe  eft. 
Gfoec  eft  pucrfa  pjioiis  vt  fi  e>:.a.in.b.fiat.c.fueritq5.c.quadratu8icrunt.a.  c.b. 
fugficialcs  ftmilcs.fit  ent.d.ex.a.in  fe.entcp  per.is.fcptimi.d.ad.c.  ficut.a.  ad.b. 
pcr-id.aut  .s.cum.d.f.c.firtt  fugficialcs  fimilcaico  cj>  fut  ambo  quadrati.erit  in/ 
ter  eoa  vnus  numcrus  medt9  t>  m  cotinua  piopoi.p..  s.itacp  eiufde  erit  etiam  vnus 
inter.a.c.b.igirur  p.  i7.ciufde.a.«.b.funt  fupcrficiales  fttes  tquod  cft  piopofttum 
•fsjima  ps  conet.patet  g  p:cmiffam:funt  eni  omncs  tetragoni  fupftciaiea  ftmilcs 
fcoa  patct  q:  bac  cu  fit  folus  tctragonus  ftlte  tctragono.Icrria  p_s  patct  cjc  p:ima 
ipfius  coiieT.pK  a  ocftructione  pfequetis.quarta  vero  P5  ej:  ciufdc  gte  fcoa  a  oe/ 
itructionecriapfequetis.  iftnopofltio    .3. 

3f  numerus  cubus  in  fe  tpfum  oucatur  qut  tnde  pzoduce/ 

rureritcubus. 

06it.a.cubusej:quoinfeouctofiat.b.oico.  b.effe  cubu.fitent  .c. 

latus  cubicu.a.ex.c.Vcro  in  fc  fiat.d.patct  itaqj  cp  ejc.  c.in.  d.fit.a. 

funt  igitur  vnitas.c.d.a.ptinuc  (ppojtionales-.qd >  ex-  is.feptimi  t  p/ 
fentibus  ypotbcfibus  manifeftu  eft:?  quia  cft.a.ad.b.ficut  vnitas  ad.a.co  q>  quo 
tiens  vnitas  e  i.a.toties.a.in.b.crut  iter.a.s.b.ouo  numcri  medt)  £m  ^ppojttona 
litatc  ptinua  per.8.octaui:cum  igtt  cjc  ypotbcfi  ftt.a.cubus  crit  per.2i.eiufdcm.b. 
quoq5  cubus:q6  opojtebat  oemoftrare. 

1fb:opofitio    .4. 
f  ctibus  i  aliam  cubum  oucatur.  qui  inic  pzoducetnr  erit 

lcubus. 

|  G6int.a.c.b.cubi:fiatq5.r.ej:.a.in.b.oico.c.  clTe  cubum.  fiat  cnim 

d.ex.a.in  fe.critq^  pcr  picmiffa.d.cubus  %  qj  per.  1  s.fcptimi  e.a.ad 

b.ficut.d.ad.c.conftat  ex-25.octaui.cee  cubumiqo  eft  pjopofitum. 
Ijbzopofitio   .5. 
jiow— -■!  %  numerus  cubus  in  numey  alium  0ucatur:rocritq5  p:o  / 
JfMvsieiJ  cractus  cubus  in  que  ouctns  c  nnmCTiim  cubum  cilc  necef 

fe  eft.  Vnde  1  manifeftu  effcquia  ejc  ouctu  cubi  in  no  cubii 

psoducitur  non  cobus.*©uctoq5  cubo  in  nume^z  aliquem 

li  fuerit  qui  inde  pzoducitur  non  cubus  in  que  il  le  ouctus 
uerit  necelte  eft  effe  non  cubum . 
CSitenie>:.a.cuboin.b.numey(pduct9.c.cub9oico.b.eecubu:fiatent.d.cx.a.t 
fe  qui  g  antepmiffa  crit  cub9:qj  igit  e  f>.  1  s.fep.a.ad.b.ficut.d.ad.c.cftq5.a.cubus 
f5  s.d.?.e.cubi  crit  p.z?  .octaui.b.cub9  qo  e  ;ppofitu:  pma  ps  cojjcf  .patct  c%  bac 
quiuta  a  oeftructione  pfitis.fc6a  pcr  pmiffam  fifr  9  oeftructione  cofcquentte. 


IX 


^opofttio  .6. 
%  e%  buctu  ctiiufda  numert  in  fe  ipfum  cubus  p:oducat'eu 
cffecubujnecefTario  comp:obatur. 
GSitvtcx.a.infefiat.b.fitq5.b.cubus:  oico  ergo.a.  cffecubu-.fiat 
cni.c.ex.a.in.b.critq,  ec  oiffinitione.c.cubus.  ct  qiii  conftar  qc.  18. 
feptimiqjfit.a.ad.b.ficut.b.ad.c.  cufint.b.et.c.cubi:fcqi)ifc)c.2} 
octaui.a.eifecubuiqoeppofitii.    1(b:opofitio    .?. 

1a^=^j  3*  mtmerus  copofitus  in  numernm  quelibet  bucatur  :qui 
«(f2||?  inde  p:oducctur  cnt  folidus. 
w£*  Hj  flSit.a.numcrus  copofitus:qui  oucatur  in.b.et yucniat.c.oico.c 
elTe  numcrii  folidtkai  cni.a.fit  copofirus  numeratur  ab  aliquo  nu/ 
mero  qui  fit.d.mnneretq^  cum  fcom.e.quia  igirur  cx.c.in.d.fit.a.z 
cy.a.in.b.c.crit  c$  oiffiwtioe  folidoy.c.folidus  ciufqj  latera.e.d.b.q6  e  .ppofitu. 
1(b:opolitio    .s. 
1 3*  fuertnt  numert  ab  vnitate  cotinue  p:opo:fionales  :ter 
ttusabvnitateerit  quadratus-.acbdnceps  vno  femper 
intermifTo.iQuartus  vero  ab  vnitate  cubus:  ac  oeinceps 
tmobusfemperintermillis.lfteqj  feptimus  abvnttatee 
j  quadratnscubicus.act>cinceps:quinq5lemp€r  intermif 


fts  quadratus  cubicuscontmuo  lequitur. 

CSintc6tinuep:opoJtionalesvnitas.a.b.c.d.c.f.g.b.k.I.m.n.oico.b.cffcqua 
dratfi  t.d.obmiffo.c.i  fic  alios  vno  fcmp  obmiffo. vnde  fintplr  oriis  cxiftetcs  in 
in  locis  ipanbus  funt  quadrati: vt  funt  tcrtius  quintus  ct  feptimus:  oico  itcm.c. 
cffe cubii  ?.f.ouobus obniiffect  fic tn  ceteris.£»mnifq5  fimpfr  eft  cnbus cui9 ab 
vnitate  locus  addit  fug  tcrnariii :  vd  quclibct  multiplice  ipfius  ternarij  vnitatc:vt 
fut  quartus  fcprimus  oecim9tcrt  mfdecinius  1  fcxtufdccimus.  in  bs  cni  pucniunt 
omnes  qui  ouos  tranfmfttunt.^tcqj  oico.f.ab  vnitatc  fcptimu  effe  quadratu  cu/ 
bicu:t  fitr.n.quinq^  numcris  intcrmiffis :  idcq^  iu  cctcris.  Simptr  aute  oico  cui9 
locus  ab  vnitate  addtt  fupcr  fcnanu  vcl  quclibct  multiplice  ipfius  vnitate:  vt  funt 
feptimus  tertiufdccimus  oecimufuonus  1  viccfimufquintusnllii  ee  quadratu  cu/ 
bicum:  quadraru  quidc  qm  cius  locus  impar :  cubu  aut  qm  fup  multiplicem  ter/ 
narij  addit  vnitatcm  quippe  fcnarij  multipliccs  cuctos  tcrnarij  nccclTc  cft  ee  mul/ 
riplices.Oue  aut  .ppofita  funt  fic  conftat.-Eft  cni  ci  ypotbcfi.a.in.b.  quotics  vni 
tas  in.a.itaqj.b.ec  oirTiiiitioue  quadratus:qi  igif  .b.c.d.fiit  cotinuc  p:opouiona 
les cii.b.fit quadratusp^  ejc.  17.vd.20.oct3ui.cl.cflc quadratum.  £adcm rone ct 
f.q:.d.c.f.funt  ptinue  ,ppo:tionales:ct.d.cft  qu3dratus:idem  in  cetcris  vno  iter/ 
milTo:pftat  itaq^  p:imu.  Sc6m fic cii  fit.b.in.c.quotics.a.in.b.cy  ypotbc.fcquif 
a  oiffinitione  vt  cjc.a.in.b.fuii  quadratum  fiat.c.igif  cr  oiffinitioc  cubi  .c.cft  cub9 
3t  q:.c.d.c.f.fiit  ptinue  ,ppo:tionalcS  fcd  s.f.g.b.b.cft  aiit.c.  cubus :  nccdTc  cft 
pcr.  1  o.vel.21  .octaui  vt.f.quoq^  fit  cubus.idcoq^  f.k.idcmq,  i  ceteris  0uob9traf 
miffis:qre  liquct  ktm.Qm  aut.m.f.fcptimo  1  in.n.tertiodecimc.cctcrifq^  quin 
qj  medios  obmittetib9.fimp!r  vero  t  in  oibus  quo£  loc9  femp  quclibct  multiplice 
fcnari)  addit  vnitatc^^termmanf  quadratoy  ccuboy  coputatiocsan  bisquidcm 
vni9:in  lllis  aut  ouoy  obmiftione  fcquif  ipfos  effe  qdratos:  cji  buius  p:ima  pjc 
«cubicos  c%  fc6a:quare  quadrati  cubiciiconftat  crgo  totum  quod  oicitur 


LIBER 


IjbJOpOfltlO.    9 

J3f  namerisqnotlibet  ab  vnitatecorinua^pottionalitate 
oilpofitis  vnitate  fcques  quadrat9  fueritfceteri  quoq.5  ocs 
erunt  qnadrati.Si  vero  qui  vnitace  fequitur  fucrit  cubus 
ceteri  quoqj  omnes  erunt  cub». 
jGSint  qui  p:ius  continue  pwpoaionalcs  ab  Vnirate.  fiteft  .3 .  qua/ 


dratus:oico  omncs  elTe  quadratos.aut  fit  idem  cubus:tunc  quoqj  oico  omncs  ce 
cubos.b.cni  conftat  effc  quadratii  g  p:emilTa5:q:  crgo.3.ad.b.ficut.b.3d.ccjC2z. 
octaui  fequit.c.effequadratu.ide  quoq,  qc  ciufdc.  i7.vcl.2o.potes  argucre:  oc  fc/ 
qucntibus  aute  idc  codcqj  modo  ^>babis:quare  patct  p:imu.5cbm  autc  ficcu.b 
fiat  eca.in  fe  fi  fucrit.a.cubus  erit  ptr.  3  .ipfe  quoqj  cobus.c.  vcro  conftat  cffc  cu 
bum  pcr  p:cmiffam.itaq5  pcMj.octaut.d.omuefq^  fcqucntes  cubicos  effe  p:oba 
bts:cft  cni.a.ad.b.ficut.c.ad.d.^dcm  quoq^  argucre  potcs  ej:.  1 9.VCI.21  .ciufdcrn 
funt  eni.a.b.cd.fcd  et.b.cd.c.finguliq^  quatuo:  continuc  fumpti  continuc  p:o/ 
ponionalcs.  ']|£>20pO]itio    10. 

flT]3f  rtumerisquotltbetab  vnitate  continua  ,ppo:tionaiita 
S3j  x  Oifpoiitis  vnitate  feques  non  quadratus  facrit.non  ertt 


alioy  quiftj?  quadratus  erxeptis  ab  Vnitate:  tertio  ejc  bis 
qui  oeiceps  vnofemgitermtfToreperiunt.terrasoni.Si 
vero  fecudus  ab  vnitate  no  fuerit  cubusmullus  cetero:ii 
ertt  cubus  erxepcis  ab  vnitate  quarco:?  oeinceps  bis  qui  ouoy  femg 
itermiflione  fozmantur  cubicis. 

Cbec  c%  oppofito  fubiecti  p:cmilYc  infcrt  ptem  oppofiti  paffionis.  ©ico  aut  parte 
qrn  ejc.s.  pftat  oiiis  impares  elTe  quadratos.omncfq,  quo£  locus  fup.  tcrnarinnt 
vcl  quehbct  ipfins  multipltcc  addit  vnitate  clTc  cubos.fitit  itaqj  qui  p:ius  ab  vni/ 
tatc  ptinuc  p:opouionalcs  no  fit  autc.a.quadratus  fcd  nec  cubus.otco  nullum  c% 
oibus cfle quadratumiaut cobicu  nifi quos octaua p:opomr.fi eni  quis a'.ius po/ 
natur  quadratus  fcquif  rj.22.0ctaui-3.clTc  quadratu.  Q6  fi  cubus  fcqutt  pcr.23. 
eiufdcm.a.effc  cubum  quo£  vtruq^  contranum  cft  ypotbcEonftat  crgo  .ppoiitu: 
l^opofttio  .11. 
Jf  numeris  quotltbet  ab  vrncate  cotintta  .ppojtionahtatc 
Oifpofitis aliquis numer9 p:imus  vlttmum  nameret:euin 
quoq5  qui  Vnttace  fcquitur  numerarc  neceffc  elr. 
GSint  vfq^  ad.d  ptinue  p:opo:tioualcs  ab  vnitarcfitqj.c-.numcr* 

8jp:imus  oc  quo  pouat  ipfu  numcrare.d.oico  q>  idcm  nuincrabir.a. 

Tla  ft  116  cnt  ad  ipm  p:im?  p.  j2.fcp.i  q:  cca.i  fc  ftt.b.lequit  c%.ie.  ciufdc  ut  ipe 
quoq^  fit  p:im9  ad.b.fcd  1  ad.c.i  ad.d.fequit  ipm  cc  pmu.p.2  j.eiufdcco  cp.ejc.a 
t  .b.fit.cz  c%  codc  in.cd.no  crgo  numcrat.d.cu  fit  p:imus  ad  ipm:qre  acdcht  p/ 
riu  fpotb.^dc  alitcr.cfi  fit.e.p:im9  fi  no  numcrat.  a.  pmus  crit  adipmp.52.fcp. 
itaq^  p.?2.eiufde  erilt  mirrimi  i  fua  ^ppouione-.q:  aut.c.cjc  ypotb  .mimcrat  .d.  fit 
vt  frn.f  .pftat  vero  ep  ejc.a.in.c.fiat.d.crgo  p  fecudapte.^o.fep.erit.a.ad.c.  ficut 
f.ad.cqrc  pj.i  1  .eiufde.e.numcrabit.cc  fit  ut  frn.g.t  q:  eca.i.b.fit.c  fequif  qno 
q5  per  cafdcm  1  eodc  mo  ut.c.numerct.b.efto  ergo  cp  fro.b.  z  qrii  rurfus  ejc  a.iri 
fc  fit.b.ncceffc  eft  iterii  pereafdcut.e.numcrct.a.fcd  pofitu  erat  non  numcrarc  S 
acciditimpofTtbilc.  1^>JOpofitio    .12. 


IX 


r. 


TB  numerte  ab  tfnitate  ^rtnue  ,ppo:tioalib9  minot  maio/ 
renumcrat  fm  aliquei  illa^poKionalitateoifpofttum. 
CSint  ab  vnuarc  vfq;  ad.f.cotinuc  ^poitionalcs.oico  nuilii  tpior 
numcrare.f.nifi  i  m  aliquc  aliO£:coftat  eni  cp.cnumaat  ipfii  .f  im 
_a.cfteni.e.ad.f.vtvnita8ad.a.fecl7.d.numcratcudc.f.fm.b.cn3 
q^gequa^pottionaliratc.d.ad.f.vtvnitasad.b.  IDe.c.qnoqjpatctcode  moo/ 
fccudu  fe  ipfu  numcret  eum.jEconuerfo  quoq^.a.numerat  cu  fmt.e.  eo  q>  ficut  vni 
tas  ad.cita.a.ad.f.b.vero  ftn.d.eft  cni  vt  vnitas  ad.d.ua.b.ad.f.  vey  igif  eft  cp 
;pponitur..Qnippc  quotus  quifq5  qni  pjoponif  vltimu  numaare  fuerit  fub  vlti/ 
mo  f  m  totum  fup:a  vniratemtnumerare  ipfum  conuincif  g  equa  p  jopojtionalita/ 
rcmtoiffinitioncm.  1{b:opolttio    u 

^otlibetmtmertsab  vmtate  cottnnc  ,ppojtionalibuefi 
qniwitatemfequiturraerit  numeru6p:imus  mayinmm 
co:um  ntli  oe  numais  in  tlla  p:opo:tionalitate  oilpol  ttts 
nutlusnumcrabit. 

GSint  vt  p:ius  vfqs  ad  .d.eonttnuc  p:opo:tioaIes  ab  vnitate  .fitcg 
fl.numer"'  p:im9:oico  <j>  nnllus  numerabit  vltimii  nec  iitnptr  alique  coy  nifi  aliqa 
coy  qui  anteccdit  vltimu  vel  cfi  qui  pomf  numaari.Stt  eni  fi  polTibile  e.e.oiua/ 
fos  ab  cis  qni  numcret.d.qui  fi  fuerit  pjimns  p..  i  i.nnmerabit.a.non  igtf  e.a.pm9 
quod  e  p  fpotb.Si  aut  ipfe  merit  copofitus  ncccflc  e  pcr.jo.fcpiimi:  vr  altqs  pii/ 
mus  nueret  eu  qui  no  erit  nifi.a.Tla  fi  e  alius  ab.a.  vt.f.cn  necclTc  fit  ipfu  nuerare 
d.argnef  etia  eude  numerarc.a.E.  i  i.fic  quoq^.a.no  crit  pmns.£ft  igif  .a.pjimus 
numeras.e.qm  ant.cnuerat.d.ftt  vt  frn.g.critqj  g  fcoa^  fttc.2o.fep.a.ad.e.ficut 
g.ad.c.fitcni.d.ejc.a.i.c.^recn.a.numcret.e.-z.g.nnmerabit.c.fitq^ut^m.b.  fc/ 
qnitq>  nt.a.numaet.g.ficut  fcqbat  vt  numerarct.c.alioqnin  fi.g.  quide  e  pm9  ctl 
numcret.c.fequtt  p..  1 1 .ipfu  numaare.a.Si  aut  copofttus  g  eadem  fcqutf  numcrti 
p:imnnumaante.g.numcrarc.a.qnodeincouenies.itaq5.a.  numcrat  eu.  fcquit 
ergo  p.  fecunda  gtc.2o.fcptimi  vt.b.n  amaet  quoq^.b.eo  q>  ta  cca.in.b.ctf  et  g. 
in.b.pftat  ^duci.c.nnmcrct.b.itaqj  ipm  ftn.k.JConftat  aiit  vt  p:v9  oe.g.cy.a.nu 
merct.b.Tla  fi  no  no  crit.a.pjim9  iraq^  p.  fccuda  Ete.20.fep.feqt  ut.k.uumaet.a 
fit  cni  ta  ejc.a  in  fe  q5  cx.b.i.k.b.DOanifcftu  e  autck.no  elTe.a.nulius  eni  numc 
roy.g.b.k.c  aliqufe  eca.b.c.d.fi  cni.g.effa  aliquis  ey  eis  cu  ipe  numaa.  d.fe/ 
enndn.e.eet  p  pmilTa.cquoq^  aliquis  er.  ets.f^  no  aat:  ncc  igif  .g.filr  cu.b.nume 
ret.c.ftn.g.no  cnt.b.aliquis  ejc.a.b.cTtam  dTet.p  pmtffa  cg.oftcfum  e  aute^  q> 
non  :nec  igif  .b.cade  rone  ncck.cn  cni  ipfc  nnmact.b.fccnndu.b.fi  ipfe  eet.a.co 
nincercf  p  pmi(Ta.b.quoq5  eca.3t  no  craf.ncc  tgif.k.ait.a.numaat  aute  ipfunv 
tlo  e  itaq5.a.p:im9qb  e  ipoffibile.Gaiita  tde  ft.c.oiuafus  ab.a.b.c.d.numcrat 
d.ftt  vt fecundu.f.iq:.a.numaus piimus numaat  d.^ductu  qc.c.in.f.fequtf  ejc 
35.fep.cj)  ipfe  numaa.cvcl.f.numaa.ago.e.qj  tgif  ta  cjr.a.i.cctf  cj:.c  in.f.fic 
d.crit pcr faunda partc'.2o-f cptiim.a.acLcficnt.f .ad.c.  numcrat  itaq^.f.c  fit  vc 
fannd3.g.eritq5  pa- jj.feptimi  ut.a.quoq5  nnmaa.  f.vel.  g.fttq^  nt.  f.fcqtrifqj 
per  faundam  partem.2o.eiufdem  vt  .g.numaa  .b.fitqj  ut  faundum.b.ut  p:i/ 
bs  igitur.3.numaabit.g.vel.b.f  fit  vt  nnmart.g.b.  ago  pcr  fecnndam  p.te-2o. 
numaabit.a.fi  itaq;.b.non  e  cqualts.a.non  ertt.a.pjimus  :quod  c  ptra  fpotb. 
5i  autc  cqualis  crit  vnufquifoj  namaojti.g.f.caitquis  eca.b.c.d.g  pmilTa  quo 


LIBER 


Sib 


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— (  i — 


144  o 


9    0 


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27  1     Ji5m      84    n 


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— 1 


ticus  opotfet  affumptann  Tlon  dl  igit.e.oiuerfus  ab  ds:q6  eft  cria  cotra  ypotbe. 
itaq5Conftatve£effeq6p:oponit.     1|b:opofltio    .4. 

3f  ,ppofttus  fuerit  numer?  mimus  que  numerat  p:imi  alli 
gnatino  numerabit  eu  aliquts  numeruspjimus  p:eter  il 
losaflignatos; 
j  (I6it.a.minimu8numerusnumerat9annmerispiimisqui  fut.b. 
i,  cd.pico  q>  alius  primns  pter  cos  no  numerabit.a.  Siu  autem  fit.c 
p:imus  numeras  cu  ftn.f.q:  crgo  quilibct  numcroy.b.c  d.numcrat  .3.  .yductii  cjc 
e.in.f.e  aute  quilibct  eouim  p:imus  fequitur  qc.j  j  .fepttmirvt  quilibct  eo?  numc/ 
ret.e.vd.f.fed.e.nullus  numerat  cu  fit  primnsiquihbct  ergo  copi  numcrat  .f.lcum 
itaq^  fit.f.mino:.a.Vtpote qui numerat eu  im.  e.no  crit.a.  minimus  numcratus 
abiillisqoeftinconuenicns.  ']jb:opofitio    .ij.  .  •  ;' 

?3fquotlibet  numeri  continue  p:opo:tionales  f  m  fua  p:o 
poJtionc  fitcrint  mimmi:  quicuq?'  aliquc  illoiu  numerat 
alteri  tcnninoju  illtus,ppo:tiorii8  erit  comcnmrabtiis 
GSint.a.b.cd.e.  c6tinuej>po:tionale8  ?minimi  ftn  .ppoMionej 
f.ad.g.qni  fint  in  fua  ,ppo:tione  minimi:«  ponatur.b.numcrarcc. 
oico  cp.b.clt  comenfurabilis.f. vel.g.fumant  eni  in eade ,ppo:rione  quatuo: mi/ 
nimi  qui  funt  .k.l.m.u.  col  tat  aut  cc.fcba  octaui  q>  ejc.f.in.m.fit.c.alioquiii  cottn/ 
gerct  effe miuus  minimo qo cffe no  potcft.itaqj  per concl.j j.fcptimi  erit.  b.co/ 
menfurabilis.f  .vd.m.cp  fi.f.coftat  ,ppofitum:fi aut.m.fumanf  in  cade  ,ppo:tio 
nc  tres  minimi  qui  fint.p  .q.r.eritqj  er  fcoa  octaui  vt.  m.fiat  ec.f.in.r.  ne  minus 
mimo  alicjd  ce  cogainur  cocedere  :qre  per  pxdictu  cond'  .b.e  comcnfurabiliB.f.vf 
r.fcd  no  erat.f.fic  eni  conftabat  p:opofitu  :comenfurabilis  igitur  e.  r.  qui  cum  ejc 
fecuda  octaui  fiat  ex.g.in  fe  fequitur  ex  oicto  co::ef.ut.b.fit  comcnfurabilis.g.  qo" 
eft  p:opofitum.  1(b:opolitiO    .its. 

j'  3J  fuerint  nmnert  quotlibet  cotinue  p:opo:tionales  1  fua 
p:opo:tione  minimi  quiltbct  eo:u.5  ad  compofitum  er.  re 
liquis  p:imis  efle  neceifario  comp:obatur . 
"4  GSiiit.a.b.c.d,c6tinuc,ppo:tionalc8«minimi.oico  copofituejc.a 
aj  b.c.p:imu  effc  ad.d.Si  cni  no  numerabit  aliquis  numerus  qui  fit.e 
copofitii  cca.b.c«.d.p  pmiffa  igif  cnt.e.coicans  alteri  termino^  illius  .ppoitio 
nis  qui  funt.  f.«.g.erit  itaqj  numer9  aliqs  numcras.c.«  altcrum  ouo:um.f.g.  qui 
fit.b.quia  crgo.b.numcrat.c.numerabit.d.?  copofitum  er.a.  b.c.  «  quia  nume/ 
rat.f.  veLg.quoju  vterqj  numcrat  vtruqj  medio:um  %  (implicita  oes  fi  ptes  o.no/ 
bus  fitu:cx  fecuda  octaui  fcquit  ut  ipfe  numeret.b.  ?.c.ergo  ca.q:  numcrat  totum 
a.b.cno  funt  igit  .3.  iA.  9  fe  pmi  q6  e  incouenies  g.  ?  .octauufilr  quoq5  conftabit 
ppofitu  et.a.b.d.pmu ee  ad.cfi eni  Vt p:ius.c.numcrat  abos fequit  g  pmiffam 
ut  aliquis  numerus  qui  etia  fit.b.numctct  .c.i  alteru  ouom.f.g,  itaqj.b.numcrat 
a  totu  .a.b.d.fcd  i.b.cu  vtraqj  radicu  numcrct  omncs  medios  :igit  1  copofitfi 
vc.n.i.d.i  q:  nccelTario  numerat  alteru  ouom.a.d.cu  numerct  altcru  ouoxu.f.g. 
nnmcrabit  1  reliquu.116  fut  igitur.a.cd.cotra  fe  p:tmi:«  ita  ide  ut  p:i9.GjDcmo 
ftrat[aut  ide  alitcr  oe  trtb"  cotinue  ^>po:ti6a[ib9c  mimis  fine  aminiculo  pmiffe^i/ 
bat  eni  cjc  quibufq^  ouob9  copofitu  pmu  ee  ad  rdiquu.fint  itaq^.  J  .cotinue  pppi  1 
tionalcs  1  mimi.a.b.cqno^  rermuii  .d.i.c.oico  tuc  compofitum  cjc.a.t.b.piimu 


IX 


cffe  ad.c?  copofitii  cx.b.?.c.ad.3.ttcq5  ex.a  .t.c.  ad.b.  manifeftu  cnim  cft  Cx  kt 
cunda  octaui  q6  cx.d.in  fe  ftt.a.i  in.cfit.b.  i  ey..c.  in  fc  c.i  ex.22.feptimi.q6.d. 
•z.cfut  cotra  fe  p:imi:itaq5  ex  pma  ptca9.cinfdc  crit  tot9.d,cpm9  ad  vtruq5  co;z 
q:  igif  vtcrq>  ouoy  numcro£.ciU,d.c.p:tm9  c  ad.e.crit  pay.ciufde  qui  qc.d.in.d 
e.pdncitur  i  ipfc  c  copofitus  ex.a.i.b.pmus  ad.e.fcquif  ergo  p.2tf  .ciufdcut  ctia 
copofitus  ct.a.t.b.fit  pm9ad.c.fit  eni.c.et.e.i  feGSimili  quoq,  oemoftratoc  p/ 
babis  copofitu  cx.b,«.c.pmii  cffc  ad  .a.at  vero  copoutii  ct.a.-r.c.pmu  efie  ad.b: 
ficbabeto:cfifitcnivtcrq3Duoy.d.«.c.pmu6adtotnm.d.c.critp.25.feptimiqui 
CX-d.in.c,,pduaf  :t  ipfe  cii.b.pmus  ad.d.citaq?  p.2<s.ciufdc  qui  cv.  d.  e.in  fe  #/ 
venif.i  ipfe  eft  qui  coponif  c%a.i.c.i  ouplo.b.p:imua  crit  ad.b.fcquif  crgo  com 
pofitu  ex.a.«.c.pmu  effc  ad.b.neceffe  eni  e  ut  ex  ouobus  copofitus  cii  p:itnus  fuc 
rit  ad  vnu  eoy  cr  quib°  componif  ifitprimus  ad  reliqufitocmoiiftratum  aiit  c  boc 
fup:a.29.fcptftni.  Opojtct  aiit  ftabilire  ad  robur  iftius  ocmonftratiois  compofitii 
er.a.t.b.(pduci  er.d.in  copofitfi  er.d.^.c.fuppofsto  cp  cr.d.in  fe  fit.a.  i  er  code; 
in.cb.itecr}  cp  cx.d.e.i  fe  .pducaf  copofitu  cyi.a.i.c.i  ouplo.b.fuppofito  co  quod 
p:ius  i  cp  er.e.in  fe  fit.c.bifius  itaqs  gfa  .pponim9  bcc  oemonftrada. 
G£i6  nter  ouctu  vni9numeri » quotlibet  tantii  cquantu  q6  er  ouctu 
etufde  t  cdpofitu  ejc  illis.G^de  ,pponit  pma  fcoi  oe  lineis.Sit  ent  ut  er.a.i.b 
•z  in.cz  in.d-.puehiant.e.c.f.f.g.oico  cp  er.a.in  copofitu  er.  b.i.  c.i.  d.,pucnit 
copofitu  er.e.i.f.T.g.fcquif  eni  cx  coucrfione  oiffinitionis  eius q6  multiplicaf  ut 
tota  pars  fit.b.c?  tota.c.f.fcd  «.d.tota.g.quora  c  vnitas.a.  pcr  quinta  itaqj  fc/ 
ptimiitota  quoq,  ps  ent  copofttus  et.b.t.c.c.d.compofiti  ex.c-t.f.T.g.quota  cft 
vnitas.a.ergo  pcr  oiff initioue  er.a.in  copofitu  ex.b.c.ci.d.fit  copolitus  ex.e.i 
f.^.g.qo*  cft  p:opofitu.Gi06  fit  er  ouctu  quotlibet  numerojum  in  vnuin 
equfl  e  ei  q6  flt  er  copolir  o  co:u  in  cunde.  G  boc  e  coucrfu  cius  qo  modo 
oemohftratu  e:  Vt  fi  cx.b.?.cz.d.in.a.fiant.ci.f.T.g.fiet  quoq^  copqfttus  cx  co 
pofito  i  cunde:q6  cx.  i7.feptimi  i  pdcmonftrato  facilc  cocludif  .G/Q6  fit  C)C  OU 
ctu  quotlibet  numerpy  in  quotlibet  alios:equu  eft  ei  q6  fit  er  copofi 
to  boinm  in  compofitu  illoy.GUt  fi.a.b.c.multiplicet.d.cf.  quilibct  que/ 
iibct:iungai)fq5  ,pduaa.oico  aggrcgatii  ex  p:oductis  elfc  equale  jiducto  cx  copo/ 
fito  ex.9.«.b.?.c.in  copofitu  qz.d.i.e.i.f.  eft  ent  p.  p:emilfam  qd  fit  cx  copofito 
ex.a.b.c.in.d.quatuqdexftngulisinillu.d.fictin.czin.f.excopofito  autbo:fi 
a.b.c.iu  queltbct  iilo2.d.cf  .p  ante  pmiff  a  fit  quatti  cx  copofito  in  copofitft  .itaqj 
conftat  ^ppofitu.GTBumero  in  quotlibet  tjtes  Ointlb:  tantu  efl  qo  fit  er 
toto  eo  in  fe:quantfl  q6  er  eo  in  omnce  fuas  gtes.G3de  pponit  fcoa  fc/ 
cundi  oe  lineis.vt  fi.a.oiuidaf  in.b.«.c.«.d.oico  q6  tanium  fit  cr.a.tn  fc  quantfi 
tnoesillos.b.c.d.pofitocni.e.equali.a.conftatexp:imaba^incidcnttutmftcri 
ex.citt.a.quatu  in  oes  ptes.a.fed  g  cocept.cx.cin.a.fit  quatum  cx.a.in  (c.i  cx.e 
in  ptes.a.quatii  ex.a.in  eafde.nnanifeftfi  crgo  e  vey  cffe  q6  oictf  .GTBuniero 
in  Ouo  oiuifo  q6  fit  eje  toto  in  alteram  oiuidentium  :tm  eft  quantu  q6 
er  eodein  in  fe  i  in  alterum.G^dcm  p:oponit  tertta  fcoi  oc  lineis.  Sit  cni.a 
t>iuifu8iii.b.«.c.oicotmficriex.3.m.c.qiutucx.c.iiifc.«in.b.1lamq6cx.3-i-c 
i  quatuq6ex.cin.a.p.i7.feptimi.fumptottaq5.d.equali.c.crit.a.in.c.quantum 
d.in.a.atpcrpMmabaru.d.in.a.cquaiituin.b.T.c.qjCTgo.d.in.a.Ti.b.t.t.c.f! 
quatitnm.c.m.a.?  wJo.i  in  fe  ptopter  cqualitatcm.ccd.conftat  p:opofitum. 


e  r  s 

i .  . 1  , 

b  c  o 


yfi 


Pd*-, 


LIBER 

G  TRumero  in  ouo  Oiutfo  q»  eje  ouctn  totins  in  fe:eft  qnantum  q6  ejc 
Ouctu  vtriufqj  oiutdcntium  m  fe  i  alterins  eoium  bis  in  alterum . 
G^dcm  ,pponit  quarta  fcoi  oc  lincis  <n  (i  a.oiuidacur  tn.b.i.c.oico  tifi  fieri  ejc.a 
i  fc.quatii  ec.b.in  fe.c.c.i  fe  z  gc. b.bis  in.c.eft  eni  pcr  quartam  barum  cp  et.  a. 
in  fe  quantu  qo  c%  co  in.b.  z  in.c.cjc  co  aute  in.b.  per  pxmiffii  cft  quantu  ejc.b.iit 
fe.^in.c.atej.a.in.c.pcreandcmeftquantumex.c.infccin.b.tqi  er.c.in.b.ti 
tum  eft  quantum  ex.b.in.c.pcr.i7.feptimi.liquct  vcrum  effc  quodpwponitur. 
GlR-umero  per  Ouo  equalia  Ouoq?  inequalia  otuifo  quod  fit  ey  ma/ 
iozi  incqualium  in  mtno:em  cum  quadrato  intermedij  equum  e  qua/ 
drato  medietatis  totius. 

G3dcm  pjoponit  oc  lineis  quinta  fecundi:  vt  fi.a.b.oiuidatur  in  ouo3  numcro3 
equ3les  qui  fint  .a.c.cc.b.  itcmq,  in  ouos  iuequales  quoy  fit  maio:.a.d.s  minot 
d.b.oico  q>  illud  qo  fit  c%  toto.a.d.in.d.b.cu  quadrato.c.d.equale  cft  qdrato.c.b 
per  p:emiffam  ciiim  quadratu.c.b.cft  cquale  quadrato.c.d.  z  quadrato.  d.b.l  ci 
q6ntc^.b.d.in.c.d.bis:fedcr.b.d.i!fe2i.c.d.trTifitquatui.c.b.ppniabay:?id 
quam  i.a.c.itaq)  ejc.b.d.iu  fe  z  in.c.d.bisquatu  cy.  ipfo.b.d.i.a.d.  g  eadc  igitur 
quadratu.c.b.fupat  idqb  fit  ejc.b.d.in.a.d.in  qdraro.c.d.coftat  crgo  psopofitiu 
GCum  fuerit  numerus  in  ono  eqlia  oiuifus  eiq^  alius  numerus  adiu/ 
ctus:  qo  fit  eje  ouctu  totius  compofiti  in  admnctum  cum  quadrato  me 
dietatts  equitm  eft  quadrato  coinpoftti  cjc  otmidio  i  adiuncto. 
C^dcm  ptoponit  fejcta  fccundi  oc  liuds:5it  eni.a.b.oiuifus  in  ouos  cqualcs  nu 
incros  qut  fint.a.cr.c.b.addaturq,  ci  nmnerus  .b.d.oico  illud  qd  fit  cjc  toto.a.d 
in.d.b.c.cu  quadrato.b.cffe  equalc  quadrato.c.d.eft  euim  vf.  fejrta  baru  quadra 
tu.c.d.equale  quadrato  A.b.z  qdrato.b.cz  ci  qb  fit  cjc.d.b.in.b.c.bis:  f^  pcr  pri 
ma  ba^  cjc.b.d.in  fe  z  in.b.c.bis  cft  qntu  ejc:b.d.iu.d.a.  Sut  cni.a.c.c.c.b.  eq/ 
les.itaqj  qdratu.c.d.fup.at  id  qb  fit  cjc.b.d.in.d.a.in  qdraro.c.b:  qb  e  ,ppofitum 
Gi£u  numerus  in  ouo  oiuidit  qo  fit  c%  toto  in  fe  cu  eo  qo  ejcaltero  Oi 
uidctiu  in  le  e  equu  ei  q6  q:  toto  in  eunde  bis  cu  eo  qo  ejc  altero  t  fe. 
G3dem  p:oponit  fcptima  fcbi  oc  !iueis.5if  eni  numerus.a.oiuifus  in.b.f.d.oi 
co quadratn.a.cii  quadrato.d. tm  cffc qnatutn qo fit ejr.a.in  d.bis cum quadrato 
b.conftat  quidc  cjc  fcjcta  ba?  q>  quadratum.a.tanru  e  quantii  quadratu.d.  z  qua 
dratum.b.cq6fiteji.d.iii.b.bi3:itaq5quadratum.a.cumquadrato.d.ttfiequan 
tum  qb  er.d.bis  iu  (c.z  bis  in.b.cum  quadrato.b.fcd  epd.bis  in  fe  z  bis  in.b.fu 
quantumcjc.d.bis  in.a.per  pritt  am  barum:crgo  quod  fit  cjc.d.bis  i.a.cu  quadra 
to.b.cft  quantum  quadratum.a.cum  quadrato.d.  quarc  patet  p:opofitum. 
G£um  tuerit numerus in  ouo Oiuifus eiq^  equalis  vni  Oinidcntium 
additus:  quadratum  totins  compolitieqnumeft  quadruplo  etus.q6 
ftt  et  pjiou  in  additum  cum  quadrato  alterius. 
G3dcm  p:oponit  octaua  fc6i  oe  tiiicis.Sit  numcms.a.b.  oiuifus  in.  a.c.  z.cb. 
cuiaddatur.b.d.quiponaturequalis.c.b.oicoquadratum.a.d.tantumcffcqua/ 
tum  cft  id  quod  fit  cx.a.b.in.b.d.quatcr  cum  quadrato.a  .c.cft  lianq5  pcr  fejctam 
barquadratum.a.d.cquumquadrato.a.b.^quadrato.b.  d.^ciqbtitex.a.b.in 
b.d.bis:cquia  quadratum.b.d.cft  cqualcquadrato.c.b.crit  qtiadratu.a.d.equa 
lcquadraro.a.b.iqtiadrato.c.b.cciqbfitex.a.b.in.b.d.bisipcrpmiffamautc 
cft qiiadrattim.a.b.cum quadraro.c.b.quantum quadiamm.  a.  c.cii  co  quod  fit 


IX 

Iinee.c.f.incomdirurabai6inloiigtodine:quarepcr.i9.fupcrficics.c.g.crititicc?t 
ali8:cumliiica.e.f.firr6iiaiisi!oiisirudii!eficur.c.d.;ibicquaii3:culitcr£o.b.ecj/ 
te.e.g.CTit quoqj.b.mcdiafe qo e  p:opofitu.CL£ t  nota  qj  omuco  fupci ncies me 
dialcs  coicantcs  coponunt  f  upaiiciem  medialc.  23ndc  to.a  .d.g.e  incdiaii8:q:  cii 
oue linecc.f.c.f.g.fmt  ronaics  111  porctia  tm  z  no  coinuntcantes  in  longitudine 
feqmtur  ut  tota.e.g.fit  ronalis  m  poretia  tm  z  116  c6icas.c.d,i  longttudine.itacK 
B.i9.d.  S.emedi3lis£odcq5m6fifmtpfes. 

"}fb:opoiirio   .22. 

Qftnisoifferentiaquababuudat  mediale  a  mediali:irra 
rionalis  eflc  p:obatur. 

ffSit  vrraqj  ouaz>  fuperficierii.a.b.  c.a.  mcdialis  ioico  g>  fupficies 

J.qtie  cft  ea?z  Oiftcrentia  c  irronalis.Sit  eni  linea.cd.ronalis  i  lon/ 

__  jitudinc  cui  adiungat  fuperricies.d.cequaks  fupficiei.a.l  fupcrfici/ 

cs.d.f.cqualrs totalt fupcrficiei.a.b.  boc  aiit quaiirer  fiat  m pjcmilia  oocuim9:qj 

ergo.d.f.dtcqualis.a.b.^.d.e.equalis.a.eritBcoccprionc.g.f.cqualis.b.Siita/ 
qj  fnp/icies.b.no  eft  irronalis  lcd  r6nalis:crit  «.f.g.fua  equalis  ronalis.  3i  cum 
linca.cg.fit  ronalis  m  longitudine  ficut  fua  equalis.c.d.erit  pcr.ifi.lmca.  c.f.  ra/ 
tionalts  in  longitudinc  « comunicas  Itnece.g.  p.2o.aur  cft  vtraq3  ouay  Itneanu 
r.ci.cf.porcntialitcr  rrii  ronalis  z  lince.c.d.iiicomenfurabilis  i  iongitudmc:  ita 
qj.cf.lmea  cft  tncomenfurabuis  linccc.cin  longitudinc.£  t  quia  pa  p:ima  icxti 
quadratum  lincce.f.ad  fupcrficiem  que  liit  ccc.f.tn.c.ce  ficut.cf.ad.  ccfequtc 
per  fcoam  parrem.  io.ut  quadratu  lineccf.  fit  itjcomenfurabilc  futficici  facre  cjc 
cf.in.c.c  quare  tipfu  quadratii  crit  incomcnlurabilc  ouplo  fupftcici  gc.cf.i.ce 
quadratu  vcro.cc.cum fit ronalc cft coicans quadrato cf.totum  igitur eianibo 
bus  compofitn  ait  pcr.  9.  coicans  quadrato  c.f.t  idco  incoinenfurabilc  ouplo  lu/ 
paficiei  eccf.in.cc.£r  q:  per  quarti  fcbt  quadratti  Imcccf.c.equalc  oucb''  qua 
dratisoua?  lineay.c.e.i.cf.t  oupio  fupftckt  cr.ce.m.  c.f.  ct  ouplu  fupcrftaci 
c.e.i.e.f.eincomenfurabile  aggrcgato  ej  ouob9  qnadratts  oua?  hrieay.cc.t.c.f. 
rcqnitnr pa ea qne addita  funt tn.9.ut quadratii.c.f.fir  liicomciifurabilc  aggrc/ 
garo  cc  onobus  quadratis  ouay  lincazj.ccccf.at  cu  aggrcgatii  <?  bis  quadi  a/ 
tis  fit  ronale:fequif  quadratii  lincccf.iioclTc  ronalc:  %  tdco  Unca.cf.116  c  rarw/ 
nalis  in  potentfa:  %  idcirco  no  crtt  fuperftcies.d.f.mcdialis  neqj.a.b.ltbi  cqualts 
quod  cft  inconueniens  cum  fit  contrannm  pofitis:rclinquirur  igitur  q>  fupcriictes 
b.cft  irrationalis:quod  eft  piopolitum. 

IJbzopofuio  .2j. 
iXjfrnisfuperfkicsqua^otinte  ouelineemedialcs  poten 
|  rialitcr  tantu  cdicautes:aut  rdnalis  cft  aut  mcdtalis. 
iGSint  ouelincca.b.i.b.cmcdialespofenria  tm  comuincatesiot/ 
co  q>  fupaficies.a.c  abciscontcnta  auteft  ronalis  autmcdialis 
JSint  cnim.cd.quadratu  linccb.Cf.a.cquadratii  linec.a.b.  aunt 
cp  qc  fpotbefi  bcc  ouo  quadrara  communicantia  1  crit  pcr  p:imam  fcjcti  fupcrfi/ 
cies.a.cmcdialis  mcdio  loco  p:opo:iicnalis  itcr  ipfa  quadrata.  Sumarur  igirur 
linca.f.g.  qnc  fit  rationalis  in  longitudtnc:cut  adtuugatur  fupcrficcs.  f.b.  cqua/ 
lisqti3drato.3.c.T.b.k.equalisfuperficici.a.c«.k.l.cquali8quadraro.d.c.crHiit 
cfe  bce  rre*  fupcrficies.f.b.b.k.t.k.l.continuc  piopomoiialcs  licut  fuiit  fuc  cqlcs 

k 


b 

e 

. 

3 


J     C 


LIBER 


9  e  a  cr.d.c.quarcpcrp:im9fc)cticnmtctiamt«6[mcc.g.b.b.m.i.m.l.qiunt 
bafcs  carum  continue  p:opo:tionalee:  z  cu>  fupeTficies.f.b.cfc.l.fint  comumca/ 
tcs ficut ouo quadrata.a.e.ccd.eis equalia:  fcquitur  per p:ima ferti  cio.bm  vt 
linea.g.b.fit  comunicane  cum.m.l.vtraq5  autem  tarum  eft  ronalis  m  potctia  pcr 
zo  buius:isitDr  fugficics  vnius  ea?  in  altcram  cft  ronatis:  onmis  emj  fupcrfiues 
quam  continent  oue  liuce  ronalcs  iu  potcntia :  comuuicantes  in  longitudme  ne/ 
ccflario  cft  rationalis  ut  patet  c%  p:ima  fejcti  t  p:ima  p.tc.  to.buuis  c  e^oiftimtioe 
fuperficierum  ronaliam:  i  quia  er.p:ima  Ete.i<s.qnadratum  linee.b.m.  cit  cqualc 
fuperficiei  tj:.g.b.in.m.l.crit  qnadratu^  linecb.m.ronalc  Si  crgo  lmea.b.m.elt 
rationalis  in  longitndine  fiue  coicane  Imec.k.m.que  cft'cqualie  lince.  f  .g.  crU  pcr 
i<  .fuperficies.b.l;.r6nalis:idcocrj  i  fua  equalis.a.c.fi  autelinea.b.m.  fit  irrona/ 
lis  in  longitndine  fiue  incomenfurabilis  lineck.m,que  e  equalis  linee.f  .g-  cu  ipia 
fit rationalis faltcm in potentia:  eo  q>  M quadratu  eft ronalceru ^.fuperh/ 
cics.b.k.medialis:quare  %  fua  cqualis.a.c.conftat  ergo  pwpofitu.GB  nota  cy  fi 
oue  linee.a.b.«;b.c^iTent  mediales  in  longitudine  comunicantes:  effet  fueficies 
a.c.medialis tm:effet enim fuperficies.a.c.  comunicans  vtriqj ouo? quadratom 
a  e.«.c.d.per  pjima  ferti  i  pcr  p:efcnte ypotbefim  z  per. . o.buius:s  ideo  fuperti/ 
cies  b.k.fibi  equalis.a.c.cftet  comunicas  vtriq^  fuperficiei.f.b.ck.l.igit  pcr  pma 
fetti c..o.bDiu8liiiea.b.m.  cffet comunicsns  vtriqs  oua^linea?.  g.b.*  Mlkf  q* 
bee ambe fint ronalcs in  potentia  tmmon  coicantcs in longitudme  linee.f.g.  c« 
auocBbm.ronalisinpotctiatm^nocomunicantcsinloitgitudinelineeXg.cio 
ncccomnnicans  linee.b.d.qDareper..9.  eritfDperficie8.b.k.mediali6tm.  cideo 

ctiam  a  cfibi  equalis:6i  aute  oue  linee.a.b.-z.b.c.cffent  medialcs  ncq-,  in  longi/ 
tDdineneq5inpotentiac6icante3:fupetficies.a.c.noneftetr6nali6ncq5mcdialis 
ricnimfice(Tetfc5cpoueltnce.a.b.t.b.c.e(Tent  medialce  necp  mlongitudmem 
potentia  coicatcs-.ecnt  ouo  quadrara.a.cs.cd.inc6municantia.itaq5  *  oue  fuE/ 
ficies  f  b  i  k.t.eisequalesquoq5:eentinc6iC3tc8:quarci:ouelince.g.b.i.m.I. 
effentinc6mefurabilc8pCTp:im3fetti«perrc63m£te..o.cq:vtraq5eai;erona/ 
lis  tm  in  potentia  pao.clTct  fupficics  vnius  ea?  3d  altera  mcdialts  per.  .9-cu  er/ 
«o  anadratii  linee.b.m.fit  cqoale  oictc  fuperficici  qne  fit  ccg.b.inmi.l.pcr  p:tma 
parte  i6  fejcti  eet  pcr.  ,9.linca.b.m.linea  medialis:pcr. .  j.ergo  no  cfTet  fuperficics 
b.k.ronalismec  ctia  pcr.zo.mediatis:quarc  nec  fua  cqualis.3.c. 

1Jb:OpoftttO    -24-         ,.  r 

i^as  lineas  mediales  potentia  tantum  comumcantes  lug  i 

1  ficiemq^  rationalem  continentes  quarnm  longtoz  Itt  po/ 

tentUn  b:euio2e-.augmento  quadrati  Unee  comumcantis 

eidcm  longioii  in  longitudine  inuenire. 

w  C£um  omncs  ouelince  medialcs  potcntia  tantu  c5municantcs  co 

tin^fupxrficicm  ronalcm  aut  mediatr,  ut  e*  picmiffa  patet:  oocct  inuemrc  cas 

ouas  que  continent  fuperficiem  ronalcm  z  eas  quc  mcdialcm.  Iwdc  p:opofitum 

cft  mucnire  onas  tincas  medialcs  potentia  tantum  communicantes:  quaru5  on/ 

aio:  DoiTit  amplius  b:euio:i  in  quadrato  alicuine  linec  fibi  comumcantis  in  lon  / 

ctitudinc  quc  coutincant  fupcrficicm  ronalem.Gad  boc  f>m  ooctnnam..7.Sumo 

ou3slinca6.a.«.b.potentiatantur6nale6Communicantc3  quarum  longto:  que 


IX 

fit.a.polTit amplins  bieuioii quc  fit.b.in  quadrato  aliauus lincc  fccum  pmutii / 
cantis  in  longitudine:?  ponam  lineam.c.fcdiii  ooctrina.9  Jcxti  mcdio  loco  ,ppo2/ 
tionalcm  intcr.a.-z.b.  •rponam  utfitp2opo2tio.a.ad.b.fiait.cad.d.(p  qualitcr 
fiat  in.  lo.fcjcti  oictum  cft  ..Dico  tnnc  ouas  Itneas.c.T.d.clTc  quas  querimus:patct 
cni  ec 1 9.  q>  fuperficics  qua  cotincnt  onc  linee.a.f.b.c  mcdialis:?  q:  g  p:ima  gte 
is.feyti  quadratu  lincc.c.cft  oictc  fupcrficici  cquale  crit  igitur  pcr,i9.linca.c  .mcdi 
a!is.£u  autc  fit.a.ad.b.ficut.cad.d.c.b.comuuicat  cu.a.in  potcntia  tm  ejc  ypo/ 
tbefi'^2  tam.a.ctf.b.ronalis  cft  in  potcutia  fcquitur  per.io.cp.c.quoq;  coicct  cum 
d.in  potcntia  tm.itaq;  pcr.21.cu5.cfit  linca  mcdialis:  erit  etia.d.medialis :  z  per 
pjima gte.12.erit Iinea.c.potentio2 linca.d.in  quadrato  lincc  fibi  pmunicatis  in 
logitudine.  6i  ergo  oue  linee.cc.d.contincant  fupcrficicm  rationalc  lpfc  fiit  qua 
les  inqntrimus.£as  aiit  cotincre  fuEficic  rationale  fic  babcto:cu  fit.a.  ad.b.fiuc 
c.ad.d.crttpermutatim  a.ad.c.ficut.b.ad.d.fcdcrat.a.ad.c.ficut.c.  ad.b.  igitur 
eft.cad.b.ficut.b  .ad.d  .itaq^pcrp^imaparte^ie.fextifupcrficies  qua  continent 
ouc  linec.c.c.d.cft  equatis  quadrato.b.cft  aut  qnadratu.b.rationalc  pcr  ypotbe. 
cum  ipfa  fit  rationalis  in  potcntia:fupcrficies  crgo  quam  contiucnt  ouc  lince.cs 
d.cftrationalis:quareconftatp2opofitum. 

'Jfbiopofitio    .2?. 
F  ^Tae  lineas  mediales  potentia  tantn  comunicates  fupcr/ 
ftcicmq^  ronalemcdtinentmquaflongiojfttpotentioz 
taeukm  quadrato  Itnee  eidcm  longiozi  in  longitudine  in 
I  comenfurabilis  inue  uire. 

JIGpofitisouabusIineis.a.i.b.ronalibus  potctia  tfii  coicantibus 
quarum longi02 poffit amplius b2cuio2i quadrato linee fccum  non  comunicontis 
in  longitudinc'  quc  quidc  rcpertunt  ftn  ooctrina .  1  s.cetertfq^  pofittonib"  mancn/ 
tibus  ficut  in  pmiffa  argumctando  modo  cofimili:patebit  ouas  lineas.cz  .d.cffc 
quales  querimns  .£t  nota  cp  oue  lince  quas  bcc  z  piemiffa  oocent  inuenire  com/ 
ponunt  bimediale  piima:i minoii  carum  abfctfa  oe  maio2i  que  reliqua  cft:oicitur 
refiduum  medialc  p^imum. 

1fc>:opolitio  .2<j. 
1  2£as  lineas  mediales  potentia  tantij  comunicantes  fuper 
ficiemq?  medialem  continentcs  quarum  longio:  b  jenio/ 
:e  tanto  amplius  poffit  quantu  eft  quadratum  alicuius  li/ 
nee  incomenfurabilis  ipft  longiou  i  logirudine  inuenirc. 
G£u  oocucrit  iucnirc  ouas  lineaf  mcoialcs  potentia  tatu  coicantcs 
fuperficieq;  rationale  contincntcsiquay  Iongi02  plus  poffit  b2cui02i  in  quadrato 
linee  fecum  comunicantis  in  longitudine  1  fccum  incomenfurabilis  iu  longitudine 
llunc  oocet  inucnirc  ouas  lineas  mcdiales  potentia  tantu  coicantes  fupcrficicm 
t]5  mcdialcm  contincntes  quar  longio:  fit  potcntio:  bieuio^i  in  qdrato  lince  no  fe 
cnm  coicantis  in  longitudine.  fed  folu  fibt  incomenfurabilis  in  longitudine.3Uud 
enim  facile babetur cjc ifto.Biut itacp trcs linec  fumpte  ftit  0? ooctnna. is.a.b.c. 
potentia  ttn  rcmales  1  i  ea  folu  coicantes.fitq^.a.potcntioi.b.s.c.quadrato  linec 
fibt  incomcnfurabilis  in  longitudine:?  ponatnr.d.mcdio  loco  ,ppo2tiona!is  inter 
a.«.b.utoocct.9.fexti:cfit.d.'Z.e.ficut.3.ad.c  oicoouaslincas.d.s.  e.  cflc  qles 
inquirimns.cum  ftt  cnim  quadratu  Iiucc.d.cqualc  fuperficiet  quc  continetur  fub.a 


) 


LIBER 


c.b.pcrpjimapartf.itf.fcxti.Sitqjfupcrficicscontctafiib.a.c.b.mcdialisrcy.i?. 

cum.a.-j.b.fmt  potcntia  tirt  ronalcs  cotiicantes:crit  cx  cadcm  linc3.d.mcdiali  s. 

quia.a.ad.cficut.d.ad.c.c5niuiiicat  autc.a.cu.c.in  potcstia  tantfi  cjc  ypotbcfi  fe 

quittirccio.ut.cquoq^comunicct  cu.d.in potctia  tiii.  3taq5Per.2i.erit.c.  IfnM 

mcdialis.ct  etia  qi.a.eft  potentio:.cquadrato  lince  fibi  incomcnfurabilis  in  lon  / 

gitttdiuc crit  quoq5p.u.d.potctio!.e.cjdrato  Uncc  fibi  icomcfurabilis  i  logitudic 

Si  igitur  oue  linee.d.-z.c.contiucant  fupficie  mcdialc  conftat  cas  cffc  qualcs  tqui 

rimus:£as  autecontinere  fuperficiem  medialcfic  babef  :cum  fit  cjc  ypotbefi.a.ad 

c.ficut.d.ad.cerit  pcrmutatim.a.ad.d.ficut.c.ad.c.fed.a.ad.d.cft  ficut.d.  ad.b. 

g5Potbcfim:itaq5.d.ad.b.ficut.c.ad.e.igiturpcrpjimapartc.if.fexti:fuperfictcs 

qua  coiuinct.d.t.e.cft  eqnalis  ei  qua  ptiiict.ccb.fed.b.cc.  contincnt  fuperftcic 

mcdiakm  per.19.cum  ipft  fint  rationales  i  potcntia  tm  coicantcs  c%  ypotbefi:ita/ 

q^.d.t.e.continent  fupcrficie  mcdialcjqt)  cft  pjopofttu.GSi  autc  cura  eiTet  inue/ 

nirc  ouas  liucas  medtalcs  potcntia  tm  comunicantcs  fupjiciaft  mcdtalcm  conti/ 

nentcs:quay  longio:  ellet  potentio:  b:euio:i  quadtato  lincc  fccum  coicanti  s  i  lon 

gitudincSumcrctnus  tres  liucas  tm  ooctrina.  i7.a.b.c.potentia  tm  rationalcss 

in  ea  folnm  c6municantcs:cponcrcm9  lincam.a.clTe  potcntio:c  linca.c.quadrato 

Blicuius  linec  fibi  comunicantis  in  longitudinc:cctcra  vcro  mancrcnt  ut  p:ius  1  ar 

gumcntationeconfimiliconclnderemusotiaslincas.  d.t.c.cffc  qualcs  p:opomf 

inquircre.B  nota  cp  ©uc  lincc  quas  bic.2<j.oocct  iucnirc:c6ponut  bimcdiale  fcom 

1  mino:i  earum  abfcifa  oe  maio:i  que  rcliqua  cft  oicitur  rcftduu  mcdialc  fccundii. 

^|b  :opofitio   .17. 
^aslineas  potentialiter  incomenfurabiles  fuperficieq^ 
medialem  contiuentes  quaru^  quadrata  am  bo  pariter  ac/ 
cepta  ftnt  rationale  inuemre: 

C1b:opofitum  eft  inuenirc  ouas  lincas  iucomcnfurabiles  tam  i  po/ 
itcntia  qJ5  in  longitudine  que  contincant  fuperficicm  mcdialem  1  qua 
drata  ambarum  pariter  acccpta  faciant  fuperftcicm  rationalcnuad  bec  aute  fumo 
pcr-is.ouas  lincas.a.b.T.c.d.porctia  tantu  rationalcs  comunicates  quaz;  longi/ 
o:qucfit.a.b.fitpoteiitio:.c.d.quadrato  alicuiu3  linee  fecu  incomenfurabilis  in 
longitudinc  1  fuper  linea.a.b.oefcribo  fcmicirculum.a.e.b.  %  oiuido  liucam.c:d. 
per  equalia  adpunctum.f.?  oiuido  lincam.a.b.ad  punctum.g.itaq5  linea.c.f.ca/ 
dat in  mcdio loco p:opo:tionalis inter.a.g.t.g.b.  et  qualitcr  boc fiat  in.  1  j.oictu 
cft^ponocpfuperficics.b.b.fiatey.a.g.in.g.b.critq^cjcpjima  p.te.ie.fe>tiqna 
dratum.c.f.equale fuperficiei.b.b.'* quia quadratu.cf.cft  cqualc quartc pti  qua/ 
drati.c.d.cx  quarta  fc6i:«  q:  fupficiei.b.b.occft  ad  coplcndu  lineam.  a.b.fuperfi/ 
ricsquadratacu^.s.g.fitcqualis.g.b.^quialines.s.b.potcntioKftltncs.cd.q/ 
drato  lincc  fibi  incomenfurabilis  in  longitudinccx  fpotbcfi:crit  cjc  fcoa  partc-  14U 
nea.a.g.incomcnfurabilis  linee.g.b.educo  igitur  a  puiicto.g.perpendicularcm  fa 
per  lineam.a.b.vfq^  ad  circufercntiam  femicirculi  quc  fit.g.c.-z  pwtrabo  lincas.a 
e.c.c.b.quas  oico  effe  quoles  qucrimus.erit  enim.e.g.equslis.c.f.  eo  qp  vtraq^  ca 
dit mcdio loco  p:opo:tionaIis intcr.a.g.'Z.g.b.p:ima quidem  pcr  p:imam  partc 
co::eF.S.fejctt.fc63  vero  pcr  ypotbefim:  p:optcr  qb  quadratum  vtriufqj  cartim  per 
p:imam  partein-  ifi.fcr.ti  eft  equalc  fuperficici.a.g.in.g.b.que  cft.b.b.  ipfi  igit  fiic 


IX 


equales.at  quia  pcrquarta  fcjti  (ppo:tio.a.c.ad.c.b.c  ficut.a.g.ad.g.c.  funt  mt 
a.g.t.g.c.c.g.b.ptiimc^po2tionalcserit.a.c.ad.e.b.ouplicatafii:ut.a.g.  ad.g. 
b.quarcp.i8.fexticritquadraiu[iiice.a.c.adquadratuliucc.c.b.ficut.a.g.ad.g.b 
tumfitigitur.a.g.inc6icans.g.b.critperfc6ametcm.io.quadratu.a.c.iiic6kaii3 
quadrato.e.b.quarc  oue  liiicc.s.e.?.  e.b.funt  incomcfurabtles  in  porcntia.  £t  q: 
Epcnultima  p:imi quadratu.a.b.e eqle  qdratis ouay lineay.a.e.i.e.b.  gitcr ac/ 
ceptis  qdratu  aiir.a.b.e  r6ale:cu.a.b.fit  ronalis  i  pctctia  p  jpotbc.erut  quocg  q/ 
drata  oua^liuca^.a.c.s.e.b.p.itcr  acccpta  ronale.Si  vcro  bcc  ouc  lincc  conncnt 
fupcrficiem  mcdialcm  babitu  e  .ppofitu.crat  aut.c.d.ronalis  in  potctia  z  in  ca  tm 
coicans  linec.a.b.qnare  f.c.f.?  io  etia.g.e.ftbi  equalis  crit  porcntia  ronalis  i  tm 
ineadec6iC3nscu.a.b.itaq5p.i9.fuEficics.a.b.in.g.c.cftmediali3:q:igif  gquar 
ta  fexti  i  per  p2ima  ptc-i  j.eiufde  fupjicics.a.e.f.c.b.c  fibi.f.fupficiei.a.b.  in.g.c. 
equalis  coftat  ouas  lineas.a.e.f.e.b.cffe  quales  voIumus.Cgt  nota  ap  oue  linee 
quas  oocet  bec.Z7.inueuire  coponunt  linea  maio:e  i  mino:i  ca?  abfcifa  quc  rcli/ 
quacft oicitar linea minoi.  1(£>20pofttio    .28. 

|f^i|||?l|^aslineas  potcnttalttcr  incomenfurabilesfuperftcieq^ 
8*^8  ratiortalem  conttnentes  qua?  ambo  quadrata  pariter  ac/ 
]'  cepta  lint  medtale  inuenire. 

|  CSit  bic  p:o:fus  cade  oifpofitio  quc  p:ius  in  p:cmiffa.Sint  autcm 
j  ouc  linee.a.b.c.c.d.qualcs  .pponit-zj.cruntqj  fimili  argumctatioe 
p:emifTeouelinee.a.c.t.c.b.qualc8bcc.i8.p:oponit.£umfitcni.9.b.lincaiiic/ 
dialis  crit  cins  quadratu  mediale  per- 19.«  io  quadrat3  oua?  lineay.  a.e.  z.  e.b. 
funtmedialepcrpcnult.p:imi:cquia.a.b.i.c.d.ptinctfuEficier6na!cm:fequitur 
etia  ut.a.b.in.c.f.'*  ideo  in.g.e.fibi  cquale  cotincat  fupcrftcie  ronaletmttaq}  z.z.e 
1n.cb.pat5  crgo  q6  querif.  C2JSnck  ouc  lincc  quas  bcc.28.oocet  iucuirc  coponut 
linca  potente  in  ronalc  %  mcdiale  z  mino:i  caij  abfcifa  oc  maio:i  que  reliqua  e  oi/ 
citur  linea  que  iuncta  cum  rationale  componit  totum  mcdiale. 

1|b:opontio.29. 
^aslineaspotenttaliter  incomenfurabiks  fuperficieqs 
medtale  conttnentes  quay  quadrata  ambo  partter  acce/ 
pta  lint  mediale  tmplo  luper  ftciei  vnius  in  altera  income/ 
furabileinucnire. 

Cbuiusquocpotfpofitioa  oua:/  p:emiffa?2  oifpofitioncnonfititt 
quoqua  oiucrfa.Sint  aut  lincc  ouc.a.b.?.c.d.quales-2e.,pponit  erunrq5  pntifTa 
argumaitationeouelincc.a.e.?.e.b.quasinquiriiiius.£iJeiiim.a.b.fitlinea  mc 
dialis  crunr  quadrata  oua?  linca^.a.c.t.c.b.pariter  acccpta  mediale.at  cum.a.b 
s.c.d.contineat  fuperficiem  mediale.fequit  ut.a.b.in.c.f.t  ideo  in.c.g.fibi  equa/ 
tcm  contineat  quoqj  fupcrficic  medialcrotnnis  eni  fuperficics  mcdiali  comunicas 
mcdialis  effc  conuincit:  queadmodu  inai-monftratu  eft :  fup_ficics  igit.a.c.t  .c.b 
mcdialis  cft  cu  ipfa  fit  equalis  fupficiei  .a.b.in.g.e.  jQuiz  vcro  linca.a.b.  e  inco/ 
menfurabilis  linee.c.d.erit  ctia  incomcnfurabilis  lince.c.f.quarc  « lince.c.g.qua/ 
rc  pcr  p:ima  fejcti  z  fceam  pte.  icbuius  :fupcrficies.a.b.in.e.g.quc  cft  cqualts  fu 
pcrficici.a.e.in.c.b.crit  incomenfurabilis  quadrato  lince.a  .b  .iraq^  z  quadratis 
ouarum  lincarum.a.e.c.e.b.parttcr  acccptis:  qo'  cu  ita  fu  fequitur  quoq,  vt  ou/ 
plum  fupetftciei.a.e.in.c.b.fit  incomenfurabtle  quadrstis  p:cdictis  ouai?  linearil 

k  J 


LIBER 

a.e.c.c.b.paritcr  acccptis  i  boc  crat  moftrandu  .C£)uc  lince  quas  bcc.29.00cc»: 
inuentre  coponut  lind  potentc  in  ouo  mcdialia  %  minoii  ca^  abfcifa  oc  maio:i  q 
reliqua  cft  oicitur  linca  quc  iuncta  cum  mediali  facit  totum  mcdialc. 

1[b2opolitio    30. 
jjjjjjj  31  tmc  linee  potentialtter  tant  ti  ronales  comunicantcs  in 
i  fongum  Oirectumq^  coniungantur:tota  linea  ejc  bis  com/ 
I  pofita  erttirrationalie-.oiccmrcpbinomium. 
4iGSint  ouc  lincc.a.b.s.b.c.in  cottnuu  oircctucp  coiuncte  ronates  in 

2|  potentia  tm  c6cantcs:quas  rw.f.is.rcpcries:  oico  tota  linca.a.c 

cxcis  copofita  effe  irronalcm  1  ipfa  vocatur  bmomiu.  £ft  eui  pcr  quarta  faundi 
qnadratu.a.ccqualc  quadratis  ouay  lincay.a.b.c.b.c.?  ouplo  fupficici  vni9  ca/ 
rum  in  attera:quadrata  aut  ambay  faciunt  fugficic  ronatcm  c*  ypotbcfCoupIu  ve 
ro  fupcrficici  vnius  ca?  »11  altera  facit  fugficic  mcdiale  cp  1  j.itaqj  quadrata  amba 
ru  pariter  accepta?  faciunt  fugficic  ineomenfurabtlc  ouplo  fupficiei  vnius  csruin 
in altera.erit igif  ejc.9.quadratu.a.cinc6incnfurabile ouobus quadratis  oucrum 
lincay.a.b.cb.c.EUer  acccptis  qnarc  irronale  g  otffinitionc  cii  ouo  tl'.a  quadrata 
raciat  fugficie  ronalem.ideoq5  fuum  tatus  tetragonicu  quod  cft.a.c  irronaie  quo 
q5POift»nitione:pltatergo^pofitu.  I^Jopofitio  .31. 
is^^nl  3  oue  lince  medialcs  potentiatantucoicantes  fupcrnci 
jf  fjfi^gS  emq?  rationafe  conttnentes  oirecte  coniunganf :tota  U/ 
nea  ejc  bis  copoftta  erit  irroalis  oicetq^  btmediale  pmii. 
CSint  ouc  liucc.a.b.f.b.c.  i  cottnuu  oirectuq5  piuncte  quales  pjo/ 
ponuntur  quas  g.24.?-2j.rcpcrics:oico  totam  linea.a.c.clTe  triona 
lcm  %  ipfa  vocatur  bimcdiale  p:imii.£ft  cui  ouplu  fupficici.a.b.  i.b.c.  ronale  pcr 
jpotbe.ouoq5  quadrata  oua?  linca£.a.b.s.b.c._p,itcr  accepta  factunt  mcdialc.cu^ 
vrruq3  quadratu  fit  mcdialc  pcr  rpotbcfitn  1  vnii  coy  coicans  altj  :ouplu  igitur  fu 
pcrficici  vnius  ea?  in  altera  cft  incoicans  ouob9  quadratis  gitcr  acceptis :  totum 
crgo  aggregatu  c%  ouplo  fugficiei  *  cuobus  quadratis  « ipfu  c  quadrati»  totf.a. 
cper  quarta  fcbi  e  incomcnfurabtle  oupto  fup.fi.cici  vnius  eay  in  altcra  g.j.butus 
cfi  itacp  ouplfi  fugficici  fit  ronale  crit  quadratu  .a.c.  irroualc.  idcoqj  1 linca  .a.c 
qo'  e  ^pofitu.  C3de  atiter:fit  tinca.d.e.ronalis  in  longuudine  cui  adiungat  fup/ 
ficies.d-f.cqualis  ouobus  qu:dratis  ouay  lincay.a.  b.  i.b.c.  cntqj  fuphcies  bec 
d.f.mcdiaiis  cum  vtruQ5  qnadratu  fit  mediate  pcr  yposbe  .t  vnu  co^  coicans  a!ij 
quare  pcr.2o.tinea  .d.g.eft  ronalis  in  potcntia  ttfimon  coicans  in  longitudinc  li/ 
nee.d.e.rurfus  ad  linca.f.g.quc  eft  cqualis.d.e.adu1gat  fup_ftctes.f.b.cqualis  ou/ 
plofupcrftcici.a.b.in.b.c.eritq5.f.b.r6nalisperfpotbcfim:quarcpcr.i6.lmca.g 
b.erit  rouali3  in longitudmc:oue  (taqj  ttnee.d.g.^.g.b.  funt  potcntialitcr rona  / 
les-zin  ca  tm  coicantesxrgo  E.jctota  linea  c%  cis  copoftta  quc  cft.d.b.cft  bino/ 
miu  *  irr6nalis:quare  p.  ic.a  ocltrunione  pntis  fugficics.c.b.c  irronalis.at  quia 
p  quarta  fcbi  latus  ei"  tctragonicu  e  linca.a.c.ipfa  crit  irronatis  p.  oifftnitione  qo 
1opo2tuitocm6ftrar».  ^^iopofitto  -32- 
5  One  lince  mediales  potentialirer  tanram  comnnicantes 
I'aperficiemq5  mcdtaie  contmentcs  Oirectc  coniungantur 
tota  linea  erit  irronalts  Oiccturcp  bimedtale  fecundum . 
CSint  ouc  lince.a.b.f.b.cin  cotinuu  o»rcctumq3  piucte  ut  ,pponit 


TX 

quas  per.itf.contiiisit  rcpcriri:oico  tota.a.c.eccis  topoura  clTe  Crroualem « ipfa 
vocartir bimcdiale  fcom.£fto  cmm linca.d.c.ronalis in  bngitudtnc  cui  aduwga 
tur  fupficics.d.f.cqualis  ouobus  quadrati3  ouay  lineay.a.b.-i.b.c.Eitcr  acccptts 
i  quia  ec  fpobefi  ouo  illa  quadrata  fuut  coicantia:?  vtriiqj  mediale':erit  fupcrti  / 
cies.d.fmiedialia  qiarc  per.20  .linca.d.g.quc  clr  eius  latus  fcoin  cft  ronalis  i  po/ 
tcntia  tm:  z  linee.d.c.incdmenfnrabilis  111  longitndinc:Kurfus  adiungat  ad  linca 

g.f.qucellcqualislincc.d.e.fueficies.f.b.cqualisouplofucjficici.a.b.iii.b.c.crit 
q,  etia  fup.fi  ics.f.b.mcdialisicrat  cni  per  ypotbefim  fupficies.a  .b.i.b.c.mcdia/ 
lis.crgo  ouplu  eins  cuicft  cqualis.f.b.erit  mcdialc  per.zo.igitur  eft  linca.g.  b.ra/ 
tionalis  iu  potcntia  tiii  1  mcomcnfurabilis  in  longitndinc  lince.g.f.q:  vcro.  a.b. 
c.b.c.funt  potentialitcr  tiii  coicautcs  erit  ppjiira  fcjti  1  pcr  fcdam  gtcm.io.buius 
fupficics  vnius  in  altera  incomenfurabilis  quadrato  vtrinfq,.  3t  q:  quadrata  eau 
coicant  per  ypotbcfinnerit  oicta  fup.ficics  quarc  1  ouplu  cius  incoicans  ouob9qua 
dratis caru paritcr acceptisiouccrgo  fupficies.d.f.s.f.b.funt  incoicantes  :{? p:i/ 
mam  itaqj fcjcti  1  fctfam pte. io.buius erit linea.d.g  incomenfurabilis  Imce.s.b. 
quccu  ftntronales  in  potctiaieritper.jo.rota  linea.d.b.binomium  •nrronalis:cr 
go  per.  itf.a  oeftructionc  pfitis  erit  fupficies.e.b.irr6na!is.£r  q:  latus  cius  tctra  / 
gonicfi  pcr  quarta  fcoi  cft  linea.a.c.  fcquitur  per  oiffinirionc  cp  liuca.a.c.  fit  irra/ 
tionalis:qo  ^ppofttu  etat  oftendcre. 

1fc>:opofitio    .35. 

Um  conimicte  fiierint  oue  lirtee  potcntialiter  incomcnfu  / 
;rabif  es  fupficieq^  medialc  continctcs  quaiz  ambo  qdrata 

rjiteracccptafutr6nalc:totalineaerttirr6nali8  0tceturq5 
lineamaio:. 

CSint  ouc  lineca.b.cb.c.fibi  in  continuttm  eircctumq;  coniuncte 
ficut  .pponituriquas  coringit  ey.ir.retnrcoico.a.c.Q:  ets  copofita  efie  linca  irrati 
onale  1  ipfa  vocaf  linca  mai02.£u  eni  ambo  quadrata  piter  accepta  fint  ronalc  fu 
pcrficics  Vcro  altcri9  in  altcra  quare  et  cius  ouplu  mcdialis  p.  ypotbcfim:crit  totii 
tf.  ouobus  quadratis  piter  acceptis  incoicans  oupio  fupficiei  vnius  in  altcra.itaq^ 
totu  aggrcgatu  e*  ouobus  quadratis  i  ouplo  fugficiei  z  ipfu  cft  cquale  quadrato 
9.c.pcrquartalc6i:critp.o.bui9iuc6mcnfurabilcouobusquadratis.a.b.i.b.c.pi 
tcr  acceptis:per  oiffinittone  ergo  e  quadratu  lince.a.c.irronalc  z  linca.a.c.irrona 
lis  qC  e  pjopofitu.  C3dc  alitcrficut  i  pmilTis  ad  Imea.d.c.quc  fit  ronalis  in  longi 
tudine  adiungat  fupficics.d.f.que  fit  cqualis  ouobus  quadratis  ouay  lincaz.a  .b 
«.b.e.parircr  acceptis  critq^  ronalis  pcr  fpotbefim  quare  pcr.  is.latu3  etus  fcbm 
qe'  eft.d.g.crit  etia  ronale  in  longitudiuc  z  coicaus  lincc.d.e.  Kurfos  ad  linca.f.g. 
adiungatur  fuperficies.f.b.equalis  ouplo  fupficiei.a.b.in.b.c.crirqs  mcdialis  per 
fpotbefi^iquare  pcr.2o.linea.g.b.que  cft  eius  lat9  fcbm  c  ronalis  in  potentia  tatu 
per.jo.igitur  eft  Imea.d.b.binomiu  z  irr6naIis:ideoq5  pcr.  is.a  ocftructionc  con/ 
fequenris  fupcrficies.e.b.eft  irrationalis  quare  latus  eius  tctragonicum  quod  per 
quartaj  fccundi  cft.fl.cc  irrationale  per  oiffinitionemiqb  volumus  oftenderc. 


1£>:opofitio  .34. 


k4 


b  c 

— 1 


b         c 


J 


LIBER 

ffim  cemmcte.  fucrint  onelince  potcntiaHtcr  incomenfuv 
rabilesfupcrficianqirdnalem  contiitattes  qua?  ambo 
,quadrata  pariter  acceptafintmediale:totalineacritirra 
icionalie  oiceturqj  potctts  iit  ronale  i  mcdiale. 

^GSintutinpttmilYtsouelince.a.b.c.b.c.in  continnti  oirecrumqj 
coniuncte  qualcs  «pponif  :c  ipfe  funt  g;.2S.fumcndc:oico  cp  tota  linea.a.c.  ex  cis 
copofita  erit  irrqnalfe  i  tlla  vocatur  linea  potes  i  ronale  t  medialc.£u  fit  eni  furv 
fkies.a.b.in.b.c.rationalis  perfpotbefim.idcoqscouplucius  acambo  quadra 
ta  panter  acccpta  funt  mcdiale-.fcquitur  pcr  quarta  fccudi  t.^.buius  qucadmodii 
inp:aniffiscpquadratutotiu3.a.c.fitin£6icans  cuplo  fupcrncici.a.b.iu.  b.c.p» 
oiffinitionc  igitur  ipfti  eft  irronaic  i  linca.3.c.trrationaU3  qo  e  p:opofitu.  Cjde 
alitcr.fit  vt  in  p:cmif!  is  linca.d.c.rationalis  in  longitudinc  fuperficicfq^.d.f.  iibi 
adinncta cqualis  ouobusquadratis pariter acccptis  ouas linea?.  a.  b.?.b.c.crit 
q,  mcdialis  pcr ypotbcfiimp.io.isituncrit  Itnea.d  .g.ronalis in  porcntta  tm  no 
comunicans  in  longitudinclincc.d.e.Sitq;  fupcrficics.f.b.adiuncta  ad  Unca.g.f. 
equalis  ouplo  fuperficicl.a.b.in.b.c.critq-,  ronalis  pcr  ypotbc.t  io  p.  is.tatus  ei9 
fm  quod  e.g.b.ronalein  longitudinc  quarc  per.  jo.linea.d.b.c  binomiitm  i  irra/ 
tionalis:?  fupcrftcics.e.b.pcr.itf.a  oefhuctionc  pntis  cft  irronalts.£um  itaqj  li/ 
nea.a.c.fit  cius  latus  tctragonicu:per  quarta  fc6i:fcquif  ut.a.c.ftt  irronalis  g  oiffi 
nitioncm:pftat  ergo  p:opofitii. 

1(b:opofttio   .3f.  _, 

il^Tm  coniunctc  fuerirtt  oue  luiee  potentialiter  incomenfu/ 

I  rabtles  fuperfictemqj  mcdiale  cotincntcs  quay  quadrata 

ambo  piter  accepta  fit  mediale  Ouplo  lugficiei  vin^  i  alte/ 

ram  incommenfurabtlem  tota  linea  erit  irronalis  Oicctur 

-Jq^  potcns  in  ouo  mcdialia. 
GSintquoqsouclinccbic.a.b.s.b.c.incotinuu  otrectuq^  coiunctc  ut  p:oponir 
quc  cjc.29.fumcnde  funf.oico  q>  linca.a.c.ex  cis  copofita  eft  irronalis  i  ipfa  oicic 
potcns  in  ouo  mcdialia.adiungatur  eni  ad  unea.d.e.quc  fit  ronalis  itt  longitudi 
ne  fupcrficies.d.f.cqualis  ouobus  quadratis  ouay  lincay.a.b.c.b.c  .paritcr  ac/ 
ceptis:  critqj  medialis  per  ypotbefij  quarc  pcr.2o.linca.ct.g.erit  ronalis  in  potc/ 
tia  tantu  « incomenfurabilis.d.c.linec  ronali  m  tongitudine.Kurfus  ad  linea.g.f. 
cjue  cft  equilis.d.e.adiungatur  fupcrficics.f.b.quc  fit  equalis  ouplo  fugficici  vni9 
in  altera  erit  etia  cx  ypotbefi  media'is  quare  pcr.2o.linca.g.b.crit  ronalis  in  pote 
tia  tfn.at  q:  pcr  ypotcfim  ambo  quadrata  pariter  acccpta  funt  incommcnfurabile 
ouplo  fuperftcici  vnius  in  altcra  fequitur  ut.d.f.ftt  incomenfurabtlis.f.b.quare  f* 
p:imam  fejcti  i  fccundam  parte.  io.buius  linea.d.g.eft  incomcnfurabtlis.g.b.pcr 
jo.igituf  eft  linca.d.b-binomiu  i  irronalis.itaqj  furftcies.  e.b.  eft  irronalfe  i  ei9 
latus  tetragonicum  q6  e.a.c.ut  in  p:cmiffis:quarc  conftat  p:opofitu  .Si  aut  on/ 
ptuinfupCTficiei.a.b.cb.c.noneffctincomenfurabilc  ambobus  quadratis  pari/ 
teracceptiseffctlinea.a.c.mcdialis.dTet  eni.d.f.coicans.  f.b.  idcoqylinea.d.g. 
Itncc.g.b.tota  igif  .d.b.*flet  ronalis  in  potentia  tm  i  incomenfurabtlis  in  longim. 
dincIinec.d.e.periij.igifelTetfupficics.c.b.mcdialiseiufqjlatus  tetragonicum 
q6  c.a.clinca  mcdialis.23t  aut  factlio:  fiat  ooctrina  fequettu  p:emonftranda  ar/ 
bitramur  bocloco  ouo  quo:um  primum  eft. 


.      IX 

CSf aliqualinca  pcr  bno  inequalia  Oiuidatnr  qnadrafa  arnbaru  fe ' 
ctionum  pariter  accepta:tamo  amplius  iiint  &uplo  fagftcici  vm'\-aro 
in  altcram  quautu  c  quadratmn  em  linec  qua  maio:  q:ccoit  inmoje. 
GSit cni  linea.a.b.oiutfa  pcr  ouo  incqualia  in  pancro.c.fitq;  maio:  po:tio.c.b. 
©cqua  fumatur.c  d.cqualis.a.c.oico  cp  quadrata  ouaplincarum.a.cz.c.b.  func 
ampltus  ouplofuperficicivnius  ialtcram  iuquadratolincc.d.b. namqitodfit 
exa.c.in.c.b.biscumquadratisouarumlincarii.a.c.T.c.b.  cft  cqualcciquodfrt 
cx.a.c.in.c.b.quarcr  ctim  quadrato.d.b.co  cp  vrraq,  bccequalja  funt  quadrato  ii 
ncc.a.b.pjinuiiu  quldem  perquarram  fccnndi  fcom  vcro  per.s.dufdem.  .Dcm/ 
ptis  itaqj  vtruq^  cqualibus  viddicct  co  q6  fit  er.a.c.in  .c.b.bts  crut  rcftdua  q  ftit/ 
©c  p:imo  quide  quadrata  oua?  linca^.a.cr.cb.oc  fccundo  vcro  qttod  ftt  cjc.a.c 
in.c.b.bis  cum  quadrato.d.b.cquaIia:quareconltat  p:opofttu.£r.  boc  ctgo  maiii. 
feitu  cft  ep  (i  aliqua  linea  pcr  ouo  iucqualia  oiuidatur  quadrata  ambarum  partiii 
paritcr  acccpta  plus  funt  ouplo  fupcrficici  vnius  carum  in  altcram.  £  t  boc  e  p:o/ 
pter  quod  iftud  p:cmifimus. 

G  Si  aliqua  linea  per  ouo  inequalia.itemq?  alta  ouo  inequalia  tmii/ 
datur  quadrata  magis  inequaiium  pariter  accepta  tanto  Umt  ampli? 

3uadratis  minus  inequalium  pariteracceptis  quantu  crt  tmplu  qua 
ratiiUiuslineequeintcrvtrafqicfectionesi  quadruplum  eius  q6 
fit  eje  eadcm  linea  in  eam  quecft  inter  punctu  fcctionis  nnuus  inequa 
lium  i  punctum  quod  Oiutdtt  totam  lineam  per  equalia. 
GSit  linca.b.oiuifa  pcr  ouo  incqualia  in  puncto.c.itcmqj  pcr  alia  minus  incqua 
lia  in  puncto.d.rnrfus  pcr  cquaha  i.c.  oico  cp  quadrata  ouay  partium  magis  in  / 
equalmmqucfunt.a.Ci.c.b.tantumfuntampliusouobusquadratisouarumli/- 
ncarumminus  incqualiumqucfunt.a.d.s.d.o.quantum  cft  ouplum  quadrati 
lince.c.d.Tquadruplumciusquodfitqc.c.d.tiJ.d.e.funteuimpcr.p.fccudiqua/ 
drata  ouarum  lincarum.a.cj.c.b.parircr  acccpta  oupla  quadratis  ouarum  Imca 
rum.b.c.t.e.c.paritcr  acceptis.at  per  eandcm.^.fccundi  quadrata  ouas  Imcaruj 
a.d.f.d.b.pjrer  acccpta  oupla  fiit  quadratis  ouaru  lincarum.b.c.c.e.d.pitcr  ac/ 
ceptissitaqjquadrataouarumlinearum.a.c.c.c.b.paritcr  acccpta  creedtit  qua/ 
drataouarumlincarum.a.d.t.d.b.paritcracccptainco  quo  ouplu  quadratili/ 
nce.c.e.  erccdit  ouplum  quadrati  lincc.d.c.boc  aute  pcrquartam  fccundt  cft  ou/ 
plum  quadrati  tincc.c.d.?  quadruplum  cius  quod  fit  c%.c.  d.in  .d.c.quarc  coftat 
pjopofitum.£j:  boc  manifeftum  eft  q?  quanto  fucrint  fccrioues  alicntus  linee  ma 
gis  inequalcs  tanto  erunt  caru  quadrata  pariter  acccpta  maioja  iz  boc  cfl  ypter 
quod  iftud  pjemifimus. 

^fbzopofitio   -3«. 

TB  alias  buas  lineas  fub  earum  termino  cj;  quibus  coiun 
ctum«nominatumeftbinoiniumOiuidi'injpoflibilecil. 

[GSit  linea.a.b.binomium  critq,  cx.jo.compofita  cr  ouabtis  liticis 
iin potctia tin ronalib0 c6icantib°q  ftut.a.c.c.c.b.otco  cp  ipolTtbile 
jc  ea  oiuidi  i  alias  ouas  lineaslfub  bac  oione  Vidclicct  q>  ipi  fint  potc 
ria  ttfi  roalescoicatestficni  pot  diuidat  i.a.d.s.d.b.q  fint  potctta  roalcstm  toi 
catcs.£fto  quocg  linca.c.f.ronalis  in  logitudine  cui.  adiuugat  ftip.ncics  .c.g.  que 


LIBER 


I 


fit  cqoalis  quadratis  00352  Iineai>.a.c.  i.c.b.  paritcr  accepris  1  fugficies.  f.b.  quc 
fit  cqtialisquadrato  lince.a.b.eritq^  fupcrficics.e.g.ronalis  eo  <j>  vtriiq*  quadra 
toy  lincazj.s.c.c.c.b.paritcr  acccpii3  cft  ronalc  pcr  yporbefim  1  fupcrftcics  .g.b. 
medialis pcr.19.qm  ipfa  c(r  cqualis  ouplo  fuperficict.a.c.  i.c.b.p  quarta  fcoi.Sic 
tgif  rurfus fa^fictes. f. k .cqlts quadratis ouay  lincay.a.d  s.d.b.pariter  acccpns 
quccii  fint  oiuerfc a  ouabus  lincis.a.c.s.c.b.erit  pcr  fcom  pdcmonftratoy  antc/ 
«dcntium  fupcrficies.f.k.oiuerfa  9  fup.ficic.cg.ea22  ergo  otffereria  ftr.k.g.  critqj 
E  qrta  fc6t  ctcelTus  fupficici.  f.b.fup..f.k.qui  fit.k.l.eqlts  ouplo  ct?qo  fit  er.a.d.i.d 
b.i  .pptcr  boc  erit  ctia  fupficics.f.k.  roalis.s  fupficies.k.l.mcdiaf:  itaq5  fugficies 
k.g.cum  ipfa  fit  oifferentia  ouaru  fuperficiex?  ronalium  que  funt.cg.T.f.k.crit  ra 
tionalts.lion  eni  oiffert  rationale  3  ronali  nifi  in  ronali.?  boc  oico  oirfinirionc  1 
9.  buius  boc  pfirmantibus.  £ade  quoq^  cii  ipfa  fit  oiffcrcntia  ouap  fupcrficicrum 
medialium  que  funt.g.b.t.k.l.erit  irrationalis  pcr.22-quod  cit  tmpolTibttc. 
Ofb:opolitio  .57. 
Ifmediali  p:imo  vm  termintl  fuum  in  ouas  lineas  media  / 
les  oiuifo:fub  earum  tcrmino  in  alias  ouas  linr  as  mcdia/ 
les  idem  oiuidi  eftimpoflibiic. 
C6itquoq3  biclinca.3.b.bimedialcp:imu  oiuifa  i  ouas  lincasme 
dialcspotcntia  tsntum  coicantcs  fupcrficicmq^  ronalcm  conriucn/ 
tcs:erquibus.5i.alTcriteac6poiiiqucfint. a.c.c.c.b.oico q?  impoffibilceltcam 
oiuidi  in  alias  ouas  lineas  fub  ea^  oiffinirionc.Q6  fi  poffibile  fucrit  oiuidam  ca 
inpuncro.d.sffumprsq^linesronsli.e.f.adiungaturci.cg.cqiialisoiiobusqua/ 
dratisouaylineay.a.c.c.c.b.ctfupcrftcics.f.b.cqualisquadrato.a.b.ifuperfi/ 
ries.f.k.cqualis  quadratis  ouaylincay.a.d.s.d.b.critq^  pcr  quarta  fcoi.g.b.cq/ 
Its  oupto  fuperficiei.a.c.i.c.b.t  pcr  eande  erit.k.l.cqualis  ouplo  fupcrficici.a.d. 
in.d.b.  p:opter  ypotbefim  quoq5  erit  vtraq^  OU3X2  fupcrficic?  .c.g.c.k.f.mcdia/ 
lis  t  vtraq^  ouay  lineay.g.b.-z.k.l.ronalis.  boc  aure  impolTibile:clTct  cni  pcr  p:i 
mum  fuperficies.k.g.irronalis  ex.22.per  fccundu  aute  eade  eflct  ronalis  cr  oiffini 


tione  s.9.q6  eft  incoocniens. 


■}fb:opofitio   .& 


^fmediale  fecudu  nifi  in  ouae  lineas  fantum  fub  termino 
fuoOiuidinonpoteft 

GSit  vt  p:ius  linea.a.b.bimediale  fco'm  oiuifa  i  ouas  lineas.a.cct 
c.b.mcdialcs:potentia  tantu^  communicantes  fuperficicmq5  medi 
jj  alcm  continentes:ciqnibus.52.p:oponit  cam  componi:oico  q>  im/ 
pofftbilc  eft  eam  oiuidi  fub  carum  oifftnirione  i  alias  ouas:Siu  autcm  oiuidatur 
in.d.fintq5  vt  p:ius  fupcrficics.cg.f.b.t.f.k  .adtuncte  ad  linca  ronalem.c.  f.crut 
q5  pcr  p:efcntes  ypotbefes  vtreqj  fupfictes.cg.s.g.b.mcdiales  quarc  pao.vtra/ 
q5  00322  lineazr.f  .g.c.g.l.crit  rationalis  in  potetia  tantii  no  coicas  i  longitudine 
linee.e.f.at  qi  oue  lineca.c.?.c.i>.erut  incomenfurabiles  in  longitudinc:fcquitur 
pcr  p:ima  ferti  z  per  fc6am  pre.  lo.buius  cp  vtruq^  qdrat022  linca^.3.  c.t.c.  b-.fit 
incomcnfurabile  fupficiei  vni°  i  altera:cuq5  oicta  qdrara  c6iccnt:er  ypoibcti  fcquic 
vt  ambo  qdrata  pirer  acccpta  fint  incomefurabile  fupcrficiei  vm9  i  altcra.  ideoq; 
«ei9ouplo:quarefupcrficies.e  g.incomcfurabif efUfifictci.g.b.tlinca .g.f. lincc 


IX 

g.[.ptfpnmafcxti«fc6amgte.io.buiu3:itaq5per.5o.liitC3.f.l.cbinomiumt)!ui/' 
fa  f>m  fuu  tcrminu  i  pucto.g.Gfodcqj  mo  .pbabif  tpfa  binomiu  ciTe  nicdiantib9 
fugftcicbtis.e.ni.c.m.b.oiuifam fcotn fuu ternunu in puncto.m.qo eft  impollibi 
k  P.36.TI0  cni  pot  oici  cp  linea.f.I.oiuifa  fit  ad  puncta.g.s.m.  in  partcs  confitcs 
fic eni  cffct linca.f.m.cqualis.g.I.fcd  ipfa  e  maio:  linea.m.l.ut patet  c% pmo  p:c/ 
miflby  anreccdentiu  ba?  pma  fcjcti  cu.e.m.fugficies  fit  maioj.b.m.fupcrficic:  bu 
ius  aut  oemoftrationis  modus  potcfl  effe  cois.  3  7.cctcrifqj  cam  fcquenttbus. 

1(b:opofttio  .39. 
3f  nea  maio:  nili  w  ouas  lineas  cantti  ejc  quib^conftat  fub 
[  earmn  tcrmino  oiuidi  non  poteft: 
I  GSit  quoqj  bec  linca  maioj.a.b  .ciuifa  ad  puncf~.c.i  ouas  lincas 
potcnttalitcr  incomcnfurabiles  fugficieqj  medtale  cotiuentcs  quarit 
.  ambo  quadrata  pariter  acccpta  fint  ronalcex  talibuseni  copomtur 
vt  affirmat.33.oico  cp  impoffibile  e  ad  aliu  punctum  in  alias  ouas  lineas  fub  bac 
©iffinitione  ipfa  oiuidi  q>  fi  pot.fit  bic  ad.d.maueant  fub  bis  cade  figura  ecdemqj 
fpotbefes  que  pjius  z  argue  queadmodu  iti-  3 <5.fupfii:ie.g.  k.elTe  rationalc  %  irra/ 
tionalem:q6elttmpolTibiIe.  Iffcrtopofttio    40. 

"f  3fnea  potens  trt  ronale  1  medialc  ntft  in  liias  ouas  lineas 
rantum  lub  termino  luo  non  Oiuidttur. 
|  Gbccquoq5.4o.mancntibusp:io2ibusfigurac  pofitionibus  qxc/ 
^toq^  ipfa  linca.a.b.oiuidatur  in  punctum.c.iin  tllas  ouas  lincas  c% 
quibus.34.oidt  ea  copont  piobabtf  :qucadmodi:.37. Si  aute  alitcr 
fuerit  q*5  pioponat  crtt  fugficies.  k.g.ronalis  1  irr6na'is:q6  cffe  non  potcft. 

1(b:opofitio  .41. 
'  3'nea  potcnsiitouoinedialianequitOituditn  aliasouas 
fub  termino  eay  cr.  quibus  coniuncta  efhled  in  fuas  tantfJ 
onas  cr.  qutbus  componitur  cft  Otuiftbitis. 
Cbcceiii.4i.oiuifalmca.a.b.adpunctum.c.ieascj;  quibus-3f.af/ 
Jferit  eam  componi  ccterifqs  ut  fupsa  tam  figira  q*5  pofittonibus  ma  / 
netib9 ,pbaf  ficut.3S.n3  oato oppofito .ppofiti.Seqfoppofirii.3s.q6  e  tpoffibtle 
C©ifuerttbinomtjlongio2po:tio  b:euio:e  potentio:  augmetoq/ 
drati  lineecoicanris  cidcm  longio:i  tn  longitudme  fueritqs  eadc^  16/ 
gio:  linee  poftte  ronali  cotcans  tpfuj:  Vocabif  binomiu  p:imu .  <£>i  ve 
xo  b:euio:ponter6naltc6municetbiccf  binomiufcbm.iQofincu/ 
trapo:tionu  et9pofiter6nalic6icetappetlabif  binomiiitertiii.  3fte 
ft  longio:  b:euio:c  tanto  amplius  politt  quantu  eft  quadratii  attcu  / 
ius  linee  ipft  longio:t  icomenfurabitts  i  logitudie  fueritq^  logto:  po: 
tionupofttelineeronalicoicas  ilogitudie  ipiu  nucupabtf  binomiu 
binoiiuuquartu.©iverob:euio:poftter6nalic6icet  i  longitudine 
quintunoiabif.  £>i  aiit  neutra  po:tionu  et9poftte  ronali  coicet  i  logi 
tudineeritbtnomtufejctu.  I^opofttio  .42. 
3fnomiu  p:imu  tnucnire.GStt.  a.linea  roalis  pofita-.fumafcp 
ouo  numeri  qdrati  .b.e.c.qnoy.c.fit  oiuiftbif  i  qdratu  qui  fir.d.e  i 
u6  quadratum  qut  fir.e.ponafq^  ,ppo:tio  quadrati  lincc.a.ad  cjdra 
tum  liucc.f  g.  ficut  nmricri.b.ad  ntjmcy.c.crttqj  c;c  fcoa  p.tc.r.linea 


LIBER 


-■  4 


b 

,   4 

D 

f 

c 

11 

43 

D 

c 

36    e 

f  .g.c6munfom8  linee.a.ronali  pofitc  i  longitudine:fupcr  ea  igitur  linectur.f.g.b: 
fcmicirculus:  fitcg  ,ppo:tio  quadratiltncc.f.g.ad  quadratii  lince.f  .b.ficut.cad.d 
i oucatur linea.g.b.oico ergo  ouas  lincas.f.g.i.g.b.oircctc coiunctas  coponcre 
binotniumpiimum.  £ft  cnim  Unea.f.g.quccftlongiojpotcntioi.linea.g.b.quc 
cft  bicuioi  in  quadrato  lince.f.b.pcr.jo.tcrttj  i  penultima  p:imi:coicat  autcm  U/ 
nea.f.b.!ince.f.g.iiilongitudincpcrfcoamp.tcm.7.cump:opo:tio  quadratomm 
ipfaiJ.f.g.c.f.b.fit  ficut  numeroz;  quadratoy  qui  funt.c.f.d.liiiea  Vcro.g.b.con/ 
uincitur  cffe  ronalfs  in  potentia  tiir.non  cotcans  lince.f.g.in  longitudiuc.  ideoq^ 
ncq5  linec.a.ronali  pofite:cum  fit  cnim  quadratum  lince.f.g.ad  qtiadratii  linee.f. 
b.ficut  numerus.cad  numcr.d.crit  pcr  cuerfam  ,ppo:tionalitatc  quadratum  li/ 
nce.f.g.ad  quadratu  lincc.g.b.ficut  numcrus.c  ad  numcrum.c.  cum  itaq5.c.fit 
numerus  quadratus.e.  vero  no  qdratus:  fcqf  pcr  vlt.£tcm.7.ut  liiiea.g.b.fit  in  / 
comcnfurabilis  lincc.f  .g.in  longitudine:rclincjuif  igitur  lpfam.g.b.cffc  ronale  in 
potcntia  ttn  t  a  oionc  lincas.f.g.^.g.b.ppoiicrc  biuomiu  pmu:qb  erat  iucnicdu, 
Hifitomiuiiifecundumreperire.    l|b:opolttto   .45. 

G5it  ut  puus.a.rationalis  liuca  pofita.b.vcro  numcrus  quadrat? 

c. vcro  fit  numcriis  no  quadratus  oiuifibilis  in.d.no  quadratum  et 

e.quadratfi  .ita  tii  q>  p:opo:tio  totius.c.qui  eft  no  quadratus  ad.d. 

qui  eft  ctia  non  quadratus  fit  ficut  numeroy  quadratoy:talis  autem 


numcrus eft.  a.i.^s.otuifibilis cni  eft.i2.in.9.quadratu  niimczj  e.j, non qdra/ 
tum:cftq5  ;ppo:tio.  u.ad.3  .ftcut.  i<$.ad.4.quox;  vtcrq^ quadratus codc*  016.48.' 
oiuifibilis  cft  in.  jtf  .?.2Z.Ia!es  aut  numcros  ftc  repcrtcs.Sit.a.numerus  quadra 
tus.b.quoq^  fit  vnitatc  mino:  rcuius  quadratii  fit.c.at  vcro.d  .pucniat  qc.b.iu.a 
eritq^  cc  p:ima  incidcntium  noni.b.oiffcrctia.d.ad.c.oucatur  ide.a.in.cct  ,puc/ 
niat.c.eritq5.e.quadratuse):p:imaEteco::ct'.fc6i  noni  cocpvtcrq^  numcro:um 
a.i.c.cff  quadratus  per  ypotbcfi^:  fiat  rurfus.f.cca.tn.d.crirq^.f.quale  qucrim9 
eft  cium  c%  vltitna  parte  p:cdicti  co::ci.numcrus.f.non  quadrat9:co  cp.d.numer' 
fit  no  qdraf.Si  cni.d.numcr9  clTct  qdrat9:cffct  quoqj.b.qdrat9  c>\z.  fJte  eiufde 
co::er.2.noni  1  eczz.octaui:cq:.3.c  quadrat9eflct  g.  le.ciufdctertiuscontinue 
;ppo:tionalis  intcr.a.*7.b.q6  c  ipoflibilc  cii  ftnt  fola  vintatc  oiftatcsmo  clt  igit.d 
quadratus  quarc  ncc.f.cft  cnim.f.cqualis.d.c.c.qiii  cum.b.fit  oiffercntia.d.ad.c 
Vt  patct  cy.  p:cmiffts:erit  per  p:imam  incidciittum  noni  q6  fit  eca.in.d.cquii  bis 
que  fiunt  ex.a.in.b.c  inx.i  quia  cca.in.b.fit.d.?  in.cfit.e.fequitur  ut.d.fit  oif/ 
fcrcntia.f.ad.cz quia pcr .  1  s.fcptimt cft.f.ad.c.ficut.d.ad.ccrit  pcnnutatim.f. 
ad.d.ficut.e.ad.c.£uq5  vtcrq^  ouoy  iiuincro:um.e.t.cfit  quadratus  manifcftu 
e  numezj.f.ee  quale  volumus.c  eni  non  qdrat9  ouiifibilis  i.d.116  qdratu  ?.e.qua/ 
dratu:cui9  ,ppo:tio  ad.d.c  ficut  qdrati  ad  qdratu  Videlj.e.ad.ccctera  oia  fint  vt 
p:t°:oico  cj>  linee.f.g.^.g.b.pponut  binomiu  fcom.cu  eni  fit  qdratu.a^.ad  qdra/ 
tum.f.g.ftcut.b.ad.crurfufq)  quadratum.f.g.ad  quadratum.  g.b.  ficut.cad.c. 
crit  pcr  cqua  p:opo:tionalitatcm  quadratum.a.  ad  quadratu.  g.b.  ficut.b.  ad.e. 
cu  igif  vtcrq^  ouoz?  numcroy.b.t.e.fit  qdrat9  crit  p>  fcoant  pre  1  linca.g.b.comui 
cas  in  longitudine  lincc.a.rationalt  pofitc:  oe  linca  vcro.f.g.conftat  q>  ipfa  fit  ra 
tionalis  in  potetia  tm  no  comuuicans  lince.a.ronali  pofttc  in  longitudiue  fj  vlti/ 
mam  partcm.7.que cum fit potcntio: linca.g.b.in  imea.f.b.pcr-jo.tcrtiF z  penul 
tfma  p:imi:comunicct  aiit  linca.f .b.linec.f.g.in  longitudine  g  fc6am  £tc.7.  co  gp 


IX 


eoz  qtiadrata  funt  irt  pportionc  numeroj;.c.?.d.qu02/  eft  pjopojtio  ficut  numc/ 
roj;  quadratoy  pcr  ppotbcfim:conftat  .ppofitu.GHlifcr  quoqj  idcm  cft  linca  .g.b 
communicans a ratiouali pofite m longitudine qua  facilc eft inucnire  fitqj.  c.nu/ 
merusqnadratus  oiuifibilis  in  quadratu.d.?  non  quadratu.c.fitq,  ppojtio  qna 
drati  lincc.g.b.ad  quadratii  linee.f.g.ficut  numcr9.e.ad  numey.c.  entqj.f.  g.  in/ 
tomcufitrabilis  linec.g.b.in  longitudinc  per  vltima  p.tem.7.?  potcntioj  ca  i  qua/ 
drato lincc.f.b.cui coicat  in  longitudinc:pjimo  pci  conucrfa  ocindc  pcr  cucrfam 
pjopojtionalitatcni:?  pcr  fcoam  gte.^.cj:  oifFwitioue  igirur  lince.f.g.t.g.b.  copo 
nuntbinomiumfcom.  IJbzopofltio    .44. 

Snomium  tertiuni  irmeftigare. 
CBinomtu  quoq^  tertiii  fic  rcperif  :pofita  ut  pji9  linca.a.ronali  i  15 
gitudinc  fit.b.numerus  pjimus.c.  Vero  quadratus  oimfibilis  in  qua 
dratum.d.e  non  qtiadratu.c.cctcra  oia  fint  vt  pjius:oico  cp  oue  li/ 
nec.f.g.t.g.b.coponunt  binomiu^  tcrtiumeutra  eni  eayeft  incom/ 
mcufurabitis  in  longitudinc  linec.a.rbnali  pofite  fcd  vtraqj  incomenfurabilts.f.g 
quidc pcr  v Irtma ptcm.?.b.g.  vero pcr  equa  .ppojtionalttatem  1  vltima  parte.7; 
£ft  cni  p  equa  .ppojtionalitate  quadratu  lince  .a.ad  qdratu  lince.g.b  .ftcut  nume 
rus.b.ad  numey.c.mcdiautib9  :binc  quidc  quadrato  lince.f.g.inde  vero  numcro 
c.numcri  autc.b.?.e.no  funt  iu  piopojtione  aliquoyquadrarojwu.b.fit  nnmer0 
pjimus.fi  eni  effcnt  in  pjopojtionc  nuntcro?  quadraroymecelle  cffct  g.  itf.octaui 
0  octaua  ciufde':tcrriu  cis  in  cotinua  pjopojtionalttatc  intercffe.effet  igitur  pcr.  17 
eiufde  numcrus.b.furjftdalis  cp  e  impoffibilc  cu  fit  pjjmus  p  ^potbe.  incomenfu/ 
rabilis cft itaqj linca  g.b. linea.a.ronali pofitc  c%  vltima  p.tc.7  .qj  crgo  linca  .f.g. 
potcntiojelinca.g.b.inquadratolince.f.b.cx-jo.tcrtijipcnuf.pjimique  coicac 
eiiiitongitudine  c%  fcba  ptc.7.qc  oifftnitione  butomij  tcrtij:  pj  noftra  intentio 
^^^«j^nomtmnquartumfcrutari.  TJjbzopofttio  .4?. 
H  EmzM  ^3"  imientionc  binomij  quarti  eode  modo  .pccdcndii  e  ficut  iu  in/ 
ueutionc  pjimi.eixcpto  q>  qdratus  numcrus.c.oiutdat  in  ouos  no 
qdratos  qui  funt.d.s.e.cetcra  oia  ncgocanda  funt  bic  qc  oiffimtio/ 
tie  binomi)  quarti  ficut  ibi  cj:  oiffinttione  binomij  pjimi. 
3fnomiumquiritumqucrere.  Ijbjopoiitio  .4<j. 
Gbuius  inucntio  fic  e  ficut  biuomij  fcbi:exccpto  g>  numer9.c.n6  q/ 
dratus oinidet  in.d.no quadratu  «.e.quadratu.ita  tame  cg ,ppoj/ 
tio.c.ad.d.no  ftt  ficut  numcri  qdrati  ad  numcj;  qdratu.  Xctcra  oia 
[ifut  bic  pquirenda  et  oiffinitione  binomij  quinti  ficut  ibi  queftta  fuut 
tt  oiffiniiione  binomij  fcbi.  vel  ponc  cp  linca.g.b.fit  coicas  Itncc.a.rdnali  pofite  i 
tongitndiucc  pone  numcjj.c.quadratii  oiuifu  in  ouos  no  qdratos  qui  f"ut.d.«.e. 
ponc  itaq^  .ppojtionc  qdrari  linee.g.b.ad  qdratu.f.g.ficur  numcri.e.  ad  numq: 
c.ocindc  aftrue  .ppofitu  c%  vltima  partc.7 .1  pniib9  ypotbcfib9*  conuerfa  1  cuerfa 
.ppojtionibus  %  iterti  ejc  vltima  partc.  .ej  oiffmitionc  binomij  quinti. 

1fc»opofitio    .47. 
B  bmomio  fejtfo  Oemu  oponet  iniiftere.  GSinomiu  fe^tu 
ficut  tertiii  fcrutadii  e«tft  erit  bic  nuer9  qdrat9.c.oiuif  i  ouos  no  q 
dratof.d.s.c  cctcra  ut  ibi  eritq5  ej:  oione  binomii.<j.linca  qj  pponiic 


H  4 


->  4 


— I   7 


LIBER 


i 


i 

1 

\ 

m\ 

\ 

f.g.^g.b.fibi  innicem  eircctc  coiuncte  binomiu  fcyt5:q6  e  ^pofttun»  inucnirc. 
&  l|b:opolitio  -4S. 
3f  fterit  ftperfictes  binomto  pjimo  Uneaaj  rationali  coti 
tenta:  latus  q6  ftper  eam  poteft  binomium  ec  necelie  eft. 
G5it  fuperficies.a.c.contcnta  linea  ronali.a.b.s  binomio  piimo  cp 
fit.b.c.oico  cp  latus  tetragonicu  fuperficiei.  a.c.e  binomiu  :6ir  cni 
punctus.d.comunts  tcmiiu9oua?po«ionu  binomij  pjim  i:b.c.cu 
ius  maioi  po2tio  fit.b.cleritq}  ronalis  i  longltudine  ejc  oiffinitionc:?  comenfura/ 
bilis  lineca.b.ronali  pofite .  ibiuidatur  itcm  mino:  poirio  que  cft.d.c.pcr  cqu3/ 
lia  ad  punctu  e.lineaq^.d.b.oiuidat  fub  ea  couditione  ad  punctu.f.  qb  intcr  par/ 
tes  cius  que  fut.b.f  .v.f  d.cadat  oe  mcdio  loco  pjopojtionalisi  quod  qualitcr  fiat 
in.ij.oictumeft:oucanturautelinee.c.g.d.b.f.k. equidiftantcs  lince.a  .b.?quia 
exoiffimtionebinomij  piimilinca.d.b.eftpotcntioilinca.d.  c.in  quadratc  lincc 
fibi  comunicantis  in  [ongitudincfequitur  c%  fc6a  parte.  15.$  oue  lince.b.f.T.f.d. 
fin  t  cotcanres:  per.o.igitur  cft  vtraq^  cay  comunicans  toti  Imec.b  .d.quarc  p  otffi 
nitione ambc  funt ronales in longitudine.idcoq^  pcr.i  j.vrraqj  ouaj;  fupcrftcicjz 
a.f.c.f.b.eft  ronalis  :oefcribatur  itaq5  qiiadratti.l.m.cuius  latus.l.r.cqualc  fug/ 
ficiei.a.f.cui  circfiponatur  gnomo  pjotracta  eyagonali.l.m.n.ad  cam  qnantitafQ 
q6ipfiusgnomontsquadratu:q6fit.m.ii.fitcqualefuperficici.f.b.ouoq5ei9i'up 
plementa  fint.p.m.f.m.q.quc  neceffe  cft  effe  cqualia  ouabus  fugfiriebns.  d.g.ct 
gic.qo  fic  coUige:cu  enim  fit  linea.d.c.mcdio  loco  .ppojtionalis  intcr  lincas.b.f.s 
f.d.erit  fnpcrficie3.d.g.C):  pjima  fcxti  medio  loco  .ppoitionalis  inter  fnperficics 
B.f.c.f.b.quarc^intcrquadrata.l.m.^.m.n.cquiafupplcmentujp.m.cftctiain 
mcdio  loco  poipoitionale  inter  quadrata  oicta  qc  pjima  fccti:fcquitur  ut.p  .m.fit 
cqualis.d.g.idcoqs.m.q.g.c.igttur  linca.l.p.eft  latus  tctragontcu  fupcrficict.a.c. 
banc  linca  oico  effe  binomiu:  cu  fint  eni  ambo  quadrata.  l.m:  ?.m.n  .rationalia 
crunt  qc  oimnitione  oue  lincc.l.r.c.r.p.potentialiter  ronales.  £ft  autem  pcr  pii/ 
mamfejrti.a.f.ad.d.g.ficut.b.f.ad.d.e.fcd.b.f.cftincomcnfurabilis.d.e.f^j.b.f 
eft  .ationalis  fimplicitcr  Vt  piobatum  cft.o.c  vero  quia  coicat  in  longitudincd.e 
ronale  ifi  potetia  tantum  eritq^  ipfa  ronalis  in  potcntia  tantu  pcr- 1  s.q6  cy.  pmif/ 
fisypotbefibus  manifeftu  cft  iraq^  per  fc6am  pte.io.fuEficics.a.f.cft  incomcnfu/ 
rabilis  fuperficiei.d.g.igitur  1  quadratum.l.m.fupplcmcnto.p.m.quare  g  piima 
fexti'zfc6amEte.io.linea.l.r.cinc6mcfurabilisliuce.r.p.q:.3o.igit?ftatlinea.l.p 
effebinomiuqoerat  monftrandu. 

■]|b:opolitio   .49. 

3f  fterit  ftperficies  linea  rationalt  bmomioq?  fecildo  co/ 
tenta:latas  eias  tetragontcum  crit  btmedtalc  p:imum. 
CSit  eadcm  figura  ecdemq5  ypotbefcs  q  in  picmiffa:  erirq^  vf.  oifli 
nitionebinomij  fecundi  linea.d.c.rationalis  in  longttndinc  :quarc 
pcr.i j.Vtraq^ onarumfupcrficierum.d.g.c.g.c.idcoqs  etouo  fup/ 
plcmetita.p.m.m.q.erit  rationalis:linea  vero.b.d.crir  rationalis  in  potcntia  ta» 
tum:et  oiuifa  in  ouas  lineas  communicantes.f.d.et.  b.f.cjc  oiffinitionc  bmomi) 
fecundi  1  piemiffis  ypotbcfibus  1  fecunda  parte.  1  j.pcr- 1  o.igitur  crit  vtraq^  ouay 
fnpcrficiej;.a.f.?;f.b.idcoq5 «  vtruq5quadratoj;.l.m;?.m.n.medialc:itaq5  ambe 


IX 


lince.l.r.c.r.p.funt  mcdiales  in  potcntia  quoq,  comunicantcs  :na  cum  linca.b.f. 
toicctlince.f.d.fequitiirut.a.f.pmunicet.f.b.quarc  quadratu.l.m.quadrato  .m. 
n.ideoqj  i  linca.l.r.hnce.r.p.in  potcncia:in  longitudiue  aute  non  comiiuicattqm 
vna  earum  ad  altera  eft  (icut.l.m.ad.m.p.£um  igitur.l.m.no  pmunicct.m.p.eo 
«j&ltera  medialis  videlicer.l.m.altera  vcro  ronalis  vidclicct.m.p.fcquitur  ut.l.r 
no  comunicet  in  longitudine.r.p.  q:  igitur  ipfc  contincnt  fuperficicm  rationakiu 
que  eft.m.p.pftat  lineam.l.p.ex.?  i.buius  eiTebimedialc  pjimum. 
•)fo:opofitio    .50. 
^f  btnomio  tertio  ac  linea  rationali  fuperftcies  coutinea/ 
tur  linca  in  eam  potens  crit  bimediale  fecundum. 
[  CDifpofitiocypotbefesmancantvtfup:a.£ritq5cjcbis  ypotbefi/ 
buscoiffinitionebinomij  tertij  ■z.ij.vnaqueqjquatuo:  fupficicm 
in  quas  oiuifa  e"  fupficies.a.c.medialis:  quarc  vtruq^  ouo^  quadra 
to?.l.m.m.n.«  vtruq^ ouo£  fijpplemeto:u.p.m.7.m.q.erit  etia  mcdiale  vtraqj 
igiturouaylinearu.l.r.i.r.p.critmedialis.ccnouefuperficies.a.f.c.f.  b.fintco 
municantcs  eo  q>  oue  linecb.f  .•z.f.d.fint  comunicantcs  pcr  fecuda  parte- 1 3.erut 
ouc  linee.l.r.c.r.p.comunicantes  iu  potcntia  in  longitudinc  vero  no:q:  fugficies 
Lm.non  eoicat  cu  fupcrficie.m.p.eo  cp  ncq5.a.f.coicat  cum.d.g.  Tlam  linca.b.f. 
no  comunicat  cum.d.e.  cum  igir  ipfi  ptineant  fuperficiem  medialem  quc  eft.p  .m 
c6ftate)c.32.Unea.l.p.effc  ntediale  fcbm:quod  cft  p:opofitum. 
Ifojopoiitio    .yi. 
%  linea  rationalibinomioq^quartofuperficies  cotinca 
rar:que  in  ea  fuperftciem  potelt  eft  linea  maioj. 
|  G£unctis  ut  in  pjennTfis  manetibus  crit  ex  ypotb.  1  oiffinitionc  bi 
nomij  quarti  1. 1 9.vtraq5  ouaj;  fugficiexz.d.g.c  g.c.  quarc  1  vtraq^ 
ou3£.p.m.?.m.q.medialis  ouoq3  quadrata.l.m.t.m.n.paritcr  ac 
cepta  ronalc  eo  <j>  fupcrficies.a.d.e  ronalis  per  oiffinitione  binomij  quarti  i-  iy. 
£t  quia.d.b.oiuidif  in  puncto.f  .in  ouo  mcoicantia  per  fcbam  parte.  i4.crit  fuper 
ficies.a.f.  incomenfurabilis  fuperficiei.f.b.3ocoq5 1  quadratum.l.m.  quadrato 
m.n.oue  igitur  Iince.l.r.i.r.p.funt  incomenfurabiles  i  potcntia  que  cu  contineat 
fuperficiem  mediale.p.m.i  earum  quadrata  ambo  pariter  accepta  funt  tationalc 
pftat  per-3j.linea.l.p.effe  lineam  maio:e  quod  erat  monftradum. 
'Jfozopofitio    .51. 
j|3f  nieritfuperiicies  linearationali  atq^  binomioquinto 
!contentaquecunq5in  eam  linea  poteft  petensinratio/ 
nale  1  medialc  e(Te  er.  neceflitate  conuincttur. 
\W§jMK  CbatnbacqDoqjealiquidewpnoaim  oifpofitioncspofitionib9 
Iw^BJml  mDtandu:eis  0115  manetibus  crit  ex  bis  que  pofita  funt  in  oiff ini/ 
tione  binomij  quiti  1. 1  j.vtraqj  ouajz  fup.ficie2/.d.g.«.g.e.quaxe  vtraqj  oua?  .p. 
in.«.m.q.r6nali8totaq5.a.d.qnarc«ouoqdrata.l.m.t.m.n.p,iteracccpta  me/ 
dia!isex-'9.cuq5e)cfcbaEte.i4.fitIinc3.f.b.ic6mefurabihslinea,f.d.i6q5fupfici/ 
es.a.f.fupficiei.f.b.s  qdratu.l.m.qdrato.m.n.crit  linca.l.r.icomefurabiti  potcV 
tia  linea.r.p.at  q:  ipc  ptinet  fugfkie  ronale.p.m.i  eaj/  qdrata  abo  gitcr  acccpra 
funt  medialc  concludc  cjc.34.liiica.l.p,clTc  potcntcm  in  rationalc  %  mcdia!c:quod 
p:omi(Tumeft, 


s  - 


q  r 


\ 

\ 

LIBER 


\H 

\ 

0 

c 

\b 

Ifcoopolitio   .53. 

3f  binomio  fejctohncaoj  ronali  fuperficiescoutincatur 

Itnca  quc  ineam  poteft:inouo  tnmedialiapoteneelie 

p:obatur. 
|K^jS§K  Cbcc. 5 3 .adbuc tc fuftinet  ociari a pingendo figuras': conrcn ta cnt 
Iw^SfXil  eft  pxmiffiB  oifpofitionc  i  pofitionibus.Ouib9  ftantibus  nccelTc  e" 
cc  ipfis  pofitis  %  oifpofitionci.oiffinirione  binomi)  poftremi  i.\  ^.qualibct  c%  fu/ 
perfiriebu8.a.d.?.d.g.?.g.c.pjopterquod?amboquadrata.l.m.c.m.n.p2ritcr 
acccpta  «.p.m.i.m.q.cffe  mediale^.  Xunq^.b.f.s.f.d.  p:opterq6.a.f.c.f.b.idco 
q3-l.m.':.m.n.fintinc6inenfurabilescruntouelince.b.c.«.r.p.incommenfurabi/ 
lcs  in  potentia.at  qnia  ipfe  continent  fupcrftciem  mcdialcm.p.m.  earumq^  ambo 
quadrata  paritcr  accepta  funt  mcdtale  qo  cft  ouplo  fupcrficici  vnius  in  alraa  in/ 
commenfurabile:qo'  er  eo  pjobatur  cp  fuperficies.b.b.  e  incomenfurabilis  fupcr/ 
ficiei.b.c.pjopterbocg>linca.d.b.cftinc6menfurabilislinee.d.c.  fequiturcx.35.li 
neam.l.p.effc  que  poteft  tn  ouo  mcdialia. 

l£»opolitio    .74. 

3flineerationaliequum  quadrato  binomij  rectangulum 

adiungat :  latueeiuefcom  binomiu  p:imu  eHecoueniet. 
j  Cbec  fet  fequentes  conucrfe  funt  fet  prcccdentium  per  o:dinc  bui'' 

autemeftbccintcntio.Sitlinea.a.b.binomiu  oiuifa  adpunctu.c. 

tn  ouaslincas.a.ct.c.b.Pm  fuam  oiffinitione  aut  termini  ciufq^.a 
b.quadratumfit.b.d.fitq5  linca.cf.ronalis  in  longitudtnc  cul  adiungatur  fupafi 
cies.cg.equslte quadrato.b.d.oico  q>  latus fcom:buius  fupcrficiei quod  e  linca 
f.g.eft binomiu  p:imu.  Diuidatur  eni  quadratu.b.d.in  ouo  quadrata.b.b.s.b. 
d.que  fint  quadrata  ouarum  po:tionu5  binomij :  1  in  ouo  fupplcmcnta.a.b.t.b. 
k.quojum  vtruq^  continctur  fub  ouabus  poaionibus  binomij  reritq^  et  eiffiuitio 
nebinomij  que  babeturper-3o.vtruq5  iftoy  quadraroy  ronalc?  penip.vtrunq; 
fupplcmcntu  mcdiale.  £t  fuperficic  igitur.e.g.abfcindatur  fupafiaes.cl.  equa  / 
lis  quadrato.d.b.i.l.m.cqualis  quadrato  .b.b.c.  n.p.cqualis  vni  ouo:uj  fupple 
mentomm  .a.b.vcl.b.k.eritq^.p.g.refidua  equatis  reliquo  fupplemento :  quare 
pcr  p:imam  ferti  linea.n.q.eft  equalis  liuecq.g.er  prcmiffte  aut  manifeftu  eft  cp 
vtraq^  oua?  fnpcrficicrum.e.l.i.l.m.t  io  tota  fuperficics.e.n.eft  ronalis  £t  vtra 
q5  ouarum  equalinm.  n.p.i.p.g.cideotota.m.g.  media!is:quarepa.i<?.vrraq5 
ouarum  linearu^.f.l.f.l.n.?  totalinca.f.n.ronalis  in  longitudine:  1  lineccf.ra/ 
tionalipofitecomenfurabilis:«per.2o.vtraq5  ouaru^.n.q.i.q.g.itota.n.g.ra/ 
tionalis  in  potcntia  tantum  incomenfurabtltslinccm.n.?  idco  lineccf.ftbi  cqli 
1  pa  confeques  1  linecf.n.in  longitndinc:  6i  igif  linea.f.a.  que eft  maio: linea 
n  .g.  vt  er  piimo  ouoy  aiitecedetiu.3  cocmonftrationi  fubiunctoji»  1  p:ima  ferti 
apparct:fuerit  potentio:  liuca.n.g.mino:i  in  quadraro  unee  fecum  comunican  tis 
in  longitodinc.  tunccr  oiffinitione  binomij  p:imi  manifcftum  eft  lineam.f.  g.ce 
binomium  p:imum.boc  autcm  ita  effe  fic  babeto.£um  inter  ouo  quadrata.  d.b 
«.b.b.fit  per  pjima  fcjcti  fupcrficies.a.b.medfo  loco  pjopojtiona!is:conuincitur 
er  p:io:ibus  ypotbcfibns  fuperfictem.m.q.elTc  inter  fuperficies.cl.t.l.m.  medto 
loco p:opo:tiona!is:  quare per pjima  fcxtt linca.n.q.que cft  medietas  lincc  n.g 
eft  in  medio  loco  p  joponionalis  intcr  ouas  lincas.f.l.f.l.n.qb  igitur  fit  ct  .f.l.  iu 


1  l 


IX 

cr.a.b.in,b.c.bis:iraq5  quadrarum.a.d.rantii  e  quatti  qo  cr.a.b.in.b.d.bis  ?  ejc 
a.b.in.b.c.bis  cii  quadrato.a.c?  q:  et.a.b.in.b.ctm  fit  quantu  iu.  b.d.  conllat 
«r  ce  quod  ^ppofitum  eft.   Gt£um  faerit  numerus  in  ono  eqnalia  ono/ 
q5  tnequalia  oiuifus:quadrata  ambo:n5  inequalium  pariter  accepta 
ouplum  funt  quadrato  medietatis  i  quadrato  eius  quo  maioz  pottio 
cjcccdit  minojem  partter  acceptis.    G3dem  pjoponit  nona  fc6i  oe  lineia 
Sitcnim.a.b.oiuifuspouosequalcs  quifint.a.c^.cb.?  gouosinequalesqu» 
fuit.a.d.?.d.b.oico  q>  quadrata  ouor  numeroy.a.d.T.d.b.parirer  accepta  funt 
cuplii  ouobus  quadratis  ouoy  numcro-g.a.cc.c  d.pariter  acceptis.  j£ft  eni  per 
ferram  ba?  quadratum.a.d.quantu  quadrari.a.c  i  quadratu.cd.-z  onpli»  eiua 
qo  fit  ct.a.cin.cd.q:  aiit.a.ceeqnalis.cb.  erit  quadratu.a.d.quantii  quadratu 
b.cz  quadratu.c.d.  z  ouplu  eius  q6  fit  et.b.c.in.c.d.itaqj  quadratu.a.d.  cu  qua 
drato.b.d.funt  quatu  quadratii.b.c?  quadrarii.cd.-z  oupui  eius  qo  fit  ecb.cin 
cd.  z  qnadratu.b.d.ouplu  aut  eius  qo  fit  ct.b.cin  .cd.cii  quadrato.b.d.  e  equa 
le  quadrato.b  c.?quadrato.cd.p.9.bareTgoquadrataouo:,2numero-?.a.d;et 
d.b.funt  quantii  quadrata  ouoy  numcroy.b.ce.cd.ouplicataw  quia.b  s.t.c.z 
fuut  cquaics:pj  ^pofitii.   C  jCum  fuerit  numerus  in  ouo  equa  oiuifus 
alinfqjadiunctus:  qnadratum  totius  copoftticum  quadrato  adiuncti 
onplumfuntadquadratummcdietatisiplius  cumquadrato  compo/ 
liti  er,  medictate  i  adiuncto.    G^dc  p:oponit.  lo.fcoi  oc  lineis.Sit  0115  nu/ 
mcrus.a.b.oiuifus  in  ouos  cquales.a.cz.cb.fitq^  fibi  adiunctus  numerus.b.d. 
oico  quadratii.a.d.cu  quadrato.b.d.ouplii  ee  ad  quadratu.a.ccii  quadrato  .cd 
di  fit  cni  numerus.cd.in  ouo  oiuifus  fibiq^  fit.a.cequalis  vni  oiuidentiii  addit" 
crit  pcr.  io.ba£  quadratu.a.d.quantii  q»  fit  cr.cd.in.ca.quater  cii  quadrato.b. 
d.q:  vero.a.ce  equalis.cb.erit  quadratii.a.d.quari»  q6  fit  er.d.ci.cb.qter  cu  q 
drato.b.d.itaq^quadratu.a.d.aiquadrato.d.b.critquantuqbfitecd.cin.cb 
quatcr  cu  ouplo  quadrati.b.d.boc  aiit  p.  1 9.ba?2  ouplii  e  ad  qdratt»  .c.d.cu  qdra 
to.cb  .ciiigif  fitqdratii.cb.equalequadrato.a.  ccoftat  .ppofitum.    CThu/ 
mcrum  altqnem  ita  oiniderc  ut  qo  cjc  toto  i  vna  eius  poJtionc  cotine 
tur  equum  lit quadrato alterius  eft impofftbile.    CQ6.1  i.fecundi  p:o/ 
ponitfacienduminlincis.oemonftratbocimpoffibile  cffcin  mimeris.  Sitcnim 
quilibct  numcrus.a.b.oico  impofiibilc  elTe  ipfii  fic  oiuidi  ut  p:oponitur:fic  cni  oi 
uidercf  frn  p:opo:rione  bab  *ntcm  mcdium  i  ouo  ertrcma:  ut  patet  et  oiff initioc 
i.2o.fcptimi.Siautcmpotcftoiuidaturin.cfitq5.a.b.ad.b.cficut.b.cad.ca. 
erit  itaq5.a.cmiuo:.cb.octrabatur igitur ab co  equalis fibi qui  fir.  c.d  q:  igitur 
cft  p:opo:tio  totius.a.b.ad  totum.b.c.ficut.b.c  octracti  ab.a.b.  ad.c  d.  octra/ 
cruin  ab.b.ccritcadem  .a.c  .rcfidui.a.b.ad.b.d.rcfiduum.b.cquarc  .b.c  ad.c 
d.ficur.cd.ad.d.b.eritigitur.cd.maio:.d.b.oefraaoitaq5.d.c.oe.cd.utfir.d. 
c.eqlis.d.b.crit  etia  ,ppo:tio.b.c.ad.c.d.fiC.cd.ad.d.c.  qrcficd.b.refidui.c.b. 
ad.ce.refiduu.c.d.p6t  igif.ce.octrabi  ab.cd.no  crit  iraq,  finis  ifti9  oerracriois 
_i]q6eipoffibilc.nijcad(ppolirurcucrtamur.    '](b:opOfitio  .17. 
3f  fuertnt  ouo  numcri  ?tra  fe  pjimi  quatus  e  pjimus  eoy 
ad  fcomrtantu  eiTe  fcom  ad  tertium  qnccjj  impoflibtle  eir. 
I  GSint.a.-z.b.contra  fc  pnmi:oico  impollibilc  cffc  aliquc  cis  in  con 
tinua  #po:tionalirateadiungi.Si  C1115  pot  fir.c.q:  igif.a.ad.b.hcut 


'  ?  ■M^J/k»» 


D 


LIBER 


b.ad.c.funt  aut.a.f.b.in  fua  p:opo:tiouc  minimi  per  .zj.feptimt:  fequitur  p.21. 
eiufdcm  ut.a.numercf .b.qui  cum  ctiaj  numeret  fe:  non  erunt.a.c.b.contra  fc  p:i 
mi:quod  eft  contrarium  poni. 

"Jfcttopofitio   .18. 
jl  3f  quotlibet  numero;?  cotinue  ,ppo:rionalium  ouo  etrtre 
|  ma  fiiertnt  cotra  fe  pJtmt  quantfcft  p:imus  ad  fcom  tantii 
effe  vltimum  ad  aliquem  alium  eft  impofftbile. 
C  Sint.a.b.c.cotinuc  ptopojtionales.fintq^.a.s.ccontra  fc  p:imi 
Joico  q>  in  cade  p:opo:tiouc  non  potcft  eis  adiugi  alius.  fi  cni  poteft 
fit.d.quia  igitur  e.a.ad.b.ficut.cad.d.erit  permutati.a.ad.c.ficut.  b.  ad.d.  funt 
aute.a.s.c.in  fua  .ppojtione  minimi  pcr.zj.fepttmi  itaq,  p.n.eiufdem.a.  nume/ 
rat.b.quarc  etiam  numerat.c.numcroy  enim  continue  p:opo:tionalium:fi  p:im'' 
nuntcrat  fconi:  ipfe  numerat  omncs  1  fimplicitcr  quilibct  p:ecedes  quelibct  fcque 
tcm.at  q:  etiam  numcrat  femon  ernnt.a.^.c.cotra  fc  p:imi:  qo  eft  mconucnicns. 
1(b:opofitio    .19- 
Hlopoutis  ouobus  numeris  an  ftt  eis  tertius  cotimte  p:o 
poJtionalisperfcrutart. 

GSint.a.t.b.ouo  numeri  p:opofiti:volo  mquircre  ait  cis  polVit  tcr 
tius  fub  continua  p:opo:tionatitate  adiugi.3gitur  fi  iP»  fwt  cotra 
fcp:imi tmpoffibile cft  pcr.17.fi  vcro copofitt oucatur.b.i  te.t p:o/ 
ueniat.c.que  fi.a.numcrat  crit.fi  vero  116  numerat  non  erit.Tlumcrct  cnim  eu  ftn 
d.quieritquequcrimusper.2.partcm.zo.feptimi.fitcrgo  utnoi  numcrct  cnm 
eft  tamcn  ut.a.ad.b.ficut.b.ad.d.itaq,  q:  cx.b.in  fc  fit.cfequitur  pcr  p:ima  par/ 
rem.20.fcpttmi.ut  ejc.a.in.d.fit  ide.igit.a.numcrat.cftn.d.  fed  crat  pofitu  g>  no 
quare  feqnit  tmpoffibile.  1|b:opofitio    -20. 

~~ ijSltis  tribus  numeris  cotinue  p:opo2tionalibus  an  fit  ali/ 
|quis  quartus  eis  continue  piopottionalis  inquirere. 
f  GSin  t  cotinuc  p:opo:ti6ales.a  .b.c  volo  inquircre  an  alius  cis  fab 
\  continua  pjoponionalitatc  poffit  adiungi.igitur  fi»a.f  .c.funt  ptra 
_J  fc  pjimi  impoffibilc  cft  per.  i  s.fi  aut  copofitus.fit.d.qui  p:oucuit  cjc 
b.in.cque  fi  numerat.a.erit.fi  vero  no  numcrat  no  erit.numcret  enim  cum  ftn.e 
quicritquequerunus:pcrfct3ampartcnj.2o.fcptimi.fitergoutn6  n  mercteum. 
eft  tamcn  nr.a.ad.b.ficut.c.ad.e.itaq5  q:  cx.b.in.t.fit>d.fequitur  pcr  pjima  p.tem 
20.feptimi.vt  er.a.in.e.fit  idem.ergo.a.numerat.dim.e.lcd  pofitu  crat  q>  non: 
3dc  potes  pcrfcrutari  quotlibct  cotinue  p:opo:tionalibus  pjopofitis.fi  cnim  ouo 
extrcmi  fint  cotra  fe  p:imi  finem  babct  intcntio  per.i  s.fi  antcm  compofiti:  oucto 
fcoo  in  vltitnu  (i  pjoductum  nnmerct  piimus:is  fct5m  que  eu  numerat  cft  que  que 
rimus per fcoam ptc.20fcp.fi aut pjim9 .pductu no numerat  null9 crit: quotlibet 
eni  pofito  p  pjima  pte  eiufde  fm  ipfu  pofitu.numerabit  p:int9  .rjductii:  qb  pofitfi 
eratnonnmerare.  1fc>:opofttio    .21. 

latisquothbetnumerispumus  aliquepumuab  eis&i/ 
uerliim  efie  neceffe  eft. 

GTlrbil  aliud  intcndif  nifi  cp  numeri  p:imi  fint  infiniti  ccmonftrare 
Sint  eni.a.b.cnumcri  pjimi.oico  effe  aliquc  pjirou  oiucrfu^  ab  cis 
fit  quide.d.f.mmimus  quc  numcrat  cni addita  vnitatc  fiat.d.g.qui 


IX 


eft  primus  aut  compofitus  .(i primus conftar  (ppofitum.fi compofitus numerat 
cu  aliquisprimus  qui  ftt.b.que  nou  cft  polTibilc  clTc  alique  qc  p:imis  <ppofitis.fi 
cnt cffct aliquis cop cii  quihbet  ipfoy  numcrct.d.f .ipfc  quoqj  numcratct  eundc: 
at  q:  numcrat.d.g.opojtcrct  ipfu^  numerare.f.g.qui  cft  vniras  qoteft  impofiibile 
3dc  fequitur  pofito.d.f.quolibet  numero  qne  numcrant.a.b.cqre  pftat  .ppofitu 
"Kbzopolitio    .12. 
'  5  coaccruenturquottibet  numertpares-.totusquoq^ab 
eis  coaceruatus  erit  par. 
I  GSit  quifq3  iiumero£.a.b.cparioico  ejc  cis  copofitfi  ee  parcm.  ba 
bct  cni  Cf  couerfioue  oiffinitionis  qnifq^  coy  mcdietatc.fint  ergo  eo 
!jrummcdictatef.d.c.f.q:igiturficur.a.ad.d.fic.b.ad.e.«.c.ad.f.erit 
cv.ij.fcptimi  ficut.a.ad.d.itaq^ro^.a.b.cadrotum.d.c.f.itaq^.d.e.f.eftmcdie 
tas.a.b.c.ergo  per  oiffinitioncni.a.b.c.cft  panquod  eft  p:opofttum. 
1fb20pOl"itiO    .23. 

3f  numeri  impares  numero  parcs  coaceroenf  :totus  quo/ 
q5  ejc  cie  coaccruatus  erit  par. 

GSit  quiltbet  nnmcroy  .a.b.cd.impanoico  ej:  eis  compofitum  effe 
parcm:oempta  cnim  a  quoltbet  vnitate  coftat  rcfiduos  cffe  parestz 
q:  ille  vnitatcs  ocmptc  coponut  pare.cu  fint  numero  pares:conrtat 
p:opolitum  per  p:cmilTam.        Kbiopofttio  .24. 

3f  numeri  mipares  numero  intparescoaceruentur.totum 
quoq5  ejc  as  coaceruatum  imparem  effe. 
GSitqmlibctuumeroy.a.b.c.impar:oicototue):ci8  copofitu  effc 
imparcm.crit  cni  pcr  pmiiTam  copofitus  cca.t.b.par:?  q:.coem/ 
pta  vnitatc  cft  par  ertt  pcr  antc  p:cmtffa  totus.a.b.cocmpta  Vnita 
te  par:per  oiffinitioncm  itaq^  conftat  totum  effc  imparcm. 
^JOpofttio    .2j. 
J  3f  a  numero  pari  numerus  par  octrabat  reltquus  erit  par 
jiGSit  totus.a.pat'  a  quo  octrabaf.b.qui  quoq,  fit par  :z  rcfidu9fit 
liic.oico.c.eftepare.fitciii.d.medietas.a.e.quoq^fitinedictas.b.oe/ 
;ractoq5.c.oe.d.fitrcliqnus.f.eritg.i3.fcptimi.c.ad.f.ficut.a.ad.d. 
quarcf.e  medictas.itaq5.ccft  partqo  eft  p:opofitum. 

1{b:opofttio   -2<s. 

l  %  a  numero  impari  oetrabat  impar  reliquus  erit  par. 

|GSit.a.b.numer9impar  a  quo  oetrabaf  .b.c.qui  etia  fit  impar:oi/ 

co  reliquum  qui  cft.a.cdTe  parc.octrabatur  cni  ab  vtroq^  ouo:um 

iiumcroy.a.b.t.b.cvnitas  q  fit.b.d.critqj  vterq^  ouoy  refiduoz?  q 

fut.a.d.«.d.c.par.ppmiffaitaq5conftat.a.c.cepare:q6e<ppofitu. 

Ijbiopofttio    .17. 
*§f  a  numero  impari  numertj  parc  fubtrabas  qui  relinqui 
turimpareft. 
I  GSit.a.b.impar:a!quo  oetrabatur.ax  qui  fit  panoico.cb.refiduii 
j  ee  imparc.fit  eni.b.d.vnitas:eritq5.a.d.par  <j  q:.a.ce  par  crit  p.2j 
cd.par  cu  itaq^  fit.d.b.vnitas  erit.cb.impar :  q6  eft  p:opofttum. 
1^«20pofitio    .28. 

f  2 


LIBER 


0 

\6 

c 

9 

b 

4 

i — 

i 

a 

z 

%  denumeropariimparctollasquirclinquit  impar  eft. 

GSit.a.b.par a  quo  tollaf .a.c.qui fit  impanoico.c.b.rcfiduuj  elTc 

imparejfubtrabaturcnimab.a.c.viJitasqucfit.c.d.eritcp.a.  d.par 

itacp  pcr.25  d .b.quoq^  crit  par.qs  igif  .d.c.eft  vnitas  feqmf  .c.b . effc 
_iimparc:qbe<ppofttu.    1(2>:opofitio    .29. 
5  numcrus  impar  in  numeru  parem  oucatur  qui  inde  p:ocfu  / 
cetureritpar. 
C£jh23.mauifcftum  cft  quod  oicitur. 

Ifcjopoutio   .30. 
3f  in  imparem  bucatur  impar  qui  pjoducctur  erit  impgr, 
ITbcc  quoq3  c;t.24.mainfcfta  eft. 

Ijbjopoutio   .31. 

!  #  numer^  impar  numerum  parem  numeret  inumcro  part 

euni  numerabtt. 

ttSi  cni  numero  ipari  cu  numcrarct  cj:  ipari  i  impare  ficret  par:qo' 

e  incoucnies  p  pmill  a .  Ijbjopotilio    .32. 
3  impar  imparc  numcret  tmpanter  eum  numerat. 
GSi  cni  pariter  eu  uumcraiet  ej:  numcro  tmpart  i  nume^  pare  fieret  im 
parq6cinc6ucnie0p,29.  ")|b:opoiltio    .33. 

3J  numerus  impar  nuincram  parcm  metiatur  eiufde  quo/ 

q5  oimidtum  iplimi  mctirt  ueceile  eil. 

GSir.a.numer9parcuius  otmuhu.b.litcp.c.numertmparqtri  1111/ 

meret.a.oicocp.c.uumcrabit.b.iiumcreteni.aim.d.cruci3E.3i.d. 

iiumcrus  par.ffto  igif  eius  oimtdiu.c.oucaturqj.c.in  x.i  .pucniat 


f.critqsp.is.fep.a.ad.f.fscut.d.ad.c.-jqiettacft.a.ad.b.ficnt.d.ad.e.fcquit.b.c 
f.cffc  equales.cu  itaq3.c.numeret.f.idc  numerabit.b.quod  cft  pjopofttuin. 

Ifcnopoiirto   .34. 

^  numcrus  impar  ad  attquc  fuerit  pjimusudcm  ad  eiutde 

ouplumerirp:imus. 

CSit.a.iiuiiicrusiniparp:iinusad.b.aiin3  0uplu  fit.c.  oico  cp.a. 

e  p:imu6  ad.c.fin  autcm  numcrct  cos.d.cuq^.a.ttt  impar  fequif.d. 

elTeimparc:quictiq3  eni  iparc  nunicrat  imparclt  g  pjcmiffam  itaqj 
d.numcrabti.b.non  funt  tgitur.a.-j.b.contra  fe  primt  :qo cft  contra  ypoibeft. 
1Jb:opofitio    .35. 

^mert  a  ouobus  oupti  ftrnt  partter  parcs  tantunr. 

GSint  vniras.a.b.c.d.cotimic  .ppouioaics.fitqj.a.binarius:  oico 

oee  eos  ec  paritcr  parcs  cifq,  $  m  banc  ,ppo2tionc  in  inftnitu  auctts 

nullu  aliu  ce  parit  pare:  oc  bis  quide  confiat  g  oiftinitione  cu  p.i  2. 

quiltbet  pccdens  numeret  qucltbct  fequcte  p  alique  coy.quos  omncs 
oporiet  cflc  parcs:  1  nullus  alius  numcret  aitque  cozj  pcr.  1 3  xo  cp.a.qui  e  binart9 
vnitate  fcques  c  p:im9..QD  aut  null9  alt9  ab  bis  fit  paritcr  par  pftat:ftc  poftto  cni 
aliquo  oiuidaf  i  ouas  medietates  eiufq^  mcdtctas  i  ouas:  •;  boc  toties  fiat  quoul" 
q5  numcr"  aut  vnitas  oiuifione  ipcdiat  q6  nccclTe  c  eucnirc  g  vlttma  pcfitionc.fi 
vero  numcr9  bac  .pbibeat  ipfe  erit  ipar  q  cu  numcret  pitcr  pare  pofttii  no  crat  pit 
par  q  pofit9  e  p.itcr  par.fi  aut  vnitas  116  erir.  1  5 .  alt9  a  cotinuc  ouplis  ab  vnita tc. 


IX 


•^>:opofitto   .jtf. 
^meruscuiusmedietaseftimpareftpariterimpar. 


GSit.a.numerus cuius  medtetas que fu  .b  .ftt  impar  oico.  a.effe 
pariter  impare.fit  em.c.binari9manifeltu  itaqj  qin  ey.c.iii.b.fit.a. 
itt  aut.d.quilibet  uumerus  par  numeras.a.  qui  numeret  eu  fctfm.e 
eritcpp.fcbam  gtc.2o.feptimi.e.ad.b  .ftcut.c.ad.d.igit.e  .numcrat 
b.na  q:.c.nunicrat.d.erit  itaqj.e.numerus  impar.erat  cui  ?.b.g  oiffinitione  igit 
a.cltparitcrimpar.  1(b:opofitio    .37- 

flbnisnumerusaOuobusno  oupluscuius  medierascfi: 
par  cft  pariter  par  1  tmpariter. 
GSit  numer9.a.  no  ouplus  a  ouobus  cuius  medietas  que  fit .  b.po 
natur  par.oico  ipfu  effe  pariter  pare  1  ipariter.fit  eni.c.binarius  oe 
;quo  manifeftu  e  gp  ipfc  numerat.aim.b.q?  vero.a.no  cft  ouplus  3 
euobusrnecefle  e  fi  eius  medietas  quc  e.b.in  alias  ouas  medietates  oiuidafrme/ 
dietatifq^  medietas  in  alias  ouas  vt  tande  occurrat  numerus  impedies  oiuifione 
qui  ,ppter boc  cp oiuifione no  recipit crit  impar.fttq; is  in  quo ftftit  oiutfio.d.  tti 
numero  qppe  neceffe  e  ftari  q:  firfqj  ad  vnitate  pucniret  otuifio  eet.a  oe  numcris 
oupiis  a  binario  oe  quibus  no  e:oe.d. vcro  mantfeftu  e  <p  ipfc  numcrat.a.p  banc 
coetn  fdam:ois  numerus  numeras  aliu  numerat  omne  numeratu  ab  lllo.Tlume/ 
retCTgocufm.c.critqj.e.par.aiioquin.cu.d.fitmaio:  impar  fcqucrcf  p.ja.a.ee 
imparr.q:  igif.b.numerus  par  numcrat.a  .ftn.c.qui  quoqj  e  par  eft  eni  bmarius 
St  vero.e.numer9 par nnmerat eade ftn.d.q  e impar.pftat e$ oiffinitioe  numey 
a.cep.itcrpare^imp.tter.qoe.ppofitu.    1(b:opofitio    .3S. 
R^i^ssi  31  oc  fc6o  arcjj  vltimo  namcro^  cotimie  ,ppo:tionaliuin 
equale  p:imi  oematur  quantn  e  reliqnu^  lcbi  ad  p:imum 
tm  ec  reliquu  vltimi  ad  coaceroatum  e]c  cuctis  p:eceden 
tibus  necclTario  comp:obatur . 
jJC5intptinue,ppo:ti6nalcs.a.b.c.d.e.f.g.b.oematq5.oe.c.d.eq/ 
lis.a.b.qui  fit.c.k.s  oe.g.b.qui  fit.g.l.oico  tuc  q>,ppo:tio.k.d.ad.a.b.  e  ficut.Lb 
ad  cdpofitu  ejc.e.f.c.d.-z.a.b.fumat  ejr.g.b.equalis.e.f.qui  fit.g.m.  1  eqlis.cd.q 
fit.g.a.eritq^.l.n.eqlis.k.d.manifeftu  aut  e  p.a.fcp.cp  cu  ftt.g.b.ad.  g.m.  ficut 
g.n.ad.g.n.erit.b.m.  refiduo  ad  .m.n.refiduu  fint.g.b.ad.g.m.ideoqj  ficut.e.f. 
3d.c.d.fifiquoq5m6erit.m.n.ad.l.n.ficut.c.d.ad.a.b.Emutatimigiterit.  b.m. 
ad.e.f.c.m.n.ad.c.d.ficut.n.l.ad.a.b.itaq^coiunctip.ij.fep.erit.l.b.copofitus 
ex.b.m.m.n.«.l.n.adc6pofituex.e.f.c.d.c.a.b.ficut.l.n.ad.9.b.ideoq5ficut.k. 
d.ad.a.b.q6eftp:opofitum.  1(fe:opOlitio    .39. 

^m  coaptati  faerint  namert  ab  vnitate  cotinue  oupli  qut 
coiuncti  raciat  numeru  p:imij  qctremus  eo^  in  aggrega/ 
tum  cp  eis  ouctus  p:oducit  numerum  perfectum . 
GSint  ab  vnitate  ptinue  oupli.a.b;c.d.ex  eis  aut  1  vnitate  coaccr/ 
uatus  fit.e.qui  ponat  ee  numcr9p:im0in  que.c.multiplicet.d.t  p:o/ 
ucniat.f.g.oico.f.g.ee  numqj  pfectu.  Sumat  igit.b.k.l.ptinuc  oupli  ad.e.ut  tot 
fint.e.b.k.Lquot  fint  cotinue  oupli  ad  vnitate  fumpti.eritq^  p  equa  ^po:tionali 
tate.l.ad.e.ficnt.d.ad.3.quareEp:im9p.tezo.fep.cx.3.in.l.^ucnit.f.g.11aipfe 
f.g.^uenit  ejc.d.in.e.«  q:.a.e  btuari9  e.f.8,ouplus  ad.l.funt  igit.  cb.k.  l.c.f.g. 

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LIBER 

cortnue;ppo!tionates;ocmaf  igif  ct.b.  cqualts.e.qmfit  .m.b.i  refiduus.b.  n.q 
crit  etia  eqlis.e.itcctf  ejc.f.g.oemaf  cide  cqualis  qui  fic.f.n.eritq^  p  pmiffam.n.g. 
quatu  aggregatu  ejc.e.c.b.i.k.s.l.fedc.f.n.cu  fit  equalis.c.e  quatu  aggrcgatum 
cy.3.?.b.i.c.'Z.d.'Zvnitate.iteq5totU8.f.g.eqnantu8aggregat9c)coibus  bts  fcj 
a.b.cd.c  vnitate  z  illis.e.b.lU.oe  quibus  oibus  manifcftu  e  q>  numcrat  eii  kj.f. 
g.c.quidefm.b.'z.bim.k.q6c)Cpm3Ete.2o.fep.puincifadiuu5tcequa^po:tio/ 
tionalitate  ficnbi  opus  fuerit.fft  cnim  ut.d.ad.c.ficb.ad.c?  ut.d.ad.b.uck.ad 
.e.p  cqnam  ,ppo:tionalit3te:quare i eccin.b.?  et.b.in.k.nccelTc c .pucnire.f.g. 
que  oudn  (pdujcerat.d.in.e.u  igif  nullus  alius  ab  bis  numcrat.f.g.i  pfccrit  g  oif/ 
finitione^  numerus  pfectus.G  £>uod  autem  nullus  alius  eum  uumerct  fic  patct  fi 
eni  boc  polTibilec  fit.p.qui  numcrctjcu  $  m.q.eritq^  p.j  j.fep.vt.e.  numcret  altc? 
eoy ponafq^  q>  numcret.p.c q: p fcoam  ptc.2o.,cp.c.q.ad.d.fiait  c.ad.p. feqntf 
•  Dt.q.nnmcret.d.quarc  cu.a.qui  fequif  vnttate  lit  pjimus  c  cni  binari9  erit.q.p.  1  j 
bniusaut.3.aut.b.aut.c.quicunq5autbo?2fucriterit.p.aut.l.aut.r<.aut.b.ficni 
q.fuerit.3.  conftat  q?  p.erit.l.qo fit  fuent.b.p.erit.fc.li  aut.cp.quoq^ crit.b.non 
c  igif.p.oiuerfus  ab  illis  vt  fucrat  po!"ttu:rdmquitur  crgo  cpXg.fit  numerus  per/ 
fectus  quod  crat  oemonftrandum.    £xplicit  libcr  llonus  ^ucipit  libcr  Dccimus 
c^aitfitatesquib^fueritvnaquantitascois 
casnuiiieras:Dicetc6icates:quib'?  vero  no 
fiierit  vna  cois  qntitas  cas  numeras  oiccti/ 
c6meTurabilcs.£ineeipotetiac6icatesoi/ 
cu  nf  qua^r  fueficies  qdratas  vna  cois  fup.fi  cv 
esnuerat.lLineeicomefurabilesipotetta&i' 
cunt  quay  fupficics  qdratas  no  numeratvna 
cois  fugftcies:q  cu  ita  finti  manifeftu  elqj  oi 
linee  polite/multe  alie  fut  incomefurabtlcs. 
qdailonsttudie  tin:c]dail65itudiuel?pote^ 
II  tta.i^is aut  Imea  cn  q rociiiamiir  pofuaivo' 
caf  ronalis.iineeqi  ei  coicates  oicut  ronales :  £ide  aut  icotdtes  oi- 
cut  irronalef  fiuefu'rde.i£>is  vcro  cfdrata  fupficief  oe  cj  g  Ypotefiroa- 
namur  oicif  ronalis.0up.ftcics  vero  ei  cotcates  oicuf  ronales.  /Sidc 
autem  icommenfurabiles  fuperficics  Otctltur  irrattonales  fiue  fnrde . 
latera  vcro  q  in  illas  qdratas  polTut/Oicut  ronalta.G  iQttahb?  qua/ 
tttate  totics  polTe  multipltcarivt  qualibet  eiufde  generts  quatttatem 
>ofitamejrcedat.  Ifittopofitio   .1. 

3f  a  ouabus  quatttatibus  inequaltbus  ^pofttisimaius  Oi y 
midio  a  maiozi  oetrabat.iteq.i  oe  reliquo  maius  oimidio 
Oemaf/Oeinceps  quoq?  codc  mo.ncceiTe  e  vt  tandc  mino ' 
re  pofttay  mino:quatttas  relinquaf .      Gsmt  oue  quan/ 
titatcs  incqualcs.a.s.b.cb.cmaioi.Dico  cp  toties  pot  mains  oimi 
dio  octrabi a.b.cvel cius rcfiduo  cy  ncccffe erit  rclinqui quautitate  minojein.a. 
fmultipliccf  ari.a.quotics  ejccedat.b.c.fitq,  eius  multiplet.d.c.f.maius.b.coctra 
batur  itaq^.a.b.cmaius  oimidio  q'  fit.b.g.itcqj  cx  rcfiduo  q6  cft.g.  c.mai9  oimi  - 
dio  qo  fit.g  .b.boc  quoq^  toticns  ftat  quoufq^.b.coiuifa  fiant  fn  tot  ptcs  quotiCG 
a  ptinef  in.d.e.f.oko  tunc  <$  vltimu  tefiduu  vt  cft  bicb.ccft  min9.a|niulftpliccf 


ii3mq5.b.c.cjuotienscmultipIic3ta.a.i.d.c.f.fitq5CiusinultipIc)c.k.l.ni.qngirur 
vnaqucq,  quatitstu.k.l.m.c  cqualis.b.c.fcquif  ut  i.k.dt  minoi.b.g.fcd  t.l.mfoi 
.  g.b.at  qj.m  .c  equalis.b.c.crit  p_  coccptione.k.l.m.minoj.b.c.quare  mtnoj.  d.e.f . 
cufitcrso.d.e.f.ad.a.ficut.k.l.m.ad.b.  c.fttq^.d.e.f.maioj.k.l.m.  fcquifp.14. 
quinti  cp.a.fit  matoi.b.e.qo  e  pjopofitu.  3decp  fequif  fi  oe.a.maio:i  oiniidui  oc 
maf .itcq,  oc  rcliquo  otmidm:  fitqj  roticns  quoufq^  maioj  oiutdaf  in  tot  partes 
quotiens  cotinef  m  iitoj  in  quolibct  fuo  muItiplice:maio:e  pofitay  quatfilibct  cjcce  - 
deute.CLattcnderc  aut  opojtct  cp  buic  Videf.i  j  .tcrtij  pdicerc  ,ppoiics  angulu  coi»  - 
tingentie  miuo:e  fo:e  quolibct  angulo  a  ouabus  lineis  rectis  cotcuto :  pofito  0115 
angulo  quolib^  rectilineo:fi  ab  ipfo  maiusotmtdio  oemaf  .itcqj  oc  refiduo  maius 
oimidio ".  ncccffc  videt  boc  toticii3  polfc  ficri  quoufq^  angu!u3  rccttlincus  minoi 
angulo  cotingcntie  relinquaf  :cuius  oppofufl.i  j.tcrnj  fjilogijatjfcd  bi  116  fut  vni/ 
uoce  3iiguli:n6  cni  ciufde  funt  gencris  fimplr  curufi  %  rcctu.St  Vcro  ncc  angulum 
contingcnric  totiens  cotingit  fumi  ut  quslccuq,  rcctilinefi  crccdat:  q6  ncccffarifi  e 
ut  cr  pjcbabita  oemdftrationc  p^tad  boc  ut  pfis  cx  antccedcwc  fequaf :planu  S  e 
etia  qneubct  angulu  rcctiltncu  infmitis  angulis  coiuingetic  cflc  mato:cm. 
Kb:opofitio   .2. 
3f  fucrint  oue  quantttates  inequalesi&etrabatqj  maiou 
equaleminoji  oonecminuseo  lutjfifjacoetnde  minou 
ipfms  rehqui  equale  ocmat/ooncc  miitus  eo  rclinquatur  / 
ocnuoquoqircliquopjtmo  ccilereliqutfcrjiioonec  mi/ 
nus  eo  lupfit  aufcrat:?  tn  buiuftnodi  cottnua  octractione 
nullii  reltquii  06  ante  relictu  numeremnuentafieas  onas  quatitates. 
incom  cnfnrabiles  elfe  necefle  eft.    CSimile  buic  ,ppof  uit  p:ima  feptimi  t 
iiumcns.5(nt  ouequatitatcs  inequalcs.a.-i.b.maioj.a.quibue  fi  fiat  rccipioca 
quoad  pot  octractiomo  occurrat  etta  fi  infmitics  fiat  aliq  qntitas  octractioc^  ipc 
dtcs  fiuc  antc  rclictu  numcras  oico  cas  incomefurabiles  cflc.Sin  aiit  fit  cois  cap 
mcnfura.c.oetrabaftgif.b.cjc  a.quotiespot.fitq^rcfiduu  d.qo  rcfiduii  Oetrabac 
ejc.b.quoticns  pot  %  fit  refidmi.c.^iatq^  toticns  ifta  oetractio  quoufq,  ejc alteru/ 
tra  ouaEqnantitatfi.a.i.b.rcmancat minus.c.boc cni  ncccflc  cfl  cflc  polfibilc g 
pcedcntc.Siqj  bic.e.miuus.c.cu  igif.c.mcfuret.b.octracta  ab.a.i  ctia.a.menfu/ 
rabit  pcr  coccptionc.d.refiduii.idcoq,  cfi  menfurct.d.octractu.a.b.c  ctia  ipfii.b. 
meufurabit.e.rcfiduu.fed  crat.e.minus.c.maioi:crgo  quantitas  mcnfurat  mino/ 
rem.qoeftimpofnbilc.  1(b20pofitio    .5. 

[ITRopofitis  ouabus  quautitatibus  inequaltb^coicantibus 

inarima  quantitatc  cottereas  numerantc  tnuentre.  iBj: 

bocitaq5inanifcltumell:que  ouas  metiturquantitates 

tnarimam  quoq^comuntterambasmetientcm  metiri. 

liCbuiusoemonftrationcmfifcciainfeptiminon  igno:as  nopotcs 

igno:are:(pccfl'us  cni  vtrobiq^  idcm. 

1{b:opofttio   .4. 
iRopofitistribusquantitatibuscommunicantibusman/ 
mam  eascdmuniternumerantem  inuenire. 
Gbccejc  tcrtia  fcptimi  fic  patct  ficut  pjemifla  ex  fccunda  fcptimi. 
1fc:opofitio   .5. 

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v!tm*  fj|'rt»n- 


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LIBER 

ODnium  twarum  quantitatum  comunicantium  eft  ,ppo:/ 
tio  tanq3  numeri  ad  numerum. 

CSint  oue  quatitatcs.a.?.b.c6municantcs:oico  q>  carum  ;ppo:tio 
cft  ficut  alicuius  numcri  ad  aliu  nume?.fit  cni.c.marima  quantitas 
comuniter  mcnfurans.a.f.b.reperta  ut  oocct  fcoa  buius-.quc  mcn  / 

furet.aim  numey.d.t.bim  numem.c.critqj.a.ad.c.vt.d.ad  vnitatcco  q>  ficut 

a.cft  multipkr.c.ita.d.c  multipfcr  vnitatis.ac.c.ad.b.  vt  vnitas  ad.c.qm  ficut.c. 

e  fubmultipler.b.ita  vnitas  e  fub  multipler.e.igitur  per  cqua  ,ppo:tionalitatcm. 

a.ad.b.ut.d.ad.e.quodeftp:opofitum. 

1|b:OpofltiO     .6. 

%  fijerint  oue  quantitates  qua?  fit  p:opo:tio  vnius  ad  al 

tera  tanfc  numeri  ad  nume£:eas  twae  comunicantee  elle 

nccefleeir. 

Cfoec  eft  conucrfa  p:io:is  ut  fi  fit.a.ad.b.ficut  numcrus.c.ad  nume 

rum.d.eruntoucquantitatcs.a:7.b.pmunicanres.fitcni.c.toticns 
menfurans.b.quotics cft  vnitas  in.d.c  totiens menfurans.f.quotiens vnitas  iu 
c.  £umfitisitur.f.ad.c.ut.c.advnitate.ac.e.ad.b.vtvnitasad.d.eritpcquam 
yportionalitatc.f.ad.b.ut.c.ad.d.quareetiaut.a.ad.b.isifperpnmapartem.j. 
quinti.f.eft  cqualis.a.cu  itaqj.e.mcnfurct.f.perconceptione  mcnfurabir.a.igitur 
a.«.b.c6ic3htes:mcfurabat  cni  s.b.quod  eft  piopofitum. 
"ftb  :opofitio   .7. 

XJDuiam  tmarum  fuperficierij  quadrata^lqnay  latcra  in 
1  longitudtnec6municant|eftp:opoJtiovniu8ad  alteram 
I  tanqua numeri  quadrati  ad numeru  quadratum .©t  vero 

faerit  p:opo:tio  fup.ficiei  quadrate  ad  fuperficiem  quadm ' 
Jtam:tanquap:opo:tiouumeriquadratiad  numerijqua/ 
dratu:  eruntlatera  earu  in  longitudinecommiimcatitia  ./®6  fi  fuerit 
,ppo:tio  fuperficict  quadrate  ad  fnperficicm  quadrata:non  velut  nu/ 
meri  quadrao  ad  numerum  quadratum:latera  earum  erunt  in  longitu- 
dine  incdmenfurabilia . 

CSint.a.t.b.oue  lince  quadrate  qnay  quadrata  fint.cr.d.oico  cp  fi.a.c.  b.com  - 
municant  in  longitudine  erit  .pponio.c.ad.d.ficut  numcri  quadrati  ad  numcrum 
quadratu  i  ccoucrfo:fi  aut  ,ppo:tio.c.ad.d.n6  fit  ficut  numcri  quadrati  ad  numc  - 
ri5  quadratii.a.i.b.eriit  incomefurabiles  in  longitudiue  c  ecoucrfo.Zicrutn  iflud 
argumctuquartun6p:opontt:  £:imup5fic.fi.a.?.b.c6muniC3nt  i  longitudmc 
ipfc  per.f  .crunt  in  p:opo:tione  ouo:p  numero?  qui  fmt.e.t.f.quo^  quadrati  fint 
g.c.b.qjcrgoe.c.ad.d.ficut.a.ad.b.ouplicataper.is.fextiifeqnitutfit  etiam.c. 
ad.d.ficut.c.ad.f.ouplicata.fedctiacper.  i  i.octani.g.ad.b.ut.c.ad.f.  ouplicata 
crgo.c.3d.d.ficut.g.ad.b.q6ep:imu.6c6mfic:fit.c.ad.d.ficut.g.numcrusqua/ 
dratus  ad.b.numey  quadratuJoico  cp.a.c.b.erunt  in  longitudine  coicanres.  £5 
enim  fit.e.ad.d.ut.a.ad.b.ouplicstap.is.ferti.^.g.ad.b.p.ii.  octsui  ut.c.  ad.f. 
ouplicatarquarccfimpIa.s.Bd.b.ficutfinipls.e.ad.f.p.tf.igiiurfunt.s.c.b.coica  ' 
tes  qo  eft  fcom.  Icrtiu  vcro  P5  er  p:imo  a  oeftructionc  cofcquentis.  Sitr  quartii 
patct  er  (c6o  a  oeftructionc  pfi  tis.  C£r  tertia  pte  bui9not3  oiamct^  ee  incomen  / 
furabile  coftc,£u  eni  fit  qdratu  oiameq?  oupui  qdrato  coftc:oupla  vero  ^po:tio 


X 


no  fit  ficut  numeror  qdratoj/jfeqt  otemety  ee  incomcnfurabile  cofte  t  logitudiuc 
aiioquin  cu  quaternarins  fit  numcrus  quadratus  cffent  oes  paritcr  parcs  qdrati 
i  etia  alij  infiniti  qui  no  funt  quadrati .  Ducit  aut  "By.  ad  iltud  IncOjflteniens  fi 
©iameter  ponatur  comenfurabilis  cofte  cp  impar  numerus  erit  equalis  parcquod 
ficpatet.Sitenimoiamctcr.a.b.commcnfurabilislateri.a.c.  eritq^per.y.a.b.ad 
a.c.ficut  aliquis  numerus  ad  aliu5-  Sint  ergo  bij  numeri.c.c.f.qui  fint  minimi  in 
fua  pjopo2tione:eritq5  ob  boc  alter  eop  impar.  6i  eni  vterq^  par :  no  eriit  mini/ 
mi:  quadratt  quoq^  eo2/  fint.g.i.b.  fi  ergo.e.e  ipancrit  quoq^  ey.jo.noni.g.ipar 
rititaq^.k.ouplusad.b.critq^.k.exoiffinitionepar.qjtgitut.a.b.ad.a.c.ut.c.ad 
f.erit  per.s.fcjcti  c.  i  i.octaui  quadratu.a.b.adquadratu.a.c.ut.g.ad.b.e  itaq^.g. 
ouplus ad.b.ficenim  cft quadratu.a.b.ad  quadratu.a.c.g penultima  pjimi:? qi 
ctiam.k.eft ouplus ad.b.  feqnitur per.9.qumti  ut.g.numerus impar fit  eqlis.k. 
iiumcro pari.  £16  fi.e.fit  par  c.f.impar:crit ,ppojtio.f.adoimidiu.e.q6 fit.l.fi/ 
cut.a.c.ad  oimidiu.a.b.qo  fit.a.d.c  ideo  erit  pjopojtio  quadrati.a.e.  ad  quadra 
tum.a.d.ficut  pwpojtio  numcri.b.qui  eft  impar  per.30.  noni  adquadramm 
nnmeri.l.quifit.m.cui.k.  ponaturce  ouplusjeritq^.k.peroiffinitioitcm  par.  3t 
qj  quadratu.a.c.e  ouplu  ad  quadratu.a.d.per  penultima  pjimi  erit.  b.  oupl9  ad 
m.cuq5.k.fit  etia  ouplus  ad.m.erir  per.  9.  quinti  numcrus  impar  .b.  equalis.k. 
iiumeropariqtfepjopofitu.  'jfbzopofltio    -S. 

5  fuennt  one  quantitates  vni  quantitati  coicantes-.ipfas 
quoq?  inuicetn  comenmrabiles  elle  neceffe  eft. 
GSit  vtraq^  ouaz/  quantitatn.a.t.b.coicans  quantitati.c.oico.a.c 
b.efie  comcnfurabiles:eft  enim  per.  j.a.ad.c.  ficut  numcrus  ad  nu/ 
mey:  fimiliter  quoq^  per  eande.c.ad.b.ficut  numerus  ad  numerum 
Sit  itaq^  numerus.d.ad numeru.c.ficut.a.ad.c.numerufq^.f.  ad  numcrum.g.fi 
cut.c.ad.b.atpjopoJtionesquefunt.d.ad.e.t.f.ad.g.contincnturintribustcr/ 
minisquifunt-b.k.l.utoocet.4.octaui:eritq5perequapjopojtionalitate.  a.ad.b 
ficut.b.numerus  ad.l.numcy.pcr.tf.igitur  funt.3.1.  b.coicantes  q6  eft  .ppofitu. 
G  £jc  bac  quoq^  fequitur  cp  ft  fuerint  oue  quatitates  fibi  inuice  coicantes :  cuicuq^ 
vna  carum  communicat  %  reliqua:?  cuicunq^  vna  no  comunicat  nec  reltqua.  Sint 
enim  oue  quantitates.a.s.b.comunicantes:  ponaturq^  quelibet  quantitas  qoe  fit 
c.cum  qua  comunicet.a.oico  qj.b.comuntcabit  cum  eadc^:  q6  qc  bac  octaua  patct 
cum  Vtraq^  earum  comunicet  eum.a.ej:  ypotbefi.^26  fi  itep.a.t.b.fiiit  comunica/ 
tcs  ut  pjius:ponatur.c.qudibet  quatitas  cum  qua  non  comunicet.a.otco  cp.b.no 
communicabit  cum  eadem.fi  enim.c.comunicaret  cum.b.cum.  a.quoq^  p  ypotb. 
communicetcumeodem.b.  effentperbanc  octauam.  a.?.c,  communicantes.fed 
pofitum  erant  <j>  uon  cffcnt:quare  conftat  quod  oirimus. 

1fc)20pofltiO    :9. 

ffej^TSI  ^  mermt  DUf  quantitates  coicantesi  totum  quoq?  cjc  eis 
^C^^I'  con^eaam  vtri(15  ^V-cnt  comunicans.0i  vero  foerit  to 
*  tum  vtriq^ comenfurabileerut ambe comenmrabiles. 

GSint  oue  quatitatcs.a.c.b.comenfurabiles^oico  totum  cx  cis  co/ 
pofitum  quod  fit.c.  vtriqj  carum  cffe  commcnfurabile  c  cconucrfo. 


e  a 

s 

k -. 1 

I 


3dbuc  quoq^fi  totum  exeiscompofitumviii  earum  communicct.oicocp  com 
mnnicabit  alteri:«ipfefimititer  interfc.^dem  quoq5  incontrario.fi  enim.a.c 


LIBER 


ff' 


b.fiiu  incoicantestoico  cp.c.  vtriq^  earam  erit  incomunicans  t  ecouerfo  :ac  fi.c.al 
tcri  carum  fit  inc6municans:erit  quoq^  incomunicans  z  ahcrv.z  ipfc  erta  intcr  fc. 
Suititaq^pjimum.a.-t.b.comunicantes^fuq^carumcomunismcnfura.d.qufcii 
vtr  aq5  eay  numcrct  pcr  coccprionc  funile  anrepennlttme  numerabit.i.c.quare  p. 
oirTinitionc.c.coicabit  vtriq^  ca£.fc5.a.'?.b.£c6ncrfo  quoq^  fi.c.comunicct  vmcrj 
carum.fit  oim  cois  mcnfura.d.coftat  itaq^  pcr  oifTinitioiie.a.f.b.  comuntcautcs 
eile  fed  comunicct.c.cu  altcra  caruin  que  tu.a.oico  cp  comunicabit  cu.b.t.a  .etia 
c.b.communicabunt  adinuicem.fit  cnim.d.coinntumter  mcnfurans.  c.z.z.  quta 
igitur.d.mcnfurat  totum z  octractum  per conceptionem  ipfa  mcnfurabit  reftdu/ 
um  videlicct.b.per  otrTinitioncm  crgo  z  .c.communtcat  cum.  b.f.a.communicat 
quoqj  cum.b.  6i  autc  a.  s.b.futt  tncommuiucantcs  crit  .c.iucommunicans  vtri 
qj  earum:fi  cnim  cum  vtraqj  feu  ctiam  cum  alrcra  earum  communicarct  i  ipfe  co 
monicaret  adinuicem:  qood  cft  contra  fpotbeftj  Stmilitcr  quoq^  cconucrfo  fi.c.e 
incommunicans  vtriq^ caruin feu  etiam altcn eaium:crit  quoqj incommunicans 
rcliquc:«  ipfe  inter  fc:qo  palam  cfl  c%  pjcdcmonftratis  a  ceftructtoc  confcquetia. 

I^btopofirio    .10. 

Xlknium  quatuo:  quantitatum  p:opo:tionalium  'fi  fiierit 

p:ima  communicas  fecunde:  tertia  quoq^  erit  communi/ 
i  cans  quarte.  0i  vero  p:ima  incdmenfurabtlie  fucrit  fecu 

de:tertia  quoq^  mcomenfurabilis  erit  quarte. 

f!6int  quatuojquantitatcs  pjopouionales.a.b.c.d.oico  q>  fi.a.co 
mumcat  cu.b.c.quoqj comunicabit  cu.d.cp fi.a.efl  incomenfurabtlis.b.c.  quoq^ 
crit incomcnfurabtus.dfffi.a.coicat  cu.b.tn  potentta  tm.  c.quoq5  comunicabit 
cnm.d.in  potcntia  rantum.ZJcrutame  tllud  non  .ppontt  auctoj  qffacile  patet  q: 
ccmoi)ftrationcpiioiu.6ieni.a.c6icatcu.b.eritper.5.a.ad.b.ficutnumcrusad 
numcram.fit  crgo  ficut.e.ad.f.at  q:  cft  pcr  ypotbcfim.a.ad.b.ftcut.cad.  d.crit.c 
ad.d.ficut  numcrus.c.ad  numey.f.pcr.is.igit  cft.c.communicans  cu.d.qb  cft  pii 
mum.6com  patct  ct  pjimo  a  oeftructione  confequcntis.fi  enim.a.  cft  incomcnfu 
rabilis.b.opojtet.e.effc  incomenforabile.d.  nam  fi  cffct  ci  comefurabilis  cu  ftt  ut 
c.ad.d.fic.a.ad.b.pcrfpotbefim:clTctperpjimamparte.a.c6municanscum.b. 
fed  non  crat:  quare  conftat  totu  qb  pjoponit  auctoj.  Qx>  autc  adwnpm^  vidcli/ 
cet  qp  fi.a.coicat  cum.b.in  potcntia  tm.c.comunicat  cum.d.i  potcutia  tm.  fic  pa 
tct.£u5  cnim.a.non  comunicct  cu.b.in  longitudine:  nec.c.quoq^  er  partc  fecuda 
buius  comunicabit  cum.d.tn  longitudin£.at  vero  cum  quadratum.a.communi/ 
cet  cum  quadrato.b.cjc  vpotbcfi  cnt  pcr.  5  .quadratum  lince.a.  ad  quadratu  lince 
b.ficut  numerus  ad  numcrum  qui  fint.e.i.f.s  quia  quadratum.c.  ad  quadratum 
d.ficutquadratu.a.adquadratu.b.critetiaquadratu.c.adquadratu.d.ficntnu/ 
merus.e.ad  ftumeru.f.pcr.tf  .igitur.c.s.d.cotcant  in  potentta:?  qj  non  comuni/ 
£atinlongitudine:c6ftat,ppofitij.  ^{b:opofitiO    .11. 

iRopofita  qualibet  recta  lineaiouas  ei  incomcnfurabiles 

alteraminlongiradinetanwmialteram  in  longitudineet 

potenriairectas  lineas  inuemre. 

C6it  linca.a.,ppofita:volo  ouas  Uneaf  repcrire  quai/  vna  coicet  cu 
ya.i  potetia  tm.altcra  vcro  ut  icomeforabihs  ci  i  logitudic  z  i  potctia 


X 


Sumo  itaqj  ouos  numeros  nequaq^  fc  babcntes  f  n  .ppojtionc  aliqnoi?  numcro^ 
quadratoy.fintq^  bij  .b.  f.cquos  facilc  cft  fumcre  cu  quilibct  quadrat9  numcr9  ad 
quclibet  no  quadratu  ea  babcat  ,ppo:ttoncqua  ncquaq^  babcnt  aliqui  numcri  q/ 
dratt  cofirmatc  bec.22.oaaui:ouob°  talib9  numciis  fuptis  iucnio  Itnea.d.ad  cm° 
qdratu  fe  babcat  qdratu  linec.a.ficut  numerus.b.ad  nnmqj.cbanc  aut  Itnea  ita 
rcpcrio  oiuido  linca.a.in  tot  ptes  cqualcsquot  funt  vnitatesin  numcro.b.qb  fa/ 
cilc  facio  aduinate.ii.vcl.  i2.ferti:oebiuc  fu^  extremitate  linee.a.erigo  linca.  e.pcr 
pendicularitcr  in  qua  toticns  ptincatur  vna  er  gtibus.a.quottcns  vnttas  eft  in.c. 
.Qiiia  igif  tp  pma  fcjrti  ,ppo:tio  quadrati  lince.a.ad  fuperficie  que  fit  cca.  i.ccft 
fiatt.a.ad.c.cioficiitnumcri.b.adnumc^.cfiponaf.d.inmcdioloccppoitio/ 
nalisinter.a.c.e.ficutoocct.^.fextiqjtucperpiimaparte.Kf.eiufdequadratu.d. 
erit  equale  fupcrficici  pductc  cca.in.cz  erit  ,ppo:tio  quadrati  lince.a.ad  qdratfi 
lince.d.ficut  uumcri.b.ad  mime^.cquare.a.s.d.funt  comenfurabilcs  in  potetta 
ejc  oiffinitione  c  pcr  vltima  pte.7.ipfe  fiit  incomcnfurabtlcs  in  logitudinc.regta  cft 
iraq^.d.pnma  linca  qua  .ppofitu  erat  inquirere.Gattera  fic  rcp  rio  intcrpono  ut 
cocct.9.fejcti  linea.f.mcdio  loco  ,ppo:tionale  intcr.a.f.d.critq^  pcr  co2:cl'.  \7.fcj.li 
qaadratu.a.adquadratu.f.ficut.a.ad.d.itaq5pcrfcoampartc.io.quadratum.a. 
eft  mcomenfurabile  quadrato.  f.igif  linea.f.e  incomcnfurabilis  lincc.a.i  potcntia 
quare  z  in  longitudince  iraqj.f.fcda  linea  qua  .ppofiw  erat.reperirc£t  fic  p>  p:o 
pofitum.  IJbJOpofitio  .u. 

£Cmiu  quatuoz  lineajr  «pponionaliu  fi  piima  tanto  am  / 
plius  polfit  fcoaiquatu  e  quadratu  alicmus  linee  coicdtis 
libi  in  longitudinemcccffee  tertia  quoq^tanto  amplius 
poflequartaiquatu  eftquadratu  alicuius  Itneecoicantis 
libi  tnlongitudine:(j>ritueritp2tmapotentioj  fctSaqdra^ 
to  alicuius  lince  incomenfurabihs  ftbi  in  longitudine:erit  quoq^  ter  / 
tia  potentio:  qrta  cjdrato  altcui^  linee  ftbi  tcdmcfurabilis  i  logitudine  • 
GSintqtuo:lince,ppo:ti6alc8.a  .b.cd.fttq^.  a.maiot.b.s.cmakH.d  fitquoq^ 
a.potetioj.b.qdratoliiicc.c.t.c.potetioi.d.qdrato  lincc.f.oico  cp  fi.a.coicct.e.in 
logitudie.c  .quoq^  coicabit.f.i  logitudie  q>  fi.a.no  coicat.e.i  logitudic  nccc.cotca' 
bit.f.i  logituctine.Qo  i  ft.a.coicat.e.i  potctia  tm.cquoq^  coicabit.f.t  potetia  tiii 
I5e^  tamcn  illtid  vltimfi  no  ^ponit  auctoi  q:  facilc  patct  cjc  p:io?2  oemoftrationc . 
ciifitcni(ppo:tio.a.ad.b.ficut.cad.d.eritquadrati.a.adquadratu.b.  ficutqua- 
drati.cad  quadratfird.c  q:  quadratnm.a.cft  cquale  quadratis  ouay  lincay.  4se 
-f.b.s.e.fifr  quadratfi.  cquadratis  ouarum  lineay.d.f  .f.  erit  ,ppo:tio  quadraroj? 
ouaylineay.b.^.e.adquadrattt.e.ficutqdratoy.d.l.f^adqdratu.f.  crgooififi' 
timeritquadratfi.b.adquadratu.e.ficutquadratfi  .d.adiquadratii.  f.ergo.  b.ad 
c.ficut.d.ad.f.itcm  per  equamp:opo:tionalitatcni  crit.a.ad.e.  ficut.  c.ad.  f.ergo 
per  piimam  partcm  oecime  conftat  piima  pars  buius:?  per  fecundamifcoa:?  pcr 
tertiam  ibi  adiunctatnitcrtia^  bic  adinncta. 

IfiHOpoftfio  .ij. 
3f  fiierint  oue  linee  inequales  quoJum  longio:em  in  ouo 
communicantia  omidar  fuperficies  fibi  adtuncta  equalis 
quarte  parti  quadrati  b:euio2is  linee  cut  adinncte  fu/ 
perficieioelitadcomplendamtotam  lineam  fuperficies 


iM. 


;/i*l-| 


/wm/w- 


LIBER 


qnadrata  necefle  e  ipfalinealongio:e  Imea  bjeniori  tato  apli9pofk 
quatu  e  qdratu  alicutflineecoicantie  eidetn  longioii  in  lottgitudine. 
0i  ^ero  fiterit  logio:  potetio:  b  :euio:i  augmeto  qdrati  linee  coican 
tis  ftbt  i  logitudine  adiugafctt  ei  fugftcies  eqlis  quarte  pti  qdrati  b:e 
nioris  linee  cui  oeftt  qdrata  lugficies  farjftcie  libi  adiuncra  eade  linea 
logioie  in  ouas  po:tionee  comefarabiles  oiuidere  necefTe  eft. 
CBint  ouc  lince.a.b.t.cmaioj.a.b.?  adiugaf  ad  linca.a.b.cjrta  ps  qdrati  lince 
cita  qp  ocfit  ad  pplenda  linca.a.b.fup.ficics  qdrata.boc  cni  e  poffibile  g.a^.fejcti 
qb  facilc  fiet  boc  mo.oiuidaf .a.b.  i  ouas  lineas.a  .d.?.d.b.ita  cp  inter  cas  cadat 
meoictas  linee.cptiuue  ;ppojtioit8lis:boc  aut  qualitcr  fiat  in  ftne  oemoftratiois 
bui9  oocebif :eritq5  ejc.  icfejcti  fupficies.a.d.in.d.b.q  fit.d.ceqlis  qdrato  medie 
tatis  linee.cqre  ejc.4.fc6i  erit  cade  fub  quadrupla  qdrati  Unce.c.  oecft  quoqs  ad 
pplmdalinea.a.b.fup.ficiesqdratarcu^.a.d.fitequalis.d.g.i.d.b.cqlis.g.e.oi/ 
co  itaq^  cp  (i  fupficies.d.c.oiuidat  linca.a.b.in  ouo  coicatia  erit  linca.a.b.pote/ 
tioj  linea.c.iu  qdrato  alicui9  linee  feefi  coicautis  in  longitudinc  z  econuerfo.  £um 
aut  lit  linea.a.b.maioj  linca.c.no  crit.a.d.cqlis.d.b.fif  eni  cet  fupficics.d.e.qua 
drata  i  q:  ipfa  e  eqlis  qdrato  medictatis  linee.c.dTet.a.d.eqlis  medierati.  c.i  to 
ta.8.b.toti.c.q6  e  p  ypotb.no  eft  igif  .a.d.equalis.d.b.itaq3  oe  maio:i  eay  quc  fit 
d.b.abfcindaf.d.f.cqualis.a.d.erirq^  p.s.fcoi  qdratfi  rotius.a.b.cqle  bis  q  funt 
ej.d.b.in.d.a.qterctqdrato.f.b.quarelinca.a.b.eritpotcntiojlinca.c.inqdra 
to  linee.f.b.qua  naeffe  e  coicari  toti.a.b.filinea.a.d.eft  coicas  lince.d.b.  fi  cnim 
boc  ftjerit  erit.d.b.coicans.d.f.fue  eqli  quare  g.9.b.f.coicat  cfi.f.d.c  io  toti.  a.d. 
ippi  boc  cu  rota.a.f.igif  i  cu  tota.a.b.ficq5  P5  pmfi.C£6uerffi  bui9fic  p^  fit.a.b 
potetioi.cin  linea  .f.b.q.  coicet  fccum  in  longitudine.oico  tuc  q>  quarta  gs  qua/ 
drati  linee.caddita  ad  linca.a.b.ita  cp  oefit  fupficics  qdrata  oiuidet  linea.a  .b.i 
ouo  c6icatia:oiuidaf  cni^.f.a.  pcqlia  m.d.efiatfu£ficics  .d.c  .ecd.b.  in.d.a.s 
dcerit  ad  ppleda  linea.a.b.fupficies  qdrara  aitq^  g.s.fc6i:qdratu.a.b.eqlc  qdra 
plo  fupficiei.d.e.e  equale  qdrato.f.b.  igif  qdruplfi  fup.ficici.die.  e  eqle  qdrato.c. 
qre  fupficies.d.e.fit  eqlis  quarte  pti  qdrati.coico  igif  cp.d.b.e  coicas  cu.a.d.cii 
fit.f.b.c6icans  cu.a.b.fi  eni  boc  fuerit  ut  cp.a.d.fit  coicans  cfi.a.b.erit  etia  comu 
nicas  cfi.a.f.g.9.quare  1  cfi.a.d.f^  i  cu.d.f.itaq5  t.d.b.e  coicas  cu.a.d.qo  e  fcotn 
GTluc  aut  moftradfi  cft  quafr  linea.a.b.cu  ipa  pofita  fucrit  maio:  linea.cpoffit 
fic  oiuidi  ut  inter  ptes  eius  cadat  mcdietas  linec.c.  ptinue  ^pojtionalis.  C£um 
eni  fic  fuerit  oiuifa:  fupcrficies  q  fiet  ejc  vna  in  altera  erit  equalis  qdrato  medieta 
tis  linee.ct  ipfa  crit  fup.ficies  eqlis  quarte  pti  qdrati  lineccadiuncta  ad  linca.a 
b.ita  q»  oefit  fuperficies  qdrata.boc  eni  fic  fict  oiuifa.a.b.p  cqlia  in.d.  lineef  fug 
ea  femicirculus.a.f.b.?  fifr.b.e.ppcndicularis  ad.a.b.que  ponaf  eqlis  mcdictati 
linee.ci  oucaf .e.f.equidiftans  ad.a.b.vfq^  quo  fccet  circuferentia  femicirculi  in 
puncto.f.necciTeleft  cni  vt  fccet  ea:cfi  linca.a.b.fit  maioilinea.ct  oucaf.f.g.pa 
peudicularis  ad.a.b.q  cup-Mpmifiteqoalislinee.cb.eritquoq^eqlis  medie/ 
Iatilinee.coucafitaq3linee.f.a.f.b.critq5ppmapte-5o.tcrtijangulus.a.f.b.rc/ 
ctus:«  io  per  p:ima  parte  co::ef.8.fci:ti  crit  Unea.f.g.medio  loco  .ppoitioalis  iter 
a.g.«.g.b.qre  medietas  lincc.c.q  e  fibi  equalis  erit  eria  .ppojtioalis  itcr  eafde  qo 
cltnoftrum^pofitum: 

■^JOpofltiO    .14- 


X 


„  jf  fuerint  tme  linee  inequalcs  quaram  longio:em  binicfat 
i  m  ouas  partes  incomenfurabilcs  fupficies  equalis  quar  / 
re  partt  quadrati  b:euio:ts  (ibi  admncta  ita  q>  oefit  ad  et*? 
copleticncfupcrfictes  quadrata  crit  logio:  potctio:  b:e 
_juio:i  augmcto  qdrati  linee  Icomenfurabtlis  ipft  longion  t 
ongitndmc.©iverologio:potctio:fucritb:euio:i  quadrato  lince 
incomcnfurabilis  flbi  longio:i  tn  longttudine  adiuugafq^  ei  fupficicf 
equalis  pti  quarte  cjdrati  b:cuio:is  Oefaeritq^  longio:i  iurjficies  qua 
drata  necene  eft  ut  ipfa  fupcrficies  fibi  adtuucta  eundcm  fongiorcm  li 
ncam  iu  onas  po:tiones  tncomenfurabtles  o  iuidat. 
Gbcc.  14.CX prio  arttis pmiffe infcrt  prifl  prttis pmiffc  z  non  Oiffert eius oifo5  a 
oifpone  illtos.fed  1  mod9argumetandi  vtrobtq^  tdc.  6i  cni.a.d.no  coicct  cu.d.b 
nec.d.f.fibiadequaliscoicabtrcueadc.d.b.itaq^p.j.d.f.no  coicabitcu  .f.b.  qrc 
neqj.a.f.funt  eni.a.f.f.e.f.coicantes  tanqj  numcrans  1  numcratu.io  neq>.  a.b. 
coicabit cu  linea.f.b.Qo  fi  boc  fucrit  vidcltcer  fi  a.b.no  coicet cu.f.b.116 cotcabit 
cu.a.f.qre  ncq;  cu.a.d.aut.d.f.neq?  igif.a.b.cu.d.a.^ot  quoq^  bcc.i4.oem6ft  ra 
ri  p  pmiffa.pma  ps  buius  cc  fcoa  illt9 1  fcoa  cjc  pma  a  ocftructioe  pfitte.fi  cni.a.d 
-J.d.b.n6c6iccittnccetia.a.b.i.f.b.c6icabunt:nafi.a.b.c.b.f.c6uarcntopo:re/ 
rct  p  fceam  pte  pmiffe  ut.a.d.coicarct  cu.d.b.fcd  pofitum  e  cp  non.  £ode  mo  oe 
fcoa  ptc.fi cni.b.a.s.b.f.no coicant ncc.a.d.s.d.b.comunicabunf .  na  fi  fvc  fcqui 
tur  pcr  piima  ptc  pmiffe  ut.  9  .b.i.b.f.coicct  q  no  coicant.-quare  patct  piopofitu. 

1|b:opoIitio.  .ifi 
|£IDnis  fupcrficies  rectagula  qua  continent  Oue  lineeild 
I  gitudinerationales  r6naliscflep:obatur. 
GSint  ouc  Imce  .a.b.i.b.c.ptinctcs  fupficic  rcctagula.a.c.ronales 
in  longirudinc:  oico  fupficie.a  c.effe  ronalaoefcripto  cni  quadrato 
^Jcutus  vis  eay.ut.c.d.ltncc.b.c.crit  p  pjima  fexti.c.d.ad.ax.ficut.b 
d.ad.3.b.q:igif.b.d.c6icatinlongitudiiiccu.a.b.cj:ypotbcficocp.b.c.fuacqu3/ 
lis  eritppjim.i  ptc.io.c.d.coicans.a.c.cii  fititaq3.c.d.r6nalispoiffinitionc  erit 
g.a.c.ronalisqOeftypofitu.  1(£>:opofttio    .><$• 

~  j|  %\\  adiuucta  fiierit  Ituce  in  longitudine  vel  coicata  rona  / 
|l  li  fupficies  ronalisrcctigula  latus  eius  fcom  erit  in  longi 
»,  tudinc  ronale  lateriqs  p:imo  i  longttudine  comefurabile 

|  Gbcc c  quafi  pucrfa piiojts ut fi  fupficics.a.c.adiuncta  ad  linca.a. 
_J  b.ronalc  in  longitudinc  liicrit  ronalis:  oico  cp  latus  ctus  (c6i  qo  e.b 
j.crit  eti5  ronale  in  lorrgitudine  1  coicans  lateri  pjimo.ftt  chi.a.d.qnadrattl  .a.b; 
critq,  ronale  c%  oiffi  nitione  ?  .ppter  boc  ent  coicans  cu  fupficie.a.c.ronali:  q:  igic 
g  pjima  fcxti  ficut.a.d.ad.a.c.ita  e  etia.d.b.ad.b.c.coicst  aut.d.a  .cum.a.c.  crit 
P  pma  pte.  icb.d.coicas  cu.b.c.ergo  cii.b.a.fua  eqlt  fed.b.a.ronalis  e  qre  p  oiflfi 
nirionc  'Z.b.c.oftat  itaq5  ypofttfi.  l^):opofltlO    .17. 

^fj  ^as  lineas  inuenire  potentia  tantum  ronaks  comenfura 
biles  quarum  logio:  plus  polfit  b:euio:i  quadrato  fince 
i  tbi  comenfurabilis  in  longitudtne. 

Gpjopofitueincnircouaslincasronalcspotctiatmcoicatcs  qrii 
1  loiigio:  fitpotctioibieuioji  qdratolinccfibicoicasinlongitudine 


a 

b 

0 

- 

I 


LIBER 


Samo  itacfl  aliqua  linea  ronatc  que  fit.  a.  b.fug  qua  ocfcribo  fcmicirculfi.a.  c.b.i 
fumpto  aliquo  numcro  vr.d.e.oiuido  ipffi  in  ouos  numcros.  d.f.  t.f.c.  ita  cp  fit 
;ppo:tio.d.e.ad.d.f.ftcut  numen  qdrati  ad  numcru  qdratfi  uo  fit  afit  .ppouio.d 
e.ad.f.e.ut  numcri  qdrati  ad  numqz  cjdratfi:tatis  afit  numcr  c  quilibj  qdrat9  oi 
uifibilis  in quadratfi i no quadratfi.ut-9.qui oiuiditur  m.4-?. *.  1  oes bo?  cque 
multiplices:«  iuueuio  liuca  ad  cuius  qdratfi  fc  babcat  qdratfi  Unce.a.b.ficut  nu/ 
menjs.d.e.adnumcy.d.f.qualitcraut  ipfareperiaf  in  oernonftrationcf.oictus 
e :  banc  linea  inuenta  que  nacffario  c  mmoi.a.b.coapto  p  p:ima  quarti  mtra  fe/ 
micirculum.a.c.b.fitq5.a.c?  fubtraba  linca.cb.oico  ouas  lincas.a.b.-cc  b.elTc 
quas  qucrinV.crit  igif  g  p:ima  gte.3  o.tcrtij  angulus.crcctus  :i  io  p  pcnultimam 
p:imi  quadratu.a.b.equalc  cft  qdratis  ouaz?  liucazj.a.ci.cb.  1  q:  ,ppo:tio  qua/ 
drati  lineca.b.ad  quadratfi  lince.a.cc  ficut.d.e.ad.d.f.p  f  potbc.cru  p.  cucrfam 
;ppo:tionalitatc  ,ppo:tio  quadrati  lince.a.b.ad  quadratfi  linec.cb.ficut.d.c.ad.f 
e.crgoquadratfi.cb.coicatcfiquadrato.a.b.pCT.(5.bui9critigifquadratum.cb. 
ronale  per  oiffimtioncm  cfi  coicct  ronali  fugficici:^  q:.cb.?.a.b.funt  iucomcnfu 
rabilcs  g  vlrima  partem.7.conftat  ouas  liueas.a.b.f.cb  clTc  ronales  potctia  tm 
coicantes.at  q:  linea.a.b.e  potcntio:  linea.cb.in  quadrato  lincc.a.c  que  g  fcoaj 
partem.7.coicat  fccfi  in  longitudine coftat  babitfi cffe  .ppofitu.GSi  autcj hbcat 
plurcs  ouab"  potentia  tin  ronales  coicantcs  quayvna  potcntio:  longto:  fit  qua/ 
hbct  aliaz»  in  quadrato  alicuiua  lince  fccu  coicantis  in  logitudinc  rcgirc.fir  ut  pu9 
linca.a.b.ronalis  in  longitudine  fuper  qua  ocfcribatur  fcmicirculus.a.cb.fuma  / 
tiirq^  numerus.d.quadratus  qui  ftt  oiuifibilis  in  multos  quadratos  z  110  quadra 
tos  quoz?  116  quadratoz?  mimc  fit  .ppouio  ficut  aliquoy  numeroz?  qdratozntales 
aut  numeri  vlcro feofferut  vt.3tf.qu1  e  oiuiftbilis  i.zc-z.j.iteq^ i.itf.i.2o.rurfuf/ 
q>  in:9.t.27.ac  itczj  in.4.?.  j2.iltoy  vero  116  quadratozjqui  fuut.  11.zo.z7.j2.ad 
inuice  no  cft  ,ppo:tio  ficut  alicuius  niimeri  qdrati  ad  alifi  .£fto  igitur  ut  numerus 
d.quadratu8  0iuidatin.c.qdratfit.f.nonquadratfi:fitq5quadratu  linec.a.b.ad 
qdratfi  linec  .a.cficut  numcrus.d.ad  numqj.c?  oucaf  linea.cb.  1  pftat  ,ppo/ 
fitum  ut  p:ius  ocmonftratfi  e.a.b.?.  b.ccffc  ouas  talcs  lineas  quas  inquirimus. 
Silr  quoq^  oiuida.d.i.g.qdratu  z.b.nb  qdratu  fitq^  qdratfi  lincc.a.b.ad  qdra/ 
tfilincc.a.k.ftcut.d.ad.g.^oucatlinea.ls.b.cruntq^vtpnusouclincca.b.^.b.k 
qualcs  inquirim9.£odc  tno  fi  rurfus  oiuidaf  .d.m.l.qdratfi  z  in  no  qdratu  z  po/ 
natur  ,ppo:tio  qdrati  linee.a.b.adquadratfi  linec.a.n.  ficut.  d.ad.l.  c  .pducatur 
n.b.eruntouelinee.a.b.?.b.n.qualcs  inquirim9.  Oofirurfus  oiuidaf.d.  in.p. 
quadratfi  z  in.q.no  quadratfi  z  fuerit ,ppo:tio  qdrati  linec.a.b.  ad  quadratuni 
lincca.r.ficut.d.ad.p.«p:otractafueritIiuca.r.b.erutctiaouclinee.a.b.t.b.r. 
quales  inquirimus.  Sunt  itaq^  lincc.a.b.b.cb.k.b.n.b.r.potentia  ttii  rationa/ 
lcs  z  in  ea  coicates  qrfi  vna  videlicet.a.b.e  poietio:  qualibet  aliazj  i  qdrato  linee 
fecu  coicatis  in  logitudine.fi  igif  quatuo:  lineay.b.cb.k.  b.n  .b.r.  nulla  coicant 
alij  in  longitudme  pftat  ^pofitu.^rtud  afit  fic  ,pbaf  P5  cni  e%  pmiffis  cp  quadra 
tum  lirice.b.c  ad  quadratum  linee.a.  b.eft  ficut numcrus.f.  ad numerum.  d.ct 
quadratum  lince  .a.b.  ad  quadratum  linccb.  k-efr  ficut  numcrus .  d.ad  nume/ 
rum.b.  ergo  per  equam  p:opoaioiialitateni  quadratumlince.b.cad  quadra/ 
tum  lince.b.k.cft  ficut  numcr9.f.ad  nunicru.b.fcd  null9  qruo:  numcroy.  f.b.i.q 
fc  babet  e?:  ypotbefi  ad  alifi  ficut  numcr"  qdratus  ad  numezj  qdratfi  .qrc  g.  3  .p.te 


f  .oue  linee.b.cb.k.funt  incomeufurabilcs  in  longitudine.  £  adem  rone  quclibct 
oue  e*  illis  quatuo:  fint  incoiiienfurabilcs  i  longitudinc  :liquct  crgo  q»'  volumus. 

Ifbjopolitio    .18. 
jl^taslineasinpotentiatantum  ronales  coicantesquozii 
longioJplnspolfitbzeuiozi.qnantum  eftquadratti  linee 
fibi  mcomenlurabilis  in  longttudine  inuenire. 
IjG^nbacquoqjrcmancateadc  oifpofitio  eedecpypotbefcs  quein 

I  pjemiffa  boc  folu  mutato  cp  ,ppojtio  numcri.d.c.  ad  ncutrS  ouoju 

nnmeroy.d.f.«.f.cftt  ficut  numcri  quadrati  ad  numcru  quadratu:boc  aut  facilc 
fiet:pofito.d.c.quotlibct  nnmero quadrato oiuifo in  ouos numeros no  quadra/ 
tosvtfi.d.e.fit.9.t.d.f.6.c.f.c.5.argument3ndoutpnusbocountaxatcj:cepto 
cp.a.b.f.a.c.fintincomenfnrabilcsinlongttudincgvltimapartc.r.Gitfciendu 
q>  ouc  lincc  quales  bec  et  pjemiffa  ooccnt  inucnire  coponunt  binomium:?  mino/ 
ri  earum  abfcifa  oe  maioii  que  rdiqua  eft  oicitur  refiduum.  Tlota  etia  cp  Imce  tm 
poten tia  ronalcs  coicautes  poffut  cffc  vna  ronalis  i  alia  irronalis ficut  latera  te/ 
tragonica  oua:$:  fugfictqz  qua^z  vna  fit.ic.pcdu  z  alia.24.funt  ronalia  potctia  tnt 
coicantia:latus  cnim  pjime  fnpcrficiei  cft.  5 .latus  vero  fcoe  no  numerat  z  poffut 
cffc  ambe  irronales  ut  latera  tctragonica  ouay  fup_ficicj>  quaru  vna  fit.24.pcdu  z 
alia.2}.neutriuseni  numeraf  latus.funtq^  i  longttudine  incomenfurabilia  ex  vl/ 
tima  p_te  fcptimc.  G.Q6  d  libcat  ctia  inuentre  plures  Uneas  ouabus  potcntia  tm 
ronales  cotcantes  quazt  vna  fit  potentio  j  qualibct  aliaij  in  quadrato  linee  fecum 
no  coicantis  in  longitudine:  fumat  talis  numcr9qut  polTit  plurics  ftc  oiuidt  cj>  ipfi 
us  ad  nulla  fua:;  partiii  nec  alicui9  ad  aliqua  alia?  fit  .ppojtio  ut  numeri  quadra/ 
tiadnumcruquadratuut.if-potoiuidiin.^.wj.itcmm.j.-r.^o-iruriusin.?. 
*.iS.£tfic(pcciTusidec]ruitinpmilTa.    IJbJOpohtio    .19. 

— I  fltbnis  fuperficies  qua  cotinet  oue  linee  potetialiter  tatu 
ronalescoieantes  e  irrdnalisoicitqjfugficiesmedtalis 
eiulqj  latus  tetragonicum  fc?  q6  i  eam  poteft  elt  irronale 
oiciturqj  linea  medialis. 

jGSintouelinee.a.b.b.c.ptinctesfufificie.a.c.  ronales  potetiatm 

c6icatcs:q  quatr  reperiant  et  pmiffa  %  anpmiffa.manlfeftum  e:oico  fup.ficie,  a.c. 
cffe  irronalem.5it  cni.c.d.quadratfi.b.c.eritq5  ronalc  p  fpotbefim  co  cj>  linca.b 
c.cronaIisipotetia:7q:c):pjimafqLti.a.c.ad.c.d.ficut.a.b.ad.b.d.nonc6icat 
aut  a.b.ro.b.d.qjexypotbcfinocoicatcufua  equaliqe.b.c-  fcquitg  fcoamgte 
lo.utctia.a.c.nocoicctcu.c.d.qrepoitTinitioncfucificies.a.c.e.irronalis.ideoqj 
z  futi  latus  tetragonicu  cetia irronale.oicit  aiit bec fugficies  mcdialis  qtn  ipfa e 
mcdio  loco  ,ppo:ti6ali8  inter  ouas  fuperficies  ronalcs  videlicet  inter  qdrata  oua 
ru  lineay  ipfa  ptinctiu  z  tinea  potes  in  ipfa  oicif  mcdialis  .qm  ipfa  quoqj  e  me/ 
dio  loco  .ppojtioalis  inter  ouas  lineas  potctia  tm  roualcs  coicantcs  z  bec  oue  Si/ 
neefuntlatera  oicte  fupficiei.JEt  boc  cft  quod  votnmus. 

IJbzopofttio    -20. 
^fmadiunctafiieritlineeinlogitudine  ronali  fuperficies 
equalis  quadrato  linee  medialis  lat^eius  fcOm  potentiafr 
tatn  erit  rdnale  lateriq*  piimo  i  logitudine  icotneturabile 
Gbcc  eft  quafi  councrfa  pjemiffe.  Sit  .a.  linea  medialis.  fitqj 


LIBER 


linca.b.c.  rationalis  in  longitudine  cui  adiungatur  fuperficies.  b.d.  equalis  qua/ 
drato  linee.a.cj?  boc  modo  fier.fubiungatur  ouabus  lineis.b.cz.a.lmca.c.  d.i  co 
tinua  piopoitionalit3te:ut  oocct.  io.fcjcti:critq5  fupaficies  ci.b.ciu.cd.  cqualis 
quadrato  lmce.a.pcr.i<!>.cinfdc:oicolatuscius  f>m  quodeft.cLcclTe  ronale  in  po/ 
tentia  tm  z  incomenfurabilc  in  longitudine  lateri.b.c.£ritq5  ejc  pjcmilTa  g  oiffi/ 
nitione  linee  medialis  ut  linea.a.polTit  in  alique  fuperficie  contcntam  a  ouabus 
lincis  potentia  tm  ronalibus  comunicantibus  que  fit  fupaficies.e.g.cuius  latera 
e.f.«.f.g.cruntq50uefuperficie6.b.d.«.e.g.pcrp2imampartcm.ij.fetti:latcrum 
mutuoium  pjoptcr  boc  q?  ipfi  funt  equales  i  rectangnlc:  #poitio  crgo.b  .c.ad  .c. 
f.eft ficut.f.g.ad.cd.quare p..io.cu.b.ccoicct i  potcntia  cu.e.f.eo  q?  qdrata  vtri 
ufqj  eara^  funt  ronalia  ejc  fpotbcfi.f.g.coicabit  in  potcntia  cum.c.d.  cu  igit  qua/ 
dratum.f.g.f«  ronale  per  jpotbcfim:erit  quoqj  quadratu.cd.r6nale  pcr  oiffini/ 
tionem :  at  qj  fupcrficies.b.d.eft  irronalis  ficut  fua  equalis.cg.  pcr  piemilTa.fc/ 
quitur  ttquadratum Unee.cd.no  coicctcufuperficie.  b.d.  «quiaquadratulince 
c.d.ad  fupcrficiem.b.d.cft  per  piimam  fcjsi:ficut.c.d.ad.  cb.  cnt  pa  fccundam 
p3rtem.10-ut.cd.non  comunicet cum.b.cquarc cum.b.cfit ronalis  in  longitudi 
ne  ejc  fpotbefi:erit.cd.irronalisin  longitudme  z  potentia  tm  rationalis:patet  er 
gopiopofttaconclufio.  *$»:opofitio    .zi. 

"lifllbnis  hnea  communicans  medialt  elt  medialis. 

GSit  linca.a.medialis  cui  ponatur  linea.b.effc  c6munican3  fiuc  in 
longitudinc  fiue  in  potcntia  tm:oico  q>  etiam  linea.b.eft  medialis. 
Sit  cnim  linca.cd.  rationalis  i  longitudine  cui  adiungatur  fupcrfici 

jjcs.cf.equalis  quadrato  lince.a.c  item  fupcrficies.e.g.equaUs  qua/ 

drato  Unee.b.boc  autcm  qualiter  .iat  in  picmiffe  oemonftratione  oictu  c.  £ritq; 
perpiemiffamlinca  .d.f.  ronalisinpotcntiatm  z  incomenfurabilislinec.cd.et 
quiaperpiimamfet:ti.e.g.ad.cf.ficut.f.g.3d.d.f.c6rcat  autem.  cg.cnm.  c.f.eo 
<j>  quadratum.b  .communicat  cum  quadrato.  a.per  ?potbefim:  quibus  quadra/ 
tis  oicte  fuperficies  pofite  funt  equalesifcquitur  pcr  piim35  partetn.  io.ut  finca.f. 
g.comunicet  dum  linea.d.f.quare.f  .g.eft  ronalis  i  potcntia  tm  ficut  eft.d.f.s  in/ 
comcnfurabius  in  longitudiue  Unce.c.f.cu  Unca.d.f.fibi  comumcans  fit  incomc/ 
furabilis  eidem.cf.co  cp  fue  equali:boc  enim  piobatum  eft  in.s.qb  fi  fuerint  oue 
quantitate8c6icantescuicuq5Vnacaru5nonc6icatnccreliqua:it3q5pcr.i9.erir 
fuperficies.c.g.medi3lis  z  eius  latus  tetragonicum  quod  eft.b.  mcdisle  quod  cft 
piopofitii.GSifr  quoq>  omnes  fuperficics  coicans  fupcrficiet  mcdtali  mediaiis  ee 
conuincitur.Sit  eni  uiperftcic8.a.medi3lis  cui  ponatur  fupaftcics.b.efTc  coicans 
oico  fupcrficiem.b.effe  medialcm  quod  fic  conftabit.fu  ltnea.cd.r6nalis  in  longi 
tudinc :  adiungaturq,  ei  fupaficics.ce.que  fit  equalis  fupcrfiicici.a.qc  boc  mo/ 
do  fiet.3nueniatur  linca.cf.ad  qua  fic  fe  babeat  vnutn  ejc  latcnbus  fupcrficici.a. 
ficut  unea.cd.fe  babet  ad  rcliquum.bec  autcm  linea  qualirer  rcperiatur  in .  io.fe/ 
jcti  oiaum  eft.frirq^  eci  j.eiufdem  fuperficies.d.f.equalis.a.itcq5  codcm  modo 
ad  Uneam.e.f.adiugatur  fupaficies.e.g.que  fit  equalis.b.  erit  itaq;  per.zo.ltnea 
cf.potentia  tm  r6nalis:ait  quoq^  lince.cd.in  longitudine  tncomcnfurabtlis.  £t 
quta.3.s.b.crant  coicantcs  ejc  ypotbefuerunt  quoq^.ce.c.c.g.eis  cqualcs  ioican 
tcs:it3q5  pa  piitram  psrtem  fcjcti  z  pcr  piims^  psrtem.  to.buius  aunt  ouc  Unee 
cf.«.f.g.c6iC38tes  in  longitudine.G£ft  igitnr  linea.f.g.ronalis  in  porcntta  tm  * 


X 

l.I.n  eft quantifq6 ey.n.q.ttt fc  per- le.kpi-.idcoc^ per.4.fc6t quantu  quarta  po 
quadrati  lince.n.g.  3taq5  per  pjima^  fite.  1 3.  cum  linea.f.n.oiuidatur  3  fupcrficic 
fibi  adiuncta  cquali  qnartc  parti  quadrati  bjcuioiis  linec.  n.g.  ita  cp  ad  coplcnda 
totam  lincam.f.n.oefit  fnperficies  quadnta  111  ouo  coicantia  ad  pnuctu.l.eiit.f.ii 
potentiot.n.g.inquadratolineeftbi  comunicantis  in  longitudinc:conftatcrgo 
pjopofitum.  l£>:opofito    •**. 

3f  lineerationali  equa  fitperficies  quadrato  bimcdialie 
pjirm  adiugat  lat9  ei?  reliquij  biomiu  lc6m  ee  opo:tebit 
GSit  linca.a.b.bimedtalc  puinii  oiuifa  ad  punctum.c.  fcom  fuum 
terminu.  £etera  aut  fint  ut  p:iu  j:oico  linca.f.g.cffe  binomium  fcoin 
jjeritcnifupcrficies.m.g.ronaiiscocpgtesbimcdialcs  pjimi  conti/ 
nent  fupcrficiem  ronalcm  %  fupcrficies  trcs.e.l.l.m.f  tota.e.n.mcdialcs  coicatcs 
eo  cj>  pottiones  bimedialesptimi  funt  linec  mcdialcs  potcntia  ttn  coicantcs  ejcj 1 
pct.  i6.igitur  erit  linea.ti.g.ronalis  in  longitudine  comcnfurabilis  linec.e.f.  rona 
li  pofitc.T  per.2o.linea.f.n.r6nalis  in  potentia  tantii  que  cu  fit  maioj  linea.  n.g. 
expjimoouoyaiitecedcntiuocmonftratioiii.jf.adiunctoy^pjima.is.ca  qucpo 
tcntioi  quadrato  lincc  comunicantis  fecu  in  longitudine  ejc-pjima  gte. «3  .crit  a  oif 
fiiutionelinca.f.g.binomium  fcom  quodcft  p:opofitum. 

lfb:opofitio  ?<5 
ilSCm  adiuncta  fiierit  lirtee  in  longitudtne  ronali  fuperfici  / 
ciee  rectangula  equalts  quadrato  bimedialis  fceH  lar?  ei? 
fecundum  birtomtum  tcrttum  elle  necefle  eft: 
GSi  fuerit  linea.a.b.bimedia;e  fcom  oiuifa  pcr  terminnm  fuum  ad 
punctu.c.rcliqua  vero  oia  fuerint  ut  pjius:crit  linea.f.g  .binomium 
tertium.  £rit  cni  cj:.i2-z  noftris  pofiiionibus  vtraq^  fuperficiey.e.n.c.m.g.  mc/ 
dialis:quare  perao.vtraq^  ouay  lineay.f.m.e.n.g.crit  ronalis  in  potcntia  tatu. 
«t  q:  bimedialis  fcoi  partes  funt  coicantcs  tn  potctia  tm  crit  fugficies.c.l.coicans 
fujMicici.I.m.cio  linca.f.l.linee  .l.n.potentio::ergo  egpiima  parte.ij.f.n.  63  fit 
n.g.in  quadrato  linee  fibi  coicantis  in  lougitudine.£uq5  fint  fupficies.a.b.  z  qua 
dratii.b.b.incomcnfurabilia  eo  cj>  lince.a.c.r.cb.incomeuirabiles:  ideoqj  1  am/ 
bo  quadrata  paritcr  accepta  ambobus  fupplcmcntis  gitcr  acccptis.  eo  cp  quadra/ 
ta  fibi  inuice  coicant  ejc  ypotbefi  fupplemeia  quoq^  cu  fibi  inuice  fint  eqlia-.feqf  vt 

fupncies.e.n.fiticomefurabilisfurjficiei.m.g.iioiinea.f.n.lincc.n.g.goiffinitio 
ne  igit  e  linea.f.g.binomiii  tcrtiu  qo  e  ypofuii.       1fb:opofitio    .57. 

—  1 3  linee  ronali  rectigulu  equu  qdrato  linee  maio:ie  adin 
gataltqrfecotincntium  latcrum  critbinomium  quartum 
GSi  bcc  qnoq^  fuerit  linea.a.b.linea  maio:  oiuifa  fc6m  tcrminu  fu 
um ad punctii.c.  cunctacp rcliqua  non  fucrint altter q'5  pjius:erit ii/ 
nca  .f.g.  binomiiiquartu.f  uenifintambo  quadrata  pojtioiui  li/ 
nee  maioiis  giter  acccpta  ronale  erit  fugficics.c.n.ronalis  :ideoq5  per.  is.linea.f. 
n.ronalis  in  longitudine  coicans  luiee.e.f.ronali  pofite-.fuperficics  vero.m.g.crit 
medialis  ppter  illud  <$  pottiones  lince  maioiis  cotinet  fugftcie  mcdiale.itaq^  pcr 
no.linca.n.g.e  in  potetia  ronalis  tm:«  qt  ctia  pojtiones  pjefatc  linee.a.  b.ftit  po 
tentialitcr  incomenfurabiles  fuperftcies.c.l.incomcfurabilis  crit.l.m.idcoq)  «"£» 
f.l.linec.l.n.(giturperpiim3parte.i4.linca.f.n.cftpotentiojlinc9.n.g.iqdrato 


\ 

\ 

i         \ 

D 

I 

I        ' 

\b 

LIBER 

Itnec  fibi  inc6meii(urabilis:cjc  oiffinitionc  igitur  e  linca.f.g  .binomium  quartum: 
quoderarpwpofitum.  1|b:opofitio    *s.  „    ,      '. 

-n^  linceronaliquadrato  lince  potcntis  fup:aronale  ent 
mcdialecqua!ts:parr.ealr.era  longio:  fo:maadiungatur 
alterum  latus  eius  binomium  quintum  clTe  neceiTe  dh 
G^opofita  Isnca.a.b.ea  quc  pot  fup:a  mcdtalc  t  ronalc  otuifa  ftn 
iiJlcius  oirViniiione  ad  punctu.  c.nibil  itnutcf  oe  rcliquis.fcqnifq^  linca 
f.g.cffe  binomium  quintu  £u  enim  ptes  t  ut"  linec.a.b.contineat  ronatc  fupcrficie 
neccflfc  cft  vt  fupcrficies.g.m.ideoq^  p.  ifi.linca.n.g.  fit  rationalis.  £umq5  ambo 
quadrata  partium  buius  lincc  pitcr  accepta  ftnt  medialc  crit  fupcrficies.cn  .mc/ 
dialis  t  per.2o.liuca.f.n.r6ualis  in  potentia  tm.at  q:  pojtioncs  picdicte  lince  fut 
incomenfurabiles  in  potentia:erit  fuperficics.c  l.incomenfurabiUs  fupcrficiei.m. 
l.ideoqj  t  linea.f.t.Unce.t.n.potentio:  igtf  e  pcr  p:ima  p_te.  14-  Unca.f.n.linea.n.g 
in  quadrato  linee  fibi  inc6mcnfurabilis:per  ovfftnitionc  itaqj  binomtf  quinti  con/ 
cludcpjopofitum.  Ifcttopofltio    -19-'      ,  , 

^oticnsadtunctafuerithneeronalifugficies  rectangula 
equalis  quadrato  lince  potcntis  tn  ouo  medialia  ciufdem 
fuperficici  latus  ic6m  bmomiu  fejetum  efle  conuicit  ur . 
C3n  bac.j9.fit  linca.a.b.linea  potcns  fup:a  ouo  medialia:queaut 
ai  p:cter  bcc  funt  ftcut  fup:a  mancant  t  erit  tunc  linca.  f  .g.  binomium 
fejctu  qoigno:arc  110  potcris  fi  p:cmiffo2J  ciufq5  qo.jy.^ppontt  imcmo:  no  fucris: 
cficp5inbacnoftraintcntio.    1fc>:opofitto    .eo. 

"IjXIDnis  linea  cuiuliibet  btnomioium  comumcans  fub  ea/ 
lldem  fpecie  binomium  cfle  pjobatur. 
1  G5it  Uuca.a.  binomium  cuius  uis  fpcctei:fitq5  linea.b.fibi  coicans 
in  tongitudinc-.oico  linca.b.cc  binomiu  eiufde  fpcciei  cui9.a.fint  eiii 
J  binomiales  portioncs.a.c.i.d.cruntqj  ambc  ronalcs  in  potctia  tm 
cotcantes  pcr.  jo.Unea  vcro.b.oiutdaf  pcr.  u.ferrt  f>m  ,ppo:tione.c.ad.d.  in.e.c 
f.eritqj  pcr  coiunctam  t  euerfam  t  permutatam  p:opo:tionalitatem.c.ad.c.i.d. 
ad.f .ficut.a.ad.b.cnm  fint  igitur.a  .?.b.c6icatcs:erunr  ctia  pcr  putna  parte.  10 . 
cz.c.itccp.d.  s.f.coicantes.fi  igttur  fuerit.c.ronalis  in  potcntia  tm  crit  t.  e.fi  au 
tcm  in  longitudine  ?.e.£odcq5  modo  ft.d.c  ronalis  in  potcntia  tm  vcl  etia  tn  lon 
gitudinc tm.erit quoq^  1.  f.frtT t ct.  12.fi  potctio: c.c.d.quadrato  linec ftbi  contc 
furabilis  in  logitudine  vd  ft  forte  tncomcfurabihs  crit.?.e.potcnrio:.f.in  quadra/ 
to  linee  fibi  comcnfurabilts  vd  etia  incommcnfurabilismcccffc  cft  et  otff initioni  / 
b9  fct  fpeciei?  binomioz?  vt  ciufde  fpecici  binomi)  fint.  a.c.b.Si  autc  linca.b.co/ 
municet  biftomio.a.in  potcntia  ttii  crit  ctia  ct  fic  linca.b.  23inominm  aiit  ciufdc 
fpcciei  non  cft  ncccffariu  tmo  impofftbilc  cft  vt  ambe  fimul  cadant  ftib  putna  fpc/ 
rie  binomiouim  vel  fub  fcoa  quarta  vcl  quinta.f5  neccffc  cft  vt  ambo  cadant  fub  / 
p:imis  tribus  aut  ambo  fub  tribus  poftrcmis:vnu  cnt  co?  clTc  in  aliqua  cr.  tribus 
p:imis  fpccicbus  t  aliud  in  aliqua  e*  tribus  poftremis  eft  impoffibile.cum  enim.a 
coicet  cu.b.in  potentia  tm  .c.quoq^  cu.e.s.d.cu.f.coicabit  tm  in  potcntia  c%.  10. 
5i  igitur  alterutra  ouarum  Imcarum.cj.d.fucrit  ronalis  in  longitudtnc  non  crit 
fua  copar  e^  lineis.c.i.f.ratioualis  tn  longitudine.llon  eft  itaq^  poSTtbitc  ut  .a.ct 
b.cadant  fimut  fub  aliqua  cf  iltis  fpccicbus  binomio:um  in  qmbus  altcra  ouarum 


poitionu  biuomij  cft  t6ualis'in  longitudincbcc  aut  fpecics  futipiima  *  fcda  quar 
ta  t qiiinra.at  vcro  qj pcr.  i2-oue lincc.c.T.c.fimul  potcntioies  funt  ousbus  li , 
nci3.d.i.f.ii!  quadratis  ouai/  liiicas  fibi  in  (ongitudine  comumcantiu  aut  incoi  / 
cantium:ncccilc  clt  vt  ambo  binomia.a.cb.fimnl  cadant  fub  pjimis  tribus  fpc/ 
ciebus  bmomio^  aut  fimul  fub  tribus  poftrcmis  ejc  oiffiiiitione  ipfarum  fpecicr: 
linca  aut.b.qmd  oubitas  effc  binomiu  cu  fint.cni  e.cccoicantes  i  potentia  tin 
fifr  quoq^.d.s.f.finr  aiit.c.f  .d.ronalcs  in  potentia:c6uiucitiir.c.?.f.cffe  ronales 
m  potentia  tm:quc  qj  116  coicant  in  longitudinc  ficut  nec  eis^poitionales.ccd. 
ipfc  coponunt  indubitanter  binomiu  per.  3  o.buius. 

1£nopofttio  .6,. 
iJDms  Imea  alteratri  bimedialiu  cdmenfurabilis:mb  ea/ 
dem  fpeae  bimedialis  elle  ejc  rtecemtateconuincitiir. 
GjBcritare  babct  quod  oicif  fiue  in  longitudine  fiue  etia  in  potentia 
tm  coicet  aliqua  linea  altcrutri  bimedialium.Sinc  cni  ouc  iince  co/ 
_Jmunicaiircs.a.?.b.quouis  ouo?  modo?  piedictozj.fitq^.a.bimcdi/ 
ale  pnmu  vel  fcom:oico  g?  ctia.b.eft  bimcdiale  primii  vcl  fcom  ,put  fuerit.a.niui 
(0 eni.a.bimcdiali  in  fuas bimcdialcs poitiones  cx quibus coponitur per  5 1.^32 
q  fint.c.c.d.b.qnoq5  oiuifa  i.ccf.ftn.ppoitioncc.ad.d.vt  oocct.  i2.fetti  pofita 
cp.g.fuefidecontctafub.c.i.d.T.k.fub.cj.f.ftpofito.b.quadrato.d  tI  f  crit 
per  coiuncta  1  eucrfam  1  pcrmutata  .ppoitionalitarcm  qucadmodu  m  pjcmiiTa  c 

ad.cz.d.ad.f.ficut.a.ad.b.ficutigiturexpofitione.a.t.b.fmtcoicantesfiucboc 
fit m  longitudine fiuein  potentia  fic.c.t.e.itcmqs.d.c.f.filr erunt  comunicantcs 

atquia.c.?.d.funtmedialcspotentiatatiic6icantes:fcquiturcx.2i.ut.ci.f.fint 
eria  mediales  1  c%.  10  .potcntia  tantu  coicantcs  cu  ipfc  pcr  ypotb  efi,  fint  "ppoitio 
nalcs.c.«.d.cuq5  fti P<* Primam  fetf  i.g.ad.b.ficut.c.ad.d.ck.adXficut  e  ad  f 
mt.g.ad.b.ficut.k.ad.l.tpcrmutatim.g.3d.k.ficut.b.ad.l.quiaigitur.becom/ 
muiucans.l.co  cj>  ouo  coj;  latcra  que  funt.d.cf.coicant  m  longitudine  vcl  in  po/ 

tentiafmcp.a.^.b.inaltcrutrocoycomunicant.fquifcx.io.ut.g.i.kqnoq^fibi 
muicem  coiccnt  eite  igitur.k.ronalis  aut  medialis  piout  fucrit.g.cx  oirTinitionc  fu 
perficici  ronalis  aut  .21 .  3n  boc  eni  trn  oiffcrt  bimediale  piimu  a  bimcdiale  fecun 
do  cp  poitioncs  bimedialis  piimi  in  qnas  fcom  fuu  terminu  oiutdit  continct  fuo/ 
ftciem  ronalem:bimcdialis  aute  fcoi  mcdiale.Si  igitur.a.fuerit  bimediale  piimu? 
ent  fupficies.g.ronalis  quare  s.k.«  io.b.bimedialc  piimu  p.3 . .06  fi  a  fuerit  bi 
rncdiale  fcom  crit  fuperficies.g.mcdi9lis  ob  boc  ctia.s.k.b.itaq^  p.32.erit  bime/ 
diale  fcom  qre  coftat  .ppofitu.  3de  aliter  ad  linca  ronalc^.cd.pofira.a.altcrurro 
bimedialm  s.b.fibi  m  longitudine  vcl  poteutia  coicante:  adiungatur  fupficies  c  e 

cqualisquadrato.a.s.f.g.qualisquadrato.b.cruiitqsfupficies.c.e.s.f.g.comu/ 
mcantes  eo  q>  quadrata  cisequalia  que  fut  quadrata  lineai/.a.s.b.fuiit  coicantia 
cxypotbefixjcpiimaigitur  fextis.io.bm9:neccffccftouas  Imcas.o.  c.i  c  g  cffe 
ccncantcs:s  quia  fi.a.fuerit  bimcdiale  pnmn  linea.d.e.crit  binomium  fcom  o<< 
idcoq5.c.g.etiam  binomium  fc6m  per  piemiffam  qnare  latus  tctragonicu  fupcrfi/ 
«ei.f.g-.s  ipfum  eft  bbimedtale  piimu  pcr.49.at  vero  fi.a.fuerit  bimcdiale  fecudij 
lmea.d.e.crit binomium tertium per.5<j.ideo.e.g.e binomium  tertium p  piemif/ 
famqnareslat 9tetragonicu  fupficiei.f.g.ipfue.b.bimedia!cfcDmpcr.{o.  2)l3ani 
fcftueigitveitecqd^ponif.  ljb:opofttio    .«. 

I    2 


3 

b 

! 


3 

s          a 

b 

LIBER 

flXHbnis  Hnca  coicane  linee  mai02i:eft  linea  mafc». 

'  !G£t  bec  quoq^  vcritatcm  babct.fi  vtrolibct  modo  coicans  fuerir  a!i 
jqua  linca  lincc  maio:i.£fto  cni.a-linca  maio:.b.  vcro  quouis  ftbicd 
I  mnnicans  modo:ctit.b.iiiK9  maioz.Diuifa  nanq5.a.i  eas pouiocs 
^erquibusconftatper.jj.qucfunt.c.-z.d.-z.b.  frn  carum  (ppo:tione 
in.cc.f.poTitoq,  cp.g.fit  fnpcrficics  cotenta  fub.cz.d.z.k.  fub.c.-z.  f.z.m.z.  b. 
ftntquadrata.c.t.d.at.n.T.l.e-z.f.CTit.m.ad.b.fkut.n.ad.l.perfcrJamrJte.is.fe/ 
*ti  i  coniunctim.m.i.b.ad.b-.ficut.n.ad.l.ad.l.tpcrmutatim.m.c.b.ad.n.  i.l. 
ficut.b.ad.l.q:crgo.b.c6icauu.l.eocp.d.c6icatcum,f.aut  in  longitudine  aut  in 
potcntia  .put.a.coicat  cu.b.fequit  ut  ainbo  quadrata.m.c.b.pariter  acccpta  com 
mnniccnt  cii  ambobns  quadratis.n.i.l.pa:iter  acccptis.cu  itaqj  ouo  p:ima  pari 
icr  accepta  fint  rationalc  per.  jj.erunt  quoq^  %  ouo  poftrema  ronale  p  oiftimrio/ 
nem.at quia fupcrficiem.k.neceffe cft  clle  mcdiale  ficut.g.  qc.ai  .lincafq^.  c.T.f. 
effeincomenfurabilcs  in  potentia  ficut.cz.d.cr.  io.concluditur  g.  3  3  .linea.  b.elTc 
linea  quc oicitur maio: qo"  cft  p:opofttu.G3dc ahtcr.  cum fit  .a.lmca  maio: cm.b 
coicat  fiuc  boc  fuerit  m  longitudine  fiuc  in  potcntia:fumpta  linea  ronali  quc  fit.c. 
d.adiuugatur  furiicics  ci.c.e.cqualis  quadrato  lince.a.  tcindc  .f.g.  cqualis  qna/ 
drato  linee.b.cu  igit  qdrata  dua?lmca?.a  .t.b.fint  coicatia  etypotbcii:crit  fupfi 
cies.c.ccoicas  fupcrficici.f.g.ioqj  p  pritna  fcjcti  1.  io.b*linca.d.e.linec.cg.t  logi 
tudie.atq:ex.  y7.lmca.d.c.ebinomiucirtncritquoq5p.eo.lica.c.g.binomiuqr/ 

tutigitet.fi.linca.b.potcsifuEncic.fg.clincaniaio:.    Kbzopofttio    «3- 
71 5  qtta  Itnea  lincc  potenti  in  rationale  1  mediale  piimmcer 
ipla  m  rationale  1  mcdiale  potcns  cflc  compiobatur. 
Glieruquoqjcftcpqualitcrcuq^lincaaliquafitcoicans  potcnti  in 
l  rationale  z  medtaie  fiue  in  longitudinc  fiuc  in  potcntia  tantum  ipfa 
Jjetia  eft  potcns  in  ronale  1  mcdiale:q6  ficut  p:ius  ouplici  modo  p:o/ 
baturmccclTc  cftautequamuad  p:imii  moduvtficiitouclmce.c.-z.d.fmtipo/ 
tcntia  incomefurabiles.ita  fint ctia.ci.f .£.  10.  £r  queadmodu.  g.cft  fuperficies 
ronalisma  talc  ptincnt  po:iioncs  linec  potcntis  in  ronalc  1  mediale.  ita  ctia  per 
©iffinirione  fi  t.k.r6nalis  «  qucadmodu  ouo  quadrata  .m.r;b.pariter  accepta  ffit 
medialc:ficut  etia  pcr.  ai  .ouo quadrata.n.?.l.p.iter  acccpta  crunt  mcdiale  :igit  es. 
94-b.e  potes  i  ronalc  z  mcdialcquatfi  aut  ad  fcom  modu  nccclTc  c  cc  &.  ut  Itnea 
d.c.fit  binottifi  quintfi.io  5 1  p.eo.ltnca.c.g.c  binomifi  quintu:  c.uare p.ya.lat 
tctragonicu  fupficiei.f.g.qf5  cft.b.crit  linca  potcns  in  ronalc  1  mcdialr.quod  c  ,p/ 
pofitum.  .  Hbiopofitio.,  ;*. 

njfllbnis  linea  comunieane  potenti  1  ono  medialtaupla  quo 
q5  potens  eft  in  ouo  mcdialia. 

'  Gbecquoq^manentibuseifdcmoirpofittone  1  pouttonibus  co  ou 
I  plici  modoquop:emilTe:p:obabiturvcraclTe  fiuc  in  longitudine 
j  fjue  in  potcntia  comuntcct  linca.b.cu  linca.a  .potcti  in  ouo  mcdia/ 
lia.Ouantfi  cni ad p:imu  argumerationis modfi  crit pcr.3  j.fuperficics.g.mcdi/ 
alis.ideoq^c.k.pcr.ii.cumcoiccteiiouoquoq^quadrata.m.t.b.paritcracccpta 
erfit  e%  cade.3  j.mcdialc:idecq5  ouo.n.s.l.parircr  accepta  p-ai  .at  q:  ouo  quadra 
ta  .m.t.b.pariter  accepta  cr  pdicta.  3  j.funt  tncomenfurabile  cuplo  fuperfictci.  g. 
eqr  fj.io.?  noftraspofiti6e8Vtcuoquoq5.l.?.n.p.itCTacccptafint  icomefurabtle 


ouplo  fupcrficiei.k.cum  itaq^  fiiit.e.c.f.incomcnfurabiks  in  porcntia  qucadmo6 
c.t.d.erit cr.jf .liuca.b.potens in  ouo medialia.quautu  aut ad  fcom folitc argu ' 
meutationis  modu  erit  g.  j9.d.c.binoiniu  fcjctu.  idcoqj  etia  g.tfo.linca  .c.  g.  crit 

binomiu  fextum  quarc  pcr.  5  5 -latu3  tetragouicu  fuaficiei.  f.g .  qo  clt.b.erit  potcus 
ln  ouo  medialia  quod  eft  piopofitu.        ^zopofitto    .6j. 

3J  oue fupcrficies quay  altera  ronalis altera  Vero  media 
Us  coiunsannmlinea  poteus  in  tota  lupcrficiem  tiide  co/ 
pofiti  aliqua  erit  quatuo:  irrationalium  linear  vtdelicet 
aut  binomium  aut  ounediale  pzimanHHit  Imeamaio  j  aut 
potesin  rationaletmediale: 
GUtfi.a.fit  ronalisfuaficiescb.medialiseritlineapotcnsin  tota.a.  b.aliqua 
pjcmiffa^quattioi.Sit  cni  linea.cd.ronalis  cui  adiuugaf .  c.c.  cqualis  .a.i.f.g. 
equalis.b.eritcpects.linea.d.c.ronalisiulongirudinecoicans  linec.c.  d.  ronali 
pofitc  z  cr.io.linea.cg.ronalis  in  potentia  tm  i  cr.  ^o.iinea.d.g.  binomiu  cuiuf 
cum  altera  binomialiu  po:tionu  que  eft.d.e  .fit  ronalis  in  longitudinc  coicans  li/ 
ncc ronaii pofitc  que  eft.c.d.ipfu  crtt  er  oiltinitionc  fpecicr;  binomij  aut binomi 
um  piimu  aut  fcom  aut  quartu  aut  quwtu:tertiu  aiit  aut  fertu  no  erit  er  oiffiniti 
onc.itaqj cx.48.49-5" .«■  jzdinea potcns in  tota.c.g  .que e cqualis ouabus  fimul 
a.?.b.erit  aut  binomtu  aut  bimcdialc  p:imu:aut  linea  maio:  aut  potcns  in  rona/ 
Ic  1  mcdialejqb  eft  p2opofitu:bimediale  vcro  fecudu  aut  potens  in  ouo  medialia 
non erit:qm  fi effct  bimedialc  fecundunuelTct cr. joMinea.d  .g.binomiu  terttum 
q6  fi  effct  potens  in  ouo  medialia  ellet  cr.  s  9-linea.d.g.binomtu  fcxtu.  fed  iicutr 
erat:vndepatetuoftraintentio.  IJbJopolitio    .66. 

ffflm  coniuucte  fuerint  oue  fuperficies  mediales  incomen 
1  lurabtles  linea  potens  in  totam  fupficie  alterutra  erit  oua 
ru  irronaliu  linearum  videlicet  aut  btmedialefecundum 
|aut  potens  in  ouo  medialia. 

JGUt  fi.a.cb.fint  ouc  fugficies  mcdialcs  inc6mcnfurabiles.fi  cnim 
cent  comenfurabtles  elTet  copofita  er  cis  mcdialis  cr-9.c2t  quare  %  linea  potens 
in  ea  mcdialis  cr.  1 0.  oico  ep  linca  potens  in  copoftta  er  ambabus  erit  aut  bimcdi 
alefctfmautpotensin  ouomcdialia.  Sitquidelinea.c.d.  r6nali3:fupficics  vero 
fibi  adiuncta.c.cequalis.a.  1  fupficies.f.g.equalis.b.critcp er.Jolinca.d.c fttr 
quoq5  linea.cg.ronalis  in  potentia  triucuqj  fugficies.ee.  cf.g.fint  incomcnfura 
biles  ficut.a.c.b.cis  cqualcs.ideoqj  linec.d.ce.cg.cj:  pjima  fcyti  ?.to.buius:erit 
ecjo.linca.d.g.binomiu  cuiuscu  vtraqj  binomialiu  ponionii  que  fuut.d.  c.v.e. 
g-fit  incomenfurabilis  linee  ronali  pofite  que  e.c.d.ipfu  crit  er  oiffinitionc  bino/ 
miu  tcrtiu  aut  fertu:linea  ergo  potcs  i  tota.c.g.eqlem  ppofite  er.a.cb.erit  er.  $-  o 
i.  ?j-aut  bimediale  fecundum  aut  potens  in  ouo  medialia  :quod  cft  p:opofituiii. 

1^)20pofltiO     .67. 

ajPmpofitafueritlineabinomialis  cetereq?  irrationalcs 

»1  fequenteseammon  eriteay  aliqua  fub  termino  alterius. 

GUult  qp  (i  linca  aliqua  ut  .a.fuerit  aliqua  cr  fejc  pbabitis  liuets  ir/ 

rationalibus  que  funt  binomiu  c  cius  quinq5  comitcs  ipfa  non  erit 

aliqua  aliaj;.  Si  enim  quadrato  eius  equalis  fugfkics  adiugatur  ad 

hnea  ronalem.b.c.quc  fit.b.d.fiquidem.a.fuerit  binomiumierit  ey.5-4.lmca.cdi 


LIBER 

binomiu  pjtmutquc  fi  fuerit  bimediale  p:imu:erit.c.d.ejc.<5.binomiu  fcom:fi  aut 
buiiedialcfcDin:crit.c.d.c)c.f6binomiufCTtiu.£tfilmcamaio:cnt.c.d.cj:.57.bi 
nomi3  quarm.at  fi  potcns  in  ronale  i  mcdiale.aut  fi  potcns  in  ouo  mcdiaiia.crit 
cr.58<.d.binomiuquintu:autcx.59.Wiiomiufe)ctu:ctq!impofribiIccft.c.d.ciTc 
fimul  fub  oiuerfis  fpccicb9  binomioy  a  oifTinittoe  c  ipoffibile.a.eflc  fimul  fub  oi/ 
ncrfisfpcciebusfctpbabitay  Imca?  irrationaliu:Dc  linea  aut  mcdiali  coftarcp 
ipfa  quoqj  no  fit  aliqua  fer.  fcquentiii  videlicet  nccp  binomiu  neqj  altqtia  ct  ipfius 
comitibua.cu  eni  furjficies  cqualis  quadrato  lincc  mcdialis  adiungitur  ad  liticam 
rationatr.latns  cius  fcom  eft  ronale  in  potcntia  cy.iocum  afit  fupcrncics  cqualis 
quadratobinomi)  aut  alicuius  fuaz>  comitu:latus  cius  fcom  eft  binomiu  aut  pmii 
aut  fcbm  %  fic  oe  ceteris  per.  y 4.?.  j-ca  fequercs  quarc  ipfu  cft  irra  tionale  ct  in  lon 
gitudinc  1  in  potcntia.pcr.30.ium  igitur  ftt  impofftbiie  cande  linea  cffc  ronalcm 
in  porcntia  1  irrationalcm  ta  in  longitudine  cJ5  tn  potentiamimitu  impoflibile  li/ 
neam  mcdialem  effe  bimcdialem  aut  aliqua  ejc  quinqj  fuis  comitibus. 
Ijbiopolitio  -6S. 
1$  liueabelinca  abfcindaturfuerintqjambepotctialitcr 
tantu  rattonalee  c6icantcs:reliqua  Imca  erit  irrationalis 

Oicetorqjrefiduam. 

GStt  iinea.b.c.abfcifa  ejca.b.fintq^  ambe  ronalcs  tantu  potcntia 
l|  coicantes  quales  oocuit  inucnire.  w.?.  18.1  lec  funt  quc  coponunc 
binomiu.oico  cp.a.c.rdiqua  eft  irronalis  z  ipfa  vocatur  rcfiduum.coftat  cnim  ej: 
7.  fc6i  cp  quadrata  ouay  ttneay.a.b.i.b.c.pitcr  acccpta  quc  coponunt  fupcrficicm 
ronalcm  et  ypotbefi  %  oifTinitione  ronalts  fugficiei  f.ji.buius  trn  funt  quantu  ou/ 
plum  fnperftcici.a.b.^.b.c.cu  quadrato.a.c.cuq^  ejc  19.f11pcrficica.a-b  .i.b.  c.fit 
medi2lis.idcoq5'Z  ouplumci'medialcper.2i.ti6.  irronalcper  ij).fequif  vtam/ 
bo  quadrata  ouay  linea^.a.b.t.b.cpitcr  aecepta  fmt  lncomenfurabtlc  onpto  fu/ 
pcrrtcici  vnius  ea?  in  altera:quare  per.9.c  quadrato  linee.a.c.  cf.  oirV.nirionc  igif 
quadratu  linee.a.c.e  irronale  cii  ipfu  fit  incomenfurabilc  ronali  vidclicet  onobus 
quadratis  oua?  Imeay.a.b.-j.b.c.fjiter  acceptismaqj  ctia  ey  oifTinitionc  linca.a. 
c.e  irronalis  quod  cft  pjopo:itu.£j:emplariter  in  figura  cfto  futjficies.e.g.cqualis 
ouobus  quadratis  oua?linca?.a.b.«.b.c.tJitcr  acccpris:critqs  ronalis.  itemq3  fit 
fupficics.d.f.equafis  ouplo  fupficici  vnius  in  altcraxriKp  ejc.  w.medialis  %  ent  ej: 
y.fcoi  fupficies.f.g.cqualis  qdrato  lince.a.c.cuq^  fuDficies.c.g.fit  incomenfurabi 
lis  furjficici.d.f.eade  ertt  ejc.o.inc6mcnfurabilis.f.g.quare.f.g.irr6nalis  z  eius  te 
tragonkiilatus.a.c.  1Jfc:opofitio    .«9. 

fl  3f  fuerit  linea  ©elinea  abfcifa  faerirxtf  ambe  mediales  po 

tentialiter  tantu  coicantcs  fuperftctemq?  ronale  cottnetes 

reliq  lineaerttirrdnalisoicetqjreliduummedialepmti. 

G5itl  nea.b.c.abfcifaejclinca.a.b.  fintcp  ambe  quales  ^ppoiiitur 
Jjquas  ejc.24.c25  .reperics  1  bec  funt  quc  coiungut  bimcdiale  p:imu. 
oico  cj>  rcliqua  linca.a.c.crit  irronalis  s  ipfa  oicif  refiduu  mediale  pjimu:£rut  cni 
ambo  earum  quadrata  paritcr  acccpta  mcdtale:onplu  vcro  fupficici  vnius  iivalte/ 
ram  ronalc. itacp  ambo  quadrata  piter  acccpta  incomcnfurabtlc  funt  ouplo  fupcv 
ficiei  vni''  t  altera  q:  itaq?  abo  quadrata  Ettcr  accepta  copcjnutif  ejc  ouplo  fup/iciei 
vni9  i  altera  z  qdrato  linee.a.c.fequif  c».  9.ut  qdratu  lince.a  .c.  fit  incomcfurabtlc 


ti' 


enplo  fopci  ficici  vnt9  in  altera  quarc  tam  ipfu  quadratn  cfe  latus  ci9.a.c.  c  irrotia 
k  g  otfinitionc  pftat  ergo  ^ppofitu  £26  queadmodu  i  pmiffa  fi  libet  potcs  oecla/ 
rarc  excplariter  i  fijura  Gaiitcr  ide  fic:fit  Iinca.d.c.r6nali3  i  logitudineiari  adiu 
gatur  fupficics.d.f.equaliS  ouplo  fugficici  Vnius  in  altcra  i  fupfieics.g  .c.cqualis 
ambobus  quadratis  paritcr  acceptis.eritq^  p_.7.fc6i  fupficics.f.g.equalis  quadra 
to  linec.a.c.cii  itaq5.p.ypotbcfi  fit fuEficics.c.g.inedialis  erit p.2o-liuca.d.g.ra 
tionalis in  potcntia tm.  £u  vero  fit fupficies.  cb.ronalis  p ypotbefim  crit c%. i<s. 
linca.d.b.r6nslistnlongitudiiie:itaq5per.es.linea.g.b.cftrcfiduiiiirratioiialis 
tdeoq^  p.is.aocftructioncpfitisfupcrficies.f.g.eftirronalis-zeius  latus  tetra/ 
gonicum  quod  cft.a.c.cft  trrationale.£t  fic  patet  p:opofitnm. 
1|b:opofitio   .70. 
3f  Hnea  ©e  Iinea  lecetur  fuertntq5  ambe  mediales  poten/ 
ualirer  tarttu  comunicatescotinentcsq^  mediak:rcltqua 
lirtea  erit  irronalis  oicetqi  reftduu  medialc  fecurtdum. 
GSitbicquoq^linca.b.cabfcifacxlinca.a.b.vtcrq^autca.b.c.b; 
c.untvtp:oponitnmpfep.2<s.reperiuiitsfunt  quc  coponuntbi/ 
medialc  lic6m:oico  cp  linca  reliqua  que  cft.a.c.e  irronalis  z  ipfa  oicif  refiduu  me/ 
dtale  fcom.Sunt  cni  exypotbefi  c.zi.ambo  quadrata  ouay  lineay.a.b.j.b.cpa 
riter  accepta  mcdiale.fttr  quoq^  onplu  fupcrficici  vnius  in  alrera  emediale.£um 
iraqs  ex.22.mcdialc  no  oifferat  a  medialt  nifi  i  irronali:crit  quadrarum  lince.a.c 
in  qno p.^.fttii  ouo  quadrata.a.b.^.b.c.paritcraccepta excedunt ouplu  fupficiei 
Vniusin  altcrdirronalequarei  linea.a.c.irronalis.  ^iguraliquoq^exemplopa/ 
tefieri  pot  iftud  ut  p:i9.Si  cni  fit.c.g.eqlis  ambob"  quadratis.a.b.c.b.c.fif  t.d.f 
bnplo  fupficici  Vnius  in  altera  erir.f.g.p.7.fc6i  cqualis  quadrato.  a.c.  que  cum  fit 
Diffcrentia  fupficici  vnius  medialis.cg.ad  ftipficie  mcdialcd.f.ipfa  cft  irrationa 
lis  per.22' i ei9 tetragoicu  lat9.a.c.irr6nale.G3de aliter Sit linca.d.e.roalis  cui 
adinngat  fupficics.d.f.equalis  ouplo  fupficici  vnius  in  alrcrd  z.  e.g.  equalis  am  / 
bobus  quadratis  piter  acccptis.eritqj  g.7.fc6i.f.g.cqualis  quadrato.a  .c.  q:  vcto 
e.g.cft  mcdialis  crit  ex.ao.linea.d.g.in  potcntia  tm  ronalfe.  Silr  qn0q5.cu.cb. 
fit  medtalis  erit  ex  eade  Iinea.d.b.r6nalis:fifr  in  potcntia  tm.  £t  qm.  a.b.t.b.  c 
fnnt  incomenfnrabilcs  in  longitudine  idcoqj  quadrattl  vtriufq^  ca  22  fupficiei  vni? 
in  altcra:  z  pwprer  boc  ambo  quadrata  paritcr  acccpta  cum  ipfa  cx  ypotbcfi  com 
municetit.fnt  quoq;  incomenfurabtles  ouplo  fupficiei  vnius  in  alterd  :fcquit  vt.e 
g.fitincomcnfurabilis.b.e.qua.ppterlinca.d.g.linec.d.b.tgifcx.es-linea.g.b.e 
refiduu  1  irronalis.idcoq^  per.ns.a  oeftructione  pntis  fupficies.f.g.irrationalfe. 
«einslatustctragonicu.a.cirronale,  1(b:opofitio    .71. 

3f  linea  oe  linea  oerrabaf  fiieritq;  ambe  potentialiter  itu 
«Jjjcdmenfurabiles  cotinentefbj  mediale  quadrataqs  earum 
abo  fjiter  accepta  ronaleretiqua  linea  ertt  irronalis  voca 
biturq5minoJ.CSifint.a.b.i.b.c  qles^pponit  quep.27.rcpi/ 
Juntur  i  pponut  knca  maio:e  erit  linca.a.cirronalfe  z  ipfa  cft  q  oi/ 
eit  liuea  mino::  q6  qui  pmiffa  ftrmiter  tcnnerit  pofitionefqs  Oiligcntcr  attcnderit 
enplici  modo  vt  antccedentes  facilc  p:obab(t. 


1{b:opofitio  7% 


1  4 





LTBER 

3f  linea  belinea  oemat'  faerintq,  ambe  potcntialitcr  ico/ 
mmlurabilesfupficiemq5  ronaie  cdttnentesquadrataqs 
earum  ambo  pariter  accepta  medialclinca  reltqua  crit  ir 
ratioalis  ©iceturqj  iucta  cu  ronali  coponcs  totii  medtale 
^JCE  t  boc  quoq^  nefcire  no  poc  qui  p:io:a  nouerit  nifi  a  mcmo:ia  cp 
cidcruit:  qm pofitia rmcis.a.b.-z.b.coc qualtbet,pponif  que i paS.reperiunf  li/ 
nca  potete  in  ronalc  i  mcdialc  coponunnftt.a.c.reliqua  irronalis  ipfa  oicitur  que 
iuncta  cu  ronali  coponit  totu  mediale.  1gb:opofitio.    75  • 

ji  %  linea  a  Unea  oetrabaf  faerintq^  ambe  potenttaliter  m/ 
comeniiirabileslupncieqjmedialeconnnentesquadrata 
qj  ear  ambo  giter  accepta  mcdialc  ouplo  fuperftcici  alte 
rius  tn  altcram  iucomenfurabile :  reliqna  Unca  erit  irra/ 
J  tionalis  oiceturqj  iuncta  cn  medialt  facies  totu  mediale: 
GSiltt  etia  bica.b.i.b.cquales  pponitur  quc  g.29.rejnunf  1  ipfi  fnnt  que  con» 
ponunt linea potente in  ouo  mcdialia  eritq^.a.c.rcliqua  irronalis  oicta  quc  run/ 
cta  cu  mediali  pponit  totu  mcdialc  qo  vt  facile  p  2cmi(Ta  ouplici  argumcntatione 
concludas  ,pcc(Yu.7o.monco  oiligcntcr  attcndas:e  aut  picmittcdu  bic  ans  uccef/ 
fanumadocmoftrationesfeqnctiuqoeypofitu. 
C  Si  faerint  quattto:  quantitates  oiffercria  p:ime  qna^r  ad  lcoam  Itt 
licut  tertie  ad  quartam  •  crit  pcrmutatim  otffcrentta  pnme  ad  temam 
ftcut  fecundcad  quarta.G3ntelligendu  cft  boc  oe  quan  watibus  codc  modo 
rclatis  vt  cu  piima  maio:  fucrit  fccunda  fic  quocfi  tertia  maio:  quarta  cii  vcro  mi/ 
no:  1  mino:.£jxpli  sra  fit  oria.a.ad.b.ficut.cad.d.oico  q>  crit.a  .ad.c.fic.b.  ad 
d.e  cni  p.  bac  cocm  ai  pceptioue  of ta  cjctrcmo?  copofiis  cc  oirTerentrjs  tpfoy  ad 
rncdiaofia.a.ad.c.ppofitaccxcaquce.a.ad.b.tcaqueeft.b.ad.catcaquccft 

b.ad.d.p  cande  pccptione  ppouif  c%  ea  que  e.b.ad.c?  ea  quc  e.cad.d.t  quia  c% 
ypotbefi  e  ofia.a.ad.b.ficut.cad.d.ca  vero  que  crt.b.ad.ccft  cois  fcqutr  e  cocm 
fciamvtfit.a.ad.cficut.b.ad.d.qDe.ppofitu.        IJbJOpolttio    .74. 

^Ualineaniftvnatantu  reltduo  contunsi  poteltvt  lmf 

ambe  lub  tcrmino  carum  quc  ertmt  ante  leparationem 

G  6«  linca.a.creiidunj  que  fucrit  rcliqua  abfcifa.b.c.cca.b.crunt 

q^.a.b.i.b.cronales  tm  potentia  coicantcs  cx.6S.oico  q>  ipfa.a.c 

nulli  alij  lince  qj.b.cpotcrit  pponi  fub  bac  oiffinitione  ncqj  maioa 

b  c  neq5miiio:i.b.c.6iautp6tcomponafcu5.cd.indfntmaionautmino:i  qj 

cd.crnntq^obbocambclincc.a.d^.d.cronalisinpotentiatmcoicatesiqKrso 

e%.r.(c6\  qdrara  ambay  lincap.a.b.-cb.cpucr  acccpta  c^cdut  ouplu  fupcrficicj 

vni"  eas  i  altcra  i  qdrato.a.cfitr  quoq^  qdrata  ouaf  linca^.a.d.s.d.cp.itcr  acce 

pta  cjcccdut  onplii  fupficici  vni9  ipa?  i  altera  i  qdrato  ciufde.a.cfequif  c%  pmtffo 

atecedetc  Vt  ofia  ouoy  qdratop  ona?  linca^.a.b.^.b.cpiter  accepta  ad  ouo  qua 

drata  ouajzlinea^a.d.s.d.cprtcr  acccpta  fit  ficut  ofia  oupli  fupcrficici.a.  b.i.b. 

cad  ouplu  fupficici.a.d.in.d.ccum  aut  fmt  ono  quadrata  viriufq^  fectionis  pa  / 

riter  acccpta  ronale  cc  ypotbcfuouplu  vcro  fupjiicici  vnius  in  altcra  po:tionu  vtn/ 

ufq^  fcctionis  mcdialc  pcr  ypotbc.-r.  19-crit  vna  1  eadc  of  ia  ouay  fupcrftcicy  rona 

liu  1  oua?  mcdialiu-.boc  aut  c  impoffibilc:r6alcs  cni  fuperficies  116  oificrant  nifi 

tn  ronalt  fuperficic: vt  P5  per  oirTinjtionc  ronalis  fupcrficici  1  per.9  mcdtalis  aut 


!!' 


no  oiffert  8  inediati  nifi !  ronali  fupetficie  per.22.  boc  aut  fit  manifcftius  m  figu/ 
ra  fic.Sit  eui  fup.ftcics.e.f.9diunct3  9d  linea.c.g.equalis  ambob^quadratis  ouar 
lineaj/.a.b.t.b.c.pariter  acceptis.at.g.b.fit  cqualis  ouplo  fuperficiei  Vnf  in  al/ 
tcramtq^.f.b.equalis  quadrato  Iwee.a.c.er.r.fcdufirr  quoq?  fit.k.l.adinncta  ad 
Iinea.k.m.equ3lisouobu8quadr3tisoua^lineay.9.d.t.d.c.rnter3cceptis  s.m. 
n.fit  equalis  ouplo  fupficiei  vnius  in  3ltera:eritq5  ex.7  .ic6i.n.l.  equatis  qusdraro 
linee.g.cidcoqj  ctiam  equalis.b.f .eft  fitaq^  oiffercntia.e.f.sd.g.b.ficut  .k.Lad 
m.'n.qu9rc  p  afis  p:emiffii  erit  pmuratim  oifrcre'tia.e.f.3d.k.l.c  fpfa  fit.p  ficut.g 
b.ad.m.n.7 qi vtraqj  oua^lineay.e.f.^.k.l.eft ronalis vtraq5  vero  oua^ lines^ 
g.b.«.m.n.mcdtalis:fcquir  impoffibilevidelicet  fupcrficiem  p.  effe  rstionalem  t 
irrationslem.  i 

1£>20pofltiO     .75*. 

jl  cEfla  linea  nift  vna  tm  relidno  mediali  pjtmo  coiungi  pot 
vt  fintfambo  fub  termmo  eay  qtie  crat  ante  feparationem 
Gbcc  quoq^  .pbabit  funili  mo.Siut  cni  i  vtraq^  fcctionc  3mbo  qua 
|  dr«a  pariter  accepts  mcdialc:ouplu  Vcro  fugficiei  vnius  iu  altcram 
— jrouale  %  q:  vt  p:ius  cadc  e  oiffcrciitia  quadrato^  vnius  fectionis  ad 
quadrata  altcnus  que  e  oupli  fuperficiei  vnius  ad  ouplu  fupficiei  alterius  crit  vna 
i  cadem  fnperf  icics  oiffcrcwia  onarum  mcdialui  %  ouarnm  rationalium  quod  eft 
impolubilc. 

Ifbiopofitio    .75. 
HUa  linca  rcfiduo  medialt  fecfido  comfj  gibilis  crt  ut  fub 
termino  ca^z  fiant  mfi  tm  que  ab  ea  ante  lcparata  erat. 
(ISir  cni.a.c.rcfiduu  mcdtalc  fcom  quc  fuit  refidus  abfcifa.b.c.qr.a 
b.crnntcrj  cy.7o.oue  lince.a.b.f.b.c.medialcs  potcntia  titi  coicates 

i|m:dialc  cotinenrcs  oico  cp  ipfa^a.c.nulli  lincc  alij  q5.cb.fub  bac  oif 

finitioue  coniungipot.Sin  autem  coniungatur  linec.c.d.fitq^  linea.c.f.  rationa/ 
lis  iu  longitudine  ad  qua  ccnungatur  fuDficies.c.b.cqualis  quadratis  oua^j  linea/ 
rum.a.b.i.b.c.pariter acccptis «.e.k.eqlis quadrarfe  linea^.a.d.c.d.c.  pariter 
acccptisa  qua  abfcindatur.e.g.equalisqusdrato  lince.a.c.critq^  pcr.7.fc6i  fupcr 

ficies.l.b.cqualis  ouplo  fupcrficiei.a.b.t .b.c.c.l.k.pcr  cande  ftt  cqualis  onplo  fu 
perficiei.a.d.in.d.c.q: ergo quadrata amba?  parctu  p:imc feaionis  funt  media 
le  z  onplun  ctia  fuperficici  mediale  incomcnfurabile  ouobus  quadratis  piter  acce 
ptis:  que  ncfcirc  otligcns  geometra  no  porcrit  qui  pofitioncs  oiligenter  feruauerit 
crit  fuperficies.e.b.medialis  cu  tpfa  fit  cqualis  ouobus  qoadratis  gtter  acccptis  1 
fapcrficies.l.b.incdialis  cu  ipfa  ftt  cqualis  ouplo  fupficiei  vnius  i  altera:  per.20. 
igitur  e  vrraq^  oua?  linea^f.b.f.g.b.ronalis  in  po*tentia  tm.  t  q:  vna  eft  incotn 
mcnfurabilis  aUj:eo ep fijpficics.e.b.eft  incomenfurabilis fupficiei.b.l.  ficut  ouo 
quadrata  ouplo  fuperfuiei:erit  ejc.tfs.linea.f.g.rcfiduti  quare  Unca.f.g.quecft  re/ 
fiduum  componitur  linee.g.b.vt  fiiu  ambe  fub  termino  earum  qne  erant  ante  fe/ 
parstionem.Silr  quoq^  p:ob3bis  csndem.f.g.cu^  linea.g.k.componi  eade  con/ 
ditione  mediantibus  fupcrficiebus.e.k.c.k.l.qu3runi  p:ima  cft  equaUs  quadra/ 
tis  onarum  lincaru5.9.d.?.d.c.paritcr  acccptis:  %  fecunda  ouplo  fuperficici  vni/ 
ns  in  alteratmquod  eft  impolTibile  pcr.74.s  bic  tnodus  oemonftrationis  poteft 
tffc  communis.r  j.ceterifq5  quatuoj  feqoentibus  earn,! 


R 


LIBER 


4 


Ifriopolitio   .78. 
W\te  Unea  rmnoii  coiungibiUs  eft  Vt  fub  termino  fuo  fiat 
nifi  tatu  que  antc  libi  abtcifionc  coniungcbatur. 
G3ntclli3C  quid  fit  linca  mino::qtf  ft  oblitus  es  cofule  .xi .%  fmc  ob/ 
tectionepcludes  .ppofitu.  Siqucadmodiii.74.,pcefl'eri8:porcrifq5 
fiIibucritqucadmodr'i.7e.^cedcre.        1jb:opofttio    .78. 
3Jnea  que  coniuncta  cum  rationali  tacit  totum  mediale 
nili  vni  tantu  componi  nd  poteft  vt  fub  eay  tcrmmo  fiant. 
CQuid  fit  linca  que  p:oponitur  cjc.72.0idicifti.cum  crgo  oc  ca  vo/ 
luerisquodperbanc.78.0icimrocmonftrarc  a,pcc!Tii-7f.in  quoq; 
116 ocuias.fed ficut i.7<sft tc oclcctauent igeto oucc  poteris .pccdere 

1(b:opolitio  .79. 
i^nee  queinnctacumedialifacutotum  mediale  niftvna 
linea  tantum  inngi ncquit vt litb  earum  termino  ftant que 
erantantefeparationem.  Gbutusluiccque  iuncracu^  mediali 
coponit  totu  medialc  mgfa  e.7?.oc  q  qb  bcc.r^.cniiciat  flc  pcludcre 
« cogeris  ficut  oe  rcfiduo  mcdiati  fcoo  qo  g.Ts.cnnnciatu  cft  pcluiiiTi. 
Glfbofiris  ouabus  Uneis  altera  rationali  altera  Vero  reiiduo.adtccta 
qiipft  reliduolineaaliqua  fm  eius  tcrminum  !i  fijertttotitm  inde  co/ 
pbfitumpotentiuslincaadicctainquadratolince  ipfi  toti  coicantis 
tn  longitudine:mcritq5  idc  totu  polttc  ronalt  Itnce  in  longimdtnc  co/ 
menfurabile  qb  pofttu  crat  otcetur  reidtiu  pJimu  .£>t  vcrq  itnea  ad/ 
icctapoftterationalicoicamlongitudine&icet  reliduu  lcom.  /Qolt 
fueritvtraqjronalipofitcin  longmtdine  iucomcnfurabilie  vocabic 
reftduu  terriu.Si  fuertt  tota  Unea  potenrio:  adiecta  augmcto  quadra 
tilineeiplitotiincomenlurabiliseadcqitota  polite  rcnali  cotcctin 
longitudine  nuncupabitur  reliduu  quartu  :8>i  vero  linea  adtccta  po/ 
fite  ronali  coicet  in  longitudtne  vocabit'  reftdnii  qutntu.  £}6  It  tuerit 
Vtraq^  poftte  ronali  i  longitudine  icomcnfurabilis  appellabtt  rchcsu ' 
nmrejctum.  l£>:opolirio   .so. 

~ =r£ftdnu  pjimuinncftigare.Gab  iimcntioncomniu5  fpecicm 

Jrcfidui  facilc  nos  abfoluat  inucntio  p  o:dinc  omniu  fpcciqz  bmomij 

,  hlam  i  qualibet  fpccic  biomioy  fi  mino:  po:tio  abfcindaf  oc  maio:i 

t"  f^^Pnca  r£UC!u9  ** rcnc!uu  ulte  fP"  vt  P5 c*  cirfinitiomb9  tam  binomi 
flssail o:u  q5 rcfiduoy:,pp:iis  tfi  inucntionibus  rcfiduo? ififtcntcs  fic  in/ 
quiram"  p:imu.6tt  linea.a.ronalis  pofiia  cui  comefurabitis  i  logitudic.fumaf  .b. 
c.ritq5.c.namCT9quadratu6  0iuifusin.f.nonquadratum.iinquadratum.g.fitq5 
^ipouio  qdratilince.b.cad  qdratu  linee.c.d.ficut.c.ad.f.eritq5p,vltimaparte. 
cd.ronalis i  poreria  tm.cu  ttaq?  fit.c.b.potetio:.c.d.i  qdrato lincc fibi cotcatis t 
logitudine  qo'  P5  ficut  t  qcplanatioe binomij  pmi  pftat  qc oiffitioe linca.b.d.ec re 
uduup:imii.  1ft>:opofltio    .81. 

/£liduu  fc6m  patefacere.GSd  bndu  rcfiduu  fcpm  fir.a.lica  ro 
nalis  pofita:eiq5  coicas  in  logitudic.c.d.i  fit  qdratu.c.d  ad  qdratu 
b.c.ficut.f.ad.e.eritq5.b.d.rcfiduu  fcdm  c*  oione:fi  oubitas  aut  po/ 
fitas  no  fcraas  j-potbefcs  aut  binomij  fecudi  repetitione  indiges. 


!      X 

1(b:opofitio   .si. 
1£!idtmm  terttum  pericrutari. 

|  GKcftduum  tcrtiuin  fic  babcmrtpofita  vt  pjtus.a.ronali  numcroq; 
c.quadrato  oiuifo  in.f.iion  quadratum.«.g.quadratum:affumpto/ 
q^.b.numero  pjimo  ac  q::.adratuni  tincc.a.ad  quadrarii  linee.b.cfi 
cut.b.ad.c.fitqtiadratulince.b.c.adquadratiilince.c.d.ficut.c.ad 
f.  critq,  ej:  oiffinitione:  oe  quo  fi  fcciitas  cofule  binomiu  tcrttii:  liuca.d.b.vefidmT 
tcrtium.  l|b:opofttio   .S3. 

/Sftdunm  qnartum  muenirc. 

Cbic  ficut  in  inucntione  refidui  pjimi  ftt  liuea.b.c/communicans  (i 
nce.a.rationali  pofitemnmerus  autctn.e.quadratus  fit  eiuifus  i.f. 
«.g.quoium  fit  Vterq^  non  quadratus-.fitq;  quadratum  linec.b.cacl 
iJquadratumliiiec.d.c.ficut.c.ad.f.«fcicse):oiffinftioficlincam.d.b 
effc  rcfiduum  quartum.fi  coium  quc  in  inucntione  binomij  quarti  otdiceras  obli/ 
rusnonfucris.  'Jfbzopofitio    .S4. 

r/£ftduum  qnintum  oemonftrare. 
C£um  refiduum  quintum  inuenire  libucrit  erit  Iinea\c.d.  comuni/ 
I  cans  lincc.a.rationali  pofite  in  longitndine  ficut  crat  in  inquifitionc 
fccundi:«  erit  quadratus  numerus.e.ciuifus  in.f.«.e.quo5U5  ncuter 
jquadratus  ficut  in  piemiffa:«  erit  quadratum  linee.c.d.ad  quadra  / 
tum.b.c.ficut.f.ad.e.ex  quibus  s  oiffinitionc  cocludcrc  licct:babita  furf icienti  110/ 
ticia  binomij  quinti:Iineam.d.b.effe  rcfiduum  quintum. 

Ifcttopofttio  .s^. 
/£ftduu  lejctumftem  um  p:efto  ftt  reperirc. 
CKcfiduum  fejtum  fic  rcpcritur.erit  ut  piius  linea.a;r6iiaIispofita 
«.c.ntrmer9  quadrat"  oiutf9tn.f.«.g.non  quadratos  «  erit.b.nume 
rus  piimus  «  quadratum  linee.a.ad  quadratiT  linee.'cb.ficut.b.ad 
e.3t  vero quadratii.b.cad quadratu.c.d.ut.e.ad.f.eritq5  ejc oiffi 
nitione  linea.d.b.refidunm  fcxtum.cui  fi  no  planc  animus  tuus  affenferit  ejcerce/ 
ri  te  conuenit  in  inuentione  binomij  ferri. 

1fc>:opofitio  .$6. 
%  fuerit  fugficies  linea  ronali  atcK  reftduo  p:imo  cotenta 
fatua  eius  tetragonicu  neceffe  eft  efle  refiduum; 
CSit  fupficies.a.ccoteta  linca  ronali.a.b.«  rcfiduo  piitno  .b.c.ci 
co  latus  tetragontcii  fupficici.a.cee  refiduu:  adiungat  cni  ad  linca 
b.c.Iinea.c.d.fitq5  tlla  cnius  oeiractione.b.cfuit  refiduii  piimum. 
£rttq5  vf.  oione.b.d.ronalis  ejc  longitudinc  «.c.d.in  potentia  tttvb.d.qitoq5  erit 
potetioi.d.ci  qdrato  lince  fecii  coicantis  i  logitndine.oiuidat  igif.d.cp  eqlia  i.e 
« tota.b.d.oiuidar  ea  pditione  in.f.cp  intcr.b.f.«.f.d.fit.e.d.medio  loco  .ppotfi 
onalis-.eritq^  qc  fa>a  tjtc.  1  j.b.f.coicans  in  logitudinc.f  .d.rj.9.igit  vtraq^  cay  coi/ 
cat  cri  tota  linea.b.d.qrep.  oiffinitioneambc  funt  ronalcs  in  longitudine:  oucanf 
itaq^  Iinec.f.g.c.b.«.c.k.equidiftantes  .a.b.eritq^  p.  iy.vtraq5  ouay  fugficic^.a 
f.«.g.d.ronalis:fit  quadrattl  ergo.l.m.eqle  fupficiei.a.f.  eritq^  ronalc  « lat9  cius 
rcnale  i  potecia.intra illud qdrattT .ptracta  oianogali Iiuea.l.m.  ocfcribat  qdra/ 
tum.l.n.equalf  uipcrficici.g.d.critq5ipuimr6nale«  ci0latu3  ronale  in potcntia 


9 

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LIBER 


\ 

11 

\ 

p:otrabantur  aut  oue  liuee.m.p  .q.n.vcl  equidiftater latcribus  totalis  quadrati. 
oico  ergo  quadratum.p.r.eiTe  equale  fuperficiei.a.c.«  cius  latus  quod  e.mp.e  rc/ 
fiduu.£um  cni  linea.d.e.fit  cx  ypotbefi  mcdio  loco  ,ppo:tionalis  mter.b.f.«.f.d. 
erit  exp:imafe)iti  fupcrficics.d.b.medio  loco  p:opo:tionalis  inter  ouas  fupficies 
a.f.l.g.d.idcoqj  «  intcr  ouo  quadrata.l.m.«.n.l.cuq5  q:  p:ima  fejn  fit  fugncics 
l.p.mcdio  loco  ,ppo:tionalis  inter  eadem  ouo  quadrata  crit.  l.p.  cqualis.  d.b.ec 
etia.b.c.«  q:quadratu.l.n.cftequale.g.d.erit.t.r.equalc.g.e.  totusitaq^  gnomo. 
circufcriptus  quadrato.m.n.cft  equalis.c.g.«  q:.l.m.erat  equale.  a.f.  rcliuquitur 
m.n.equale.a.c.cp  aut.n.p.lat9  quadrati.m.n.fit  refiduu  fic  colligc.£ft  eni  vtra  / 
q5  oua£.p.t.«.t.n.ronalis  in  potentia  eo  cp  vtruq^  quadratu.l.m.«.n.l.e  rouale 
vnaq?  cay  eft  incomcnfurabilis  alij  pcr  p:ima  fetti  *.  io.buius:co  <j>  q'iadratum 
l.m.eftincomenfurabile.l.r.fupcrficieificutfupficies.a.f.fuEftciei.b.d.ocquibus 
manifeftu  eft  cp  ipfe  funt  incomenfurabilcs:eft  eni  per  p:ima  (cjxi  vna  ea?  ad  al/ 
tera  ficut  linca.b.f.que  e  ronalis iu  longitudine ad hnea.d.e.quc cft  ronalis i  po/ 
tentia  tantii  ejc.  6S.igit  linca.p .n.que pot in  fupftcicm.a.c.eft  rcfiduum:  « boc eft 
quod  ihtendimus. 

IJblOpoftttO    .87. 
3f  fuperficiesaltqualinearationalirefiduoq^  fecundoco 
tineatur:  linea  in  eande  potes  erit  relidun  mediale  pztmn 
Gjjn  bac  quoq^  arguc  ficut  in  p:emi(Ta  c*  oiff initione  rcfidui  fecun 
di«fc6ap.tc.  i3.«nona«oecimanonaz.i>-.«.tf9. 
IjbJOpOftfiO     .88. 

3f  linearonalireftduoq^tertio  luperficies  contineaf  erit 
linea  fug  eam  potens  reftduum  mediale  fecundum. 

Cp>:io:i  oemonftrationi  infifte«facilec6dudes  p:opofitum  ejoif 
fimtionerefiduitertij  «fccundaete.  15.1.9.1. 19.2.70. 

1[b:opofitio   .98. 
3f  fuerit  fupftcies  linea  ronali  rel tduoq?  quarto  contenta 
linea  iuper  eam  potens  erit  linea  mtno:. 

C3n  bac  quoq^  no  aliter  .pccdas  q'3  p:iu3.  facile  cni  crit  ibi  ^pofito 
pcludcrc.fi  p:emiffam  116  ocfpicis  cr  oione  refidui  qrti « fcoa  pte.  14 
«.9.«.i9.'Z.i5.«.7i.«ficpatcbit,ppofitum. 

Kb:opofitio    .90. 
3f  fueritltnearonalirefiduoq^quinto  fupficies  contenta 
latus  eius  tetragonicum  erit  cu  ronali  copones  mcdiale: 
CTlitere  p:cmiffa  argumcntatione  c%  oiffmitione  refidui  quinti  «  fe 
cunda  parte.  i4.«.<>.«.i9.«.  15-t.72.quod  p:opofitu5  eft  coucludcrc. 

1|b:opolitio    .91. 
3f  linca  ronali  reftduoq^  fejcto  fuperficies  contineatur  la  / 
1  tus  tetragonicum  qo  fuper  eam  poteft  cum  mediali  confti 
tuens  totum  medtale  cl  le  compzobatur. 
CTluncquoq^vltimoquodperbancoicitur  p:emilTomodo  fatagc 
cocludercejiOimnitionc  refidui  fcyti  1  fctfa  parre.  14.7.9.7.19.« -rj. 


ifi  bis  autauoibtis  p:occffum  taum  nibil  ofTeuderc  potcrit  fi  pzima  earum  i  pfe/ 
ctc  oidiccria  c  mcmo:itcr  tcnucris:?  quidquoq^  fupponat  folcrtcr  attendcris. 
jQ6  ft  fo:fan  oe  aliquo  in  quadrato.l.m.tc  oubitare  contigcrit  ad  fuum  cquaic  in 
fupcrficic.a.d.tibi  recurrcndum  erit:ct  patcbunt  tuo  ingenio. 

1|b20pofitto    192; 
^f  ad  litream  rationalcm  fuperftcies  cqualie  quadrato  re/ 
lidni  applicct:a!tem  lat9  reftduu  pjtmfi  clTe  necelie  elr. 
Gbec  fex  fequcres  fut  pucrfc  fcx  pcedctiu  p  o:dinc.bui9aut  pme  bcc 
cft  intentio  <$  fi  fit  fucficics.a.c.adiuncta  ad  linea  ronalca.b.cqua 
lis  cjuadrato  rcftdui  qo  fit.d.e.crit  eius  latus  fcbm  q6  eft.b.c.necef/ 
fario  refiduii  p:imu.adijciatur  eni  lmcc.d.c.que  p:opon:tur  cffc  rcfidufi  :Itnea  p 
cuius  abfciftone  ipfa  fuerit  rcfiduir.fitq^  ci  adiuncta.c.f.eritq^  cx.es .  vtraq^  ouarii 
lineay.d.f.c.f.e.  ronalts  in  potcntia  %  vna  ea^  incomcnfurabilis  alij  :oe(cribatur 
crgo  quadratu  lincc-f .c.qd  iit.e.g.?  quadratu.d.c  quc  pofita  cft  eflc  rcfidufi  qo 
fit.e.b.i  adijcianf  fupplcir.cn  ta.d.k.  -j.f.l.eritq^  quadratu,g.b.tanq*5  quadrtum 
linccd.f.c  quadratu.cb.crit  ficut  fupcrftcics.a.c.crit  ctia  vtrfiq^  quadraroy.g. 
b.c.g.cronale.Sitigitur  fupficics.a.m.adiuncta  adlinea.  a.b.  cqualis  qdrato 
g.b.eritq^  ob  boc  ronalis:quare  pcr.  is.linea.m.n.cft  ronalis  in  logitudinc:  fup/ 
ficies  vcro.p.u.fit  cqualis  quadrato.cg.que  ctia  .pptcr  boc  erit  ronalis  1  p.  ic.li 
nca.m.n.r6nalisinlongitudiiie.itaq5tot3liiiea.b.n.eftr6nalis  p.9.oiuidaf  aiic 
c.n.pcrcqualia.m.q.coucaf.q.r.cquidiftans.a.b.eritqjejcpumafcxti.c.r.equa/ 
lis  r.n.aOanifcftu  vero  c  cp  cu  tota  fupficics.a.n.fit  cqualis  ouobus  quadratis 
g.b.ccg.paritcr  acceptis  quc  funt  quadrata  ouay  lincarum.d.f.cf.c?  fupficics 
a.c.fit cqualis quadrato Itnecd.cqo eft.cb.erit pcr.7. fcoi  fupcrficics  refidua cr 
a  .n.qne  eft.c.f.cquaUs  ouplo  fuperficici  ccd.f.in.f.cquarc  z  bo:um  oimidia  quc 
fuiit.r.n.cd.g.ucccffe  cft  effe  cqualia.cuq^  igitur  cy.  p:ima  fctfi  fit  fup/icics.d.g. 
mcdio  loco  (ppouionalis  intcr  ouo  quadrata.g.b.s.g.ceritq^  fuperficics.r.n.mc 
dio  loco  .pponionalis  intcr  ouas  fupcrficies.a.  m.f.p.n.  idcoq^  pcr  p:ima  fexti 
erit  ct  linea.q.n.mcdio  loco  ,ppo:ti6alis  iutcr  onas  Imcas.b.m.cm.n.  cumq^  ftc 
q.n.oimidifilinccn.c.tlinca.b.n.oiuifappunctum.m.inouocoicantiaitcrquc 
cadit.q.n.medio  loco  ,ppo:nonali8:fcquit  cjc  p:ima  ptc  1 3  .q>  linca.b.n.fit  potcn/ 
tio:  linca.n.c.in  quadrato  linee  fcctl  cotcantis  i  longttndincq:  ergo  fupficics.d.g 
cftmcdia'isex.i9.erypotbcfia«fupncics.c.r.fibi  cqualis  mcdialis  dinea.c.q. 
ronalis  in  potetia  tm  per.2o.idcoq5  ctia  cuplii  ci9  q6  e  linca.n.  c.c  ronalis  tatu  i 
potcntia:q:  crgo.b.n.c  ronalis  tn  longitudinc  coicans  Imcca.b.  poftte  ronali  ct 
poterio:.n.c.i  quadrato  tnce  fibi  comtuiicatis  i  longitudincfcquitur  cj:  oiffmitio 
nelinca.b.c.certfiduup:imu:q6e;ppofitu.        ']|b20politiO     .93. 

^madwnctafaeritfuperficiesequalis  qnadrato  reftdui 
mcdialispztmiad  lineam  rationalem:  alterum  latuseius 
ertt  rdiduum  fecundum . 

Gbic  crit  linca.d.crefiduum  mcdiale  primom  1  linea.cf.  erit  linca 
ita  per  cuius  abfcifioncm.d.cfucrat  refiduum  medialc  p:imum:oi/ 


0 

s 

n 

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1 

co  cp.b.c.crit  rcfiduum  fccundum  quod  ncfcirc  non  poteris  fi  ocmonftratione  p:c 
iniflc  quoufqj  eam  folido  amplectaris  babitu  inftite:is  1  qnalcs  lincas  opozteat 
cflcd.f.cf.e.vigi"anter  attenderisioe  quo  fi  oubitas.e>requircnda  erit. 


LIBER 


llbjopoiitio  »94. 
^fupCTftdcscqualisqdratorefidui  medialis  fc6iappli/ 
catafaCTitadltncamr6nale:alterum  latuseius  reftdtmm 
tertium  efle  conuenict. 

Cbic  ctia  crit.d.e.rcfiduu  mcdialc  f?6m  1  fcquctur  ut  fit.c.b.  rcfidu 
Jumtertimq6utfacile?cwdasp:imeocm6fhationi  ififtas  ^  qles  U/ 
ncaspueniateffe.d.f.i.f.c.ej.ro.collige.  'jjbjopofitio    -?j. 

"1  ^madtunctameritltnee  ronaUfuperficies  equalts  qua/ 
drato  linec  minozts  latus  eius  lcrini  eru  reftduti  quartum: 
C5i  fucrit.d.e.lincamino:  afierit  bcc.9  j.cp.b.c.erit  rcfiduu  quar/ 
iu:eft  aiit  fumendi  e;c.7i.qualcs  lincas  elTe  necclTc  fit.d.f.s.f.ccum 
d.c.fucrit  linca  mincn:?  eft  aftrucndum  .ppofttfi  pmilTo  modo:exce 
pto  q> in  bac  1  ouabus fcquentibus nccefic cft  linea.b.n.oimdi  ad  punctu.  m.in 
ouo  incomenfurabilia  qnc  in  tribus  piemilTis  oiuidebat  neccffario  i  ouo  comenfu 
rabiliamamlin  tribus  pmiflis  fuerant  oue  linec.d.f.U.c.c6icantcs  i  potentia  ttn 
1  ideo  carum  quadrata  c6icantia:p:opter  q6  1  fugfiacs.a.m.i.p.n.  quadratis  ea 
rum  equales  coicantcs.Ouap:optcr  etia  1  oue  Imce.b.m.i.m.n.ideoq)  fuit  i  tri/ 
bus  p:cmiffis  linca.b.n.potentio:  linca.n.c.in  quadtato  Imee  fccum  comuntcan/ 
tis  inlongitudine  ejc  p:ima  gtc.  1 5.3"  bac  aut  1  ouabus  fequctibus  fuut  oue  lincc 
d.  f.i.f.c.incomcnfurabilcs  in  potcutu  ut  apparet  q.,7 1 .1.72.1.7^.1  idco  earum 
quadrata  .pptcr  qo  1  fupcrncics.a.m.c.p.n.incomeufurabilcs  ^ppter  q6 1  oue  li 
nccb.nni.m.n.incomenfurabtles  idcoq^  pcr  p:ima  ptc.  n-tam  m  bac  q*5  in  oua 
bus  fcqucntibus ueccffe eft  linca.b.n.efie potcntiote linea.n.c.in  quadrato  lin ce 
frbi  komenfurabilis  i  longitudinccetcra  pcrquire  ut  p:ius.  lj£>Jopofitio  .9$. 
1  %  ad  Uneam  rationalem  quadrato  linee  cum  rationali  co  / 
mtuentis  mediale  equale  fuperfkies  adiungatunlat0  ems 
fecundum  eritreftduum  quintum. 
I  Cponefimilitcrbiciinea.d.e.eficillaquciuncta  cu  ronalipponac 
totu  medtalc  1  attcnde  ejc.7i.quales  lincas  opo:tcat  clTcd.f.  i.i.c. 
1  concludes  linc  olrcndiculo  fi  p:ius  babitc  ocmonftratiom  opoitunc  inftiteris  li 
ncam.b.c.effcrcfiduumquintu.  IjbjOpofltiO    .97. 

Y§  adlinearationalefuperficies  equalts  quadrato  linee 
cum  mediali  componentis  medtale  adtungatunlatus  cms 
1  alterum  eritreftduu  lepim. 
CTIunc  vltimo  conucnit  Imca.d.c.efle  illam  quc  iuncta  cum  media/ 

jjli  coponit  totum  mcdiale  cui  adtuncta  Imca.e.f.quc  viddtcct  ftt  illa 

pcr  cuius  abfcifionem  Iinca.d.c.fucrat  quc  p:oponitur  fi  qualce  lincas.d.f.i.f.c. 
cffc  opo:tcat  cc.7  3.0'diccris  p:io:c  argnmctationc  firma  tncittc  tcnucris  finc  obt 
ce  quoq5  linea.b.c.cffc  refiduu  fcytu  cocludcre  potcris.fi  afit  fo:talTts  in  aliquo  re 
bcfitarc  ptigerit  qutcquid  illud  fucnt  oc  quadrato.g.b.ad  fibi  equale  fuj>ficic.a.n 
B]e>fercdumerit:cficpatcbit^pofitfinoftru.  *][b:opolitto  .98 
gj-Qfjnis  Itnca  reliduo  pmefurabifipfa  quoqj  i  termio  1  ox 
dineeidereliduu 

C£>6  .(fo.z.quaiuo:.cafcquc'tcs  oebinomioeiufq5Coniitib9qnq5 
.ppoftterut  bcc  .98.7  .quatuo:.cam  fcquentes  oe  reiiduo  fuifqj  qnqj 


X 


tomittibus  vcrum  cffe  pjoponuntfquibus  qui  vfcp  ad  foiitum  babitum  inftitcric 
bas  ignotarc  non  potcrit.Ouicquid  autcm  in  illis  oe  coicantia  in  longitudinc  et 
potcntia  tantum  eictum  cft:in  bis  quoq^  idem  opo:tct  intdligi.  nam  omnis  linea 
rcfiduo  comwicaus  in  longitudinc  fine  in  potcntia  tm  ipfa  etia  cft  refiduum.  fcd 
fi  commuuicat  in  longitudine:  non  folum  cft  ipfa  refiduum.fcd  ctiam  ciufde  fpei 
refiduum.23erbt  gratia:linea  comunicaits  in  longitudine  rcfiduo  piimo  cft  rcfi/ 
ciuu  pmu:  c  fccfido  coicans  cft  fcom.fic  quoqj  in  ceteris:.Q6  aut  iiuca  communi/ 
tat  rcftduo  in  potcntia  tantum:ipfam  quoqj  ncceffc  eft  clTe  rcfiduum  fed  no  eiuf/ 
dem  fpecici:imo  ipofftbile  eft  vt  linca  comunicans  in  potcntia  tantu  refiduo  p:i/ 
1110  aut  fc6o  aut  tcrtio  aut  quarto  aut  quinto  cadat  fimul  cum  eo  fub  eadem  fpecie 
fcd  neccffc  cfr  vt  abo  cadat  fimul  fub  tnb9  pjimis  fpeciebus  aut  abo  fimul  fub  tri/ 
bus  poftremis.Sit  itaq^  eyempli  gratia.a.rcfiduu  cui  comunicct.b.  in  longitudi/ 
ne:oico  gp.b.erit  rcfiduu  ciufde  fpecici cu.a.adiungatur enim  liuca.c.  ad  lincaj 
a.?  cum  tlla  fit  pcr cuius abfcifione.a.fuit refiduu:c ad.b.adiftgat  alia  quc fit.d. 
ad  qua  fic  fc  babeat.b.ficut.a.ad.c.fitxp  compofita  cca.t.cc.  compofita  vcro  cjc 
b.«.d.fit.f.eritq5cypermutata(ppo:tioiialitate.a.ad.b.ficut.c.ad.d.cp.i5.quiti 
Iierit.c.ad.f.ftcut.a.ad.b.vdftcut.cad.d.cumitaq5.a.c6mumcctcum.b.critper 
io.c.c6municans  cum.d.c.cquoq^  comumcans  cum.f.  1  quia  ctiam  eft  neccffa/ 
rio  c%  pcrmutata  p:opo:tionalitatc.c.ad.c.ficut.f  ad.d.  fcquitur  p..  u.vt  fi  fuerit 
e.potentioz.cin  quadrato  lince  fibi  coicantis  tn  longitudinc  vcl  fi  fo:te  incomen/ 
furabilis:fit  fimiliter.f.potentioz.d.  at  qm  omnis  linca  comuuicans  in  longitudi 
nc  linec  rationali  eft  ftmiliter  illi  rationalis:fimiliter  oico  quia  ambe  erunt  ratioita 
lcs in longitudinc  velambe in potentia  tantum:fequitur c%  oifftnitionibus relidu 
o:um  Vt.b.fit  refiduum  eiufdem  fpeciei  cum.a.Si  autc.b.comunicat  in  potentia 
rantii  tum.a.ipfa  quoq>  erit  refiduum  non  tamen  ciufdem  fpccici  neccffario.fed 
qucadmodii  oictfi  cft:cuius  oemoftratio  c%  bis  quc  in.eo.oe  binomijs  oicta  func 
cotfigendaeft.  IJbJOpofttio    .99. 

Qfonis  linea  \tril1b5  rcfiduo  medtali  c6municans:eft  fub 
ipfiue  termio  1  o:dme  reliduumedtale.  G23c?2  cft  qo"  owc 
fiue  coicct  linca  cum  vtrolibet  rcfiduo  mcdiali  iu  longitudine  fiue  iit 
potentia.Sit  cnim.a.vtrulibct  rcfidufi  mcdiale  cui.b.coicet  in  logi/ 
tudine vtpotetia.oico cp.b.c etia rcfidufi mcdialc  qlc fucrit.a.adifi 
gat  cni  linca  .cad  linea.  a.i  fit.c .  p  c9  abfcifionc.a.fuit  rcfidufi  mcdialcw  ad.b. 
adiugataliaqfit.d.fitq3.b.ad.d.ficut.a.ad.ctotaq5ppofitacj:.a.c.c.fit.e.ecy; 
b.d/it.f.oefcrib3ngitqdrata.c.'Z.d.qfint.g.'Z.b.tfu2ficics.e.i.cfit.ls.'Z.f.i.d.'Z 
fit.I.£tq:cvtp:i9.c.ad.f.ccad.d.ficuc.a.8d.b.futafit.c.'Z.cmediale8potcntia 
trti coicatcs c%-6^.z  .7o.fequit ejc.2 ■ .  vt.f.c.d.cis  coicates.  fint  etia  mcdialcs  po 
tctia  tm  c6icates:pftat  afit  cjc  pzima  fcjcti  cp  fit.k.ad.g.ftcut.c.ad.cs.l.ad.b.ficut 
f.ad.d.cqje.c.ad.cficut.f.ad.d.fequitutfit.k.ad.g.ficut.l.ad.b.ftpmutati.k. 
ad.l.ficut.g.ad.b.cug.g.c6icctcu.b.fequifvt.k.c6icet.cu.l.Sitgit.k.cr6iialcq6 
ejn  refiduo  mediali  p:imo  erit  etia  g  oiffinitfone.l.ronalis  qrc  p.ep.b.ctia  e  rcfi/ 
dufi  medialepzimii.fi  aut.k.fit  mediatqbei  refiduomediali  fcoo:  critg.2i.etia.l 
mcdialis:ideoc|}.b:g.7o.refiduu  mcdialc  fto,  qre  pftat,ppoutu.3dc  alitcr  Si  lica 
b.coicat  cfi  liea.a.q  e  vtrulibet  refidufi  mcdiale  i  logitudieil'  i  potetia  fit  fugficies 
t.e.8dificta  ad  linea  roalc.cd.eqlis  qdrato.a.i.f.g.eqlif  qdrato.b.erfitq}  ob  boc 


LIBER 


c.e.-j.f.g.coicantes  queadmodu  i  quadrata  lincarum.a.i.b.eis  cqualia.idcoq}  £ 
piimam  fcjctt  **•  iobntus.d.e.*.c.g.funt  coicantes  in  longitudme:  i  quia  fi.  a.clt 
refiduum  mcdiale  pjimu:cft:linca.d.e.cft  rcfiduum  fcbm  pcr  93.?  fi.a.eft  reftdufi 
mediale  fcc>m:linca.d.e.eft  refiduu  tertium  pcr-94-at  cum.d.e.  eft  reiiduum  fiOin 
linca.e.g.eft  etiam  refiduu  fcbm  1  cu  ilia  e  tcrtiunufiir  1  bic  cft  tertiu  per^s.fequi 
tnr  itaq5  er.-87.?-8s.vt.b.fit  rcfidufi  mediale  pjimfi  aut  fecundu  piout  njerit.  a.ct 
fic  patct  qnod  intendiinus. 

l(b:opolitio    .100. 
5  linea  aliqua  linea  mii  w:i  comunicet.ipfa  quoqj  eritli/ 
neamino:. 

d^acilc  cft  banc  pjobare  ouplici  modo  ficut  pmilTatn:fiue  cotnuni/ 
cct  linea  aliqua  cum  linca  minori  in  longitudtne  fiuc  in  porentia  boc 
afit  appofito  quattl  ad  primfi  modu  cp  cum  fit.f.ad.d.  ficut.c.ad.c. 
ent  c%  fcba  gte.  iS.ferti  quadratu.f.ad  quadratfi.d.ficut  quadratu.c.  ad  quadratu 
c.c  toniunctim  quadrata  ouai/  Unearum.fa.d.ad  quadratu.d.ficut  quadrata  ou 
arnmltoeamm.e.cc.adquadratum.c.cpcrtnutatimquadrataouaylincarum.f. 
t.d.ad  quadrata  ouay  lincarum.ccc.ficut  quadratu.d.ad  quadratum.c.  coicat 
aute  quadratu.d.ad  quadratfi.c.ergo  ouo  quadrata  oua?  Iine3£.f.cd.pariter  ac 
cepta  coicant  cfi  ouobus  ouaj/  Iinea2;.e.«.  c.rjitcr  acceptis:?  quia  er-i  7.quadrata 
ouarumlineay.e.c.c.pariteracceptafuntr6na!c:  ent  afitper  oilfinitionccouo 
oua?  tinea^.f.c.d.panter  accepta  rationalc.  Xuqj  fit  fupemcics.k.  mcdialis  cnt 
etia.l.fibi  communicans  medialis:igitur  ey.7 1  .b.cft  linca  rnino:.  Quantu  autem 
ad  fc6m  modfi  ait  per.9  j.linca.d.crcfiduu  quartum:idcoq5  per^s.t  linea.  e.g. 
erit  etiam  refiduum  quartum.ideoq^  etia  per.8j.l.nea.b.eft  Itnea  mmoj. 
1J£>:opoi'mo  .101. 
]flC>nis  linea  comunicans  linee  cum  ronali  componcti  me 
diale  cft  cum  rattonalt  componens  mediale: 
Gbanc  quoq^  ouplici  pjcdicto  modo  no  cft  oinicile  piobare:fiue  oc 
communicantia  in  longitudinc  fiue  oe  coicantia  iu  potcntia  tantum 
intctligatur:fcd  quantum  ad  pjimum  modfi  crunt  ouo  quadrata  ou 


arum  linearum.f.?.d.pariter  acccpta  mcdi&lc  per.2i.qncadmodu  funt  ouo  qua  / 
drata  ouay  uncaj/.e.c.c.pjrer  accepta  qc.72.quibus  ipfa  comumcant  z  fuperiici/ 
es.I.crit  rationalis:per  oiifinitioncm  qucadmodu  cft  fuperficics.k.er.72.cum  ipfa 
comunicatrigitur  ex.72.b.eft  cum  rationali  componcns  mediale:quantfi  ad  fcom 
modfi:crit.d.crefiduum  qmntum  cr.<S9.ideoq5  ?.c.g.er.9S.quare.b.cft  cu  ronali 
tomponensmediale.per.90.       "](b:opontio    .102. 

~  dfcnis  linca  comciurabtlis  Unee  cum  mcdiali  conftituen/ 
ti  mediale  eft  cum  mcdialt  conftituens  mediale. 
Cbic  quoq^  ponc  liuca  aliqua  cotcare  cum  ca  que  cfi  mcdiali  compo 
nit  mcdiale  indiffcrcntcr  in  longitudinc  vcl  potcntia  ttn  ,put  volue/ 
ris:i  ouplici  modo  pmtfio  ftnc  oifficultatc  pdudes  ca  quoqj  cfi  mc/ 
diali  pponere  mediale.erit  etia  quantu  ad  pjimfi  modfi  futficics.l.medialis  que/ 
admodfi  z.k.z  ouo  quoq^  quadrata  ouay  lincaj/.f  .i.d.piter  acccpta  mcdialc  fi  / 
tnt  1  ouo  quadrata  duay.e.c.c?  qj  ouo  quoqj  ouay  linca2:.e.?.c.ad.k.ficut  ouo 
onay.f.?.d.ad.l.cfi  ouo  prima  non  comnnicet  cu  ouplo.k.cr.7  j-ncq^  ouo  fccuda 


coicabuntcu  ouplo  .l.ccio.fgiturejc.yj.b  .cflcumedialicoponcsmcdtalc.quan 
tum  aute  ad  fcom  modu  erit.d.crefiduu  fexcu  ejc.97.  idcoq^  c.e.g.  ejcYjcquareb 
drcumedialic6ponen8medialce)c.9i.        ']jb:opofttio    .105. 

3f  oelupficte  rattonali  fuperficies  medialis  abfcindatur 
linea  i  reliqua  fuperficiem  potens  erit  alterutra  twarum 
irrationalium  aut  reltduum  aut  linea  minoz. 
GSit  cni  tota  fupcrficics  confrans  ci.a.^.b.ronslis  a  qua  oetraba 
cur.b.que  fit  mediali8:oico  <j>  linea  porcns  in.a.refiduu  aut  e  rcftdu 
um  aut  linea  mino:.£fto  nanq5  linea.c.d.rattonalis  fupcrfuic8q5.cc.  fibi  adtun 
ctafit  taqVa.c.f.g.taci^.b.i.tota.c.g.ficuttota.a.b.critqj.c.g-ronalis.idcoq^g 
ns.linea.d.g.roualis  in  longitudine  c.f.g.ent  mcdialis.idcoq^  per.20.cg.  rona/ 
tts  iu  potcntia  tmteft  igit  c%  oiffinitioe  line  a.d.erefiduu  p:imu  aut  quartu:  ergo 
per.Stf.?.So.line3  potensinfupncicm.ee  lioinfupficie.a.fibiequalemeft  refi/ 
duuautlincaminoj:q6e',ppofitum.         "Jjbzopofltio     .104. 

5  oc  faperficie  mcdiali  fuperftcies  ronalis  oetrabatur  \i 
nea  in  reliqua luperftciem  potens erit  atterutra  ouarum 
irrationalium  linearum  aut  relidunm  mediale  p:imfi  :aut 
cmn  rationali  componens  mcdiale. 
abecquoq5ficutp:emilTa^baf.£ritciutot3.3.b.m  cdialis.b.  aut 
ronalis:?  tunc  oico  qo  in.a.rcfiduum  pot:  aut  cft  rcfiduii  mcdialc  pjjmfi  aut  cum 
ronali  coponcns  medialc£tieni.c.g.equalisfit.a.b.critper.2o.liiiea.d.g.r6n3/ 
lis in  potcntia  tmt cu  fit.f.g.cqualis.b.crit per.  1tf.linc9.cg.  ronalis  in  longitu 
dine  ergo  9  oiffinitione  erit  lines.d.ercfiduu  fc6m  3ut  quintii  quarc  per.  S7.C90. 
latus  tetragonicu  fuperficici .c .e.cidco fupcrficici.a.eft  rcfiduii iucdialcpjimum 
aut  cum  rationali  componens  medialc:quod  cft  p:opofitum  noftrum. 

1(b:opolitio    .  ioc 

%  fuperftcies  medialis  fuperhctci  mediali  oetrabatur  fue 

ritqj  reliqua  toti  incomenfurabtlis  que  in  ipfam  reliqua 

potefh  alterutra  erit  oua?  irronaliu^  videlicct  aut  relidu 

nm  mediale  fcbm  aut  cum  mcdiali  componcns  mediale 

GSiaouajzp^emilTszjoeinoftrationenon  ocuias  concludcs  fine 

oirTicultate pwpofitu.Sint  eni  tota.a.b.c.b.medialcs  % fit.a.rcliqua  incomenfu 

rabilis  toti:alitcr  cni  e(Tet.a.medi3lisct.2i.cciuslat9tetr3gonicumedialeejc.i9 

tunc oico  <j> linea potens in.a.cft  rcfiduti mcdtalc fc6m  aut cu  mcdiali  coponcns 

mcdialcnam  cu  fit.c.g.equalis.s.b.erit  p.2o.lmca.d.g.r6nalis  in  potcntia  tatu 

per  cande  quoq^  cum  fit.f.g.equalis.b.erit  ctia.eg.ronalis  in  potcntia  tin  « cum 

fit.3.inc6menfur3bilis  toti.3.b.erit.f.g.inc6mcnfurabili8.c  .g.  ideoq^  per  p:ima 

fexti  t.  lo.biiiuseritctia.e.g.incomenfurabilis.d.g.  igif  a  oifflnitione  linea  .d.c 

crit refiduu  tertiii  aut fejctu:qre g.88.?.9  i.fatus  tetragonicu  fup/icict.c.e.s io  fu/ 

pficici.a.e  rcfiduu  mediale  fcom  aut  cii  mediali  compohes  medialc 

KTi&ttSfll  1[b:opofirio   .ioe. 

I  fljSS  ^nea^trroitalifjquefuntfefiduiwpoftiplamfiibfccute 

h  K?§SR  vllamaltjterminoeto:dinefubelTcimponibileeftrcli/ 

t  KfiP  Oitoquoqjbtnomijtermtnuvclozdmccouemrenoucfi: 

Bl^glfll  pollibile.    GZJult  aut  p.  banc.  iotf.g>  refiduu  %  alie  qmnq^  linee 

m 


LIBI3R 


irrdnaks  cam  fcquentes  otfTcrant  fpccic  i  oione  abinuice  i  nnlla  linca  vna  poreft 
cc  fub  ouabus  ncq^  fub  pluribus  fpccicb9  ba:e  fcjc  linear  lrrdnaiiu  que  funt  refidu 
mti?  ctus  quinqj  comitcs:'»  cp  oes  fpes  rcftdui  oirTcrunt  ab  oibus  fpcciebus  bmo 
mij  ncc  e  polTibllc  liitca  vna  fimul  cffc  rcfiduu  i  binomtii  cuiufoiqj  fpccici  rcftdui 
vel  btnomij:  pars  p:tma  fic  oflar:qtii  fupficies  equalis  quadratis  rcfidui  i  fua^ 
quiuqj  comitu  at  adiugant  ad  tinca  roalc  babet  fcoa  latcra  nccclTatio  oiucrfa  ab/ 
tnuiccm  cji.yi.i  quinqj  ea  fcquenttbus.funt  autc  fcoa  latcra  rcfiduu  p:imu  i  fe/ 
cudu  i  ocinceps  vfq>  ad  fextii .  5coa  ps  pftat  boc  modo:fi  cadc  linea  pot  ce  fimul 
rcfiduu  i  binomiu.fit.a.cut9  quadrato  adwgat  ad  ronalc  liuca.b.c.fitq3.b.d.ent 
q5  cjc.y4-Unca  c.d.binomiu  p:imu  i  er.  92.refiduu  p:imu.iuquanru  crgo  binomi 
um  p:imu  oiuidat  iu  fuas  binomialcs  pouiones  ad  punctii.e.fuq;  maio:  po:tio 
c.e.q  erat  roalis  i  logitudinc  p  oiftinitionc:  iquatu  aut  e  refiduu  pmu  adtugaf  d 
d.g.p  c9abfcifione"  fuerat  refiduu  p:imu:cntq3  ctia  cjc  oione.c.g.roalis  i  logttudic 
£ii  ttaq5  ftt  vtraq^  ouar  Imcay.c.g.t.c.c.  ronalis  i  logitudic  erit  et  p_.9.lica.c.g. 
ronaf  i  logitudic:  at  q:  linca  .d.e.e  ronahs  i  potctia  tm  cu  ipfa  ftt  p  ypotbc.mioi 
po:tio binomij  pmi:ertt pcr  .«s.linea.d.g.refiduu  zq: ipfa crat  roalis i  potcntia 
tm  cu  pereius  abfcifione  cct  linea.c.d.refiduu  fequtf  impoiTibtleg.<ss.i26  ut  ela/ 
rius  pateat:efto  fupficics.b.d.adiuncta  ad  linca  rattonalc.b.c.  equalis  qdtaro  li/ 
nce.d.g.cn  itaq;  linca.  d.g.fit  rarionalis  m  potcntia  etit  per.  icUinca.c.d.  rona/ 
lis  in  lougitudincat  cu  etia  lmca.d.g.  fu  rcftduu  erit  ex.92.linea.c.d.refiduu  pmu 
quod  ciTe  no  poteft  cum  linca  que  oicitur  rcftduum  fit  irronalis  per.e  s. 
Ijbiopofttio  .107. 
1 ^fnea  que  rdiduu  oicif  vilave  trrationaltu  quc,  polt  eam 
lunt  nequit  efle  lbb  termino  biuomtj  aut  liib  tenntno  i  ot 
dine  vllius  cereray  lineay  irronalium  que  binomui  fubfe 
qnutur  :cum  aut  pofllbile  (it  lincay  irrdiialtu  lerie  in  m/ 
fmitum  pioduci  non  eit  poflibilc  vll*  carum  cum  ca  que 
p:ecellerit  in  termino  i  o:dine  conuenire. 

GUuIt  pcr  banc  vltima  libri.  io.cp.1  j.irronales  lincc  oe  qmb9  in  boc  cccimo  oe/ 
inonftratu  e  i  ipfe  funt  Jinca  mediaiis  btnomiu  i  ci"quinq5  comitcs  rcfiduu,  i  ei* 
quinq^  comites  fiut  abinuicc  finguic  a  fmgulis  fpecie  oiftcrentcs-.t  q>  nulla  linea 
vna  pot  ee  fimul  fub  onab9  aut  pluribus  fpccicbus  cay.i  cp  fpcs  linca?  irronaiia 
pfit  i  inftnitu  .pduci  qr  nulla  cu  alia  pucmt  t  otone  i  oidinc.Qo  aut  bcc.  i  j.Uttcc 
videl^  mcdialis binonnu  i ei9. j.  comitcs rcfiduu  i ci".j.comitcs  fint  irroales  oc/ 
monftratu  effe  fuperius  memcnto:  oc  mcdiali  quide  c%.  19.  oc  binomio  aut  1  cius 
quinq3 comitib9 cx.jo.i quinq5  ea  fequctibus:at  vero oe rcfiduo fuifcpj  qutnq3  co 
mitibus  ejt.eS.i quinqj  ea fequctibus.Tlulla aut bar.  ij.liucar trronalium polTc 
puentre  in  fpccie  cu  aliqua  aliar  luicar  fic  ccligc.f  fto  cni  vt  ad  vna  cadeq^  linea 
ronale  tn  longitndine  adiungant  fupcrncics  equales  quadratis  piedictac.  1  j.  linc 
ant  irronalin^  ^m q> otdinc fc muice fequunt :aitq5 ct  .zo.kcudu  latus pume ifta 
rum.  1  j.fupcrficicrum  1  quinq^  cam fequcntiu  rarionate in  potentia  tm.fcta  aut 
latcra  fcoe  ifta?.  1  j  .fupcrficiey  1  quinq^  eam  fcqucnttfl  erut  omnes  fpes  bmomio 
ru5  g  oxline  viddicet  binomiu  p:imu  fcom  1  ocinceps  vfq5  ad  fertu  cc  \<n.i  qnir» 
q5  ca  feqnetibns  oemonftratn  cffe  memincris.fcoa  vero  latera  octauc  fiipcrficici  t 
quinqjeafcqucttufuntfpcsrcfiduor  in  o:dine  vidchcct  reftduu  p:imu  «rcftdu» 


X 


fceundti  i  oeiiiccps  Vfqj  ad  fejctu  q6  cx.  91.1  quinq^  ea  fequctibus  oidicifti.  £um 

igtt  ipa  linca  ronalis  i  potctia  tfnno  coucniat  cu  aliq  fpccic  bmomtojz  aut  ctj  ali  / 

qua  rcfiduoz?quonia omnc binomiu  £.30.?  oc  refiduu  g.eS  c linea  irroaiis  1  i  16 

gitudine  1  i  potcnfia.fr  cfi  nuila  fpcs  rcfiduoz;  coueniat  cil  altqua  fpc"  binomiorii 

ex  feciida  gtc  pcnut'.b"oeeimi:fcquit  ut  oia  fcoa  latera  bay.  1  3,fupcrticie2>  fint  ab  / 

inuiccm oiuerfa:  idcoq^  p. p:ima  fcxti  cipfc.15.  fuperficies  funt  oiuerfe cu caxj  om 

nium  altitudo  fit vna quarc eria  bec.  1  j .liucc  irronales ,ppofuc funt fngule a fm ' 

gulis  oiuerfe.Gpoffunt  aut  bap.  1  j.lmea?  irronaliu  fpccies  in  inftnitu  .pduci.in 

finite  eni  fut fpcs linca?  medialium.infinitc quoqj  binomio:;  1  fic  oc fmgulis Qo 

bocmodo  pftaticlfoltnca.a.mcdialis.fumaturq^viiitassqtiotlibetnumcri  pmi 

vt-3.5 1.7.1  fiut  totidcm lincc.b.c.d.quot  funt fupri numcn pnmi.fmtqj  qdrata 

Cftai? lineazj.b.c.d.ad  quadratu.a.ficut bi  numcri  p:itni  ad  vnitare:cruntcrj lince 

b.c.d.mediales  ex.21.qtii  ipfe  coicant  in  porctia  cii  lmca.a.mcdiali.  oes  aute  erut 

oiucrfe  in  longitudinc  ab.a.i  a  feinuice  g  vlttma  p.te.7.qm  nullius  iftojum  nume 

roy  ad  vnitarc  nec  altcuius  coy  ad  altez?  per.  \6.i. $ .1  co::elanu  fcoe  octaui  1  p:e 

fcntis  ypotbefts  e  ,ppo:tio  ficut  numcri  quadrati  ad  numerii  quadratu:erit  ergo 

a.i  omnes  fibi  coicantcs  in  longitudtnc  fub  pma  fpecie  lineaij  medialui.b.vero  1 

oes  fibi  coicantcs  in  longitudine  fub  fcoa.c.aut  1  oes  eide  coicantcs  vel  comenfu/ 

rabilesfub  tcrtia.d.quoqj  1  ocs  ftbi  coicanrcs  in  longitudiuc  fub  quarra:?  q:  nu/ 

mcri  p:imi  fnnt  infiniti  vt  cx.21.noni  otdiciftimeceffe  e  fpes  lincaz?  medialiii  e'e  in 

ftnitas.Qo  aut  c  Oictfi  oe  linea  mcdiali  itdlige  oe  binomio  fuifq5-  f.comirib";?  re 

fiduo  fuifcp.j.comitib^naficutois  lineacoicansmcdialie  medialisfiuccoicec 

ei  in  longitudtne  fiuc  in  potcntia  ut  p:obatu  cft  in.21.ita  etiam  omnis  linca  com/ 

municans  binomio  aut  alicui  fuazz  quinqj  comitu  vcl  etia  refiduo  aut  alicui  fuazz 

quincp  comitu  in  longitudine  vel  in  potenria  cft  fecti  fub  eade  fpecie  vt  pwbatum 

cft in.60.1  quatuo: cam fequentibus  C9S.? quatuo: cam  fcquentibus.  5unt igit 

fpecies  bay.  1 5  .lineazz  irronaliu  infinitc  quaz:  nulla  coucnict  cu  pccdcnti  in  o:di/ 

ne  vel  oionclonuenitquoq^  ofic  aliter  fpecics  lincarum  irronaliu  effc  infinitaa 

namomnclatustctragonicufupcrficicioictcauumerond  quadrato  cft  irronale 

g  vltitna  pte.7.c  g  oiftinirione.cum  iracij  tales  uumeri  fint  infiniti:erunt  ctia  fpe/ 

cies  baflincayirronaliiiinfinitcXcrtiomodocontingitfcdamptcmbuiusvlti/ 

nie  conclufionis  libri  oecimi  fic  exponi: vt  oicamus  ab  vnaquaq^  linea  ronali  i  po 

tentia  rantii  infinitas  lineaz?  irronaliu  fpes  p:oduci  quaz>  nulla  cum  aliqua  caru^ 

que  ipfa  p:ccefferint:poffibilc  cft  in  oiffmiriofte  1  o:dtnc  conueiiire.23erbi  graria 

Sumatur  aliqua  fupncics  ronalis  oicta  a  numcro  no  quadrato  ut  quicp:eritq5  la 

tus  cius  retragonicu  irronale  in  longitudinc:qm  ipfu  e  iucomcnfurabilc  latcris  te 

tragonico  fupcrficici  ronalis  oicte  a  numcro  quadrato  ex  vltima  ptc.7.  oico  crgo 

cpbui9laterislatu8.itemcj3fc6ilaterislatusc  rurfus  buius  terttj  latcris  latusc 

fic  in  infimtihfunt  linee  irrationalcs  tamin  longitudine  q'5  in  potcntia:^  qp  nulla 

carum  conuenit  oiffinitionc  vel  fpccic  cum  aliqua  quc  ea  p:ccefl"crit  in  o:dinccftq5 

latus  tetragonicum  p:emiffe  fuperficiei  quecunq,  oicta  fucrit  a  numcro  non  qua/ 

drato  carum  omnium  ficut  radix  1  p:incipium  1  quelibet  ipfa?  cft  p:incipiu  oim 

ipfam  fequentiu^:  1  quecunq^  ab  aliquo  tetragonico  latcre  cuiufq^  talis  fupcrficici 

p:oficifamtur  oiucrfc  funt  in  longitudinc  1  potcntia  ab  omnibus  quc  a  quoquam 

alio  tetragonico  latere  talis  fupernciei  gcncrantur «  boc  oico  cum  ipfa?  fupficicj? 

m  2 


?f- 


5  «- 


7  t- 


LIBER 


iS 

c 

9 
f 

i 


1196 


.5« 


non  fuerit  #po:tio  ficut  immcroy  quadratoy.bee  aut  vt  poflumus  firma  ocmon 
ftratione  colligcre  antecedens  ad  ipfa  piemittcre  oponct.fitq^  iftud. 
G£httbullibet  ouobus  iituicetn  ouctis  fi  quid  licet  pzoducatiir  qtiora 
latcra  tetra§oiucaouo:ump:eccdmtiuminuiceinouce6tomm  tctra 
gonicum  lauts  ipfius  p:oductt  p:oduces. 

Glterbi  graria  fit  vt  ejc.a.in.b.fit.k.ad.c.t.d.fint  latcra  tctragonica.  z.i.  b.fiat 
I       aute-e.cx.c.in.d.fintq5  itey.f.c.g.lateratctragonica.c.f.d.ifist.b.cx.f  in.g.oi 
b  co  cp.b.clt  latus  tctragonicu.e.t  cp.e.rarfu6  eft  latns  tctragonicu.k.cum  eni  cjc.f. 

~^     ■     in  fe  i in.g.fiant.c.i.b.erit.cad.b.ficut.f.ad.g.fed i fit.b.ad.d.  ficut  f.  ad.g.co 
o  c$  ejcg.in.f.?  in  fe  fiunt.b.c.d.  fint  igir  .c.b.d.continuc  ,ppo:tionales  itaq^  ecb. 

"^    '       in  fe  quanta  c;c.c.iij.d.ciuarc.b.eft  lams  tetragonicu.c.  eade  qnoqj  rone  cu  c%.c.  i 
'     g      '    ■  s  fcfit.a.in.d.fit.e.ccx.d.inlcfit.b.erunt  ctiam.a.c.b.c6tinne<ppoHionalcsi(p/ 

\  /i  porti6e.c.ad.d.cuigite)C.3.in.b.fic.k.fcquitetia«ex.e.tfefit.lv.qre.e.eftiatus 

\  i/  tctragonicu.k.conft3t  itaq^  qo'  oicit.rcftst  itaq?  oemonftrarc  q6  p:opofitum  eft. 

i  Sit igif  fuphcie3.3.r6nalis oicta  a  nuinero  no  quadrato.ut.y.fitqj liiiea.a.ei" tc/ 

tragonicu  latus  i  fumanf  qnotlibj  linee  ronales  i  logitudie  q  fint.b.c.d.c.Sint cg 
oictc  a  numeris  quo^  quifqj  p:cccdcs  fit  tetragonicu  latus  p:oximo  fcquentis:  vt 
fi.b.fit  c.c.4.d.  16.  c.  vcro.2  j<f  .ad  bas  aut  liueas  ronales  in  longitudinc  adiunga 
tur  fngficics  cqualis.a.crunrq^  fcoa  latcra  fingula^  ronalia  in  lougitudiue  per.  \a 
vtfc6mIatus.b.2.toimidin:fccundu.c.vnu5?quarta:fccundtt  vcro.d.vnaquar 
ta  i  vna. i<s. at  vero  fupcrficiei.e.fccundu latuscrit  vna.e4.fcVn3.2jcs.fit ergo.f. 
tetragonicu  latus.b:  g.vero  fit  tetragonicu  latus  fcoi  lateris  fupcrficiei.b.  entq^  g 
picmiffam ans ut  cx.f.in.g.fit.a.rarfus fit.b.tctragonicum latus  fccundi  latens 
e  .k.quoq5  fit  tetragonicu  latus.b.eritq^  pcr  p:edictu  ans  vt  ex.b.in.b.fit.a.c  ex.f 
in.k.fit  tetragonicfj  latus.a.qo  fit.l.fit  ite^.m.tctragonicii  latus  fccfidi  lateris  fu/ 
perficici.d.fed  cfi.n.fit  tctragonicu  latus.m.^.p.tetragonicum.n.entq^  pcr  p:cdi 
ttu  antccedcns vtex.c.in.m.fiat.a.tejc.b.in.n.I.j.ex.f.in.  p.  tetragonicu^larus 
l.qo'  fit.q.amplius  aut  fit.r.tetragonicu  latus  lateris  fecundi  fupcrficici.c.  fit  quo 
q5.f.tetragonicfi.r.«.f.7.t.f.  fit  et.u.tetragonicu.t.fcqnit  que  per  oictu  antcccdcs 
vt  cx.d.in.r.fiat.a.iex.c.in.f.I.  ■zqc.b.in.t.fit.q.tetiam  ejc.f.in.u.  tctragonicfi 
latus.q.qo  fit.jc.  i  fic  in  infinitu:oico  ergobas  lineas.a.l.q.jc.qua^.a.cft  tanqua 
radicale  p:incipium  effc  irrarionales.a.qnidcm  in  longitudineitantum  rcctcre  ve/ 
ro  in  lougitudine  «in  potentia  %  oico  <j>  nulla  carum  conuenit  cu  alta  in  oiffiniti/ 
one  vcl  o:dine  .£u5  eni  cx.f.in.g.?.k.ftant.a.«.l.erit.a.ad.l.ficut.g.ad.k.i  q:  vt 
P5  cx  oictis  yporbel'ib9.g.?.k.fut  incomcnfurabilcs  in  longitudinc  i  in  potentia. 
fequitur etia  vt .a.t.l.fmt incomenfurabilcs in  longitudinc i  in  potetta:cadcm  ra 
tionc.a.i.q.eftenim.3.3d.q.ficut.g.ad.p.ip:optCTcandecaufametia.a.'Z.x.cfi 
fint  ficut.g.i.u.T  bsc  via  quoq^  nccelTe  eft  vt.U.q.fint  fimplicitcr  incomeufurabi 
les ta  i  logitudinequa  in  potetia.cum  eni  gc.f.in.k.c.p.fiant.I.c.q.  eriul.  ad.q. 
vt.k.ad.p:at.k.3d.p.ncccommenfurabilesfintinlongitudine  nec  in  potentia. 
6i enim  fint crunt.b.s.n.comnienfurabiles.fcd non  fur:at  vero.U.):.opo:tet ee 
vtroq^  mocio  incommcnfurabilcs:eft  enim.l.ad.x.ficut.k.sd.u.co  g>  qc.f.iu.  k.z 
u.fiunt.l.c.x.funt  sutem.k.s.u.vtroq^  modo  incommenfurabiles.Sinaute  acci/ 
-  dct.d.s.b.effc  commcnfnrabilcs  quod  eft  inconucniens:  q.vero  z.x.q?  fint  quoq^ 
incoramenfurabiies  potcntia  i  longitudiuc  cx.eo  patet  cp  e.q.ad.)c.ficnt.p.  ad.u. 


XI 

c bnftat  autc  cy.p.c.u.funt  incomcnfurabilcs.nam  fi  no  cruiu.n.'?.  c.  comcnfura 
bilcs.idcoqs.m.c.s.fcd  non  funt.GDOanifcftum  cft  itaq^  infinitas  lincas  irrati 
tionalcs  in  iongitndine  c  in  potcntia  incommenfurabilcs  i  idco  oiffinitioe  i  fpe 
cic  otffercrcs  p:oduci  et  linca.a.ronali  in  potcntia  tantii.Kcftat  aut  nunc  oftende 
re  cp  quccuq^  irronales  linee  ab  aliqua  linca  ronali  in  potcntia  tantu  bac  via  ge/ 
ncrantunoiuerfc  funt  ab  omnibus  tam  in  longirudiuc  %  in  potcntia  quc  a  quali 
libct  alia  linca  ronali  in  potcntia  tm  quadratu  cuius  ad  quadratu,  piioiis  no  fit 
ficut  numcri  quadrati  ad  numcru  quadratum  bac  cadcm  via  cgrcdiunf:boc  quo/ 
cj5  fic  conftat.Situ.a.^.b.ronales  iu  potcntia  tm  fiue  tctragonica  latera  ouaru^ 
fupcrficicrum  oictarum  a  numeris  non  quadratis.fitqj  ut  illi  numcri  no  fint  i  ,p/ 
po:tionc  aliquomm  numcromm  quadratomj:  linec  quoq^  que  p:occdutu  bac  via 
ab.a.fmt.c.d.c.c  a.b.p:occdant.f.g.b.oico  q>  nulla  e;c  lincis.c.d.c.commnuicat 
iu longitudiue  vclpotcntiacum  aliqua  exlmeis.f.g.b.cumcnimfint.c.c.f.tctra 
gonicalatcra.a.^.b.at.d.cg.tetragonicalatera.  cz.f.c.e.  ?.b.  tctragonica.d  ? 
g.no  cft  poflibile vt altqua  cx.c.d.c.coicct  cumfua copari ej.f.g.b.vl'  longitudt/ 
nc Vcl  poretia.Si cnim altcrutro  modo comuuicet.c.cum.b.fequitur  ut.d.comu/ 
nicet  cum.g.i.c.cnm.f.quare  f  .a.cum.b.ctiam  in tongitudiue quod  cft  cotra fpo 
tbefim.23niucrfa!itcr  autcm  vcrum eft  oiccrc quclibct  baru  effe  vtroqj  modo  in/ 
commenfurabtlem  cutlibet  iftaru.  Dzto  nanq^  cp.d.communicet  cum.  b.  etiam  i 
porcntta  tantum.fcquitur  ut.c.quoq^  coicet  cum.g.f.a.cum.f.quod  no  e  polTibi/ 
lc.Strcndcre  autcm  opojtct  q>  cum oico  latus  latcris  nibtl aliud iutclligo  qj  latus 
fupcrficiei  ocnominate  aIaterep:io:i.Vnderctragonicumlatus  lincc.a.  vocoli/ 
iicam  iilam qnc potcft  in  fuperficicm  oictam  a  linea.a.talis autcm  fuperficies  cft 
qua  continct linca.a .? Siuca  ronalis in  longitudinc oicta ab  vno.Si crgo libct iue 
nire  tctragonicum  latus  cuiufiibct  lince.fit  Itnea.a.cuius  tctragontcit  lat9  volo  in  / 
uenirc.b.vcro  fit  lincaronalisinlongitudinc  oictaabvnitatccipfacft  minima 
omnrom  linearnm  ronalium  numcratarum  ab  iutcgris  mcdio  bco  pwpoaiona/ 
lis  intcrcas.fit.c.cft  igitur  g.  is.fcrti.c.rctragonicum  latus.a.idcm  cnim  fit  ey.a. 
in.b.c  cjc.cin  fc.at  vero  cx.a.in.b.fit  fugficies  oicta  ab.a.Quicquid  cnim  a  quo 
tibet  in  vnum  oucto  p:oducitur  ab  eo  ap  viuim  multiplicat  ocnominatur  .£t  no/ 
ta  cp  cum.c.fucrit  latus  reteragonicnm  Itnce^a.indiffcrcnter  contingit  lincam.c. 
elTc iuaio:cm Imca.a. i  mino:em  pjout.b.ctiam fucrit  maio:  ant mino:.  JExpli/ 
cit  Itbcr  r>:ciinns  -.inapit  libcr  I5ndectmu3. 

£>jpus  eft  qt3  longtwdtrtem  i  latimdtnem  i 
altitudine  bobct  cui^terminiumt  fugftcics 
2.inea  erecta  mp:a  Jugftcie  e  que  cu  Iin3tilis 
ftbi  pterminaltbus  lincie  in  ea  litp/tcic  cjrpa 
fts  angulos  rectos  facit.linea  aut  bcc  fup:a 
ca  fuperfkieperpendtcularis  cfleiadcadc 
ojtbogonaliter  mliflerc  oicitur. 
C^ntclligat  cni  linca.a.b.eturgere  fup:a  planu:  ita 
cp  puctus.a.imaginctiaere  s.b.inplanotapikto 
b.oucanf  plurcs  liuce  in  codcm  plano  ut.b.c.  b.d.? 
quothb^  altc.Siigitita  fucrit  q>  linca  .a.b.cii  linca 


1.  X 
164 


*  T 


■I-w 


IJS       64 


b.c.i  cti  linca.b.d.? cu  qualibet  alia  Imca  prracta  a puncto.b.i  plano  illo  angulu 

m    3 


LIBER 

rlcta  cotineat  ipfa  oicctur  cffc  perpendicularis  ad  illa  fnpcrficie  in  qua  .ptracte  fut 
bedinec  vidclicet.b.cs.b.d.?  alie  cu  quibus  ipfa  ponif  contiucre  angiilii  rcctU). 
G£5uperficies  ante  erecta  fup  fugficie  eft  quoties  puncto  vno  codem 
Imec  que  eft  comunts  terminus  illay  lupficiey  oue  pcrpendicularcs 
cotermmales  fupftantquerecrocotinentesangnlu  tnetfde  fup,ficie/ 
t>U8  fite  funt.GZierbi  gra  imaginemur  fupficie.a.b.cd.ejcurgerc  fupfiae  vero.c 
ct.cf .  iacerc:  i  intelligamus  lineam  .c.  d.effccommuncm  tcrminum  ambarum 
in  ca  itacp  fignef  punctus.g.a  quo  ad  linea.cd  .eytrabanf  ouc  lincc  pcrpcndicu/ 
larcs  vna  vid;  i  fuperficie.cd.c.f  .que  fir.g.k:?  alia  i  fup/icie.a.b.cd.quc  fit.g.b 
fi  igitur  angulus  que  continent  bcc  oue  tinee  perpendicularcs  Vidclicet.g.b.c.g.k. 
erit  rcctus  fupficies.a.b.cd.oicitur  ortbogonalitcr  crccra  fupcr  fuEficie.cd.c.fv 
Ggmperficies  equidtftates  funt  que  m  vtralib?  partem  p:otracte  no 
concurrentetfimmfinitum  p:oducantur.  C3mciiectum  eft  quodoicif . 
Scire  catne  oebes  <$  omncs  planc  fupficics  aut  funt  cquidiftantcs  ab  inuiccm  aut 
in  omne  partc  .ptracte  cocurrent  alicubi  i  fupcr  rccta  linca  fe  fecabunt  lincas  aute 
rectas  no  e  neceffariu  vtce  equidiftantcs  vel  in  vtraq?  gtcj  pwtractas  concurrcrc 
■Quippequeineade  fupficicndfuntnccequidifrantabinuiccncc  tii  quantuUbet 
pwtracte  cocurrcnr.     G<£qua  co:po:a  funt  atqs  limilia  quoy  termtna 
les  fnperficies  numcro  ac  quantitate  cquales  vnius  creationis  lint  at 
ojfimiles  ftmiuaco:po:afuntque  limiltbus  fuperficiebus  numero 
equaltbus  continentur.    CSi  bas  ouas  oiffinitioiics  oc  cojponbue  cqua / 
libus  z  fimilib9  no  intdligis  ad  oiffinitione  ftmilium  fupcrficiqz  pofita  in  p:inci/ 
pio  fejcti  recuire.GCo:pus  leratite  Oicitur  q6  quiq^fuperficiebus  qua/ 
rum  tres  paralellograme  funt  Oue  vero  trtaugule  continentnr. 
G£>omniquatuo:parictcsequidiftantesbabcnti  tectu  vnico  faftigio  fup:cmis 
ouarum  parictumlatcribus  cqualisequidiftanti  fuppofitum  fciatilis  co:poris 
e]cp:ciTamfimilitudinemgcrit.GSperaefttranfttusarcuscircuferentie 
Oimidij  ctrculi  quotiens  luinpto  vel  fupp:emo  femicirculo  lineaqj  t>t 
ametri  fir^oonecad  locum  iuum  redeat  arcus  ipfe  ctrcumducitur . 
GSuper  qualibct  linca  fcmicirculo  oefcripto  fi  Imca  illa  f  lja  fcmicirculus  tota  rc 
uolutionc  circuducatur  co:pus  quod  oefcribitur  fpcra  nominaf  cuius  centrii  con  / 
ftat  cffc  ccntrum  fcmicirculi  circuducti.  G^iramts  laterata  elt  figura  co:/ 
po:ea  qua  cotinent  fuperficies  ab  vna  qua?  relique  funt  ad  vnu  op/ 
pofttum  punctn  furlum  erecte.  G3n  omm  latcrata  piramidc  cunctc  fu£hci  / 
es  ipfam  ambicntes  ab  ipfius  bafi  ad  vnum  punctu  fublcnatur  qui  conus  pirami/ 
dis  oicitur  funtqj  omnes  bec  lateralcs  fupficics  triangu!c:bafis  vero  frcqucrer  116 
eft  triangula.   Cljbiramis rotunda  eft  figura  folida:cltq5 tranlicus tri 
anguli  rectanguh  alterutro  fuo:um  laterum  rectum  angulum  contmc 
tiumfrtosOonecvfqjad  locumvndemoueri  cepit  redeattriangulo 
ipfo  ctrcuducto.Si  autem  latus  fir.um  lateri  circuducto  fuerit  equale 
erit  figura  rectangnla.SM  Vero  longius  acutiangula.Si  vcro  b:au* 
obtultangula  erit.  3t.risautipfi9  figureelarus  frtu.  30afi|q5  ftta  cir/ 
culus  IKncitur  autcm  figura  bec  piramis  columne  rotunde. 
GSit  trigonus.a  .b.crcctu  angulu  babcns  qui  fit.b.figaturq^  altcr  ouoy  btcru 
ambictiu  rcctu  angulii  .b.fitqj  latus  -.6  ftgif  .a.b.quo  fijco  circuducaf  trigon9quo/ 


XI 


ufqj  ad  loftl  vndcinoueri  cegit  rcdcat:co:po:ea  ergo  figura  que  buius  trigoni  mo 
tu  oefcribirur  rotunda  piramis  appcllat-.cui9  tres  fu t  of  ic.  aiia  eni  eft  recrangula 
alia  acutiangula.Iertia  obrufiangula  £t  p:ima  quide  e  qn  latus.a.b.lateri.b.c.fu 
erit  equalc.£fto  eni  ut  linea.b.c.cu  rotatu  trigoni  gucncrit  ad  fitii  lince.b.d.ita  q> 
punct9.c.cadat  fug  puctu.d.fiatq^  linea  vna.boc  c  vt  ipfa  tunc  piungaf  fuui  a  quo 
moueri  ccpit fcbm  rectitudinccritqj linea  bic  qfi.b.c.d.i  q: cx.52.pmt ■c.y.einfde 
angulus  .c.a.b.e  mcdietas  rccti  erit  angulus.c.a.d.rectus.idcoq^  piramis  bec  oi/ 
citur  rectangula.Si aute latus.a.b.fit longius laterc.b.c.crit acuttanguli:crit ent 
tunc ef. 5z.p:imi  1.  i?.eiufde  angulus.c.a.b.mino:  mcdietatc recti.  idcoqj  totus 
angulus.c.a.d.e  mio:  recto  «  acutuslquare  piramis  acutiangula.-Qb  fi  latus.a.b 
fuerit  b:euiuslatcrc.b.c.eritangulus.c.a.d.maio:  mcdictati  recttex.32.p:imiet 
ij.eiufde?  totus.c.a.d.quieouplusadipfu.c.a.b.maioucctot  obtufus.  igitur 
1  piramis  couenientcr  tuc  oicif  obtufiangula.axis  aute  buius  piramidis  oicif  li/ 
nea.a.b.  bafis  vcro eius circulus  que ocfcnbit  linea.c.b.fupcr ccntzz.b.oicif  quo/ 
q5  bcc  ptramis  columnc  rotunde  illi9  vtdelicet  qua  motu  fuo  ocfciberet  galdlogra/ 
mum^ucnicnseca.b.f.b.c.latcrc.a.b.mauenrcfijto. 
G^tgura  co:po:ea  rotunda  cuius  bafes  funt  circnli  Ouo  plani  ejctre  > 
mitartbus  1  cralTttudine  tdeft  altitudine  equales  ert  traniitus  paralel/ 
logrami  rectanguli  latere  rectii  angufum  coutinente  fijeo  iplaq^  iug/ 
fictes  oonec  ad  locu  fuu  redeat  circunducta  oiciturq^  bec  ftgura  co/ 
lumna  rotudaXolumueitaqjrotundeatqjlperecirculiqj  vnu  atq? 
ide elt  centrn.  GSit galdlogramu  rectangulii.a.b.c.d.figurafq} larus.a.b.c 
eo  fixo  totu  palcllogramu  quoufq^  ad  locu  fuu  cadat  vcl  rcdcat  circuducaf :  co:po/ 
reacrgofigurabuius  galellogrami  motu  ocfcriptarotundacolumnanominarur 
cuius  bafes  funt  ouo  circuli  ccntrum  eft  puncrus.b.aLcr  vero  cft  quem  motu  fuo 
eefignatlinea.d.a.ceiuscentrum  eftpunctus.a.arisautcm.buiuscolumne 
oicitur  linca.a.b.que  manct  fija  in  motu  palcllogrami.Ob  fi  imaginati  fucrimus 
paralellogram  m.a.b  .c.d.cum  peruenerit  rotatu fuo  ad fttum.a.b.c  .f.comun/ 
gtfttuiaquomoueri  cepit  fecundum  continuitatcm  fupcrftciei  plane:  vt  fctltcet 
totu  fit  vnu  galellogramu.d.c.e.f.t  p:otraximus  in  eo  oiametru.  d.e.  crit  quoq, 
oiameter  .d.  e.oiameter  colune.  £16  aute  oicif  columue  *  fpcre  1  circuli  idcm  cfl  c 
centru:intelligi  05  cu  boy  vna  e  eadeq5  oiamctcr.2JScrbi  gra  oijcimus  eni  cj>.  d.e.e 
oiameter  iftius  colune  Spera  igif  atq^  circulu  quo^  oiamcter  cft  linea.d.e.  necef / 
fe  eft  ide  cent^  babere  cn  ccntro  ^ppofttc  colune.Sit  eni  vt  linea.  d.e.fccet  lincaiu 
a.b.in  puncto.g.eritq^  .g.centz»  columne  :oiuidit  cni  ajccm  coliine  g  equalia  %  oia 
merzj  coluncf>cquauaqbp5p..2y.p:iminamangul;  qui  funt.a.d.g.  funtcquales 
ejc.i  f.primi  1  anguli  qui  funt  ad.a.t.b.recti  c%  ypotbefi:linea  quoqj.a.d.c  equa/ 
lis  linee.b.e.itaqj.d.g.cft  equalis.e.g.c.a.g.equalis.g.b.cunq)  anguli.c.i.  f.fiut 
rccti fi fuper  punctu.g.fcbm fpaciu.d.g.ac fuper linea.d.e.circulus  oefcribaf  tra/ 
ftbit  cy  couerfa  p:ime  gtis.jo.tertif  per  puncta.c.c.f.ttaq^  punctum.g.  eft  centru 
circuli  cuius  oiameter  eft  oiameter  columne.ideoq^  1  fpere:quare  manifcftum  cft 
omni  paralellogramo  rectangulo  circulum  omniq^  columne  rotundc  fpcram  elTe 
tircufcriptibiles.Sicq5  patet  ap  voluit  iftud  tbeo:euma. 
C&nguluscojpozeusfiuefoliduseft  quem  continent  anguli  plaui 
plures  q5  t>uo  qui  m  vna  fuperficie  firi  ad  vnum  punctum  angularem 

m  4 


s 

LIBER 


COHUeuiunt.GDuo  anguli  plani  angulum  folidum  pcrficcrc  ucquconr  ficut  ncc 
oue  recteliucencqueuntfuperficiem  clauderc.Sngulosquoqjplanos  folidiian/ 
gulum  coutincntcs  in  cade  iupaftcic  no  conuenit  cfle  fitos  fed  m  oiuerfis  quead/ 
modu  ouasrcctaslmeasplanupcrlkicntcsangulumnon  conucnit  fibiinmcem 
fecudii  fitii  rectitudinis  applicari.G  Similes  funt  figure  cojpojce  rotude 
iiuc  iitcolune  fiuecarupiramidesquayatxsoiamctrisluarobafiu 
funt pJopoJtioitales.Gpwpofitis  enim  ouabus piramidibus  rotundis aut 
ouabuscolumnis  rotundisfifucritp:opo:tioaxisvniusc3f  ad  oianutrum  fue 
bafis  ficut  aps  alterius  ad  oiametrum  fuc  bafis  ille  ouc  columnc  aut  piramidcs 
fimilcsadinuiccmelTcoicuntnr.  Ijbiopofttio     .1. 

3f  nee  recte  partem  efle  iit  plano  1  pattem  m  fublim  i  e  int 
pofftbile. 

G5it.liuca.a.b..rccta.Ciicocpnonclt  poffibilcut  pars  ciusfitin 
plano  i  pars  furfum  dcuata  .fi  cni  eft  poffibilc  fit  pars  ei"quc  cft.a 
c.fita.in  plano  z  pars  cius  qucc.c.b.  in  fublimi  pofita  1  pjotrabaf 
oirccte.a.c.in  plano  iu  quo  ipfa  fita  cft  vfq^  ad.d.crirq,  vc  vni  cidcmq,  lincc  quc 
eft  linca.a.c.ouc  linee  penit"'  oiucrfe  que  fiit  lincc.c.b.i.c.d.ex  cadc  partc  oirccte 
adijctanf q«5cfl  ipofltbilcrejc.  1  j.pjimi.  IJbJOpoiitlo    .2. 

jnlXHSneslinceOucquaruiiialteraalteram  iccat  invnaftip 
f ficie  fite  limt  onmclqi  triangulus  in  vna  iupftcic  totus  cort 
ififtit. 
vg.GSintouc  [iiiccrccte.a.b.c.c.d.fcinuicctnfecantesmpuncto.c.ei 


1]  co  cas  cfie  in  iupcrficic  vna  1  omne  trianguln  oico  clTc  iu  fupcrfuie 


irnatotn.figneturenipunctus.f.inlinca.c.d.^punciu.g.inlinca.a.b.ttucat  Ii/ 
nea„f.g..Quia  igitur  impoflibilc  eft  ptes  trianguli.e.f.g.elTc  iu  plano  1  gtcm  i  fub 
limi  quin  cttam  fuarum  rerminaliu  Imea?  vnius  ant  plurium  pars  finnlitcr  fit  m 
plano.c  pars  fimilitcr  in  fubl.mi  cum  oe  lincis  boc  fit  impolTibilc  pcr  p:cmiffam 
erir quoqj  impoffibile oc triangulo.itaqj  totus triangulus.e.f.g.  eft  in  fuperficie 
vna  .£%  bac  igitnr  feciida  partc  1  p:emilta  coftat  prima  ps  buius  fccunde  p:opo / 
fitionis.  Ilbjopofttio   .3. 

IflDnium  ouarum  fuperftcicy  feinuicefecantiu  comunis 

Ifectioeftlincarecta. 

lc.Dc  planis  fuperficiebus  inrdlige  1  verum  erit  q6  oicitur.  5int  ita 
q$  oue  fupcrficics  plane.a.b.i.c.d.fc  inuicem  fccantcs  oico  cp  caru, 

comunis  iectio  crit  hnea  recta.£fto  cni  ouo  piicta.c.l.f.tcrmini  co/ 


munis  fectionis  eay  quc  cotinuenf  pcr  linea  recta  quc  fit.e.f.fi  igitur  linca.e.f.cft 
in  vtraq^  ouay  fu£ficic£.a.b.?.c.d.?ftat  ,ppofitii:at  vcro  fi  m  ncutra  aut  fi  no  in 
alterarcu  ambopuncta.e.i.f.fint  m  vtraq^  fupficiey.a.b.-z.c.d  .111  ea  fupcrficie  irt 
qua  ipfa  no  fuerit  p:otrabaf  linea  recta  qne  fit.c.b.f.crut  igif  ouc  rectc  Imec.ef.s. 
e.b.f.biites  ouos  terminos  coes  qb  e  ipoffibile.fic  cni  oue  recte  linee  iucludcret  fu 
pficie  qo  e  p  petitioue  vltima  pmi  lib:i.  IjbJOpofttio  .4- 
§f  fueritlineaoJtbogonaliterab  inlciftoneouarumunea 
rum  erectainterfecantium  fe:  tpfa  adearundem  fuperficte 
perpendiculartserit. 
[|GSit  linea.a.b.  otfbogonalitcr  crecta  fup«r  infafione  ouay  Imcarii 


XI 

c.d.c.c.f.fecatiu  fe  in  punrto.b.cc  quibus  pftatg  antcpicmiffa  q>  ipfc  funt  (Itc  iu 
vna  fupcrficic  cico  q>  unca.a.b.gpcudicularis  c  ad  ipfa^  fupficic.  Sint  cni.c.b  .z 
b.d.cqnalcsatvcro.f.b.c.b.e.cqualcsc.ptrabanftincc.c.d.s.c.f.que  crutcqua 
lcs  pcr.4.p:iinucquidiftantcsg.27.ciufdc.Siguatoitaq5pun(to  aliquo  ilmca 
c.d.qui  fit.g.oucat  Imca.g.b.b.critq;  cx.^eJ.pnmi  .e.g.  cqualis.f.b.  igif  a  punuo 
a.vcl quouis pimcto lincc.a.b.ocmittanf  ypotbemifaUtcr  lince.a.c.ad.a  c.a.f.a. 
g.a.b.critq5cx.4.pumi.a.c.cqua'is.a.d.^.3.c.eq!is.3.f.3tcp.s.eiufdceqlis  eric 
agulus.a.c.d.cqlisagulo.a.f.c.crgopcr.^.ipffcrit.a.g.eqlis.a.b.  ctdcoqjp.S. 
ciufdcm  <-ritaiiguws.a.b.g.cqualisangulo.a.b.b.quarc  <$  oimnirionevtcrq; e 
rcctus  i  linca.a.b.ppcndicularis  ad  Imca.g.b.Simtli  quoq,  mo  pbabis  cadc  clle 
ppcudiculare  ad  oes  lincas  ,ptractas  a  puncto.b.in  fup,ficic  oua^  lineaxj.c.d.f.c. 
f.igit  e%  oione  conftat  linca.a.b.ec  ppcndiculare  ad  fupficic  i  qua  fitc  fut  oue  liuce 
c.d.c.c.f.fciiiuiccfccatcsqbc^ppofitti.        IJbJOpoiitio    .5. 

3  lupertrcslineascoterminalcscoieaytermiiio  erecta 
Unea  quedaoJtbogonalitermlilTatcedetrcslincc  ivna 
luperficie  lite  erunt.CSit  liuca.a.b  ortbogonalitcr  crecta  fuper 
cocm  teniiinu  triii  lineay.b.c.b.d.b.c.angulatitcr  fe  cotingentiu  in 
puncto.b.qua?  nulla  ali)  oirectc  applicctur  qb  idcm  c"  ac  fcinuicem 
fccent  in  puncto.b.  p:otractc  eni  fc  fccabunt  oico  q>  trcs  lince.b.c.b.d.b.c.funt  iu 
vna  fupcrficic  fite.£onftat  aute  oc  quibufqj  caz:  ouab9  q>  ipfc  funt  in  vna  fuper/ 
ficic  fitc  per  fcoam  bui°  vcl  p  prima  pte.2  .bui^fi  igit  linca.b.d.116  fuerit  in  fup/ 
ficicouarlincay.b.c.t  b.c.fcdillcouoi  plauo:bocautemfublimi:eritvt  becfu 
per ficics  in  qua  fitcfunt  oue Imcc.a.b.s.b.d.fi  p:otrabatur % p  illud  qb notu  cft 
fnp,  quartafecctilliinqnafitefunt.b.Ct.b.e.etitq^pcr.j.buiuscois  ea^  fcctio 
linea recta  1  ipfa fit.b.f .q: igitur  cjcp:enuffa linca.a.b.e  ppendicularis  ad fuperfi 
cie  ouay  lineaE.b.c.c.b.e.fcquif  cx  ciffmitionc  vt  ipfa  f ,t  perpedicular.s  ad  Imca 
b.f.quare  augulus.a.b.f.cft  rcctus  cunqj  ctia  angulus.a.b.d.lTt  rcctus  ej:  fpotbc 
fi.fequitur  ipollibile  vidclicct  gtc  fuo  toti  cc  equalc. 

Ifbjopofttio  .6. 
3f  fuerintouclinecfupervna  fnpficie  ppendiculareseas 
eqdiftates  ec  uecclle  elt.  GSint  ouc  lince.a.b.c.c.d.ppendicu 
lares  ad  vna  fupcrficic  oico  cas  cflc  cquidiftantes:pjotrabaf  enim  li 
itca.b.d.crnntqj  ejc  oionc  0110  anguli.a.b.d  •z.c.d.b.rccti.ft igtf  ouc 
lince.a.b.t.c.d.lint  in  fupcrficic  vna  ipfc  funt  cquidiftantes  p  fcca} 
parte.23.p:imi:ipf33  autcm  elTe  in  fupct ftcie  vna  fic  co!ligc:a  puncto.b.  fupcr  h/ 
ncam.b.d.in  plano  cui  perpendiculariter mfilTunt.a.b.c.c.d.ptrabc  o:tbogona 
litcrlincam.b.f.ccxlinca.c.d.fumc.d.e.equalcm.b.f.tpMtrabclincas.e.b.^.e. 
f.erunt  igif  ouo  latera.c.d.f.d.b.trianguli.c.d.b.cqualia  ouob9  latenbus.  f.b.-z 
d.b.trianguli.f.d.b.?  angulus.e.d.b.cqualis  angulo.f.d.b.cu  vtcrq,  fit  rcct9.  ita 
q3  pcr  quarta  p:imi  linca.b.e.e  equalis  Imcc.d.f  .itcq,  cu  ouo  latcra.c.b.s.b.  f.tri 
anguli.c.b.f.fiutequaliaouobuslateribus.f.d.i.d.e.trianguli.f.d.c.ibafis.c.f. 
cois  crit  p:8.p:imi  angulus.e.b.f.equalis  angulo.f.d.c.  cu  vtcrq;  nt  rect9  :q:  igif 
angul9.f.d.c.c  rcct9  a  oionc  crit  etia  angul9.e.b.f.rcct9:itaq3  linca.f  .b.  ppcdicula 
ritcr  e  crccta  fup  cocm  tcrminu  triu  linea^.b.a.b.d.b.e.fe  ptingetiu  angularitcr  i 
puncto.b.qrc  p_  ptniffa  ipfe  fut  i  furjficic  vna:cn  igit  e?  pma  parte  b9fcbe  linea.c.d 


LIBER 


fit  t'n  eadcm  fupcrficiCi  cum  vtraq^  lincarum.e.b.cb.d.fcquitur.a.b.f.c  .d.cffe  i 
fuperficievna^onftatergopiopofiram. 

Ijbzopofitio  .7. 
1  3f  in  tmabus  lineis  equidiftantibas  ouob^punctis  figna/ 
tis  ab  altero  ad  alterii  recta  linea  oucaf  :in  qua  fuperttcte 
illeouelineefitefunteamquoqsineandemfttam  ee  ne/ 
ctfkrio  compzobatur. 
CSint  oue  linee.  a.b  .1.  c.d.  cquidiffanres  oe  quibus  conftat 
per  oiffinitionem  q>  ipfe  funt  in  fupcrficie  Vna:in  cis  autem  fignentur  ouo  puncta 
e.t.f.z  pioducatur  linca  recta.e.  f.oico  itaq,  lineam.e  .f.effe  fitam  in  fuperficie  li 
nearum.a.b.s.cd.Sin  autcm  fit.cf.in  alia fuperficie  vt  in  fublimi  ocpendens  q 
fupcrficies  fi  piotrabatur  fecabit  neceffario  fuperficie"  in  qua  fite  funt  ouc  lincc.a. 
b.c.cd.eritq^  pcr.  3  .buius  comunis  fectio  earam  linca  rccta  eifdem  punctis  tcr/ 
minata  quod  eft  impoffibile.fic  eui  oue  rcctc  linee  codudercnt  fupcrficiem. 

Ijbzopofttio  .8. 
^finidemplanuouerectelinee  eqnidiftanter  erigantur 
altera  vero  earum  oitbogonaliter  fiftat  reltquam  quoqj 
ad  idem  planum  perpendtcularem  elle  conueniet. 
Obec  cft  quaft  conuerfa  fcxtc.Sim  enim  oue  lincc.a.b.i.c.d.cqui/ 
diftantes  et  fit  carum  altera  vt.cd.  erecta  perpcndicularitcr  fuper 
fnperficte  qualibenoico  rcliqua  carum  quc  eft.a.b.effe  pcrpendicularem  ad  eande 
fuperficicm.  jjiatenimpioifus  eadcm  oifpofitioqucinfejcta:eritq5  utibivtcrqj 
ono^  anguloy.f.d.b.?.  f.b.c.rectus:  p:imus  quidem  per  pofitionem.fccudus  au 
te  per  .s.p:imi:quare  rj.4.buriinca.f.b.c  gpendiculariter  erecta  fuper  fugficiem  1 
qua  funt  oue  linee.b.d.^.b.e.cuqj  per  piemiffa  ouc  iinee.a.b.^.cd.fint  in  eadem 
fuperficie  cum  otiabus  tineis.b.d.t.b.e.fequitur  linea.f.b.effc  gpedicularirer  cre 
cta  fupra  fuperficic  in  qua  cft  linea.b.a.a  oiffinitione  igitur  erit  angulus.f.b.a.  re 
ttnsz  qietiam  angulus.d.b.a.eft  rcctus  per  vltima  parre.29.p1um  :fcquiturper 
quartam  bnius  lineam.a.b.elTe  perpcndicularcm  ad  fuperficiem  in  qua  fite  funt 
oue  linee.b.d.«.b.f.quarc  conftat  piopofitnm. 

1Jb:opofitio  .9* 
^f  Oue  linee  vni  non  in  vna  iiiperftcie  equidiftat  eas  quo/ 
q5  fibi  inuicem  equidiftare  necefTe  eft. 
OSit  vtraqj  ouarum  linearum.a.b.f.cd.equidiftas  linee.e  .f.  ncc 
fint  omnes  in  fuperficie  vna:  oico  cj>  ccdcm  quoq^  ftbi  inuiccm  funt 
cquidiftantestoe  bis  quide  que  funt  omncs  in  fur>ficic  vna  p:obatfi 
eft  per.5o.p:imi:at  vero  oe  bis  que  in  vna  fugficic  non  funt  vt  eft  bic.e.f.  quein/ 
tclligatur  furffi  erecta  i  fublimi.  reftat boc loco piobandu.fignettir  itaq^  in  ca  pfi 
ctus.g.a  quo  cducantur  oue  pcrpediculares  ad  ouas  lincas  .a.b.s.c.d.que  fint.g 
b.«.g.k.eritq5per.4.buiuslinea.e.f.perpendicularisadfupcrficic  videlicetillam 
in  qua  funt  fite  oue  lince.g.b.c.g.k.  itaq^  pcr  piemiffa  bis  affumpta  vtraq^  illa^ 
oua£linea£.a.b.7.cd.  ppendiculariseadeaitde  futjficievidelicct  adillainqua 
fite  funt  eicre  oue  linee.g.  b.s.g.k.g  feyta  bui9  igitur  ipfe  funt  fibi  innice  equidt/ 
ftantcsq6cftp:opolim.   . 


XI 


1|b:opofitio  .10. 
3f  One  Uncefe  angulariter  contingentes  ouabnsalijsfe 
cotingentibus  eis  oppcHitis  eqnidiltantcs  fuerint  mo  aut 
in  fuperficie  vna  qui  ab  eis  fiunt  ouo  anguli  eque  fibi  mui 
cem  efie  compiobantnr. 

GSint  oue  linee-.aib.t.a.c.fe  angularitcr  coutingentes  in  puncto.a 
cquidiftantes  alijs  ouabus  que  funt.d.c.s.d.f.fe  quoqj  angulawer  contmgcnti/ 
bus  in  puncto.d.ncc  fint  cum  eis  i  fuperficic  Vna:oico  angulii.a.effc  cquale  angu/ 
lo.d.£fto  eni  linca.d.c.equalis  linec.a.b.cui  ipfa  pofita  cft  cffe  equidiftans.  i.d. 
f.equalis.a.c.cui  eria  ipfa  cquidiftare  pomt  i  oucanf  lincc.d.a.?.c.b.?.  f.c.entqj 
ev.3  j.pjimi bis affumpta  vtraqj  mi% Uneaf  .b.c.z.e.f  .equalis i  cqmdiftans U/ 
ncc.a.d.per  conccptione  igitur  %  p:cmiffam  cede  funr  cquales  ?  equidiftantcs  fi/ 
bi  inuiccm.?  itac|5  per.  3  j.p:lmi  oenuo  rcpecita  ouc  lincc.b.ci.c.r.funt  ctia  cqua 
lcsiequidiftatcsiigif  per.s.p:imic6ftat#pofitii.  1{b:opofitk>  .11. 
Slncto  in  acre  allignato  ab  eo  ad  oatam  inperficiem  per/ 
pendicularem  oucere 

|  GSit  punctus.a.furfum  in  aere  a  quo  volumus  ad  fupcrficie  fubia/ 
centem  perpcndicularcm  ouccreoucaf  igitur  in  plano  illo:linea.b.c 
vtcuq$  cottgerit  ad  qua  ab  ipfo  puncto.a.oucaf  perpcdicuiaris.a.d 
fcbm  ooctrina.  u-  p:imi  rurfufqj  a  puncro.d.in  plauo  illo  ad  q6  ouccnda  cft  pcr/ 
pcndkularis  apuncto.a.ejctrabaf  Uiica.d.c.qucfit  perpcndicularisadlinca  .b.c 
vt  oocet.  1  i.p:imi.3d bauc quoqj  linca.d.c.oucaf  alia  Unea  perpcdicularis a pun 
cto.a.que  fir.a.f.banc  oico  elTe  ea  qua  intedim^.Sit  eni  Unca.f.g.equidiftas  hncc 
b.c.^q^vtcrq^ouoy  anguloy.b.d.a.i.b.d.f.cft  rectus:  crit  c^quarrabui^linca 
b.d.pcrpcndicularis  ad  fupficic  in  qua  cft  triaugulus.a.d.f.idcoqj  etii  g.8.  bui9 
crit  Unca.g.f.ppendicularis  ad  candc  fupcrficie  :igif  a  oiffiuitionc  crit  augulus.g 
f.a.rcctus:ciiq5  ctia  angulus.d.f.a.fit  rectus:fequif  cjc  quat.a  buius  Unea.a.f.elTc 
ppcndiculare  ad  fupcrficiem  in  qua  funt  oue  linccd.fa.f.g.qo'  eft  pwpofitum 
*l£>:opolitio  .12. 
]  ^perficie  .ppofita  punctoq^  in  ea  aflignato  ab  eo  pnncto 
jad  oatam  fngricie  linea  o:tbogonaliter  ertgere.CCii  a  pun 
cto  quolibct  in  fupcrficie  ,ppofiia  aflignato  gpendioilarem  educcrc 
Iibucrit  a  quolibct  puncto  furfum  m  aere  ad  libitum  pofito  ad  eande 
fugficie  gpcdicTarc  qucadmob  pmiffa  oocuit  oemittere  quc  (i  i  alTi/ 
gnatu  punct»  cccidcrit  ipfa  c  qua  qucris  .Sin  aut  ab  ipfa  aflignato  pijcto  ad  oe  / 
milTa  perpcndicularc  cquidiftantcm  oucito:caqj  per.s.buius  pwbabis  ce  quam 
'qucrts.  1^520pofttio    .13. 

■§(as  Uncas  fuper  puctti  vnu  ad  fupficie  vna  onbogonatt 
ter  ifillerc  e  ipoflitulee.GSi  cni  pollibilc  e  vt  ouc  lincc  vni  cide" 
qj  fupficiei  fug  punctu  vnn  ppendtcularitcr  infiftat  fugficics  t  q  ipfe 
tjpcndicularcs  fitc  fut  itdligaf  .pduci  quoufqj  fecct  fu£ficic  cui  oicte 
lincc  ppcndiculariter  ififtur  crirqj  pcr .  3  .bm9  comunis  ca^  fcctio  Unea  recta:?  q: 
ej;  oiffinitionc  vtraq;,  illay  ouaru  pcrpcndiculariu  cii  comuni  fcctionc  corinet  an/ 
guliim  rectu  fequitur  ut  angulus  rcct9  fit  ps  anguli  rccti  qb  cft  impoffibilcQuead 
modn  aiit  oemonftratu cft  impoffibile cfle ab  vno  cockm puncto cjctra  fupftcicm 


LIBER 


ouas  lineasfuper  punctum  vnum  ad  eandcm  fupaficicm  effepcrpendicularcs 
itactiam  ocmonftrabimus  impofltbilccffeouas  lineasabvno  codemq^  pun/ 
cto  extra  fuperficicm  fignato  ad  eande  fupcrficiem  p:otractas  ad  ipfa  efl  c  perpei» 
diculares.  6i  enim  boc  fuerit  ipfe  erunt  equidiftanres  ejc.e.buius  qo  eft  impoffibi 
le  c%  oiffinitionc  linca?  equidiftantium.£onftat  igirur  c%  bac  <$  ft  aliqua  fupcrfi/ 
<ies  plana  alia  plana  fupcrficicm  o:tbogona!iter  fccet  i  ab  aliquo  puncto  fccantis 
fiiperficiei  ad  fupcrficiem  fectam  pcrpcndicularis  oucaturrin  comunt  eaj?  fectioue 
eam  cadcre  neccffc  cft.Slioquin  ab  codcm  puncto  fecantis  fupcrficiei  ad  contune 
carum  fectioncm  pcrpcndicularis  p:otrabatur  ut  oocet.  tz.p:imi  i  a  puncto  i  quo 
tncidit  cu  comuni  fectione  alia  perpendicularis  ad  cande  comune  fecrione  in  fupcr 
ficic  fecta  cducatnr  ut  oocct.  t  i.p:imi:critq5  c%  oifftnitione  fuperficiei  fupcr  aliam 
fupcrficiem  oubogonaliter  erecte  angulus  que  cotincnt  bce  oue  lince  pcrpcndicu/ 
lares  rectus:quare  per  quarta  buius  p:ima  b&y  ouarum.pcrpendiculartum  ctiam 
cft  perpendicularis  ctii  ad  fuperficie  fecta.crgo  ab  vno  puncto  p:otracte  funt  oue 
Itnec  perpendicularcs  ad  candc  fuperficiem  quod  cl t  impolTibilr.rclinquitur  itaq5 
p:opofitumnoftrum.  Ifbjopofttto    .14. 

3f  lineavna  fuperouas  fuperfictce  affignatas  oztbogo/ 
nattter  tnliftatalie  oue  fuperficies  li  etta  111  tnfimtu  i  qua/ 
cunq^  partem  pjotrabantur  mmquaconcurrer. 
Gpoitta cni linea  vnaouabu3fupcrncicb903tbogonalttcrinfiftcre 
fi  polTibile  e  fugficies  tllas  cocurrcrc  in  ca^z  coi.fecttone  quc  pcr.j.bu 
ius  crit  linea  rccta:  punctufq^  quocunqj  modo  fignet  a  quo  ouc  liuee  in  illis  oua/ 
bus  fupficicb9  adlineaillaquctpfisgpendicularitcrfuEftat^ptrabat:  entq^con/ 
ftitutus  triangulus  cc  bis  ouab9  lincts  1  perpcdiculari  bm9  itaq^  triangult  vrcrq^ 
ouo:u  angu!o:u  qui  fupcrpcndiculare  cofilluc  c  rect9  vt  P5  ejc  oionc  linec  fup:a  fug 
ftcie  ppcndiculariter  ftanrie  boc  aut  c  ipolTibile  per.  j2.p:imi. 
C/gconuerfoquoq^vtdeUcetftlupcr  Ouas  fuperfiries  cquidiftates 
linea  rectacecideritque  adaltcratn  earum  perpendiculans  lit  ipfa 
quoqjperpcndiculartseritad  reltquum.    Gpofitis  cnim  ouabus  fupcr 
ficiebus  equidtftan tibus  intelligatur  linca  rccta  ambas  pcnetrans  que  alteri  caru 
ppendicularitcr  fupcrftat:oico  <j>  eadem  linca  rcltque  fuperfinci  gpcndicularitcr 
fupcrftat.6it  cnim  fupcrficies  vna  fccans pofitas fuperftcies equidiftantcs  fuper 
lincam  eas  penetrarc  critq^  cois  fectio  buius  fupficici  fccatis  1  altcn9  fccraru  vide 
licct  ilU9cuilinca  pcnctraBponitppciidiculariterinfiftcrecottncsangiilu  rcctum 
cii  ipfa  linea  pcnctratc  c%  oione  lincc  gpcdtcfaris  ad  fugficicfi  igif  alia  cois  fcaio 
ipfi"  fugficiet  fccatis  1  rcliq  ouarti  fcctaru  cu  cadc  linca  penctratc  116  ptincat  an/ 
gulu  rectu  ertt  c%  vltima  pctitiouc  pmi  vt  lllc  ouc  coes  fccttocs  i  alrerutra  prc  p:o/ 
tracte  ncceffario  pcurut  quarc  ?  fupficiesquc  pofttc  fut cquidtftantcs  neccflario 
pcurret.s  q:  boc  e  ipolTibilc  cnt  tlle  aiigui°rca9eodcq5  modo  crit  oc  qualib^  alia  fu 
jficie  cafde  fugfiaes  cq'diftatcs  fecatc  lug  eaudc  linca:  igtf  cjc  qrta  b9 1  cy.  ifta .  14. 
conftatveni  ceqoorcim9.    *]jb  JOpolitiO    .15 
5  fiicrint  Ouc  linee  fe  continentcs  angalanter  equidtftan 
tes  alijs  ouabus  le  contingcntibus  non  autem  tn  fnpcrfi/ 
cic  vna  ab  ctfdcm  lincis  contente  oue  fupaftctes  tn  nulla 
parte  quantucunq^  p:oducantur  polTunt  concurrere. 


XI 


C5int  oue  lincc.a.b.s.a.c.fe  angularitcr  contingcntcs  in  puncto.a.  cquidiftan  / 
tes  oaabus  lineis.d.e,  c.d.f.fe  angularitcr  contingcntibus  in  puncto.d.  *  no  fint 
in  fuperficic  vna:  oico  ea?  fupcrfiicics  i  quacuqj  pte  i  quatucuq^  p  jotrabant  nun 
cJ5  concurrae:p:otrabatur?eniapuncto.d.,putoocct.f.buiusperpendicularis 
ad  fuperficic  ouay  lincaj/.a.b.s.a.c.firq^.d.g.?  a  puncto.g.oucatur.g.b.cquidi/ 
(tas.a.b.s.g.k.cquidiftans.a.c.eritqj  c%  oifTinittone  vtcrq^  ouo£  angulo:uni.d. 
g.b.d.g.k.rectus  z  per.9.erit  linca.d.f.equidiftans  linee.g.k.c  lince.d.e.equidi/ 
(lans  lince.g.b.quare p  vltima ptcm.29.p:imi  vterq,  ouo^ angulo:um.e  .d.g.f. 
d.g.erit  rectusiideoq^  per  quarta  buius  linca.d.g.erit  ppendicuiaris  ad  fupficicm 
ouaylinca^.d.c.t.d.f.cunqjipfacadem  fitetiacj:  fpotbcfi  perpendicularisad 
fuperficie  ouarum  hnearum.a.b.i.a.c.igitur  c%  p:emiffa  liquet  quod  e  .ppofitum 
IfbJOpolitio    .\e. 
%  onas  fnperficics  equidiltantes  vna  (uperficies  fecctco 
munes  cay  feitiones  equidiftantcs  erant. 
G£onftat  cquidcm  c%  tcrtia  cp  vna  fupcrficie  quafcuq,  ouas  fupcr/ 
ficicsequidiftantcsfccantecomunescarumfccrioncs  eruntoue  li/ 
nee  recte:que  cfi  fint  ambe  fite  in  fupaficie  fecantc.  fi  ipfe  no  fuerit 
cquidiftantes  ponantur  ad  quotlibet  vnum  punctium  concurrere:crit  ttaq^  w  W 
atqj  ide  punctus  fit  in  Vtraq^  illay  ouajj  fcctioiifj  comunium  cunq^  vna  illa^  com 
mnnifi  fcctionfi  fit  in  vna  ouai/  fupficic^  kaap  i  rcliqua  in  altcra.fequif  fupficies 
illas  que  pofite  funt  cffe  equidiftantcs  concurrere:boc  amem  impolfibile  eft.£rut 
igitur  coes  carum  fcctioncs  cquidiftantcs  quod  eft  p:opofitu.G£x  bac  i  p:emif  i 
fa  poteseliccreconclufioncvna  fimilem.jo.pnmividelicctiftam.Si  fuerintouc 
fuperficies  vni  cqnidiftantes  ipfc  quoq,  crunt  adinuice  equidiftantcs.pofitis  cui 
tribus  fupcrficiebus  quarum  vtraq^  ouay  cj:tremarti  equidiftct  mcdie  oico  c$>  ne/ 
ceffc  eft  ipfas  ejrtremas  cquidiftarc  adinuiccm.fccentur  omnes  illi  trcs  fuperfici/ 
cies  ouabus  fuperficicbus  fe  qnoq^  inuicem  fecantibus:erutq5  cjc  bac.  i6.comunes 
fcctiones  ouajzejrtrema?  fuperficie:/  equidiftantes  fationibus  medic:quare  ey.jo 
p:imi  ipfi  ctia  fectioncs  oua^z  cj;trcma?  fuperficie?  crant  equidiftantcs  adinnice". 
£t  quia  ipfe  contingunt  fc  iu  comuni  fcctione  ouay  fupcrficiey  tres  pofitas  fuper 
ficies  fecantium  ej:  piemiffa  cuiden  tcr  conftat  quod  oijamus. 
Ifcaopofitio    .17. 
|3f  fuperficics  trcsvel  plures  eqnidiftantes  ouasrcctas 
lineas  feinuicem  contingcntes  vel  eqnidiftantes  fecet  ilta 
rum  lineanim  ponionespjopojrtonales  efle  pjobantnr. 
(L3ntelliganteniouerectcl{nccpenetrantcsqualitacuq5  cotigcrit 
ires  fuperficics  cquidiftantes  aut  etia  plures  tribus.oico  itaq^  ouas 
po:tioncs  iWaz?  lincarum  intcr  quaflibct  ouas  lincas  fupcrftcics  interccptaspjo/ 
po:tionalcs  cffe  quibufque  ouabns  intcr  alias  ouas  e*  illis  equidiftanttbus  fupy 
ficiebus  interceptis.£oniungant  cnim  oue  extrcmitatcs  illa:;  ouay  lincay  oncta 
inter  cas  linca  vna  oiagonalit:eritq5  boc  oiagonalis  cu  vtraq^  illarti  ouay  linca^ 
pcnetratiu  fupficics.ppofitas  in  fupficic  vna  tllas  equidiftantes  fupficics  pofitas 
fccatc.fi  crgo  ba^  fupficic?  coes  fectiocs  q  p  p:emiffa  cnlt  cquidiftates  cogitatoe 
pjotrajxris  er.  prima  parte  fecundc  fejcti  conftabit  pjopofitnm. 
Ijbzopofitio    .18. 


LIBER 


\  in  fuperftcie  afftgnata  otfbogonaliter  ffeterit :  linea 
ois  fuperftcies  a  linea  Ulaquozfmn  libet  oncta  ad  eandeni 
afftgnatam  fuperficiem  erit  o:tbogonaltter  erecta. 

GSit  eni  linca.a.b.erecta  perpcndiculariter  fup.  affignata  fuperficic 
i  a  linea.a.b.^ducat  fuperficies  quo:fu  libuerit  :qua  oico  fup  p:o/ 
pofitam  fupcrficiemclTepcrpcndicularircrcrcctam.cumenimipfa  fccet  fuperfici 
cm  affignatam:  erit  earum  comunis  fcctio  linca  rccta  ej;.j  .buius.fitqj.b.d.in  bsc 
ergo  comuni  fectione  fignato  puncto  quoltbct  qui  fit.d.etfrabatur  ab  co  3n  fupcr 
ficie  que  p:oducta  eft  a  linca.a.b.linea  qucda  ppcndicularis  ad  linea  .b.d.  que  fit 
d.c.critq5exfecundatJte.2S.p:imiltnea.c.d.  cquidiftans:lincc  a.b.  tdeoqjccS. 
buius  linca.c.d.eft etia  perpcndicularis ad fupcrficte  p:opo!Tta:quia  crgo boc  mo 
do  quelibct  linea  p:otracta onbogonaliter a  quolibet puncto hncc  .b.  d.ad ipfam 
lincam.b.d.in  ipfa fupcrficie  quc p:oducta  cft  a hnca.a.b.cft  pcrpeudicularis ad 
p:opofita  fuperficiem  eje  oiffinitione  fupcrficici  fup:a  fuperficie  o:tbogonalitcr  ere 
ctc:coftatve^cffcq6p:opofitueft.  1(b2opofitio    .19. 

Jouefuperfjcies  feinuicefccantes  liip:avnam  fuperft/ 
!ciem  crectcfuerinto:tbogonaliterc6muni8carum  fectio 
adeandem  fuperftciem  perpendiculariserit. 
GSint  oue  fupcrficies.a.b.i.cd.fcinuiccm  fccantes  crccte  o:tbogo 
naliter  fupcr  affignara  fupcrficiejifitq;  comunis  cai>  fcctio  Unca  re/ 
cta.e.f.banc  oico cffe pcrpcndtculare ad  affignata  fupcrfKicm.alioquin  a  puncto 
f.qui  eft  cois  termin9  fectionu  oua^  fuperftciqz  fccanni3:-r  tcrtie  fupjktei  fccte  p/ 
ducaf  vna linea  recta quc fit.f.g.tn  fupcrftcica.b.perpcdtcularis  ad fupftcie  afit/ 
gnata.iteq;abeode  pucto  oucaf  aliapcrpcndicularisadeande  fupficie  que  ftta 
fit  in  fupcrficie.c.d.c  ipfa  fit.f.b.cruntq;  ouc  linec.f.g.c.f.b.oubogonalitcr  infi/ 
ftentes  fupcr  punctu  vnu  ad  fupftcie  alTtgnata:boc  aut  impofTibile  per.  ij.buius 
lales  aut  lincas  poffe  ,ptrabi  a  puncto.f.in  vtraq;  oua?  fuperficiey.a  .b.z.  c.d. 
cu.cf.no  fuerit  perpcdicularis  ad  alTignata  fupcrficic  oubitare  116  coucntt.^ntel 
ligaf  quide linea.f.b.cois fcctio fupcrficici.a.b.t  fupficici  afftgnarc  1  linca.f.d.fu 
perfictci.cd.?  fupficici  affignatc.Si  igif  linca  .c.f.fucrit  ppendtcularis  ad  vtratiq^ 
oua?  lineay.f.b.t.f.d.ipfa  etia  crit  perpcndicularis  ad  fnpficie  affignata  c%  qrta 
buins.fi  aut  ad  neutra  fit.f.g.ppendicularis  ad.f.b.^.f.b.perpendicularis  ad.f.d 
oeindc  a  puncto.f.,ptrabe  in  fuperficte  affignata  vna  linca  ppendicularc  ad  lined 
f.b.q  ejc  oione  fupjkiei  fup  alia  fupjicic  oubogonaUter  crectc  cu  liuea.f.g.  ptincbit 
angulu  rectu:p  quarta  igif  bui9crit  linca.f.g.fjpendicularis  ad  fupcrficic  afiignata 
£ode quoqj mo  .ptracta  alia linea  a puncto.f.i  fupficte  affignata  q fit  pcrpcndi/ 
cularis  ad  linea.f.d.fequcf  c%  oionc  p:edicta  1  e%  quarta  bui9  linea.f .b.ce  ppedi/ 
culare  ad  fnpficie  affignata  qb  e  impolTibile  p.  1 3.buius.£26  fi  pfitcarc  linca.cf. 
cffe  ppendiculare  ad  linea.f.b.fcd  no  ad  linea.f.d.fcqucf  modo  confimili  ouas  li/ 
ncas.cf.t.f.b.elTc  perpcndicularcs  ad  fuperficiem  alTignatam  :q6  nibil  minus  c 
tmpoffibilc.  l£>:opofitio    .20. 

3f  tres  anguli  fugficiales  folidii  angulu  ptinea  t  illoy  triii 
anguknum  quiq?  ono  piter  accepti  reliquo  fut  maio:es. 
C  Sint  tres  linee,  a.b.a.ca.d.piramtdalitCT  erecte  fup:a  fupcrfici/ 
jem.b.c  .d.continentestresfuperficia!e3  anguloscjc  quib9folidus 


XI 

perficitur  angulus  iiipuncto.a.oicoquollibcteuoscyipfefopcrnctalib^ansU)' 
tis  folidum  angulum  in  puncto.a.confittncntibus  pamcr  acccpto3  tcrtio  ce  maio 
:cs.  Si  cni  bi  trcs  anguli  fupcrficialcs  fucrmt  f  ibi  inuiccm  eqles:aut  fi  ouo  tantu^ 
equalcs  tcrtio  epttc  minoic  vtroltbet  ouoy  cqualtu^tpftat  g  cocm  fcicntia  vcram 
effe  qb  oicitur.  Qt>  fi  eoy  vnus  vtrolibct  ouo2z  rchquoiz  maioi  fucrit  ftue  tlii  ouo 
ponant  cquales  fiue  uon  cquales-.adbuc  conitat  illum  maiojem  cum  vtroltbet  ouo 
ru  rdiquoy pariter  acccptoy  tcrtio  elTe  niaioic.Scd  i  illos  ouos  minoies  panter 
acccptos  boc  tertio  qui  maioi  vtroltbet  pomttir  ellc  mat02cs:fic  coUigc.  cfto  cnim 
crium  piopofitoium  anguloium  fupcrnciahum  angults.c.a.d.  maioi  vtroiibet  re/ 
fiquoium  ouozajEj:  tpfo  crgo  abfcindam  angulum.ca.d.cqualem  anguto.  b.a.d. 
^ptracta  linea.a.e.s  fuma  cr.  bac  luiea.a.c.linea.a.g.i  cjc  linea.a.b.ltnea.a.f.quaf 
ponam effe cquales t piotrabam  Uncam  a  puncto.g.qualttercucrj  coutingat  in  fu 
pcrficic  oua?  Uncaru3.a.c.i.a.d.quoufq3  fccct.a.c.in  puncto.b.-z.a.d.  in  puncto 
k.i  ipfa  fit.b.g.k.t  p:oduca  lincas.f.b.T.f.k.cum  fit  igitur.a.f.cqualis  .a.g.  pofi 
ta.a.k.comuni  erit  per  quarta^  piimi.f.k.cqualis.k.g.c  qi  ex.20.pnmc  oue  Imce 
b.f.«.f.k.futitmaio:cslinea.b.k.eritpcrc6ceptionc.b.f.matoj.b.g.idcoq3pcr 
aj.piimi  cu  ftt  linea.a.f .equalis  lince.a.g.crit  angulus.f  .a.b.maioi  angulo.b.a. 
g.per  coceptione  igitur  coftat  ouos  augt.los.b.a.f.f.a.k.pantcr  acceptos  ce"  ma/ 
ioics  angulcb.a.k.qb  erat  ocmonftrandu. 

IjbtOpolttio    .ii. 
■QfcnteanguluslbUdus  quaruozrectisasnUs  minozefle 
pjobatur. 

CLangult  folidi  quantitts  cr.  angulo?  fuperficialiu  ipfu  folidu  con  / 

tincntium  quantitate  octcrminatur.bac  crgo.2  i.piopoitl6alitcr<p  / 

J  ponif  quoqj  quoflibet  fap.ficiates  angulos  folidu  quclibct  cotinetcs 


panter  acceptosquatuoirccttsanguliscffe  minojes  .Sit  eni  triaugula  ptramts 
a.b.c.d.cuffapremus  angulus  cu  polTit  cffe  quiiibct  fuo?  anguloiz  bic  tn  fit.a.oe 
quo  oico cp tres farjficiales angult ipfu.a.ptinentcs fint  minoies quatuoi rectts. 
fonftat  eni  ec ji.piimi.  o.angulos  tnu  fangulo?  banc  piramidc  circultantium 
i Cpfi  funt.a.b.c.a.c.d.a.d.b  .cfTc cqualcs fex  angulis rectisioc  trtb9  aut  angufe 
bafis  ei9  que  e  triagulus.b.c.d  .coftat  quoqj  p  eande  cp  ipft  funt  cqttales  ouobus 
rectis.cnm  igiturfejcangulitriumtrtanguloypjcdicto^bauc  noftram  piramide 
©e  cuius  fupiemo  angulo  oifputamus  circudantukqui  tnq,  fcjc  anguli  cum  tribus 
angulis  bafis  rcliquos  tres  angulos  folidos  piramidis  contmcnt:fmt  cr  picmiffa 
tcr  affumpta  maioics  tribus  angults  bafis:fcquif  ipfos  fer.  angulos  elTc  maioics 
ouobusrectisiejr.nouc-igitangulistnumtrianguloy  piramtdc  circudantiu  bis 
fqc  angulis  oemptis  crunt  cr.  comuni  fcia  rcltqui  tres  i  ipfi  funt  qut  conftituut  fo/ 
lidti  angulu.a.mioies^-rectis.Si aut  angul9.a.fupmus  i  afiupta piramidc plu/ 
rib9  angulis  fugficialib9qua  mb9p,ineat  qb  crit  fon  multitudtne  angloy  fue  bafts: 
eu  igit  oes  attguli  oim  trianguloy  ipfa  piramidc  ctrcudattn  piter  acccpti  ftnt  cjc.  32 
pmi  tot  rectis  angulis  eqlcs  quat"c  numer9angtbiz  fue  bafis  ouplicat9:co  cp  tot  nc 
ccffe  e  ee  triangulos  piramide  circudatcs  quot  fucrit  anguli  fue  bafis.Xuq^  omuea 
anguli  fue  bafts  fint  tot  rcctis  angults  eqlcs  quanrt  numcr9angulo22  fao£  cupli/ 
catus:  ocmpti»  indc.44it  in.  j2.pni  ocmonftratnm  eft.  Xunqj  tgttur  omncs  an/ 


LIBER 


guli  triangulo^  piramide  circudatiu  qui  fug  latera  bafis  ipfi9  piramidie  cofiftunt 
panter  accepti  fint  maio:es  omnibus  augulis  bafis  gitcr  acccptis  vt  euidercr  con/ 
ftat  c%  pxmiiTa  totiesquot  angulos  bafis  babuerit  repenta.adbuc  necclTario  fe/ 
quitur  c%  coi  fcia  fugricialcs  ang  uios  folidii  angulu.a.  continentcs  curer  acccptoa 
elTe  minoKs  quatuo:  rcctis  :eo  inqua  minojcs  quo  oes  anguli  trigono?  pirami/ 
dem  circudantium  qui  fup  latera  bafis  ftatute  piramidie  conuftant  ejccedunt  oes 
angulosbafisparitcracceptos.       Ijbzopofitio    .22. 

3f  tres  anguli  fuperftctales  quo;£  quinqj  ouo  pariter  ac/ 
|  ceptitmtofmtmaiojescunctislibiiniucem  equislineis 
contineantur  t>e  tribus  baftbus  augulos  Ulos  ab  tpfa?  li/ 
jneayequalium  terminisfubtendetibustriangulum  iiibfti 
i|tut  vel  conftitui  pollibile  eft: 
C5int  tres  fup.ficiales  anguli.b.a.c.e.d.f.b.g.k.vt  ,pponit:taIes  vidclicet  ut  qui 
q5  ouo  co:uj  tcrtio  fmt  maio:es  .fintqj  te%  latera  eos  contincntia  cqualia  que  fint 
a.b.a.c.d.e.d.f.g.b  .g.k.sfubtcdanf  cistresbafesquefint.  b.c.e.f.b.k.  £%  bis 
ergotribus  bafibus  triangulu  aio  conftitui  poffe.£ftocniangulus.b.a.l.  equa/ 
Usangulo.d.tlinca.a.l.lincc.d.cjpwtrabantur.l.b.l.c.critq^  cx.4.p:imilinea 
l.b.equalis  linee.e.f.cr  ypotbcfi  Vcro  pftar  to  talem  angulu.a.elTe  maio:em  angu 
lo.g.eraut  eni  quiq;  ouo  cr  tribus  angulis.b.a.cd.s.g.rertio  maio:es  igif  er.  14 
p:imi  linca.l.c.iinca.b.k.c  maio:.cunq3  fint  er..2o-pumi  ouc  linec.l.b.s.b.cmaio 
res  Imea.l.c.fcquitur  ouas  liueas.l.b.c.b.c.clTe  mnlto  fo:tius  maio:es  linea.b.k. 
quia  igitur.t.b.cft  cqualis.e.f.erunt  oue  lince  .b.c?.e.f.maio:es  lince.b.k.  £on/ 
ftat  itaq^  boc  modo  quafq^  ouas  lineas  er.  tribus  lincis  .b.c.e.f  .b.  k.  clle  longi/ 
o:es  tertia:igif  cc22.p:imi  conftat  verum  elTc  qo  oicitur:boc  outarat  addito  q>  ft 
onoanguli.b.a.c.i.d.paritcracccptifintequalesouobus  rectis  etunr  oue  lincc 
l.a.^.a.c.  c%.  i4.p:imilincavna:quecumfitequalis  cr.ypotbefiouabus  lineis.g 
b.i.g.k.que  cc2o.p:imi  longio:es  funt  linea.b.k.cunq^  cr.  eade  Imee  ouc.l.b.c.b 
c.fint  longio:esling3.l.c.fequiturvtp:ius.b.c.«.e.f.gtter  acccptas  ec  longio:es 
b.k.at  vcro  fi  ouo  pxdicti  auguli  funt  maio:es  ouobus  rectis:erunt  er..  21  ,p:imi 
oueunee.a.l.?.a.cidcoq5?due.g.b.?.g.k.b:cuio:es  ouab9qfut.l.b.?.b.c.qu8 
re  vt  piius.b.c^.e.f.paritcr  acccpte  funt  longio:es  linea.b.k. 

Ifb  2opolitio  .2j. 
IfAibus  angulis  fupftcialtbus  pjopoiitis  quoy  quiq^  tmo 
ptter  accepti  tertio  funt  matojes  om  nes  aut  tref  limul  qua 
tnoi  rectts  angulis  mino2es:er.  trtbus  tllis  equahb?  qug 
lefcunqj  fint  folidum  angulum  confhtuere. 
G5iut  ^pofiti  tres  anguli  fugficiales  qui  funt.a  .b.c  .oe  tribus  illis 
cqualibus  volumus  vnu  folidu  anguluconltirnere  opo:tct:  igit  er..n.b9  vtquiqj 
ouo  co?  pariter  acccpti  tcrtio  fint  maio:es  1  ec2i.buius  vt  omnes  piter  acccpti 
quatuo:  rcctis angulis  fint minotes er. ipfis iiaqj  fint bcc  pofiia:Iatera  vcro  eos 
continetia  cuncta  adinuiccm  fint  equalia  eisq3  fubrendantur  tres  bafes  1  ipfe  finc 
d.e.e.f.?.f.d.eritq5  er.  p:emiffa  poffibile  oe  tribus  lineis  bis  bafibus  cqualib9  tri 
agulum  conftitui.Sit  igit  er.  cis  coftitut"  i  m  obctrina.22.p:tmi  rrianguius.d.e.f. 
conftitutus:  cui  fficut  oocuit  quinta  quarti  circufcribat  circulus.  d.c.  f .  fupra  cen  / 
tram.g.f  ,ptrabat:g.d.g.c.g.f.que  cii  fint  adiuice  eqles  cr.  oione  circuli  latcraqj 


XII 


trcs  ^>pofit03  angulos  ambtctitta  cqualia  ejt  fpotbcfi  ncccffe  cftvt  ca^qnclibct 
quolibct  illomm  iatct u  fit  miuo:  equalc  attt  aut  maio:c  cilc  cft  impoffibilc  Si  cni 
linca  ejciens  a  ccmro.g.ad  circufcrciiam  arculi.d.c.f.ciTct  equalis  alicui  Utcp.a.d 
a.e.b.e.b.f.c.f.c.d.fcqucrcfiirp:optcrcaquepofitafutaniiuciitc.8.p:imitrc6an 
guIos.a.b.c.^ppofitavciTccqualcstribusangulis.d.g.c.e.g.f.f.g.d.  cuqjbitrca 
fint  cqua'.C3  quatno:  rcctis  augulis  vt  facilc  p,  er.  1 3  .p:imi:p:otraaa  paulrfcj  vna 
linca^  ejccntiiiaccntro  adctrcufcrcntiamincontinuunuoircctu:elTent  cttdtres 
anguli.a.b.c.cqualcs  ctia  quamo:  rcctis  qo  cft  cotra  poftta .  £16  (1  clTct  maio:  fu/ 
pcrpofitis tribus  triangufo  quo:nm  funt  anguli.a.b.c.tnb9 tridgulis  oiuidcnti/ 
bus  triangulum.d.c.f.  vnoquoqj  tlli  ctt  quo  coicat  in  baft  itacp  bafcs  fupponant 
bafibus  cquales  Vidclicet  equalibus  1  anguli.a.b.c.cadant  ad  fjtcm  puncti.  g.  fc/ 
querctcx.zi.pmitrcsaguIo3.a.b.c.ciTcmaio:cstnb9quiiut.d.g.c.e.f.g.f.g.d. 
eent itaqj  maioies  qtuo: rectts  qD  e  amplt9 ptrartu  politis  Kciinquif  itaqj  Vnii/ 
quodqj  cjc  fejc  latcnbus  tres  ,ppoi'ttos  angulos  dbientibus  maius  ei  lc  linea  egrcdt 
entc  a  ccntro.g.ad  ctraifcrciuid.d.e.f.idcoqj  ctid  porentiu6.6it  igitur  potcntius 
i  linca.g.  b.quc  fit  fc6m.  iz.b9 o:tbogonalitcr crccta  fug fupfiac  anguli  vcl  circuli 
d.e.f.ocmittdturqj  tres  fpotbemife.b.d.b.e.b.f.quas  oico  cottuere  anguios  trcs 
fupcrficialcs  equales  tribus  p:opofitis  conftituentcs  angulu  foltdum  tn  puncto.b 
cu  ent  quadratu  lince.a.d.fit  cquale  ouob"  quadratis  ouaylinca^.d.g.?.  g.b.ejc 
fpotbcfiatquadratu  lince  .d.b.fitcqualecifdeexpemiltimap:imi  necelTccltli/ 
ned.a.d.cffecqualcm  linee.d.b  eodcq,  mododined.a.c.liKc.c.b.igircjc.S.pmi 
cii  bafcs  ctia  fiut  equales  erit  angulus.a.cqualis  angtilo.d.b.e  .filr  quoqj  116  ent 
angulus.b.equalia  angulo.c.b.U  angulus.c.cqualis  angulo.f.b.d.  quare  coltat 
factu  ee  quod  faccrc  oifpofuimus.  ']f&20pofitio    .  24. 

•^fuperficiebusequidiftautibus  folidimi  cotineatureius 
pppofite  fupficies  libi  inuice  equalee  funt  1  equidiftatttiii 
iaterutn.CQuicquid  oicant  alij  fottdii  cquidtftantibus  fupcrficic/ 
bus  contentunt  fupcrficicbus  partbus  ncccffc  clt  cotineri  que  ftcut  cc 
i>6  polTunt  paucioies  fejc  ita  polTunt  clTc  tit  omui  numcro  part  fe/ 
narium  ejccectcnrc.£onftat  cni  columnd  ejcagond  poflc.  s.fupcrfkicbus  quc  binec 
bine  oppofitc  ftbi  inuicem  equidiltant  contincri:fic  quoq,  ocrogond.  io.z  occago/ 
nam.  12.1  ad  iltay  fimilitndine"  in  infinitu.fj  boy  omniu  folidoy  cquidiltantibus 
fupcrficicbus  con tcntor  quc  inftnita  cffe  p:onuncio  folu  illud  oicit  paralcllogra  / 
tnu  cuius  omnes  fupcrficics  ipfu  ambicntcs  palellograme  1  unt  z  iitud  fejc  fupcrfi 
cicbus  ountajcat  neceiTe  cft  ambiriroc  talt  iraqj  qd  fcy  tiii  fupficicbus  ambit  oico 
©ebercitclltgi  cpbec^.^poniufkigittalc  foltdum  co:pus.a.b.cuiusomnmo 
fupcrficics  fac  vt  folido  babitu  mente  c6p:cbendas:patebitq5  tibi  vndquaqj  cartt 
quatuo:  q.  reliquis  fecare  cuius  quatuo:  latcra  cum  fiut  comuncs  fectiones  ipfius 
fecantis  1  quatuo:  fcctay.Sint  aute  ille  quatuo:  fccte  bine-zbiuc  fon  cp  adinuiccm 
opponunt  equidiftantcs  cxypotbcfi:fcqutt  e*.  ic.bis  alTumpta  ut  quatuo:  latcra 
bui"  fupficiei  fecantis  %  quatoo:  fectay  fint  adinnice  bina  %  bina  equidiftdtia.  £6 
Itat  1130.5  fcom.  3t  vero  9:.  j4.p:imi  manifeftu  e  oia  latera  oppofita  iftay  (cx  fup. 
ficie?  ce  cqualia:crut  igif  bina  latera  angulu  planu  cotiuctia  cuiufqj  cay  cqualia 
binis  lateribus  angulit  planu  in  fugncic  ftbi  oppofita  ptinerittb9.anguli  quoqj  ab 
illi3  bini3  «  binis  lateribus  ptenti  cquaics  g.i o.b9:  igit  c*  puena  pcnultimc  cois 


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LIBER' 

fde  itt  p:imo  lib:o  poftte  ncceffe  eft  quafci,  ouas  fuperficics  in  folido.a.b.oppo/ 
fitascfrenblitmic«qualesq6eftp:opofitu.     1[b20pofltiO    .2j.    m 

0  fuperficiesquedaTccetfoUdu  paralellogranm  eqdifta/ 

1  ter  tmabus  ipltus  folidi  iugticiebus  oppotins  tmo  paraa 
lia  co:poza  que  ad  illam  fecantem  fnperftcic  velut  ad  co/ 

I  tuune  terminii  copulant  fuis  balibue  liint  pzopomonalia 
^GSitco:pus.a.b.folidupalcllogramu?  fccet  ipfum  fugfiaes.c.d. 
eqmdiftanter  ouabus ctus  oppofitis fupficicbus que funt.a.e.c.f.b.? lit  fueficicf 
g.b.bafis  ipfius  fotidi.a.b.oe  qua  conftat  pcr  piemiffa  q>  ipfa  fit  cquidiftantium 
late? i fit cois  fcctio ouay fup.ficiejz.c.d.t.g.b.iinca.b.d.oe qua  conftat  g.  .bu/ 
ius  cp  ipfa.fit linea rccta  *  p. is.buius $  ipfa fit equidtftans.g.e.  tdcoqj  funt  oue 
foperficies.g.d.s.b.b.eqsidiftantiu  latqz  i  ipfe  funt  bafes  ouoj; grialiu  co:po£ 
in  que  fufjficics.c.d.oiuidit  folidum.a  .b.  oico  itacp  cp  ,ppo:tio  folidi.a:d.ad  foli 
du.b.ce  ficut  bafis.g.d.ad  bafim.b.b.piotrabant  eni  vtrinqj  quatit  libucrit.qua 
tuoi  linee  penetrantes  fugficic.c.d.  fop.  cius  angulos  i  ipfc  funt.a.f.c.e.b.cu  oua 
bus  rctiquis  ftbi  cquidiftantibus.  Sumanfc[5  ejc  eis  omnib9  pojtioncs  cjc  prc  puii 
cti.b.quot  libucrit  que  ponant  fingule  cqles  lincc.b.d. i  c?  parte  pumti.calie  fitr 
quot  libnerit  quc  ponanf  cqualcs  lincccd.fug  quas  Vtrincrj  pftttuaf  folida  rale! 
lograma  fc6m foay longitudine etfgcntiu.Sinrq^  cf  p  tc puncti.b.folida  f.k.-z.l. 
m^cxptepuncti.e.folida.a.n.t.q.a.critqjcyoionccojpoycqualiuatq^fiini/ 
liu  vnuqoq^  folidoy.f.k.z.l.m.cquale  folido.e.b.  i  vnuqeq^.a.n.i.p.q.  c  equale 
a.d.fiat  igif  argumetii  cneadmodu  i  piima  fejcti  e  eni  foltdu.c.tn.ita  multiplcx  fo 
lidi.b.c.ficbafis.b.m.bafi3.b.b.cfclidu.q.c.itamItipIexfolidi.a.d.ficbaiis.q.b 
bafis.g.d.1  ft  bafis.b.m.c  cqtis  bafi.q.b.folidu.e.m.eft  eqle  foltdo.q.c.ev  oione 
to:poy  equaliu  atq5  fimiliu  i  fi  bafis  e  mino:  bafi  i  folidu  e  rnin9  folido  i  \\  maio: 
mai9  q6  p  5  ct  oione  eade  rcfecata  maioii  bafi  ad  eqlitate  mino:is  1  ocfcripto  fup. 
eam  folido  palellogramo.itaqj  ejc  oione  icotinue  ,ppo:tionalitatis  ,ppo:tio  folidt 
a.d.ad  folidu.c.b.licut  bafis.g.d.ad  bafim.b  .b.q6  cft  ^pofitu.  Q6  (i  fupcrftcics 
aliqua  fccct  co:pus  fcratilc  equidtftantcr  ouabus  cius  triangulartbus  fnpfatcbus 
oppofitis  ouo  partialia  co:po:a  que  ad  t!la  fecante  fupcrficic  vclut  ad  coem  tcrmi 
num  copulanf  fuis  bafib9erut  p:opo:tionalia.GSit  cnt.a.f.coipus  fcrattlc  cuius 
fint  oue  trigone  fopficics.a.b.cd.e.f.£6ftat  igit  ej:  oione  fecratilis  vnaquaqj  tri 
um  fopficiez;  que  font.3.b.d.e.b.c.e.f.3.c.d.f.ce  paraldlogramu:  fecet  igif  fugli/ 
cies.g.b.k.iftudfaatilcequidiftanterouabuseius  oppofitis  fopficicbus  q  funt 
a.b.c.d.e.f -oico  cp  ,ppo:tio  feratilis.a.fe.ad  feratile.g.f.e  ficut  bafis.a.  k.ad  ba/ 
fim.g.f.qo'  ficut  oc  fclidis  palellogramis  .pbaf  ,pti  actts  eni  in  vtraq^  pte  lincis.a 
d.b.c.c.f.factifq5intercasej:ptcpnncti.e.feratilibuscqualibus  fcratvlt.  g.f.  ity: 
ptc  puncti  .b.alijs  cqualtbns  fcratile.a.k.vtrinq^  quouis  nnmero  cc  oionc  mcon 
tinuc^pojtionalitatis.fi  cuncta  vigili  mcnte  plult res  no  crii  tibi  oirTictle  cocludc/ 
""Tjlreqnodoijcimus.  ^zopofitio    .2<j. 

1  ©Pperoatumpunctubatelineeangulo  folido  p:opofito 

'  equaleangulufoliduconmmere.  CSolidusangulus 
p:opofitus  fit.a.qui  cotincaf  trtbus  lineis.a.b.a.c.a.d.trcs  fuper/ 

J|  ficialcs  angulos  ipfu  folidu  pficientes  cotinentib9  cui  fup  puncttl x. 
linee.e.f.^pofite  que  ad  libitti  ^pponentis  iaceaf.aut  in  fnbltmi  cofurgat  iubcmnr 


XI 


cquale  angulum  folidu  coftitucrc  qualifcucg  fit  fitus  linee.e.f.9  puncto.g.vbicuqs 
volucris  fignato:,pducito  linea.g.e.cruntq)  cjc  fcoa  b9oue  lince.e.f.c.g.c.i  fupfi  i 
cie  vna.in  bac  itaq>  fupcrficic  fupcr  punctu.e.oatu  in  afiignata  liuca  fcom  pfiliu^ 
aj-pnmi  cortftitue  angulfi  cqualc  angulo.b.a.c?  ipfe  fit.f  .c.g.  oebinc  q.  linea.a . 
d.abfcincic  lincam.a.b.ficut  volueris ? a puncto.b.  p:oducito  pcrpcudicularcm 
b.k.ad  fupcrficie  in  qua  funt  ouc  linee.a.b.^.a.cqo  qualiter  faciendum  fit.  i  i.bu 
ius  oocuitmcc  fit  igitur  tibi  cura  oe  puncto  .k.  Tlibil  eni  refcrt  vt£  ppcndicularis 
b.k.occurrat  fupficiei  in  qua  funt  ouc  liuce.a.b.t.a.c.intcr  ipfas  lineas  aut  ejtra 
aut  in  cayaltcra  oudto  tii  linca.a.k.pofttoq;  puncto.l.in  Imea.a.b.vbicuqj  Volu 
eri8,ptrabelincas.k.l.?.l.b.?poncangulii.f.c.m.in  fupftcie  linea^.c.  f.t.e.g. 
equale  angulo.b.a.k.?  linea.e.m.cquale  linee.a.k.s  c%  linea.c.f.  fumc  linea  .e.p. 
equale linee.a.l.c a puncto.m.educ liuea.m.n.ppendiculare  ad fuperficic  in qua 
funt  oue  linece.f.^.c.g.i  portc  ea  equalc.b.k.?  pjotrabc  lineas.e.n.n.p.?.p.m. 
oico  igit  tres  lineas.e.f.c.g.e.n.cotincre  angufu  folidu  in  puncto.e.equalc  angu/ 
lo.a.p:opofito:  cu  fint  cni  ejc  fpotbcfi  ouo  latcra.a.k.c.k.b.triaguli.a.k.b.equa 
lia  ouobus  lateribus.e.m.t.m.n.trianguli.e.m.n.z  anguli  qui  funt  ad.k.s  ad.m 
recti  c%  oiffiniiione  lincc  perpendiculantcr  erecrc  fup:a  fup/icie  erunt  ej:  quarta  p/ 
miouc  Iinee.a.b.i.c.n.equalcs:pcrcandequoq5cruntouelinee.k.I,'Z.m.p.equa 
les.idcoqjctiageande.b.l.c.n.p.cqualcsicumfint.b.k.t.k.l.equales.m.n.t.m 
p.canguli.b.k.U.m.n.p.rectip.s.igitprimicritangnlus.n.c.p.cqualisangu/ 
lo.b.a.l.Similiquoqj  modo  ,pbabis  angulu.g.e.u.effe  equalcangulo.ca.d.con 
ftat itaqs nos  crTecific qo  volumus:bmc fi ftudiofus  mftiteris  quotcuqj  lateribus 
8.foIidus  angulus  ^ppofitus  cotincaf  qo  a  tc  petit  fine  offediculo  perficere  potcris 

']jb:opofttio  .27. 
fflpev  aflignati  lineam  oato  folido  eqnidiftantium  fnpfici 
ernm  fimile  folidom  conftituere.GSit  affignata  linca.a  .b.oe 
cuius  fitu  vtrii  in  plano  iaccat  vel  furfum  cjcurgat  nibil  curcnfitqj  af 
fignatu  palellogramn  foiidu  co:pus.c.d.cui  fug  linea.a.b.iubcmur 
fimile  folidu  fabricare.Sint  igit  trcs  lince  ptinentcsfuperficialcs  an 
gulosejcquibusponitfolidusangulus.c.mfcriptelittcris.c.e.c.f.c.g.atfcomp/ 
tcpta p:emiffe fuper punctu.a.linee.a.b.coftituat  angulus  folidus cqualis.  c.quc 
totincattrcslinee.a.b.a.b.a.k.^auxilio.  lo.fc^tifit.ppoHio.c.e.ad.a.b.^.e.f.ad 
9.b.?.g.c.ad.a.k.,ppo:tio  vna :  ocbinc  a  trib''  puncris.b.b.k.(ptrabant  fcjc  lincc 
b.l.cquidiftanslince.a.b.i.b.m.cquidilTanslinec.a.k.itey.b.I.equidiftasIinec 
a.b.^.b.n.equidiftanslinee.a.k.rurfusquoq^.k.n.equidiftans.a.b.c.k.m.  equi 
diftans.a.b.ampliusaut^trabanf.m.p.cquidiftans.b.l.^.p.I.equidiftans.b.m 
.ptrabat  quoqj  z  linea.p.n  .critqj  coplctu  folidu  palcllogramu.a.p.  quod  oico  ee 
fimilc  folido.cd.boc  aut  ejc  oione  fttium  fujrficiei/  %  oione  fitium  co:po2/  fi  carum 
meminerisfacilecocludes.  1(b:opofitio    .28. 

%  fugficies  aliqua  lblidij  palellogramu  lup  Ouas  quaflib? 
oppofitasfugficicseiusterminales  1  fupeay  ouasoia'' 
inetros  fecet  eade  fupftcie  co:p9iliud  pequalia  fecare  ne/ 
|  cefle  eft.GSit  tojpus.a.b.folidii  palellogramii  oe  quo  fit  pofitum 
cp  fupficics.a.b.cd.fccct  tpfu  fiip.  oiamctros  ouay  fupcrficicru  op  / 
pofita:/  ipfu  folidu  terminatiii  q  fint  .a.  d.?.cb  .oico  cj>  ipfa  oiuidit  iftud  folidu^ 

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LIBER 


^ppofitu  pcr  ccjualia  .coftat  cni  cp  ijpa  oiuidit  tllud  folidu  in  ouo  fcr3tilia  quo?  fug 
ftcies  quadrilatcras  biuas  z  binas  ad  inuicc  rclatas  fcom  cp  ipfc  funt  oppoftta  la/ 
tcra  foltdi  ppofiti  man  ifcflu  c  cx.24.bu19  cc  cqualcs  cu  fohdunt  oe  quo  loquimur 
pofitu  fit  ciVc  palellogramu^qccadc  quoq^  C4i.p:imi  coftat  trilateras  fup/tcics  ot 
cto?  iaatiliii  cffc  equalcs:igit  3  otone  folidop  cqualiu  liquct  quod  ptopofitum  cft 
IfrlOpofltiO     .29- 

^ncta  foltda  cqiudiftantium  Tuperftciey  equc  alta  atq?  1 
eadc  bali  fop  vna  linea  conftituta  p:obautur  elle  equaha. 
C  ZJqz  e  q?  fohda  equidtftantui  la cq?  equc  alta  ftuc  iter  fugftcics  cq 
dtftantcs  fuper  vtta  1  eadc  bafim  coftituta  funt  adinuice  equalia  fi/ 
cut  oc  fupcrficicbus  equidiftaiitiu  larq?  fupa  vna  bafim  z  inter  line 
as cquidiftantes  pftitutis ut i1t.5j.pnmi  ocmonftratii  eft.fed talium folidoij que 
da  oicunt  conftitui  fupcr  linca  vna  « funt  illa  quozj  fupp:ema%2  fugficie^  ouo  op  / 
pofita  latera  ftmt  fcn  rccritudinc  ^ptracta  linea  vnai«  oe  talibus  bec.29.p:oponit 
ocmonftrandu  ipfa  oia  cffc  equalia  adinuiccm.funt  aut  cozj  alta  que  116  oicuntur 
coftituta  fuper  linea  vua  z  funt  illa  quoy  fupp:ema!jfnperftcic£  ouo  latera  oppo 
fita  quecuq>  fumant  ftn  rcctitudmc"  ytracta  116  funt  linea  vita  z  oe  taltb9  fcquens 
ocmonftrandu  ,pponct  ipfa  quoqj  oia  ec  adtuuice  cqualia.  Situ  itacp  ouo  folida 
galellograma  eque  alta  fiuc  inrcr  fugficics  cquidiftautes.a.b.ca.c.coftituta  fug 
vna  bafvm  quc  fit.a.d.quof  fupp:cmc  fucjficies  finr.c.b.cf.c.Sinrq,  baz:  fupp/ 
ma?  fupficiq:  ouo  latcra  oppofita  cu  fcbm  rcctitudtne  .ptrabant  linca  vna  z  ipfa 
funr.c.f.f.b.c.oico  itaqj  cp  folida.a.b.t.a.c.wnt  equalia:boc  aut  fi  figura  ci9  frn 
<j>  opo:tet  actu  vel  cogitarione  fab:icaucris  z  qucadmodu  (n .  3  j.p:imi  p:ocefleris 
idcm  faciens  bie  oe  fcrattlibus  qb  ibi  oc  triangulis  facilc  codudere  potcris  occur/ 
runtq^  tibi  bic  ecdcm  oincrlitatcs  itt  folidis  que  tbi  in  f  ugficieb9  occurriffe  noutfti 
1Jb:opolitio  .30. 
]  ^ncta  folida  eqnidinanttu  fugficieir  eque  afta  que  1  eade 
I  baii  no  au  t  fup  Unea  vna  faerint  pftitnta  ^pbanf  efTc  eqlia. 
i  GSint  nuc  ouo  folida  galcHograma  equc  alta  fiue  intcr  fugftcics  eq" 
diftantcs  fintq,  fug  vna  z  cade  bafim  fed  no  fug  linea  vna  pftituta: 
Oico  itqj  ca  ec  cquaIia.£fto  cni  ouo  folida  ftalcllograma.a.b.f.a.c 
cque  alta  fiue  inter  furjftcics  equidiftares  pftttuta  fup  vna  bafim  que  fit.a.d.fj  110 
fuper  vna  lincsUfintq^  eoy  fupp:cmc  fup.ficies.c.b.t.f.c.quaij  oppofita  latcra  tim 
rcctitudine  ,ptracta  no  erut  lutea  vna.cuq^  ipfa  cy.  ypotbcfi  fint  i  vna  fuperficie  co 
cj>  folida  propofita  funt  intcr  fupcrf icics  cquidiftnatesntcccflc  e  vt  ouo  latcra  Vni 
us  earum  .ptracra  fcbm  rectitudtnc  fccc t  ouo  altcrius  csvz  .ptracta  fcoin  rcctitudi/ 
tte:p:otrabaf  itaq;  ouo  oppofita latcra  fupaficici.cb.que  fmt.c.g.^.b.  b.c ouo 
oppofita fupcrficici.f.cque  fint.k.f.^.c.l.tfcccntfe furjquatuo: puctom.n.p.q 
ctttq5 fupcrficics.m.u.p .q.cquidiftamii» latcr cqualis  vuicuiqj triu fupcrficicru. 
quas  vna  e  bafis  .ppofttis  folidis  cois  z  ipfa  ca.d.t  ouc  rcliquc  fut  fupp:cme  fu/ 
pcrftdC3  eo:unde  folidoi;  1  ipfc  funt.cb.i.cf .ouctis  itaqj  lincis  a  quatuo:  pun / 
cti3.m.ii.p.q.adquatuo:augiilofbafis.a.d.ftbifcbmoirectababitudincrclatos/ 
q  fit.ti.a.m.r.p.f.q.d.perfcctucritfoliduparaldlogramu.a.q.icadebaficuvtrc» 
q,  ouo?  pno?  z  cque  altu  z  fug  linea  vna  cu  vtroqj  ipfoyt  per  p:emilTaj  igit  vtrii/ 
lit>5  ouo£  folido?  .ppofitoxj  quc  iut.a.b.t.a  .ce  equaie  folido.a.q.p.  pceptioncm 


XI 

ergo cft  folidii.a.b.eqlc folido.a.c.qrc conftat  .ppofitfi.  G£otes quoq>  puerfas 
buins  z  p:cmiffe  .pbarc  fi  libet  oucchdo  ad  impoffibilcpoucs  cni  qudibct  ouo  fo 
lida  galdlograma  cc  cqlia  z  prtttuca  fupcr  cande  bafim  cquidiftatia  1  ocmoftra  / 
bis  ca  ec  cque  alta.friitq^  bce  z  piemiffa  tuc  ocmoftrationis  medifr.impolTibilc 
aut  ad  quod  ouccs  crif.parte  fuo  toti  cffe  equalcqo  euidentcr  patcbit  fi  oc  illo  foli 
do  qo  altins  ce  mcntit  aducrfarius  cu  th  ambo  pofita  ftnr  equalia  1  fug  candc  ba 
fim  coftituta  vmi  foltdti  paraicllogramii  cque  altu  oemiffto:i  abfcideris :  boc  autc 
abfcjfuuuquale  cffc  ocmiffioii  couinces  c-c  bac  z  p:emilTa.idcoq5  z toti  illi  3  quo 
tpfumabfciderisc^coifcia.  1(b:opofitio    .31  „_ 

-~}ii©Udaeqntdiftaimul'ut!Rcie?:iiibafibu0  equis  coftttuta 

fi  fuermt  eque  alta  Uiiecq^  eiue  angularee  fup:a  bates  0: 

tbogonaliter  fteterint  erunt  equalta, 

G£t  boc  quoq,  vqz  e  cp  oia  folida  paralcllograma  i»  'equis  'bafib* 

,  J|  atq^  iutcr  fuperficies  equidiftantcs  fiuc  cquc  alta  conftituta  funt  ad 

inuice  equaliaficutocfuperftcicb^equidiftantifilaterufupcrcquales  bafes  zin/ 

rcrUnca3equidiftatcsconftitutisin.36.p:imip:obatue.attaliufolido^aliafut 

quoy  angularcs  linec  fupcr  fuas  bafcs  o:tbogonaliter  erigunt  oc  quib"  bec.  5 1  .p/ 

ponitoemoftrandu  cllccaceequaiia.aiiavcrofuntquoyangulares  linee  fupcr 

fuas  bafcs  no  funt  oubogonalitcr  crectc:oc  qutbus  fequcs  ocmoftradu  p:oponit 

ca  ce  equalia:intelliganf  itaqj  fupcr  ouas  bafcs.a.b.t.c.d.que  fint  equalcs  z  cqui 

diftantiu  latey  no  tfi  vnius creatioms.fcd fit.a.b.tetragonus longus.c.c.d.  fimi 

lc  bclmuaym  ouo  folida  cquidiftautiu  latcrii  coftituta  cque  alta  fintq^  lince  crccte 

fupcr  angulos  ppofitay  bafiu  ppcndiculares  ad  ipfas.  oico  bec  ouo  folida  ad  in  / 

uicedTecqualia  p:otrabanf  itaq^ouolaterabafis.a.b.^fintilla  qne  cotinetan/ 

gutum.b.vfqjad.f.t.cjfiatangulus.f.b.g.cqualisangulo.c.bafis.c.d.^fumaf 

oue  linccb.f.t.b.g.cqualcs  onobus  latenbus  bafis.c.d.que  cotinent  angulu.c? 

pcrficiaf  fuperficics  cquidiftantium  latcrum.b.b.que  crit  equalis  z  filis  bafi.  c.d., 

ocbinc  ytrabaf.b.e.cquidiftans.b.f.-r.f  k.cquidiftans.  b.e.  critq5  quadrilatera 

fupcrficics.b.k.cquidiftantiu  lateru  equalis.b.b.ejy  j.pjimiicuq^.b.b.fit  cqua/ 

lis.cd.crit  per  c6ccptioiie.b.k.equalis.a.b.£6pIcaf  itaq^  fupcrficies  cquidtftan/ 

tium  laterum.b.l.p:otracta  linca.k.f.quoufq^  coiurrat  cii  vno  cy.  latcribus  conti/ 

ncntibns  angulu.a.in  pnncto.l.age  crgo  fupcr  trcsfupcrficics  cquidiftantiu  late/ 

rum  quc  funt.b.b.b.k.b.l.coftituatur  cquc  alta  folida  (olido  coftituto  fupcr  bafim 

a.b.fiiitq^  lincc  omniii  folidoy  iftomm  crccte  fupcr  bafcs  pcrpcndicularcs  ad  ip/ 

fas  1  appcilentur  bafcs  z  folida  fnpcr  eas  coftituta  eifde  nominibus  .manifcftum 

cft  crco  c%  oiffimtioiie  folido^  equalium  arq^  fimilium  cp  ouo  folida.b.b  .z.cd. 

equalia  atq^  fimilia  funt:oc  folidis  aut.b.b.i.b.k.conftat  c1c.29.cp  ipfa  fut  cqua 

lir.funt  cni  cque  alta  z  coftituta  fuper  vna  z  eande  bafim  z  ipfa  e  fuperficics  ere/ 

cta  fupcrliiiea.b.f  ?  fupcrlineavna:eautg.zcp:opo:tio  folidi.a.b.adfolidum 

b.l.ficnt  balis.a.b.ab  bafim.b.U  pcr  eandem  folidi.b.k.ad  folidum.b.l.ficut  ba 

fis.b.k.adbafim.b.l.cunqjfitvtriufq^ouarumbafium.ab.^.b.k.adbafim.b.l. 

vna  p:opo:tio:cy  p:ima  parte.7.quinti  erit  vtriufq^  ouo£  folidomm.a.b.s.b.k. 

adfohdum  .b.l.p:opo:tio  vna  igiturcjcprima  partenoniquinticruntouofoli/ 

da.a.b.c.b.k.cqualiaiatquiafolidu.b.k.eftequalefolido.b.b.foliduq^.b.b.fo/ 

lido.c.d.fcqmt  c%  coi  fcia  folidum.a.b.ec  cqlc  folido.c.d.quod  eft  p:opofitum. 

n     i 


LIBER 


-ib 


1^»20pof«tO     .52. 

3f  folida  equidiftantiu  fuperficiey  in  cquts  baiibus  tont 
ftituta  eque  aita  fuerint  linee  aute  angulares  fup:a  bafes 
o:tbogonaltter  no  fteterint-.ipfa  ee  cqualia  necefie  cft. 

C$ab:tcatis  ouob9  co:po:ibusvtp:oponiturvidclicetqfiiitcqui 
diftantifi  termino2j  z  equc  alta  z  fup.  bafcs  cquas  perpendicularircr 
no afit fuper bafes fuas erccta  fect  ambo fuper eas inclinata.  Si  autem  a  quatuo: 
angulis  fuppxmai»  fuperficiqz  ipfoy  ad  bafes  fuas  perpcdiculares  oucantur  q  c% 
e.crut  fmgularcs  cquidiftantes  1  etia  c%  ypotbeft  fingule  fingulis  equalcs  ipfe  aii 
«olidoi?  .ppofitoy  altitudine  oifTmiunr.c  fi  inrer  cas  folida  equidiftanrifi  laterum 
Eficianf  conltabit qc pxmiffa  bcc  ouo folida  vltimo  conftituta  effe adinuicc  equa 
lia.Xunqj  ouoz?  p:ioi2 1  OU022  pofterioy  fint  ccdem  bafcs  vidclicct  eoz?  fupcrfirief 
fupp2emc:  conftat  ex.29-Vd.50.ct  bac  comuni  fcietiatquecuq^  cqualibus  fut  equa 
Ita  fibi  inuice  funt  equaliave^  effe  q6  .ppofitfi  cft.£ j:  bis  potcs  coucrfas  buius  z 
pxmiffc  cifde  mediantib9indirecte  oemoflrarc  fi  libct  code  mo  1  ad  idc  icoucnica 
ficut  in  couerfis  ouay  iftas  antccedentiu  ocducedo:poncs  cni  ouo  folida  paralcl/ 
logramaeeequaliasfugequalcsbafesscouinccs  caelTc  equc  altavdponesca 
ec eque alta  1  eqlia  1  couinces ca ce fup bafes eqlcs.     ^jbzopofltio    .33. 

^-QDniafolida  equidtftanu  fuperfictey  equeaitafuteba/ 
fibusfimt  pJOpOJttonalia.GSint  ouo  folida  equidiltatifi  fur> 
ficic^equealtac6ftitutafupcrouasbaf£s.a.b.c.c.d.oicocp,ppo:/ 
tioilloyouoy  folidorumvniusadalterumcftficutppouio  fuaru 
bafium  quc  fut.a.b.s.c.d.vni9  ad  altcra.£6ftar  quide  e;c.24.Vtraq$ 
bai?  ouarfi  bafifi  effe  cquidiftanrtfi  lateru:ouo  igitur  latcra  oppofita  1  equidifta/ 
tia  in  fnpcrficie.a.b.  ptrabanf  1  inter  ea  fiat  fuperficics  cqmdiftantifi  latcru^  que 
fit.f.c.equalis.c.d  .ocbinc fup:a  fupficicm.f.e.coplearur folidum  ctalcllograiiium, 
equ*altfi  ei  <\6  coftiturfi  eft  fup.  baftm.a  b.firqj  ambo?  cois  tcrminus  tlla  fugfici/ 
cs  quc  eyurgit  fup  linei.b.f.bec  aut  folida  1  fue  bafcs  cifdem  nuncupenf  nomini/ 
bus.q:  igif  bafis.f.e.e  equalis  bafi.c.d.crit  cjc.j  1 .  vel.52.folidu.f.e.equaIc  folido.c 
d.St  q:  totalc  folidfi.a.e.fecat  fupcrficics  cpirgens  fupa  linca.  b.f.  cquidifrantcr 
onobuslateribns  oppofitis:erk  cjc.ay  .pponio  folidi.f.e.ad  folidu.a.b.  ficut  ba/ 
fis.f.e.ad  bafim.a.b.cunq5  fint.c.d.t.f.e.tam  bafcs  63  folida  equaita:bafcs  qui/ 
deexfpotbcfi:folidaauteej:.5i.vel.}2.Scquitur  ej:.r.quinti bis  alTumpta  fcmd 
$>  bafibus  1  fcmel  p  folidis  cp  folidoz?  .a.b.c.cd.bafiumq5.a.b.c.c  d.fit  ,ppo:/ 
tio  vna  qo'  oemoftrare  volumus:  buius  quoqj  oucrfam  cade  ipfa  mcdiatc  ccmo 
ftrare  queadmodfi  pucrfas  p:ecedentifi  no  e  oifficile.poncs  eni  ouo  foltda  para/ 
Ullograma  ce  fnis  bafibus  ;ppo:rionalia  %  puinccs  ca  ce  cque  alta  abfcifoq;  ab  co 
q6  alti9  metief  aduerfan9  vno  folido  palcllogramo  eque  alro  ocmiffio:i  erilt  abfci/ 
fficoemifii9  fuisbafib9  .ppojtionaliaejcfpotbcficcxbacj^.cuq;  ctiaccnttota 
lealti9agnoptiale  abfcidifti  %  ipffi  ocmiffi9  eifde  bafib0  ^)po:tionalia  cy.  ypotbcfi 
[lfeqnif  tf.  pma  ptco.quinti  totalc  q6  aducrfari9  oicit  alti9  c  ptialc  qi> 
abeoabfcidtltiefiecqualia;  'JfbJOpoittio    .94. 

3f  Ouo  folida  equdiftanti»  fuperficiey  linets  altitudinum 
fuper  bafes  ojtbogonaltter  erectis  fucrint  equaha  eo:uj 
bafes  eo:fide  altintdinibns  mntuas  ellc.  £>i  vero  fiicrint 


XI 


tnie  bafes  fuis  altitudinib9mutue  ipfa  folida  fibi  ittuice  eqnalia  effe  ne 
cciTe  eft.CQuoamqj  ffnt  ouo  folida  cquidiftantiii  fuperfkic^  cqualia  coij  ba  / 
fcs  i  altimdinc3  neccflc  cft  cffc  mutckefias  t  cconuerfo  qucadmodii  qc  fupcrftcic/ 
buscquidtftaiitmlafcpcquiangulisaj.fcxti^ppofuit.attamcbacj^.iftudocmo 
ftrandfi  pioponitur  oc  illis  folidis  galdlogramis  iu  qmbus  linec  altitudinum  fuis 
bafiV  palcllogramis  ojtbogonalitcr  infiftut  .ca  vero  quc  fcquif  pponit  ide  oc  cc/ 
tcris.Sint  crgo  nflc  ouo  folida paldlograma.a.b.?.  c.d.  equalia  quoi>  bafes  fint 
a.e.-z.c.f.lioccqs  altitudiuu  ipfoz?  ftnt  fupcr  bas  bafcs  oubogonalitcr  crcctc  -z  fit 
altitudofolidi.a.b.linca.c.b.-Jfolidi.c.d.liuca.f.d.fiigiturfuerintoticlincc.e.b. 
s.f.d.oeterminantcs  ipfoy  folidoz?  altitudincs  equalcs  adinuice  :cum  ipfa  quoqj 
folida  fint  c%  ypotbefi  cqualia.erunt  ejc  couerfa.  31  .bafcs  cop  que  mnt.a.e.s.c.f.cq 
les.idcoq,  bafes  z  altitudincs  crunt  mutueificcp  coftabit  ppofiti  p:ima  ps.i  eco  / 
uerfo  coftabit  fc6a  vt  fi  altitudines  1  bafcs  fint  mutuc.ponanf  altitndines  cqua/ 
lcs  erut  quoq>  bafes  cqualcs.idcoq^  p.  5 1  .z  folida  cqualia  1  fic  coftat  fccunda  ps; 
2t  vero  fi  lince.c.b.i.f.d.no  fucrint  equalcs  fit.  f.d.maio:  z  cc  ea  refccef  .f.g.  ad 
cqua!itate.e.b.tribufq5  ceteris lincis quc funt altitudinis  folidi.c.d.ad eacie mcn/ 
furainpnnais.b.b.l.refccatisperficiatfolidupalcllogramu.c.g.equealtfi  folido 
a.b.eritcge):p2emilTa.a.b.ad.c.g.ficut.a.e.ad.c.f.cuitaq5.c.d.fitequale.a.berit 
cc  pjima  p.te.7.  quinti.c.d.ad.c.g.ficut.a.c.ad.c.f.p.  pjemiffa  afit  e  ,ppo:tio.  c.d. 
ad.c.g.ficut.m.f.ad.f.l  .qb*  p,  fi  vna  c%  lateralib9  fupjicieb9  folidi.c.d.?  ipfa  ftt.f. 
m.mtelligaf  bafis  ipfi9.at  per  pjima  fcjti.f.m.ad.f.l.ficut.d.f.ad.  f.g.  idcoqj  per 
7.quinti.ficut.d.f.ad.b.e.  igif.a.cad.c.f.ficut.d.f.ad.b.e.coftat  itacp  pjima  qs. 
Scoam  p_tc  cu  fit  coaerfa  p2ime  coucrfo  mo  ,pbabi8:fit  cni  eade  oifpofitione  ma/ 
ncntc  ppojtio.a.c.ad.c.f  .ficut.d.f.ad.e.b.oico  tunc  fo!ida.a.b.?.c.d.ce  equatia: 
crit  eni  cx.7.quinti.d.f.ad.f.g.ficut.a.e.ad.c.f.fede>:  pmiffae.a.b.ad.c.g.ftcut 
a.c.ad.c.f.igifea.b.ad.c.g.ficut.d.f.ad.f.g.c):  pjiinaautfextie.d.f.ad.f.g.ficnt 
m.f.ad.f.l.  1  erpmiffa  .c.d.ad.c.g.ficnt.m.f.ad.f.l.  itacp.c.d.ad.c.g.ficut.a.b. 
ad.c.g.igif  ex-9-  j.a.b.i.c.d.fiit  eq(ia:q6  e  pjopofitij. 

Ilbzopofitto  .?y. 
I  %  ouo  folida  equidtfrantiu  termiuo^z  fijerint  equalia  co% 
jbafes  eoztlde  altitudinibus  crut  niutne  0i  vero  baies  fue 
akitudinibus  fais  mutue  merint  quelibct  ouo  cojpa  equi/ 
diftantium  fnperficierum  pjobatur  efleequalia. 
>}€.Q6  pjemifla  .ppofuit  oe  folidis  palcllogramis  quo?  linee  altitu/ 
dinu  fupcr  bafcs  fuas  o:tbogonaliter  eprgunt.bec.  3  f  .pponit  indiftinctc  oc  om 
nibns:ocm6ftrare aut coucnit bac c% p:emilTa queadmodu  ocmonftrauim9.^.? 
53.§abricatiseniouobusfoIidis  equidiftantiu  lateru  quibufcuqs  filinccaltitu/ 
diuu  fuis  bafibus  ojtbogonaliter  infiftunt:coftat  vey  effe  q6  oicif  ec  piniffa  .Sin 
autc  a  quatuo:  angularib9  punctis  fuppjcma?  fup.ficie:j?  in  vtroq^  folido  quatcmc 
lincc  oemittanf  pcrpcndicnlariter  ad  bafcs  vcl  a  punctis  angularibus  infimarnm 
fupficiej;  quatemc  criganf  :iter  quas  ouo  folida  palcllograma  pficianf  eque  alta  fo 
lidis  pjiojibu3.eruntq5  9C.29.?.  jo.bcc  ono  folida  ouobus  pjioiibns  folidis  cqua 
tia.cnm  igitur  bo:um  z  cora  fmt  eedc  bafcs  %  eedc  altitudines:  fit  aut  c%  p:cmiffa 
oc  poftcriojibns  verum  eft  quod  bec.  5  ^.pjoponit  vernm  erit  ide  ctia  oe  p:io:ibus 
ll&jopofitto   .36. 

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LIBER 


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^fcnololida  equidtftaiitium  fupcrficieranj  fueritfintilia 
pzopoJttocritvmufq^  adalterii  tanq^cuiuflibctfuiiate 
risadfuum  rclatiuum  lamealtcrius^ppouio  triplicata. 
CSint  cni  ouo  folida  .a.b.s.c.d.palclbgrama  i  filia:oico  cp  ppoi 
1J  tio  vnius  cop  ad  altqjcficut  vnius  latcris  cius  ad  vnu  latus  aitcri9 
c^fibireferf  ;ppo:ttotripIic9ta:quc'3dmodu  oua^furjftcicyfilium^ppoHio  clt  fi 
cnt  fnoi?  rdatiuoy  latc^  ,ppo:tio  ouplicata  ut  in.  i~s~. u?ti  oemonfl ratue.  na  ft  foli 
da.a.b.i.c.d.fucrint  equalia  cu  ipfa  ponanf  fitia  erunt  e?  oiftmittonib^fiftu^  co:/ 
po:u  «fimiliufup.ficicy  cunctalatcra  viiiusequaliafuisrelatiuislatcrtbus  alrcri9 
idcocrs  cu  onty  quantitatum  cqtialiu  ,ppoHio  triplicata  aut  quofceufkbct  fumpta 
noefficiatnifiequalitatis  ,ppoHione:conftat  inboccafu  verccqopioponif.Si 
aute inequaliatfit .a.b.maius cuius longitudo fit.b.c.latitudo.  cf.alritudo. f.a. 
bafis.c.r.s  iupp:ema  fuperficies.a.n.Solidi  vero.c.d.fit  longitudo.d.g,latitudo 
g.b.altitudo.b.c.coftat  itaqj  c% oionc  fimiliu  co:po2?  1 ej:  ciffiiiitione  fimiliu  fug 
ficieru  i  pfenti  rpotbefi  q>  (ppo:tio.a.f.ad.c.b.t.f.e.ad.b.g.c.e.b.ad.g.d.fit  ,p/ 
pouio  vna.fumafigtfexlinea.a.f.quamanifcftuecemaio:e.c.b.linca.f.k.cqu9 
lis.b.c.cetereq3  tres  oeterminantcs  altitudinem  folidi.a  .b.rcfecentur  ad  cqualita 
tem  eius  i  intcr  eas  coplcatur  folidu  galellogramu.  k.b.equc  altu  folido.c.d.?  p/ 
trabanfouelinecbafis.c.b.vfqsad.l.t.r.b.vfq^ad.m.fitq^.b.lequalis.gd.i.b 
m.cqualis.b.g.t pcrficiaf  fugficics cquidiftanriu  latcru.m.t.quc  ei  it  cqualis  i fi/ 
milis.b.d.fug  ca  igif  erigaf  folidu  galellogramu  .p.qim  altitudine  p:efcifam  cy 
altitudine  folidi.a.b.eritq^.p.q.cquale  i  file  folido.c.d.msTtjfq;  intcr  lineas.r  .b. 
•z.b.l.pficiaf fuperficicsequidiftantium laterum.b.t.fugquaquoqj  crigatur foli/ 
du  paratellogramu.x.l.cquc altii  vtriqj  ouo;>  felido2?.k.b.?.p.q.rcplendo  altertt 
trum  01102:  anguloi?  byantium  tuter ca:cu  aiit  ouo fcLda.a.b.p.q.fint fitia  eo  q> 
abo  pofita  fint  fitia  folido.c.  d.co:pa  vero  vni  1  cidc  co:po:i  fitia  iter  fe  funt  fifia 
vt  p5  ct  oione  ftnum  coipoij  c.2o.fej:ti  manifcftum  e  cc.z^. tcr  affumpta  q>  inrer 
ouo  folida.a.b.i.p.qim  contiuua  ;ppo:tionalitatecadunt  ouo  folida.  k.b.-r.i:.!. 
oppoitune  crgo  coftitnta  Vcl  conftrucra  figura:fpotefibufq5  mcmoiie  lirme  con  / 
mcndatis  ejc p:ima  fcjti facile pdudes p:opofit~'.£jccurc to:po:e  1  oiligcntcr  atte 
dcfcicfq^ec.ij.buius^ppoKionc  folidt.a.b.ad 'olidu.k.b.ecficut  fugficici  .a.r. 
ad  fupcrficie.k.r.ioqj  ec  p:ima  fejcti  f  icut  lince.a.f.ad  linca.k.fa  .pponioiic  foli/ 
di.k.b.ad  folidu.)c.l.ficut  fupficiei.k.r.ad  fupficic.  jc.t.ioq^  ficut  lince.f.r.  ad  line 
am.r.t.i.ppoHionefolidi.x.l.adfoIidu.p.q.ficutfuperftciei.r.l.adfugficie.  l.m: 
ideoq,  ficut  lincc.r.b.ad  linca.b.m.£x  ypotbefi  vcro  liqucr  q>  ^pponio  lincc.f.r. 
ad linca.r.r.ilinec.r.b.ad linea.b.m.e"  ficut lineca.f.ad  liuca.k.f.itaqj  c%  oione 
.pponioiiis  triplicatc  pofita  in  ,pbcmio  qiiintircoftat  q>  ,ppo:tio  folidi.  a.b.ad  fo 
lidum.p.q.ideoq5  etia  ad  folidu.c.d.e  ficut  linec.a.f.ad  lineam.k.f.triplicata  1  qi 
l.nca.k.f.pofita  eft  cqua'i8linec.c.b.p3  vqs  cffc  quod  oictf  .CScirc  aut  opo:tct  cj> 
quicquid  p  banc.  j<s.  1  p.7.ea  cotinuc  p:ecedcntcs  oemotiftratu  e  oc  folidis  galcllo 
gramis.ide  quoq^  vez;  e  oe  feratilibus  quor  bafes  coitcr  funt  trigonc  aut  comuni 
ter  retragone.bocautejc.2S.'Jb3c.js.  ?.7.eac6tii!uep:ccedcntibus  eoftabitige/ 
niofo  infpectoii.Si  eni  fucrint  feratilia  quelibct  equc  alta  fup  eande  baftm  vcl  Wro 
balcs  equales  coiter  tn  trigonas  aut  eoiter  tetragonas  cum  ipfa  fint  oimidia  foli/ 
do^ paralcllogramomm  ftuium altitudinfi  ex.28.ipfa  crut  equalia cf.29.1  trib4 


XI 


c i  fcquetibusiej;  bts  eni  conftat folida paraleltograma ipfis  feratilibus  oupla  ee 
cqualia  .Silr  qnoqj  fi  fucrint  ono  feratilia  fng  bafcs  coircr  tgonas  aut  coitcr  tctra 
gonas  eque  alta  ipfa  erunt  fuis  bafibus  ,ppo:tionalia  qucadmodti  oc  folidis  pa  / 
ralellogramiscx»  j?.babct  ipfa  eni  funt ex.zs.oimidia  folidoE  gaIcllogramo:uiii 
foc  atttt  udinis-.folidor  atit  palellogramos  fue  altitudiuis  comq;  bafiu  c  vna  p:o  / 
po:tio  ex.35.a1m  itaq>  fit  folidor  paralcllogramoy  ,ppo:tio  ficut  feratilui  q:  iicat 
limpUi  ad  fimplfi  fic  ouplii  ad  ouplu  cv.  1 5 .quinti  atq;  bafiu  f  olidor  paralcllogra 
mo?  e  p:opo»(o  ficnt  bafiii  feratiliir.aut  cni  eede  erut  bafcs  fcratiliu  z  folido:um 
paralellogrimoz/ :«  boc  quide  erit  cti  bafcs  feratiliu  fuerit  retragone  tunc  entin  cc 
fcrattlibus  ftrpcr  eafdc  bafcs  crut  folida  palcllograma  c6plcnda:aut  bafes  ferarili 
om  crut  fubduple  ad  bafcs  folidoy  paieiiogramoj/:?  boc  quide  crit  cu  bafes  fcrati 
lium  ruerintcomunitcrtrigone:tunccuteruntexferatiltbus  folida  palcllograma 
coplcuda  adiunctis  ad  bafcs  fcratiliu  fupcrficicbus  trigonis  vt  ftant  bafcs  fcratt ' 
liu  cii fgonis adiuctis fupncieb':fugficies eqdiftatiu  laterii.fcqt  ut  fit  ,ppo:rio fe/ 
ratiliu  ficut  fuay  bafiu.fodeq;  mo  fi  feratilia  fuerinr  eqlia  fueritq;  comunitcr  fu 
pcr  bafcs  rrigonas  vcl  coitcr  fupcr  bafes  terragoitas:bafes  coy  altitudinibus  ipfo 
runt  mutue  crunt.Qo  fi  bafcs  cor  futs  altitudinibus  fucrint  ntutue  ipfa  fcratitia 
crunt  cquati  qucadmodu  oe  folidi8p.alcllograrmB.34.'?.  3  j.,pponum:boc  autem 
facile  P3 1% bis quc  oicta funt  in.35.fi  vcro  feratilia fuerit  adinuice fitia  :cnt p:o/ 
po:tio  »nius  ad  altertt  .ftcut  ,ppottio  lateris  vm"  ad  fuum  rcliquum  latus  attertus 
,ppottio  triplicatatqucadmodii  oe  folidts  palcllogramis .  3fi.,f>ponir  q6  cx  cadem 
3«.facile  tibi  patcbit.fi  cx  illis  feratilibus  fitibus  folidis  palcilogramis  completis. 
fotida  ipfa  ptobaucris  cffe  fimiliazqb  ex  oitfinitione  fimiliii  co:por  z  ftlium  fuper 
ficicrum  1  c%  boc  cp  feratilia  ponunt  adiuuicc  fiiia  cx.  34.^:11111  lcuc  e  negociari. 
"IfbJOpolitio  .37. 
3f  fuerint  tmo  anguli  plant  equales  fuper  quos  oue  fpo/ 
tbemife  in  aere  ftatuant  cum  lateribus  anguloy  fubiacen 
tium  ftngulos  ftngulis  equos  angulos  continentcs  atq;  1 
ilUsYpotbemifis  ouopuncta  fignenturaquib^pnBCtis 
oue  gpendiculares  adfuperrkiesangutorupiopolito?: 
Ocmittantapunctis  autfuperque  ppendiculares  ceciderttadeofde 
t>uos  angulos  planos  bue  recte  linee  oiicanr  ono  anguli  qni  ab  tllts 
tmabus  lineis  atq5  Ouabus  fpotbemifts  cotinent'  equi  ftbi  inu  tce  cfle 
,pbantur  .GSint  ouo  anguli  plani.a.«.d.equalcs  contcnti  lineis.a.b.?.a.c.«.d 
c.«:d.f.«  fuper  eos  crigantnr  ouc  linec  fpotbemifalitcr.a.g.^.d.b.fitq;  angulus 
g.a.c.equalis  aitgnlo.b.d.f.?  angutus.g.a.b.cqiialis  angulo.b.d.e.atq;  in  oua/ 
bus  fpotbcmifis  .a.g.^.d.b.figncnt  qtnoilibct  ouo  puncta.k.t.l.a  quib"  f^m  p:c 
cepta.ii.buinsocmittaitturadfuperftciesangulo:um.3.7.d.'ouc  pcrpcndicula/ 
rcs  que  fint.k.m.^.l.n.?  ptotrabantur  ouc  lincc.a.m  .c.d.n  .oico  igitur  angulum 
g.a.m.effccqualemangulo.b.d.n.filinea.a.k.cftcqualis.d.l.benequidcm.Sin 
autem  ex linea.a.g.fumatur.a.p.equalis.d.l.at a puncto.p.  oemittatur  pcrpen/ 
dicularis  ad  fuperficicm  anguli.a.Iinca  quc  fit.p.q.manifcftum  cft  igitur  cp  pun/ 
ctum.q.cft  in  linca  .a.m.quod  ex.s.buius  1  oiff mittone  linearutn  equidiftantium 
qs nccdTe  c ee tit fupficie  vna facile pftat ftudiofc intucnti ocbica  pucto.q.oucaf 
SPcndiculares  ouc  vna  ad  linca.a.b.quc  fit.q.r.s  alia  ad  linea.a.c.cj  fit.q.f.Sitr 


LIBER 


quoqi  a  puncto.n.oucanf  ouc  alic  pcrpcndicularcs  vna  ad  Unca.d.c  q  fit.n.  t.z 
alu  adlmca.d.f.quefit.n.cc  ;ptrabant.r.f.«.t.jc.ircriiq5  a  punctis.p  .cl.ocmit 
tauf/potbcmifc.  p.q.p.r.p.s.cl.n.l.t.l.cbisitaq^poiuis  figuraq)  pmdecoi/ 
fpofira  ocmonftratione  ,ppofiti  fic  colljgccoftat  ejc  pcnulcia  p:imi  g>  quadratum 
lincca.p.c  eqnalc  quadratis  oua^  linea^z.a.q.i.p.q.ac  ejc  cade  cp  quadratu  .a.q 
e  equaic  quadratis  oua?  lincaru.a.f.cf.q.itaq^  quadratii.a.p.c  cquale  qu3dra/ 
tis  triii  Itnearu.a.f.f.q.t.q.p.Sed  excadequadratu.f.p.e  cqualc  quadratis  oua 
rii  linearij.f.q.s.p.q.crgo  quadratu.a.p.c  cquale  quadratis  oua^linca^.  a.f.-z.f 
p.idcoqj  cjc  vltima  pniniangulus.a.f.p.crecrustfitkft  mo  .pbabis  vnuqueq^  triu 
angulo^.d.cl.a.r.p.d.t.l.c  rcctu.cu  igitur  ct  ypotbeli  fit  augul°.f.p.a.cquat'an/ 
gulo.y.d.l.i  linca.a.p.lincc.d.l.erit  cjc.atf.pjimi  linea.d.x.cqualis.a.f.i.x-1.  eq/ 
lis.f.p.eodequoqjmdcucjcypotbcfifitangulus.r.a.p.cqualisangulo.e.d.l.erit 
e%  eade  linca.a.r.equalis.d.r.s.r.p.equalif.t.l.quarc  p  quarta  p:imi  linca.r.f.crit 
eq  :alis  lincct.jc.c  angulus.a.r.f.cquaUs  augulo.d.t.jc.?  angulus.  a.f.r.  angulo 
cft  enmt  cjc  ypotbefi  angulus.a.equalia  angulo.d.a  coccptiouc  igitur  crit  angulus 
f.r.q.equalisansulo.x.t.n.tangulus.r.f.q.ansulo.t.jc.n.fuiiteni  rcfiduiouo:u 
rectoui  oemptis  equalibus  ncceffe  e  itaq^  cr.2<y.p:imi  vc  liuea.r.q.fit  cqualis.  t.n 
t.q.f .equalis.n.r.jCiiq^  er  penutcima  p:imi  quadratu  lincc.r.p.fit  equalc  qdra  / 
tisonarumlinearum.r.q.^.q.p.^quadratuinlince.t.  l.cqualequadratisouaruj 
linearum  .t.n.s  .I.n  .fintautem  ouelince.r.p  .■z.t.l.cquaksiouoquoqjquefunc 
r.q.ct  .n.cqua!es:fcquitur  er  communi  fcia  oua*  quc  funt.p-.q.?.  l.n.ce  cqualcs 
£ode  mo  cu  quadratn  lince.a.p.fit  equale  quadratis  ouay  Imcatu  quc  fiit.a.  q.i 
q.p.ftfrquadratu  lincc.d.l.quadratis  ouarii  l  neayque  fiit.d.n.cn.l.ft  aut.a.p. 
cquaUs.d.l.s.p.q.equahs.l.u.fcquifcrcoi  fcia.a.qce^quacdn.cx.s.igifp:imt 
cocludo  .ppofitu  Viddicet  angulu.p.a.m.ce  equalcm  angulo.l.n.d. 

Ijbjopofttio  .36. 
ili©lidutribu0ltnei3rppo2tiort3Ubuscotcrttitm  cquu  eric 
fblido  q6  a  mcdic  linec  equie  latertbus  contincf  ,!i  angult 
fui  ambojum  ftbi  inutccm  equales  fuerint. 
I  C.Dc  folidis  galcllogramis  tntclligaf :oe  bis  eni  qualiacuq^  fint  ou 
tamecquiangulaveruecpcdccniu  atrtbus  lincis,ppo:tion3libus 
cqualc  e  et  qo  a  media  earu  cotinef  qucadmodu  oc  fnjrficicbus  rectangulis  p:oba  / 
tum  eft  in.  itf.fcrti  1  oe  non  rectangults  clicitur  cuidcutcr  cr  fecunda  prc  1 3.ciufde 
Sint igit tres linec.a.b.b  c.cc.d.continue  ;ppo:tionalcs  fiatqj cr cis  vnus angu 
lus  folidus  ad  libitu  x  pficiaf  folidii  equidiftantiu  latcru  cui9  linca.a.b.  fit  logttu/ 
do.b.c.  vero  altitudo.fcd.c.d.latitudo  1  ipfum  foiidum  oicatur.  a.d.  fumpta  quo 
q3 alia linca qualibct  equali.b.c.quc ctia  vocctur.b.c.fup ipius  crtremitatc q  e.b. 
pftituat  angulus  folidus  cquaiis  angulo  folido.  a.  ftn  qo  oocet.ie.lutccqj  cetere 
folidnangulu.b.cotinetesrcfcccntadcqualitaielincc.b.CiTEficiat  folidu  equidi/ 
ftantiu  fupcrficicru  cuius  longitudo  latitudo  1  altitudo  fit  linca.b.c  .1  ipfum  ap/ 
pcllef .b.coico  itaqj  ouo  folida.a.d.cb.c.ce  equalia.  mamfcftum  c  cui  cp  cuncre 
fugftrtcs  vnius  funt  cquiangulc  fuis  rclatiuis  fupcrficieb9  alteri9  qd  cx.  34-pmi  ps 
tcrcp6t.n3cufolid9augur.b.ponafccili8folidoangulo.a.ncccnccvtvn9angl'9 
vniufcuiufqjfupftcicifolidi.a.d.fitcqlisvniagulo  fuc  rclatiue  fupficici  tn  folido 
b.citaqj  pcr.}4.p:imi  eoy  oppofiti  crunt  cquales  .3t q:  Vnmfcumfq)  fupcrficici 


XI 


cjuadrilatere  oes  angnli  funt  cqualcs  quatuoi  rectis  cr.  3  2.p:imi:ncccffc  e  ouos  re 
liquos  vniuseffeequales  ouobusrcliquis  fucrelatiuc.cumq^ipfiouorcliquiin 
quahbct  fint  ctia  adinuice  equales  couincitur  nccciTario  vt  vnaqqj  er  fupficicbus 
folidi.a.d.fit  cquiaugula fuc relatiuc i  folido.b.c.quare  er fcoa  gte. 1 j.ferti bafes 
ouoy  folido^  ;ppofitop  crunt  eqles.fut  eni  cquiangule  z  latcru  mutuoy.St  itaq, 
linee  altitudiuii  fupcr  balcs  ipfoy  otfbogonalitcr  tnfiftunt  conftat  cr. 3  1  .ipfa  effe 
equalia.cu  eni  bec  liitce  ftnt  equales  1  ipfe  oeterminent  altitudinc  folidom  crun t 
folida  cque  alta.ac  fi  lince  altitudinii  ipfoiu  no  tnfiftunt  fuis  baftbus  ojtbogona 
literabipfa?  fumitaribus  adbafes  pcrpcndiculartbusoemtiTiscrunrerpmilTa 
bcc  ppendicularcs  adinuice  equalcs  ipfc  eni  etut  ficut  crant  z  in  p  jemiffc  ocmon  / 
ftratiouis  ftgura  ouc  lincc.p.q.s.l.n.quas  oemoftrauimus  opo:tctc  ce  cqualcs. 
£2uia  igif  omniti  foiido^  altitudo  cr  ppcudicularibus  a  fttmiratib9  ipfof  ad  fuas 
bafcs  ocfcedcrib9  oiffinif  crut  er.  32.OU0  folida.a.d.t.c.b.cqualia.  Xouerfa  quo/ 
r 5  buius poffumus  ft  oelcctat couerlo  mo  ,pbare  vt fi  galellogramu  coipus.  a.d. 
fitequale^cqutaitguIucoipouBalellogramo.b.c.-iCoipus.b.c.cotineafa  media 
trui  lincaru  cotiueutiii  coipus.a.d.erunt  trcs  lince  cottnetcs  cojpus.a.b.  cotinue 
^>po:tionalcs.cu  cui  ouo  folida galcllograma.a.d.^.c.b.ftnt  equalia  1  cque alta 
er  ypotbefi  ipfa  crut  fuper  bafes  equalcs  p  coucrfas.  3 1 .z.  3  2.1  q:  ipfe  bafcs  co:u 
funt  cquiangule fequif  cx pntna  pte.  1  j.ferti  g>  ipfc funt  mutuom latcru  itaq?  p:o 
po:tio.a.b.ad.b.c.ficut.b.c.ad.c.d.quarc  coftat  pjopofitum. 
'llbjopoiitio    ,59, 

^  fucrint  quotltbet  Imee  ^poztioiiales  iblida  quoq^  fug. 
equidtfrantium  atq^  iimilium  viuulcuinfqjcreariomsfu/ 
perikie^  erut  ^poztionatia.ii  vero  folida  equidifrautiu 
atq^firmmvmuicuiuiqjcreattoislupficieyfuermt.ppoj 
ttonalia  Unee  quoq?  a  quibus  ipfa  fohda  continent  crunt 
,ppo:ttona  es.  Sile  ^ppouit  vtgeiima  p:ima  fejctt  oe  fuperfciebus. 
CSint  cni.4.linee.a  .b.  i.c.d.,ppo:tt6alcs  z  mjj  bas  fabiiccnf  quatuo:  folida  p_a 
Icllograma  eifdc  noibus  oicta  q  fint  crpflc  nlia.ouobus  cni  ad  tibiru  fab:icatis  fu 
pcrouasline3s.a.c.c.ceteraPmpcept3.27.c6ftitueudacrut.oicobcc.4.  folidace 
^tponionalia  z  ecouerfo.fubiungauf  cni  ouabus  Iineis.a.c.b.in  coiitinua  .ppoj/ 
tioue  ouc:q  funt.e.e.f.qucadmodu  oocct.  lo.fexti  ejc  ouabus  lineis.c.c.d.alie  oue 
que fmt.g.c.  b.conftat igif  er. ?e.  ct  cr  oifftnitionc ,ppo:tionis  triplicate quc po / 
fita  c  in  p:incipio  quinti  z  cr  bac  y  potbefi  cp  foltda.a.?.b.fibi  inuicem  z  foltda.c. 
s.d.fibi adiuice funt erp:effe filta  cp  ,ppo:tio  folidi.a.ad folidii.b.e  ficut ^>po:tio 
lince.a.adlinea.f.folidiquoq5.c.adfolidu.d.licutlincc.c.adlinc3.b.iquiap.22. 
quinii  p:opo:tio  linec.a.ad  linea.f.eft  ftcut  lincc.c.ad  linca.b.crit  ci.  1 1  .qutnti  foli 
du.a:ad  folidu.b.ficut  foltdihc.ad  folidii.d.pftat  igttur  p:ima  pars.  5ccunda  fic 
fint  ouo folida.a.c.b.ftbi  adiuuice ouoq, quc fiitt.c.c.d.fibi  adinuice  erp:c(Te fi/ 
milia.Sintqj  cuncta  paldlograma  z  ponat  ypoitionaha.oico  cj>  linee.a.b.T.c.d. 
fup.  qs fut  pftituta  fiit ^poitioales  .fit eni  ex.10  .fcxti  ficut  linca.a.ad  Itnca.b.it3 
linea.c.adlinea.k.t  fiat  ftn.27.b*  fup  liuea.k.folidu  erpffc  file  folido.d.  qo  etia^ 
oicaf  .k.eritq^  cr  oiffinttionib9  filiu,  co:po:u  z  fifiu^  fugficiqz  «.20,  ferti  co:p9.rc. 
erpffc fitecojgi.c.ioctf  p p:ima ptc  buius.39.ia  .pbata?  erit ^>pojtio  folidi.a.  ad 
folidum.b.ficut  foiidi.c.ad  foIidum.rc.  z  quia  eadcm  crat  folidi.  c.ad  foliduiu  .d. 


b  c 


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CTitejc  fecundapartcnoni  quinttfolidum.k.cqualcfolido.  d.cunq> effct  ftbi qc/ 
p:effc  fimi  le  fequitur  Itneam.  k.  effe  equalem  tinee  .d.  £qualitas  cmm  nou  p;o/ 
ducitureicaliqua  p:opo:tienc  triplicatavelquoticnflibetfumpta  nifi  cxcqualt: 
igtf  ejc  fcoa  pte.7.quinti  conftat  ctia  b"m6i  ps  fcba.occigis  aiit  fv  arbitrarts  opoi 
tere  Vnuqoq^  quatuo:  folidoy.a.b.c.d.ce  fite  cuiUbet  alioymccclTe  e  cni  ouo  fo/ 
Uda.a.c.b.fibiadinuiccm.itcqjOuo.c.i.d.fibiadinuiceccfimtliaifoUdaailt.c.i 
d.fotidia.a.i.b.effe  fimtlia contingcns cft-.ncccffariu  autc  no.  3dc ejc  bac.59.oc 
feratilib9  factle  poteris  concludere. 

IfMopofitio  .40. 
%  mfcifa  fuerint  latera  tma?  oppofitay  fupficierum  cubt 
vnuquodq-,  in  ouo  media:e;aerintq5  a  punctte  fecttonuin 
oue  furjficies  ie  viciffim  fecantes  1  cubuni  coem  eajjz  fectto 
\ffltVM  ^  ne  oiantetrum  cubi  per  equalia  fccarc  1  ab  ipfa  oianiecro 
|iffl|i|fcE|  verfauice  per  equalia  fecare  necelle  eft. 
GStatue  cubu  qui  fit.a.b.oc  quo  conftat  pcr  oionem  q>  oniucs  linec  ipfu  ccnti/ 
ncntes fint  equales  t ci9 fuperftcies  rcctaugule-.talc cni:co:pus  cubtt  otcim9:bui° 
igif  bafis  (it  fuperficics.a.c.d.e.fuptTcics  vero  cius  fuppicma.b.f.g.b  .ocjctra  ve 
ro  eius  fuperficics  fit.a.c.g.b.finiftra  aut  luperficies  ftt.b.f.c.d.citcrio:  quoq,  ftt 
d.c.b.b.fed  vlterto.a.c.g.f.ciufq,  oiarnctcr  fit.a.b.oiuidanf  itaqj  oia  latera  oua 
ru  quarulibet  fup.ficiqz  oppofitay  ei9  per  cqualia:?  fiut  nfic  fup.ftcies  quap  latcra 
oiuidaf  oejctra  atq,  fmtftra:  oiuidanf  inqua  quatuo:  tatera:oe)ctre  quide  fup.  qua/ 
tuo:  puncta  que  funt.o.p.q.r.finiftrc  vero  fuper  quatuo:  quc  fmt.h.l.  m.  n.s  pnT 
ganf  puncta  in  bis  fupcrficicbus  oppofita  ouctis  lincis.o.p.e.  q.r.  quc  fcccnt  (c  i 
puncto.t.itemqj.k.l.c.m.n.qucfcccntfeinpuncto.f.iperficianturouefuperfi/ 
cics  fccates  fe  inuice  1  cubu:,ptractis  itc  lineis.o.k.s.p.l.q.m.c.r.n.fitq}  ba?  ou 
aru  fnpcrficiey cois fcctio tinea.f .t.oico igif  cp linea.f.t.  oiuidit  oiametp.a.  b.ct 
oiuidtf  ab  cade  otamctro  p  cqUa:q6  p->  vtraqj  cni  ea?  tranfit  g  ccnt?  cubt.  Cair 
vero  pucnit  qb  .ppofitu  e  ocmoftrare  ,pducanf  cni  oue  liuce.t.a.c.t.b.«  itcm  ottc 
f.c.f .b.critqj  cM.pnii.a.t.cquaUs.t.b.t.f.c,  equalis.f.b.coftat  aut  cj:  p:ima  p.tc 
29.p:imi:cpangulus.p.t.q.ccqualisangulo.a.q.t.'zej:.4.p:imi3ngulu8.b.  t.p. 
c  equalis  angulo.t.a.q.itaqj  e*.3z.p:uni  totus  angulus.  b.t.q.  cii  angulo.  q.t.a. 
valct  ouos  rectos  quarc  et.  i4.p:imi  linca.a.b.crtt  linca  Vna:fit'r  quoqj  linca.a.b. 
crit  linea  vna  3t  q:  cy..  9:b9  linea.a.c.e  cquidiftans  linee.b.b.vtraq5  cni  c  cquidi 
ftas  ltnee.d.e.cuq5  ipfe  Unt  cquales  q:  latcra  cubi:fcquif  cc. 3  5.p:imi  ouas  lincas 
a.b.t.c.b.effe  equales  z  cquidiftates.idcoqj  g  coccptionc  eap  mcdictatcs  que  fut 
a.t.i.b.f.erunt  equalcs:cjc.  7.aut  buius  manifeftu  c  q?  linea.f.c.e  i  fupcrfictc  cua 
ru  Uneay.a.b.t.b.C'7  qc  cadc  linca.a.b.que  cft  oiametcr  cubi.c  etia  oiametcr  fug 
ficici  paralellograme.a.c.b.b.itaq-)  linca.f.t.fecat  oiametru.a.b.fecet  ergo  ipfam 
i  pucto.  u.oico  ergo  Itnca.f.u.cffcequalc  Imce.u.t.i  linca  ctia.a.u.lincc.u.b.iiitcl 
ligantur  ouo  trianguU.9.t.u.b.f.u.quo:u  anguti  qui  funt  ad. t.  i.L  funt  cqualcs 
adinutcem-.fimilitcr  anguli  eo:udem  qui  fut  ad.a.t.b.equalcs  adinuicem  cjc  pma 
parte.29.p2imi:(ppter  id  <$  tinca.a.t.cquidiftat  lince.f.b.t  quia  ctia  ipfefilt  adi/ 
uicc  equales:  fequit  ejc.2e.p:imi  cp  ^ppofttu  e.  C^dc  quoq^  eodc  mo  cocludat  c  fi 
folidum.a.b.no  fit  cubus  fed  fotidu  co:pus  palellogramu  fiue  cqualtbus  liucis  ft/ 
ue  no  equaltb"  cotentu  fuerit  fiuc  quoq^  fug  bafim  o:tbogonaltter  ercctu  fiuc  ctia 


XII 


« fuper ipfa  indinatu.Zmde ampliat  in bac.4o.figuratio cubi  ad ocs  figuras pa/ 

ralcllogtamasfoltdas.  IJblOpoiitto    .41. 

3f  onocoipoia  ferattltaqttoyalte^  baftmtriangttlaalte 
ruvcro  balim  babeat  cquidiftantiu  latcru  tpli  bali  tnan 

gule  tmpla  eqtte  alta  fucrtnt  tllg  ouo  cojpoza  neccfic  c  ee 
cqttalia.CStt  fuperfictc8.a.b.c.d.cquidiftarro  lareru  oupla  trila/ 
tcrc  fuperficiei.e.f.g.?  fuper  bas  ouas  fuperficies  fiat  ouo  co:pora 
feratiliaequealtaifitq^fcratilcqDeftfupjabafimqdranguU.a.b.b.d.c.k.cui^ba/ 
fis  eft  fupctfiaes  equidiftantiti  later  .ppofita.a.b.c.d.alia  cius  fupcrficies  cquidi 
ftantiu  later e.a.b„d  k.tcrtia  vero c.b.b.c.k.oue  aut ei9  triagularcs  fup/tcies fuc 
altcra  quidem  triangulus.a.b.b.reliqua  vcro.trianguIus.d.c.k.  feratilc  aut  qo  cft 
fuper  bafim  triangula.e.f.g.fit.c.f.g.Lm.n.cui9aItera  ouar  trilarcrar  fupcrfidcr 
i  bafis  p:cdicta:rcliqua  vero  triangulus.l.m.n.triu  aut  fagficicy  ci9  cquidtftariuj 
later-.piima  quide  e.e.f.l.m.icda  vcro.e.g.l.n.tertia  vero.f.g.m.n.oico  itaqj  bcc 
ouo  fcratilia,ppofita  effe  adinuice  equaii3:pcrficianf  cni  ouo  folida  palcllograma 
adiungcndo  vtriqj  ouor  p:opofitor  fcra.  tiii  aliud  ferarile  fibi  equale:  pumo  qui 
deferatili  fupcreandebafim  fitq^  adtunctu  ferattte.a.p.b.d.q.k.cuius  ouc  trtla/ 
terc  fupcrficies  funt.a.p.b.d.q.k  .tres  aut  quadnlatcre:p:ima  qutdc.a.b.d.k.qui 
i  terminus cois fibi  1  ci  ori adiungif :fcoa  vcro.a.d.p.q.fcia quoq^.p.q.b.k.fcbo 
jiut  fcratili  adiungaf  aliud  feratilc  fibi  cqualc  boc  modo:adiungaf  p:imo  triangu 
lo.c.f.g.alws  triangulus  cqualisqui  fit.e.g.r.ita  q>  tota  fa^ficies.e.f.g.r.  fit  cqui 
diftatui  latcru  1  fupcr bunc  trianguluj  fiat  feratilc.c.g.l.r.l.u.f.qb cu  iiio  cui ad/ 
iungif  perfkiat  co:pus  palcllogramu  buius  feratilis  adtunctuoue  trilaterc  fupcr/ 
ficies  funt.e.g.r.l.n.f.  trcs  aut  palellograme  funr.pnma  quidc.  c.l.r.f.fcba.c.l.g. 
rt.i  tpfa  e  comursis  tcrminus  fibi  1  ei  cui  aditigif  :tcrtia  viro.g.r.n.f.manifeftum 
jgitur  ejc  oiffinititione  folidor  cqualiu  atq^fimiliu  cp  ouo  fcratilia  paralcUogamii 
coponentia folidu.a.k.fibi  inuicem.itcq^  ono coponcnria  folidum  paralcllogra/ 
mum.e.n.fibi  ad inuicc fiit  eqlia.St  vero ej.  j i.vcl ej. -yt.b9 cuo folida.a.k.j.e; 
n.funtfibiinuiceequalia:q:crgoborfoltdor  mcdietatcs  fuut  feratilia^pofita 
pcr  cocm  fciam  pftat  ca  elfc  cqualiaiquccunqj  cni  fucrint  cqualia  cor  mcdietates 
neccffe  e  effc  equales:liquct  itaqj  qb  .ppofitu  e.  £xplicit  libcr  Undccim9  ^ncipit 
liberGuodccrmus.  'JfbJOpofltio     .1. 

jQDmiu  oua^  fupficic^  ittiu,  multiangula?: 
iter  ouos  circulos  oefcriptay  e  „ppo2tio  al/ 
terius  ad  altera  taq?  ,ppoitto  qoratojr  q  ej: 
Otanietris  ctrculo?  eas  ctrcufcribctiu  ,pue/ 
tlinnt.G5int  ouo  circtui.a.b.c.d.c.f.quib9infcriba 
turouequcltbafigure  poligonicqponant  adiuice 
ftfcs:fintq5  nuc  pentbagonc  infcrtptc  vt  ooccr .  1  i.qr 
ti  1  ipfe  fint.a.b.g.b.k.aliud  pentbagonu.d.  e.l.m 
n.otamctri  quoq^  circulor  fint.a.c.c.d.f.oico  itaq> 
cjp  p:opo:tio  pentbagoni.a.b.g.b.k.ad  pctbagonii 


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d.e.I.m.n.e.ficut  qdratu  oiametri.a.c.ad  quadratri  otametri.d.f.  p:otrabantur 
cnim  in  vtroq^  circulo  ouc  lince  ab  cxtrcmitatc  oiamctri  ad  ej:trcmtratem  vnius 
lateris  pcntbagoni  oiamctro  no  contcmtinalts  fc  inuice  cancellantes  infra  ipfum 


LIBER 


") 


petbagonii  i  boc  qmdc.a.g.c.c.b.iillo  at.d.l.cf.e.eritcfl  g:.6.fejtri  triangul9.a.b 
g.cquiangulus  tnangulo.d.c.l.na  cu  pctbagoni  ponanf  adinuice  ftfes  erut  c%  oif 
finitiotie  fifium  fugficiey  angulus.b.cqualiatangulo.c.c  latcra  ipfos  contmentia 
.ppo^tioftalia  videlicet  .pponio.a.b.ad.d.c.ficut.b.g.ad.c.l.cu  fint  autem  ex.20. 
tcrti)  ouo  anguli.f.t.l.iibi  inuice  cquales.^tecp  ouo  alij  x.i  .g.  fibi  inuicc  equalcs 
erunt  ouo  qui  fuut.c.s.f.adinuicc  cqualcs  qc  bac  coi  fcia:que  equalibus.funt  cqua 
lia fibi quoq^ cqua effe necelTe eft.£t  q: c;c p:ima pte.  jo.tcrtij  vterq^  ouoy  angu/ 
lo?.a.b.c.d.c.f.cft  rectus  fequitur  ej:.32.p:imi  ouos  triangulos.a.b.c.d.c.  f.clTe 
equiaugnlos  quare  per  quarta  fcjcti  ^pponio  oiamctri.a.c.ad  oiamctp.  d.f.  e  ficut 
latctis.a.b.ad ilatus.d.e.,ppo2tio  ouplicata  1  per  candc.cii  itaqj  c%  fcoa  gtc.  1  s.fe 
jcti  .ppouio  ouo^  pentbagono:$z  c  ficut  ,ppo2tio  latcris.a.b.ad  latus.d.e.,ppo2td 
ouplicata  1  g  eande  ,ppo2rto  quadrati  oiamctri.a.c.ad  quadratu  oiamctrt.d.f.fit 
ficut  oiametri.a.c.ad  oiamety.d.f.ouplicata  per  banc  cocm  fciam:quozj  oimidia 
funt  cqualia  ipfa  quoq^  adinuice  clTe  cqualia.  manifeftum  cft  q6  pjopoiitum  cft. 
Ijbjopoiitio  .2. 
XHbniu  ouo^rcirculo?  e  pzopoztio  alteriue  ad  altex:  tan/ 
cJ5,ppo2tio  quadratilue  oiametriad  quadratu  oiametri 
I  alterius.CSit  ouo  cirtuli.a.b.c.c.d.quozj  otamctri  quoq^  oicat.a 
b.«.c.d.oico  ttacp  cjp^ppOHO.circuIi.a.b.ad  circulu.c.d.e  ficut  qdrati 
_J  oiamctri.a.b.ad  quadratit  oiametri.c.d.manifemfeni  c  c%  bac  cd/ 
muni  fcientia  quanta  cft  quclibet  magnitudo  ad  aliqua  fccunda  tantam  nccclTc  cft 
effe  quamlibct  tertiam  ad  aliquam  quartam  q>  piopoitio  quadrati  oiamctri.a.b. 
ad  quadratum  oiamctri.c.d.eft  ficut  circuli.a  .b.ad  fupcrficicm  aliqua  que  fit.c. 
cuiufcuq5  figure  aut  fojmc  ponaf :  banc  autcm  impoffibilc  c  maio^e  elTe  3  t  mino  / 
rem  circulo.c.d.Si  eni  eft  poffibile  ipfa  cc  mino2e  circulo.c.d.fit  itaq^  mino:  i  fu/ 
perficie.f.itacp circulus.c.d.fit equalis  ouabus fuperficicbus.cz.f.  pjrcr  acccptis 
conftatigiteypiima.  lo.cptotienspoflitcjceirculo.c.d.fuifg^  rcfiduis  fubtrabi 
maius  oimidio  quoufq3  rclmquafquantitas  aliqua  minoi.f.  infcribatur  crgo  fibi 
vt  oocet.e.quarti quadratu.c.d.g.b.oc  quo  conltat  cp  ipfum fit matus  mcdieta/ 
te  circuli:quadratii  eni  quod  cft  ouplum  ad  ipfum  e  circulum  circufcribeus  vt  pat^ 
cjcpcnultimap2imi7.7.quarti.  Siigiturpo2tioncscirculie>:iftentes  fupcr  latcra 
qu  adratt  pfter  accepte  fucrint  minus  fupcrficic.  f.fufficit.  Sin  aut  quatuo:  arcus 
exftentes  fuper  oictalatcra  pcrcqualia  oiuidanturtpunctaipfosarcus  oiui/ 
dentia  cum  cxtremitatibus  latez;  cotmcnt  per  lincas  rcctas. vcrbi  gratia  arcus.c. 
g.oinidafperequaliainpuncto.k.c^pttabanf  linec.  k.c.k.g.ficqjoccctcns.frit 
q3  quilibj  triangulox?  oefcriptoz?  fup  latcra  qdrati  maio:  mcdictate  po2tionis  i  cj 
ejciftit  co  o/ois triangul" yfocbcles e  mcdictas  palcllogrami  fuc  bafis  pcr.4t.p2i/ 
mi.  Sint  itaq3  po2tioncs  cjaftcntes  fupcr  latcra  octogonij  infcripti  pitcr  acccptc 
minus  fupcrficie.f.fi  cni  nondu  boc  effctmo  ccflarc  oiuidcrc  arcus  quoy  latcra  vl 
time  oefcripte  figure  funt  co^dc  pcr  equaiia:?  ifcribcrc  ftguram  cquilatcram  ouplo 
plut ium  laterii p:ime fcmper fubtrabcndo  ab  ipfis  circuli  po^ttonibus  maius  oi/ 
midio  quoufq5  p  pma.  lo.portioes  fupcr  larcra  altcui"  talis  figurc  circlo  ifcriptc  c% 
iftctes  pjt  accepte  crut  min9  fuperficic.f.fint  s  nuc  q  oictc  fu  t:critq5  c%  pceptioe  oc 
togonu.c.d.maius  fuperficie.c.in  circnlo  igif  .a.b.cade^  via  iufcribaf  fife  octogo/ 
numiquod  oicatur.a.b.  fitq5exp2emilTa  p2opo2tiooctogout.a.b.adoctogoiium 


XII 


cd.ficut  quadrati  oiametri.a.b.ad  quadratu  0iamctri.cd.toq5  g.  1 1.  quiuti  ficut 
yponiociraili.a.b.adfuEficic.c.itaqsgmutatimpoligonij.a.b.adcircuIu.a.b.fi 
cut  poiigomj  .c.d.ad  fugficic.ccuq5  fit  poligoniu.cd.maius  fupficicc.  crit  poli/ 
goniu.a.b.maiuscirculo.a.b.bocautipoflibilcnocicrgofugftctes.c.minoi  cir/ 
culo.cd.Sed  ncc  maio:.£lto  cnt  fi  poltibtlc  fit:cu  igit  fit  ,ppo:tio  qdrati  oiamc/ 
tri.a.b.ad  quadratu  oiamctri.c.d.ftcut  circuli.a.b.ad  fur>fictccerir  ccouerfo  qua 
dratioiamctri.cd.adquadratuoiamctn.a.b.ficut  fuperfitici.cadcirculii.a.b.i 
oftat  et  coi  fcia  iu  p:incipio  buius  ocmonftrationis  pofita  g>  cade  e  circuli.  cd. 
ad  aliqua  fupficie  quc  ftt.f.eritq^  et.  i4.quinti  fugficics.f.mino:  circulo.  a.b.itaqj 
,ppo:tio  quadrati oiamctri.cd.ad  quadratu  oiametri.a.b cit  ftcut  circuli.c.d.ad 
fup.ficie.f.mino:c  circulo.a.b.fed  ct  boc  oemoftrauimus  paulo  antc  fcqui  impof/ 
fibtle  vidclicet  poligoniu  infcriptu  circtilo  maius  elTe  circulo:ficu:  crgo  fuperficies 
e.116  pot  cifc  mino:  circulo.cd.ita  ncc  maioj:erit:  ergo  ncccffario  cqualis  quarc  g 
fc6ampartc\£qnintiliquetq6,ppofituc  ^(biopofitio    .3. 

.QDnispiramiscmus  bafts  trtangula  fcindi  potinonas 
equas  ptramides  ftbi  inuiccni  totiqj  piramidi  JiUes  Vnaqs 
in  tmo  ferattlia  q  ambo  piter  accepta  Oimidio  totius  pira 
midis  necelTc  eft  efle  mai02a.C5it  piramts.a.b.cd.fup  bafi^ 
triaugulu.b.cd.eiufq,  vcrtcjc  folidus  angulus.a.a  quo  ocmittat  trcs 
fpotbcmife.a.b.a.ca.d.ad  tres  angulos  bafis:?  oiuidant  oia  latcra  bafis  p_  cqua 
lia  in  tribus  punctis.e.f.g.tres  quoqj  fpotbcmife  pcr  cqlia  in  trtbus  punctis.b.k 
l.«  piotrabanr  in  bafi  oue  lince.e.f.c.cg.eritq^  bafis  cius  oiuifa  in  trcs  fupcrftci 
es quai; ouc funt ouo triar guli.b.c.f .e.g.d.quos ct fcoa partc fc6e  ferti %  oione 
fifium  fupcrficic£  oftat  ce  files  fibi  iuice  z  tottbafi  1  cqualcs  ad  inuicem  et.s.pmi 
tcia  e  tetragona-.rjaldlogranta  1  ipa  ce.f.g.cqua  pftat  ee  oupla  ad  t  jgnlu.cg.d 
ex.^o.-z.+t.pmi^ocmittantcrgorurfusapucto.b.oucjpotbcmifcb.cf.b.capu 
cto.k-ipotbemifa.k.g.?  .ptrabanf  liitecb.k.k.U.l.b.oiuifa  e  iraqj  tota  piramif 
a.b.c.d.in  ouaspiramidcsque fint.b.b.cf.ca.b.k.l.?  ouo  fcratilia  quo?; vnfi 
c.c.b.f.g.k.c.iefuperbafimquadrangula.c.f.g.e.taliude.e.g.d.b.k.I.'rcftfB 
perbafimtriangula.e  g.d.oeouabusautpiramidib9.b.b.c.f.a.b.  k.l.  qnpefnt 
eqles  adinuicc  fibiq^  1  toti  piramidi.a.b.cd.fites:pftat  er  oione  co:poj2  equalt» 
c  fiuutn  1  cr.  10. 1  i.libri  1  er  fc6a  parte.2.fetti:  oe  ouob9  aut  fcratilib9  cp  ipfa  lint 
ecjlia.pftat  ct  vltia.i  1  .Ub:i..Q6  vcro ambo feratilia  gitcr  acccpta fint  mai9 mcdi/ 
etate  toti9  piramidis:c)c  boc  mantfcftu  c  cp  vrruq3  illo^  oiuifibilc  c  t  ouas  pirami 
des  qua^  altcra  triagula  cqlis  vni  ouay  in  quas  1  feratilia  rotalis  pitamis  oiuidi 
tnr.altera  vero  quadrangula  q  oupla  e  ad  reliqua  quare  P3  ambo  fcratilia  paritcr 
accepta  tres  quattas  ce  totalis  piramidis  oiuifcbac  ,ppo:tione  fi  fetre  oefideras. 
fcrta buius. iilib:i pfule.fcd fufficit tibi fcirc quantit ad ^pofitu  illa ouo  fcrati/ 
lia  pariter  acccpta  ouas  partiates  piramides  in  quas  z  feratilia  totalts  oiuiditur 
paritcracceptasquatalibetquatitatcetcedcrc.       Ifbiopofltio    .4. 

~~~|3f  onepiramidcs  equealte  qnay  baiestriigulelingule 
i  binaspiramides  eqlesftbiiniceactotifimilesbinaqj 
fcratiiia  eqlta  Oinidanf  erit  «ppozno  balis  vntf  ad  baftm 
alreri?  riq5,ppo:tio  Ouojz  feratiliu  fuoyad  ono  feratilia 
altertf.eritqspalaoia  feratilia  qfueritinvtralibjiUa?: 


LIBER 


piramidu  pjter  aecepta  ad  cucta  feratilia  q  t  altera  piramide  faerit  in 
eade  bfe  ,ppo:tionc  03  bafs  ei?  piramidis  ad  bafi  aiteri9  ptramidis. 

GSint  oue  ptramidcs  quay  bafes  triangulc  cqne  alte  bec  quidc.a.b.c.d.cuius  co 
nus  pnnctns.a.bafis  triangulus.b.c.d.ypotbemife.3.b.a.c.a.d.illa  vcro.c.f.g.b 
cuius  conuspunctus.e.bafistriangulu3.f.g.b.fporbcmifc.e.f.e.g.c.  b.  bccante 
euc  piramides  oiuidant  ficut  in  p:cmiffa.Sintq5  bafcs  cay  oiuifc  bcc  quide  p:o/ 
tractis  lincis  latera  bafis  ipfius  pcr  equalia  oiuidentibus  quc  fint.k.l.  z.  k.m.  ilU 
vcro  p:otractis  lincis  que  frnt.n  p.n.q.oico  crgo  cp  ,ppo:tio  bafis.b.c.d.ad  bafij 
f.g.b.eft  ficut  OU022  feratiliu  piramidis.a.panrcr  acccptoy  ad  ouo  feratilia  pira/ 
midis.c.paritcr  acccpta.  2)(3anifeftu  cft  afit  cjc.  is.fcjcti  ptc  fcda  cp  ,p?o:tio  tnau/ 
guli.b.c.d.ad  triangulfi  .fc.m.d.c  ficut  liucc.  b.d.ad  liuca.k.d.oupltcara  g  cande 
quoq^e.ppoitiotrianguli.f.g.b.adtriangulii.n.q.b.ficutlince.f.b.adhnca.  n.b 
ouplicata.jCuq5fitIinca.b.d.adltnc3.k.d.ficutlinca.f.b.adlinc35.n.b.vtiobiq5 
eni  e  oupla  #po:tio  crit  triangulus.b.c.d.ad  triangulfi.lx.m.d.fiair  trangiilas.t' 
g.b.adtrisngulu.n.q.b.^Emutstimtriangulus.b.cd.adtriangutfi.f.g.b.  ficuc 
tri3itgulus.k.in.d.adtriangu;u.n.q.b.triangulus3ut.k.m.d.3dtri3iigulu.n.q; 
b.c  ficut  feratilc  cjciftats  fupcr  ipfu  ad  feratilc  cpis  fug  illii  p.  5  j . vitdecimi  buius 
quoq^  fcratilis  ad  illud  e  ftcut  amboy  feratiltfi  piramidis.a.giter  acccptp?  ad  ani 
bo fcratilia piramidis.e.paritcr accepta  cj.  i?  .quintimcccffc  e cni  vt fit  oupifi ad 
ouplum queadmodu  fimplu ad ftntplu.itaq^  codude cc.  1  i.quinti  qo .ppofttfi cft; 
£>o:mitas  aut  fi  oubitas  fcratili3  vnius  bay  piramidu  cquc  alt3  cffc  feratilib9  pi 
ramidis  altcrius.cfi  cni  ftnt  piramidcs  cquc  altc:ftt  quoq^  vtraq^  caiJ  oiutfa  i  ou/ 
as  piramides  cquales  fibi  totiq^  fimiles  %  in  ouo  fcratilia  cqua!i3  z  ftut  cuc  ptia/ 
les  piramidcs  cquc  altc  co  q>  fimiles  1  cqu3les  qtJ  facf.e  pstcbit  ocmifft3  3  vcrtict/ 
bus  ptialium  piramidu  ependicuiaribus  ad  bafcs  ipfajz:  oc  quibus  pcrpcndicuia/ 
ribusec.}7.vndccimi  conftat  effc  cquales.£uq5  sititudiues  bap  partialifi  pirami 
dum  pariter  acccpte  coponunt  altitudine  totalis  piramtdis  oiuife.  Sintq^  ambo 
fcratilis  eque  alta  vni  partialifi  piramidfi  ei  vidclicct  quc  fup.  p_tia'em  triangulum 
bafis  totalis  piramidis  coponit  non  cft  pbas  ambigcre  feratilia  Vnins  ea?  pira/ 
midfi  effe  cque  alta  feratilibus  altcrius  eay .  £o::cLuiu  vcro  c%  co  mamfeftfi  e  <j> 
fimilitcr  bafes  parti3lifi  piramidu  fic  (c  babeanrad  inuice  ficut  bina  fcratilia  vni'' 
adbinsfcraiiliaaltcrius.-tq^bafespartialium  ficfe  babcntadiuuicc  ficutbafcs 
totalium ejcfcca  prc.  is.fejcti  % pcrmutats  ,ppo:tionc  conftat cj:.  1 3.  quinti Vcrfi  ee 
quodcoj:elariump:oponit.  1Jb:opofttio    .j. 

£C>nes  oue  piramtdcs  eque  alte  quarum  bafes  triangule 

fuis  baftbus  liut  p:opo:ttonales. 

C.Q.6.  j  j  .vndccimt  ,ppofuit  oe  folidis  galcllogramis  1  i  finc.  js.  vn/ 

dccimi  Vq2  effc  oemonftrauimus-.oc  fcra  tihbus.bcc  quinta .  u.,ppo/ 
|nit  oe  piramidibus  triangulis.^ntclugatur  cni  oue  piramides  cque 
alte  quaz?  bafcs  funt  ouo  rrigoni.a.s.b.oico  <j>  ,ppo:tio  piramidis.a.ad  pirami/ 
dem.b.eft  ficutbafi&a.adbafim.b.qeeedcm  oemoftrationis  vcl  argumctattois 
gcnere  ocmoftrandii  e quo  fcosm  bui9 oemdftrautmus.fit cni  ut bafts.a.  ad  ba/ 
fim.b.ita  piramis.a.adco:pus.c.ocquookocpipfun6  crit  minus  ncq^maiua 
piramide.b.na fi pofftbile e  vt fit min'1  efto min'1  i  folido.d.vt piramis.b.fit  eqlis 
onpbus  coxpojibus.cj.d.paritcr  acccptis  oiutfa  itaqj  piramide.b.vt  .pponit- J- 


XII 


oetrabantur ab  eo  ouo  fcratilia  que  c%  pjcimlTa  funt  maius  incdictatc  piramicfe 
ipfius:  itcmcp  c%  vtraqj  ouarum  panialium  refiduarum  piramidum  ouo  caviint 
piedicto  modo  oiuifarum  fcratilia ocm3iuur  i  fiar  boc roricns quouiq,  ct  pira  ' 
midc.b.cogatur  aducrfarius  pcrpjimam.io.confitcri  rcimqui  ininus  foiido.d. 
cruntcp  ejccommunifcicutia  fcratilia  oetiactamaius.c.fiarigiturspiramidc.a. 
fimilis  fcratilium  octractio.c  iiitcliigamus  tot  fcratilia  octracta  dTc  c%  piramidc. 
a.quotoctrajcimus  cxpiramidc.b.  critqj  cjc couclario  pjcmiffcficutbafis.a.  ad 
bafim.b.ita  feratilia  oerracta  a  piramidc.a.ad  fcratilia  octracta  a  piramide.b.fic 
fcd  erat piramis.a.ad  coip'\c.itaq5  fcratilia  piramidis.a.ad  fcratilia piramidis 
b.ficnt piramis.a.ad  cojpus.c.  % pmutatim feratilia  piramidis.a.ad  piramidc.a 
ficutferatiltapframidis.b.adcoipus.c.Iunq^fint  fcratilia  piramidis.  b.maius 
cojpoie.c.crunt feratilia  piramidis.a.maius  piramidc.a.£t  quia  boc c  tmpoflibi 
bile  no  erit  coipus.c.minus  piramidc.b.fcd  nec  maius.boc  eni  pofito  cum  fit  p/ 
pojtio  bafis.a.ad  bafim.b.ficut  piramidis.a.ad  cojpus.c.crit  ccouerfo  bafis.b. 
ad  bafim.a.ficut  coipcjis.c.ad  piramidc.a.fritq,  cadc  c%  comuni  fcia  piramidis 
b.ad  aliqb  coipus  qb  fit.d.fcquefq^  e%.  H.quinti  cj>  coipus.d.fit  minus  pimmtdc 
a.eocppiramis.b.ponitininoicoipe.c.£ritigitbafis.b.3dbafi5.a.ficutpir3mis 
b.ad  coipus  minus  piramide.a.£x  boc  afit  ocmonftratu  c  fequi  impolTibilc  Vidc 
licet  feratilia  octracta  ab  aliqua  piramidc  maius  ec  ca  piramidCja  qua  octrabunt 
ideoq^  relinquit  coipus.c.cffc  equale  piramidi.b.cum  ncc  minus  ea  pofiit  ee  nec 
maius z  j>po«ione piramidis.a.ad piramidem.b.clTe ficut bafis.a.ad  bafim.b. 
boc  aut  erat  oemonftrandu. 

1fb:opofitio    .6. 
'  fl&neco:pu6feratilemtrespiramideseqnales  bafefq^ 
triangulas  babentes  eft  oiuifibile. 
C  Sit  fcratile.a.b.c.d.c.f.ipffi  oico  clTc  oiuifibilc  in  tres  piramidcs 
triangulas  cqualcs  .ptrabat  eni  in  vnaquaq^  fua2;  triu^  fupcrficierit 
jpalellograma?  linea  oiagonalis  ita  q>  vna  ea?2  oiagonaliu  fit  cotcr/ 
minali3  rcliquis  ouabus  ut  fi  ^ptrabas  lineas.b.d.b.f.c.f.a.quas  ^ppter  cofufio/ 
ne  piotrabere  cotempfueritq,  totum  feratile  in  tres  triangulas  piramidcs  oiuifu 
quas  qc  piemiffa  bis  affumpta-facilc  coftat  ee  cqualcs..Qm  aiit  euclidcs  nibil  oe/ 
monftrandum  pioponit  oe  pirsmidibus  lateratis  cxccptis  folidis  bis  qua^  funt 
bafes  triangule  vt  omiiiu  cognitione  ejc  elemctis  q  ponit:fumcicnter  dicerc  poffi/ 
musiqueda  arbitramur  no  inutile  oemoftrationibus  bic  pofitis  adiungcrc  :folis 
eni  elemetis  contentus  cuclides  multa  ptermifit  quc  quauis  cx  eis  confequant  non 
tamen  fiue  oifficultate  patent  ftudentibus:bo2;  piimum  eft  bec. 
C0i  ono  folida  qno:nj  alterum  feratile  alterum  vero  piramis  cuius 
baftstriangulafuper  eandembalimautfuper  equales  trigonas  aut 
feratile  fuper  quadrangnla:piramis  vero  fuper  trigona  que  quadran 
gute  bafis  feratilis  ftt  oimidinj  conftituta  fuerint  eque  alta  leratile  pi 
ramtdi  triplum  effe  conueniet 

C5i  feratile  .ppofitu  fuerit  fuper  bafim  trigonam  tunc  cjc  piramide  ^ppofita  fup_ 
piopiiam  bafim  perficiatur  fcratile  piramidi  ,ppofite  equc  altum .  6i  vcro  feratile 
fuerit  fuper  bafim  quadrangulam  tunc  bafilpiramidis  adijciatur  triagulus  c%  quo 
i  baft  piramidis  perficiatur  fuperficies  equidiftaiuium  laterum  fuper  qua  c%  ipfa 


LI5ER 


Piramidc  compleainr  feratile  piramidi  c  uc  altum:qj  igif  iftud  fcratile  fcratili  pji 
oji  cft  cquc  altum  ?  vrromq^  bafcs  funt  equalcs  cj:  vpotbcfi.fcqmtur  ipfa  ce  cqua 
ha  Jwc  ent  ocmonftratii  cft  mo«.  vudecinii.at  qtn  cj:.(j.but°- i2.Ub:i  feratilc  fcom 
tripluui  eft  ad  piramidc  .ppofita.nam  ipfa  eft  vna  ejc  tribus  piranudibus  in  qu38 
ipfum  feratik  oiuidif  .£rtt  quoq^  per  comuiiem  fUcnttam  p:opofitam  fcratile  tri/ 
plum  ad  pjopofitam  piramidcm. 

GSiquotliberpiramidcsquarumbafestriangule  iupervna  eandc 
q5  bafun  iiue  fuper  equales  confhtute  fuermt:equc  altc  eas  efle  adin/ 
UlCC  mequales  necellc  eft.  G^abiicato  cni  vno  fcratili  equc  alto  piramtdib9 
pjopofttis  fup  bafiin  triangula  equalc  bafib9  pjopofita:;  piramidti  aut  furj  baftm 
quadrangula  oupla  bafibus  carnde:crit  ipfti  feratile  triplu  ad  piramidcs  fingtas. 
boc  cnt  conftat  c%  pjcmiffa  addita  fiue  tntcrpouta:igif  c%  cot  fcia  ciictc  p:opofite 
piramidcs  funt  vt  oipmus  adinuice  cqualcs. 

e.0mnc&  piramides  quarum  bafes  triangule  eque  alte  fuis  baftbus 
funt  p:opo:tionatcs.G  §iant  f upcr  bafcs  pjopofitat um  piramtduni  aut  fug 
alias  trigonas  cquales  aut  fupcr  galellogramas  otiphs  feratilia  ipfis  piramidi/ 
bus  cque  alra  eruntcp  ob  boc  feratilia  libi  adinuicc  cque  alta  i  q:  fcraf  ilia  fuis  ba/ 
fibus  funt  .ppoaionalsa  ut  pjobatum  c  in.je.vndecimi.j  j.ipfius  mcdiante.  £u/ 
cp  cj  pjima  barum  additarum  manifeftum  ftt  bec  feratilia  tripla  cffc  ad  p:opofi/ 
tas  piramidcs  vnuqoqj  vidclicct  ad  fua  re!atiuam:bafcfq5  ipfoiu,  equales  aut  ou 
plas clTc bafibus  ipfarum .fic autem oc.iy .qmuti vt tnplum ad tnplum ita  fim/ 
plum  ad  fimplum  crunt  quoq^  pjopofttc  pirarmdes  fuis  baftbus  pjopojtionalcs. 
G0i  fuerint  ©uequehbet  ptramtdesequealtcfueritq^  alteriusba 
lismgona:reliqucautcm  tetragona  autplunlaterapiramidesipfas 
iuis  baftbus  pjopo:ttonalcsclTe  conuemct. 
G£x«:inplt  gf  a:ia.3ntclli3antur  ouc  piraiiudcs  cqne  alte  fuper  onas  bafes.a.s.b. 
fitq^bafis.a.triangula.b.vcro  pentbagona.  £toicantur  becpiramides  .a.t.b. 
itaq^oicopjopojtionempiramidum.a.'!  b.elTeficut  bafium.a.s.b.  oiftinguatur 
qnidem  peittbagonus.  b.i  trcs  triangulos.c.d.e.critq,  tota  piramis.  b.oiltincta 
in  trcs  piramides  eque  altas  quarum  bafcs  funt  trianguli.c.d.e.  que  etia  oicatur 
nominibus  fnarum  bafium.quia  igitur  cj:  p JcmtlTa  intcrpofita  pjopojtio  piramt 
dis.c.adpirarmdem.aeft  ficut  trigoni.f.ad  trigonum.a.t  piramidis.d.ad  pira/ 
midem.a.ficut  trigoni.d.ad  trigonum.a.ttcmq^ piramis.c.ad  piramidcm.a.  fi/ 
cut  trigoni.e.ad  trigonum.a.c)C.24.quinti  bis  alTumpta  fcquitur  q>  fupjopo:/ 
tio  aggregati  ejc  omnibus  piramidibus.c.d.c.  %  ipfnm  eft  piramis.b.ad  pirami/ 
dcm.a.ficut  aggregati  qc  ommbus  trigonis.c.d.e  .1  ipfum  eft  pcntbagonns.b. 
ad  trtgonum.a.conftat  igitur  ouod  volumus. 
G£>miieslateratepiramides  equealte  futs  bafibus  p:opo:tiona/ 
leseflep:obantur. 

GBialteraearumfueritfupcr  bafim  trigonam  cjcpjemiffa  intcrpofira  conftat 
quod  oicitur.Si  autem  bafis  vtriufq^  fuerit  poligonia  vtralibet  ipfarum  bafmrrt 
refoluta  in  triangulos  1  ipfa  piramide  i  piramides  trtangulas-.crit  ejc  pjemiffa  in 
terpofita  p:opojtio  vnmfcniufq^  barum  tnangularium  piramidum  iter  quas  alte 
rapjopofitarumoiuidimradreliquaficutfuebafis  ad  bafim  altcrius.itaq^pcr 
24.quintt  qaotiens  oponet  affnmptam-.conftat  vcrum  effe  quod  oirimns. 


XII 


llbzopofitio  .7. 

3f  bue  piramides  triangularam  bafium  fuerint  cquales 
earumbafcsearundemaltitudmibus  mutueerunr.  £>ive 
ro  ba!es  i  altitudmes  faerit  mutue  eafdem  piramides  iibi 
irtuicem  eiTc  equales  necclle  clr. 
CQotrigcfima  quarta?rngcu:uaquinravndecimi  pjopofucrunt 
Oe  folidis  paralellogramis:?  uos  iti .  ?<S-eiufdcm  oemouftrauimus  oe  feratilibus: 
bcc  fcptima.  12-pjoponir  oc  piramidtbus  babcnrtbus  bafcs  triangulas.  ^ntelltga 
tur  ciii  ouo  piramidcs  cqualcs  fupcr  ouos  trigonos  vcl  triangulos.a.  z.b.  que  oi 
cautur.a.z.b.oico  itaq>  cp  ,ppojtio  baiis.a.ad bafim.b.cft  ficut  pjopojtio  altitu 
dtnis  piramidis.b.ad  alcitudutem  piramidis.a.c  fi  boc  fuerit  oico  piramides.a. 
■r.b.effe  equales.adbibcantur  quidem  ouobus  rrigonis.a.s.b.ouo  alij  qui  fint.c. 
s.d.vr  fiant  ambe  fupcritcies.ac.s.b.d.  cqutdiirantium  latcrum  a  c%  ipfis  pira/ 
midibus  fupcr  bafes  .a.c.e.b.d.copleantur  folida  paraicllograma  piramidibus 
piopofitis  cquc alta quc  fimiliter  oicantur.a.c.i.b.d.manifcftu  igitur cft ejc fejcta 
buius.  a.cp  piramis.a.c  fctta  pacs  folidi.a.c.c  piramis.b.fcjcra  folidt.b.d.iraqj 
qc.,  j-vudecimi  argue  pjopofirum*.pjima  quidem  partem  cy.  piima:fecundam  au/ 
temcjcfecunda; 

GiQofioue  quclibetpiramideslateratc  faerintequalesearumba/ 
fes  earuudem  altttudtnibus  mutue  erunt.  Si  vero  bales  earum  altitu 
dinibus ipiarum  mutue  faerwt eafdcm  piramides equales ellc opo:/ 
tet. 

G5i  bafes  vtraruq)  fucrint  triangulc  oemonftratum  eft  verum  effe  q6  oijcimus. 
6i  altcra  riiv.fit  igitur.a.baftfcg  altcriu3  piramidis  fit.b.?  fumatur  trigonus.c.cq 
lis  poltgonio.b.fiatcp  fuper.c.piramis  cque  alta  piramidi  quc  cft  fupcr.b.c  fint.a 
b.c.cquiuoca  nomma  piramidum  e  bafium.Ouia  igitur  et  yporbefi  ouo  pirami  / 
dcs.a.^.b.fut  cquale3 1  c,c  vltima  iuterpofitaz?  ad  fctram  butua  ouecp  piramides 
b.z  .c.funt  cquales:?  eriit  c%  communi  fcicntia  ouc  piramidcs.a.?.c.cqualcs:igit 
bafes  carum  funt  mutuc  ad  altitudines  earum  cjl  pjima  partc.7.  buius.£uuq5  ba 
fes.b.c.c.fint  equalcs:altitudmes  quoqj  piramidu.b.t.c.equales  crunt  et  p:ima 
pc  i  fccunda.7.quinti  bafes.a.-z.b.murue  altitudinib9  piramidum.a.?.b.5c6a 
pars  couerfo  modo  piobatur.nam  fi  fuerit  bafis.a.ad  bafim.b.  vt  altitudo  pira/ 
midis.b.ad  altitudinem  puamidis.a.erit  cjc  .2.  parte  «  piima  .7.  quiuti  bafis.a: 
ad  bafim.c.ficut  altitudo  piramidia.b.ad  altitudtne  piramidis.a.itaqj  ejc  fccuda 
Ete  bui"  .7.ouo  piramides.a.i.c.funt  eqles  quarc  p>  comune  fcicntiam  ouc  quoqj 
piramidcs  .a.t.b  .funtequalcs.Siveroncutrapiopofitaiii  piramidum  fucrit 
trigona  fed  vtraqj  poligonia.23crbi  gratia  altcra  pentagona  altera  cjagona  que 
adbuc  oicantur.a.  c.b.fumarurfimilitertriangulus.c.equalis  cjagouo.  b.fuper 
qucm  fiat  piramis  cque  alta  piramtdi.b.  erunrcp  oue  piramides.  b.i.c.  equalcs. 
ideocp  oue  que  funt.a.^.c.etiam  per  coceptioncm  cquales  quare  bafis.a.  ad  ba/ 
fim  .c.ficutaltitudo  piramidis.c.  adaltitudtnem  piramidis.a.boc  entm  nuper 
oemonftratum  eft.£ft  ergo  ejc  feptima  quinti  bafis.a.  ad  bafim.b.  ficur  altitudo 
piramidis.b.adaltitudme  piramidis.a.£onuerfa  connerfo  modopatct.fi  enim 
bafis.a.ad  bafim.b.fuerit  vt  alritudo  piramidts.b.ad  alritudmcm  piramidis.a, 

0   2 


LIBER 


crit  quocg  V  feptima  quintlbafis.a.ad  bafim.cvt  altitudo  piramidis.c  ad  alti 
tudine  piramidis.3.idcoq5  ut patct  ct  p:io:ibus  erunt  ouc piramidcs.a.z.ceq/ 
Ica  quare  etia  ejc  comuni  fcientia  i  ouc  que  funt.a^.b.erut  etia  equalcs.ft  boc  e 
pjopofitum.' 

IJbiopofuio  .s. 
£Hbniam  oaarum  piramidum  limiliam  quarnm  bafes  tri 
angnleep:opomo  alteriusadalteram  tancjj  laterisad 
latus  etus  relatiuum  p:opo:tio  rriplicata. 
G  p:opofttis  ouabus  piramidibus  bafes  triangulas  babcntibus  fi 
milibus  cjc  ipfio  pcvticc  ouo  folida  paraldlograma  qiiauadmodti 
oictum  eft  in  ocmonftratione  p:cmiffc:eruntq)  bec  ouo  (olida  paralellograma  fi  ' 
milia  eo  cj>  piramides  ponuntur  fimiles  ad  inuicem.na  ouo  folidi  anguli  qui  fuut 
comunes  piramidibus  «folidis  paraldlogramis  fuperficialibus  angulis  numero 
i  quantitate  equalib9  continentur: « latera  quoq^  iltos  angulos  fupcrficialcs  cori 
tinentia funtp:opo2tionalia quareejL.34-pHmttresfnperficic3folido:um  para/ 
ldlogramo:um  comuncs  angulos  folidos  conftitucntcs  funt  cquiangule  i  latcrti 
p:opo:tionalium.ideoq5  fimiles  e*  oiffinitionc  fimilium  fuperficicrum:  quare  ej: 
24-«.i  j.quinti  concte  fejc  fupficies  boy  ouowm  folidoy  paralcllogramoy  funt.fi/ 
mtles  adinuicc-.igitur  a  oiffmitione  coiponun  fimilium  crunt  ipfa  folida  funilia: 
quarc  cnm  p:opo:tio  folidomm  i  piramidu  fit  vna  ejc.  ■  j.quinri.natn  folida  funt 
fejccupla  piramidibus  c%  fcyta  buius.ctmq^  fit  p:opo:tio  folido^  vua  ficut  (uo:um 
rdatiuo52laterumtriplicatac)c.?<J.vndccimiUb:i:funtautlatcra  folidommeadej 
quoq^  latcra  piramidu.erit  quoq^  ejc.  n  .quinti  p:opo:tio  p:opofitap  piramidum 
ficut  fuor  relatiuor  laterum  p:opo:tio  triplicata-.quod  cft  p:opofttum. 
C  £16  ti  fuerint  oue  quelibet  piramides  latcrate  limiles  erit  ^ppojtto 
alterins  adalteram  ficut  fui  lateris  ad  ftbi  relatiuumlatnsalterius 
p:opo:tiotriplicata. 

G6int  oue  latcrate  piramides  qua?  coni.a.t.b.fimilcs  fintq^  fupcr  bafcs  pen/ 
tbagonasquefunt.c.d.ef.g.b.k.l.m.n.oicocp^ppo:tioca?2efl.ficut  fuoy  rdatf 
uo:um  laterum  ttiplicata  .Xonftat  cnim  cjc  oiff  ininonc  fimtliu  fnpcrficiej:  %  co:/ 
po:um  g>  pentbagoni  qui  funt  bafcs  p:opofitarum  piramidu  fibi  ad  inuice  cun/ 
ttiq^  rdatiui  atVcliqui  triaguli  ipfas  abicntes  fibi  inuice  fut  fimilcs.oiuidanr  iracrj 
bafes  atnba?  in  triangulos  files  i  numero  equalcs  ^put.  iS.fejrt  .pponit  effe  pof  / 
fibile:p:otractis  in  bac  quide  lincis.ce.s.cf.i  illa  vero.b.U.b.m  .oico  igit  iftas 
piramides  effe  oiuifas  in  piramidcs  triangulas  fites  i  numero  equales.£onfcrat 
cnim  adinuicem  oue  piramides.a.c.d.e.b.b.k.l.quay  coni  funt.a.i.b  .coftat  au 
tcm  er  ypotbefi  triangulu.ca.d.effe  fimile  triangulo.  b.b.  k.s  trianguln.d  .a.e. 
triangulo.  k.b.U  q:  etia  ejc  ypotbefi  angul9.d.c  cqualis  angulo.k.s  latcra  .cd.i 
d.ccotinetia  angulu.d.funt  j>po:tionalialatcribus.b.k.z.k.l.c6tinctibusangu 
lu.rceruntcjcc  Miouo  trianguli.cd.c.  i.  b.k  .l.equianguti.  idcoq5per.4.fej*i 
erit  (ppo:tio.cd.ad.b.k.ficut.ce.ad.b.l.cuq5  ejcypotbcfi  fir  ,ppo:tio.ca.  ad.b. 
b.-jetia.a.e.3d.b.l.ficut.cd.ad.b.k.critejc.  n.quinti.ca.ad.b.b.e.a.e.ad.b.1. 
ficut.ceiad.b.l.igic  ejc.  *  Sqxi  i  oiffinitione  fimiliu  fuperficicy  triangulus.ca.c. 
erit  fitis  triangulo.b.b.l.manifcftum  eft  itaq^  ej:  oiffinitione  .fitium  co:po:um  cj> 
piramis.a.cd.e.e  fimilis  piramidi.b.b.k.l.fttr  quoq)  coftat  piramide.a.ce.f.ee 


XII 


fircmpir3midi.b.b.I.m.?pir3tiudc.a.c.f.g.pitamidi.b.b.m.n.q2CTgo£)cb3C.8 
.•ppoitiopiramidis.a.c.d.c.adpiramidc.b.b.k.I.eficutlatcris.c.d.adlams.b.k. 
tnplicata  z  etia  piranudis.a.c.e.f.ad  piramidc.b.b.l.  m.ficut.e.f.ad.l.m  .tripli/ 
cara.acetiapiramidis.a.c.f.g.adpiramide.b.b.m.n.ficnt.c.g.ad.b.n.triplicata 
cii  fit  cx  ypotbcfi  ,ppo:tio.c.f  .ad  l.m  .?.c.g.ad.b.n.ficur.c.d.ad.b.k.  fcquitur  c?. 
i  j.cpiinti  vt  ppo:tio  totaliu  piramidu.a.s.  b.fit  ftcut  vnius  bay  ptialium  ad  alia 
vna.igif  c%  bacs.c  vndccima  quiuti  conftat  veru  eequod  oiximu3. 
Cj0innescoli5nelaterateequealtefuis  baftbus  fiit.pponionales. 
G23er5eq6oiciturfut3  qualefoiqjbafespoligonias  fint.coluiie,  £oliinasaute 
latcraras  vocamus  folida  co:po:a  latcrata  quo^  bafes  i  fnpficies  fuppremc  funt 
fifes  lequalcs.cunctc  vcro  rcliquc  fupcrftcics  ipfa  folida  ciraiftantcs:funt  equidt 
ftantiii  laterum  lalium  aute  folidoy  p:ima  fpes  e  fcrattlc  ca  fuper  vna  fua^  trila 
teraru  fugficic^:  intelligif  ce  ftatuni  Sc6a  vcro  fpes  c  coluna  cui"  bafis  fit  qdrilare 
ra  qua  cjc  ouobus  fcratilibus  neccffe  e  cffc  copofita :  z  tertia  c  cuius  bafis  e  penta/ 
gona  i  ipfa  cy.  tribus  fcratilib9  pficif  .Simpliciter  atit  oico  q>  ois  laterata  coluna 
tn  tot  co :po:a  fcratilia  pot  oiftingui  in  quot  triagulos  fua  bafis  3n  telligant  itaqj 
Oue  colune  laterate.a.^.b.pftitute  fug  ouas  bafes.a.s.b.eqne  altc.oico  cp  ppo:/ 
tio  coliinar.a.  z  .b.c  ficut  bafiii.  a.  t.b  .otftinguat  naq?  bce  bafes  i  triagulos  z  bce 
columnc  in  feratilia:bafis  quidc.a.quc  ponatur  clTc  quadraugula  in  ouos  trigo  / 
nos.f.c.?.d.'Z  coluna.a.in  ouo  feratilia.cz.d.bafis  vct  o.b.que  fit  pentagona  oi 
ftinguaf  in  trcs  trigonos.e.f.g.c  coluna.b.in  rria  feratilia  que  fitr vocent.c  .f.g. 
Ddanifcftu  e  igif  cj:  bis  quc  in.jtf. Vndecimt  oicta  funt  cp  ,ppo:tio  feratilis  .c.ad 
feratile.e.eft  ficut  bafis.c.ad  bafim.  c.i  itcru  feratilis.d.ad  fcratile.e.  ficut  bafis 
d.adbafim.  e.  quare  pcr.24.quinti  crit  columne  .a.ad  feratilc.e.ficut  bafis.s.ad 
bafim.  e.cadem  rationc  crit  columna.a.ad  fcratile.f.ficut  bafis.a  .ad  bafim.f.at 
rurfus columne.a.ad  feratile.g. ficut  bafis.a.ad bafim.g  .igif  cjc.a4.quinti quo/ 
tiens  nccdfc  fucrit  affumpta  facile  cocludes  pjopofitu.conftat  itaq;  ey  boc  <p 
GJ@mnes  colune  laterate  fuper  cande  baftm  vel  fuper  equales  con/ 
ftitute  ft  fu  crint  cque  alte  erunt  equales. 

CCum  cni  vt  p:o^imo  pwbatum  cft  eque  alte  colunc  latcrate  fint  fuis  bafib"  p/ 
po:tionalcs.ponantur  aut  bafcs  clTe  aut  cafde  aut  equales  ncccffe  e  ej;.24.quimi 
vt  etiam  colune  fint  cquales.conftat  quoq;  q>. 
C©t  fuerint  quelibet  folida  paraleltograma  feratilia  i  laterate  coln  / 
ne  eqne  alta  ipfa  quoqj  fuis  bafibus  pzoponionalta  ee  neceflario  co 
pzobantur. 

GOmnia  enim  bce  fpecies  funt  lateratar  colnmnarum  oe  quibu3  paulo  antc  vni 
uerfalitcr  p:obatum  elt  vernm  effe  quod  oicitur. 
Cjg>mnis  laterata  columna  tripla  eft  ad  fuam  ptramidem. 
GDiftinguatnrbafiscolumneintriangulcsc  frnnumerum  triangulo:um  ilto/ 
rum  oiftinguatur  columna  in  fcratilia  t  piramis  columnc  in  piramides  babentes 
bafes  triangulas  quevidelicetfuntbafcs  fcratilium.  conftat  itaq;  vnumquodq; 
fcratikadeapiramidemquefupereandembafimciimipfo  fcratili  confifrit  tri/ 
plum  cffe.boc  cnim  ocmonftratum  cft  in  fejcta  buius  ouodccimi  lib!i:igitur  c%.  1 5 
quinti  omniaferatiliaparircr  acceptaadomnespiramidcsparitcracccptas  nc/ 
ccffccfteffctriplum  cumqjcy  omnibus  feratilibns  pariter  acccptiscolumnact 

0    ? 


LIBER 


ct  cfomnibuspiramidibns  pariteracccptispiramis  columnepcrficianturcon/ 
ftat  vcram  effc  banc  noftram  p:opofitionem. 
CSi  ruerint  oue  quelibct  columne  laterate  equales:  earum  bafes  ea 
rundem  altitudinibiis  mntue  erut.Si  vero  bafcs  carum  i  altitudines 
mutue  mcrintteafdcm  columnas  equalcs  dle  necelle  eft. 
CSi  cnim  columne  ftnt  cqualcs  carum  piramidcs  crunr  equales  co  cp  omnis  la/ 
tcrata  coluna  e  tripla  ad  fua  piramide.fi  autcm  piramidcs  fuerint  cqujlcs  fuc  ba 
fes  fuis  a!titudinibus  mutue  crunt  qucadmodu  ocmonftrarum  cft  m  fcptima  bu/ 
ius:quia  igitur  cclumnarum  fuarumq,  piramidii  ccdcm  funt  bafcs  ?  altitudincs 
funt ccdcm.conftat  p:ima  pars .ppoliti.Sint  lgitur bafes  <i altitudincs  .ppofita/ 
rum columnarum  lateratarum mutucoico  q> columne crunt cqualcs.  cum eni  ce/ 
dcm  fint  bafcs  cedemq,  altitudincs  coluna?  fua^q^  piramtdunueruiit  bafcs  ?  al/ 
titudines  piramidu  ^ppofttay  colunarum  mutue.fi  boc  vt  pofitii  cft  vc£  tiicrit  oe 
columnis.cntnt  itaqj  piramidcs  cqualcs  ,put  tn  fcptimo  buius  oemoitftratum  e 
igitur  i  columne  cquales  cum  ipfc  triplc  ftnt  ad  fuas  piramides:quare  patct  fccii 
da  pars  eius  quod  p:opofttum  cft. 

Gj£>mnwmouaranicolumnaraml9terataramfimilium  cft  p:opo:/ 
no  alterius  ad  alteram  tancjj  latcris  ad  fuarn  relariuum  lattis  p:opo:/ 
tiotriplicata. 

CSi  columnc  fucrint  ftmilcs  crunt  cc  oiffinitionc  fimilin  co:po:nm  bafcs  carum 
cctcrcq3  fupcrficies  cas  ambicntcs  fites  Diuidant  itaqj  bafcs  carum  in  tnanglos 
fimilescnumcro  equalesqucmadmodum . is.fcjcti  p:opouitciTepo(Tibilc:?ipfe 
columnc  oiutdant  in  feratilia  fupcr  bos  tnangulos  cpftentia.ftudc  igitur  p:oba/ 
re  feratilia  vnius  fuis  rclatiuis  fcr3tihbus  altcrius  cc  fimilia:qo  facilc  pjobabis  c% 
ypotbcfi  i  (qxa  z  quarta  i  quinta  ky.K\:ct  oiff mitione  ftmilium  fuperftcicy  z  oiffi/ 
nitionc  fimilium  co:po:um  boc  autc  pjobato  crit  ex.je.vndccimi  p:opo:tio  vitiuf 
cuiufq5  feratilis  vnius  ad  funm  rclatiuum  fcratilc  altcrius  ficut  fui  latcrts  ad  latus 
illtus  ,ppo:tiotriplicata:£tquiaomniuuitatcnimcft  p:opo:riovnacum  cuncta 
fcratilta  vnius  fint  fimilia  fuis  rclatiuis  fcratilibus  alterius.  fequitur  e,t  vndccima 
quinti  vt  cuncto:um  fcrattlir  m  vnius  ad  fua  rclatiua  feratilia  alterius  fit  p:opo:/ 
tto  vna:quare  pcr.  1 5  .quinti  que  cft  p:opo:tio  vnius  fcratilis  ad  fuum  feratile  rcla 
titiumaltcriuseadcmcftomuiumparitcracccpto:umad  omnia  pariter  accepta 
cquiavtrobiq;  omniafcratiliaparitcracccpta  componunt  columnas  i  relatiua 
tatcrafcratilinmfuntrclatiualatcra  columnarummcccITc  eftcjc  vudccima  quinti 
vt  p:opo:tio  columnarnm  fit  ficut  fuorum  rcla t iuoium  latcrum  p:opo:tto  triplica 
taquodcftpwpofitum. 

1{b:opofitio    .9. 

0bnis  colnmna  rotunda  piramidi  fue  tripfer:  cfTe  cop:o/ 

batur. 

OSup:a  circulum  .a.intclligantur  vna  columna  1  vna  piramis  fecu 

dum  eande  fua  altitudinc  crectc:oicanturq;  cquiuocc  ipfa  piramiset 
J  columna  1  circulus  nomine  vno  fcj.a.oico  itaq>  q>  (oluna.a.eft  tri/ 


pla  ad  piramidc.a.cuius  ^batto  c  quia  ncqj  maio:  ncqj  mino:  pot  clfc  qj  tripla 
Sit  eni  p:tmu  fi  polTibtlc  cft  maio:  quam  tnpla  quantitate  «cporis.b.  its  q>  li.b. 


XII 


to:p"  octnatnr  oc  coluua.a.crit  rcfid  u  ci9  triplu  ad  piramide  .a.^nfcribaf  crgo 
quadratuj  circulo.a.fnp.  qo  crigantur  ouo  fcrattlia  cquc  alta  colune.a.  oe  quibus. 
euobus  fcrattlibns  pjtcr  acccptis  coftat  q>  ipfa  ffit  plus  medictate  coluuc.a  .quc  / 
admodu ipfum qua<fr3tu  confrat cffc plus mcdictatcciraili.a.5i eni c% ipfis fcra 
tilibus  pcrficiauiur  foltda  p_alellograma  quoy  ipfa  fuut  medietarcs:crit  ipfa  colii/ 
na  ps  ipfoy  ouoy  foudo^  gitcr  acccpto£:ocinde  fuper  iatcra  quadrati  infcripti  e 
hcia  quatuo:  triangulos  ounm  equaliu  latcy  in  po:tionibus  circuli  qua^  poitioni 
nuj  latcra  quadrati  funt  cbo:de  ouiifis  arcubus  illa^  po:tionu  g  cqualia  i  fint  tlli 
trianguli.c.d.cf  .fupcr  quos  ctia  crigc  fcranha  ad  altitudtnc"  couine.a.?  manife/ 
ftu  eft  cg  bcc  fcratili3  funt  maius  mcdietatc  pouionu  coltimne  fupcr  po:tioes  cir/ 
culi  confiftentiii  qucadmodn  i  ipfi  trianguli  fuut  maius  mcdietate  po:ttouu  circu 
li.  §iat  aut  boc  toticns  quoufq^  p  p:ima .  io.cogaf  aducrfarius  cofiteri  po:tioncs 
colunep.iteracccptaseffeminasco:po:e.b.£ritigit  columna  latcrata  ocrogona 
qua  coponunt  omnia  ferattlia  paritcr  accepta  qua?  bafcs  funt  trianguli  oiuidcn  / 
tcs  poligonifi  infcriptii  circulo  .a.mai9  triplo  piramidis  rottidc.a.  i  q:  ipfa  latera 
ta  coluna  e  tripla  ad  fua  piramide  ftcut  ocmonftratu  e  in  cis  que  p:cmilTa  funt.  fe 
quitur  ejc  fc6a  gtc.  lo.quinti  lib:i  vt  rotunda  piramis.a.fit  miuo:  latcrata  pirami 
dclateratecolumnccuiusbafiseinicriptfipoligoniu  bafi  rotunde  piramidts.a. 
qb  eft  impolTtbile.£ft  eni  piramis  latcrata  ps  ipfius  piranudis  rotundc  :uo  c  igif 
piramis.a.min9  tcrtia  ptc  fuc  columnc.fed  ncc  plus  tcrtia.Si  cni  poffibtlc  e:ftt  pi 
ramis.a.plus  tcrtia  ptc  columnca.quatitatc  co:po:is.b.ita  q>  octracto  co:po:c.b 
oe  piramide.a.ftt  refiduu  iplius  piramidis  tcrtia  pars  colunca.igif  qucadmodu 
p:iu3  ejc  piramtdc.a.intclligaf  octrabi  piramis  latcrata  fibi  eque  alta  cuius  bafis 
fit  qoadratu  circulo.a.infcriptfi  qua  lateratam  piramidem  conftat  dTe  plus  oimi/ 
dio piramidis  rotundc.^tem  oc  refiduo  piramidis.a.  rurfus  intel!iganf  octrabi 
piramtdcs  eque  altc  ftatutc  fupcr  triangulos.c.d.cf.qui  funt  in  po:tionibus  ba/ 
fis  i  boc  totics  fiat  vt  er  p:ima  occimi  rclinquaf  e*  piramidc.a.minus  co:po:e.b 
crit  itaq^  piramts  laterata  infcripto  poligonio  fugftaus  qua  coponunt  latcrate  pi 
ramidcs  cx  rotunda  piramide  octracte  maius  tcrtia  gte  rotundc  coliine.a.  i  qnia 
ut  p:obatu  e  iu  pccdcntibos  bcc  piramis  latcrata  e  tertia  gs  fuc  columne  tatcrate 
a.fcquif  oenuo  ei  fcba  gtc  lo.quinti  lib:i  columna  rotunda.a.cffe  mino:e  colrina 
latcrata  eiufde  altirudinis  cutus  bafis  c  poligoniii  bafi  rotunde  piramidis  infcri/ 
ptu:boc  aut  impofftbtlema  bec  coltina  rotunda  laterata  ps  e  colunc  rotude.  £um 
igitur  columua  rotunda  no  poffit  ce  minus  triplo  fuc  piramidis  neq3  maiustcrit 
ncceffaria  tripla  ad  eam  quod  oemonftrare  volumus. 

Ijbtopoittio    .10. 

XIDnium  tmarum  rotundaypiramidum  fimiltu  columna 
ramve  rotundarum  fimtlium  epjopoJtioalteriusadal/ 
teramtanq^oiametrifuebafisadoiametru  bafis  alteri* 
p:opo:tio  tripltcata. 

OSint  ouo  circuli.a.i.b.fuperquos  conftituantur  ouc  rotudc  pira 
mides  ftmlcs  oucqj  colunme  rotundc  fimiics  i  oicantur  circuli  %  piramides  icoj 

i  0    4 


LIBER 


3 


C 


lumnc  z  oiametri  circulojum  bis  nomtuibus.a.f.b.equiuocctoico  itaqj  cp  ppov 
tioouarumpiramidum.a.i.b.ouaruqscolumna^.a.c.b.cficutoua^oiametro^ 
a.t.b.pjopojtio  triplicata:boc  autcm  fi  oe  piramidibus  conftiterit  :oe  columnis 
autem  conflabit  tx- 1  ? .quinti.cum  onmis  columna  rotunda  fit  e%  pjcmiffa  rripla 
ad  fuam  piramide:oc  piramidibus  autcm  conftabit  boc  oemonftratione  ouccntc 
ad  impoffibilc.fft  cni  pcr  comunc  fciam  pofita  in  pjincipio  fcoe  ocmoftrationis 
buius.  n.Iibri :  que  pjopojtio  oiametri.a.ad  oiametru.b.triplicata:  cadem  pira/ 
midis.a.ad  aliqo  cojpus:illud  igif  cojpus  fit.c.oc  quo  oico  <j>  ipfum  non  pot  effe 
minus  ncq,  maius  piramidc.b.5it  pjimo  iniuus  l'i  fucrit  poffibile  quantitate  co: 
poiis.d.ita  cp  ouo  cojpoja.c.cd.pjter  accepta  fint  quatum  piramis.  b.itaqj  que 
admodninfcDaptcpjemiffccrpiramidc.b  .octrabaf  Istcrata  piramis  fibieque 
alta  cuius  bafis  fit  quadratum  infcriptii  circnlo.b.z  et  refiduo  eius  oetrabanf  pi/ 
ranndes  eiufdc  altitudinis  confiftentes  fupcr  trigonos  pojfiouu  circuli.b.  fiat  ita 
q}  boc  totiens  quoufq^  cogentc  pjima.  icfit  refiduu  piramidis.b.  minus  cojpojc 
d.eritq5  etcoifcialatCTatapiramisoetractaquacoponunt  partiales  piramides 
oetractemaius  coipoje.c.3nfcribaf  itaq^circulo.a.poligoniiifimilcilli  quod  eft 
bafis  laterate  piramidis  octractc  a  piramide.b.c  ad  angulos  buius  poligonif  in  / 
fcripti  circulo  .a.oemttte  lineas  a  cono  piramidis.a.pcrficicns  fnpcr  illud  poligo 
nium  laterata piramide eque  alta  rotundc piramidi.a.banc igif  ftudeas  oemon / 
ftrare  effe  fitem  htcrate  piramidi  octracte  a  rotunda  piramide.b.qo  boc  mo  fa/ 
cies:in  vtjaqj  piramidc  crigcs  axcm  ipfius  quc  erit  et  oiffintone  linea  cotiimans 
Vertice piraniidis cu  cctro  bafis  i erit perpcndicularis  ad bafim:ocbinc a centris 
bafium  pjotrabasin  vtroq,  circulo  fcmidiamctrosadomncsangulosvtriufqj 
poligonij  infcripti.cunq^  er  oiffmitione  fimilium  piramidum  rotundarum  fit  ,p/ 
pojtio  arisvniusadaxem  alteriusficutoiamctribafis  vniusadoiametrnmba 
fis  altcri9.ideoqj  ctia  c%.  i  y.quinti  i  equa  ^ppojtioalitate  ficut  femidiamctri  ad  fe 
midiamctrij  .fiitt  aut  vtrobiq^  omncs  auguli  quos  axes  cum  fcmidiamctris  conti 
nent  recti.ncccffc  c  q.  fexta  ppofitionc  fejcit  libji  i  quarta  ciufde  i  oiffinitioc  fimi 
lium  fupcrficief  i  funiliu  cojpoi;  oiffinitione  vt  latcrata  piramis.a.fit  fimilis  latc 
rate  piramidi.b.quare  p  addita  ad.s.buius  ,ppojtio  laterate  piramidis.a.ad  la/ 
tcratam.b.e  ficut  lateris  vnius  ad  fufi  rclatiuu  latus  altcrius  .ppojtio  triplkata. 
ideoqj  i  ficut  oiametri.a.ad  oiamctru.b.triplicata.igif  quoq3  ficut  rotunck  pira ' 
midis.a.ad cojpus.c.ex. i  i.quinti quare pcrmutattm  pjopojtio  laterate pirami/ 
dis.a.ad  rotunda  piramide.a.ficut  latcrate  piramidis.b.ad  coipus.c.c  qj  latcra 
ta piramis.b.maioj e cojpoje.c.erit laterate piramis.a.maioj rotunda  piramide 
a.q6  e  impoflibile  cu  fit  ps  ciusmo  eft  ergo  cojpus.c.minns  rotunda  piramidc.b 
Keftat  itaqs  ^pbandu  g?  nec  maius.fi  eni  aduerfarius  oicat  ipfu  ee  maftunc  arga 
atur  c%  coucrfa  pjopojtionalitate  ^pojtione  oiametri.b.ad  oiametmm.a.tripli/ 
cata effe fitut cojpis.c.ad rotunda piramide.a.fcd qccoccptionc cade eft  rotundc 
piramidis.b.ad  aliq6  cojpus  aliud  q6  fit.d. i  qj  cy.  ypotbefi  cojpus.c.  maius  e  ro 
tunda  piramide.b.fcqutt  cc.  i4.quinti  cp  rotunda  piramis.a.fit  maioj  «npoje.d. 
itaq^  piopoJtio  rotundc  piramidis.b.ad  cojpns  q6  e  minus  rotuiida  piramide.a 
videlicet  ad.d.cft  ficut  fuc  oiametri.b.ad  oiamct?  altcrius  ^pojtio  triplicata.boc 
3«t  eft  impoffibilc  .na  cj.  boc  oemoftrauim9  fequi  cp  ps  fit  maio:  fuo  toto.cu  crgo 


XII 


«wpus.c.no  poffif  min9cc  ncqj  mai9  rotundapiramide.b.crit  nccctTario  fibi  cq/ 

le.idcoq3e^fcoaiEtc.7.quii«icoiitot^pofituffl6l3tcatautcmiiosbuiti8oemoii  H«m  ftd.f.  «i . . 

ftratioms  piocciium  ad  cas  outaxat  colunas  «  piramidcs  rotundas  coartari  qua     *iU*mnif  ^MnMif-.  tf 

rum  axes  fuis  bafibus  pcrpcndicularitcr  infiftunntates  cni  oiffiiiitc  fuetut  i  p:in     l**l**"t.  \l  lf^,w^u> 

cipio  vndccimi:cum  tame  palTio  bic  ocmonftrata  comunitcr  conueniat  ommbus 

coiumnis  rorundis  fimilibus  piramidibufqj  rorundis  fimilibus  fiue  ea^  ajccs  fu/ 

pcr  bafes  fuas  fucrint  o:rbogonaliter  ercctc  fiue  fuper  eas  fucrint  inclinatc:  i  ap  / 

pcllent  oiffcrcutic  ca  bee  rorunde  colune  i  pirammides  qrum  bafib9  a^es  o:tbo/ 

gonaliter  fupcrftant  crcctc:rclique  vero  oicant  inclinatc  :*  q:  m  p:incipio.  i  i.non 

funt  oiffinitc  coliinc  aut  piramidcs  rotundc  nifi  ille  tm  quas  ercctas  vocam9:bcc 

quidc  pcr  motu  palcllograrni  rectanguli.illi  vcro  pcr  motu  trigoni  rectaguli.  idco 

conueniens  arbitramur  oiffuiire  columnas  rotundas  i  piramides  oiffinitionib9 

comunitcr  i  vniuocc  conucnientibus  crectis  i  inclinatis  columms  i  piramidibus 

rotundis.£um  igit  ejctra  fupcrficiem  alicuius  circuli  ocfcripti  figuatur  punct9  qui 

cu  circiifereutia  ipfius  circuli  per  lineam  rectam  continuamr  fi  tinca  ipfa  fignato 

punctomajienrcfixooefcriptocitculoquoufq^ad  locum  vndc  moueriinccperit. 

circuducafvcoipusqbacuruafurjficicquamotufuooefcribitbec  Imeac  ab  ipfo 

circuto  cui  circuducitcotinct  voco  piramide  rorunda.et  circulii  cui  tinca  bcc  circff 

ducitur  voco  bafim  ipfius  piramidis.  fixum  au t  punctu  ejctra  circulu  fugficiem  fi/ 

gnatu  voco  conu  piramidisUineamqj  recta  cotinuante  ccntrn  bafis  cu  cono  pira 

midis  appcllo  ap:m  feu  fagitta  piramidis.£unq>  bcc  fagitta  fucrit  perpendicula/ 

ris  ad  bafim  oico  piramide  effe  erectam.cii  vero  inctinata  oico  etia  piramide  incli 

natam.cum  ailt  fucrint  ouo  circuli  cqualcs  oefcripti  in  fupcrficicbus  equidiftanti 

bus  quos  Vna  ptaua  fujrficies  p  eoy  ccntra  tranfiens  fecucrit  fucrintq5  continus 

tc  per  linca  recta  oue  rctariue  fecriones  ouarum  circufcrentiarum  ipfo^  circuloiu. 

Si  linea  bcc  iu  circufercutijs  ipfo?  circulo?  cquidiftanter  fitui  a  quo  moucri  ince/ 

perit  quoufq,  ad  locu  fuum  rcdcat  circuducaf  :co:pus  q&'  a  curua  fupficie  qua  mo/ 

tu  fuo  ocfcribit  bec  linea  i  a  ouobus  .ppofitis  ciiculis  continenvoco  cotumna  ro/ 

tundam.cuius  ajis  fiuc  fagitta  e  linea  rccta  ccntra  ouoy  circulop  cotinuans.  £ t 

cum  bec  fagitta  fuent  pcrpendicutaris  ad  fuperficiem  vtriufq^  ouo:um  drculo/ 

rumroico  columnam  cffe  crectam.£um  vero  fuerit  fupcr  bafim  indinata  oico  co 

lumnam  cffc  inclinata5.£unq5  fuerint  oue  rotunde  piramidcs  aut  columne  a  qua 

rum  axibus  cgrediantur  oue  fuperficics  fupcr  bafcs  carum  oubogonaliter  erecte 

fucrintq^  anguli  quos  a>es  i  communcs  fectioncs  barum  fupcrficicrum  i  bafiuj 

conttnent  ad  iuuiccm  cquales:  ?  ruerit  p:opo:tio  atfs  vnius  ad  axem  altcrius  fi/ 

cnt  femidiamctri  bafis  vnius  ad  femidiametrum  bafis  altcri9:tunc  iltas  ouas  pi 

ramides  adinuiccm  aut  illas  ouas  cotumnas  ad  inuicem  oico  fimilcs  cfTc.bis  oif 

finitionibus  pofitis  oemonftrandu  eft  cp  omnium  ouarum  rotundarum  pirami/ 

dum  fimilium  columnaru vc  rotuudarum  fimilium  fiue  erecte  fiuc  inclinate  fue/ 

rint  eft  p:opo:tio  vnius  ad  altcram  ficut  oiametri  bafis  vnius  ad  oiametrum  ba 

fis  alterius  p:opo:tio  triplicata  quodocfotiserectisoemonftratum  eft  adboc 

autcm  p:emittimus  anteccdens  neceffarium. 

Stfoerint  ouerorunde  ptranrideeadinuittmfimilee  vrranq^qua? 


■ 


LIBER 


■     ) 

C 

•    ) 

6ue  plane  fnpcrficies  fnpcr  ajrem  fcccnt  fiicrttqj  ba;e  ouaiz  fnpficiqr 
altcraiiivtraqjpiramidcfupcrbaftm  eius  onbogonaltter  crecta  at 
arcus  bafium  uitcr  illas  ottas  fupcrficies  cotttenti  liimlcsxrmtt  angu 
liquosajrescOuecommunesfectiones  baftum?carum  Itipcrficicy 
que  fup  bafcs  rto  ponut  onbogonaliter  erectc  cotinet  adinuice  cqlcs 
GBint  ouc  rotundc  piramidc3.a.b.?.c.d.qtia2/  bafcs  lut  circuli.c.f.g.s.b.k.l.ct 
a^csouclincc.a.b.c.c.d.eoiamctribafiu.c.g.t.b.l.ccntrabafiufuntouo  piicta 
b.  c  d.coni  piramidu.a.c.c.fimilcs  ad  inuicc:?  ab  carum  conis  ad  fupcrfic.e  ba/ 
fii pjotrabaut vt oocet. i i.vndecimi libn ouc ppcndiculares que funt.a  m.c.c.u. 
«continuenturpuncta.m.^.n.cuccntrisbafiu.ptractislmcis.b.m.c.d.n.critqj 
t%.  lS.vndccimi  fupficics.a.b.m.quc  egrcdif  ab  atca.b.crccra  fuo  bafim  pirami/ 
dis.a.b.ojtbogonaliter.f  ode  modo  furjncics.cd.n.quc  cgredtf.a.b.axc.c.d.erit 
erecta  fuper  bafim  piramidis  .cd.02tbogonalitcr.fint  itaqj  ouo  arcus.f.g.t.k.l. 
fimilcs^intelligautouefuperficics.a.b.f.c.d.b.cgrcdiabapbuscfccarcpirami 
dcs  .a.b.c.cd.  fit/es:oico  igitur  ouos  angulos.a.b.  f.c.d.k.cffc  adinmcem  cqua/ 
Ie3.p20trabaiifcmouelmce.f.m.c.k.n.q:igifoucpiramidcs.a.b.c.c.d.fuiitfi/ 
mile3?  ouefupficies.a.b.m.c.d.n.rtanteso2tbogonalitcrfuper  bafcs  cgrcdiuuf 
ab  earum  axibus:crit  cjc  otffmitionc  fimiliu  piramidii  angulus.a.b.m.cqualis  ati 
gulo.cd.n:? q: ejc  Otfftnittone lince fupra  fup/icicm ppendiailantcr crccte  vtcrqj 
euo2/  aguloi/  .a.m.b.c.n.d.  e  rcctus  crunt  cx.52.pnmi  %  .4.  fcxri  ouo  p:irni  triarc 
guli  .a.b.m.i.cd.n.lateru  ,ppo2tionaliu  vt  ;ppo:tio  linec.a.b.ad  linca.cd.ficut 
b.m.ad.d.n.ificut.a.m.ad.c.n.cq2ej:oiffinitioncfiftupiramidu^>po:rioaxi3 
a.b.ad  ajccm.c.d.c  ficut  femidiamctri.b.f.ad  fcmidiamctp.d.k  .ent  cc  1  i.qutnti. 
p2opo2tio.b.f.ad.d.k.ficut.b.m.ad;d.n.j;unq5fmtouoanguli.f.b.m.c.lN.d.n. 
eqnalcscoq'Otioarcu3.f.g.c.k.l.  funt  fmiiic8etvpotbefi:critcj:fcjtta?  quarta 
fcxti  p2opo2tio  .f.m.ad.k.n.  ficut.b.m.ad.d.n:idcoq5  ficut  .a.m.ad.c.n.  cqnia 
itez/  e%  oiff initionc  linee  fuper  fnpcrficic  pcrpcndtcularitcr  ercctc  vtcrq,  01102U  ait 
guloy.a.m.f.cn  .k.c  rectus-.crit  cx  fcjta  1  quarta  fcjcti  ,ppo2tio.a.f.  ad  .c.k.  ficut 
a.m.ad.c.n.idcoq^pcr.ii.quintificut.a.b.ad.c.d.^ficut.b.f.ad.d.k.igifcxqnin 
ta  fexti  ono angult.a.b.f.c.cd.k.funt adinuiccm  cqualcs  quod cft  p:opofitum. 
G3dem  ,pbab>6  lcuiter  oc  rotiidis  columnis  fimilibus:boc  itaq^  oemonftrato  oi 
coepomniumouarumroturdarumpirantidum  fimtlium  quccuuq^  fucrintfiue 
crcctcfiucmcliiiateep2opo2tiovniuscanimadalteram  ficut  oiametri  fue  baft3 
ad  oiamctrum  altcnus  bafis  p:opo2tio  triplicata.5int  cnim  vt  p^ius  ouc  rotun 
de piramidc8.a.?.b.qua2um  bafcs  funt circuii.a.t.b.? bo^um  circnlo2um  oiamc 
tri  fint  etiam.a.c.b.fitqj  p2opo2tio piramidis.a.  ad  co^pus.c.  ficnt oiametri.a. 
ad  oiamctrum.b.p2opo2tio  triplicata.non crit  igitur  «npus.c.minus  ncq, mai/ 
U8  rotunda  ptramidc.b.Sitcnimp2tmofi  pofftbile  cftminus  quantitatc  C02/ 
po2is.d.ita  q>  ouo  co2po2a.c?.d.parircr  acccpta  fint  qnantum  rotunda  piramis 
b.  abajceigitm"  piramidis  .b.  p^odeat  fupcrficics  qncfit  o2tbogonalitcr  crect» 
fuper  circulum  .b.  Sitq^  commnnis  fectio  buius  fuperficici  ct  circuli.  b.  Imca 
e.  f.  tranfiens  per  ccntrum  .b.  quc  erit  oiamctcr  circuli  .b.  1  p^otrabatur  in/ 
ter  circulum  .b.alia oiameter fccans banc  02tbogonaliter qne  fit.  g.b.Sicq^  in/ 
fcribatur  circulo.b>.uadratum.  c.g.f.b  .«a  rotunda  piramidc  .b.  tntelligatur 


■■■^H 


XII 

eetrabilateratapiramiscuius  bafiseftquadratumclrctilo.  b.  infcriptumrquc  vt 
pjobatumefuptamaius  eritoimidio  romndcpiramidis.ftcxrcfiduo  ciusoe/ 
trabantur  pirarnides  riufdc  altitudinis  conftftcntcs  fupcr  trigouos  po:tionu  cir/ 
culi.b.  fiatq^boctoticnsqnoufq)  rcfiduumfitrotundepiramidis.  b.miuus  co:/ 
poie.d.e^piiinaoccimi.  frttqje^conccptionclatcrata  piramis  octracta  quam 
componuiit  Iatcratc  partiales  piramidcs  oetracte  maius  coipojc.c.  tunc  crgo  pio 
dcat c%  ayc  piramidts.a.fupcrficics alia  que ftt ojtbogonalttcr crccta  fupcr circu/ 
culum.a.?  ftt  comunis  fcctio  buius  fupcrficici  t  circuli.a.linca.k.l.quc  ob  boc  crit 
eiamctcr  circuli.a.piotrabatur  aut  in  circulo.a.alia  oiamctcr  fccans  banc  ojtbo/ 
gonalitcrqucfit.m.n.ficq^infcribaturiucirculo.a.quadratii.k.m.ln.ioiuidcn/ 
do  arcus  pojtionu  circuli.a.per  cqualia  pficiatur  in  circulo.a.poligoniii  fimile  illt 
quod  cft  infcriptuiu  circulo.b.^z  ssd  fingulos  angulos  buius  poligoni)  oemitte  Ime 
as  rectas  a  cono  piramidis.a.pficiens  fupcr  illud  poligonium  latcratam  pirami/ 
dem cquc alta piramidi.a.banc  auc latcrata piramide  .pbabiseffc  fimiic  latcrate 
piramidi  octractc  a  rotuuda  piramide.b  .quod  boc  modo  facics  ,pduces  ajccs  co  / 
gitatione  vcl  actu  Vtriufq^  in  vtrifq^  piramidib9  .a.t.b.z  3  centris  bafium  .ptra/ 
bas  lincas  rcctas  ad  omucs  angulos  infcripto?  poligonioy.  £runtq5  c%  picmiffo 
antcccdcntcomncsanguliquoscotinet  apspiramidis.a.cum  ftngulis  liurisou 
ctis  a  centro  circuli.a.ad  angulos  poligonij  fibi  infcripti  cqualcs  fuis  relatims  an 
gulis  quos  continct  aris  piramidis.b.cu  fingulis  lincis  ouctis  a  ccntro  circuli.b. 
od  agulos  poiigonij  fibi  lnfcripti.£t  qi  c%  oiff  initionc  roiunda^  piramidii  fimiliii 
pjopoitio  ajcis  piramidis.a.sdaxempiramidis.b.cft  ficut  fcmidiamctrt  circu/ 
li.a.ad  fcmidiamctrii  circuli.b.fcquittir  c%  fejcta  %  quarta  fcjcti  coiffinttionib9  fimi 
lium  fuperficicrn  1  (imiliu  cojpojum  q>  ouc  lateratc  piramidcs.a.  c.b.  fint  fitcs. 
£etera  argue  ficut  pjius  in  oecimo.conftat  iraq,  oe  omnibns  rotundis  piramidi/ 
bus  fimilibus  g>  pjopoJtio  eas  fit  ficut  oiamctroy  fuar  bafium  triplicata.c  quia 
omnis  columna  rotunda  e  tripla  ad  fua  piramide.boc  cni  fufficicter  e  oemoftratfi 
fiue  colune  1  fue  piramidcs  fuerint  crcctc  fiuc  inclinate:  fequif  cjc.  1  ?  .quinri  vt  ctia 
quarumlibet  columnar  rotundaj:  filium  fit  pjopojtio  ficut  fua^  oiamettojti  tri/ 
plicata. 

lfc>:opolitio  .11. 
£Cmes  tmas  rotundas  piramidesfiucxolumnas  eqtie 
altas  liiis  balibus  p:opojtionales  elTc  necelfe  eit. 
CSupta  ouos  circulos.a.i.b.ftatuantur  nt  pjius  ouc  rotundc  p£/ 
ramidce  cqucaltequcoicanf  fmtcr.a.s.b.soucrotundecolumne 
cque  alte  cifde  littcris  affcripte  .a.f.b.oico  itaq;  cp  ,ppoitio  oua^  piramidii  .a.c 
•b.ouariiqj  coluna^.a.cb.e  ficut  0110:5:  circuloju.a.c.b.quod  oc  columnis  rnam 
fcftum  crit  fi  boc  p  jius  oe  piramidibus  ocmoftrabif  omnis  cni  rotnnda  columna 
tripla  e  ad  fuam  piramidemioe  piramidibus  autem  coftabit  indirccta  oemoftra/ 
ttone  boc  modo.  £ft  eni  c%  coi  fcia  ^poitio  rotundc  piramidis.a  .ad  aliqo'  cojpus 
ficut  circuli.a.ad circulii.b.illud cojp9fit.c.oico iraqj  cp  co:p9  .c.no  pot ee maius 
ncqj  min9rotuda  piramide.b.fit  eni  pmo  min"  qntitatc  coipjs.d.igif  circto.  b.in 
fcribaf  qdratii  1  octrabaf  a  rotunda  pitamidc.b.piramis  laterata  cuins  fit  bafts 
quadratiicirculo.b.infcriptu  xcf.  po:tionibus  piramidib9oetrabanf  piramides 


LIBER 


fuper  trigonos  potfionum  circuli  confiftcntes  fiatq;  boc  totiens  quoufq^  fit  i%  pi 
ramidc.b.rcfiduum  minus co:po:c.d.eritq5  lataata piramis  oetracta  qua com/ 
pouunt  partiales  piramides  oetracte  maio:  co:po:e.c.infcribatur  crgo  circulo.a. 
poligonium  fimile  illi  poligonio  quod  eft  bafis  laterate  piramidis.  b.  i  perficiat 
fuper  ipfum  piramis  latcrata  onctis  lineis  a  verticc  piramidis  latcratc.a  .ad  an/ 
gulos  poligonij  infcripti.JErunrqj  oue  laterate  piramides.a.-z.b.equc  altc.boc  eni 
eft  p:opofitum  o:  rotuudis  :quarc  p:opo2tio  latcrate  piramidis.a.ad  latcrata  pi 
ramidem.b.e(t  ficut  bafis  eius  ad  bafim  illius  videlicet  ficut  poligonij  .a.ad  poli 
gonium  .b  .boc  enim  ocmonftratum  cft  in  fe»:ta  buius  .at  vero  poligonij .  a.  ad 
poligoniu  .b.e  ficut  circuli.a.ad  circulum  .b.quod  manifcftum  e"  ejc  p:ima  z  fecun 
da  buius:itaq5  latcrate  piramidis.a.ad  latcrata  piramidcm.b.ficut  rotundc  pira 
midis.a.3dcojp9.c.qrcpamutatimlateratcpiramidis.3.adrotundampirami/ 
dem.a.ficut  toterstc  piramidis.b.ad  cojpus.c.cumq;  fit  laterata  piramis.b.ma  / 
io:co:po:e.c.fequiturlatcratampir3midcm.3.elTc  maio:cm  rotunda  piramidc 
a.boc  autcm  impoffibilc:cft  cnim  pars  eiusmon  crit  ergo  co:pus.  c.minus  rotun 
da  piramide.b.Si  vcro  ponat  aducrfarius  qp  fit  maius  oemoftrabimus.  rurfum 
idcm  impoffibile  confequi:erit  enim  pcr  conucrfam  p:opo:tionalitatcm  ,ppo:tio 
eo:po:is.c.ad  rotundam  piramide.a.ficut  circuli,b.3d  circulum.a.fit  quoq j  eade 
rotundc  piramidis.b.3d  sliquod  co:pus  qo  fit.d.cilm  igit  co:pus.c.fit  msius  ro 
tuiids  pir3midc.b.pcr  vpotbel'im:erit  c%.  1 4-quinti  rotunda  piramis.s.msio:  co: 
po:c.d.it3q5  p:opo:tio  circuli.b.ad  circulum.a.erit  ficut  rotunde  piramidis.b.ad 
quodds  co:pus  minus  rotunds  piramidc  .a.fed  boc  oemoftratu  e  p:ius  effc  im/ 
poflibilc  .fic  cnim  fequit  cp  pars  fit  maio:  fuo  toto.non  cft  igit  co:p6.c.  neq5  min1' 
ncq^  maius  rotunda  piramide.b.fed  tm  equale.itaq^  ejc  fcba  pa:te  feptime  quinti 
concludep:opofitum.Z5t  sutfscilius  incoculTiufq^ocmonftraretqbfequitutisd 
ipfam  cft  antecedcns  vtile  p:emittendum  quod  eft. 
C0t  fuperficies  qnedam  rotundam  columnam  equidiftanter  bali  ei? 
fecuerit:erunt  ouo  partialia  co:po:a  que  ad  illam  fecantcm  fugftctem 
terminantur  pouionibue  ajcis  columne  p:opo:tionalia. 
CBimilc  c  boc  ei  quod  ^pofuit.2  y.vndecimi  lib:i  oc  folidis  paralcllogramis  ncc 
folum  vcrum  cft  boc  oe  columnis  rotundis  imo  fimpliciter  oc  omnibus  columnis 
fiue  laterstc  fucrint  fiue  rotundcQb  qui  argumentationem  p:ime  fctfi  vel.25.vn 
dccimi  firmitcr  tcnucrit  facilc  oemonftrarc  potcrit:bic  cni  no  aliter  q>  ibi  cjc  oiff i/ 
nitionc  incontinuc  p:opo:tion3iitatis  que  pofita  e  in  p:obcmio  quinti  hbii  argu/ 
cndum  cft  pwpofitum.Sttendere  aut  opojtct  cp  quecunq^  fupcrficics  fccst  colu/ 
nstn  equidift3ntcr  bafi  ipfius  fecat  ctiam  eam  cquidiftantcr  fupcrficici  bafis  cius 
oppofitc.nam  quecunq^  fupcrficies  vni  fupcrficici  fnnt  cquidiftantcs  ipfe  quoq^ 
ifunt  cquidiftantcs  adinuiccm  ut  c%  bisquc  oicta  funtcx;  occimsfejcts  vndeci/ 
milib:ioidicifti:qu3rem3nifeftum  eftcpomnes  rotundccolumncqusrum  fuut 
bsfes  eqles  sltitudinib9  fuis  funt  p:opo:tionalcs:3dem  quoq^  oe  latcratis.idem 
quoq^  oe  piramidibus  rotundis-i  etiam  oc  latcratis  quod  oc  piramidibus  cofta/ 
bitfip:iusoccoIumnisp:obetur.£ftenimomnis  columna  triplcj:ad  fuampi/ 
ramidem  rotunda  quidem  e%  nona  buius:laterat3  vero  cj:  bis  quc  fupra  in  occs  / 
uaoemnoftratafunt 


XII 


'Jjbiopolttio  .it. 
%  Oue  ptramides  rotunde  fiue  columne  fuerint  eqles  fae 
bafes  i  altitudines  eriit  mutue.gji  ver®  fue  bafes  i  altitu 
dinesmutuefuerintipfas  piramidesliue  colunas  eqles 
ee  necelTe  e.Gaititudtne  piramidu  ocrerminanc  linec  a  couis  ad 
bafes  cpendiculariter  ocfce'dentes:colun3:rautetn  a  fuppjemis  ea/ 
rufupficieb^ad  bafes.Sinritaq^onerotudc  piramidcs.s.  b.i.c.d.eqIcs:oncq5 
rotudecclune.a.b.c.cd.eqlcstfinteftcoee  bafesram  piramiduqj  colnns^ouo 
rirculi.a.c.ccoes  quoqj  altitudines  tam  piramidii  q*5  coluna?  octcrminate  g  li/ 
neas  .a.b.f.cd.oico  o?  .ppojtio  circuli  .c.ad  arculum  .s.e  ficut  altitudinis.  a.b. 
ad  altitudine"  x.d.z  cconcrfo.boc  aut  fi  oe  colunis  ,pbatu  futrit  oe  piramidibus 
certu  erit:qfn  ois  coluns  rotuda  tripla  e  ad  fua  piramide  .fi  itaq;  oue  slritudines 
a.b.s.cd.fuerint  eqles  e*  pmiffa  coftat  ,ppofitu.Si  aut  incqles  fit.a.b.maioj  fu 
inaturq5-.a.c.eqlis.c.d.^fccetcolun3.a.b.3fup.ficie.e.equidirtaterbafiei9.a.erit 
q5  c%  pmilTo  antcccdente  coluna.a.b.ad  coIuna.a.e.ficut  altitudo.a.b.sd  altitu/ 
dine.a.e.ioq5  e*  pjims  gte.7.quinti  coluua.cd.ad  coluna.a.e.ficut  altitudo.a.b. 
ad  altitudine  .a.e.quare  g  fcoam  gte.7.quinti  ficut  altitudo.a.b.ad  altitudine.c 
d.exp2cmiff33utecolun3.cd.adcoIuna.a.e.ficut  circulus.c  adcirculu.3.  itaq^ 
g.i  i.quintic  altitudo.a.b.adBltitudtne.c.d.ficut bafis.cadfcafim.3.conftat igi 
tnr  piims  ps.Scea  coucrfo  mo  coftabit  eade  oifpofitione  manctc.ftt  eni  vt  bafis 
c.ad  bafim.a.fic  altitudo.a.b.ad  sltitudine.cd.oico  q>  oue  colune.a.b.c.cd.fut 
cqlcs.erit  cni  ex  fcos  gtC7.quinti  altitudo.a.b.ad  sltitudine.s.e  .ficut  baiis.c.ad 
bafi5.a.'zqierpmiffacolun3.cd.3dcoluna.3.e.e.ficutb9fis.cadb3fi5.3.«exp 
miffaantcccdentecolmia.s.b.adcoluna.a.c.ficutaltitudo.a.b.ad  altitudine.a.e 
fequit  ejc.  i  i.quinti  vt  coluna.  c.d.  ad  coluns.a.c.ftt  ftcut  columna.a.b.ad  candcm 
a.cigitur  cjc  piima  £te  .^.quinti  ouc  coluue.a.b.ccd.funt  cqualcs  rquare  coftat 
etiafecundapars.  libiopolitto    .13. 

3lm  ^pofiti  fuerit  ouo  circuli  ab  vno  cctro  circuducti  fu 
perficie  multiangula  equalitt  latqz  circulu  mtnoie  mini/ 
tne  tangcntiii  intraicirculum  matozem  fcefcrtbere. 
GSint  ouo  circult.a.b.cd.c.e.f.sb  vno  coj  cecro  q6  ftt.g.  circudu/ 
cti.oico  cp  intra  maioiem  qui  ftt.a.b.cd.poffibilc  e  vnn  poligoniu^ 
q6  fit  equtlatc?  oefcribi  minoie  circulu  qui  ce.f.nullo  W032  larey  tangens.  Qm/ 
drcnf  cni  bi  ouo  circuli  ou3bus  oismctris  fug  ccnty  ipfo?  oirbogonaliter  fcinui/ 
ce  fccsntibus  quc  finr.s.cc.b.d.fitq^.cf  .oiamcter  minojis  ps  otamctri  .a.c.q  i 
oiamctri  maiojis.ficqj  igit  a  puncto.e.oucst  vtrinq^  vfq^  ad  circufcrentia  traio  / 
ris  linee  ojtbogonaliter  fuperoi3mety.e.f.qucoccurrat  circumfcreuticmaiojis 
binc  quide  i  puucto.b.indc  vero  in  puncro.k.crirq^  cc  conelario.  1 5  .tertif  linca.b 
ck.contingcns  circulum  mirtoje":poftea  vero  quadrante.a.b.maiojis  circuli  oiui 
dc  pcrcqualisinpuncto.I.fcuduooctrinam.zj.tcrtijtoefcincfrurfusarcum.a.l.g 
cqualia  ad  punctnm.m.cunq^  boc  plurics  fcccris  ncc«ffario  tandem  oeuenies  ad 
arai  qui  mino:  erit  arcu.s.b.fiterj  bica.m.boc  aute  idcirco  neccffarium  eft  qj  cu^ 
fuerint  oue quatitates  ieqles fi a maioji cac  ocmst ci9  oim:diu.iteq 5  3 refiduo oi 
midiit  poffibilc  c  boc  toties  ficri  quoufq^  tade  mio:  mio  je  ca?2  relinqc  queadmoo  i 
pma.io.ocmoftratti  c.cii  igit  fic  oiuidedo  ad  arcu  qntnlumcilq;  mioje  .a.b.fuerit 


vla; 


LIBER 


©enentu  cuiiifmodi  elt  arcus  bic.a.m.fumatur  arcus.a.n.cqualisarcui  .amt.on/ 
canturq^  ouc  "inee.a.m.c.n.m.quia  igitur  arcus.a.k.eft  cqualis  arcui.  a.b.quod 
cf.  fecunda  partc  tcrtie  tcrtij  i  quarta  p:imi  i.  2S.  tcrtij  mamfcftum  e  i  quia  arcus 
a.n.eftcqtialisarcui.a.m.critcjccomunifcientia  arcns.n.k.cqualis  arcui.m.b. 
crgo  ouc linec.m.n.s.k.b.funt  cquidiftantes ergo linea.m.n.non poccrit  tange/ 
rc  ctrcuui.e.f.qrc  multo  foitius  ncqj  linea.a  .m.poreft  ipfum  tangcrc:G-Quonia5 
igitur  conftat  circulum.a.b.c.d.oiuifibilem  cffe  pcr  arcus  equalcs  arctii.a.nuocp 
peras.tertij  uTcottat  itra  ipfu  circulu  poffe  cbo:dulas  cqTc3  cbo:dule.a.ro.conn/ 
nuc  coaptari  circulum  ipfum  poligonic  cbo:dautes.manifeftti  cft  itra  circulu  ma/ 
io:e poflc  vnu  poligoniu equilatcni  cuius  vnu  latus c  linca  .a.m.  infcrtbi  i quia 
linea.a.m.nd contingit circulum mino:e p, cjc p:ima gte.  t ?.  tcrtij  ct  otfTmitione 
lincarum  a  ccntro  circuli  cqualitcr  cqdtftantium  q>  infcriptu  poligoniu  nulio  latc/ 
ru  fuo?  tangit  circulu  mino:e  qo  cft  p:opofini.Cat  quid  oubitas  ouas  Uncas.m 
n.i  k.b.cc cq*diftantes  cu  ftnt  ouo arcus.n.k.t.m.b.equalcsibocaut  incocuffaj 
veritatc  fouitum  cft  g?  oue  linec  circulu  vnii  no  aut  fc  tnuice  fecantcs:  fi  ejc  circutn 
ferentia  cqualcs  arcus  bincindc  lincis  ipfts  inter  fint  erunt  equidiltautes:  ouc  qui 
dem  a  ccntro.g.linea.g.p.ppendiculare  ad  linca.m.n.que  fecct  linei.b  .k.i  pun/ 
cto.q.2p:otrabelmcas.g.m.g.n.g.k.g.b.'zouobus3rcubu8-.n.k.c.m.b.fubtcn 
deouascboidas  qucctiaoicanf.n.k.c.m.b.eruTq^ex.zs.rerrijbcccbo^dccqles 
nM.i.m.b.co  q>  arcus cquales i pcr  fccuda  pte tcrtieeiufdc  tertij  erit linea.n.p. 
equalis  lince.m.p.cum  igimr  vterc^  ouoz?  angnlo:um  qui  funt  .a.  d.p.  ftt  rcct9  c% 
Oiffinitioncperpendicularisericejcquartapumiangulus.n.p.g.cqualis  augnlo 
p.g.m.atvcroper.8.p:imiangulus.k.g.n.eequaIisauguIo.b."g.m.itaqjec6/ 
munem  fcicntia  quc  e  fi  equalibus  equalta  addas  tota  crunt  cqualia.crit  angulus 
k.g.q.cqualisangulo.q.g.b.idcoq5perqu3rtap:imilinea.k.q  crit  cqualis  lince 
q.b.quare  p  p:imi  parte  tertte  tertij  linca.  g.q.crit  pcrpcndicnlaris  ad  Imca.k.b. 
igitur  ejc  p:ima  pte.2S.p:imi  onc  lince.n.m.f.k.b.funt  cqnidiftantcs  i  boc  eft  qo 
onbitareconqucftus  cs.Cboceniidcm  aiiteroemoftrarceftpolTtbileoucafcni 
linca.n.b.erirq^  ejc  vltima  fcxri  angulus.b.m.n.equalis  angulo.n.  b.k.  co  q>  ar/ 
tns.b.m.eftcqualisarcui.n.k.ideoex.27.p:imilinca.m.n.crit  cquidiftans  liuce 
b.k.£onuerfam  quoq3  fi  libucrit  conucrfo  modo  pwbabis.fi  enim.Iinea.m.n.cft 
equidiftaus  linec.b.k.crit  arcus.n.k.cqualis  arcui  ,m.b.erunt  cni  cj:  p:ima  par/ 
te.2j.p:imi  ouo  anguli.b.m.n.?.n.b.k.equales.ideoq5  et  vltima  kpx  ouo  arcus 
n.K.t.m.b.eruntetiamcquales: 

1|bzOpofitio  .14- 
^abns  fperts  Vnum  centrum  babentibus  p:opofttis  in/ 
tramaio:cnicaramfolidum  multarmn  baftum  fuperfici/ 
em  mino:is  fpe:e  minime  taugentiu  figuraliter  coftituere 
iQuo  conftituto  fi  in  mino:i  fpera  liue  in  qttalibet  alia  fpe 
ilra  fimile  co:pus  intelligtbiliter  conftituatur  erit  p:opo:/ 
tio  co:po:is  multarum  bafium  intra  maio:e  fperam  conftttuti  adco: 

!)usmnitarumbauummtra  minorem  fperam  velaliam  conftitutam 
icnt  »iametri  maio:is  fpere  ad  oiametrum  mno:is  vcl  alterius  fpere 
p:opo:tiotripltcata. 


■■■ 


HMH 


XII 


GSintp:opofiteoucfperc.9.b.c.d.c.c.f.vnum  atq;  idcm  ccntramquodftt.g. 

babcntcs  i  fit  maio:  earum  fpcra.a.b.c.d.mino:  Vcro  fpera.c.f.  volumus  autcm 

inrra  maio:cm  camm  vnum  co:pus  multarum  bafium  conftitucrc  :oc  quib0  uci» 

intcndimus  cp  ipfc  bafcs  fint  cqualcs  aut  fimilcs  fcd  qp  nulla  carum  tangat  fupcr 

ficicm  minous  fpcre.£um  igitur  boc  volucrimus  faccrc  fccabimus  fimul  vtranq; 

p:opofirarum  fperarum  vna  plana  fupcrfkie  pcr  comune  ccntrum  earum  tranfc/ 

nntceruntq;  ejc  oiffinitione  fpere  z  oiiTinitione  circuli  comunes  fcctioncs  buius 

fecantisfuperficiei  ?fuperficierumfperarump:opofita£  lincc  contincntesctrcu/ 

los.fint  ttaqj  ouo  ciraili.a.b.c.d.s.c.f  .quojum  ccntrum  cft  centnim  fperc  oc  quo 

pjopofitum  cft cp ipfum  fit.g..Quadrabimu3  igif  bos  ouoa circulos  ouabus  oia 

metris  fc  fup:a  coc  ccntru  eoru  o:tbogonaliter  fecantibus  quc  fint.a.c.-t.d.b.po/ 

ftea  maiori  circulo  t>m  p:ccepta  p:cmilTe  infcribemus  Vnum  poligonium  equilate/ 

rum  nullo  fuo:um  latcrum  tangcns  mino:cm  ctrculum  .£t  futficiat  exonpli  caufa 

infcripfifle  ouodecagonum  cquilatcrum  ita  cp  in  quadrantc  ipfius  maious  circu/ 

li  qui  eft  .c.d  .fint  tria  latcra  buiu3  ouodccagoni  quc  fint  cbo:de.d.b.b.k.  iXc. 

quc  cum  fint  equalcs  crunr  quoq;  c%  p:ima  gtc.27.tcrtij  arcus  earum  cqualcsroe/ 

binc a ouobus  punctis.  b.?.k.  qne uiut  etfrcmitates  medic cbo:de p:oducenms 

ouasoiametrosqucfunt.b.m.i.  k.l.i  fuper  ccntrum.g  .erigcmuslmcam.g.n. 

perpendicularcm  ad  fupaficicm  circuli.a.b.c.d.qua  p:oduccmus  quoufq;  obuict 

fupcrnciei  fpcrc  maious  fuper  punctum.n.oeinde  intdligain  quatuo:  ftiperfiaes 

fecantcs  fperas  p:opofitas:quarum  vnaqueq;  fecet  cas  fuper  lincam.g.n.fcd  p:i/ 

ma  carum  fupra  Uneam.g.n.c  oiametrum.d.b.fccuda  fupcr  lineam.g.u.c  oiame 

trum.b.m.tcrtia  vcro  fuper  lineam.g.n.?  oiamctrum.k.l.qoarra  autcm  fuper  li/ 

neam.g.n.s  oiamctrtim.c.a.erunrq;  cr  oirTinitionibus  fpere  %  circuli  comunes  fc 

ctiones  barum  fuperficierum  %  fupcrficict  fpere  maio  us  linec  contincntcs  circu  / 

los  %  erut  po:tiones  infcripte  vt  inter  punctu.n.t  quatuo:  puncta  quc  fut.d.b.k. 

c.quadrantcsbommcircuIominquiquadrantcsfunt.d.ii.b.n.t.k.n.T.c.n.  boc 

3utemidco'cuenitcpomnesanguliquoscontinetlinca.g.n.cumvnaquaq5D5a/ 

metro:um  p:otractarum  in  fupcrficic  circuli.a.b.c.d.funt  rccti  c%  oilTinitioiic  li/ 

nee  perpendicularis  ad  fuperficiem:rccti  vero  anguli  m  centro  quarte  ciraimfcrcn 

tic  fubtcndanmr.quod  e%  vlxima  fqcti  cuidentcr  apparet.  £jc  oitTimtionc  autc  cir 

culouim  equalium  manifeftum  cft  cp  vn  ufquifq;  boy  qtuoj  cir  culoy  c  cqualis  civ 

culo.3.b.c.d.11am  oiameter  omnium  ipfoy  e  oiameter  fpcre  maio:is.  igit.g.  i  s . 

quinti  qdrantcs  eoui  fuut  cqualcs:quarequinq5  arc9qui  luiit.d.n.b.n.k.n.c.n.i 

d.c.funt  equales:i  Vnoquoq^  ergo  qruoi  qdrantiu  circuloj/  erectoy  coaptenf  ypo/ 

tbemifales  cbo:dc  quai;  qlib,  ftt  eqlis  cbo:de  circuli  ,pftrati  q  fiit  latcra  poltgoni) 

fibi  infcripti  i  e  vna  eaz;  cbojda.d.b.fintq;  i  pmo  quidc.d.q.q.r.i.r.n.m  fccudo 

vcro.b.f.f.t.t.t.n.intertioaute.k.u.u.x.^.X-n.-zinqiiartofint.c.o.o.p.c.p.u. 

«  p:otrabanf  co:aufta  coiugctcs  capita  ypotbemifaliu  cboidaj/  q  fint.q.f.f.u.u.o 

«.r.t.t.cjc.p.vidcs  igitur  quartc  parti  fugioiis  bcmifperi)  inaious  fpere  quc  qui/ 

dcm  quarta  pars  c.d  .n.c.tfcriptum  ec  coipus.  j.bafium  quarii  trcs  que  cocuut  in 

puncto.n.funt  triaugule:cctcre  aute  funt  quadrangulc.funrq;  barum  quadrangu 

larum  fuperficicrumfpotbemifalta  latera  equalia.fcd  non  equidiftsntia.£o:aufti 

aute  inter  quofq;  ouos  circulos  iutcrccpti  funt  equidiftantcs  adinuice  %  cbo:de  cir 

culi  pioftrati  fcdiionfuntadiuuiccmequales.  bocautfcicsfipcrpeudiculares  a 


LIBER 


coiauftoy  ejctrcmitatib9  ad  fuperficie  circuli  iacetis  oemiferis.ee  quibus  pftat  cp 
ipfc  cadcut  fupcr  oiamctros  circuloy  quos  co:aufti  ptinuat  qo  c%  ocmoftratis  in 
ij.n.facilcocp:cbcndcs.23crbigratia.Smtaouobustcnninisco:9u(ti.q.f.oc/' 
mifteouepcrpendiculares.q.y.c.f.^.cadentesinoiametris.d.b.s.b.m.s^prraba 
tur linee.q.g.  f.y.^.erunrq^  cx quarta fejti  ouo  trianguli.q.y.d.-j.f.j.b.filfes  qua/ 
re  p:opo:tio  ouarum  perpendicularium.q.y.i.f  .3-crtt  ficut  oua^  co:da^.  q.d.c.f 
b.cunq^  fint  co:de  equalcs  erunt  etia  «  ppendiculares  equales  .3t  ipfe  funt  equidi 
ftantcs  ejc  fe#a.  i  i.ergo  c%.  5  j.p:imi  co:auft9.q.f.eft  equalis  1  cquidiftans  linee.y 
yl  quia  c%  fcoa  p_te  fctic  fejcti  linea.y.^.e  equidiftans  co:de.d.b.«  io  mino:.e.a.  (e 
quitur  cr.9.vndecimi  ut  co:auftus.q.f.fit etia  cquidiftas co:dc  .d.b.z mio: ca c% 
conceptione.Xum  itaqj  co:dc  que  funt  latera  poligonij  infcripti  in  circulo  taccnti 
z  ipfc  funt  oes  equales  «nde.d.b.nd  tangat  fpera  mino:c':nccelTccft  ut  nullu^  la/ 
tus  barum  bafium  co:po:is  infcripti  fiue  quadrangule  fint  fiuc  trigone  tagat  can 
dcm  minojcm  fpcra  rii  oia  bec  larera  fint  ipfis  co:dis  equalia  aut  mino:a.  Sim/ 
pliciter  aute  oico  q>  nulla  ctia  baru  baftu  oc  quibus  omnibus  manifeftum  cft  cjc  fe 
cunda  ptc  fcoe.  1  i.cp  ipfc funt  tote in  fupcrficie  vna poteft  aliquo  fui  puncto con/ 
tingerc  mino:cm  fpcramcocpomnis  lincarccta  ouctafuper  quclibetpunctum 
cuiufq^  carum  equidiftantcr  co:aufto  mino:  cft  neceftario  co:da  p:oftrati  circoli. 
Si igitur  connetftatcs aliarum quartaru^  maio:is fperc  ram fuperioris bcmifpe/ 
rij  q*5  inferions  ad  eius  fimilitudincm  quadnlateris  trilaterifq^  fupcrficicbus  fub/- 
tejcantt;r:  critq^  maio:i  fpcre  co:pus.72.bafium  fuperficiem  mino:isfpcre  mini/ 
me  tangcutium  quemadmodu  ,ppofiru  fucrit  infcriptu  £>ico  ifug  cj>  fi  in  alia  qua 
libet  fpcra  fimile  co:pus  ftatuat  erit  #po:tio  vnius  ad  altcy  ficut  oiamctri  vnius 
fpcrc  ad  oiamctru  alterius  triplicata  erunt  cntm  cjc.72.bafis  vtriufq^  co:p.i8  bafes 
totidcm  larcrata^  piramidu  quay  omnium  verciccs  erunt  in  ccntris  ipfa^  fpcrap 
bas  aute  piramidcs  pcrficics.fi  3  fingulis  angulis  infcripto^  co:poy  que  fut  cp 
trcmiratesco:daru5 1  co:auftO£  lincas  ad  ccntra  fperap  p:oduxeris  .ftude  itaqj 
cc  otffimtione  filium  co:po:z  ,pbarc  cuctas  piramides  vni9  ee  fites  fuis  relatinis 
piraitiidibus  altcnus.  Quo#batoerircx.s.buiu8,ppo:rio  vniufcuiufq^  carum 
vni9  ad  fua  relatiua  alrerius  ficut  ,ppo:tio  fcmidiamctroy  fpera^  ipfarnm  tripli/ 
cara.funt  cni  femidiametri  fpcray  latcra  cuncray  piramidum.  St  q:  fcmidiame/ 
tro:um  1  oiametro:um clt  ej.i  j.quinti  vna  ,ppo:tio cc  1  j.enfdcm facilc  conclu/ 
desp:opofitum. 

l£>:opofttio    .15-. 
XlfoiiiumOuarumfperarumeftpzopoztio  alterme  adal/ 
teram  tanqua  fuc  oiametri  ad  oiamet^  altcrius  pjopoj/ 
tiotripltcata. 

G  Sint  ouc  fpcrc.a.b.c.c.d.quarum  oiametri  fim.a.  b.c.c.d  .oico 
cp  p:oponio  carum  eft  ficut  fuarum  oiamctro^u,  ^ipoitio  triplicata 
£uius  oemonftratio  cft  qm  ueq,  ad  mino:e  fpcra  q5  fit  fpera.cd.neq5  ad  maio:e 
eftp:opo:tiofpcrc.a.b.ficutoiametri.3.b.adoiamcty.c.d.triplkara.£ftoquide 
^ipo:tiofpere.a.b.adfperaiii.e.f.ficutoiametn.3.b.fpcre.a.b.adoi9inetru.c.d. 
triplicata :  ocmonftrabo  itaq^  cp  fpcra.c.f.non  potcft  clTc  mino:  ncq^ maio: qtn 
fpcra.cd.fi  enim  affirmct  aduerfarius  C3m  elTe  mino:cin  imaginabo:cani  inclu/ 
di  a  fpera.cd.tcirciidiici  ab  codcm  ccntro  i  infcribam  fpcrc.a.b.  q6  ctia  noiiiiuc 


XIII 


Tuc  fpcrc  oicaf  .a.b.pftat  ftaq3  c%  fc6a  ptc  ptniffc  ■e.n.quirt  cp  .pportio  fperc.a.b. 
ad  fpera  .e.f.e  ficut  cojpjs  mtta?  bafiii  qo*  e.a.b.ad  co:p9  multay  bafifr.qo  e.  c.d. 
Vtraq3cnicficutotamctcr.a.b.adoiamctru.c.d.triplicata:bccaiitocfpotbc.illa 
vcro  cf.  fc6a  rjte  pmiffctquat  e  pmutatim  ,ppo:tio  fpcrc  .a.b.ad  co:pus  multarum 
bafium.a.b.e ficut  fpera.e.f.ad coipus inultazjbafium.c.d.  cu  igif  fpera.a.  b.fit 
maio:  co:po:e  multas  bafiu.a.b.crtt  etia  fpera.e.f.maio:  co:po:c  muitay  bafium 
c.d.boc  aiit  eft  impoffibilc.na  ipfa  eft  pars  ei°:n6  e*  ergo  fpera.e.f.cft  miuo:  fpc/ 
ra.c.d.5i  aut  otcat aducrfarius  d  elTc  maio:e  cofutabimus  ^pfii  boc modo:  crit 
eniperc6ucrfap:opo:ttonaliratefpcra.  e.f.  ad  fpera.a.b.  ficut  oiamctir.c.d.ad 
oiamctrum.a.b.triplicata.fititaqjeadcmfperc.c.d.adfpcram.g.b.critq^ct.  14: 
quinti  fpera.g.b.miuo:  fpcra.a.b.eo  q?  fpcra.c.d.poftta  eft  mino:  fpera  .e.f.qre 
;ppo:tio  fperc.c.d.ad  aliqna  fpcra  mino:e  fpera.a.b.cft  ficut  oiametri  .c.  d.ad  oi 
amctrnm.a.b.triplicata.atboceftimpoffbilcinamerbocfequifcpps  firmaio: 
fuo  toto ut  ocmonftratu  cft  p:ius.itaqj  fpera.c.f.uo  eft  maio:  ncqj mino:  q*5  fpe 
ra.c.d.igitur er.^.quinri concludc  pwpofita conclufionc que  imponit  ftnem  ltb:o 
traodecfmo.  £r.plicit  liber  Duodecimus  ^ncipit  liber  Xcrciufdcctmus. 
1|b20pofitio  .1. 
'"Em  omifa  fueritlinea  fcrjtn  p2opo2tionem 
babentem  mediu&uoqs  ejctrema:limaio2t 
ponioni  linca  in  longum  addarur  equalis 
Oimidioipuuelinee  p2opo2tionaIiter  oiut 
fe:quadratu  lince  ejc  eis  ouabus  compolite 
quadrati  medictatis  emfde  liuee  oiuife  quin 
tuplumelTenecelTceft. 

06itltnca.a.b.oiuifaipuncto.cl(putoocct.29.fc)C 
ti.ffitmaio:  po:tioeius!inca.b.  c.cui.b.c.oirectc 
adtungaf  linea  .b.d.  que  fit  equalis  medictati  toti" 

ia-b.oicocpquadvattilinec.c.d.critquintuplumad 

quadratu  lince.b.d.^uadrabo  ent  linea.b.d.t  fit  ciusquadratu.d.e.e  circupona 
buic  quadrato  gnomone  fc6m  qnantitate  Iinee.b.c.,ptracta  oiainetro.f.b.g.  fitqj 
circupofitus  gnomo.e.g.d.eritq^  er..  u.fejcti  fupcrftcies  iude  copqfita  quc  fit.b.k 
tanqj  quadratii  linee.c.d.oico  igittir  quadram.b.k.qiimtuplii  clTe  ad  qdratu.d.e 
fit  tgif  .e.l.qnadratu  circupofiti  gnomonis  ftbi  que  circuponatur  alius  gnomo  ad 

quatitatelince.a.c.^tractaoiamctro.f.b.vfq^ad.m.fitqjbicgnomo.c.m.l.Tp^o 
trabanf  lince.c.n.s.p.l.equidiftanrer  (atertbus  oppofttis  fccantcs  fc  fupcr  oiamc 
tru.f.m- m  puncto.g.MRanifeftu cft  ant er.22.fcrti  q> compofitfi  er. boc  fccundo 
gnomoiiecquadrato.c.l.iipfuquadratnfit.a.q.eftquadratulince.a.b.quodex 
quarta  fecundi  neceffe  cft  effe  quadruplii  ad  quadruplu.d  e.co  cp  linca.  b.  d.e  me 

dictaslinee.a.b.cuq5fitexpmaparte.i(s.fertifupficics.a.n.idcoq5p.43.pmifug 
ficies  .m.l.equalisqdrato.c.l.^ueniteni.a.n.ideoq,  s.m.l.  qc.b.a.in.  a.c.i.c.l. 
.pucnit  ex.c.b.in  fe  1  cum  c%  p:ima  fejtti  fit.a.l.oupla  ad.l.d.  idcoq^  cqualis.  l.d. 
t.c.c.  pariter  acceptis  cx.43 .  p:imi  crit  er.  bac  comuni  fcientia:fi  cqualtb9  equalia 
addastota  ficutequaliarquadratum ,a.q. eqlegnomoni .e.g.d  bicergognomo 
quadrupluseftadquadratum.d.e.queadmoduerat  quadratu.a.q.itaq^totum 
quadtatum.b.k.cum  ipfum  conftet  ey  fimplo  «  quadtuplo  ctit  ex.comuni  fcicntia 

P 


LIBER 


c|uiutuplu  ad  ide  q6  c  p:opofitu.3de  aliter  et  quarta  fc6i  coftat  cp  quadratii  lincc 
a.b.e  quadruplii  ad  quadrstu  Uuec.b.d.at  pcr  fcoam  eiufdc  q6  fit  cc.a.b.in.b.c. 
cm.a.c.ccq«alequadrato.a.b.qi5aiitc]c.a.b.in.b.c.cquueciq6e):.b.d.bi3i.b. 
cq6qc  p:ima  fc6i  manifcftn  clr.cu.a.b.fit  oupla  ad.b.d.St  vero  qo  et.a.b.in.3.' 
c.e  c%  prima  gte.  itf.ferti  equalc  quadrato.b.c.itaq3  p  cocm  fciam  qo  fit  cr.b.d.bif 
in.b.c.s  q6et.b.cin  fe  c  cqualc  quadrato.a.b.s  ideo  e  quadruplii  ad  quadratum 
b.d.quarc  fu^addito  quadrato.b.d.erit  totu  aggregatii  quintuplii  vicklicct  tllud 
qofitcx.b.d.bisin  .b.c.cumqdrato  .b.c  ?qdrato.b.d.  atquiaetquartafecun/ 
di  boc  totn  cft  cquale  quadrato.c.d.conftat  verum  cffe[quod  oininus. 

lfb20politio   .2. 

[j§p5s|||ijl  ^cuiltbet  lineebipartite  cuiusquadratum  quadratial/ 
^^m^  tcrutriusfuaypo2tioitiJritqumtupluiitlongi5fibi  linea 
3^S^3  addatur0oneceidcpo2tionireliqpo2tiocuaddita  linea 
I  ^wl  *"tat  MpkJ^ade  ouptejclinea  fcbm  ,ppo2t.one  babente 
jiaSsSygil  medium  ouoq^eytrema  0iHifaeritmaio2q5po2tio  eius 
erit  linea  media.Cbcc  e  couerfa  p:emi(Te  ouplici  quoq>  modo  (icut  illa  ocmo/ 
ftrabitur  viaretrogradacadep:o:fus  mancnteoifpone.  vcrbigra.  fit  quadratu 
b.k.quintupluadquadratu.d.cilinca.a.b.ouplaadlinca.b.d.oico  cj>liiie3.a. 
b.oiuifa  e  in  pnncto.cfm  ,ppo:tione  babcutc  mcdiii  i  ouo  cvtrcma  z  maio:  po:/ 
tto  cius  e  linea  mcdia  vt  c.cb.coftat  auc  ex-4-fc6i  <y  quadratii.a.q.  quadiiiplum 
e  ad  quadratu.d.e.itaq5  gnomo.g.d.c.cqualis  cquadrato.a  .q.quocirca  otio  ftip 
plementa.l.d.c.c.c.piter  accepta  funt  quautti  gnoino.c.ni.t.atq,  cade  fupplcme/ 
ta  paritcr  acccpta  funt  cx  p:ima  fcxti  quantii.a.l.idcoq^  quantu.c.q.  feqnif  cp.c.q 
fit  equalts  gnomoni  .c.m.l.ocmpta  igit  ab  vtroq^  fupficie.l.n.crit  quadrarum.c.l 
equalc  fnpcrficici.a.n.cum  igit  fiat  fupficies.a.n.eca.b.tn.a.c.  fit  antem  qtiadra 
tum.c.l.quadratiilincc.cb.eritctfcbatJtc.  i<s.fcxtip:opo:tio.a.b.ad.b.c.ficut.b 
c3d.c3.ej:  oiffinitione  crgo  lince  fm  p:opo:tione  babentc  mcdiu  z  ouo  cjtrrcma 
oiuife  pofita  in  principio  fcjcti  libri  coclude  .ppofitfi .  3tc  alitcr  cum  quadratii.c  d 
fitcvypotbcfiquintupluadquadi'3tu.b.d.quadratu  vero.a  .b.fttejc  quarta  fcoi 
quadrnplfi  ad  idcm.at  quadratu.cd.fit  cr  eadem  equale  quadrato  .cb.  %  quadro, 
to  .b.d.t  ei  qo  fit  ct.b.ct.bis  tn.cb.fequitur  ut  illud  qo  fit  ex.b.d.bis  in  .cb.  cum 
quadrato.cb.fit  cqualc  quadrato.a.b.fed  ex.b.d.bis  in.cb.tm  c  quantu  qb  ex.a 
b.in.b.ccocp.3.b.oupl3clrad.b.d.crgoquodfitet.a.b.in.b.c.cu5  quadraro.b 
c.cft  equale  quadrato.a.b.?  q:  ejc  fcoa  fc6i  qo  fit  et.a.b.in.b.c?  in.a.d.eft  cqualc 
quadrsto.a.b.f  cqnitur  et  comuni  fcicntia  ut  quadrstum  tinec.b.cfit  equalc  ci  qd 
fit  cr.s.b.in.a.cigitur  cj:  fecunda  partc.  i<J.fcj:ti  z  oiffinitione  conftat  .ppofttam. 
1^20pofttio  .3. 
I  ^Tm  oiuifa  fuerint  Unea  lcbm  ,ppo2tione  babentc  medi» 
l  I0uoe]ctremari:mino2ipo2tionitanq5  oimidium  maio/ 
(ris  birecte  iungaturterit  vtquadratum  lineetndecompo 

IkxllPil  ^tc  Ql"ntuplnm  ftt  quadrati  qb  cjc  ipfa  maiojis  mcdietate 
Be^aj^il  po2tionis  oefcribit.C6it  tinea.a.b.oiuifs  in  puucto.c  fccun/ 
dnm  p:opo:tione  babentc  mcdium  z  ono  cxtrema  .fitqi  cius  maioi  ponio  linca.c 
b.qne  oiuidstur  pcr  equslis  in.d.oico  cp  quadratumlince  .a.d.eft  quintuplum  ad 
quadratu  (incccd.oefcribatur  enim  quadratu.a.b.quod  fit  .a.c  in  quo  .ptrabar 


XIII 


oiamctri.b.f.^Iince.g.c.c.p.b.itaii^.W.l.^-m.n.cqmdiftatitcrlarCTibogoppo/ 
fitis  fecantcs  fe  muicc  fug  oiancty  in  ouobns  punctis.p.i.cj.c  ejrtra  oiamefni  iit 
Ouob9 alijs locis  .r  •z.f.nunifcftii  igif  e cc.xi.  fejcti  vcl c% co::clario quartc  fc6i:cp 
omncs  fnperficies  er.i(tcntes  in  quadrato.a.e.quas  ciamctcr  oiuidir  per  mcdium 
funtquadratc:quatuo:autcm  fupcrficicsquefunt.a.r.m.p.p.b.-i.f.e.conftatej; 
4j.p:imi  ?  p:ima  fcxri  clTc  adinuicc  cqualcs.na  ouc  poftrcme.p.b.e.  f.e.fuut  ad/ 
inuicc equalcs c% p:ima  fexti qiii  i;if  c\ pfiti fporbcli  1  oifftnitioc lincc  f>m  cp  p/ 
ponif  oiuife  z  p:ima  pte. is.fcjii  quadratu.cl.c  cquale  fugficici.a.g.idcoqj 1  guo 
moni.r.f.f.,pptcr  id  qo  fupftcics.a  .r.c  cqualis  fupcrficiei.p.b.^  qm  c%  qnarra  fe/ 
cundi  quadratu.cl.eft  quadruplu  ad  quadratu.r.f.q6  e  tancj^  quadratu  lince.c.d 
fequitur  ej:  comuni  fcicntia  ep  quadratfi.m  .b.fit  quintuplii  qtiadrati  ,r.f.  conftat 
eni ej: gnomonc quadruplo  z  .r.f.fimplo.bo; afit cft  pwpofitfi.^dcj  alitcr  cfi  fit 
linca.b.c.oiuifa pcr cqualia  in  puncto.d.? addita  cft  ci  linea.a.c.crit  cctf.fccudi 
quod  fit  ejc  .a.b.in.a.c.  cum  quadrato.c.d.interiacenti3  cquale  qdrato.a.d.at  qj 
quodfit  ejt.3.b.in.a.c.cqu3lee  quadrato.c.b.cr.  p:ima  &c.  15.fcrti-.boc  autcm  cft 
quadruplum  ad  quadratum  .cd.manifefte  P5  vcritas  cius  q6  oicif  .£>otes  quoq^ 
fi  libet  ctiam  ouplici  modo  cr  cofcqucte  buius  fuii  anteccdcn3  cocludere  p:oceffu 
retrogradu.fir  cni  cade  oifpofitionc  mancnte quadratii .in.b.quinruplu  ad  qua  / 
draru.r.f.critqsgnomo.r.f.f.cqualcqnadrato.cl.  ZUrfiq^cni  cft  quadrupluad 
quadratii.r.f.at  q:  fupficies.a.g.c  cqualts  gnomoni  p:cdicto  neceffe  e  vt  fupficies 
cadefttcqualis  quadrarop:cdicro:quarecj;fc6a  etc.ie.fcj:tt.  ?  oiffinitione  linea 
a.b.e oiuifa  iu  puncto.c.f m  ,ppo:rtone  babentc  mcdium  «  ouo  crrrcma:c  inaio: 
po:tio  cius  c  lmca.cd.3de  alitcr  cii  fit  er  ypotbcfi  quadratii  lince.a.d  .quinruplii 
ad  quadratii  Imec.c.d.t  cr.  .e.fc6i  idc  ipfu  quadratum  fit  cqualc  ci  quod  fit  cca.b 
iu.a.c.ciimqiiadrato.c.d.fcquifvtidq6fitex.3.b.i.3.c.cuqu2drato.c.d.fitquiii 
tuplum  ad  tde"  quadratu.cd.idcoq^  co  ocmpto  crit  refiduii  vidclicct  q6  fit  eca.b 
iu.a.c.quadruplii  ad  lpfum  z  q:  ctia  cr.  quarta  fcoi  quadratum  ftnec.cb.c  quadru 
plum  ad  idc  ncceffc  e  vt  q6  fit  er.a.b.in.a.cfit  cquale  quadrato.c.b.quarc  itcrunt 
ev. fccunda ptc.  le.fcjri z oiffmtione linca.a.b.e Oiuifa £.n p:opo:tione  babetcm 
mcdi  m  1  ouo  cx-trcma iu  puncto.c?  maio: ciu3  poitio  cft  linca.c.b. 
Ijbjopoftrio  .4. 
3JTc6m  piepoitione  babentc  iuedtu  *  tmo  extrema  qne/ 
libetlinea  fuerit  oiuila  eiq^ilongu  oirectctanb^  niato* 
fecttoadijciat-.erittotalinea  indecoporua  Pm/ppo2tio/ 
nem  babente  mediu  1  ouo  ejctreina  oiuiia^  efie  1  erit  eius 
maioz  poztio  Unea  pjima. 
CSit  linca.a.b.oiuifa qua  fupponif  ,ppo:tione  in  puncto.ci fit cius maio:  poi 
tio.c.b.totiq5.a.b.adijciacoirectelinea.b.d.quefitequalis.cb.oicocptota.a.d; 
cadem  p:opo:tione  oiuifa  eft  in  puncto.b.t  maio:  cius  po:tio  c  linea  .a.b  .quc  e 
linca  p:ima.f  ft  eni  cj; oiftmitione  .a.b.ad.b.cficut.b.cad.ca.at c\t c%  fcptima 
quinti  .a.b.ad.b.d.ficut  ad.b.cigitur  ej;  vndecima  ciufde.a.b.ad.b.d.  ficut.  b.c. 
3d.ca.quarcperc6uerfamp:opo:tionatitatem.b.d.ad.b.a.ficut.9.cad.c.b.et 
comunctim.d.a.ad.a.b.ficut.a.b.ad.b.cfunqjfitejcfeptimaquintia.  b.adb.c 
ficutad.b.d.crit;cj;vndccim3Ciufde.d.3.ad.3.b.ficut.a.b.ad.b.d.itaq5Cj;oift'ini 
ttonclinca.a.d.oiuifacftmpuncto.b.fccundu  p:opo:tioftcm  babcntcmcdium 

P2 


« 

V  p 

S 

r 

c  o  b 


LIBER 


o  a 

i  ■  ■< — 


i ouo crrrema « maio: po:tio ctos eft linca .a.b.qnod eft p:opofitum.  fodc  quo/ 
qjmodoficjcmatonpojtione  cuiuflibctlmec  fecundu  pjcdicta  jppo.tiouc  oiuilc 
tanq5  rolno!  po:tio  octrabaturxrit  ipfa  maio:  po:tio  fcom  eandc  p:opo:tioucm 
oiuifa.critq5maiojpo!tiociuslincaoctracta.vcrbigratia.Sitlinca.a.b.ficut^)/ 
ponitur  in  puncto.c.oiuifa  fitqs  maio:  po:tio.a.c.a  qua  oetrabaf .  c.d  .cqualis.c. 
b.oico  cj\a.ce  oiuifa:f>m  p:opo:tione  eandcm  i  puncto.d.?  cp  maio:  po:tio  et9  e 
linca.d.c.cum  eni  fit  ct  oiffinitionc.b.a.ad.  a.c.  ficnt.a.  c.ad.c.  b.St  cy  fepnma 
quinti.a.c.ad.c.b.ficutad.c.d.critcyvndccimaciufdc.b.a.ad.a.c.ficut.a.c.adc 
d.idcoq^ pcr.i  ?.qutnti:ficut  .c.b.rcfiduii  ad.d.a.refiduu.fcd  ej: fcptima  citifdcm 
c.b.ad.d.a.ficut.c.d.ad.d.a.itaq5.a.c.ad.c.d'ficut.c.d.3d.d.a.ctoifftnitt6ecr/ 
go  coftat  qo  oirim9:nec  igif  ca  qua  aucto:  .pponit  additio  ncc  ca  qua  c%  oppofito 
p!oponimus  octractio  quatucunqj  vtraltbe:  in  pwlirum  tendat  a  p:op:ietate  oi/ 
uifionis  tince  piimitiue  oifco:dat. 

1fc>:opo!itio    .*. 
I  ^fecfidu  p:opo:tionebabente  mediuitrzOuo  cr.trcma 
|  qaelibet  linea  faerit  oiuifa  qo  er  tota  linca  quodq^  cjc  mi 
no:i  po:tione  p:oductt  ambo  qdrata  piteracceputri/ 
plu  funt  eiusq6er.maio:epo:tionequadratu  oeicribic. 
GSit  Itnca.a.b.oiuifa  per  fcpe  oscta  pouionc  in  puncto.cfttxg  ma 
iozpouiocius  linca.c.b.oicocpquadrataouarumliucarum.a.b.c.c.a.paritcrac 
ccpta triplum  funt ad  quadratum linec  .c.b.bcc enim  ouo quadrata  paritcr  acce/ 
ptafuntcrfeptima  fccundiquantumquadratum.cb.?ouplijm  cius  quodfttcv. 
a.b.in.a.c.itcmq^  quia  quod  fit  cca.b.in.a.ccft  equalc  quadrato.cb.cx  oilfiiti/ 
tione  i  p:ima  parrc  t<s.fcrti:manifcftum  eft  p:opofitum. 
1fb:opoutio    .6. 
■Olbnis  rationaUs  linec  iecundii  p:opo:tionem  babente 
mediu  souoerrrcma  0iuifevtranq5po:tionem  reiiduu 
elTeneceneert. 

GSit linca  .a.b.f>m  foluta  p:opo:tioncm  oiuifam iti  puncto  .c.ra/ 
tionalts.oicocpvtraq5  po:tio  cius  rcfiduu.Sitcnimaio:  ei9po:/ 
tio.a.c.cui  oirccte  adijciatur.a.d.cqualis  oimidio  totius.a.b.critcrj  etia  .d.a  .ra/ 
tionalis  er.e.  occimi  ltb:i  i  oifnnitioncconftat  autc  cr  p:ima  buiu3  cp  quadratn^ 
lince.d.c.qnintuplueadquadratulincc.d.a.isiflinea.d.c.cftcoicans  lincc.d.a. 
in  potentia  et  oiffiuitioncfcd  non  in  longitudine  er.  vltima  gtc.7.occimi  quarc  f> 
«ss.oecimi  linca.a.ceft  rcfiduum  cum  oue  unce.cd.s.d.a.fint  ambe  ronales  po/ 
tentialtter  tm  coicantcs.?  quia  itcrum  fi  ad  lincam  rattonalcm.  a.b  .adiungatur 
fuperficies equalis  quadrato  linec.a.c.que cft  refiduum crtt latus  cius  fccundum 
linea.cb.er.  p:ima  gtcis.fcrti  necclTe  cft  ct.9i.oecimi  vt  Iinca.c.b.ftt  rcfiduu  p:i 
mnm:quare  conftat  p:opoOtum.amplius  aute  ft  Imec  fic  oiuife  vt  pjoponif  ma/ 
ioi po!tio fucrit  r6nalis:erir mino: rcfiduunuverbi  gra.fit  vt p:ius.a.b.oiitifa  i.c 
frnoictampjopojtioncm  smaiojpojtiociusquccft.a.cfitronalis  quc  oiuidaf 
pa  eqnalia  in.d.eritq^  ct.  tcrtia  buius  quadratu.d.b.quintuplum  ad  quadramm 
d.c.3tq:.d.c.er6naIiscu5ipfafitoiniidiu.a.c.fcquifvtoucltncc.d.b.'t.d.c.ftnt 
ronales  potentialitcr  tm  coicantcs  quare  ttt  prius  linea.c.b.cft  rcftduum.ar  vero 
fi  linea  ronalis  in  potentia  tm  fm  pjopouioncm  babentcm  ntcdiii  z  ouo  ertrcma 


^HHi 


XIII 

Dtotdaf  adbuc  ncccffe cft vt  vtraq?  po:tio cius  fit refiduu.fit eni.a.b.tonalis i po 
tentia  tm  oiuifa ficut  ^ponitur in  puncto.cz fumaf  atiqua  ronaits in  longitudic 
queftt  .d.e.q  ctis  oiuidaf  in.fim  pdicta  p:opo:tionc  manifeftu  eft  igif  c%  fccuda 
i4.1ib:iqucfineadminiculo  alicuiuseo^que  fcquuturinconcuffa  oemoitrationc 
robo:af  cp  .ppottio.a.b.ad.d.ceft  ficut.a.c.ad.d.fa  ficut.c.b.ad.  f.c.£um  ergo 
a.b.coicet  cum.d.c.in  potentia  fcqmf  cjc  p:ima  p_te.  io.occimi  cp.a.ccommunicct 
cu.d.f.ccb.cu.f.cin  potentia.£t  q:  vtraq,  ponio  linccd.ce  reftduum  ut  patet 
cc  p:edictis  fequif  cx.oS.occimi  vt  vtraqj  po:tio  linee.a.b.fit  etia  refiduu  fcd  non 
dufdem  fpeciei  vt  ibide  ocmonftratu  eft.Quare  coftat  cp  ocs  linee  ronalts  in  lon 
gitudine  vcl  in  poteu.tia  tin  fcom  ,ppo:tioiie  babcnte  mcdiu  i  ouo  cjctrema  oiuife 
vtraq;  po:tio  e  refiduu.£  t  nota  q>  p:ima  gs  pntts  oemonftrationis  qua  oemon  / 
ftraf  cp  maio:  pomo  lince  oiuife  $ m  ,ppo:tione  babente  mcdiu  i  ouo  qctrema  fit 
refiduu  fi  tota  linea  fit  ronalis  .pcedit  e%  fufficicntib"  fiue  tota  linca  ponat  rona  / 
lis  in  longitudiue  fiue  in  potentia  tm  .5c6a  vero  ps  qua  ocmonftraf  boc  oe'mino 
ri  po:tione  cj>  ipfa  quoq^  fit  reftduu  fi  tota  e  ronalis  no  ,pcedir  cc  fufftcientib9  ni/ 
fi  tota  fit  ronalis  in  longitudinc.  lertia  aut  pars  qua  .pbatur  cp  mino:  po:tio  c  re 
fiduum  fufficicntcr  p:occdjt  fiue  maio:  pouio  fit  rationalis  miongitudine  fiue  m 
potcutia  tantum.ad  concludcndum  igitur  oc  maio:i  po:tionc  Imcc  p:edicto  mo  / 
do  oiuife  cp  ipfa  fit  refidtiu  fulTicir  poncre  totam  lineam  oitiifam  effe  rationalcm 
in  potentia  ttn.fcd  ad  codudcndu  quoq,  boc  oe  mino:i  po:tione  mcdiante  maio 
re fufficit ponere pouione maio:c".fifr ronalc  in  potcntia  trii.  fcd ad  coiludcnduj 
boc  oe  mtno:i  po:tione  mediante  uccelTe  clt  poncrc  tota  liuci  elTe  ronalcm  i  lon/ 
gitudinc  aut  Vtedu  c  fcca.  t4.ltb:i  qucadmodu  oictum  cft. 

Ijbjopofttio  .7. 
[p^=rj|3f  quis  pentagonustres  equos  augulos  babcrts  fucrit 
nL^^'  equtlatcrus  equiangulus  quoqs idc  peiitagon'? ce  ,pbac. 
;fe||fc^§j  G5it  pentagonu8.a.b.c.d.ccquilatcr°.fintq5  qmltbet  tres  ei9  au/ 
P/^^l^  gulifiue  cotttiue  fiuc  incotinucrfntnanf  admuicc  cquaics  cfmt  p:i'? 
[w^^ffij  incontinue  fumpti  Jintq^  angult.a.cd.illi  trcs  qui  ponunf  adtnuice 
cquales  oico  totu  pcntagonii  ce  cquiangulu.bis  angults  fubtendanf  cbo:de  .b.c. 
b.d.i.e.c.i  totus  pentagonus  oiuidaf  in  trigonu  i  quadrtlate^  cuius  oue  oiago 
nales  fint  d3o:dc  ouoy  p:orimoy  equaliii  angulojj  fecantes  fe  intra  quadril3teru 
ipfu  in  puncto.f.eritq;  g  quarta  primibafis.b.cequalis  baft.b.d.c  angulus.a.e. 
b.cqualis  angulo.cd.b.£unq5  g  quinta  pami  angulus.b.c  d.fit  equalis  angulo 
b.d.ceo  gp  ouo  latera.b.ccb.d.  fint  equalia.  erit  etcoi  fcia  totalis  angulus.c 
equalis  totalt  angulo.d.fimilitcr  p:obabis  totale  angiilum.  b.  clTe  equale  angulo 
totali.ceft  ent  perquarta  p:imi  bafis.b.e.cqualis  bafi.c.e.z  angulus.a.b.e.equa 
lis  angulo.d.ce.pcr  quinta  aut  eiufdc  fcj  primi  eft  angulus.c.b.c  equalis  angu/ 
lo.c.cb.igif  c% cbi  fria  totalis anguf.b.e  cqualis  totalt angulo.cStnt itaqj tres 
anguli.b,  cd.cotinue  fupti  equalcs  i  fic  quoq^  crit  pentagonus  equiangulusrerit 
cmmcx.4-p:imibafi3.b.d.cqualisbafi.cc.'janguIus.cd.b.3nguIo.d.c.C'zan/ 
gulus.b.d.cangulo.cc.d.quarc  p.  fcyta  primi  oue  lince.cfa.f.d.erut  equales  c5 
ouo  anguli  trianguli.f.cd.qui  funt  ad  bafim.cd.funt  equalesagtf  q.  bac  coi  fcia 
crit  linea.f.b.equalis  linee.f.e.crat  cnt  tota.b.d.equalis  toti.c.c.idcoqj  pcr  qutu/ 
ia  p:imi  erit  angulus.f.b.c.equalis  angulo.  f.cb.  fj  eande  aute  c  angulus.a.b.e. 

P? 


LIBER 


cquatis angnto.a.cb.itaq, pcr cocm  fciam  angulus.b.totclis  cft  cqualis  angulo 
ctotali  trcs  eni  partialcs  anguti  coponentes  tnu  funt  equales  tnbus  ptialib'rco/ 
poi;entibus  alium  viwfquifq}  fuo  rclatiuo.2)f3anifcftu  c  tgitur  q>  trcs  s  iigiili.e.b 
cno  cotinue  fumpti  tn  p:opofito  pcntagono  funt  equalcs.cu  aut  fic  ocmoitratuj 
cft  totum  pcutagonu  cffc  cquiangutum  vtrolibct  ergo  modo  conftat  p:opofitum. 

1Jb:opofitio  .8. 
-Gknis  trianguli  eauilaten  q&  a  latere  fuoquadratu  t>e/ 
fcribitur  triplumeftquadrato  oimidij  oiametri  circulia 
quotriaftgulus  ipfecircufcribitur.CSit  triangulus.a.b.c 
equilatcrus  cui  circufcnbatur.circuius  .a.b.c.fnp:a  centru.d.qucad 
modumoocct  quintaqiarti  Iib2up:otrabafincooiametcr.a.d.e 
Oicocrgo  cp  quadratu  lincca.b.triplu  cft  ad  quadra  u  fcmidiametri.a.d.  oucanf 
cnioucliiiccb.d.cd.c.?arcui.b.cfubtendafcbo:da.b.e.eritq5cx  octauap:imi 
angulus.b.a  .d.cqualis  angulo.c.a.d.quarc  pcr  vltima  fcrti  arcus.b.e.cft  equalis 
arcui.e.c.£tq:cr.z7.tcttij  trcsarcus.a.b.b.c.cc.a.funt  adinuice  equalcscocp 
eoy  cbo:dc  que  funt  latera  trigoni  fut  cqualcs  cy,  fpotbcfi  :crit  arcus.b.c.fcxta  ps 
circufercnticidcoq,  cbo:da.b.c.erit  latus  cxagoni  cquilatcri  ipfi  circulo  infcripti. 
quare  pcr  co::ct'.  ir  .qrti  unca.b.cc  eqlis  fcmidiamctro.a.d.D(3anifcftu  e  aute  ejc 
p:ima  partc.  jo.tertij  q>  angulus.a.b.ccft  rectus.ideoq,  quadratum  Jinec.a  .c.e 
cqual- quadratis  oua?2  lincay.a.b.c.b.c.piter  acccptis  ex  pcnultima  pmi.  3t  vc/ 
ro quadratu.a.c.quadruplu  ad  quadratum.b.e.crquarta  fcoi  cum  liuca.a.  e.fit 
cupla.b.c.rclinquitur  crgo  quadratu.a.b.triptu  effoadquadratum.b.ct  idco  ad 
quadratum.a.d.qtj  cft  p:opoficum.116  hteat  aiit  nos  q>  linca.b.c.quc  e  latus  tri 
goni  oiuidat  fcmidiamcty.d.cpcr  cqualia.ffto  quidc  punctiis  oiuifionis.f.con/ 
ftatigitex  quarta  p:imi  cp  .b.f.  cft  cquatisf.c.ideoq^pcrprimampartemtertie 
tertij  omncs  anguli  qui  funt  ad.f.  funt  rccti.  quarc  cx.  pcnultima  p:imi  quadratu 
.b.d.ecqualequadratisouarnmliuearnin.d.f.i.f.b.quadratumvcro.b.c.cqualc 
quadratis  ouarum  lincarum  que  funt  .b.f.t.  f.c.  £t  q:.b.d.eft  cqualis.b.cerunx 
er  comuni  fcicncia  ouo  quadrata  ouarum  liucarum.b.f.cf.d.piter  accepta  equa 
lia  ouobus  quadratis  ouay  lineay.b.f.cf.cpariter  acccptis:ocmpto  tgif  utrinqj 
quadrato  .b.f.erit  cr  coi  fcia  quadratum  .f.d.  rcfiduum  equalequadraro.f.crc/ 
fiduo quarc  f linca.f.d.lince  f.e.er  bac  coi  fcientia qua^ quadrata  fut equalia eas 
lincas  ce  cqnalcs.fx  boc  itaq^  manifeftu  c  ep  pcrpeudicularis  oncta  a  ccutro  circu 
li  ad  latus  tttgoni  equilateri  fibi  infcripti  cqualis  c  oimidio  lince  oucce  a  cctro  ciuf 
decirculiadipfiuscircufcrcntiam.    i|b:opofitio    .9. 

1  ^latus  ejcagonicqiulatcn  latufq?  oecagoni  equilatert 
!  quos  ambos  vnns  ideq?  circulus  circwfcribit  fibt  inuices 
j  in  logu  oirectuq^  coiugant  tota  linea  er;  eis  copofita  fVt 
!,ppo:tionebabete  meditKOuo  ejctrema  oiuifacritma/ 
j  io:q5eius  poniolatus  ejragoni.GSitcircuius.a.b.ccuius 
tentrum  .&.* oiamcter  .a.d.c.fitq;  arcus  .c.b.quinta  gsarcus fcmicirculi.a.b.c. 
cui  fubtcndaf  cbo:da.c.b.qua  pftat clTe latus  oecagoni  equilatcri  .ppofito  circulo 
infcriptt  adiungafq;  lince  cb.incotinuu  1  oirertu  linca  .b.c.quc  ponatur  ec  cq/ 
lis lateri  eragoni  equilaceri pdtcto circulo  infcripti  oico  tota linea.c.  c.oiuifam ce 
in  puncto.b.ftn  .ppoaione  babenti  mediij  1  ouo  cxtrema  «  maio:cj  ci9  poaione 


XIII 


oico  cflclinca.b.c.quccft  latuseragonlioucanf  cni  in  centr  onclinee.c.d.cb.d. 
eritq,  angulus.c.equahs  angulo  .b.d.c.cr.f  .p:inii  #pter  boc  q?  linea.c.b.c  cqli3 
lincc.b.d.cytoixF.if.quartiansulusquoq^.d.b.c.cftequalisangulo.c.cx.j.pn 
nnrquarc  cr:  j2.p:imi  angul^.a.d.b.crit  ouplus  ad  angulit.d.b.ct  q:  p_  cadc  an  / 
gulus.d.b.c.c  ouplus  ad  ansulu.c.fequit  vt  angulus.a.d.b.fit  quadrupl9  ad  an/ 
gulu.c.£ft  cni  c-i  coi  fda  qdruplii  quicquid  fucrlt  oupliT  oupli.cuq^  fit  et  idc"  angu 
lus.a.d.b.quadruplus  ad  angulii.b.d.c.cr  vltima  fcjcti  co  cp  arcus.a.b.  e  quadrti 
pltts  ad  arcu.b.c.ncccffc  e  cr  coi  fcia  ut  angulus.e.fit  cqualis  angulo.b.d.c.fi  igif 
intdliganf  ouo  trianguli.d.e.c.totalis.i.b.d.c.ptialis  cu  angulus.e.totalis  ftt  eq 
lis angulo.b.d.c.partialis z angulus.  c.fit  cois  vtriufqj  ncccffe c cr. ?2.p2imi: vt 
ipft  fint  cquiangulirquarc  pcr  quarta  ferti  ^ponio  ouoe  later.c.c.c.c.d.cotincn 
tiu  angulu  .c.i  totali  triagnlo  e  ficut  ©uor  latcr.  d.c.c  .c.b.ptinetiij  cude  angulit 
i  gtisli  triangulo  quia  g  ,ppo:tio.e.c.ad.c.d.e ficut ad.e.b.ct  fcda pK.7.quinti.« 
d.c.3d.  c.b.c  ficut.  c.b  .ad cadc ct pma  ptc  eiufdcm.fcquit  cr. n.quinti  ut  ftt p:o 
pojtio.c.c.ad.e.b.ftcut.c.b.ad.b.c.igituraoionecoclude^ppofitu  linea.  c.c.effc 
oiuif a  frn  p:opo:tionc  babcre  mediii  z  ono  ertrcma  z  maio:c  po:tione  cius  cc  la/ 
tns  cragoni  q>  opoituit  nos  ocmonftrarc.£6ucrfam  quoqj  ocmonftrare  puenit 
qo  facilc  fict  via  retrograda:ea  cni  alTumit  prolcmeus  capitulo  -9.p:imc  oictiois 
niniagefti  ad  ocmonftrandii  quantitate  cbo:dar  arcuil  circuli.  JDico  itaq^  cp  fi  li/ 
iicaqudibctfmpwponionebabcntcmediiitouocxtrcma  oiuidaf  cuins  circuli 
maio:  po:tio  fnerit  'atus  cragoni:ciufdc  mino:  erit  latus  occagoni.at  vcro  cnius 
mino:  erit  tat9  occagoni  ciufde  maio:  crit  latus  cragoni.5it  cni  p:io:i  oifpofitioe 
mancntc  liuca.c.c.  omifa  in  puncto  .b.ftn  p:cdicta  p:opo:tione  %  maio:  ci9  po:tio 
fit.c.b.cicocpcuiufcuqiCirciililiiica.c.b.cftlat^cxagoniciufde  clinea  .b.c.  latus 
occagoni:-:  ciiiufcunqj  circuii  linea.b.c.cft  latus  oecagoni  eiafde  cft  linca.c.b.lat* 
ctagoni.^ntelligo  aiit boc  oc cragonis  z occagonis cquilatcris.fi  eni fit.c.  b.la/ 
tus  cragoni  circulo.a.b.c.  infcripti-.crit  p>  co::el'.  i  j.  quarti.c.b.cqualts.d.c.c  quia 
;ppo:tio.c.c  3d.c.b.cftficut.c.b.ad.b.c.cjL7potbcficriter.7.qiiinti.  c.c.  ad.d.c. 
ftcut.d.c.ad.c.b.igitcr.is.fcrtiouotrianguli.c.d.c.t.d.c.b.funtequianguluanga 
!us  crgo.e.cft  cqualis  angulo.b.d.c.ipfos  eni  latera  .ppomonalia  refpiciunt.ciiq} 
fit  auguf.a.d.b.qdruplus  ad  aguiu.e.cr.jz.pmi  bis  affupta.?  quita  eiufde  bis: 
fcquif  vt  etia  ide  angulus.a.d.b.fit  qnadrupius  ad  sngulii.b.  d.c.  ideoqj  et  vltia 
fcrtiarcus.a.b.quadriipluseftadarcu.b.c.lincaigif.b.c.elatusoecagoni.a.b.c. 
iufcriptt.Qo  fi  linca.b.c.mcrit  latue  oecagonic  rculi.a.b.c.erit.e.b.  latus  etago/ 
ni  ciufde.fit cni.c.b.latus eragoni circu!i.f.critq5 er p:cdictis.b.c.latus  occagoni 
ciufdc.intcLigahf  igitur  infcripti  ce  occagoni  cquitatcri  ouobus  circulis.a.b.c.f.f 
quor  omitia  latcra  criit  cqualia  Imec  .b.  c.z  qui»ois  figura  equilatcra  rirculo  in  / 
fcripta  e  cquiangula  vt  pjobatu  cft  m.  ly.quarri  lib:i  fcquif  vtrofq5  occagonoscffe 
cquiangulos.£tinq5  omncs  anguli  vni9piter  acccpti  fint  cquales  omnibus  angu 
l;s  altcrios  paritcr  acccptis  ficut  cuidentcr  apparct  er  oemoiiftratis  in .  32.p:imi: 
neccffc  e  cr  bac  coi  fda  quoniltbct  cqliii  oecimas  aut  quotaflibct  gtcs  eiufdc  ocno 
tationis  cc eqtjales  ut  vnus boy  occagonoru  fit cquiangulus  alij.  idcoq^  fitts  cr 
Oionc  filiuin  fupftcic2-:7  q:  fi  ouc  figure  filcs  ouobus  ctrculis  infaibanf  :crit  .ppo: 
tio  ouo?  relatiuoij  latcr  illar  figurar  ficat  ouar  oiametror  illora^  circulo:um  Vt 
apparct  ct  co:kI'.i  s.fcrti  lib»  %  p:ima .  i2.cfi  latcra  occagonoK  fifium  infcripto:» 

P4 


LIBER 


Dudbus eirculis  .a.b.c.  tS.  firit equalia  fequitur  ut  oiametri  eojum  fint cqualcs. 
fdeoq^  ct  fcmidiamctri  ctiam  cqualcs.funt  aute^  femidiamctn  «  latus  exagoni  e> 
qualia  cx  cojxlario.occima  i  quiura  fcxti.ctit  ergo  linea.c.  b.latus  cxagcni  circu  / 
ii.a.b.c.infcripti  ficut  ipla  cft  latus  cxagoni  circuli.f  .fibi  equalis:boc  atitcm  e  qo 
ocmonftrarc  voltiimus.£x  bac  aut  nona  bm9.i  j.libti  noucris  cxoua  ce  occimain 
qnarti  lib:i que ouu  cqnaliii  latci;  .pponit trigonu  ocferibcndu cuius  vterq^  ouo/ 
rii  aitguloy  quos  bafts  obtinct  ad  tcrtiii  ouplus  etiftatttalis  eni  e  vrerq^  rriangu 
loy.e.d.c.s.d.c.b.s fimpliciter 013  cuius ouo latera  funt  cqualia maioji  pouioni 
aticuius  linec  otuife  ftn  p:opojttonc"  babcnte  mcdtii  ouoq^  ettrema  t  tcrriii  quod 
eft  bafis  cft  cquale  minojt  pojtioni  liuec  ciufdc"  vel  cuitts  ouo  latcra  ftit  cqualia  la 
tcriejagoniequilarcriaSicuicirciJloinfcriptiibaiisVero  cequalis  latcri  occagoni 
equilateri  eidc  circulo  infcripti  g6  c"  ypofitu  Ijbzopoikio    .10. 

Afonc  latuepeiitasoni  equilateri  tanto  potcntiue  c  late/ 
re  epgoni  eqtulateri  quantu  poreft  latue  oecagoni  equi 
lateri  li  lint  in  eode  circulo  anibo  infcripri. 
G6itctrcu!u8.a.b.c.cuiu3cent2/.d.ioiamctcr.a.d.c.iiifcribaturq5 
ci  pcntqgonus  cquilaterus  qut  fit.a.b.c.f.g.c  a  centro.d.,pn  abattir 
perpcdicularis  ad  latus.a.b.quc  pjoducatur  vfcg  qtto  obuict  circtifirentic  in  puu 
cto.b.fitqj.d.b.tpjoirabantoticcbojde.a.b.T.b.b.quccruntcqualesadinuicej 
cjc  fcoa  Etc.^.tcrtiJ  •:  quarta  p:tmi.idcoq5  ctia  ouo  arcus.a.b.?.b.b.  cqlco  adiuui 
cem  cx.27.tcrttj  .£lt  igirttr  vtraq^  ouay  cboidai/.a.b.T.b.b.larus  occagoui  cqui/ 
latcri ,ppofito circulo infcripti.oico itaq^  cp quadratu Itncc.a.b.quc cft  latus pcn 
tagoni  ecqualc  ouobus  quadratis  ©uar  Uncar.b.d.T.a.b.p.itcr  acccptis  quarum 
pjima  cft  eqlis  latcri  cxagoni  cx  co::cl'.  1  j.  quarti:?  fccunda  c"  latus  occagoni  p/ 
trabaturcnia  ccntro.d.ppcndicularisadlinea.a.b.quecrt  latus  oecagom  que 
^ducat  vfq, ad circufcrc'ria:firq5.d.k:q  fccct linca.a.  b.q  e latus pctagoni  i  pueto 
\.l  .ptrabat  liuca.b  .1.  pftat  aut  cx  fcoa  wc  tcrtic  rcrtij  ?.4.pim  i-n  .rcrtij  cp  linea 
d.k.q  cft  ppcudiciilaris  ad  cbo:da.a.b  .limul  oiuidit  p  cqualia  cbo:da  1  arcti  ioqj 
arcns.a.k.cft  cqualis  arcui.k.b.quarc  ex  vltima  fcvti  angulus.a.d.l.c  cqualis  an 
gulo.l.d.b.  idcoq^cxquarra  pjimi  bafis.a.l.bafi.l.b.  igif  ex  quinta  p2imi  angul9 
l.a.b.equalis  cft  angulo.l.b.a.cfiqj  ctia  fit  cx  eadc  angulus.b.a.b.equalis  aitgu/ 
lo.b.b.a.fcquitiirvtangutus.l.b.a.firequalisangulo.b.b.a.ergoci.32.pmiouo 
trianguli.b.a.b.c.a.b.l.funtcquianguli.clteniangulus.b.maioiiscqualisangu 
lo.b.  minojis  %  agulus.a.pmunis  eft  vtriqj:  itaqj  p  quartsi  fcxti  .ppojtio.b.a.ad 
a.b.eficut  .a.b.ad.l.a.quarecxpjimap.tc.i<s.fciriq6pjoucnitcx.b.a.  in.a  .l.cft 
cqualequadrato  liiicc.a.b.quc  c"  latus  occagoni.cii  fit  autc  fcmicircultis.a.e.c.cq 
lisfcmicirculo.a.f.e.carcus.a.C.arcut.a.f.critarcus.cc.rcfiduusequaltsarcui.f 
c.refiduo:quarcarcus  .c.c.cft  mcdictasarcus.c.f.idcoq^cqtialis  arcut  .s.b.s  ou 
plus  ad  arcii.b.k.iqj  arcus.c.b.e  ouplusad  arcum  .b.b.  crit  cr.i  j.c<uiiiii  totus 
arcus.c.c.b.ouplus  ad  totfl  arcu.b.b.k.tdcoq^  cx  vltima  fcxti  angt  Itis.c.d.  b.eft 
cuplus  adangulii.b.d.l.cuiiq^ctiaangulus.c.d.b.oupluslitadaiigiilti.b.a.d. 
ex.ji.s quinta pjimi.futtt er,i  ouo latera.d.a.s.d.b.equalia crit  angulus.b.d.l. 
equalisangulo.b.a.d.itaq5pcr.52.p:imicrittriangulus.b.d.[.cquiaiigulu8  tri/ 
angulo.b.a.d.fftcnimangulus.d.minojisequalisagulo.a.maiojis.caiigu^.b 
ecoisvtricgurgoperquartafetti^pojtio.a.b.ad.b.d.eficut.b.d.ad.l.b.quaic 


»■■■■■■■■1 


XIII 

pcr  p:imam  partcm.is.fcrti  quod  pjoucntt  ejc.a.b.ttt.b.l.cfl:  cquale  quadrato.d. 
b.at  Vcro  pjobarum  eilr  puus  q>  titudqo  p:ouentt  cc.a.b.m.l.a.e  equale  quadra/ 
ro.a.b.itaqsquodpjouciiitcx.  a.b.  m.a.  l.fin.l.b.crrcqualcouobusquadratis 
ouaEliuearum.a.lxc.b.d.squiacrfcDafecundiqopjouenircr.a.b.in.l.a.siii.! 
b.cit  cqualc  quadrato  Irncc.a.b.elt  autcm  linca.a.b.lat0  pentagoni  equilatcri  p/ 
pofito  circnlo  mfcripruliiica  vero.a.b.c  latus  occagoui  cqu-.lateri.?  linca.b.  d.cft 
er  coiiclario.  i  j.quartt  cqualis  latcris  eragoni  eqmlarcri  .ppofjto  circulo  infcripto 
tum  ineoncufta  ocmonftratiouc  aftruitur  bocquod  oicitur. 
ISbzopoiitio  .11. 
3f  Ouob^ppiqtus  agults  pctagoni  cquilatcri  irra  circulti 
oefcripti  a  ternunts  uioz:  tatczr  oue  recte  lineefubtendan 
tur  vtraqs  aiterain  lcom  pjopozrioite  babente  incdiu  ouo 
q5  ertrema  fecabit  maiozq^  iplius  pojtio  latcri  tpfms  pe/ 
tagoiucquatiscrir. 

Geitpentasonuscquilaicrus.a.b.c.d.c.infcriptuscirculocifdcmlittcrisfiijna/ 
to  *  ouobus  cius  .ppiuquis  angulis  qui  funt.a.  e.b.fubrcudanr  oue  rcctc  lmcc.a 
c.-z.b.c.  fccantcs  fc  inuicc  iu  puncto.f.oico  itaqj  vtranq^  baz?  clTe  oiuifa  i  puncto 
f.  f>m  .ppoitione  babentc  nicdiu  ouoq,  cctrcma:?  <j>  maio:  po:tio  vtriufq,  e  equa 
lis latcri  pcntagoni.Mjanircftu  cft  cni  ec.z7.tcrti)  cy qutnqj  arcus circuli  penta/ 
gonu  p:opofirii  circufcnbcntis  quoz?  latcra  ipfius  pcntagoni  funt  cbo:de:funt  ad 
tnuicem  cquaies.ideoq^  ev  vltima  ferti  quatuo:  angi.li.a.c.b.a.b.c.b.a.c.cb.c.a 
funt  admuicc cquales.llam  arcus.a.b.a.c  .i.b.c.funt  adinuiccm  cquales.  cunqj 
ftt  arcus  .c.d.e.ouplus  ad  arcii.b.c.crit  quoqj  cr  vltima  fejrri  angulus.  c.a.e  .ou/ 
plus ad  aiigulfi .c.a.b.at  vcro cr.jz.piinn angulus  a.f.c.ouplus e ad  angulu.f.a 
b.igiuir  angulus  .a.f.cc  cqualis  augub.f.a.e.quarc  pcr  fcrtam  p:iini  linea.a.e.e 
cqunlis  lincc.f.e.funtaiit  ouo  :nangult.a.b.c.?.a.  f.b.  equianguli  pcrea  q  oicta 
furit i  p.  jz.  p:imi:cft  eni  angulus.c.maions  cqualis  angu!o.a.nuro:is t angu/ 
ttis  .b.cois  vtriqjugirrjquartafcvti^poKio .e.b.ad.b.a.ficut.b.a.ad.f.b.cuqj 
ftt.c.f.ccmalis.a.b.co  cy  ipfa  ut  pjo^atum  eft  equatis.  a.c.  fequiturer.7.  qumti: 
vtfitp:opo:tio.b.c.ad.c.f.ftcut.c.f.3d.f.b.qnarcperoifrinitionelinca.c.b.eoi/ 
utfa  fttt  ,ppo:tionc  babcnte  mediu  ouoqj  crtrcma  %  eius  maio:  po:tio  clt  cqualis 
latcri  ipfius  pcntagoni.fi aiit  boc  c  vcz:  oe Imea.e.b.cnt  qitoq;  cr.7.  quinti  i.  qui 
ta  ciufdc  i  oiffinittone idc  vez:  oc linca.a.c.nam  tora.b.c.cft  equalis  toti.a.c  .cjc 
quarta  p:imi  i  ponides  pojrionib0  cc  fcrta  p:imi  %  coi  fcia:po:tiocs  eni.a.f.t.b. 
f.fuiit  cqnalcs  er  ferta  pumi.idcoqj.f.cr.f.c.rcfiduccrunt  adinuicecqualcscrco 
ceptiouc  vcl  potcs  fi  Iibet  z  facilms  oc  Iiuca.a.c.ocmonftrare  p:opofitum  nego/ 
tiando  circa  ipfum  vt  p:ius  circa  lincam.c.b. 
____^  1|b:opofitio   ,2. 

^^^Ffjlf  circult  pcntagonu  equilaterum  circufcribcntis  oiatne 
£ol*BsSg  tros  faerir  rationalts  etus  latus  pcntagoni  ertt  linea  irra/ 
&wMrl  ttoiialisealcilicetqne  oiciturminoj.GSitpcntagon^cqui/ 
^^^^  latcr^.a.b.c.d.e.ifcript9  circulo  eifdc  litteris  afcripto  c\azt.f.i  oue 
s^^^aUoiamctn.b.g.c.a.b.fitqjvtracpbasoiamciroylinearonafilongi 
tudie:  oico  tunc  cp  lat^  petagoni  iufcripti  erit  linca  irroualis  illa  vidclj  q  oicit  mt/ 
iio:  :,ptrabat  eni  linca.a.c.q  fecct  oiamctz».b.g.in  ptincto.k  critq5  et  vltima  fertt 


LIBER 


t  quarta  pmi  linea.a.c.oiuifa  a  oiamctro  .b.g.ortbogouarr  i  p  eqlia  i  pficto.k.qj 
cu  fcmicirculus.b.a.g.fit  cqlis  fcmicirculo.b.e.g.i  arc9.b.c.arcui.  b.  c.ficut  pftat 
cr.27.tmijeritarcus.a.g.rcfidu9equalisarcui.c.g.refiduo:i6q5  er  vltima  fctti 
angulus.a.b.g.eqlis  ctia  angulo.c.b.g.cii  itaqj  ouo  latcra.a.b.c.b.k.trianguli.a 
b.  k.fint  cqlia  ouobus  latcrib9.c.b.?.b.k.trianguli.c.b.k.c  angulus.b  .vnius  an/ 
gulo.b.altcriusterit cjc quarta  pmi bafis.8.k.cqlis bafi.k.c.  i oes  anguli qui funt 
ad.k.funt  rccti  cr  p:ima  pte  tcrtic  tertijroiamctcr  aut.a.b.fccet  latus  petagoni.c 
d.in  puncto.I.£ritq5  fifitcr linea.c.d.  oiuifa a  oiamctro.a  .b.  o:tbogonafr"Z  per 
cqualia  in  puncto.l.cti  cni  fint  ouo  arcus.a.d.b.c.a.c.b.cqles  i  arcns.a.c.fit  eq/ 
lis  arcui.a.d.crunt  ouo  refidui  femicirculoi?  qui  fttt.c.b.c.d.b.  cqlcs  quib9  fi  fub/ 
tcndantOuccbo:dcquefuin.c.b.c.d.b.ipfcquoq5er.2S.tcrtijeruntcqualescqj 
arcus'.a.c.e  cqualis  arcui.a.d.crif  cr  vltima  fcrti  angulus.c.b.l.cqlis  angulo.d.b 
Udeoq^  per  quarta  p:imi  bafis  .c.l.eft  cqualis  baft.d.l  .1  omncs  anguli  qui  funt 
ad.l.rectierp:imap.tctcrtfc  tcrtij.itaq^  ouotrianguli  .a.c.l.t.a.f.k.futcqangu/ 
liex.52.pmi.£ftaiianguIus.l.maio:iscqlis  3ngulo.k.mino:iseo  cp  vtcrq; cfl 
rcctus  1  angnlus  .a.c  cois  vtriq^iquare  ct  quarta  fctti  .ppouio.l.c.ad.c.a.  c  ficut 
k.f.ad.f.a.  Sumangitcroiametro.b.g.ltnea.f.m.cqualisquartepanifcinidia/ 
tnctri  eritq5  per  equam  p:opo:tionalitate  p:opo:tio.c.l.ad  quarta  parte  linee.  a.c 
qiie  fit.c.q.ficut.k.f.ad  quartam  parte  Unec.f.a.quc  eft.f.m.  1  q:  2. 1  j.quinti  p/ 
po:tio.c.d.ad.c.k.cft  ficut.c.l.ad.c.q.ficcni  cft  ouplum  ad  ouplum  ftcut  fintpluj 
sd  fimplnmterit  p.  n.quinti.d.c.ad.c.k.ficut.k.f.ad.f.m.c  coiuncti  lince  coftan/ 
tiscx.d.cz.c.k.ad.c.k.ficut.k.m.ad.m.f.ctopcirpumampartcm.ii.fcxti  p:o/ 
po:tioqu3dratilincec6pofitec>-.d.c.i.c.k.adquadratu  lincc.  c.k.  ficutquadrati 
Iince.k.m.adqnadratulinee.m.f.c6ftatautcexpmiffacp  filinca. a. cbiuidatur 
Pm  p:opo:tione  babcnte  medium  ouoq^  crtrcma  maio:  po:tio  ci9  crit  cqlis  lincc 
d.c.igitIincaconftanscr.d.c.t.c.k.c6ponircx  maio:i  po:tione  oiuifcfmp:o/ 
pouionebabcntc  mcdiii  ouoq^  ertrema  cctmcdictate  toti9linecficoimfc:ccni 
c.k.medict3s.a.c.itaq5pp:imaiftius.  ij.libuquadratulincc  compofitcct.d.c 
c.c.k.qtiintuplum  quoq^  e  ad  quadratii  lince.c.k.idcoq^  quadratum  lincc.  k.  m. 
quintuplu  quoq^  c  adquadratu  lince.m.f.cum  fit  boz?  quadratoy  1  illo:um  vna 
;ppouio  e  aut  linca.b.m.quintupla  ad  linea.m.f.crat  cni.m.f.quarta  ps  fanidia 
mctri  p:opofiti  circuIi:crgo  quadratu  liucc.k.m.ad  quadratu  lincc.m.f.cft  ficut  li 
ncc.b.m.adlincam.m.f.etquiacxfecunda  ptc.is.ferti  quadratii  lincc.  k.m.ad 
quadtatumlince.m.f.cftficutlincc.k.m.sdlineam.m.f.ouplicatstcrit  ctvndcci 
ma  quinti  linca.b.m.ad  lincam.m.f.ficut  linca.k.m.ad  liucam.  m.f.  ouplicata: 
igiturl(uca.k.m.cftmcdiolocop:opo:tioiialisintcrouaslincas.b  .m.i.  m  .f.qo* 
ucconftat.6itaiim  linca.n.p.mcdioloco.ppouioualisintcrcasfiipta  ftn  00/ 
ctriua  nonc  fcrti  critq,  c%  oiffinrtionc  ,ppo:tiouis  ouplicatc  qttc  pofita  c  i  pncipio 
quiuti^)po:tio.b.m.ad.m.f.ficut.b.m.3d.ii.p.ouplicata:fq:.b.m.ad.u.p.ficut 
n.p.ad.m.f.critetiaex.n.quintirppo:tio.b.m.ad.m.f.ficut.n.p.ad.m.f.  oupli/ 
cata  igit  et  p:ima  ptc.  j.quinti  ouc  lince.k.m.c.n.p.funt  eqlesuoq^  cr  p:ima  jjte 
7.quinti?erfco3Cjtceiufdclinea.k.m,  emcdio  locojjpouionalis  intcr.  b.m.ct 
tn.f.quarectco::cr.if.fcxtipjopo:tioquadrati  lince.b  .m.ad  quadratumlince 
m.k.eficuteliiicc.b.m.adliiieam.m.f.tquialinea.b.m.e  quintupla  adliticain 
m.f.crit  quadratum  linccb.m.quintuplii  ad  quadratii  tinecm.k.Unea  aut.b.m. 


H__H_H__1 


Xllf 

eftronalis  inlongirudine:crgopcr  VTtimap.te.7.0cciimltuca  .m.k.  eftronalisiit 
potentia  rm  i  qitiuca.b.m.e  potcutio:  linea.m.k.in  quadrato  lince  ftbi  incomcn 
furabtlis  in  lougitudinc  vi  in  cotinno  .pbabif  crit  linca.b.k.rcfiduii  quarrii  e%  oif 
finirionc  refiduiquarti.Q6autpjbbandualTumpfimusficpatet.fit  immcrus  r 
quintuplus  ad  numci/.f.fiiitq^.t.f.f.quaiitu.r.ac  ffccfict.r.quinqj.f.  vmT.r.quatu 
m:i  fit  iinea  .b.m.porcntio:  linea.m.k.in  quadrato  lincc.x.cii  fgtf  (it  quadratum 
linee.b.m.ad  quadratii  lincc.m.k.ficut  numcr9.r.ad  nuriiejj.f.erit  g  cticrfa  moj 
tionalirarc  quadratu  lincc.b.m.ad  quadratu  linec.jr.ficut  numer9.r.ad  numcr.r. 
quare  pcr  vltima  ete.7.oeciim  linca.x.e  iiicomcnfurabilislincc.b.m.iu  longirudi 
nc.no  cft ergo  oubiii  quin.b.k.ftt  reftduu quartu._3anifc(ra vcro  c  ejc. 34.tcrtij: 
cp  illud qo' fit cc.b.k.in.k.g.e equalc ci  q6 ftt.a  k.in.k.c.tdcoq^  ctia  ipftT  fdem clt 
eqnalequadrato.k.c.cocp.a.k.ccqualis.k.c.  crgo  quadrato.  b.k.  addito  vrriqx 
ertt ejc penultima  pjimi qb  fit  cy.b.k  in  (c 1  in.k.g.cquale  quadrato  .b.c.  ct  qj cjc 
pjima  fecundi  quoo  fir  c%  .b.k.in  fe  i  i.k.g.eft  equalc  ci  qo  fit  ejc.b.k.in..g.b.crit 
Itnca.b.c.latus  tetragontcii  fupficici  contcnti  a  ouabus  linefe.g.b.t.k.b  .1  quia  li 
nea.g.b.croualis:linca  vero.b.k.e  rcfiduu  quartu.s  q:  I.nca  potensAi  ftipcrficie 
linea  ronali  rcfiduoqj  qttarto  cotenta  eft  linca  mino:  vt  conftat  ex.sp.occimtlibu 
iieccffc eft  linca.b.c.quc cft  latus pcntagoni cqutlatcri  .ppoftro  circulo  infcripti  ee 
Jiiica  mino:em  qo  crar  ct  piincipio  oemonftrandii.boc  crgo  mo  fcquif  q  lat9pcn 
tagom  cqmlatcri  circulo  infcripti  fit  liuca  minoj.fi  oiamctcr  drculi  cui  infcribatnr 
fucrit  ronalis  in  longitndinc.at  vcro  fi  oiamctcr  circuli  fucrit  ronalis  in  porcntia 
tm.adbuc  neceffe  cft  vt  l  ttus  pcntagoni  cqtiilatcri  fibi  infcripti  ftt  linca  mioj.  efto 
cni  linea.a.roualis  in  potcntia  rm  fupia  qua  oefcribatur  circulus  ciqs  ocfcripto  \i 
fcnbaf  pcntagonu3  cqutlatcrus  cuius  vnu  latus  fit.  b.c.  oicanfq5  pcntagonus  ct 
circulus.a.oico  qj linca.b.c  c  linea  miiioj.5umatur cni  aliqua  linea  ronalis i  lon 
gitudinc quc fit.d.t fupcr ea  itnectur circubs cui  infcribaf  pcutagonus  cqutlater9 
1  fit  vnii  latus  ipfiuslmca.e.f  oicaufqj  pcntagonus  1  circulus.d.conftat  igitur  ejc 
bac.i2.$.c.f.cIiiieaniiuojcuoiaineter.d.fitr6ni!i3inlon;:itudiiie.Qmvcro>p/ 
pojtio pcntagoni.a.adpentagonu.d.e ftcut quadrati lincc.b.c.ad  quadratum li/ 
nce.c.f.vtraq5  cni  cex;  I'c6a  pte.  1  s.fcxti:(icut  linee.b.c.ad  lincj.c.f.  ouplicata  pcn 
tagoui  aut.a.ad  pentagoim  .d.c  ftcut  qdrati.b.c.ad  quadraru  lincc.c.f.oiamcri  i 
a  .ad  quadratii  oiamctri.d.cx  p:ima .  iz.erir  c?.  1  i.quinti  quadratum  lincc.c.b.ad 
quadratu  Unce.c.f.ftcut quadratu  oiamctri.a.ad  quadrattl  oiamctn.d.  cuq^  qua 
drata  oua?  oiamctroj/.a.  „d.finr  coicantiarq:  ambo  fut  ronalta  cr  yporbcfi  crfit 
quoqj  cxpiima  ptc.io.occimi  quadrata  oua?  Itncay.b.c.i.c.f.  coicantia  :crgo  li/ 
nca.b.c.coicat  i  potctia  cii  liuca.c.f.f  q:  linca.c.f.  c  mino::  fcquif  ct.  loo.occimi- 

cp  elia.b.c.fttlmeaminojqde.ppofitii.fiueergooiamctcralicuiuscirailifitra/ 
tionaltsinloiigitudiuc  fiuc  i  potcria  ttii  nccclTc  e  vt  latus  pcntagoni  cqutlatcri  (i/ 
^biinfcripti  fit linea miuo:.  Ifctfopofttio    .ij. 

3framide  qtuoz  baftu  triagulariu  1  cqlatcrar  ab  aflictna 
tafperacirculcriptibiic  fab?icareb*_rgo  fpereoigme/ 
troeadlat  _pfi?ptramidis  ferqaltera  ,ppo:tionepoten 
_  ttaliter  baberc  .pbaf.deit  linea.a.b.oiamctcralTignarc  fpcre 
quc  oimdatur  tu  puncto.c.ita  cp.a.c.fit  oupla  ad.b.c;  linccf  fupcr  eam  fcmicir/ 
culus.a.d,b.c  pjoducatur  linea.c.d.ojtbogonaliter  fug  Iin£a.a.b.c  .pducaf  linca 


LIBER 


b.d.«.d.a.pollc3fiatdrcalu8.f.g.b.fapcrccntru.c.co[usf£m(cIiamctafitcqna/ 
lis  Iinee.'c.d.cui  cr  fc«5a  quarti  lib:i  infcribaf  triangulus  equilatcrus  qui  fit.  f.g.b. 
ad  cui9  angulos  .ptrabanf  a  ccntro  lince.c.f.e.g.e.b.odnde  fup  centj/.e.crigatnr 
Pm  cp  oocet.  i2.oecimi  vel  vndccimi  linca.ck.q  ponaf  equalis.a.c.ppcndicnlaris 
adfupcrficiecirculi.f.g.b.cocmittantapuncto.k.ypotbemife.k.f.k.g.k.b.crirq5 
copleta  piramis  quatuo:  bafiu  triangulariu  i  cqutlatera:/  qua  oico  effe  ab  alTigna 
ta  fpera  circufcripribilq  %  oico  quadratum  oiamctri  .ppofitc  fpcre  fcrquialtey  clTe 
ad  quadratum  lateris  fabiicate  piramidis  .coftat  eni  er  pnrna  pte  conclarij .  s.fc/ 
jcri  <j>  linea.c.d.e  medio  loco  .ppotfionalisintcr.a.c.c.c.b.quare  er  amcX.  ir.ef/ 
dem  quadratum  linec.a.c.ad  quadratu  linee.c.d.e  ficut.a.c.ad.c.b.crgo  coiunctt 
quadratu.a.c.jquadratu.c.d.adcidratu.c.d.ficut.3.b.ad.b.c.idcoq5erpcnult. 
p:imiquadratu.3.d.adquadratu.d.c.ftcut.a.b.ad.b.c.cuergolinca.a.b.fittri/ 
plaad.b.c.eratent.a.c.ouplaadeacritquoqjquadratii.a.d.tripliiad  qti3dratu 
d.c.e  auteer  .s.  buiusquadratu  .f.g.triplu  adquadratu.  cf.quarc  cii  erypotbcft 
d.c.fit  cqualis  .e.f.erit  er  coi  fcia.s.d.cqualis.f.g.?  q:  cr  oiffinitione  linec  pcrpe 
dicularis  ad  fuperficie  linca.e.k.continct  cii  fingulis  lincis.c.  f.e.g.  e.b.  angulos 
rectos  qua:/  quclibct  e  equalis  lincc  .c.d.%  q:  ipfa  cade  e  equahs  Iince.a.c .«  angu 
lus.c.  e  rcctus  :crit  pcr  quarta  primi  vnaqucq^  triii  lineai/.k.f.k.g.k.b.equalis  ii/ 
nce  .3.d.onanifeftum  cft  igif  fab:icatam  piramide  cfle  quatuo:  baftrl  triangula/ 
riu  eqlatera|2.3pfa  3ut  ce  circufcriptibile  ab  alTignata  fpera  ftc  babcro:Itnee.e.k. 
iutelligatur  adijci & m  rcctirudine linea.c.l.equalis linee.c.b.vt  tota  k.l.fit equalis 
a.b.que  e  oiametcr  affignate  fpcrc:banc  aute  liuea  inqua.e.l.imagincris  cffc  fub 
circulo.f.g.b.pcrpcndicularcm  quoqj  ad.ipfius  fup/icicm  cr  prc  inferio:i  ficut  cft 
c.k.er  partc  fupjori  critq^  vnaqucq?  triu  liucay.c.f.e.g.e.b.i  fimplr  qlibct  femidi 
ametri  circuli.f.g.b.mcdio  loco  ,ppo:rion3!i8  intcr.k.c.c.e.l.qucadmodu  e.  d.c. 
inter.a.cz.c.b.  nam  bcc  fiit  cqualcs  illis  vnaquaq,  fuc  rclariuc.Si  igif  fup  lincaj 
l.k.ocfcrlbaf  fcmicircul9  circuducarurq,  quoufq,  ad  locu  vndc  moneri  ccpcrat  re/ 
deat  crit  ct  oifftnitionc  fpcra?z  cqualiii  fpcra  ocfcripta  motu  btiius  fcmicirculi  cq 
lis  fpcre  affignate.funt  cni  fperc  cqualcs  quar  funt  cqualcs  oiamctri  qucadmo/ 
dum  oe  circulis  in  p:incipio  tcrtij  otctu  cfcmtcirculu  bunc  vero  necelTe  cft  tranfi/ 
repcrrriapuncta.f.g.b.qncfuntangulifolide  piramidis  fab:icare.  mrautcoico 
cp  fcmicirculus  bic  qui  fug  linca.k.l.fucrit  ocfcripr9  fi  circuducaf  quonfq^  ad  looij 
redeat  vndc  moucri  ccpar  contingct  ctrculii.f.g.b.fupcr  omnia  puncra  ctrctifcrcn 
tic  ipfius.Qd  cr  bac  vctufta  vcritate  p:obatuv:fi  Itnca  rccta  fupcr  linea^  rccta  per 
pendicularitcr  ftctcrit  que  inter  parrcs  cius  cui  fupcrftat  ucl  circumftat  mcdio  lo/ 
co  p:opo:tionalis  ponatur.fucritq5  fupcr  cam  iincam  cui  pcrpcndtcularis  fupflac 
femidrculus  oefcript9  circufcrcntia  iplius  g  crrrcmttatcm  linee  n:  tdio  loco  ,ppo:/ 
tionalis  pofite  ppendicularitcr  ncceliario  rraftbir.cum  igitur  cunctc  femidiametri 
circuli.f.g.b.fint  ppcdiclarcs  ad  linca.k.l.f  mcdio  loco  .ppontoalcs  i  tcr  ptcs  ipi9 
que  funt.k.cs.cl.fcquif  ut  fcmicirculus  oefcrtpt9  fun.k.l.fi  circiiducaf  tranfcat  p 
omnia  puncta  circufcrcntie.f.g.b.c  per  omnes  folidos  angulos  piramidis  fab:i/ 
cate.itaq^  3  oirTmitione  einsquodcftfiguram  infcribi  ftgurc  piramis  fabricara 
eft  infcriptibilis  illi  fperc  qua  femicirculu3  fupcr  lineam.k.I.lincat9  inutuo  fuo  oe/ 
cribit:7quia  bccfpcra  ocfcriptacftalTiguatc  fpcrcequalispoiffinirionecqualui 
fpcrayfcquif  ercoifcientia  vtbccpiramisfab:icatafit3b  sflignats  fpera  circii/ 


■MHi 


XIII 


fcriptibtlfs  q5  cft  .ppofitu.roKdariu  aut  p?  fic.fum  cnij.a.b.fit  tripla  ad.b.  c.% 
cucrfam  p:opo:tio<ialitatc  crit.a.b.fcxquialrera  ad.a  .c.idcoq3  cx  fcoa  gte  co::cla 
rif.s.fc)cti^co:idario.ir.ctufde  quadratulince.a.b.criretia  fcjrquialrc^  adqua/ 
draru  lince.a.d.-r  qUiuca.a.d.cequalislarcri  fab:icatepiraiiitdis.at  vero.a.b.cft 
oiamcter  fpcrcconftat  vc^  ec  qt>  pcr  co::clartu  oicif  .llc  aut  qucq*5  oc  vctufta  ve/ 
rttatc  p:opoftta  bcfitarc  cotingat  ca  volum9  boc  mo  oemoftratiouc  ftrmare.Stt 
igif  fup  linca  .a.b.lmea.c.d.  ppcndtcularis  q  ponaf  mcdio  loco  ppo:tionaIis  m/ 
tcrp_tcslinee.3.b.qucfmr.a.c.c.c.b.itacpp:opo5tio.a.c.ad.c.d.ficur.c.d.ad.c.b 
£t  fuper  Ituca.a.b.ocfcrtbaf  femicirculus.a.c.b.oico  q>  buius  fcmicircult  circufc/ 
rcnria  traufibft  pcr  punctu.d.qm  e  extremitas  ppendicularis.Smaurc  aut  fccabit 
linca.c.d.aut  fuptranftbir  ca  tota  ipfa  trafiens  1  includens  i  nor,  conringcns.  fc/ 
cct  crgo p2imo ca  in  puncto.c.t  oucanf  lincccb.c.ca:crirq; cxp:ima  gtc.30.ter 
tij  rotalis  angulas.a.cb.rcctus.iraq;  cxpjima gte co::d'.8.fexti  ,ppo:tio  eft.a.c. 
ad.c.e.fuut.c.c.ad.c.b.at  vcro  cx  fccunda  pte.s.quinti  ^ppotfio.a.c.ad.c.e.c  ma 
to:  q5.a.c.ad.c.d.co  cp.c.c.e  minoj.qj.c.d.cii  igif  fit.c.cad.c.b.ficut.a.c.ad.c.e 
e.c.d.ad.c.b.ficut.a.c.ad.c.d.crit  pcr.  u.qutnti.cc.ad.c.b.maio:  %»c.  d.  ad.c. 
b.idcocp  per  p:ima  ptc.  1  o.quinti.cc.e  maio:  q^.d.c.ps  vidclicct  q'5  fuii  toru^  c\6 
cft  impoflibile.Tlo  ergo  fccabit  circuferentia  fcmicirculi  Imea.c.d.GSup  tranfeat 
igif  z  ^pducaf.c.d.vfq^  ad  circufcrentia:fitq5  tota.c.c?  p:otrabanf  lincc.e,  b.t.e 
a.fcquefq5  ut  p:i9[inca.c.d.clTe  maio:e  q'5  ftt  linca.c.cqo  cft  etia  impoffibilcrcon 
ftat  crgo  .ppofitu.Siu-  aut  oicimus  q>  fi  fucrit  aliquis  angul9  rcctus  cui  bafis  fub 
tcndaf  fug  qua  fcmtcirailus  linecf  :ipfius  circufcrcntia  p  angulu  rcctiT  tranftrc  ne/ 
ceffe  e.conucrfa  vcro  buius  pponit  p:ima  p_s.  30.tcrtij.06  atit  oicimus  ftc  conftat 
CSit  cni  anguf.a  .b.c  .rcctus  cni fubtciidaf  bafis.a.c;  fup  ea liiiccf  fcmicircul9 
eico  cp  ipftus  circiifercntia  tranfibit  p  punctu.b.in  quo  cocunt  liucc  contincntcs 
Bngulu  rcctu  ctiius  ecmonftratio  e  cp  neq^  tranfibit  fup:a  ncqi  infra.fin  autc  rra/ 
feat:pmo  ifra  fitqj.a.c.c.-c  ab  angnlo.b.p:oducaf  linea.b.d.pcrpcdicularis  ad  ba 
fim.a.c.que  fccct  circtifcrcntia  femicirculi  in  puncro.c?  p:otrabanf  linccca.c.c 
c.eritq^  angul  js.a.e.c.rcctus  eje  p:ima  ptc.jo.tcrtij  .at  ipfe  c  maio:  angulo.  a.b.c 
per.21  .p:iini  boc  autc  c  impoilibile  cx  tertia  pctitionc  cu  vtcrq,  fit  rcctus  .bic  qui 
de  cx  fpotbcfiullc  vcro  cx  p:ima  partc.  3  o.tcrtij  .115  .ergo  trafibit  circiifcrcntia  fc 
micirculi  infra  angulu.b.tranfcat  itaq;  (up:a  1  fit.a.f.  c.,pducatur  autc  ppendicu 
laris  .d.b  .quoufq^  obuiet  circufcrentie  fcmicirculi.a.f.c.i  puncto.f.  1  p:oducanf 
lince.f.a.f.c.critq5exp:imapane.3o.tcrtiiangulus.a.f.c.rcctus.cuq5etiaectc): 
ypotbcfi angulus.a.b.c.rectus fcquif  impofiibilc pcr.2i.p:imi ficut in  p:incipio. 
rclinquif  crgo  qt>  oijrimus.boc  arlt  nccclTartii  cft  ad  cognitionc  co  2/  quc  fequiitnr. 
Tfb:opqfitio  .14. 
"36  alTignata  fpera  ctrcufcriptibUcni  cubum  conflttucre 
jeiulclemautcmfpere  oiamctrum  lateri  ipft^cubipotcn/ 
1  tialiter  trtplicem  efle  manifeftum  crit. 
|  Gafftgnate  fperc  oiamctrum  ftt.a.b.fupcr  qua  lincctur  fcmicircu/ 
j  lus.a.d.b.oiuidaturq50iametcripuiKto.c.p:o:fus  fccundumcon 
dtrionemp:emilTc  Viddicctutlinca.a.t.fit  oupla  ad  lineam  .c.  b.  1  p:oducatur 
c.d.pcrpcndicularisad.a.b.-tpwtrabantur.d.b.c.d.a.pofteafiatvnuqdratum 
cuius  oia  latera  fiut  equalia  linccb.d.fitqj.e  f.g.b.fup.  cui9  qruo:  anglos  criganf 


V 

f 

\ 

n      n. 

\ 

LIBER 

it  docet.  12.  vndcdmi  quatuoi  lincc  ppcdiculares  ad  fupficie  ipfi9  qdrati  qy  qiib^ 
poiiaturctiacqnaliJlincc.b.d.fintqj.ck.f.l.g.tn.b.n.cruntqjbcc  quatuoigpcn 
dicularcs  fiugulc  fingulis  cquidtftaittes  cr  fcxta  vndecimi:?  anguli  quos  cotincnt 
cii  lateribus  qnadrati  rccti  c%  oiffiuitioiic  lince  ppedicularis  ad  fugfkic-.ocinde  co 
iunganf  extrcmttates iftay  ppcndiculanu  ptraccis lincis.k.l.l.m.m.n.n.k.critqj 
coplct9  cub9ferfugficicbaqdrati8  c6tcimis.c6ltatemey.34.p^icpcituo:fupcr/ 
fidesipfumombieutcssip:efuntqua:poppofitalatcra  funt  quatuo:  pcrpcndi/ 
culares  fint  omnes  quadrate:oc  bafi  autc  boc  pofttu  cft.at  vcro  oc  fuppicma  ei9 
fitgficic qnc  c.k.l.m.n.cp ipfa quoqj fit  quadrata.  coftat cx. 34-p:imi  f.  10.  vndeci 
mi.ideoqj  cx  quarta  vndccimi  manifcftu  e  fingula  latcra  ciufdc  cubi  ouab°  ipfius 
oppofitis  fuperficiebus  o:tbogonaliter  inliftcre.ZSc  autc  cubu  bunc  ab  aflignata 
fpcra  circufcriptibilcm  ce  oemonftrcmusau  vna  fuay  fupficie^  ptrabaf  oiagona 
lis.verbigratiainbaficiusfitqj.c.g.T.a.b.buius  oiagonalis  altcra  extremirare 
;ptrabatur  oiametcr cubi.c.m.eritq-,  et pcnultima  p:imi  quadratu.  c.g.  ouplii  ad 
quadratu  .f.g.idcoq,  i  ad  quadratii.g.m.eo  cp.g.m.eequalis.f.g.  fiit  cni  omnia 
latera  cubi  adiruice  cqualia.c  q:  rurfus  ty.  penultima  p:imi  quadratu.e.m.c  cqua 
lc  quadrati3  ouay  lineay.c.g.s.g.m.pprcr  boc  cp  angulus.c.g.m.c  rectus  cx  oif 
finitione  lince pcrpcndicularis ad fuperficie:crit quadtatii.e.m.  triplum ad qua/ 
dratu.m.g.  conftat  cni  cx  ouplo  i  fimplo.cunqs  c%  feciida  £te  co::cf .s.  fexti  i  cc 
co::et\ir.dufdcqdratuquoq5.a.b.fittripliiadquadratu.b.d.coc|)Imca.a.b.tri 
pla e ad linca  .b.c.fit autc.b.d.cqualis.g.fcquitur  cy. coi  fcia  ut.e.m.q c  oiamctcr 
cubi  fit  cqualis.a.b.quc  e  oiamcter  fpcrc.itaq^  fi  fup.c.m.liucef  fcmicirc  ulus  cir/ 
cumducatqj  quoufqj  ad  locu  vnde  fuit  initiii  motus  rcdcat  fpera  ocfcripta  :crit  c% 
oiffinitione  fpcra^  cqualiii  cqualis  fperc  afiignarc.at  vcro  q:  bic  femicirculus  tra 
fitu  facict g punctii .g.eo  cp angulus.c.g.m.c  rect9 eadeq^  ronc p  ceteros  finglos 
rectos  angulos  cubi  qo  cx  autcccdcntc  ante  bac.  14-  imediare  pmiflb  mamfcftfj  e 
conftat coftitutii  cubfi  ab  aiTiguata  fpcra co  q>  a  fua cquali  circufcriptibilc clTc qo' 
ocmonftrare  opo:tebat.co::ciarij  vcro  oemoftratio  iu  ifh"  ocmoltratiois  pccfta 

jlprcparuit.  Ijbzopoiitio    .if. 

I  i02pus octo  bafiu  masulariu  1  cquilatcraru  a  fpcra  ,p/ 
poftta  circulcriptibilec6ponerc:critq5palactafde5lbere 
oiametjz  latcri  ipiiue  co:pis  oupliccm  cfie  potcntialttcr. 

IjGDiamctcr  fpcre  ppofttc  fit.a.b.quc  oiuidat  g  cqustha  i  puncto.c. 
«  fug  ea  liticct  fcmicirculus.a.d.b.t  pducaf.c.d.gpendicularis.ad.a.b.s  iungaf 
punct9.d.cu,a.?  cu.b.ocfcribatqj  vnu  quadratu  cuius fingula  latera  fint  cqualia 
lince.b.d.fitqj  quadratu.boc.e.f.g.b.in  quo  .ptrabanf  oiamctri  oue.  c.g.c.  f.b. 
fccantes  fc  inuicc  itt  punc  to.k.pftat  igif  cx  .^.piimi  q>  vtraq,  iftay  oiamctroy  fit 
equalis  linee.a.b  .que  c  oiamcter  fpcre  cfi  augulus  .d.ftt  rectus  cx  pma  ptc.50.tcr 
tij  1  finguli  quoq5  anguli.e.f.g.b.recti  c%  oione  qdrati:?ftat  rurlus  cp  ccdcin  oue 
oiamctri.e.g.f.f.b.oiuidut  fe  innice  p  cqualia  in  puncto  k.boc  autc  cx.  ?  .p:imi  z 
;z.i  fcyta  dufde  factle  c  elicere.crigaf  uaq^  fup  pnnctu.k.liuea.k.i.ppcndicularis 
ad  fugficie  qdrati  q  ponaf  cqlis  medictate  oiamctri.e.g.l.f.b.i  oemittaf  ypotbe 
mtfe  l.e.l.f.I.g.l.b.  autq3  e%  bis  q  poftta  funt  1  pcnut  pmi  quoties  opoituctit  re/ 
pctita  fingnle  ba^  ypotbemifa^  cqlcs  fibi  inuice  et  equalcs  laterib9  qdrari.  babes 
crgo  piramidc  quatuo:  equilatera^  triangulariumq^  bafm  fut>  quadratu  pftitnta. 


xin 


binc  itaq^  fub  ipfo  quadrato  fimile  piramide  boc  mo  appone  linea.I.  k.p:oducas 
gforaudo quadratum vfq; ad.m.ita cp.km.ejcfis fub quadrato fit  cqualis .l.k. 
ejciftcnti  fup:a:z  ionge  puuctu.m.cu  fingults  angulis  cjdrati  pdaccndo.4  .alias 
ypotbemifas  quc  funt.m.c.m.f.m.g.m.b.oequtbus  quoq^  manifeftu  c  cc  pcuuf. 
piimuqucadmodii  oe  alijs  que  funt  ir»  fugiou  ptc  q>  ipfc  fmt  cquales  ad  iuuicc  ct 
latcribus quadrati.£6pleuim9 igitur co2pus.4.bafiu  triaugulariit  i  equilaterani 
boc  aut ab  alfignata  fpcra  circufcriptttc ec fic babcto.  coftat cni  q>  linca.  I.  m.cft 
cqualis  oiamctro  affignate  fpcrema  vtraq^  ea?2  c  cqualis  oiamctro  quadrati.igit 
fi  fuo.l.m.linecf  femicircul9  qui  circuuoluaf  quoufqj  ad  iocti  fuu  rcdeat:fpera  qua 
motu  fuo  ocfcribet  crit  equalis  aflignatc  fperc  vt  c%  oiffinitionc  fpcra^  equalium 
colligif.bic  vero  femicirculus  rranfibir  g  qnatuo:  angulos  quadrati  i  fimpfr  p.  oia 
puncta  circufcrciuic  circuli  circufcribentis  quadratutco  q>  femidiameter  quadrati 
vtlinca.f.k.cpojtioncslince.l.m.quefunt.l.k.t.k.m.funtadinuiceequalcs.  qre 
c%  oiffinitione  cius  qo  e  figura  vna  alij  ftgure  infcnbi  fabricatu  cotpus  infcriptibi 
le  e  fpere  motu  buius  femicitculi  ocfcripte.ita  35  %  fpere  alTignate  cjc  cocept.cu  ipfe 
fiut  adinuice  equalcs  c%  oiff initionc.£o::el'.vero  manifefte  coftat:funt  eni  oue  li/ 
nee  d.b.«.d.a.equalesejc.4.p2imi:idcoq5quadratum.a.b.ouplu  eft  adquadra/ 
tum.b.d.ej:  penuT.p:imi:latus  auc  fab:icati  co2po2is  e  cquale  liucc.b.d.  vcruj  e(l 
ergoco22elarium.  ^JOpofitio    .\e. 

^j/£>2pu8Vtgmti  bafiu  triaiigulariu  atq^cquilateray  aoa/ 
ta  fpera  tuametru  ronale  babete  circutcriptibiie  fabaica/ 
re.erttq5palaIat^eiul'deco:po2i6ee  linea  irrationalem 
eam  fc^que  OiciturminoJ.GSitbicquoq^  oiamctcrafTignate 
fpcrc.a.b.q  ponaf  ce  ronalis  fiuc  in  longitudinc  fiuc  111  potcntia  tin 
*  oiuidaf  iu  puncto.c.ita  cp.a.c.fit  quadrupla  ad.c.b.  clinecf  fuper  ca  femicircu/ 
lus.a.d.b.^ducaf.c.d.ppendicularisad.a.  b.c^prrabaf  liuca.d.b.  ocindeftn 
quantitatclincc.d.b.linccfcirculus.c.f.g.b.k.fupiaccntru.I.cui  infcribafpeuta/ 
gonus  equilatcrus  cifde  litteris  anitotatus:ad  cuiits  angulos  a  cctro  .1.  oucanf  li/ 
nce.l.e.l.f.l.g.l.b.l.k.rurfusiucodcmcirculoinfcribafoecagon9cqutlatcr9:oiui/ 
danf  eni  cuucti  arcus  quo^  cbo^de  funt  Urcra  pcragoni  p  cquatta  t  a  punctts  me/ 
dijs  ad  extremitates  cunctoy  latey  infcripti  pcntagoni  lincc  rcctc  oiriganf.  itcqj 
fupcrfingulosangulospentagonicrigaturcatbcc9fm  q>  oocct.u.vndccimiquo 
rum  quitibct  ftt  ctia  cqualis  linee.b.d.?  cotiuucttf  cj:trcmiratcs  bos  quinq^  catbc 
cos  quinq5  C02auftis.crutq5  qc.s.  vndccimi  quinqj  catbcci  erccti  adinuice  equidt/ 
ftantes:cttq5  ipft  fint  eqlcs  erut  quoq^  c%.  3  3  .p2imi  quinq^  co:anfti  C02;  extrcmtt» 
tcs  iugcntes  cqtcs  latcrib9  pentagoni.ocmitte  igitur  a  fummitatibus  fingulis  fin  / 
gulos  catbccoe  binas  1  binas  ypotbemifas  ad  ouos  circitftantcs  angulos  ifcnpti 
oecagoni  z  ba?2  occe  ypotbemifas  a  quinq^  cjtrcmitatibus  catbecos  ad .  j .  pucta 
qne  funt  finguli  anguli  medij  infcripti  occagoni  oefcenden;  iii  extrcmitates  ptinua 
aliit  pcntagonum  rurfus ipfi  circulo infcribcndo qui  quoq^  crit equilaterus cjc.ij. 
tcrtij  :cu  boc  ttaq^  feceris  Vidcbjs  te  gfcciffc  oece  triaugulos  quos  latera  funt  occe 
ypotbemife  1  qutnq^ co;aufti ?.? -latera  b9f«5i  pcntagoni infcripti.foos  ergo  occe 
triangulos  cqlatcros  ee  fic  collige.ciT  cni  ta  femidiametcr  oefcripti  circuh  q,  qlibct 
ercct02um  catbcco:um  fit  equalis  lince.b.d.ev  fpotbefixrit  cc  co:2clario.  1  y  .quarti 
quilibct  catbeco:um  equalis  lateri  cxagoni  equilateri  circulo  cuius  femidiametcr: 


LIBER 


cft cqoalis liiicc.b.d.infcripti.quia vcro ct pcnmYpjimi  waqqj; to.ypotbemifajz 
tanto  cft  potentio:  catbcco  quaru  pot  latus  oecagoni.  at  vero  et.  to.buius  latus 
quoq^  pcntbagoni  e  tanto  potentius  eodc  quatu  pot  ide  latus  oecagoni.erit  ct  co 
mtmifcicntia  vnaqq5ba2zypotbcmifa£  cqualislateri  pentagoni.  Dccojauftis 
ailt  iam  patuit  q>  ipfi  fint  equalcs  latcribus  pentagoni.itaq^  cuncta  latcra  bo:um 
txce  trianguloy  aut  funt  latcra  pentagoni  equilatcri  fcoa  vtcc  circulo  infcripti  aut 
illis  cqualia  funt  igif  cquilatcri  trianguli.ampli9  aut  fug  ccnty  circuli  qb  e  punctu 
l.erige  aliu  catbccti  equate"  p  jio:ib9  qui  fit.l.m.eiufqj  fup.io:e  ertrcmitate  quc  e  pfi 
ctus.m.iuge  cu  fingulis  ettrcmitatib0  p:ioj2  p  quinq^  co:auftos  critqj  et  fetta  vn 
dccimi  bic  ccntralis  catbccus  fingulis  catbccozz  angulariu  equidiftans:i6q5  et.  3  j 
p:imi  bi  quinq,  co:aufti  erunt  femidiametro  circuli  equalcs  1  et  co::eL  1  j.quani 
qnilibct  coj:  taqua  latus  etagoni.ccntrali  crgo  catbeco  er  vtraq,  gte  adijciatur  lt/ 
nca  vna  equalislateri  occagoni:fup23  quidcadijciaf  ci.m.n.oeo:fum  atlt  fnb  cir/ 
culoadijriaffibiacciurocirculi.l.p.pofteaoemittanf  apuncto.n.f.yporbcmtfe 
ad.  j.fupcriojes  angulos  oece triauguloy qui  funt iu  circuitu.?  a  puncto.p.alic. S 
ad  alios  quinqj  inferiojes  crontq5  bce  oece  ypotbemifc  equales  adinnice  laterib 
infcripti  pentagoni  er  pcnul'.p:imi  %,  lo.buius  qucadmodo  oe  alijs  occe  pji9  oe' 
monftratu  cft.babes  ergo  coipus.io.bafwm  triangularium  atq^  equilatera^  cui' 
cuncta  latcra  funt  cqualia  lateribus  pentagoni.eins  vero  oiamctcr  eft  linca.  n.p. 
bor  aot.zo.triangolozj  oece  cofiftont  m  circnito  fop:a  circulu.quinq,  aur  cofur/ 
gunt  furfom  ad  ponctom.n.cocurrentes.at  qumq^  reliqoi  oeo:font  emcrgunt  fiig 
punctfi  .p.cocuntes.boc aute  ycoccdrii  co:pns a  oata fpera  circufcripttbile cc  fic 
crit  manifcftumrcti  linea.I.m.fit  equalis  lateri  cragoni  e.m.n.latci i  oecagoni  cqui 
laterojz quos  circnlus.c.f.g.circufcribit  tota  l.n.crit ct nona  pjcfcntis lib:i  oiuifa 
ftn  .ppojtionem  .b.m.e.d.cttra  in  puncto.m.  <i  maio:  poitio  eius  erit  linea.l.m. 
Diuidaturitaq^.l.m.pcrcqliain.q.critq^etcomunifcia.p.q.eqlis.q.n.na.p.l. 
pofita  e  equalis  latcri  occagoni  queadmodti.  m.it.  quarc.q.n.e  medictas.n.p.que 
admoduc.q.m.mcdictas.m.l.cocrgoqoadrato.n.q.fitcx.J.bui9quiiuuplu5ad 
quadratum.q.m.critqnoq^  ct.i  j.quinti  quadratii.p.n.quintiipUi  adquadratum 
I.m.cft  eni  etquarta  fcoi  quadratum.p.m.quadruplu  ad  quadratfi.q.n.quadra/ 
tu  qnoq^.l.m.qiiadruplu  ad  quadratuq.m.ct  eadciquadruplu  aute  ad  quadru/ 
plo  e  vt  fimplum  ad  fimplii  tefte.  1  j.quinti.at  vcro  quadratti.a.b.quintuplum  eft 
ad  qdratu.b.d.cr  fctia  pteco::cf  .S.  ferri:*  et  co::d.  17.  ciufdr.c  ctia.a.b.qumcn/ 
pla  ad.b.c.eo  q>.a  .c.fuit  ad  cande  quadrupla:q:  crgo  .1.  m.e  er  ypotbcfi  equalis 
b.d.crit  et  coi  fcia.a.b.equalis.n.p.itaq^  fi  wpjincam.n.p.fcmicirculus  oefcnba 
tor  qoi  tandio  q>  loco  p:imum  rcpctat  ctrcuuoluaf  fpcra  ipft9  motu  oefcripta  erit 
a  oiffinitioue  fpcrarum  equaliu  cqualis  fpcrc  .ppofitc?  qm  lioca.l.m.c  mcdio  lo 
co  ,ppo:tionalis  inter.l.n.c.n.m.idcoq^  intcr.l.n.i.p.l.erit  quoq,  quelibet  femi/ 
diamctcrcirculimcdioIocorppo:tionalistntcr.l.n.«.l.p.zcu.l.m.  fit  equalisfe/ 
midiamctro  circuli.iraq^  femicirctilus  fup.p.n.ocfctiptus  tranfibit  g  oia  pocta  rir 
cuferentie  cfrculi.e.f.g.ideoq^  1  pet  fingulos  angulos  folidi  fab:icati  in  illa  circo/ 
fcrentia  cofiftcnrcs:?  q:  eade  rone  finguli  co:at;fti  cotinuantcs  cxtrcmitates  an/ 
gularinm  catbcco^2:co  cxtremitate  ccntralis  funt  medio  loco  ,ppo-.tionalc8  intcr 
p.m.T.m.n.co  cp  qoittbct  eoy  c  cqualis.l.m.fequif  ut  ide  fcmicirculus  trafcat  ctiii 
pcr  reliquos  angulos  figure  ycoccdrc  ftatutc  .e  igitur  co:pus  boc  ifcrip tibilc  fperc 


' 


XIII 

cuins  Oiamctcr.p.n  .idcoq^ « fperc  cuius  oismetcr.a.b.latus  aut  buius  folidc  fi/ 
gure  oico  cfic linca  miuo:c.c6frat cni  cp linca.  b.d  .e ronaiis  in  potcntia  cu  cius 
quadratu  fit  fubquincuplu  ad  quadratu  lince.a.b.que  poura  e  ronalis  fiuc  in  lon 
gitudinc  fiuc  m  potcntia  triiataqj  femidiamctcr  atqj  fcmidiamctri  circuli.e.  f.g.e 
ctia  ronalis  in  porcntia.nam  cius  femidiamctcr  c  cqualis.b.d.  igit  ejc.u.buflat9 
peragoni  eqmlatcri  buic  circulo  ifcripti  e  linea  mino:.at  vcro  ficut  i  buius  oemon 
ftrattonis  pjocdTu  patuit  !3tus  buius  figurc  cft  quantu  latus  pentagoni:ergo  la/ 
tus  buius  figure.2o.alcbaidaf  e  linca  mino:  qucadmodum  p:oponitur. 
1£>JOpofttiO    .17. 

/©Jpus  buodecim  baliiim  pentagonoy  equilatcra^atqj 
equtagulariu  ab  alfignata  fpera  circulcriptibile  cottitue 
re.eritqj  palalat9eiufc!e  cojpojisirrationaleefle.idqb 
reliduu  Oicit.C^iat  cubus f>m  cp oocct. i4.buius  circufcripribile 
_  ab  alTignata  fpera:litq5  buius  cubi  ouc  fuperficics.a.b.i.a.c.ima/ 
ginemur  aut  nunc  cp.a.b.fit  fup:cma  fupcrficiescubi  ■z.a.c.  fit  vna  ejc  Iatenb9.fit 
cj5  linca.a.d.comums  iftis  ouabus  fupcrficicbus.oiuidanf  itaqj  in  fuperficic.a.b 
ouo  oppofita  latera  g  equalia  videlicct.d.b.c  latus  ci  oppofitu:?  puncta  oiuifio/ 
nis cotinucnt  p.  linca.c.f.latus quoq^.a.d.s iflud q6  fibi  opponit  in  fupficie.a.c. 
oiuidant  per  cqualia  z  pnncts  oiuifiouis  ptmuenf  linca  recta  cuius  mcdietas  fit 
g.b.fitq3punccus.b.mediu8punct9ltnec.a.d.fiiniliterlinca.c.f.oiuidafpcqu8/ 
lia  in  .k.z  p:otrabat.b.k.quaTibet igit  triij  liiieay.e.k.k.f.s.g.b.oimde  $m  p:o/ 
pouione.ba.mc.^.ou.cxt.in  trib9puctis.l.m.q.fintq5  maiojcs  pouiones  ea;z.l. 
k.k.m.-z.g.q.quas  manifeftu  e  cc  eqles  c_  totc  lince  oiuifc  fiut  cquales  videl^  que 
libct ca? medietati lateris cubi.ocindc a  ouobus  puuctis.U.m.erigc  pcrpcndicu 
larcs  vc  oocct.  u.vndecimi  ad  furjficie.a.b.qua?  vcraq^  ponas  equalc  hnee  .k.l. 
lintq^.l.ij.^.m.p.fimiliterapuncto.q.erigepcrpcudicularitcr.q.r.adfupcrficiej 
a.c.quaponaseqle.g.q.^ptrabeitaq^lincas.a.l.a.n.a.m.a.p.d.m.d.p.d.l.d.n 
a.r.a.q.d.r.d.q.Dttanlfeftu  eft  igitur  ej:  qumta  buius  cp  oue  Tmcc.k.e.s.c.  I.po/ 
tentialitcr  funt  tnplu  ad  linea.k.l.ideoqj  etia  ad  linea.l.n.ai.k.U.I.  n.fint  eqlcs 
aivcro.lv.c.ccqualis.e.a.igitouclincc.a.CT.e.l.fuiitpotcntiatripluadlinca.l. 
u.quare  e*  pcuut.pjimi.a.l.e  potcntia  tripla  ad.l.  n.idcoqj  pcr  candc.a.  n.epo/ 
tcntiaquadruplaad.l.n.Xuq^oislincafit  potcntia  quadruplaad  mcdictatcfui 
fcquif  c%  coi  fcia  cp.a.n.fit  oupla  in  longitudinc  ad.I.n.  i  q:.l.m.oup!a  cft  ad.l.k 
at.k.U.l.n.funt  equalcs:erit.a.n.equalis.l.m.funt  cni  cay  oimidia  cqualia  .£  t 
qjcx.^.p:imi.l.m.ccquaIis.n.p.erit.a.n.cqualis.n.p.eodcmodolpbabi3  tres 
imcas.p.d.d.r.c.r.a.clTe  cqualcs  hbi  inuice  z  ouabus  pjcdictis  .babem9  itaq5  qc 
l.iis  quiijq^  lincis  pentagonij  equilatcjj  qui  e.a.n.p.d.r.fcd  fojtaffc  oiccs  tpfu  no 
efie  pcntsgonu  qj  no  ncc  fo:fan  e  totus  in  fupficie  vna.qb  ciTet  uccclTarm  ad  boc 
vt  clTct  pcutagonus  .Qt>  ergo  fit  tot9  in  fupficie  vna  fic  babeto:p:odeat  cquide5  a 
puncto.k.linea.k.f.perpcudicularisadfupficie.a.b.quefit  equalis.  l.k.  eritcfl  ob 
boc  cquahs  vtriqj  ouay.l.n.T.m.p.cuq^  ipfa  fit  cqmdiftas  vtriq^  cay  cx  fejcta  vn 
dccimi: idcoq,  cu  ambsb9  in  eadc  fupficic  ejc  oioue  linea?:  equidiftantiu  necclTc  e 
vt  punct9.f.fit  in  liuea.n.p.c  q>  oiuidatea  p  equalia:,ptrabanf  igif  oue  linee.r.b. 
z.b.f  .funt  itaq5  ouo  trianguli.k.f.b.s.q.r.b.fug  ^nu  angulu  Videlicct.k.b.q.co/ 
lfitutifep:opo:tio.k.b.ad.q.r.ficut.k.f.ad.q.b.uavt.g.b.ad.q.r.fic.k.b.3d.q 

ci 


LIBER 


r.ejCTvAututfe  vt  .r.q.ad.q.b.fK.k.f.ad.q.b.ejfcade.fcd.g.b.ad.q.r.  vt.q.r.ad 
q.b.eoq'.q.r.cltcquali8.g.q.crgoE.5o.fe)ctiliuca.r.b.f.clincaviia.£)uarecj:fe 
ciida  vudccimi  tot"  pcntagonus  oc  quo  oifputam"  c  in  fugftcic  Vna.  3pfu  quoq> 
oico(^cequiaugulu.cucni.c.ls.fitoiuifaf'm(ppo:tionebabcntcmediuouoq5ejc 
trctna  T.k.tn.fit  cqualis  maio:i  po:tioni  cius:crit  quoq^  c;c.4.pnti3  tota.c.m.  oi 
oifa  frn  .ppo^ione  babcnte  mcditi  ouoq,  e#rema:maio:  quoq,  po:tio  cius  linca 
c.k.ioq^per.f.ouelincc.e.m.c.m.b.ioqjoue.c.m.i.m.p.na.m.p.ceqiialis.m. 
k.futpotctiatripluadlitiea.c.k.ioq^tadlinca.a.e.na.a.c.eeqlis.e.k.itaq^trcs 
lince.a.c-c.m.c.m.p.funtpotcntiaquadrupluadlincj.a.  e.£onftataute'pcrpe 
nulttmaprimi  bis  affumpta  cj>  linca.a.  p.c  potcntia  cqualis  tribus  lineis.a.e.c  .e. 
m.-l.m.p.itaq^.a.p.cpotentiaquadruplaadlinea.a.c.latusv-crocubicufitoo/ 
plfiadlitiea.a.c.eftporcntiaquoq^quadruplu  adipfaet  .4.fc6i:igif  ej:  coifcicn/ 
tia.a.p.eft  lateri  cubi  cqua!is.£iiq5.a.d.fit  vnii  c%  latenbus  cubi  erit.  a.p.  cqua/ 
lis.a.d.ideoqj  cjc.s.  p:imi  angulus.a.r.d.c  cqtialis  augulo.a.n.p.£odc  modo  ,p/ 
babis  angulii.d.n.p.cffe  cquale  angulo.d.r.a.q:  .pbabis  liuca.d.n.cffe  potcntia 
liter  quadrup!ii  ad  mcdictate  latcris  cubi.cu  igif  ejc  bis  pcntagonus  fit  cqutlatcr9 
tlbabcat  trcs  angulos  cqualcs  ipfc  erit  cquiangnlus  c%  fepttma  ptitis  lib:i.  6i  ita 
q>  bac  via  roncq^  cofiti  z  fup.  vniiqoq^  rcliquo?  latcy  cubi  pcntagonu  equilatcruj 
cequi3nguliifab:iccmuspficietfolidu .  ii.fup.ficicbuspentagoniscquilateris  ct 
cquiangnlis  conrcntu  .cub9  eni  babet.  12.  latera.  Keltquti  aut  e  ocmonftrarc  fclidu 
boc  cflc  a  oata  fpera  circufcriptibilc:,ptrabanf  igif  a  linca.f.k.oue  fupficics  fecau 
tcs cubu  qua? vna  fecct ipfii  fupcr linea.b.k.c  alia  fug  linea.c.f.entq,  ex.40.vn/ 
daimi  vt  cois  fcctio  bay  oua^  fnpficie?  fecet  oiamety  cubi  1  fccetur  viceucrfa  ab 
jpfa  oiametro  pcr  equalia.fit  crgo  cois  fectio  cay  vfq^  ad  oiametrii  cubi  linca.k.o 
ita  cp.o.fit  ccnttu  cubi  z  oucanf  linec.o.a.o.n.o.p.o.d.o.r.  conftat  aut  cp  vtraq^ 
ouaylineay.o.a.c.o.d.eftfcmidiametcrcubi.idcoq^cquales.d.c.linca.aute.o.k 
coftat  cx.4o.vndccimi  <$ ipfa  e equalis.e.k.vidcltcer  mcdietati latcris  cubi.  £t  q: 
k.f.eft  equalis.k.m.crit.o.f.oiuifa  in  puncto.k.fm  p:opo:tionc  babcnte  mcdifi 
otioq,  cjctrcnta  z  maio:  po:tio  cferit  linca.o.k.q  e  cqltf.c.k.itaq;  p  .  j.bqcriit  buc 
lincc.o.f.t.f.k.ioq^.o.f.c.f.p.cocp  .f.p.  adquosbccocmfatioii  evrcdif.ecqlis 
k.f.triplii  i  potctia  ad  linca.o.k  .z  16  ad  medietatclatcri3  cnbi  qrcp  pcnul.pmi. 
linea.o.p.e  potetia  tripla  ad  medictate  latcriscubi.£r  co::cl'.aiic.  i4.b"  coftat  cp 
fcmidiamctcr  fpere  tripla  eft  in  potentia  ad  mcdietate  latcris  cubi  qucm  ctrcufcri 
bit  cadcm  fpcra.itaq5.o.p.eft  quanta  femidiameter  fpcrc  circumfcribcntis  cubu^ 
p:opofitum.£adcm rationc cnuctc  linee oucte a puucto.o.  ad angulos  fingulos 
pentagonorum  omnium  fupcrlatcra  cubi  oefcripromm  adfingulos  angulos 
inq5  qui  p:op:ij  funt  pcntagonis  116  aut  cocs  cis  z  fupficiebus  cubi  fc^  p:op:ij  q/ 
lesfuntinpcntagonoftatutotrcsanguli.np.r.oeillis  aut  lineis  qucveniuura 
puncto.o.ad  angulos  fingulos  pcntagonoy  qni  funt  cocs  pentagonis  z  fupficic/ 
bus  cubi  qualcs  funt  in  pentagouo  piiti  ouo  anguli.a.s.d.coftat  cp  ipfc  fut  cqua/ 
lcs  femidiamciro  fpere  circufcribeutis  cubutipfc  eni  fuut  oiametri  cubi  ex.40.vn/ 
dccimi.at  vcro  femidiameter  cubi  c  tanq^  fcmidiamctcr  fpcrc  ipfu  circufcribcntis 
qucadmodii  e%  tocinationc.  i4.apparcr  igif  oes  lincc  ouctc  a  puncto.o.ad  fmgu/ 
los  angulos  ouodcccdri  funt  equales  adinuicc  z  fcmidiamctro  fpcrc  fcmicirculus 
itaq3  fupcr  rota  oiamctrfi  fpcrc  vel  cnbi  lincatus.fi  circiiducaf  trafibit  pcr  omncs 


HHH 


XIII 

ggulos  cl9quare  p.  oirrmitione  ipfii  cft  ab  afTignata  fpera  circufcripribilc.oico  irc? 
q>  latus  buius  figurc  c  linca  irroualis  ifta  videlicet  que  rcfiduu  oicitur  fi  oiamctcr 
fperc  ipfu  circufcribentis  fuerit  ronatis  in  longitudine  vcl  to  potcntia.  cu  cni  oia/ 
metcr  fpere  fit  ejc.  1 4-buius  tripla  in  potcntia  ad  latus  cubi  erit  latus  cubi  rariona 
le  in  potentia  fi  oiametcr  fpere  fuerit  ronalis  in  longitndine  vcl  in  potentia.  £or» 
ftat  autem  c%. i  i.q>  linca.  r.p.oiuidit  lineam.a  .d.que cft  latus cubi  f?m  p:opoj/ 
ttone  babente  mcdiu  ouoq>  extrema  %  ep  pouio  ei9  maio2  cqualis  cft  latcri  pcnta/ 
goni  *  qj  maioj  poJtio  ci9  e  refiduii  cc  fcjcra  buius  manifcftu  cft  latus  figure  ouo 
cedron  effe  rcfidun  q6  oemoftrare  voluimus. §ab:icata  ftit  igitur p.  i  j .z  quatuoj 
eam  feqnentes  quinq,  co:po:a  equilatcra  atq,  cquiangula  quo?  vnuq6q5  «  circu/ 
fcriptibilc  ab  affignata  fpera.Sunt  aiit  bcc  folida  :p:imu  qutdc  qtuo:  bafiu  tria/ 
gularinm:?  oicitur  tctracedron.Secudu  cft  k%  bafiii  quadrata?  z  oicitur  cnbus  (i 
ue qcacedron.Iertiu  octo bafiii triangulariu:? oicir  octocedron.Ouartu  autem e 
folidu  ycocedron  z  eft  viginti  bafium  triangularifi..Quinrii  vcro  e%.  1 2.bafib9  peij 
tagonisc6fiftit:oiciturq5  ouodcccdron.bec  autequinqj  folida  regularia  oicuntur 
qmipfaeqagula  fut  atqj  cqlatcra  z  a  fpcra  atqjabinuicecircufcriptibilia.plura 
vero  bis  quiq^  cqlatera  qfirttc  eqagula  elTc  c  impofTibile.  2Id  coftitutione"  cuMi 
bct  anguli  folidi  neccffe  cft  ad  minus  tres  fujrficiales  angnlos  cocurrcre.  £jc  ouo/ 
bus  eni  foli3  fuperficialibus  ncquit  folidus  augulus  coplcri:q:  ergo  trcs  anguli  ca 
iuflibct  cyagoni  equilateri  z  cquianguli  funt  equales  qtuo:  angulis  rcctis.at  vcro 
eptagoni  z  cuiuflibct  pluriii  late?  figure  equilatere  atqj  cquiangulc  tres  anguli  fut 
maiojes  quatuo:  angulis  rcctis  queadmodii  ej:.  j  i.p:imi  euidenter  clicit:  omnis 
autc"  angulus  folidus  quatuo:  reccis  angulis  mino:  e"  tcftc.z  i .vndecimi  impoffibi 
Icefttrcs  angulos  exagoniatq^eptagonuffimpliciter  omnisplurilatcrefigure 
cquilatcre  tame  arqj  equiangulc  folidu  angulum  conftitucre.io  nulla  folida  figura 
equilatera  atqj  equiangula  pot  ex  fugf.cicbus  exagonalibus  aut  pluriu  latqz  con/ 
ftitui.Si  eui  tres  anguli  ejcagoni  equilateri  atq^  cquiauguli  quemq^  folidu  angu/ 
.  lum  ejccedtit  quatu02  %  plurcs  multo  fo:tius  cunde  cj:ccdtit:trc3  aiit  angulos  per» 
tagoni  equilatert  atqj  equianguli  minojes  effc  quatuo:  rectis  angulis.manifcftfi 
e  i  quatuo:  ec  maio:es:quare  ejc  tribus  angulis  pentagoni  cquilateri  atq;  equian 
guli  polTibilc  eft  folidu  anguln  conftitui.ej:  quatuo:  aute  aut  cc  pluribus  impoffi  / 
bile.idcoqj  vnfi  ountajat  folidum  ex  pcntagonis  equilateris  atq^  cquiangulisc5 
ftitutii  eft  illud  Videlicet  q6  ouodccedron  oictt  tn  quo  anguli  pentagonoj;  tcrni  et 
terni  folidos  angulos  pficiunt.£adem  quoqj  cft  ro  in  quadrtlatcris  figuris  cqui/ 
latcris  «  equiangulis  quc  in  pentagonis:ois  enim  quadrilatera  ftgura  fi  equilatc/ 
ra  equiangulaqj  fuerit  ipfa  crit  qdrata  a  oifTmitione.Tla  omncs  ci9  anguli  erunt 
recti  per.  52.p:imi.£jc  tribus  igit  angulis  talis  fuperficialis  figurc  poffibile  cft  foli 
dum  angulum  coftituitej:  quatuoj  aiit  aut  ej:  plurib9  impofftbile  eftr^ptcr  qo'  ejc 
talib0  figufis  fuperficialib9que  ctl  drilatcrc  ipfc  fut  eqlatere  atq5  cquiangule  vnicS 
folidii  q6  cubfi  oicimus:fabjicatfi  e  triangulo?  aiit  equilatcro2;  fej:  anguli  fut  eq/ 
Icsquatuoj  rcctiscx-  32-p:imi:paucio:e3ergo  mino:es«plurcsmaio:cs:igttej: 
fc)c  augulis  taliu  trigono:;  aut  c-t  pluribus  impoffibile  e  angulum  fdidum  fieriiei: 
quinq5  ct  ej;  quatuoj  i  c%  tribus  polTibile.£um  itaq^  tres  anguli  trigoni  cquilate/ 
f i  efficinnt  angulum  folidu^iperficitnr  cj;  f riangulis  eqlatcris  cojpus  quatuo:  ba/ 
fium  triangularium  atq^  equtlatcrum.£um  vcro  quatuoj  confurgunt  co:pus  octo 

q2 


LTBER 

baftum  enod  octoccdrou  trijcimus.at  vero  fi  quincg  rriangulorum  cquilatcroHtm 
tmguli  foUdum  angulum  cotincant  ftct  co:pus  rcoccdron  viginti  bafi  m  triangu/ 
tariu  * cquilatcra:j2..Quare  crgo  tot  i  talia  fuut  fohda  rcgularia  %  quare  pkira  bis 
rtonfwtniaumeft.  TJbJOpofttio     .iS. 

fl&tcra  qiunqi  coipoium  pjemiflcmim  ab  eade.5»  fpera  cir 
'  cumlcriptibiuumcuiusfperefolabiametros  nobis^po 
ftta  fiierit  per  ipiam  piopofttam  oiametrum  inuenire. 
GSit.a.b.oiameter  alicuius  fpcrc  nobis  propolita.ct  qua  iubcmur 
_  larera  qiiinq,  prcmiffoy  co:poi/  diccrcDiuldam9  igif  banc(o:ame/ 
rrum  in.c.ita  qj.a.c.ftt  oupla  ad.cb.spcr  equalia  inA.z  lineemuB  fug  eam  femi 
circulum.a.f.b.ad  cuius  circufcrentia  protrabanf  ouc  liuee  pcrpeudicularcs  ad  U 
nea.a.b.qucfint.c.c.«.d.f.iiungam9.e.cu.a.ccn.b.'i.f.cu.b.2)l3anifcftucrgoc 
t%  ocmonftrationc.  1 5 .cp.a.c.c  latus  figute  quatuo:  baf iuin  triangulanii  z  cquila 
rera? c cjc ocmoftrationc.  14.  qj.c.b.  c lat9 abv.z  er.  oemoftrationc. \s .cp.f.b.cft 
latus  figure  octo  bafium  triangulariu  z  cqutlateraz2:prodcat  itaq,  a  puncto.a  .lt/ 
nea.a.g.perpcndicularisad.a.b.sequauscidc.a.b.'?:  iungat.g.  cum.  d.fuq,  .b. 
punrtus in  quo  .g.d.fccat  circufcrcntu fcmicirculi  <i  oucaf .  b.k.  pcrpcndicularis 
ad.a.b.i quta.g.a.eft  oupla ad.a  d.crit  ct quarta fexti.b.k.oupla ad.k.d.  t>unt 
ehimouotriaguli.g.a.d.i.b.k.d.cqanguUecjzpMnicocpangul^a.maioKse 
equalis  angulo.k.miuo:is:naq5  vterq,  rectus  1  anjutus.d.c  coi3  vtriq>:igitur  cx 
quarta  fcoi.b.k.eft  potcntia  quadrupla  ad.k.d.ergo  ct  pcnut'.p:imi.b.d.  eft  po/ 
tentia  qmncupla  ad.k.d.cuqj.d.b.fit  equalls.b.d.eft  cni.d.centru  fcmicircult  crit 
quoq-vd.b.potenti9  quincupla  ad.k.d.St  vcro  cu  tota.a.b.ftt  oupla  ad  tota.b.d 
qncadmodu.a.c.octracta  cx  p:ima.a.b.eoupla  ad.cb.oetracta  ex  fccunda.b.d. 
erirq^  c%.  19.  quinti.b.c.  rcfidua  p:imc:onpla  ad.cd.reudua  fecundciidcoqs  tota 
b.d.cft  tripla  ad.d.c.igitur  qdratu.b.d.cft  nonecupln  ad  quadratii.d.cz  q:  ipfii 
erat  quincuplu  tm  ad  quadraium.k.d.erit  et  fcca  gtc  oecime  quuui.quadratu.d. 
c.minus  qdrato.k.d.ideoq5.d.c.mino:.k.d.fit  fj.d.m.cqualis.k.d.t  .pdcat.m.i» 
vfq^adcircufcrcntiaquefitperpcndicularisad.a.b.ttungaf.n.cu.b.iuigsf.d.k 
1  d.m.  fut  eqles  erfit  er.  oiffinitione  ci9  q6  c  aliqs  lineas  a  centro  cqdift  are  out  lin 
ee.b.k.«.m.n.  eqluerotftantesaccntro.tdcoqjcqlcs  adinuicecj:  fcoaparrc.ij. 
tcrtij  1  ct  fcoa  pK  tcrtic  eiufdem.itaq^.m.n.c  cqualts.m.k.nam.b.k.erat  cqualis 
ci.atqj.a.b.oupla  cft  ad.b.d.i.k.m.oupla  eft  ad.d.k.c  quadratum.b.d.  quin/ 
cuplu  adquadratu .d.K.erit cjc.  1  y.quinti quadratu.a.b.fitr qaincDplii adqdratS 
k.m.ecniquadratuoupUadquadratu  oupltficut  quadratu  fimpliadqdratum 
fimpti.£  v  ocmoftratione  cni .  1  (s.manifeftu  e  q>  oiametcr  fperc  c  potctialitcr  quicu 
pla  ta  ad  lat9  etagoni  circuli  ftgure.2o.bafiu  8.k.m.e  eqlis  latcn  etagom  circuli  fi 
gurc.20.  bafiu  na  oiametcr  fpcrc  q  c.a.b.c  poretialitcr  quicupla  ta  ad  lat 9  ctagoni 
circuli illt9 figurc  q^.ad.k.m.Kurf9 q,  et ocmoftrationeciufde manifcftu  e  cp  ota 
meter  fpcre  coftat  ct  latere  eragoni  1  ouplict  latcn  occagoni  circuli  ftgure.20.  ba 
fin  cu  crgo.k.m.fit  tanqjla^cyagoni.at  vcro.a.k.fit  cqlis.m.b.na  ipfa  fut  rcfi/ 
dua  eqhii  rxptis  eqlib9  erit.m.b.taq)  lat9  oecagoni-.q:  igif  .m.n.e  taqs  bt°  cjcago 
ni.natpfaeft  cquali&k.m.critcipcnuf.pnmit.io.bu^.n.b.tancijlat^petago 
m  fignrc  circiiIi.2o.bafut  z  q:  er  ocincftrattone.  i«s.apparct  cp  lat9  pentagoni  circu 
(i fisurc zo.bafiu  e lat9 ciufde  figurc.2o.bafiu.conftat linca.n.b.cc  lat9 ifti9 fi£urc 


H 


XIIII 

£>iuidaf  (taq5.cb.quc  c  lat9  cubi  ab  affignata  fpera  circiifcriptibilis  fcn  ,ppo:tio 
ne  babcnte  mediu  onoq,  cxtrema  i  puncto.p.fitq^  inato:pojtio  eius.p.b.conftat 
igif  ejc  ocmoftrarionc  pmilTc  cp.p.b.  e  lat9  figure.i2.bafium  .^nucnta  crgo  fut  la 
tera-f  -  p2eniiflb£  co:pox2  cr  oiamctro  fpcrc  nobis  «ppofita.e  eni  latus.  a.c  .pira/ 
midis.4.  bafiii.cb.latus  cubi.f.b.latus  octocedri.  at  vcro.  n.b.  latus  fcoccdri:It/ 
nca aiit.p.b.latus  ouodecedri.Que  autc bozj latezj fiut maio:a  alijs fic  babctur. 
conftat  aii  cp.a.cc  maio:.f.b.na  arcus.a.e.eft  maio:  arcu.  f.b.itcqj.  f.b.e  maio: 
e.b.^.c.b.maio:q5.n.b.atvero.n.b.oicoetiaefTemaio:eq5.p.b.cumcnifit.3.c. 
oupla  ad.cb.crit  ejc  quarta  fcbi  quadratu.a.cquadruplu  ad  quadratu.cb.  pftat 
aute  ejc  rcda  £te  co::elarij.  s.fcjcti  1  cc  co::elario.  i7.eiufde  cp  quadratu.a.b.tripluj 
eadquadratum.b.c.fcdg.2i.fertiquadratu.a.b.adquadratu.b.e.eficutquadr8 
tum.b.c.ad  quadratu.cb.ejc  eo  <$  ,ppo:cio.a.b.ad.b.ce  ficut.b.e.ad.  b.c.  ejc  fe/ 
cunda  p_tcco::clarij.8.fej:ti.itaq5  p_,  1  i.quinti  quadratu.b.e.triplu  eft  ad  quadra/ 
tum.cb.c  q:  quadratu.a.cquadrupui  elt  ad  ide  quadratu  vt  oftenfum  e:  crit  cjc 
p:ima  ptc  lo.quinti  quadratum.a.c.minus  quadrato.b.cideoq^  linca.a.cmaioi 
c  liuea.b.e.i6q5.3.m.muIto  maio:.b.cmaiufeftu  Vcro  ex.9.buius  cjj  fi  linea.a.m 
oiulfa  fuerit  fon  ,ppo:tione  babentc  tnediu  oiioq^  cjtrema  crit  maio:  po:tio  ciu3 
linea.k.m.que e  cqualis.m.n.St  vcro cu.b.coiuidif  fon eande  p:opo:tioncm  vi 
dclicet  babentc  mcdium  onoq^  extrema  maio:  eius  pouio  e  linea.  p.b.  cum  itaqj 
tota.a.m.fit  maio:  tota.b.cerit.m.n.que  eft  equalif  maio:i  pomoni.a.m.maioi 
q5  .p.b.q  cft  maio:  po:tio  b.cboc  aute  manifeftii  cft  cx  fcda.  n.libn  quc  fine  aujci 
lio  alicuius  eay  q  fequutur  firma  oemoftratiouc  folidaf  :ergo  p .  1 9-pmi  a  fo:tio:i 
n.b.maio: e q^.p.b.  .Quare p^ latcra  boz>  .j.co^poypmilToz? fcrc co o:dine  quo 
co:po:a  fcmuicc  fcquunf  fe  inuice  occedercin  cubo  cni  outaxat  1  octoccdro  babet 
bic  inftaniias.na  lat;  s  octocedri  cyccdit  laius  cubi  qjuis  cubus  antccedat  octoce 
dru.£ubu  aut  p:cmittunt  idcirco  octoccdro  :quu  cade  oiuifionc  oiametri affig/ 
natc  fperc  latuspiramidis  .4.  bafes  triangulas  babentis  %  latus  cubi  inuenif .eft 
igif  .a.clatus  piramidis  maius  lateribus  ccreroz?  co:pozr.poft  ipfu  aut  c'.f.b  .lat9 
octocedri  matus  fequcntiu  cojpoz:  latcribus  Icrtio  o:dine  fcquif  i  magiiitudice. 
b.latus  cubi.Quarto  vcro  loco  cft.n.b.latus  fcocedron.2)|3iiumii  autein  eft  om/ 
nium.p.b.latus  ouodcccdron  vcl  ouodcccdn.  G£jcplicit  libcr  lcrciufdecimus 
3ncipitliberD«imufquartu8.      Ijbjopofuio    .1. 

.QCmis  perpeudicnlaris  3  centro  circuh  ou 
cta  ad  latus  pentagoni  intra  circulu  ipfu  oe 
fcriptt  oimidio  lateris  oecagoni  atq.ii  oimi/ 
dio  lateris  ejragoni  intra  ctrculu  euride  oe/ 
fcrtpto?  ambobus  Oimidijs  in  longu  otre/ 
ctuqj  coiunctts  equalis  ee  <pbaf .  patet  igif 
q>  ppendicutarts  oucta  a  cetro  circuli  ad  la/ 
'  tuspentagoni  eequalisppcdtculanoucte 
a  ceittro  ad  latus  tnanguli  oimidioq5;  late/ 
ris  Oecagoni  intra  eudc  arculu  oelcnpti  c  i 
reciecdiunctiS.GSitlinca.a.b.latuspcntagori 


cquilateri  infcrpti  circnlo  cui,centz?.c.«  oucaf  a  ccntro.crjpcndicularis  ad  lincaj 
a.b.  que  p.  fcdam  p.tem  tertie  tcrtij  oiuidct  ipfa p.  equalia  %  arcu  cius  ctia  p  equaha 

«1     i 


LIBER 


ejcquarra  p:imi  f.jr.tertij  fitq^  bccppctidicularislinca.c.d.fccans.a.b.  in  pucto 
c.i  arcii  a9  in  pmtcto.d.eft  igif  vt  oirim9litiea.a.c  .cqlis  lince.e.b.c  arc".a.d.ar 
cui.d.b.ptrabafq^ liuca.d.b.oc qua coftat q>  ipfa eft lat9 oecagoni  cquilatcri $/ 
pofito  circolo  infcripti  cii  ipfa  fubtcdaf  mcdtetati  quinti  totius  circufcrcntic:  oieo 
itaq^  q>  linca.c.c.c  cqualis  mcdictati  lincc.c.d.l  mcdictati  linee.  d.b.  in  longum 
oirecrumqs  coiunctis  £6plcatur  quidcm  oiamctcr.d.c.fitqj.d.c.g.i  fit.e.f.cqua  / 
Iis.e.d.c^trabaf.b.f.critq5ex.4.pjimi.b-f.ccilis.b.d.i6q5pcr.j.pjimi  angul* 
b.d.f.crit  equalis  angulo.b.f.d.coftar  aiit  ct  vltima  fcrti  cp  angulus.g.c.b.  qua  f 
drnpluse  ad  angulu.b.c.d.co  q>  orcus.g.b.quadrupl9  c  ad  arcu.b.d.at  vcro  an/ 
Suliis.g.c.b.p.5a.pjimioupI9cadanguIu.b.d.c.naipfecewrinfccu8  otiob9qui 
iuht.b.d.c.i.d.b.c.at  ipfi  funt  ccjlcs  cr.  j.  p:imi:igitur  angulus.b.d.c.onplus  eft 
adagulu  .b.c.d:qre  igulttsquoq^.b.f.d.oupluscadagulu  .b.c  f.fcdangul9.b.f 
d.e  equalis  ouob9  intrinfccis  q  funt.b.c.f.t.c.b.f.g.32.pmi.itaq5  ouo  aguli.b.c.f 
*.c.b.f.futcqlcs:i5q5p  .tf.pjimi  .c  f.ceqlis.b.f.  ioq^ctia.c.f.ccqlis.b.d.na.b.d 
-7  b.f.  fut  eqlcs  admtiicerqrc  oimidiu.c.d.cu  oimidio.b.d.cft  quantu  oimidiu.c.d 
cii  oimidio.c.f.at  vcro  oimidiu.c.d.cu  oimidio.cf.equatum  oimidiu.c.  f.bis  cfi 
oimidio.f.diOimidtu  aut.  .c.f.bis  c  quatum.c.f.t  oimidiu^.f.d.c  qntu.e.f.itaqj.c 
cxtt  qnantfi  oimidiu  .c.d.cu  oinudlo.c.b.s.d.b.qo  e  ,ppofitu.£ojjef.aut  fic  con 
ftat  manifcftu  e  cni  cx.s.  tredecimi  libii  cp  ppcdicularis  oucta  a  cctro  circuti  ad  la/ 
tus  triangnli  fibi  infcripti  e  equalis  oimidio  lince  oucte  a  centro  ad  citcufcrcmiam 
boc  quidc  ibi  Oemoftratum  e  i  quafi  cojjcf.coclufu.ctim  igif  c%  bac  pjima  ifti9. 14 
libji  pateat  qp  ppcndicularis  oucta  a  ccntro  circuli  ad  latus  pcntagoni  fit  cqualis 
oimidio  linee  oucte  a  centro  ad  circufcrcntta  %  oimidio  latcris  oecagoni:  feqnitur 
q>  pcrpcndicularis  oucta  a  centro  circuli  ad  latus  pcntagoni  fit  equalis  ppcndicu 
lart  ouctc  a  cemro  ad  totus  triangulitoimtdioq^  latcris  occagoni  intra  cuude'  cir/ 
culum  ocfcripri:?  boc  cft  qo  ejc  cotjef.ppomf  .Tlunc  ergo  crplicandu  cft  quod  ait. 
3rifte9.in  libro  ititiilato  £rpofito  fcfc  s  .cotpor  nec  no  1  appoloni9  in  00110  fccfi 
do:in  ppoitioiialitatcfigure.  a.bafiu  adfigur5.2o.bafiu  oicesicp^poitio  ftirjfi 
cier  figurc  babcntis.  i2.bafesadfupcrficics  figurc  babcntis.20.  bafo.e  taq'5  py 
po:tioco:po:is.i2.bafiuinadcoipus.2o.bafiu:lincaient  ouctaa  ceiicro  circuli 
pentagoni  figurc .  u.bafium  ouodeccdri  ad  circufcrcntis  cius  c  quaft  linca  .pdies 
a  ccutro  circuli  trianguli  figure.2o.bafium  ycoccdri  ad  circuferentici  eius.bcc  funt 
ipft9magni  appollomj  vcrba  3utelligcda  aut  fiit  oc  figura.  12.-:  figura.2o.bafiuj 
ab  vna  cadeqj  fpera  circufcriptibilium.£ft  cni  ppo:tio  co:ois  ouodcccdri  ad  coj 
pus  ycocedron  cum  ambo  vna  eadcq^  fpera  circiifcribit  ficut  ,ppo:tio  omnium  fu 
jjficier  ouodecedri  giter  acccptar  ad  oes  fupficies  ycoccdri  pariter  acccptas  que/ 
sdroodu  SppoUoni9  pmiffor  vcrbor  pttia  ptc  c6mcmo:at:q6  1  oecima  buius.  14 
ltb:i  folida  oemoftrationc  ftabilitur.?  e  circuius  circufcribcns  pcntagonu  ouodcce 
dricqualis  circulocircumfcribcntitrigonumfcocedri  cum  ouodcccdron  1  ycoce/ 
dron  eadem  fpera  circumfcribit  queadmodum  ipfc  appollonius  fccunda  pte  p:e/ 
mifforum  verborum  c6memo:at:quodetiam  in  quinta  buius  l,b:i  ocmonftratio 
nc  firmatunpjcmittcnda  funr igitur antecedeuria  ad  tantorum  virorum  elcquia 
ntconculTa  vcritate  cojrobojanda. 


Ifcjopofirio  .2. 


XIIII 


^icquid  accidit  vni  linee  biaife  fecudu  ^pojttone  babe 
tem  medium  i  ouo  e;ctrema  omni  linee  IU'tter  oiuife  p:o/ 
baturaccidcre?c. 

C9it  vrraq^  oua?;  linea£.a.b.c.d.e.oiuifa  ftn  .ppojtione  babcntc 
mediu  Ouoq^  ejttrema.becquidem  i.c.illa  vcroin.f.fintq5maio:cs 
po:tiones:buius  quide.3.c.illi9aut.d.f.oico  itaqj  cp  ambay  ad  fui  maio:cs  po:/ 
tioncs  cft  vna  ^pouio.itcmq;  amba?  ad  fui  mino:cs  po:tioncs  eft  ,ppo:tio  vna 
ad  quoqj  maio^  poitioi  w  ad  minoies  vna .  z  econtrario  i  pcrmutatim  %  coiuncri 
1  oifiunctim  1  eucrfim.llibil  cni  aliud  cft  quicquid  vni  eas  accidit.  ide  quoq?  alij 
acctdere.coftat  eni  vf.  oifTinitione  linee  f>m  ,ppo:r,one  babcntc  mcdiii  ouoqj  cxtrc 
ma  oiuifc  zc%  pnmapte.  is.fexti:cj>illud  quod  fit  cx.a.  b.in.  b.c.  eft  cqualc  qua/ 
drato.a.c.eodeq^  modo  quod  fit  cjc.d.c.in.c.f.eft  cqualequadrato.d.f.ideoq^  $/ 
poitio  ems  qtSfit  cx.a.b.in.b.c.ad  quadratu.a.c.e  ficut  eius  qo  fit  cx.d.e.  in.e.f. 
ad  quadratii.d.f.vtraq^  eni  e  .ppoitio  equalitatis:igit  quadruplii  ci9  q6  fit  cx.a. 
b.in.b.c.ad  quadratu.a.c.ficut  quadruplu  eius  quod  fit  cx.d.e.in.e.f.ad  quadra 
tum.d.f.qo'  ex.  i  j.quinti:? pcrmutata  z equa  ppoitionalitate  manifemi  cft quarc 

coniunctimquadrupluciusquodfitcx.a.b.in.b.c.cumquadrato.a.c.adqaadra 
tum,  a.c.  ficut  quadruplti  cius  qt>  fit  ex.d.c.in.e.f.cu  quadraio.d.f.ad  quadratu. 
d.f.admugaf  autem r>m rccritudinc ad linea.a.b. vna  !inea quc fit  equalis.  b.c.q 
oicatur.b.g.«3d.d.e.3diungaturequ3lis.c.f.queoicat.c.b.23nanifeftueftigitur 
cx  octaua  fccundi  libii  cp  quadruplum  cius  quod  fit  er.a.b.in.b.g.cum  quadrato 
a.c.eft  cqusle  quadrato  linec.a.g.st  vero  fimiliter  quadruplum  eiusquod  ftt  cx.d 
e.in.c.b.  cum  quadrato.d.f.eft  cqtialc  quadrato.d.b.at  vcro  ex  comuni  fcieutia 
quadrupluciusquod  fitex.a.b.in.b.c.equumcft  quadruplo  eiusquodfit.ex.a.b 
in.b.g.eo  g>.b.c.?.b.g.funt  cquales.fimititcr  quoq^  quadruplii  cius  quod  fit  cx.d 
e.in.e.f.equum  eft  quadruplo  eius  q6  fit  cy.d  e.i.e.b.co  cp.e.f.f.e.b.fuc  etia  cq/ 
lesagirur  cx  p:ima  partc  fcptime  quinti  z  c%  vndccima  quiuti  ciufde  quadratum 
a.g.adquadratum.a.c.ficutqu3dr3tum.d.b.adquadr3tum.d.f.Ouarec)cfcda 
pte.2i.fcxti p:opo«io  lince .a.g.adlinea.a.c.e ficut lincc.d.  b ad linea.d.f.t  con 

iunctim.a.g.c.3.c.ad.a.c.ficut."d.b.«.d.f.ad.d.f.atvcro.a.g.cum.a.c.fuiittan/ 
q50upIum.a.b.T,d.b.cum.d.f.tanqu3moupluni.d.e.quarcoupl3.a.b.  ad.a.c. 
ficutoup!um.d.c.3d.d.f.cpcrmutatimoup!um.3.b.adDuplu5.d.c.ficut.a.c.ad 
d.f„fed  ouplum  .a.b.ad  ouplum  .d.c.ficur.a.b.ad  .d.c  .ejc.  1 ?.  quinti:  igitur.a.b. 
ad.d.e.ficut.a.c.ad.d.f.itaci5  pcrmutatiin  %  cuerfim  %  conuerfim  1  oifiunctim  ct 
coniunctim:qb  opoitcbat  oftcndere. 

Ifccopofitio  .5. 
3fuifolateree;cagonifmp:opo:tione  babcntc  mcdium 
ouoqi  ejctrema  maio:  eius  po:tio  erit  latue  occagoni  ctr 
cumfcripti  a  circulo  ipfum  ejcagonum  circumfcribente. 
GSit  linea  .a.b.latus  qcagoni  alicui9  circuli  1  oiuifa  fecudu  ,ppo:ti 
onem  babcntcm  mcdiu  ouoq^  cxtrema  i  puncto.c.fitq^  maio:  po:/ 
tio  eius.b.c.  oico  g>  cumfcunq^  circuli.a.b.cft  latus  exsgoni  eiufdcm.b.c.  crit  la/ 
tus  occagoni.adiungstur  cuim  3d  lineam  .B.b.linea.b.d.  que  fit  latus  occagoni 
illius  circuli  cuius  .a.b.cft  latusexagoni:critq5cxnona.  ij.ltuea.a.d.oiuifa  fccun 
dump:opo:tionem  babentcm  mcdimnouoq^cxtrcmg.  z  inaio:  pojtio  ciuserit 

q   4 


o 


LIBER 

Imea.a.b.cum  tgitnr  vtraqj  ouarumlineanQ.a.b.c.a.d.fit  oiuifa  ftn  ,ppo:tione 
babaitcm  mcdium  ouoqj  cjctrcma:igit  erit  per  p:emiff3  amba^  ipfa?  ad  fui  ma/ 
io:es  po:tioncs  vua  .ppoitio.itaqj.d.a.ad.s.b.quc  eft  cius  inaio:  pouto  ficut.a. 
b.ad.b.c.  que  eft  etia  cius  maio:  pojtio  fcd.d.a.ad.a.b.ficut.a.b.ad.b.d.cx  oifii 
nitione  lince  oiuifc  ftn  p:opo:tioncm  babcntem  medium  onoqj  ejctrcma  «  maio: 
pot:io  cius  agitur  ejc  vndecima  quintt.a .  b.ad.b.d.  ficut.a  .b.ad.  b.c  .quarc  pcr 
(ecund3ptcm.9.quinti.b.d.?.b.c.funtequalcs.cumergo.b.d.fitlatus  oecagoni 
erit  quoq-,  ejc  coi  fcia.b.clatus  oecagoui.ZSclaliter  ad  linca.a  .b.  adiungat.b.d. 
equalis.b.ccritq}  qc.4.tredccimi  tota.a.d.oiuifa  ftn  ,ppo:tione  babcnte  mcdiuj 
00005  ertrema  c  maio:  po:tio  ei9  linea.a.b.itaq}  per  couerfa.o.trcdccimi  qua  co/ 
tinae  poit  ipfa  oemoftrauimus  cuius  circuli  Itnea.a.b.eft  tatus  qcagoni  eiufde^ li 
nea.b.d.ideoqj  linca.b.c.fibi  equalis  e  latus  oecagoni.  poffumus  ire?  idcj  alia 
viafi  libet  oemonftrate.5it  eni.e.f.equalis.a.b.quc  etia  oiuidat"  i.g.ftn  ^ponio 
ne  babe  tc  mediu  ouoq5  ejctrema  %  fit  maio:  ponio  ei9  linea.f  .g.pftat  igif  q.  pmif 
faqj  queadmoo^a.b.eeqlis.c.f.fic.a.c.eeqlis.c.g.^.c.b.eqlis.g.f.cuqjfucrit.b 
d.adiucta  ad.a.b.lat9  occagoni  ilii9  circuli  cut9.a  .b.e  lat9  ejcagoni  crit  ficur  p:ius 
oictn  c  ejc.9.trcdccimi  tota.a.d.oiuifa  bm  ,ppo:tionc  babentc  mcdiii  ouocg  cjctre 
ma«maio:ci9po:tiocritlinea.a.b.it8q5EpmiiTa.8:b  ad.b.d.ficut.f.g.adg.e. 
qre  g  pma  parte.  i  j.fexti  qo  fit  cca.b.in.g.c.equu  cft  ct  quod  fit  cx.b.d.in.f.g.cu 
cj3.a.b.fitcquali8.c.f.tcritq6fu;ex.e.f.iii.g.e.equueeiq6fitcx.b.d.in.f.g.Scd 
qnod  fit  cjc.e.f.in.g.e.cquii  cft  quadrato.f.g.ex  oiffmitione  lince  oiuife  P  m  ,ppo:/ 
tione  babentem  medium  ouoqj  evtrenia  i  c;c  p:ima  pK.  i<s.fcxti:igit  q6  fit  cx.b.d. 
in.f.g.eft  equale  quadrato.f.g.ideoq^  ejc  p:ima  fejcti  linea.b.  d.e  cqualis.f.g.c  q: 
f.g.ecquatis.c.b.eritquoqj.c.b.cqualis.b.d.tlatusoecagoniqoopouebat  ofte 
dere. 

IJbzopofitio   .4. 


iEadratu  lateris  peiitagoni  intra  circulum  oefcripti  qua 
dratumquelirteequeilliuspentagoni  angnlo  fubtendit 
ambo  bcc  quadrata  pariter  accepta  quadrati  medietatts 
oiamctri  eiuldem  circuli  quincupium  elTe  pzottuncio. 
CSit  tn  circulo.a.b.c.cuius  centrii.d.infcriptus  vnus  pcntagonus 
equilatcriis  cttius  vnu  latus  fit.a.b.t  p:otrabaf  oiameter.c.d.e.  oiuidcns  lineam 
a.b.tciusgrcu  percqualia.  £ftigitur  arcus.a.e.mcdictasquintcptisctrcufercn 
tie  illius  circuli  quare  arcus.a.ce  ouc  quinte  totius  circiifercntie:  p:otrabanf  ita/ 
qj ouc  lincc.  a.e.c  .a.c.  eritq^.  a.e.latus  occagoni  equilatcri  co  q>  eius arcus cft 
mcdictas  quintc  ptis  circunifercutie.linca  vero.a.c.crit  quc  fubtcndif  vut  cjc  an  / 
gulis  pcntagoni  p:cdicti:co  <j>  arcus.a.c.cft  ouc  quiutc  partis  circumferenttc  cir/ 
culi:oicoitaq5  cpquadrata  ouarumlincarum.a.b.c.a.cpariter  acccpta  quincu/ 
ptum  liint  ad  quadratum  liucc.d.e.cft  cnim  cr  quarta  fccundi  quadratum  lince.c 
c.quadruplum  ad quadratum  lincc.d.e.£um  autcm  angulus.  c.a.c.  ftt  rectus  ct 
p:ima  partc^o.tcrtij.eruiitq^  cjc  pcnultima  p:inii  quadrata  01132;  lincarum.c.a.t 
a.e.quadriiplum  ad  quadiatum.d.c.igiturquadrata  trium  lincarum.ca.^.a.cz 
d.e.quiucuplnm  funt  adquadratuinlincc.d.c.c  quia  ejc  occima  rrcdcci;iiilib:i  q/ 
dratum.a.b.eft  equalc  quadratis  ouarum  liuearum.a  x.i.  d.c.  fcquitur  vt  qua/ 


I^HB 


xmi 

drata  ouartim  linearum.9.b.«.c.a.fint  quittcuplum  ad  quadratum.d.e.  quod  eft 
p:opofitnm. 

Giibamfeithimeltcrgocpquadrammlateriss  cabi  atq?  quadratutn 
tateris  figurc  ouodccim  baftum  cum  cubuni  i  figura  ©nodecim  baltu 
cadem  Ipera  circiiifcribit  ambo  quadrata  pariter  accepta  quirtaiplum 
furtt  quadrati  mcdietatis  oiametri  circuli  qui  ctrcumfcribit  perttago/ 
num  eiufdem  figure  ouodccim  bafmm. 

G3ftud  co::elariu  vcre  manifcftum  eft:conftat  cnim  ct  demonftratione.  i7.trcde 
cimi  lib:i  cp  latns  cubi  fubtcnditur  angulo  pentagont  Ouodcccdri  cum  cubu  z  0 .  o 
'  deccdron  vna  eademqj  fpera  circufcribitutaqj  p,  banc  quartam  fine  o  bice  conftat 
co::elarium.«. 


1fc»opofitio   .*. 

/£ntagorms  figure  ©uodecim  balium  triangulus  q^  figu/ 
re  vtginti  baftum  quos  eade  fpera  circumfcribit  Mo  eo/ 
dernq^  circulo  circumfcriburttur. 
G6it  fpera  cuius  oiametCT.a.b.circufcribcns  ouas  folidos  figuras 
vidclicct  ouodeccdron  euius  Vnus  erouodecim  pentagonis  fit.  cct 
fcoccdron  cuius  vnus  ejt.  lo.triangulis  fit.d.pentagono  aut.c?  trigono.d.fuper 
ono  centra.d.c.c.circumfcribanf  ouo  circuli  buic  qde  .f.c.er.i  4-qrti  illi  vcro.f.d. 
cir.f.ciufdcroicoitaqj  cpbiouocirculi  fpera:?; ^pofitay  quorumaltercircufcri/ 
bit  pcntagonu.c.alter  vero  trigonum.d.funt  equales.eignentur  enim  ouo  latcra 
peiuagoni.c.vnfi  e;c  fuis  angulis  cotinentia  litteris.  c.  f.c.f  .g.?  p:otrabanf  linea 
c.g.que  fubrcndat  angnlum.f.?  fcmidiamctcr  circuli  que  fit.c.f.  vnuqoq^  cc  lateri 
bus  trigoni.d.figncf  littcris.k.b.i  p:otrabatur  fcmidiametcr  fui  circuli  que  fit.d. 
fc.oebinc  fumaflinca.l.m.adquafitlinca.a.b.quccoiamcterfpercalTignatequi 
cupla  i  potcntia:q  quide.l.m.oiuidaf  i.n.ftn  p:opo:tioncbabentcm  mcdiii  ouo/ 
q5  cxtrcma  firqj  maio:  po:tio  eius  linca.l.n.i  fcomquatitatc  totius.l.m.  lincctur 
circuus.p.q.itaqjfcmidiamctcrcirculi.p.q.fitcqualislince.l.m.critq^excoHela 
rio.if.quanilinca.l.m.tanqjlatusexagonicqnilatcricirculo.p.q.iufcripri.  ioq5 
pcr  tertiam  buius  linca.l.n.erit  tanq^  latns  occagoni  cquilatcri  ctde  circulo  infcri 
pti:igiturc>:.ii.quartiinfcribafpentagonusequi!ateruscirculo.p.q.cuiusvnum 
latus  fit.p.q.critq^  ccio.rredecimilibri  qnadratu.p.q.equale  quadratis  ouarum 
lincarum.l.in.t.l.u.paritcr  acccptis.conftat  autem  er  oemonftratione.  i<s.tredc/ 
rimicp.b.fc.cfteqtialis.p.q.ergoquadratum.b.  k.eft  equalc  quadratisouarum 
lincay.l.m.t.l.n.pircracccptis.atveroecoemoftrattoc.ir.ttcdecimi.manifcftii 
e  cp.c.g.e  latus  cubi  ab  cade  fpera  circufcripribilis:qrc  p  co::ci'.i  4.trcdccimi.a.b. 
q  eoiamcterfpcrcpotcuttalitcretriplaad.e.g.q  elatuscubi.fi  aut.e.g.oiuidatur 
ftn  ,ppo:tioue  bfuem  mcditt  ouoq,  «rtrema  p,  cx  oemonftratioe.  1 7.trcdecimi  q> 
e.f.e  tanq'5  maio:  po:tio  cius:igitur  ejc  fccunda  bui9.e.g.ad.l.m.ficut.e.f.ad.  l.n. 
nam  vt  tota  ad  totam  fic  maio:  ponio  ad  maio:cm.itaq5  pcr.2 1  .fcxti  quadratum 
c.g.adqnadratum.I.m.ficutquadratum.c.f.adquadratu.l.n.qrep.ij.quintiq/ 
drata  ouarum  linearum.c.g.c.c.f.paritcr  acccpta  ad  quadrata  ouarum  linearum 
l.m.«.l,n.fjitcr  acccpta  ficut  quadratii.e.g.ad  quadratu.1.  m.  ergo  g.  t  y.quintitct 


LIBER 


£ mutata  ;ppojtionalitate5  i  rqtia  triptum  oiionim  quadratoium  ouarum  lincar 
c.g.^.e.f.fjiteracccpto^adcidrataouarnmlincarum.l.m.c.l.n.pariteraccepta 
ftcut  triplii  quadrati.  c.g.ad  quadratu  .l.m.triplu  aut.  e.g.quadrati  cft  taq~5  qua/ 
dratu.a.b.eccojjet\i  4.tredeami:atquadratfi.a.b.epcrppotbcfim  quincuplu ad 
quadratu.t.m.ergo  triplii  quadrati.c.g.quincuplum  quoq;  e  quadrati.l.m.quarc 
etia  triplum  quadratoy  ouaj;  tincap.e.g.i.e.f.gita  acccpto?  e  quincuplii  ad  qua 
drata  ouai2  lineaz;.l.ni.?.l.n.p.iter  accepta:?  qi  ,pbatu  c  q>  quadratfi.b.  k.e  equa 
le  quadratis  ouaiz  linca^.l.m.t.l.n.piter  acceptis.fequif  cccoi  fcia  vt  triplii  qua/ 
drato^.e.g.^.e.f.fit  quincuplfi  ad  quadratfi.b.k.coftat  aiit  cc.  s.trcdccimi  cp  qui 
cuplum  quadrati.  b.rt.eft quindecuplum  ad quadratu.d.  k.nam  fimplum eit  tri/ 
plum.ftc^quarta  bufcoltat  cp  triplii  quadratoy.e.g.f.e.  f.eft  quincuplii  qua/ 
drati.c.f.  uam  fimplu  cft  quincuplu.itaq^  quindecuplu  quadrati.c.f.c  cqlc  quindc 
cuploquadrati.d.k.ideoq5per.ij.quintiquadratii.c.f.cftequalc  quadrato.  d.k. 
quare  ctia  linca.c.f.e  equalis  linee.d.k.crgo  c%  oiffiuitione  circulos  cqualifi  circu/ 
!u6  circfifaibens  pcntagonum.c.eequalis  circulo  circumfcribenti  trigonu  .d.quod 
crat  ex  piincipio  ocmonftradum.  nam  femidiamctri  boium  circuloium  funt  cqua 
lesvidclicet.cf.c.d.k.  1|b:opofitio    .6. 

<2fadratu  quoqsqb  efttriangulu  al'  trigincuplu  tetrago/ 
ni  qui  fub  perpendiculari  ouctaacentrocireuli  circiifcri 
bentis  pentagonu  ftgure  Ouodecim  bafium  ad  latus  peu/ 
tagoni  atq^fublatere  ipft^pentagoni  cotinetur  omnib? 
fuperficieb^cojpous  onodecim  baiiu^pariter  acceptis 
effe  equale  ev.  necefiitate  conuincitur. 

G5it  pentagonus.a.vna  er.  u.bafibus  figure  ouodecedii  %  vnu  cr  eius  latcrib9 
fit.b.c.fibiq5  et.  i4.quarti  circufcribaf  circutus  fupia  centir.a.?  £>trabanf  lince.a. 
b.c.acc.a.d.  gpcndicularis  ad.b.c.oko  crgo  cp  trigincuptu  cius  qo  fit  er  a.d.in 
b.c.eft  equalc omnibus fugficiebu3  ouodcccdri  piter acccptis.conftat eni  penta/ 
gonfi.a.eeoiuifibile  in  quinq^  triangulos  cquales  triaugulo.a.b.c.cx  .S.pmi.ita/ 
0,5  omncs.  i2.pentagoni  ouodcccdri  cum  oes  fint  cquales  z  fifcs  pentagono.  a.  oi 
uifibiles  funt  m.eo.triangutos  quozjquifq^  p  .s.pitmt  e  cqualis  triangtilo.a.b.c. 
QX>  aute  fit  ex.a.d.in.b.c.cft  ouplum  g.4i.pmi:ad  triangulu.a.b.c.ergo  trigincu 
ptum  eius  q6  fit  et.a.d.in.b.cc  feragincuplum  ad  rriangulti.a.b.cna  vt  fimplfi 
ad  ftmplum  fic  ouplum  ad  oup!um.£um  itaq^  omnes  ouodecedri  fuperficics  pa/ 
ritcr  accepte  fint  etia  fetagincuplu  ad  triangulu.a.b.cfcquif  vt  trigincuplu  e&  q6 
fit  er.a.d.in.b.cfit  cqualc  omnibus  fuperficicbus  ouodcccdri  piter  acceptis:qtf  i 
pjopofitum.  1^>2opofttio    .7. 

^adratuquoq^qoefttriangulu  al'  tngincuplum  tetra/ 
goni  qui  fub  ppendiculari  oucta  a  centro  circuli  ad  lat?  fi 
bi  infcnpti  trianguli  figure  viginti  baliu  atq.5  fub  ipfo  la/ 
teretriangulicontineturequale  cft  omnibusfuperficie/ 
I  bus  figure  Viginti  bafiu  ptter  acceptis.G  £fto  cni  bic  trigo/ 
nus.e.vna cr.2o.bafibus  figure fcocedri i  vnfi  er cis  laterib9  fit  .f .g.  fibtqj  er.f . 
quarti  circumfcribaf  circulus  fupcr  centy.e.«  ^ptrabanf  lince.e.f.e.g.i.e.  b.ppcn- 
dicularis  ad.f.g.  oico  igif  q?  trigicuplfi  ef  qo"  fit  cjc.e.b.i.f.g.c  cqle  oib°fupficicb9 
f cocedri  gitcr  acceptis.pftat  eni  trigonu.cce  oiutfibile  i  trcs  trigonos  quo?  qnilj 


^MilHB 


XIIII 

per  octauapmi  eequalis  trigono.e.f.g  itaq;  oes.2o.trigoni  ycocedripjrcr  aceepri 
cum  cuncti  fint  equa!es  fimilcs  trigono.e.fut  tancfe  fejcagincuptum  trigoni.e  .f  .g. 
cq:per.  i^.pmi qo" fit ejc.c.b.in.f.g.eft  buplu  rrigoni.c.f.g.ioq; trigtncuplu  bui" 
cft  equalcfcj:33iucuploilli9:fcquifuttrigincuplu.e.b.in.c.f.fitequa!coibu3fi!f>/ 
ficiebus  ycoccdri  piter  acccptis  qri  erat  oemoftradu.G  ODanifefru  igitttr  e  q? 
po:oo:tio  fuperficieru  figurc  ouodecim  baftu  in  attqna  fpera  ptente 
ad  fupficice  figure  viginti  baftum  in  eade  Ibera  coclufe:e  tanq  5  ,ppoz 
tio  tetragoni  conteuti  fub  latere  pentagont  ipftus  figure  buodcd  ba/ 
ftu  i  fub  perpendicalari  oucta  a  cewro  fai  circuli  ad  iplii  latus  pcnta 
goni:ad  tetragonu  contentu  fub  latere  tnanguli  ipfms  figure  viginti 
baftu  i  perpcndiculan  oacta  a  centro  fnt  circuli  ad  ipfii  latas  triangu 
li  co:po:is  viginti  alcbatdaf  .C£>d  pcr  illnd  conct'.  pcludif  ve^  effe  ftue  (i/ 
gura.  i2.bafiu  i  figura.2o.b3fiu  fint  ab  cade  fpera  circufcnptibilcs  vt,pponif:fiue 
etia  fucrint  circiiJcriptibilcs  a  oinerfis  fpcris:  ^ponit  aute  ,put  bcc  figure  fin  t  cir/ 
cnfcriptibites  ab  cade  Ipera  qm  boc  modo  valet  i  fufficit  ad  (ppofitu.£i9  crgo  co 
niunis  Vcritas  fic p;.coftat eni  ejc.tf.bm* q> trigincuplti.a  .d.in.b.c.equu  e oibus 
fuperficiebus ouodccedri  pitcr acccptis cuius pentagonus.a.cft  vna  cx- ii/u^fict 
ebus  z  c%  bac  .7.  oftat  fifr  cp  trigincuplu.e.b.in.f.g.cquu  e  oibus  fup/icieb9  pcoce 
dri  piter  acceptis  cuius  trigonus.e.eft  vna  ejc.2o.bafibus  fiuc  itlud  ouodcccdrori 
*  iftud  ycocedron  eadc  fpcra  circuftribat  fiuc  oiucrfe.itaq;  ;ppo:rio  trigicupli.  a.d 
in.b.c.ad  omnes  fup/icies  iltins  ouodccedri  gitcr  acccptas  c  ficut  trigincupli.c.b. 
in  .f.g .  ad  omnes  fupficics  ycoccdri  pitcr  acceptas:  vtrobiq;  eni  eft  ,pp02tio  cquali 
tatistquarc  pcrmutatim  trigincuplti.a.d.in.b.c.ad  rrigincuplthe.  b.in  .f.g.  ficut 
omnes  fnperficics  illt9  ouodccedri  ad  omnes  fuperficies  buius  ycocedri  1  per.  1  $ . 
quinti  trigiiicup!i  ad  trigiucuptu  c  ficut fimpli ad  fimplu.  £ouftat  igif  p.  1  i.qniuti 
cp  ,ppo:tio  omniii  fugficicr  illius  onodcccclri  ad  ocs  fup/icics  buius  ycocedri  c  ci'' 
quod  fit  cx.a.cLiu.b.c.ad  id  t\6  fit  cx.c.b  .in.f.g.z  boc  e  qo  ejc  cozjelario  ,ppomf. 
lfi>:opoutio    .8. 
"iRopoJtto  cunctarii  fuperficiqr  co:po:is  Ouodecim  ba/ 
fium  pitcr  acceptay  m  ciictas  lupficies  co:pis  viginti  ba 
ftameitcracceptas  qucabvna  Ipera  abocirculcribimr; 
efttanqi  .pponiolarcriscubi  quecircufcHbiteadefpe/ 
ra  ad  latus  trianguli  ipfius  co:po:is  Viginti  baftum . 
C23tabbnius.s.ocm6ftrati6islib2i  i4.,pceffu  ambiguiras  ois  abfccdatiiftud 
p:cfcirc  opo:tct..Q6  fi  aliq  linca  ftn  ,ppo:tione  babcnte  mcdiii  ouoq;  evticma  fu/ 
erit  oiuifa  1  c%  mcdictate  eius  tanq;  oimidiii  fue  maio:is  po:tionisoctral:af  :ipfa 
quoq;  mcdictas^m  .ppojtioue  babcntc  mcdiu  ouoq;  extrcma  oinifa  ctit  1  ei9  ma 
to:  pomo  i  tanq'5  oimidiii  maioiis  lue  ouplc.vcrbi  gra  fit.a.b.oiuifa  ftn  ^>po«io 
ne  babcnte  mcdiii  ouoq3  octrcrha  in.c.i  maioi  cins  poaio  fit.a.c?  fit.d.e.tanqj 
oimidiii.a.b.i.d.f.taq;  oimidiu.a.c.oico  ergo  cp.d.c.oiuifa  c  i.f  Jm  ^>po:tioan 
bfitem  mcdiuj  ouoq;  cytrcma  %  maio:  poitio  d9  c.d.f.pftat  eui  ct.  1  y.qnti  cp  pf 
po:tio.a.b.ad.3.c.e  ficut.d.e.ad.d.f.vj  oupluj  ad  ouplu;  taq;  fimplil  ad  fimplii 
qre  pmutati.a.b.aditl.e.ficut.a.c.ad.d.f.igif  p.  i9.qnti.c.b.ad.f  .e.  ficut.a.b.  ad 
d.c.eitaq^.c.b.onplaad.f.e.ficenic.a.b.ad.d.e.cuigiftota.e.b.fitonptaadto/ 
ta.d.e.c  fijfc  gtes.a.b.ad  figrasicjtes.d.e.qre  ex.  1  j.qnri  1. 1  i.xilde  *  oionc  lince 


LIBER 


oiuifc  ftn  pponiocm  biitcm  mcdiii  ouocvj  ertrcma  crit  tinca.d.c.oiuifa  i  .f.quead 
modii  (ppomt  .Vluc  igtc  ocmoftrationi  ci-qb  ,ppofitu  e  ififiauV.Sd  cufeveplii  ut 
a.b.c.cirailW1  ceuty.d.circufcribcs  pcutagonu  ouodcccdri  %  tngoriu  vcoccdn  q 
ambo  tntcr  cade  fpcra  citcufaibit  t  pcludit.ua  ct.  *  .bui9mamfcftu  c  g>  idc  circul"' 
buius  pentagonii  i  illi9  trigonu  arcufcribit.fit  aiit  linca.a.b.latus  pcutagoni  •»  li 
nca.a.c.frigem.fitcp  linca.b.tanq,  tatus  cubi  ab  cade  fpcra  circiifcnpti:  oico  ita/ 
qj  ap  ,ppo:tto  omniu  fupficiey  ouodeccdrt  ^itcr  acccpta^  ad  oee  fu£f  icics  ycoccdri 
pitcr  acccptas  e  ficut  linca.b.ad  linea.a.c.  ,pducaf  quidc  a  ccntro.d.ppcndicfaris 
ad.a.b.quc  tranfcat  vfq3  ad  ctrcufcrcntia  fecans.a.b.in  puncto.c.f  arcfi  ct9 1  pttn 
cto.f.banc  autc  ppcndicularc  pftat  oiuidcrcf>  equalia  ta  linca.a.b.  q*5  cius  arcum 
cbo:da  quidc.a.b.e  fcoam  ptftertie  tertif:arcu  vcro  ci9p_  quat  ta  pmi  i.rrxati)  .i 
igif  arcus.f.a  occima  ps  circufcreutie.fubtcndat  itaqj  ftbi  cboida.a.f.q  ct  it  latus 
occagom  cquilateri  riufde  circuli.erit  igit  cjc  .9.trcdccimi  tinca  conftans  cjc.d.f.f.a 
oiutfa  f>m  ,ppo:ttoite  babente  mcdiu  ouoq^  ejctrema.c  maio:  po:tio  eius  crit  luica 
d.f.St  vcro  cjcpnma  buius.d.c.e  cqualis  oimidio.d.f.oimidioq^.f.a.i  tongii  oi/ 
rectuq^  coiuuctis.Sit  igif  .d.g.ppendlcularis  ad.a.c.crttqj  cr  co::elario.s.  tredc/ 
£imi.g.d.tanq"5  oimidiu.d.f.itaq^  fia  linea.d.e.q  cft  tanq'5  oimidiu.d.f.a.cii.d.f 
s.f.a.fit linea  vna: octrabafqs  eqlis.d.g.q  i  tanq'5  oimidiu .d.f.crit  p  iilud qo au 
teboc(pbatuctiuc«.d.c.oiuifar5m1ppoKioncbaberite  mcdtti  ouoq^  ejctrcmaet 
maio:  pouio  erit  tanq^.g.d.ejc ocmoitrationeaut.  ir.tredccimi  coirat  cp  fi  linea 
b.q  c  latus  cubi  oiuidafqj  fim  ,ppo:iione  babete  mcdui  ouoq^  cjctrcma  maio:  po: 
tio  dus  erir  tsnq*5.a.b.q  c  tatus  pcntagoni  figure.  a.bafiu.  itaq>  pet  fcbam  bui9 
.ppoitio.b.ad.a.b.eft ficut.d.c.ad.g.d.quare  p p:ima  pte.i y.icni: q6 ,pucnit  cjc 
b.in.g.d.cqufi  e  ei  qo  fu  ex.a.b.in.d.cEjc  co::clano  aut  p:cmiffe  mamfcftum  cft 
cp  ,ppo:tio  omniu  fupficiqz  ouodeccdri  cuius  latus.a.b.riiter  acccptay  ad  ocs  fu 
perftcies  ^coccdti  cuius  latus.a.c.  paritcr  acccptas  e  ficut  eius  qt>  fit  ejca.b.in.d.e 
adiltudqb fit cjc.a.c.in.g.d.igtf  ejc pama ptc.7.quinti  ?.i  i.ciufde ,ppo;tio  ci9 qo 
yuenit  cc.b.iu.g.d.ad illud qb .puenit  ej.a.ciu.g.d.e ficut oinniu  fupcrncicru^ 
illi9  ©uodccedri  ad  oes  buius  ycocedri.at  Vcro  cius  qo  ,pucnit  ejc.b.in.g.d.ad  illo 
qo  ,puenit  ex.a.c.in.g.d.c  p«  p:imam  (exti  ficut.b.ad.a.citaqj  p.  1  i.quinti  p:o/ 
poMio  omniu  fupficicy  iltius  ouodcccdri  ad  ocs  buius  y  cocedri  c  ficut  .b.ad.a.c. 
quod  e  ^tpofitu.boc  ipfu  alitcr  pwbare  potcrim9.ft  ad  ipfu  buius  antecedcns  nc 
tcffarium  pmtfcrim9  quod  cft.C©i  ctrculo  cuiUbet  pentagonus  eqmlate 
rus  inlcribatur  rectangulil  <p  lub  trodrante  oiamcrri  tpiius  circuli  et 
fub  oextante  iplins  linee  angulu  iplius  pentagoni  lubtendentis  con/ 
tinetur  eide  pentagono  equu  ec  ejc  neceilitate  opo:tet.ODi3aio:cs ,  nor 
ftri  vniiqdq5  iittegy  in .  a.ptcs  cqles  intcllectu  1  rone  oiuiferut.oefqj  cas  fif.boc  e 
iptn  totu/aftem  vocaucruut.vndecim  Vcro  ea^aoixeriit  oeunce.occe  aut  pexrantc3. 
noue oodrante.octo vero Wffe.at fcptmu fcptttccm... . / . ,■  ...(q; iit  felffc -qufq^ 
qulcttncc.qtuo:  tricnte.trts  aiit  qdrate.ouas  vero  fejcratc. vna  aiit  appcllaucrut 
vncia/cafq5  p  o:dine  talib"  oeftgnaucre  figurislq  fepilTime  Tuenutt  i  anttcjs  libns 

1        #*        &        &         %  9 

.  3»-        Dcunjc .    Dejrtans    •   Dodrans    -  £«  Septunj:  - 

$       V?      K         V  1-  f 

■  Qcmi»  ■  Qmnamj;  ■  Xriens  ■   Quadras    -     Sqctans   -    23ncia   - 


^■1 


xim 

C  Uncia  qnoqj  qu5  Ouodecima  gtc  affis  fo:c  oixim''  i  alfas  rurl9. 1 2.fr3tti6c9.  S5 
alia  via  oiuifcrSt.na  medictate  vncie  oirerut  femivncta.tcrtia  vcro  ouelil.quarto" 
ficitiai.fexti  fexcula.octaua  oragma.ouodccima  femilTicIam.occimaoctaua  trcmif' 
fem.vigefima  quarta  fcrupuki.quadrageftma  octaua  obulii.  feptuagefinu  fecuda 
biiTiliqua  .nonagefimi  fcxta  cerace.ZJltima  vcro  q  e  centcfim3  quadragcfima  qr 
ta  ps  ipius  vncic  filiqua  nomiuauerut.bis  au  1. 1 2.fractionibus  Vucic  poftcrio:es 
adiunjcac  calcu.fft  aut  calcusccnrefima  nonagefima  fccia  ps  V!tcie:cufadditio/ 
Bis  ca  fuit  vt  vfqg  ad  minima  extrcmti  oiatelTcron  z  oiapentc  fimpbouia^  tonor: 
fcmitonomqj  tntcruallts  oiftinctajz  bac  fracrionii  oenoiatio  cofcederct  vlcotende 
ret  i  ipfas  omucs  t»m  ojdinc  tahbus  annotaucrc  figurte. 

i>    I    \\)     )"    9   4    O    f    *    j     C|;     ri     "H'9 

•  Semiucia  -Duclta  -SiduS.  Sextula  •  Drasma-5£miflVcla  .Iremiffts- 

S9    14     *-T-    43   f\     fz     ~Z.     96    ty>  (44  ^L-    >9i 

•  Scrupnlus  •  Obolus  -  Sifftliqua  •  £eraces  •  Stltqiia  .  £alcus  • 
C£ius  crgo  qbcicif:fcnf  e:q>  fiinaliquocirculopentagon^ecilatcrisinfcribaf 
illud  qo  fit  c%  trtb9  qrris  oiametri  circult  i  quinq,  fejctas  lincc  fubtedctis  vmi  er  an 
gtilis  tnfcripti  pcntagoni  cqlc  e  pentagono.vcrbi  gri.Sir  circfs.a.b.c.  fup  cety.d 
eiqj  cx- 1 1  -qrti  infcribaf  pentagon9  cquitatcr9  cui"  ouo  latera  vnu  ex  fuis  angulis 
ptinctia  fint.a.b.t.b.c.t  angro.b.fubtendaf  linca.a.c.  i  .ptrabaf  oiamctcr.b.d.e 
fecas  hnca.a.c.gecjlia  in  puncto.g.  fitq3.d.f.mcdtctas.d.c  .?.g.  b.oupla  ad.b.c. 
tritcp.b.f.oodras  oiamctri:ecni  tres  qrtc  ipft"  «.a.b.crit  ocxta3  vd  fcrtas.a.c.e 
«ni.j.fextc  cius:,prrabaf  aiit ltnea.a.d:oico  cp tllud  qo pucnit cx.b.f.in.a.b.c c/ 
qle  pctagono  infaipto  circulo.cu  cni.a.g.  fit  ppcndicularis  ad.b.d.crirex.41  .pmi 
1  tllud  qd.pucuit  cx.b.d.in.a.g.ouptu  e  ad  trianguui.a.b.d.ioqj  qo  ,pucmt  cx.b. 
f  in.s.g.trtpli»  crit  ad  cundej  tnangulu  1  qo*  pucnit  cx.b.f.in.b.g.ouplu  zcy.b. 
f.in  tota.a.b.quincuplu  .cu  itaqj  rotus  pentagon9  quintupl9  fit  ad  cttdc  trianglm 
coftat  q>  tftudqo  ftt  cjc.b.f.in.a.b.e  cqlc  pcntagono  1  tliud  crat  oem6ftradu..Qd 
igif  ex  pucipio  .ppofitti  c  nunc  alta  via  ficut  pmtfim9  oemoftrem9.  fint  itaq^  circ» 
lo  cut9  ccnty.b.tufcriptt  pcntagon9  ftgiirc.  a.bafui  t  trigon9  fignrc.  lo.bafiuj  qs 
cadcm  fpcra  circiifcribit.£ortftat  cni  cr.5  .but9  q>  btii9  ouodeccdri  pcntagon9 1  il 
lius  ycocedri  trigon9  ab  code  ctrculo  circiiduccnf.fitqj  pcntagon".a.b.c.d.c.  %  tri 
gonus.a.f.g.tangu^o.a.pcntagonifubtcndaflmca.b.c.qct  ocmoftratione.ir. 
tredecimi  crit  lat9  cubi  que  eade  fpera  c6diidit:,ptrabaf  itaq^  o.amctcr.a.b  .k.fe/ 
caus  ojtbogonalitcr  1  p  cqualia  vtraq,  ouair  (tucair.b.cz.f.g.bac  c\dc  i  puncto.l 
ill j  vao in  pijcto.m.oico  g cp  ^pouto  oiuj  fupftcic^ ouodcccdri ad  oes  ycoccdri 
quoy  pciiragon"  %  trigouus  ^pofito  ciraito  ftut  infcripri  c  ftcut  Itncc.b.  e.quc  cft 
latus  cubi  ab  eadc  fpcra  concluft  ad  lineam.f.g.que  cft  larus  trigoni  jcocedri.  con 
ftat  cnim  cc  couclario  octauc  trcdccimi  q?  linca.b.m.e  oiintdiij  lincc.a  .b.  ioq^.a. 
ni.erit  oodrans  oianictri.a.lc.c  cni  eius trcs quartc.  ftt  crgo.  l.n.oupla  ad.  n.e. 
crtrq?  .b.n.ocxfans.b.e.cftcniquitaci^fexrc.itaq^pcr  pmiiTuaiis  qopwucnit 
ex.a.m.in.b.u.crit  cquale  pcntagono.a.b.c.d.e.qo  aure  puenit  ex.a.  m.in.m.f.e 
cqualc  triangulo.a.f.g.  igtf  ex  p:ima  fexti  ^pojtio  pauagoni  ad  trigonu  cft  ficnt 
b.n.ad.m.f.  quarc  ouo  occuplt  illius  pentagoni  ad  vigincuplu  iftiu.;  rrigoni  ftnt 
ouodccuplilmcc.b.n.advigincuplum  lince.m.f.qbex.ij.quintii  equa  p:opoj/ 
tionalitate  manifcftum  cft  ouodecuplum  aute.b.n.e  tanqj  cccuplu:u .  b.c.na.  12. 


LIBER 


oextates  cocquat.jc.affcs  boc  cft.i;.tota:vigincuplu  vcro.rh.f  e"  tanq^  tecupui.f.g 
nam.f.g .  eft  oupla  ad.m.f.igif  ouo  occupli  iftius  pentagoni  ad  vigincuplu  iftius 
trigoni  eft ficut  occupli.b.e.ad  oeaiplij.f.g.cq:  ouodccuplu  illi9 pcntagoni c  ocs 
fuperficica  ouodcccdri.' vigiiicuplft  autc  buius  trigoni  cft  omnes  fugficics  ycocedri 
i  quia  pcr.  if  .quiuti  oecupli.b.e.ad  occuplu.f.g.ficut.b.c.fimple  ad.f.g.fimplam 
erit  pcr.  i  i.quinti  .ppomo  omniii  fnpcrficicy  ouodccedri  paritcr  accepta£  ad  ocs 
fupcrficies  ycocedri  pariter  acccptas  ficut.b.e.ad.f.g.£t  boc  e  quod  opoit  uit  nos 
oemonltrare.  Hb2opolitio    .9. 

1 3Ta»ra  qlibet  linea  lcDrti  ,ppo2tionc  babetc  mcdifi  Ouoq^ 
!  qctrem  a  erit  ,ppo2tio  littcc  potctis  utp:a  tora  linca  ci^q, 
!ntaio2e  poJtione  adlincapotetcfnpjatotaciuiclcqinu/ 
wo2cpo2tionc  tacJ5  ,ppo2ttcMateris  cubiadlat^triaguli 
!  co:gis  vtginti  baiiu  vna  cii  cttbo  ipfo  i  eade  fpcra  ptenti. 
CSitlinea.a.b.oiuifafcbmpjopojttoncbabciuemcdiu  ouoqj  extrema  cmaio: 
po:tio  eius  fit  linea.a.c?  fupcr  centy.a.ftu  quantitate  lincc.a.b.  ocfcnbaf  circul9 
d.b.e.eiq^  infcribaf  cr..  1  i.quarti  pcntagonuscquilaterus  cuius  vnu  latns  fir.  d.e. 
cet:  fecundaeiufdem  triangutuscquilaterus  cuius  vnumlarusfit.  d.f.cvniei: 
augulis  pentagoni  qui  fit.d.fubtcndatur  linca.c.g.jConftat  igit  ex-  j.  bui9  cp  fpc/ 
ra  circufcrtbcns  ouodcccdron  cuius  pentagoni  latus  eft.d.c  .circufcnbit  ftfycoce/ 
droncuiustriangulilatuse.d.f.^ejc  ocmoftrattone.  i7.trcdccimi  maiufcftum  c 
cp  eadem  fpera  circumfcnbit  cubum  cuiuslatus  eft.e.g.fumaf  ergo  linea.b.pote's 
fuper  totam.a.b.?  eius  maioiem  poitionem  .a.c.c  fumaf  .k.potcns  fupcr  totam 
a.b.z  mino:e  eius  poitioncm  .b.c.oico  itaqj  cp  ,ppo:tio.e.g.ad.d.f.  boc  e  latcris 
cubi  ad  latus  trianguli  ycocedri  vna  cu  ipfo  cubo  ab  ipfa  fpcra  contcnti:c  ficut.b. 
ad.k.Coftat  qdeqb ei;co:iclario.  ij.qrti  cp.a.b.c  tancj^  lat9 eragont equilateri cir 
culo.b.d.c.infcripti:igif  ex tcrtia  buius.a.c.cft tacft  larus  occagoni  ciufde  circuli 
itaq;  pcr.  10. 1 3.d.c.potcns  e  fupcr  tota.a.b.c  eius  maio:e  poitione.a.c.quarc.d. 
c.eft  cqualis.b.na  quadratum  vtriufq^  earum  tantu  eft  quantii  quadrata  ouay  li 
neaj;.a.b.t.a.c.pitcr acccpts:  P5  aute c% octaua.  1  j.cp.d.f.cft  tripla  potcmialitcr 
ad.3.b.3t  vcro  ei;.  j.  eiufde  patct  cp.k.quoq5  tripla  cft  potcntialitcr  ad.a  .c.  crgo 
cxfecundapartc.2i.fcxti^)poitio.d.f.ad.a.b.eficut.k.ad.a.c.quarcpmutati.d. 
f.ad.k.ficut.s.b.ad.a.c?  quia  ejc  ocmonftratione.  i>.rredccimi  manifcftu  c  q>  fi 
e.g.oiuidaf  f>m  .ppoitione  babetc  mediii  ouoq^  c^trcma  maio:  po:tio  eius  crit  ta 
q'5  .d.c.critt3fc6ambuius^po«io  .c.g.ad.d.e.ficut.a.b.ad.a.c.  qrep.n.quinri 
erttqnoq5.e.g.ad.d.e.ficut.d.f.ad.k.ipmutatim.c.g.ad.d.f.ficut.d.c.ad.k.  £t 
q:pcrp:imap_tc.7.  quinti.d.e.ad.k.ficut.b.ad.k.cocp.d.e.t.b.funtcqualcserit 
per.  1  i.quinti.e.g.ad.d.f.ficut.b.ad, k.qo'  cft  p:opofitii.  116  folu  aut  cft  ,ppo:tio 
e.g.latcris cubi  ad.d.f.btus trianguli ycoccdri  ficut.b.ad.k.  imo  fimplidtcr  ficut 
quarumlibet  ouarum  lincarum  vnius  ad  altcra:quarum  altcra  potcft  fug  tota  qua 
libctlineam  oiuifamf-mpioportioncmbabcntcmmedium  onoq^  c>trcma  1  fug 
eius  maioicm  po:tiofic:altcra  vero  fupcr  totam  i  eius  minoicm  po:rionc.na  ftn/ 
gulajj  lincarum  taliii  e  px>po:tio  vna: verbi  gratia.manear  p:io:cs  vpotbcfcs  cir/ 
a  lineas.a.b.b.f.k.  i  fumatur  quoq^  quclibct  alia  linca  q  fit.l.m.  cuufa  fm  p:o/ 
poitione babe'tem  medtum  ouoq, extrema in.n.i po:tio  maio: fit.l.n.fitq; linca. 
p.  potensfupertotam.l.m.  «eius  maiotcm  poitioncm.I.n.  'jlinca.q.fitpotcns 


■H^H 


XIIII 

fupcr  totam.t.in.c  cius  minoiepojttonc.m.n.oico  crgo  q>  ppoitio.p.sd.q.cft  fi 
ciit.b.ad.k.c6ftatciuo:fc6abui9(j7.ba.ad.a.c.cficut.l.iH.3d.!.ii.crgogp:iiam 
gtc.2i.fcxtiquadrati.b.a.adquadratri.a.c.cfi''utqdrati.m.I.adquadratij.n.l. 
quatcconiunaimqtiadrati.b.adquadratu.a.c.fkutquadrati.p.3dquadratu.l.ii 
^pcrmutatimquadrati.b.adquadratu.p.ficutquadrati.a.c.adquadratum.l.n. 
,£ode argumctationis  gcncrc fequit  q> .ppoitio quadrati.k.ad  quadratii.q  .cft  fi 
Ci1tqt1adrati.cb.3dquadr3tu.11  m.tqjctfcoa buiusejcpiimaptc.zi.fexti  qua/ 
dratu.a.c.adquadratij.l.n.ficutquadratu.c.b.adquadratu.m.n.critex.ii.quiti 
quadratu.b.ad quadratti.p.ficut  quadratu.k.ad  qtiadratii.q.quare  p fcoam  gte 
2i.fcxti.b.ad.p.ficut.k.ad.q.£tEmut3tim.bad.k.ficut.p.ad.q.q6cratoemoii/ 
ftrandu.?  nc  quifq'5  oubitationis  locus  ea  quc  oemoftrada  reftaut  obfufcct  :pie/ 
mittcndaadbucarbitramur  qucda  quibusfcquctiafirmo  ocmoftratiois  robo:e 
iucocuffapcrmancant. 

CSt  aliqua  plana  fuperficies  fperam  quiilibet  fecet  cois  oifferentia 
plane  fuperficiet  fccautis  1  curue  fuperficiei  fpere  erit  circumferentia 
contincnscirculum. 

G5it  igitaliqua  plaua  furjficies  fecans  fpcram  1  fit  linca.a.b.cois  fectio  fupficici 
fecantis  z  fupficiei  fpcre.oico  cp  linca.a.b.eft  circufereutia  circuli.aut  eni  centrum 
fpere  cft  in  plana  fugftcie  fecantc.aut  cxtra.  Q6  fi  fuerit  in  ca  ponat  vbicunqs  ?ti 
gcrit z fit.cQuia crgo  tota linea.a.b.c in  fugficie fpcre  z qj  omncs  lincc ouctc 3 
centro  fpere  ad  ipfius  circufercntia  funt  cquales  queadmodit  conftat  cj:  eifftnitio 
ne  fpere.fcquitur  vt  omncs  linee  ouctc  3  puncto.c.ad  linca.a.b.fint  cquales.e  igic 
c% oirVinitionc circuli fupcrficics  qua continct  liuca.a.b.circulus  z eius  ceiity  e  .c. 
vidclicct  ide  q>  ccntz;  fpcre.fi  aiit  centru  fpcrc  roerircrtra  fupcrficic  fecantc:  poua 
tur  crgo  vbilibct  q6  fit.d.a  quo  ftn  oocrrina .  1 1  .vndccimi  oucaf  linea.d.cpcrpen/ 
dicularis  ad  fupficic  fccante  z  .ptrabanf  ab  codc  ccutro.d.ouc  lincc  rcctc  quocuqj 
coiitinsatadl.nca.a.b.qucfint.d.a.c.d.b.tiungat.c.cu.a.icii.b.eruntqjoueli 
ncc.d.a.?.d.b  equalcs co  cp  ipfe fuut  a  ccntro fperc ad  fupcrfkiem cuis:ei:oiffi/ 
nitionc  autc  lince  perpendicularis  ad  fnpcrficic.manifcftii  eft  ct>  auguli.d.c.a.cd 
cb.fiit  rccti-.idcoqj  c]t penuf.piimi  1  ifta coi fcia:quc equalibns  fut cqualia  itcr fe 
funt  cqualiaterunt  quadrata  ouayliucay.c.d.-J.c.a.paritcr  acccpta  cqualia  qua/ 
dratisouaElincaf.d.c.T.c.b.pariteracccpttsioemptoitaq^vtrinqiquadrato.d 
c.crit  quadratu.c.a.cquale  q'drato.c  b.qnarc  z  liuea  .c.a.lincc.c.b.  _£odc  argume 
tationis  gcncrc  ncccfle  eft  omneslincas  ouctas  a  puncto  .c.ad  Imca.a.b.ce  eqlcs 
crgo  cjc oiffinitionc  circuli  fnp.ficies qua continct Imea.a.b.cft  circtil" c ci9 centruj 
clt.c.quod  cft  piopofitum. 

CiEicbocitiiqiniamfeftumeftcpcumfuperficicsfccat  fperani  fupcr 
centran  cius  fccto:  ^ueniens  tn  fuperrtcie  fpere  cft  linea  continens 
ctrculum  cuiuscentrum  eftcentrum  IpercXum  autem  fuperficicsfe 
catfperamnonfnpcr  centrumetus  fccto:  quoqipioucuicnsifuper 
ftctc  fpere  cft  linea  contmes  circulu  cuius  centy  e  punctus  ille  in  quo. 
iucidit  ppendiculans  oncta  a  centro  fpere  ad  fuperficiem  fecantcm. 
Camplitis  anrcm  oico  cp 

GSi  in  fpcra  aliqua  fiierint  circult  equales  ppendiculares  Oucte  a  ce 
trofpere  jdfupficiesillojunicirculoium  crunt  adinuicem  equales. 


LIBER 


GSinr  i  fpcra  cuius  ccnt^  .a.fignati  ouo  circuli.b.c.c.equales  ad  quozz  fup/icies 
^trabanf  a ccutro  fperc  vidclicet  a puncto.a.perpendiculares ftn  cp  oocet.i  i.vn 
dccimi:adbut)cquide.a.b.3dil!uautc.a.c.oicoqjouelinee.9.b.'Z.a.c.futequa/ 
les:,ptrabai»f  eni  a  punctis.b.t.cfingule  lincc  rccte  ad  circufercntias  iUo£  circu  / 
lox?  ,put  libucrit:iu  boc  quidcm.b.d.in  illo  ant.c.e.z  iungaf  .a.cu.d.c  cum.e.  erit 
q5  cjc  oiffinitiouc  lince  fup:a  fuperficic  ppcndiculariter  ftantis  vtriq5  ouo2j  angu. 
los.a  -b.d.a.c.c.rectus.at  vero  cjc  fcoa  gtc  pmifli  co::elarij.  DOanifcftu  e  cp  ono 
puncta.b.t.c.fuiitccntracircnlo^.b.c.idcoqjouelince.b.d.  i.cc.  funt  femidia/ 
mctri  eo£:qui  circuli  cu  ponanf  cquaks  fcquif  ct  oiffwitione  cqualii»  circulo?  bas 
femidiamctros  clTc  cqualcs:?  quia  oue  lincc.a.d.c.a.e.funt  cqualcs  q:  funt  ouctc 
a  centro  fperc  ad  eiu3  fupficiercrunt  er  penut'.p:imi  oue  ppcndicularcs.a.b.i.a.c 
cqualcs  qo  opo:tcbat  ocmonftrare.Tlunc  igitnr  ad  p:opofitum  rcdeamus. 
1(b20pofitio  .10. 
1Ivopo2tio  C02p02is  ouodecedri  ad  co2p?  ycocedrt  q  am 
bo  vnaeadcqi  fperaicluditieftftcutoniuiu  fnperftcieru 
eius  piter  acceptaiz  ad  ocs  fupficies  tllius  piter  acceptas 
Oboc  eft  q6  fuperius  poft  oemonftratione  p:ime  buius  auctowa 
te  ariftei  <i  apolloni  j  c6mcmo:auimus  cui9  ocmonftratio  ejc  bis  q  / 
p:cmifla  funt  euidenter  elicif .£ %  quiuta  quide  buius  manifeliu  e"  q>  circuli  quo:uj 
altercircufcribit  pentagonnouodcccdri:rcliqu9Verotrigonu  ycoccdri  quc  ambo 
co:po:a  fpcravna  cobcrcctfuntadinuiccm  equalcsataq^eruntpcrpcndicularcs 
a  centro  fpcrc  ad  fupcrficics  onmium  circulo^  circufcribentium  pentagonos  bu/ 
ins  ouodeced:i  1  trigonos  illi9  ycocedri  i  coy  centra  cadcn  tcs  adinuiccm  cqualcs 
ficut  cji  p:cniiffis  manifeftu  e  nam  omnes  bi  circuli  tcfie  .y  .buius  ficut  oictS  c  cq/ 
lcs  funt  fibi  adiuuicc  piramidcs:  igitur  quai;  funt  bafcs  pcutagoni  ouodcccdri  co 
ni  aute  cay  funt  cent?  fpcre  atq^  piramides  quaz:  bafes  fut  trigoni  ycocedri:  i  co 
ni  eay  fimilitcr  ccntrn  fpcre  funr  eque  altc  cunctay  quide  ptramidu  altitudinc  mc 
furant  vel  oetcrminant  a  conis  ad  bafes  ppcudicularcs  C3dentcs:piramides  autc 
eque  altas  fuis  bafibus  .ppottionalcs  efle  oponet  queadmodum  in.c.  ouodccimi 
p:obatu  efhitaq